Geometría

Página 362

SEMANA 2

TRIÁNGULOS I

1. En la figura, calcule el valor de “x”

2 2

100°

x

A) 40° B) 45° c) 50° D) 60° E) 80°

RESOLUCIÓN

De la figura:

100°

x°

2 2

P

B

AC

APC: 2 + 2 + 100 = 180°

+ = 40°

Luego:

: + +x = 100°

40 +x = 100 x = 60°

RPTA.: D

2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”

a

b

c

2xº

A) 10º B) 20º C) 30º

D) 40º E) 22º 30´

RESOLUCIÓN Si: a + b + c = 130°

a°

b°c°

2x°

x°3x°2x°

Propiedad del cuadrilátero: a + b = 2x + 90º .................e a b c 2x 90º

130º = 2x + 90º

2x = 40º RPTA.: D

3. En el gráfico: ABC es equilátero

y

1 2L //L . Calcule: “x”.

A C

B

L1

L2

x

x

A) 100º B) 98º C) 105º D) 120º E) 110º

RESOLUCIÓN

El ABC es equilátero:

A C

L1

L2

B

60°

30°30°

180°-x°

x°

x°

x°

60°

(30°) + (180° -x°) = x° 210° = 2x°

x° = 105°

RPTA.: C

Geometría

Página 363

4. Calcule el valor de “” , si AB= BC

y AC=CE=ED.

A

3

C D

B

E

A) 10º B) 15º C) 12º D) 18º E) 24º

RESOLUCIÓN

A

3

3

4 2 2

4

B AC = CE = ED AB = BC

E

C D

ACE:

180244

10 = 180°

= 18° RPTA.: D

5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de

modo que AC=AD, mADC=80º y

mBCD=15º. Calcule la mBAD.

A) 15º B) 20º C) 35º D) 45º E) 55º

RESOLUCIÓN

A

B

AB = BCAC= AD

D

Cx

20°

80°

65°

15°

En el ABC

x + 20° = 65°

x = 45° RPTA.: D

6. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo

equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:

A

B

CF

D

Eb°

c°

a°

A) 2

cba

B) a-b-c = 0

C) 2

cab

D)

2

cba

E) 2

cab

RESOLUCIÓN

A

B

CF

DEb°

c°

a°

60°

60°

60°

Como el DEF es equilátero se cumple:

60° + b = +a .............. ( 1)

+c = 60 + a .............. ( 2)

De (1) a (2) 2

cba

RPTA.: D

Geometría

Página 364

7. En la figura se cumple:

x+ y + z = 360°; siendo x ; y,

z; números enteros . Calcule: x+y+z

m

m

n

n

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

RESOLUCIÓN

mm

n

nc

n

m

A

D

B

E Se cumple:

m + n + + = 360° ...... ( 1 )

m +n = + ................ ( 2 ) ( 2) en (1)

1 + 1 + 2 = 360°

x + y + z = 4 RPTA.: C

8. En la figura, calcule x + y,

si: m + n = 150º

A) 150° B) 200° C) 225° D) 255° E) 270°

RESOLUCIÓN

1) x = 90º + n

2

2) y = 90º + m

2

3) suma x + y = 180 + n m

2

...(I)

4) Dato: m + n = 150º ...........(II) 5) (II) en (I)

x + y = 180 + 150º

2

x + y = 180 + 75º

x + y = 255º RPTA.: D

9. En un triángulo ABC, se traza la

bisectriz interior BF que resulta ser

igual al lado AB. Si la mC = 15º.

Calcule la mABF.

A) 50º b) 30º C) 45º D) 70º E) 60º

RESOLUCIÓN

B

x

x+15º x+15º

x

15ºA F

C

ABF : x+x+15º +x+15º = 180º 3x = 150º x = 50º

RPTA.: A

10. En la figura AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB

Calcule la medida del ángulo ABC. A

E

D F BC

A) 15º B) 18º C) 30º

D) 36º E) 20º

y

nm

x

Geometría

Página 365

RESOLUCIÓN

Completando ángulos:

mBAC = mACB = 4x

mDAC = x A

X

X

X4x

3x

3x

2x 2x4x

E

D F BC

ACD : 4x + 4x + x = 180º x = 20º

RPTA.: E

11. En la figura mostrada, calcule “x”.

X

5 53 3

30º

A) 60º B) 40º C) 80º D) 70º E) 50º

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

exterior:

8 + x = 8

x = 8( - )

3 + 30º = 3

- = 10º

x = 80º RPTA.: C

12. En la figura, calcule “x”:

3

3

x

40°

A) 8° B) 15° C) 12° D) 18° E) 10°

RESOLUCIÓN

4 + 4 = 40º +180º

+ = 55º

3 + 3 = x = 180º 3. 55 + x = 180º

x = 15º

RPTA.: B

13. En la figura, calcule: "x", si:

=20°.

A

BD

C

Ex

50°

A) 30° B) 40° C) 50° D) 45° E) 35°

RESOLUCIÓN Dato-=20°……….(1)

ABC: Propiedad: mB=100° Luego:

=80°

=40° ……………(2)

Ec.(1) + Ec.(2):

2

=30° y =10°

x = = 30° + 2(10°) = 50°

RPTA.: C

Geometría

Página 366

14. En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.

A

10a

X

b8

B

D

C

A) 20 B) 21 C) 22

D) 26 E) 25

RESOLUCIÓN

Dato: a + b = 36

ABC : x < 10 +a .................. ( I)

ACD : x < 8 + b .................. ( II) (I) +(II) 2x < 10 +8 +a+b

2x < 54 x < 27

xmax = 26 RPTA.: D

15. En la figura, calcule: “x”.

x

x

x x

x

A) 144º B) 150º C) 136º D) 160º E) 120º

RESOLUCIÓN

x + = 180º x =180º -

x

x xx

2 2

x

2 +2 + = 5 = 180º

= 36º

x = 180º - 36º = 144º RPTA.: A

16. Calcule “x” sabiendo que es entero,

AB = AE = CD

A) 82º B) 83° C) 84° D) 85° E) 86°

RESOLUCIÓN

1) EPD, m AEP = x + 4º

2) ABE isósceles m AEB = m ABE = x + 4º

m BAE = 180º 2(x + 4º) ....(I)

3) x + 4º < 90º x < 86º ...............................(II)

D4º

CB

EA

X

D4º

CB

EA

xº

=

==

x+4º

x+4º

180º-2(x+4º)

P

Geometría

Página 367

4) ACD a mayor lado se opone mayor ángulo

180º 2(x+4º) < 4º 84º< x ................................(III) 5) De (II) y (III)

84º < x < 86º x = 85º

RPTA.: D

17. Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.

A) 62º B) 82º C) 88º D) 92º E) 98º

RESOLUCIÓN

1) 2x y + x + y + y x = 180 2x + y = 180

y = 1802x ......(I) 2) En A:

2xº yº > 0º (no existe ángulo negativo)

2xº > yº ........................(II) 3) (I) en (II)

2xº > 180º 2xº 4xº > 180º xº > 45º

4) El mínimo valor entero de “x” es 46º

x = 46º ......... (III)

5) (III) en (I)

yº = 180º 2(46º) yº = 88º

RPTA.: C

18. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz

interior CP intersectandose en “O” . Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de

AD , si AC toma su mínimo valor

entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC.

A) 20 B) 21 C) 23

D) 25 E) 27

RESOLUCIÓN

A C

D

B

PH

O

4 12

13

15X

Del gráfico: > 90º (obtuso)

AOC: 12 < AC < 16

ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12²

ADC:

2 < x < 28

xmax = 27

RPTA.: E

19. En un triángulo ABC, S y R son

puntos que pertenecen a AB y BC

respectivamente. Si : AC=AS=RC,

mSAR=10° y mRAC=50°.

Calcule mSRA.

A) 20° B) 30° C) 40° D) 25° E) 15°

RESOLUCIÓN

Se une S y C ASC equilátero

SRC isósceles

y - xC

2x - y

x + y

B

A

Geometría

Página 368

A

B

RS50°

50°

10° 20°60°

x

C

x + 50° = 80°

x = 30° RPTA.: B

20. Se tiene un triángulo equilátero

ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si:

mCBD - m DAC = 30° y

mADC=10°.

Calule: mCAD.

A) 5° B) 10° C) 15° D) 18° E) 20°

RESOLUCIÓN

60°-x

60°

60°

30°

10°

x+30°

xA

B

C

D

Como la m BDA = 30° es la

mitad de la m ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB ,

entonces:

AC = CB = CD

mCBD = mCDB

x+30° = 40° x = 10°

m CAD = x = 10°

RPTA.: B