40
M. K. Biometrika I Program Studi Agroteknologi – Fakultas Pertanian Universitas Padjadjaran

Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

  • Upload
    others

  • View
    28

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

M. K. Biometrika I Program Studi Agroteknologi – Fakultas Pertanian Universitas Padjadjaran

Page 2: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Persamaan Linier

Persamaan linear (linear equation) dengan n variabel x1, x2…, xn adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

a1x1 + a2x2 +… + anxn = b

dimana a1, a2, …,an dan b merupakan konstanta real.

Variabel-variabel dalam persamaan linier seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui (unknows).

Persamaan Linier

Solusi Peersamaan Linier

2

Page 3: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Persamaan Linier

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1

Contoh:

x + y + 2z = 9

Bukan Persamaan Linier:

x + 2yz = 9

x2 + 2 y = 9

Persamaan Linier

Solusi Peersamaan Linier

3

Page 4: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Solusi Persamaan Linier

Solusi dari persamaan linier a1x1 + a2x2 +… + anxn = b adalah suatu urutan dari n bilangan s1,s2,…, sn sedemikian rupa sehingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika kita menggantikan x1 = s1, …, xn = sn.

Kumpulan semua solusi dari persamaan itu disebut himpunan solusi (solution set) atau disebut juga solusi umum (general solution) dari persamaan tersebut.

Persamaan Linier

Solusi Peersamaan Linier

4

Page 5: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.

Contoh:

x + y = 3

3x – 5y = 1

Ruang Solusi:

berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }

Definisi dan Bentuk SPL

Solusi dan Contoh

5

Page 6: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Bentuk SPL 6

Definisi dan Bentuk SPL

Solusi dan Contoh

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Page 7: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Solusi SPL

Kita ingin menentukan apakah sebuah sistem persamaan linier mempunyai solusi, yaitu menemukan bilangan-bilangan x1, x2, …,xn yang memenuhi setiap persamaan pada sistem persamaan linier tersebut.

Kita katakan sebuah sistem adalah konsisten (consistent) jika sistem tersebut mempunyai solusi.

Jika sebuah sistem tidak mempunyai solusi disebut takkonsisten (inconsistent).

Definisi dan Bentuk SPL

Solusi dan Contoh

7

Page 8: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

3 Solusi SPL

Terdapat 3 macam kemungkinan penyelesaian dari sistem persamaan linier, yaitu :

Solusi yang unik. Hanya ada satu himpunan nilai (s1, s2, ..., sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.

Tidak ada solusi. Tidak ada himpunan nilai (s1, s2, ..., sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.

Solusi yang ada tidak berhingga. Ada lebih dari satu (tak berhingga) himpunan nilai (s1, s2, ..., sn) yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.

Definisi dan Bentuk SPL

Solusi dan Contoh

8

Page 9: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh: Solusi SPL

Mempunyai Solusi: x + y = 5 3x + 2y = 12

Tidak mempunyai Solusi: x + y = 5 x + y = 6

Mempunyai Solusi tak hingga: x + y = 5 2x + 2y = 10

Definisi dan Bentuk SPL

Solusi dan Contoh

9

Page 10: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Metode Dasar Penyelesaian SPL

Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan sistem baru yang memiliki himpunan solusi yang sama tetapi penyelesaiannya lebih mudah. Salah satu cara yang sering digunakan untuk mendapatkan sistem yang baru adalah dengan melakukan operasi baris yang disebut operasi baris elementer (elementary row operation). Operasi baris elementer dilakukan dengan: Mengalikan baris dengan konstanta tak nol.

Menukarkan posisi dua baris.

Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

10

Page 11: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Metode Penyelesaian SPL 11

Beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linier: Metode Grafis

Cramer

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers

Dekomposisi LU

Lelaran Jacobi

Lelaran Gauss-Seidel

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Page 12: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Metode Grafis

Metode ini menemukan solusi dari sistem persamaan linier simultan dengan menggambarkan setiap persamaan pada koordinat bidang datar untuk menentukan titik potong (interseksi). Metode ini digunakan hanya untuk dua buah bilangan yang tidak diketahui (x1 dan x2).

Langkah Pengerjaan:

Tulis setiap persamaan dalam bentuk slopeintersepsi (x2=mx1+b)

Gambar setiap persamaan pada bidang yang sama.

Temukan koordinat titik potongnya.

Cek titik potong tersebut.

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

12

Page 13: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut:

x1 + x2 = 5

3x1 + 2x2 = 12

Solusi:

Gambar kedua persamaan tersebut pada sistem koordinat yang sama

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

13

Page 14: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Metode Grafis

Contoh: x1 + x2 = 5 ↔ x2 = 5 – x1

3x1 + 2x2 = 12 ↔ x2 = (12 – 3x1)/2

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

Solusi: x1 = 2; x2 = 3

14

Page 15: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Cara determinan (Cramer)

Untuk menghitung variabel x:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

A

A

aaa

aaa

aaa

aab

aab

aab

x

nnnn

n

n

nnnn

n

n

)1(

21

22221

11211

2

2222

1121

1

A

A

aaa

aaa

aaa

aba

aba

aba

x

nnnn

n

n

nnnn

n

n

)2(

21

22221

11211

1

2221

1111

2

A

A

A

baa

baa

baa

xnnnn

n)(21

22221

11211

15

Page 16: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh: 16

Selesaikan sistem persamaan dengan metode Cramer:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Page 17: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Jawaban:

135

,132344132

bA

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

20132344132

A

A

Ax

nn

)(

120

20

132344132

131343135

1

x

220

40

20

112334152

2

x

320

60

20

132344532

3

x

3;2;1 321 xxx

17

Page 18: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Eliminasi Gauss dibentuk matriks segitiga

atas solusi var x dihitung

dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution)

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

...

/

2,2

,211,222

2,211,222,2

1,1

,1111,111,1

dst

a

xaxabx

bxaxaxa

a

xabxbxaxa

abxbxa

nn

nnnnnnnn

nnnnnnnnnn

nn

nnnnnnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnn

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

a

aa

aaa

aaaa

3

2

1

3

2

1

333

22322

1131211

000

00

0

18

Page 19: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Prinsip Gauss

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

Mentransformasi sistem Ax = b menjadi Ux = y

U = Matriks segitiga atas

solusi x diperoleh dengan penyulihan mundur

444

33433

2242322

114131211

y][U, menjadi idieliminas

444434241

334333231

224232221

114131211

000

00

0

ba

baa

baaa

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

Sistem Persamaan Linier

Matriks Augmented Eliminasi Gaus Substitusi Balik

Operasi Baris Elementer

19

Page 20: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Proses Eliminasi Gauss

Proses Eliminasi terdiri dari: Pertukaran: urutan dua persamaan dapat ditukar karena

pertukaran tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir

Penskalaan: persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan nol, karena perkalian tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir

Penggantian: persamaan dapat diganti dengan selisih persamaan itu dengan gandaan persamaan lain. barisr = barisr – mp,rbarisp

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

20

Page 21: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Penyulihan Mundur

63

456

7472

20324

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

0dan1...,,2,1,1

kkkk

n

kj

jkjk

k annka

xab

x

34

)2(3)1(2)4(120

42

)2(4)1(77

16

))2(54(

23

6

1

2

3

4

x

x

x

x

21

Page 22: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Eliminasi Gauss:

Selesaikan sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

22

Page 23: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

15500

7120

5132

~

~

6260

7120

5132~

1132

3344

5132

226

3122

3

124

2

RRRR

RR

Jawaban Eliminasi Gauss :

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

Keterangan:

• R2 – 4/2R1 artinya elemen-elemen pada baris ke-2 dikurangi dengan duakali (4/2) elemen-elemen pada baris ke-1

12

)635(;2

2

)37(;3

5

15123

xxx

Pivot

Persamaan Pivot

23

Page 24: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Tata Ancang Pivoting

Jika pivot app=0, baris ke-k tidak dapat digunakan untuk mengeliminasi elemen pada kolom p, karena terjadi pembagian dengan nol

Solusi:

cari baris ke-k dengan akp 0 dan k > p

Pertukarkan baris p dengan baris k

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

24

Page 25: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Tata Ancang Pivoting :

Selesaikan sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

6482

963

22

321

21

321

xxx

xx

xxx

25

Page 26: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

3300

2240

2121

(*)

2240

3300

2121~

6482

9063

2121

23112

3

113

2

RRRR

RR

Jawaban Tata Ancang Pivoting :

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

Keterangan: Angka dalam kurung = pivot

1;1;33

3123

xxx

Tukar baris 2 dengan 3

Pivot = 0

26

Page 27: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Gauss Jordan 27

Variasi dari Metode Eliminasi Gauss Matriks A dieliminasi jadi Matriks Identitas Tidak diperlukan penyulihan mundur Solusinya didapat dari kolom vektor b hasil proses eliminasi

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

nnnn

n

n

b

b

b

baaa

baaa

baaa

100

010

001

2

1

4241

222221

111211

nn bx

bx

bx

22

11

:Solusinya

)(sbIxbAx

Page 28: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Ringkasan Eliminasi Gauss -Jordan

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

Sistem Persamaan Linier

Matriks Augmented Eliminasi Gaus-

Jordan Solusi

Operasi Baris Elementer

28

Page 29: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Gauss Jordan :

Selesaikan sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss-Jordan:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

29

Page 30: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

310020101001

~

5.0

)25.1(

31005.35.01075.225.101

)5/(~~

155005.35.01075.225.101

6~

5.1

62605.35.0105.25.05.11

)2/(

626071205.25.05.11

1)2(

14~

113233445.25.05.112/

113233445132

32

31

3

23

21

2

3

2

1

RR

RR

R

RR

RR

R

RR

RR

R

Jawaban Gauss Jordan :

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

3;2;1 321 xxx

30

Page 31: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Matriks Balikan

bAx

bAx

1

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

]|[]|[ 1J-G eliminasi AIIA

nn

n

n

nn

n

n

ppp

ppp

ppp

aaa

aaa

aaa

4241

22221

11211

4241

22221

11211

100

010001

100

010001

A I I A-1

31

Page 32: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Matriks Balikan :

Selesaikan sistem persamaan dengan metode Matriks Invers:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

32

Page 33: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Jawaban Matriks Balikan :

2.06.011001.02.05.001025.0025.0001

~

5.0

)25.1(

2.06.0110005.015.010075.0125.101

)5/(~~

13550005.015.010075.0125.101

6~

5.1

10126005.015.010005.05.05.11

)2/(

101260012120005.05.05.11

1)2(

14~

100132010344005.05.05.112/

100132010344001132

32

31

3

23

21

2

3

2

1

RR

RR

R

RR

RR

R

RR

RR

R

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

321

135

2.06.011.02.05.025.0025.0

3

2

1

x

x

x

33

Page 34: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Dekomposisi LU

nn

n

n

n

nnnnnnnn

n

n

n

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

000

00

0

1

01

0010001

333

22322

1131211

321

3231

21

321

3333231

2232221

1131211

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

bUxL

bAx

y

LUA

A L U

bLy

Maka

yUx

Misalkan

:

:

34

Page 35: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Dekomposisi LU...

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

nnnn

n

n

n

y

y

y

y

x

x

x

x

u

uu

uuu

uuuu

yUx

3

2

1

3

2

1

333

22322

1131211

000

00

0

nnnnn b

b

b

b

y

y

y

y

lll

ll

l

bLy

3

2

1

3

2

1

321

3231

21

1

01

0010001

nilai y1, y2, ..., yn diperoleh dengan teknik penyulihan maju

nilai x1, x2, ..., xn diperoleh dengan teknik penyulihan mundur

35

Page 36: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Metode Pemfaktoran

Metode LU Gauss

Metode Dolittle

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

36

Page 37: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Metode LU Gauss

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

Nyatakan A sebagai A = IA

Eliminasikan matriks A diruas kanan menjadi matriks segitiga atas U. Tempatkan faktor pengali mij pada posisi lij dimatriks I

Setelah proses Gauss selesai, matriks I menjadi L dan matriks A diruas kanan menjadi U

nnnnn

n

n

n

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

321

3333231

2232221

1131211

1000

010000100001

A I A

L U

37

Page 38: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Pemfaktoran LU Gauss

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

260120132~

132344132

122

3

124

2

RR

RR

URR

500120132

~260120132

226

3

11012001

32mL

Tempatkan faktor pengali m21 =4/2=2 pada posisi l21 Tempatkan faktor pengali m31 =-2/2=-1 pada posisi l31 Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A

131012001

LTempatkan faktor pengali m32 =6/-2 =-3 pada posisi l32

500120132

131012001

: LUAJadi

38

Page 39: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Contoh Dekomposisi LU Gauss:

Selesaikan sistem persamaan dengan metode Dekomposisi LU Gauss:

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

39

Page 40: Sistem Persamaan Linier Solusi Peersamaan Linier

Biometrika I - Matriks Agroteknologi © 2010 http://ilmutanah.unpad.ac.id

Sistem Persamaan Linier Metode Penyelesaian SPL

Tugas & Latihan

Peersamaan Linier

Jawaban Dekomposisi LU Gauss

Metode Grafis; Cramer

Eliminasi Gauss; Eliminasi Gauss-Jordan

Matriks Invers; Dekomposisi LU

135

,132344132

bA

500120132

U

Dari contoh pemfaktoran Eliminasi Gauss diperoleh:

131012001

L

135

131012001

3

2

1

y

y

y

bLy

15311

72335

3

2

213

12

321

21

1

yyy

yy

yyy

yy

y

157

5

500120132

3

2

1

x

x

x

yUx15

27

315

32

2

1

2

3

321

32

3

x

x

x

xxy

xx

x

Penyulihan maju

Penyulihan mundur

40