Benemérita Universidad

Autónoma de Puebla Facultad de Ingeniería

Colegio de Ingeniería Industrial

Estadística Industrial

Mtro. Héctor Eduardo De Cos Cholula

Trabajo Final: Cartas y Gráficas de Control

Alumno: Paul Cuellar Lobato

Matricula: 201219549

Lunes – Viernes 7:00 a 8:00 am

21 de Abril de 2014

Primavera 2014

CARTAS Y GRÁFICAS DE CONTROL

¿Qué son las Cartas de Control?

Son una herramienta estadística que nos permite conocer si un proceso dado se encuentra en

estado de estabilidad o control. También se definen como a las graficas cronológicas de los datos

del proceso de interés, que nos ayudan a entender, controlar, y mejorar los procesos. Las cartas de

control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos.

Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones

para el control del proceso. Estas enfocan la atención hacia las causas especiales de variación

cuando estas aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes.

Causas de Variabilidad

Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación natural del proceso.

Las causas especiales o atribuibles son por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del

operador, defectos en materias primas.

Se dice que un proceso está bajo control estadístico cuando presenta causas comunes únicamente.

Cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible. Cuando existen causas especiales el

proceso está fuera de control estadístico; las gráficas de control detectan la existencia de estas

causas en el momento en que se dan, lo cual permite que podamos tomar acciones al momento.

Ventajas del Uso de las Cartas de Control

Las principales aportaciones que genera el uso de una carta de control, principalmente en los

procesos de producción en las empresas y/o industrias son las siguientes:

Es una herramienta simple y efectiva para lograr un control estadístico.

El operario puede manejar las cartas en su propia área de trabajo, por lo cual puede dar

información confiable a la gente cercana a la operación en el momento en que se deben de

tomar ciertas acciones.

Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a las

especificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar con niveles

consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr ese nivel de

calidad.

Una vez que un proceso se encuentra en control estadístico, su comportamiento puede ser

mejorado posteriormente reduciendo la variación.

Al distinguir ente las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buena

indicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere de una

acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización.

¿Qué es un Grafico de Control?

Es la representación del comportamiento de los datos ordenados en el tiempo de un proceso, su

objetivo principal es detectar lo antes posible cambios en el proceso, donde se busca minimizar el

tiempo que transcurre desde que se produce un desajuste hasta que se detecta. Además lleva

consigo falsas alarmas, que son las observaciones de un proceso en estado de control

interpretadas erróneamente como señales de que en el proceso actúan causas especiales.

Las graficas de control de Shewhart son de dos tipos: gráficos de control por variables y gráficos

de control por atributos, dónde para cada uno de los gráficos, existen dos situaciones diferentes:

a) Cuando no existen valores especificados

b) Cuando existen valores especificados

Ventajas Gráficos de Control por Variables

Gráficos de Control por Atributos

Ventajas Significativas

Conducen a un mejor procedimiento de control.

Son potencialmente aplicables a cualquier proceso

Proporcionan una utilización máxima de la información

disponible de datos.

Los datos están a menudo disponibles.

Son rápidos y simples de obtener. Son fáciles de interpretar.

Son frecuentemente usados en los informes a la Gerencia.

Más económicas

Desventajas Significativas

No se entienden a menos que

se de capacitación; puede causar confusión entre los limites de especificación y los límites de

tolerancia.

No proporciona información detallada del control de características individuales.

No reconoce distintos grados de defectos en las unidades de producto.

Gráficos de Control Por Variables

El uso de este tipo de graficas de control, es recomendable usar para los siguientes casos:

I. Se introduce un nuevo proceso, modificaciones en el existente o se fabrica un nuevo

producto.

II. El proceso tiene problemas sistemáticos, no cumple con las tolerancias especificadas y es

necesario realizar un diagnóstico de fallas.

III. Se han utilizado graficas de control por atributos, pero el proceso esta fuera de control o

bajo control pero con una capacidad inadecuada.

IV. Procesos con especificaciones muy estrechas o se hacen cambios en las especificaciones

del mismo.

V. Se debe demostrar continuamente la estabilidad y capacidad del proceso.

En estas graficas la característica considerada sigue habitualmente siendo la distribución

normal N (x, s). Así, cuando el proceso está bajo control, el porcentaje de los artículos que se

encuentra en un intervalo de amplitud Ls correspondiente a (m ± Ls). Generalmente en un

gráfico se muestran la tendencia central y la dispersión. Para la tendencia central lo usual es

utilizar la media X y en la dispersión se utilizan los recorridos R (es frecuente que se utilice

rango en lugar de recorrido) o las desviaciones estándar S. Por eso tenemos las

combinaciones de graficas X-S y X-R.

Campos de Aplicación de las Graficas de Control para Variables

Grafico Descripción Campo de aplicación.

X - R

Medias y Rangos

Control de características individuales.

X - S

Medias y Desviación estándar.

Control de características individuales.

I

Individuales

Control de un proceso con datos variables que no pueden ser

muestreados en lotes o grupos.

Procedimiento para la Elaboración de Graficas de Control por Variables

Este tipo de graficas de control son únicamente los datos que se pueden medir, como la

temperatura, volumen, peso, etc. de un producto para así determinar la falla en un proceso y

poder mejorarlo. El procedimiento que lleva este tipo de graficas de control es el siguiente:

1. Definir la característica de calidad (variable) a medir.

2. Controlar condiciones de proceso. Eliminar todas las variables asignables.

3. Toma de muestras y tamaño de muestra. Tomar k muestras, que deben ser más de 25

muestras (k ≥ 25). El tamaño de muestra es el número de unidades que se van a tomar en

cada muestra (n). El tamaño de todas las muestras debe ser constante. Las muestras

deben tomarse a intervalos regulares de tiempo, y se van registrando los datos de cada una

en el mismo orden en que sean seleccionadas y medidas.

4. Hallar la línea central y los límites de control para la dispersión.

5. Hallar la línea central y los límites de control de la carta para la media.

6. Graficar y analizar. Se construyen las cartas a partir de muestras iniciales.

7. Si algún punto se sale de los límites, se elimina (mejor se eliminan las causas asignables

que le dieron lugar) y se recalcula. Para nuevas muestras se utiliza esta carta a menos que

se modifique.

8. Calcular la capacidad del proceso

9. Comparar el proceso con los límites de especificaciones.

10. Tomar acciones de acuerdo a los resultados.

Por lo general se analiza primero la carta de la dispersión pues el comportamiento de los

promedios y de los recorridos de cada muestra depende de la variabilidad estimada de las

piezas. Se deben atender los patrones de comportamiento que fueron señalados con

anterioridad. Si la carta de S o R está bajo control, la dispersión del proceso está estable y por

lo tanto se puede analizar la carta. Con la gráfica de medias se determina si el centro del

proceso está cambiando con el tiempo y si ese es el caso, entonces existen causas especiales

de variación que están ocasionando esos problemas.

Cálculos de los Límites de Control en las Graficas por Variables

Para calcular los límites o regiones de control se hace lo siguiente:

Considere una muestra aleatoria de tamaño n, X1, X2, …, Xn. Siendo los estadísticos de

orden: X(1), ≤ X(2) ≤ …. ≤ X(n).

Donde las funciones lineales de los estadísticos de orden, denominados L-estimadores, son

de la forma:

Utilizando la función anterior, los limites de control se calculan a partir de los valores

esperados y varianzas de las funciones usadas:

Por ejemplo, si T = X es la media maestral de una muestra aleatoria de tamaño n, donde Xj

~ N(µ, σ2), entonces:

Si T = X representa la línea central de una carta de control para la medida de localización

T = X, los limites 3σ son:

Sin embargo, si suponemos que un proceso se encuentra bajo control estadístico y por lo tanto

su distribución es N (µ, σ), si se extrae una muestra de tamaño n, y su media muestral se

encuentra comprendida fuera del intervalo comprendido entre:

y (llamados limites de control inferior y superior). Por el contrario si la

media muestral esta comprendida dentro del intervalo, el proceso no se encuentra bajo control

estadístico.

Para poder revertir esto, se necesita de la ayuda de otros tipos de gráficos o estadísticos, no

solo con el de la media muestral, todo esto para obtener mas información del comportamiento

del proceso, para ello se contempla lo siguiente: la dispersión de los valores de una población

se mide por su desviación típica σ y los estimadores muéstrales utilizados mas frecuentemente

son el recorrido R y la desviación típica muestral S. Para poder analizar estos gráficos en los

límites de control, es conveniente recordar algunas propiedades de los estadísticos que se van a

utilizar para un mejor entendimiento de los gráficos y los límites que se fijan en cada uno:

a) Rango o recorrido muestral (R): Diferencia entre el valor mayor presente y el valor menor.

b) Desviación típica muestra (S), ya que es un estimador sesgado:

Estos estadísticos se aplican al cálculo de los límites de control en los siguientes tipos de

graficas de control para variables:

GRÁFICO X - R

i. Caso µ, σ conocidos. Si µ y σ son conocidos entonces la construcción de su grafico de

medias es inmediato a partir de su definición:

Donde el cálculo de los límites

se hace de la siguiente

manera:

ii. Caso µ, σ desconocidos. Se debe estimar µ a partir de la media X y σ a partir del

recorrido medio R de k (muestra inicial).Donde el grafico seria a partir de X y R:

Donde los limites de control

serian:

Una vez establecidos los límites de control para los casos anterior en un grafico X-R, se deben

comprobar si alguna muestra esta fuera de los límites, y si es verdadero esto se tendrá que

recalcular los límites, por ejemplo cada 25 muestras.

GRAFICO X – S

iii. Caso µ, σ conocidos. Si µ y σ son conocidos entonces la construcción de la grafica es

análoga al caso anterior:

Cuando se utiliza s, los límites son: Pero si se utiliza s*, los límites serian:

iv. Caso µ, σ desconocidos. Se debe estimar µ a partir de la media de las medias y σ a

partir de la desviación típica muestral media de k muestras iníciales:

Si se utiliza s*, los límites

serian:

Pero si se utiliza S, los límites son: Sin embargo, utilizando S*, los límites serian:

EJEMPLOS DE GRÁFICAS DE CONTROL POR VARIABLES (X-R y X-S)

Ejemplo sobre un proceso

relacionado con el diámetro

de los cilindros en un motor:

Graficas de Control por Atributos

Las graficas de control por atributos en general son más económicas, más sencillas y tienen la

ventaja de que hacen posible considerar varias características de calidad al mismo tiempo que

permiten clasificar el artículo como disconforme si no satisface la especificación de cualquier de

ellas. En contraste, si se manejan las diversas características de calidad como variables,

entonces habrá que medir cada una de ellas y utilizar cartas independientes por variables para

cada una, o bien alguna técnica estadística multivariante que permita interpretar de manera

simultánea varias características. Cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada

de forma binaria: “cumple o no cumple”, “funciona o no funciona”, “pasa o no pasa”, etc., a los

efectos de control del proceso, será considerado como un atributo y para su control se utilizará

un gráfico de control por atributos. Los criterios de aceptación al utilizar gráficas de control por

atributos deben estar claramente definidos y el procedimiento para decidir si esos criterios se

están alcanzando es producir resultados consistentes a través del tiempo. Este procedimiento

consiste en definir operacionalmente lo que se desea medir. Una definición operacional

consiste en:

1. Un criterio que se aplica a un objeto o a un grupo

2. Una prueba del objeto o del grupo

3. Una decisión, sí o no: El objeto o el grupo alcanza o no el criterio.

Como ya se menciono anteriormente, las graficas de control por atributos tiene diferentes

campos de aplicación, los cuales son:

Campos de Aplicación de las Graficas de Control por Atributos

Carta Descripción Campo de aplicación.

P

Proporciones

Control de la fracción global de defectuosos de un proceso.

NP

Número de

defectuosos

Control del número de piezas defectuosas

C

Defectos por unidad

Control de número global de defectos por unidad

U

Promedio de defectos

por unidad

Control del promedio de defectos por unidad.

Gráfica P para la Fracción Global de

Defectuosas de un Proceso

Una grafica P muestra las variaciones en la

proyección de unidades no conformes de una

producción. Este caso surge cuando en cada

tiempo se selecciona una muestra de n artículos y

se cuenta el número de ellos no conformes (defectuosos). Se supone independencia de estos

artículos, con el objeto de usar la distribución binomial, o como ocurre frecuentemente, su

aproximación a la distribución normal.

Pasos para la Elaboración de la Grafica

1. Determinar la Frecuencia y el tamaño de la muestra

2. Calculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo

3. Calculo de porcentaje defectuoso promedio y límites de control

4. Trace la gráfica y analice los resultados.

Calculo de los Límites de Control (Grafico P)

Si p es conocido, entonces los límites de control 3σ son:

Por lo tanto los límites de control de la gráfica p serian:

En este tipo de grafica se pueden dar dos casos para calcular los límites de control, los cuales

son:

Grafica p con n constante, donde:

LC = p = Numero de artículos defectuosos / Numero total de artículos inspeccionados

Grafica p con n variable, donde si n no es constante, los

limites de control se pueden calcular así:

Y por lo tanto el valor de n es:

n = Total de inspeccionados / Total de subgrupos

Gráfica NP para el Número de Piezas

Defectuosas

La gráfica np es basada en el número de

defectuosos en vez de la proporción de

defectuosos. Los límites son calculados

mediante fórmulas. En ocasiones cuando el

tamaño del subgrupo o muestra es constante, es

más conveniente usar el tipo de grafica np.

Cálculo de los Límites de Control (Grafico NP)

Los límites de control para este tipo de grafica vienen

dados por la siguiente forma:

3020100

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Pro

po

rtio

n

P Chart for C1

1

1

P=0.2313

UCL=0.4102

LCL=0.05243

Gráfica C para el Número Global de Defectos por Unidad

Se utiliza para determinar la ocurrencia de

defectos en la inspección de una unidad de

producto. Esto es determinar cuantos defectos

tiene un producto. Podemos tener un grupo de 5

unidades de producto, 10 unidades, etc. Esta

grafica analiza la variabilidad del número de

defectos por subgrupo y es mejor que analizar el

porcentaje de objetos defectuosos.

Cálculo de los Límites de Control (Grafico C)

Los límites de control se obtienen suponiendo que el estadístico C, sigue una distribución de

Poisson, donde Ci es el número de defectos o eventos en el i-esimo subgrupo o muestra. Los

estimadores de la media y la varianza del estadístico son:

Y los límites de control

serian:

Gráfica U para el Promedio de Defectos

por Unidad

El diagrama se basa en el promedio de

defectos por unidad inspeccionada. Cuando

el número de artículos inspeccionados en

una unidad muestra n varia de unidad a

unidad, es mejor graficar la estadística.

Cálculo de los Límites de Control (Grafico U)

Se utiliza la siguiente formula: U = C / n, la cual representa el numero de artículos defectuosos

por unidad o articulo. Para este grafico el LC es U, el

numero de promedio de defectos por articulo. Y como:

La varianza de U se estima por:

Por lo tanto, los límites de control quedan como:

Reglas para la Detección de Procesos Fuera de Control

Para saber cuando un proceso esta fuera de control existen reglas capaces de detectar el

problema mediante las graficas de control de cualquier proceso, las cuales son:

Regla Descripción Probabilidad

1 Un punto esta fuera de los límites de control. 0.27%

2 De tres puntos consecutivos, dos o más están en una de las zonas

A (la misma).

0.15%

2’ Dos puntos consecutivos, están en una de las zonas A (la misma). 0.05%

3 Racha de cinco puntos en las que cuatro están en la misma zona

A o B.

0.27%

3’ Racha de cuatro puntos consecutivos que están en la misma zona

A o B.

0.06%

4 Racha de siete puntos consecutivos por encima de la línea central. 0.78%

4’ Racha de seis puntos consecutivos por encima de la línea central. 1.56%

4’’ Racha de ocho puntos consecutivos por encima de la línea central. 0.39%

5 Racha de seis puntos consecutivos se presentan de manera

monótona creciente.

0.14%

6 De diez puntos consecutivos, existe una racha de 8 que se

presentan de manera monótona creciente.

0.07%

6’ De nueve puntos consecutivos, existe una racha de 8 que se

presentan de manera monótona creciente.

0.02%

6’’ De nueve puntos consecutivos, existe una racha de 7 que se

presentan de manera monótona creciente.

0.42%

7 Dados dos puntos consecutivos, el segundo esta al menos cuatro

desviaciones t ípicas por encima del primero (por ejemplo, el

primero esta en la zona A inferior y el segundo en la B o A

superior).

0.23%

8 Racha de quince puntos en la zona C. 0.30%

9 Racha de catorce puntos alternativos ascendente descendente. ?

Las reglas anteriormente descritas, se pueden interpretar de la siguiente forma:

a) Reglas 1, 2, 3 ,3’, 4, 4’, 4’’ y 7. Si el grafico de medias presenta alguna de estas

indicaciones y el gráfico S o R no presenta anomalías, lo más probable es que el proceso

se encuentre desplazado. Si el gráfico S o R presenta también indicaciones, entonces es

proceso ha aumentado la variabilidad y posiblemente también se ha desplazado.

b) Reglas 5, 6, 6’, 6’’. Lo más probable es que el proceso este desplazándose.

c) Regla 7. Si el gráfico S o R no presenta anomalías, lo más probable es que el proceso sea

muy inestable en cuanto a su centrado. Si el gráfico S o R presenta también indicaciones,

entonces es probable que el proceso haya aumentado la variabilidad.

d) Regla 8. Puede ser síntoma de que se ha reducido la variabilidad del proceso si el gráfico S

o R también muestra una reducción de la variabilidad muestral. Si el gráfico S o R no

muestra una reducción de la variabilidad muestral, puede ocurrir que se estén mezclando

dos poblaciones distintas, siendo la distribución resultante bimodal (dos jorobas).

e) Regla 9. Es síntoma de inestabilidad del proceso.

Ejemplos de Graficas de Control para Cada Regla

Regla 1. Un punto esta fuera de los límites de control:

Regla 3. Racha de cinco puntos o más en la misma

zona C:

Regla 9. Racha de catorce puntos alternativos

ascendente descendente:

Regla 4’’. Racha de ocho puntos consecutivos por encima

y por debajo de la línea central:

Regla 8. Racha de quince puntos en la zona C:

¿Que es la Capacidad de Procesos?

Es un análisis de capacidad que evalúa la habilidad que tiene un proceso para producir

artículos que se ajusten a especificaciones preestablecidas, y que por lo tanto satisfagan los

requerimientos de los consumidores. Es decir, cuando un proceso esta en estado de control, a

la amplitud del intervalo de variabilidad de las observaciones individuales, se le denomina

capacidad. A partir de esto, se pueden realizar estudios de capacidad de proceso los cuales

tienen por objeto conocer: la distribución estadística que lo describe, el patrón de variabilidad

del proceso y principales factores relacionados con la variabilidad y por ultimo, comprender los

fenómenos físicos y tecnológicos importantes para el proceso.

Para la realización de un estudio de capacidad de procesos se realizan los siguientes pasos:

Comprender los fenómenos físicos y tecnológicos importantes para el proceso.

Definición de la estratificación de las medidas a tomar.

Estabilizar el proceso.

Toma de los datos.

Identificación del patrón de variabilidad.

Comprobación de la normalidad de los datos.

Cálculo de Capacidad de Proceso en un Papel Probabilístico Normal

Algunas ventajas de realizar este cálculo de la capacidad de proceso en un papel probabilístico

normal son:

Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como en el

histograma, 10 son suficientes

El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en intervalos de

clase como en el histograma.

Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la línea de

ajuste

Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso. Así como la

fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el Cpk.

Para calcular la capacidad de proceso se hace el siguiente procedimiento:

1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en

forma ascendente, asignándoles una posición ( j )

entre 1 y n.

2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la

fórmula siguiente: Pj = (j - 0.5) / n

3. En el papel especial normal se grafica cada punto

(Xj, Pj)

4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos

5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el proceso y se

procede a hacer las identificaciones:

La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5

La desviación estándar es la diferencia en Xj correspondiente a Pj = 0.5 y Pj = 0.84

Índices de Capacidad de Procesos

a) Índice Cp: Calcula lo que el proceso seria capaz de producir si

el proceso estuviera centrado, donde supone que el resultado

del proceso sigue una distribución normal. Cabe mencionar que

este índice se refiere a la capacidad que tiene todo proceso de

producir piezas de acuerdo a las especificaciones, es decir,

dentro de los límites de tolerancia establecida, y para ello es

necesario contar con suficientes muestras.

Cálculo del Índice Cp

Se utiliza la siguiente formula: Cp = Ancho de Especificaciones / Ancho del Proceso

Donde Cp es la capacidad del proceso, LST es el límite superior de tolerancia, LIT es el

límite inferior de tolerancia y σ es la desviación típica (sigma). Además se considera lo

siguiente:

Cp < 1 es inaceptable

1 < Cp < 1.33 es marginal

Cp > 1.33 es capacidad potencial adecuada

b) Índice Cpk: Calcula lo que el proceso es capaz de producir si

el objetivo del proceso esta centrado entre los limites de la

especificación. En caso de que la media del proceso no este

centrada, Cp, sobreestima la capacidad del proceso. Cpk < 0

si la media del proceso se sitúa fuera de los limites de

especificación y supone el resultado mediante la distribución

normal.

Cálculo del Índice Cpk

Se utiliza la siguiente formula: Cpk = Distancia de la media al limite de tolerancia mas

ajustado / Semicapacidad del Proceso

, = min (Cpl, Cpu)

Donde LST es el límite superior de tolerancia, LIT es el límite inferior de tolerancia, µ es la

media estimada del proceso y σ es la variabilidad estimada del proceso. Además cabe

resaltar la siguiente afirmación:

Cpk = Cp si el proceso esta centrado

La relación entre los índices Cp y Cpk es:

Cpk = (1 - k) Cp

c) Índice Cpu: Este índice se usa cuando el proceso solo tienen un límite de especificación

superior. Es mu útil cuando la especificación de la variable solo se expresa como un

máximo o como un mínimo, para indicar a un analista en que sector de la especificación

(superior o inferior) se presenta mas riesgo de incumplimiento de los valores establecidos.

Cálculo del Índice Cpu

Se utiliza la siguiente formula:

Donde LST es el límite superior de tolerancia, µ es la media estimada del proceso y σ es la

desviación típica (sigma).

d) Índice Cpl: Este índice se ocupa cuando el proceso solamente tiene un límite de

especificación interior. Solo evalúa la mitad de la distribución de los datos teniendo en

cuenta solo 3σ y ayuda a indicar a un analista en que sector de la especificación existe

mayor riesgo de incumplimiento de los valores establecidos.

Cálculo del índice Cpl

Se utiliza la siguiente formula:

Donde LIT es el límite inferior de tolerancia, µ es la media estimada del proceso y σ es la

desviación típica.

CONCLUSIONES

Las graficas de control son herramientas de gran ayuda para los procesos de producción y de

calidad de cualquier tipo de producto, ya que nos ayudan a identificar cualquier tipo de error en

la producción o de alguna especificación que no va de acuerdo al producto, por ello este tipo de

graficas nos ayudan a analizar las muestras y así poder realizar análisis estadísticos y

matemáticas para saber en que esta fallando nuestro proceso y como mejorarlo. Las graficas

de control nos llevan a representar la información que se obtuvo en una grafica que representa

los limites de control, así como la variación que tienen las muestras a cada determinado lapso

de tiempo, todo esto para facilitar la localización de la falla o error en la producción del

producto, y esto puede ser en el tamaño, volumen, temperatura, o cualquier otra especificación

en el producto, así como de generar posibles soluciones a estos problemas. En cuanto a los

índices de capacidad también son de gran ayuda para los procesos, ya que nos ayudan a

determinar los errores o alteraciones que hay en la producción o desarrollo y nos ayudan

principalmente a mantener un proceso bajo control, esto va relacionado con la calidad y la

producción, que para los ingenieros industriales es fundamental dominar estas áreas.

BIBLIOGRAFIA

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