Upload
others
View
28
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
M. K. Biometrika I Program Studi Agroteknologi – Fakultas Pertanian Universitas Padjadjaran
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Persamaan Linier
Persamaan linear (linear equation) dengan n variabel x1, x2…, xn adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
a1x1 + a2x2 +… + anxn = b
dimana a1, a2, …,an dan b merupakan konstanta real.
Variabel-variabel dalam persamaan linier seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui (unknows).
Persamaan Linier
Solusi Peersamaan Linier
2
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Persamaan Linier
Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1
Contoh:
x + y + 2z = 9
Bukan Persamaan Linier:
x + 2yz = 9
x2 + 2 y = 9
Persamaan Linier
Solusi Peersamaan Linier
3
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Solusi Persamaan Linier
Solusi dari persamaan linier a1x1 + a2x2 +… + anxn = b adalah suatu urutan dari n bilangan s1,s2,…, sn sedemikian rupa sehingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika kita menggantikan x1 = s1, …, xn = sn.
Kumpulan semua solusi dari persamaan itu disebut himpunan solusi (solution set) atau disebut juga solusi umum (general solution) dari persamaan tersebut.
Persamaan Linier
Solusi Peersamaan Linier
4
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.
Contoh:
x + y = 3
3x – 5y = 1
Ruang Solusi:
berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }
Definisi dan Bentuk SPL
Solusi dan Contoh
5
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Bentuk SPL 6
Definisi dan Bentuk SPL
Solusi dan Contoh
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Solusi SPL
Kita ingin menentukan apakah sebuah sistem persamaan linier mempunyai solusi, yaitu menemukan bilangan-bilangan x1, x2, …,xn yang memenuhi setiap persamaan pada sistem persamaan linier tersebut.
Kita katakan sebuah sistem adalah konsisten (consistent) jika sistem tersebut mempunyai solusi.
Jika sebuah sistem tidak mempunyai solusi disebut takkonsisten (inconsistent).
Definisi dan Bentuk SPL
Solusi dan Contoh
7
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
3 Solusi SPL
Terdapat 3 macam kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linier, yaitu :
Solusi yang unik. Hanya ada satu himpunan nilai (s1, s2, ..., sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
Tidak ada solusi. Tidak ada himpunan nilai (s1, s2, ..., sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
Solusi yang ada tidak berhingga. Ada lebih dari satu (tak berhingga) himpunan nilai (s1, s2, ..., sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
Definisi dan Bentuk SPL
Solusi dan Contoh
8
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh: Solusi SPL
Mempunyai Solusi: x + y = 5 3x + 2y = 12
Tidak mempunyai Solusi: x + y = 5 x + y = 6
Mempunyai Solusi tak hingga: x + y = 5 2x + 2y = 10
Definisi dan Bentuk SPL
Solusi dan Contoh
9
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Metode Dasar Penyelesaian SPL
Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan sistem baru yang memiliki himpunan solusi yang sama tetapi penyelesaiannya lebih mudah. Salah satu cara yang sering digunakan untuk mendapatkan sistem yang baru adalah dengan melakukan operasi baris yang disebut operasi baris elementer (elementary row operation). Operasi baris elementer dilakukan dengan: Mengalikan baris dengan konstanta tak nol.
Menukarkan posisi dua baris.
Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
10
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Metode Penyelesaian SPL 11
Beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linier: Metode Grafis
Cramer
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers
Dekomposisi LU
Lelaran Jacobi
Lelaran Gauss-Seidel
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Metode Grafis
Metode ini menemukan solusi dari sistem persamaan linier simultan dengan menggambarkan setiap persamaan pada koordinat bidang datar untuk menentukan titik potong (interseksi). Metode ini digunakan hanya untuk dua buah bilangan yang tidak diketahui (x1 dan x2).
Langkah Pengerjaan:
Tulis setiap persamaan dalam bentuk slopeintersepsi (x2=mx1+b)
Gambar setiap persamaan pada bidang yang sama.
Temukan koordinat titik potongnya.
Cek titik potong tersebut.
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
12
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh
Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut:
x1 + x2 = 5
3x1 + 2x2 = 12
Solusi:
Gambar kedua persamaan tersebut pada sistem koordinat yang sama
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
13
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Metode Grafis
Contoh: x1 + x2 = 5 ↔ x2 = 5 – x1
3x1 + 2x2 = 12 ↔ x2 = (12 – 3x1)/2
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
Solusi: x1 = 2; x2 = 3
14
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Cara determinan (Cramer)
Untuk menghitung variabel x:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
A
A
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x
nnnn
n
n
nnnn
n
n
)1(
21
22221
11211
2
2222
1121
1
A
A
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
x
nnnn
n
n
nnnn
n
n
)2(
21
22221
11211
1
2221
1111
2
A
A
A
baa
baa
baa
xnnnn
n)(21
22221
11211
15
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh: 16
Selesaikan sistem persamaan dengan metode Cramer:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Jawaban:
135
,132344132
bA
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
20132344132
A
A
Ax
nn
)(
120
20
132344132
131343135
1
x
220
40
20
112334152
2
x
320
60
20
132344532
3
x
3;2;1 321 xxx
17
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Eliminasi Gauss dibentuk matriks segitiga
atas solusi var x dihitung
dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution)
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
...
/
2,2
,211,222
2,211,222,2
1,1
,1111,111,1
dst
a
xaxabx
bxaxaxa
a
xabxbxaxa
abxbxa
nn
nnnnnnnn
nnnnnnnnnn
nn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
18
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Prinsip Gauss
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
Mentransformasi sistem Ax = b menjadi Ux = y
U = Matriks segitiga atas
solusi x diperoleh dengan penyulihan mundur
444
33433
2242322
114131211
y][U, menjadi idieliminas
444434241
334333231
224232221
114131211
000
00
0
ba
baa
baaa
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
Sistem Persamaan Linier
Matriks Augmented Eliminasi Gaus Substitusi Balik
Operasi Baris Elementer
19
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Proses Eliminasi Gauss
Proses Eliminasi terdiri dari: Pertukaran: urutan dua persamaan dapat ditukar karena
pertukaran tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir
Penskalaan: persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan nol, karena perkalian tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir
Penggantian: persamaan dapat diganti dengan selisih persamaan itu dengan gandaan persamaan lain. barisr = barisr – mp,rbarisp
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
20
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Penyulihan Mundur
63
456
7472
20324
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
0dan1...,,2,1,1
kkkk
n
kj
jkjk
k annka
xab
x
34
)2(3)1(2)4(120
42
)2(4)1(77
16
))2(54(
23
6
1
2
3
4
x
x
x
x
21
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Eliminasi Gauss:
Selesaikan sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
22
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
15500
7120
5132
~
~
6260
7120
5132~
1132
3344
5132
226
3122
3
124
2
RRRR
RR
Jawaban Eliminasi Gauss :
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
Keterangan:
• R2 – 4/2R1 artinya elemen-elemen pada baris ke-2 dikurangi dengan duakali (4/2) elemen-elemen pada baris ke-1
12
)635(;2
2
)37(;3
5
15123
xxx
Pivot
Persamaan Pivot
23
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Tata Ancang Pivoting
Jika pivot app=0, baris ke-k tidak dapat digunakan untuk mengeliminasi elemen pada kolom p, karena terjadi pembagian dengan nol
Solusi:
cari baris ke-k dengan akp 0 dan k > p
Pertukarkan baris p dengan baris k
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
24
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Tata Ancang Pivoting :
Selesaikan sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
6482
963
22
321
21
321
xxx
xx
xxx
25
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
3300
2240
2121
(*)
2240
3300
2121~
6482
9063
2121
23112
3
113
2
RRRR
RR
Jawaban Tata Ancang Pivoting :
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
Keterangan: Angka dalam kurung = pivot
1;1;33
3123
xxx
Tukar baris 2 dengan 3
Pivot = 0
26
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Gauss Jordan 27
Variasi dari Metode Eliminasi Gauss Matriks A dieliminasi jadi Matriks Identitas Tidak diperlukan penyulihan mundur Solusinya didapat dari kolom vektor b hasil proses eliminasi
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
nnnn
n
n
b
b
b
baaa
baaa
baaa
100
010
001
2
1
4241
222221
111211
nn bx
bx
bx
22
11
:Solusinya
)(sbIxbAx
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Ringkasan Eliminasi Gauss -Jordan
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
Sistem Persamaan Linier
Matriks Augmented Eliminasi Gaus-
Jordan Solusi
Operasi Baris Elementer
28
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Gauss Jordan :
Selesaikan sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss-Jordan:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
29
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
310020101001
~
5.0
)25.1(
31005.35.01075.225.101
)5/(~~
155005.35.01075.225.101
6~
5.1
62605.35.0105.25.05.11
)2/(
626071205.25.05.11
1)2(
14~
113233445.25.05.112/
113233445132
32
31
3
23
21
2
3
2
1
RR
RR
R
RR
RR
R
RR
RR
R
Jawaban Gauss Jordan :
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
3;2;1 321 xxx
30
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Matriks Balikan
bAx
bAx
1
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
]|[]|[ 1J-G eliminasi AIIA
nn
n
n
nn
n
n
ppp
ppp
ppp
aaa
aaa
aaa
4241
22221
11211
4241
22221
11211
100
010001
100
010001
A I I A-1
31
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Matriks Balikan :
Selesaikan sistem persamaan dengan metode Matriks Invers:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
32
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Jawaban Matriks Balikan :
2.06.011001.02.05.001025.0025.0001
~
5.0
)25.1(
2.06.0110005.015.010075.0125.101
)5/(~~
13550005.015.010075.0125.101
6~
5.1
10126005.015.010005.05.05.11
)2/(
101260012120005.05.05.11
1)2(
14~
100132010344005.05.05.112/
100132010344001132
32
31
3
23
21
2
3
2
1
RR
RR
R
RR
RR
R
RR
RR
R
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
321
135
2.06.011.02.05.025.0025.0
3
2
1
x
x
x
33
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Dekomposisi LU
nn
n
n
n
nnnnnnnn
n
n
n
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
000
00
0
1
01
0010001
333
22322
1131211
321
3231
21
321
3333231
2232221
1131211
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
bUxL
bAx
y
LUA
A L U
bLy
Maka
yUx
Misalkan
:
:
34
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Dekomposisi LU...
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
nnnn
n
n
n
y
y
y
y
x
x
x
x
u
uu
uuu
uuuu
yUx
3
2
1
3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0
nnnnn b
b
b
b
y
y
y
y
lll
ll
l
bLy
3
2
1
3
2
1
321
3231
21
1
01
0010001
nilai y1, y2, ..., yn diperoleh dengan teknik penyulihan maju
nilai x1, x2, ..., xn diperoleh dengan teknik penyulihan mundur
35
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Metode Pemfaktoran
Metode LU Gauss
Metode Dolittle
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
36
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Metode LU Gauss
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
Nyatakan A sebagai A = IA
Eliminasikan matriks A diruas kanan menjadi matriks segitiga atas U. Tempatkan faktor pengali mij pada posisi lij dimatriks I
Setelah proses Gauss selesai, matriks I menjadi L dan matriks A diruas kanan menjadi U
nnnnn
n
n
n
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
321
3333231
2232221
1131211
1000
010000100001
A I A
L U
37
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Pemfaktoran LU Gauss
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
260120132~
132344132
122
3
124
2
RR
RR
URR
500120132
~260120132
226
3
11012001
32mL
Tempatkan faktor pengali m21 =4/2=2 pada posisi l21 Tempatkan faktor pengali m31 =-2/2=-1 pada posisi l31 Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A
131012001
LTempatkan faktor pengali m32 =6/-2 =-3 pada posisi l32
500120132
131012001
: LUAJadi
38
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Contoh Dekomposisi LU Gauss:
Selesaikan sistem persamaan dengan metode Dekomposisi LU Gauss:
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
39
Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id
Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL
Tugas & Latihan
Peersamaan Linier
Jawaban Dekomposisi LU Gauss
Metode Grafis; Cramer
Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan
Matriks Invers; Dekomposisi LU
135
,132344132
bA
500120132
U
Dari contoh pemfaktoran Eliminasi Gauss diperoleh:
131012001
L
135
131012001
3
2
1
y
y
y
bLy
15311
72335
3
2
213
12
321
21
1
yyy
yy
yyy
yy
y
157
5
500120132
3
2
1
x
x
x
yUx15
27
315
32
2
1
2
3
321
32
3
x
x
x
xxy
xx
x
Penyulihan maju
Penyulihan mundur
40