Sistem Persamaan linier

Persamaan linier Definisi N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a2x2+…+ an xn=b

disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-

konstanta riil.

Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :

a1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut

terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut

himpunan penyelesaian (solusi set). Contoh

2x1 + x2 + 3x3=5 x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi

x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi

x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi

suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.

Definisi

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn disebut sistem persamaan linier.

Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi

disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi disebut consisten.

Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel. P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0) P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0)

Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:

U2

X1

U2

X1

U2

X1

P1

P2

Inconsisten

P1 P2 P2

Konsisten

Penyajian SPL dengan persamaan matriks

a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn = b2 :

am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn = bm

x = b =

matriks koefisien

SPL umum:

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n

:

am1 am2 am3 amn

x1

x2

:

xm

b1

b2

:

bm

A =

Ax = b

Penyajian SPL sebagai matriks augmented

a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn = b2

:

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

matriks augmented

a11 a12 a13 … a1n b1

a21 a22 a23 … a2n b2

:

.

am1 am2 am3 … amn bm

SUSUNAN PERSAMAAN LINIER

HOMOGEN

AX=0

NON HOMOGEN

AX=B, B≠0

SELALU ADA JAWAB

TAK PUNYA JAWAB

R(a)≠r(A,B)

MEMPUNYAI JAWAB

JAWAB HANYA

JAWAB TRIVIAL

(NOL);R=N

SELAIN JAWAB TRIVIAL,

ADA JUGA JAWAB

NONTRIVIAL R<N

JAWAB UNIK

(TUNGGAL)

R=N

BANYAK

JAWAB

R<N

Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan” yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi dengan cara melakukan transformasi elementer.

Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0

Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :

Rank(A) = Rank(A|B)

Contoh ;

1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3

Jawab:

-3x+6y=-9

x-2y=3

Dalam bentuk matriks=

0:00

3:21B

9:63

3:21B

3:21

9:63-B)|(A

BxA 3

9

21

63

~

(3)

21~12

atauy

x

R(a)=r(A|B)=1 r<n Jumlah variabel=2 1<2 Jadi jawabnya tidak tunggal.

Sistem Persamaan Linier Non Homogen

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen

Di bawah ini :

Jawab :

4 2x 4x 2x

3 x 3x 4x

1 2x x 3x

2 x 2x x

321

321

321

321

B xA

4

3

1

2

x

x

x

242

134

213

121

3

2

1

4242

3134

1213

2121~

)3(

21B

~

)4(

31B

~

)2(

41B

0000

55110

5550

2121

~

)5/1(

2B

0000

55110

1110

2121

0000

55110

1110

2121~

)2(

12B

)11(

32B

0000

6600

1110

0101~

)6/1(

3B

0000

1100

1110

0101~

)1(

13B

)1(

23B

0000

1100

0010

1001

Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel

Jadi jawabnya tunggal

Matriks lengkap di atas menyatakan:

Sehingga sebagai penyelesaiannya :

1 x 1 x 0x 0x

0 xatau 0 0x x 0x

1 x 1 0x 0x x

3321

2321

1321

1

0

1

x

x

x

x

3

2

1

Sistem Persamaan Linier Homogen

Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:

a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0

a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0

am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0 Atau=

0

0

0

2

1

2

22221

11211

nmnmmn

n

n

x

x

x

aaa

aaa

aaa

Matriks A berukuran (m x n) Matriks x berukuran (n x 1) Matriks o berukuran (m x 1) Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ). Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :

Jawab :

Sehingga solusinya :

Yaitu solusi trivial atau

0 x 2x x

0 2x x x

0 x x x

321

321

321

0

0

0

x

x

x

121

211

111

atau

3

2

1

0121

0211

0111

0)|(A~

)1(

21B

)1(

31B

0010

0100

0111~23B

0100

0010

0111~

)1(

12B

)1(

13B

0100

0010

0001

0 x 0x 0x

0 0x x 0x

0 0x 0x x

321

321

321

0 x, 0 x, 0 x 321

0 x

2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :

Jawab :

0 x x2x

0 4x 2x 3x x

0 x x x x

431

4321

4321

0

0

0

x

x

x

x

1102

4231

1111

atau

4

3

2

1

01102

04231

01111

0)|A(~

)1(

21B

)2(

31B

03120

03120

01111~

)1(

32B

Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4

jadi solusinya tidak tunggal

(banyak)

00000

03120

01111~

)2/1(

2B

00000

02/32/110

01111~

)1(

12B

00000

02/32/110

02/12/101

0 x2

3 x

2

1 x 0x

0 x2

1 x

2

1 0x x

4321

4321

432

431

x2

3 x

2

1 x

x2

1 x

2

1x

Dimana : x3 dan x4 bebas.

Sehingga :

Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b

b 2

3 a

2

1- x

b 2

1 a

2

1- didapat x

b dan x a untuk x

2

1

43

1

0

3/2-

1/2

b

0

1

1/2-

1/2-

a

b0a

0ba

3/2b-1/2a-

1/2b1/2a-

x

x

x

x

x

4

3

2

1