Trigonometría

Página 129

4

15

1

SEMANA 7

RELACIONES

TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS EN POSICIÓN

NORMAL

1. Si: 2 1cos , IVC

16

Calcule: sec csc

M1 ctg

A) 15

4 B)

1

4 C)

15

4

D) 1

4 E) 4

RESOLUCIÓN

1

cos4

IVC

sec csc sec cscM M

1 ctg 1 ctg

4 4

1 15M1

115

14 1

5M

11

5

M 4

RPTA.: E

2. De la figura mostrada, determine: M tan tan

A) 1

3

B) 2

3

C) 1

D) 2

E) 3

RESOLUCIÓN

3

tan2

3 3

tan2 2

tan tan 3

RPTA.: E

3. Se tiene un ángulo“ ” en posición

normal que verifica las siguientes

condiciones:

i) cos cos

ii) tg tg

iii) 5

sen3

determine el valor de:

M 5.csc 9cos

A) -11 B) -10 C) -9

D) -8 E) -6

y

x

(-3;2)

+ -

(-3;2)

2

3

(-2;-3)

Trigonometría

Página 130

RESOLUCIÓN i) cos 0

ii) tan 0

iii) 5 5

sen sen ; III3 3

Luego: y 5 , r =3 x= -2

3 2

M 5 9 3 6 935

RPTA.: C

4. Si: ctg 2,4 csc 0; sabiendo

además que " " es un ángulo en

posición normal halle:

1

P 2sen cos4

A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2

RESOLUCIÓN * csc 0

* 24

ctg 2,4 10

2 2x 12 12x y 13

y 5 5

* 1

P 2sen cos ?4

y 1 x

P 2r 4 r

5 1 12

P13 4 13

P 1

RPTA.: A

5. Halle “n” del gráfico, si

ctg 0,333...

A) 1

B) 2

C) -2

D) 1

2

E) 1

2

RESOLUCIÓN Piden; n = ?

Dato: ctg 0,333...

x

0,3y

n 1 3

4n 1

9

3(n 1) 4n 1

3n 3 4n 1

n 2

RPTA.: C

6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al

lado final de un ángulo “” en posición normal. Calcule :

2 213 sen cos ;m 0

xO

y

P(n-1;4n-1)

IIIC

(-)

(+)

" " IIIC

y=-5(x,y)

x= -12

o

r = 13

Trigonometría

Página 131

A) -5 B) 5 C) 1

5

D) 1

5 E) 0

RESOLUCIÓN

Sabemos:

2 2r x y r m 13

Piden:

2 213 Sen Cos ?

2 2y x

13r r

3m

13

m

2

2m

13

m

2

13

5

RPTA.: B

7. Si: 5

tg2

sen 0

Halle:

29E csc cos 29 ctg

4

A) 3 29

10 B)

7 29

10

C) 29

10 D)

11 29

10

E) 3 29

10

RESOLUCIÓN

5

tg2

3er. C.

5

sen29

2

cos29

Se pide:

29 29 2 2

E 295 4 529

11 29

E10

RPTA.: D

8. Si “b” es un ángulo de 4to

cuadrante y 24

cosb25

, halle:

V 5senb 6tgb 12secb

A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35

D) 9,35 E) 8,35

RESOLUCIÓN

24

cosb ;25

b 4to C.

7

senb25

7

tgb24

Se pide:

7 7 25

V 5 6 1225 24 24

V 9,35

RPTA.: D

9. Si Ctg

Ctg 22 2

y III C

Halle: G 17 sen cos

o L.I.x = 2m

y = -3m

rm

13

L.F.

(2m; -3m)x y

529

2

257

b

24

Trigonometría

Página 132

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

1Ctg

Ctg 2 22 2

1

ctg 2 ctg2

ctg 4 III C

E 17 sen cos

1 4

E 17 E 317 17

RPTA.: B

10. Si: cos

26 4 4sen sen

Además IV cuadrante.

Halle: 1

A sec tg8

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

12 cos424sen sen

1

cos3

IVC

1

A sec tg2 2

3 1 2 2

A1 12 2

A = 3 - 1

A = 2 RPTA.: B

11. Si: 1

sen ; tg 02

Halle:

H csc 3 ctg

A) 1 B) 5 C) 4 D) -1 E) 3

RESOLUCIÓN

1

sen ;2

sen 0 II, I C

1

sen ;2

tg 0

II C

E csc 13 ctg

2 3

E 31 1

E 2 3

E= -1 RPTA.: D

(-4;-1)

17

-1

-4

1

3 2 2

21

3

Trigonometría

Página 133

12. Del gráfico calcule “ cot ”

A) 3

7 B)

4

7 C)

5

7

D)3

7 E)

4

7

RESOLUCIÓN

ctg 90º ctg

tg ctg

4ctg

7

RPTA.: E

13. Del gráfico calcule:

E 25sen tg

A) 1 B) 3 C) 5

D) 7 E) 9

RESOLUCIÓN

E 257

25

8

4

E 7 2 9

RPTA.: E

14. Siendo “ y ” son las medidas

de dos ángulos en posición

normal, tal que: 360º ,

90º 180º

Calcule: cos cos

Esen sen

Dado que: 1

tg2

A) 1

2 B)

1

2 C) 2

D) 2 E) -1

y

x

53º

y

x

(24; 7)

(-4; -8)

3k

53º

4k

5k

5k37º

4k

3k53º

4 7;

x y

x

24

725

-4

-8

Trigonometría

Página 134

RESOLUCIÓN

f f

Si: tg = 1

2

ctg = 2

cos cos 2

E Esen sen

cos

2

sen

E ctg E 2

RPTA.: D

15. Si los puntos P (m, n + 1) y

Q (n, m + 1) pertenecen al lado

final de un ángulo “ ” en posición

normal:

Además: n = 2m Calcular:

2V ctg csc sen cos

A) 1

2 B) -1 C)

2

2

D) 2

2 E) -2

RESOLUCIÓN

P(m,n 1),Q n,m 1 Lf

n 1 m 1

n(n 1) (m 1)mm n

Como:

n 2m 2m 2m 1 m 1 m

14m 2 m 1 m

3

2

n3

1 1

P( )3 3

II C

2V ctg csc sen cos

2V ctg csc sen cos

1 1

V 1 22 2

1

V 12

1

V2

RPTA.: A

16. Siendo “ ” y " " dos ángulos

positivos del IC y menores de una vuelta para los cuales se cumple que:

Cos 2 0

Halle el valor de:

5sen 3cosk

5cos 3sen

A) sen B) 2 C) cos

D) 4 E) 1

RESOLUCIÓN

cos 2 0 2 90º

y IC

5sen 90º 3cosk

5cos 3sen 90º

5cos 3cos

k5cos 3cos

8cos

k k 42cos

RPTA.: D

y

x1

2

1

Trigonometría

Página 135

17. Si: ABCD es un cuadrado, del

gráfico, calcule: ctg AD OB

A) 2

2 B) 1 C)

1

2

D) 2 1 E) 2 1

RESOLUCIÓN

ctg ctg , 2 45º 180º

135º

2

0135

ctg ctg2

045

ctg tg2

ctg 2 1

Si:

045

tg 2 12

RPTA.: E

18. En la figura AOB es un cuarto de circunferencia.

Halle: "tg "

A) 1 B) 7

24 C)

7

24

D) 24

7 E)

24

7

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

Rayado (T. de Pitágoras):

2 2 2

a 3k a 4k

2a 2 26ak 9k a 216k

CB

A D

xo

y

y

x

A

B o

53º

x

y

a

a

a

45º

a y

x

A

3k o

53º

a +

3k4k

a

y=4k

7kx=-a=-

6

5k

(x;y)

37º

4k

Trigonometría

Página 136

6ak 27k

7k

a6

y 4k 24

tg7kx 7

6

RPTA.: E

19. Halle: Ctg

A) 1 3 B) 3 1

C) 2 1 D) 1

E) 1

3

RESOLUCIÓN

3 1

Ctg1

Ctg 3 1

RPTA.: A

20. Halle: ctg

A) 5

4 B)

5

4 C)

3

4

D) 7

4 E)

1

4

RESOLUCIÓN

x

Ctgy

7

Ctg4

RPTA.: D

21. Si: ABCD es un cuadrado. Halle: M=4ctg -tg

60º

Y

Xo

37º

x

C

BB

D

37º

60º

22

2

30º

3 1

1

(- 3 1; 1)

37º

(-7;4)x y

4

4

4 3

4

x

y

Trigonometría

Página 137

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

M 4ctg tg

M 41

4

4

1

M 1 4 M 3

RPTA.: C

22. Determinar el menor de dos

ángulos coterminales, si la suma

de ellos es 1320º y el mayor está

comprendido entre 900º y 1200º.

A) 100º B) 140º C) 240º

D) 300º E) 420º

RESOLUCIÓN Sean:

: Coterminales:

2n ,n …………………..(1)

360º n

Dato: 1320º ……………… (2)

900º 1200º …………….. (3)

(1) + (2):

2 1320º 360ºn

660º 180ºn

En (3)

900º 660º 180ºn 1200º

1, 3 < n <3 n=2

Luego: 1020º 300º

RPTA.: D

23. Dos ángulos coterminales que

están en relación de 2 a 7 la

diferencia de ellos es mayor que

1200º pero menor que 1500º.

Halle los ángulos.

A) 1400º y 576º

B) 2130º y 576º

C) 2016º y 576º

D) 1080º y 576º

E) 720º y 216º

RESOLUCIÓN

2

7

2k

7k

5k

1200 5k 1500

5k 4 360 1440

k 288

576

2016

RPTA.: C

BB

4 4

3 1

37º

P(-1;4)

Trigonometría

Página 138

24. Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a

los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está

comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos.

A) 1880º B) 1860º C) 1680º

D) 1660º E) 1200º

RESOLUCIÓN

* Sean “” y “ ” ( > ) las

medidas de los 2 ángulos coterminales, luego:

360º n ….......(i); "n"

* 5

2

… (ii)

(ii) en (i):

5k - 2k = 360º x n k = 120ºx n

”k” en (ii): ...(iii)

* 1000º < < 1700º 1000º<600º

x n < 1700º n= 2 ”n” en (iii) :

+ = 1680º

RPTA.: C

25. Dada la ecuación:

cos 1 1 cos 1 sen

Halle “ ”; si cada uno de ellos

es un ángulo cuadrantal, positivo

y menor a una vuelta.

A) 720º B) 90º C) 180º D) 270º E) 360º

RESOLUCIÓN * “ ”y“ ” son ángulos cuadrantales

0º 360º y0º 360º

90º ;180º;270º

90º, 180º ; 270º

Probando en la condición:

cos 1 1 cos 1 sen

cos 1 0 cos 1 180º

1 sen 0 sen 1 90º

270

RPTA.: D

26. Si 1 1 1

sen ....3 15 35

ycos 0

“n términos”

Calcular el valor de:

n 1

M tan (sec )3n 1

A) -1 B) 1

2 C) 1

D) 2 E) 2

RESOLUCIÓN

1 1sen 1

2 3

1

3

1

5

1

5

1

7

1...

2n 1

1

2n 1

ESTE TÉRMINO

NO SE ANULA

1 11

2 2n 1

1 2n n x

sen cos 02 2n 1 2n 1 r

5k

2k

600º n

240º n

1200º

480º

Trigonometría

Página 139

IIIC

x n

y n 1 3n 1

r 2n 1 Luego:

2n 1n 1 n 1 3n 1M

n n3n 1

n 1 2n 1 n

M 1n n n

RPTA.: A

27. En la figura mostrada “ O” es el

centro de la circunferencia y

además:OA AB BC , determine:

M cot 10tg

A) -1 B) 0 C) 1

2

D) 2 E) 3

RESOLUCIÓN

5rcot 5

5r

2 2r 2tg

4r 2

Luego:

2M 5 10 5 5

2

M 0

RPTA.: B

28. Si la expresión:

M 2 4 es real,

Calcule: R sen tg cos ;

cuando “ ” es un ángulo

cuadrantal.

A) -2 B) -1 C) 0

D) 1 E) 2

RESOLUCIÓN

ABC

x

y

o

( 5; 5r)

r

3r

rr

2 2r

5r 3r

( 4r; 2 2r)

2

4

Trigonometría

Página 140

Si “M” es real:

2 0 4 0 2 4

2 4

y como es cuadrantal:

Luego: R sen tan cos

R 1 RPTA.: B

29. Sea un ángulo positivo menor

que una vuelta cuyo lado final no

cae en el IC, y otro ángulo

180º,0º con el cual se

verifica:

21 cos tan

Determine el valor de:

tg sen

M2 sen

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

RESOLUCIÓN Si:

21 cos tan cos 0

90º 180º;0

tan 1 225º IC

Luego:

tan 225º sen( 90º) 1 1M 0

2 sen225º 22

2

RPTA.: A