Geometría
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SEMANA 2
TRIÁNGULOS I
1. En la figura, calcule el valor de “x”
2 2
100°
x
A) 40° B) 45° c) 50° D) 60° E) 80°
RESOLUCIÓN
De la figura:
100°
x°
2 2
P
B
AC
APC: 2 + 2 + 100 = 180°
+ = 40°
Luego:
: + +x = 100°
40 +x = 100 x = 60°
RPTA.: D
2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”
a
b
c
2xº
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 22º 30´
RESOLUCIÓN Si: a + b + c = 130°
a°
b°c°
2x°
x°3x°2x°
Propiedad del cuadrilátero: a + b = 2x + 90º .................e a b c 2x 90º
130º = 2x + 90º
2x = 40º RPTA.: D
3. En el gráfico: ABC es equilátero
y
1 2L //L . Calcule: “x”.
A C
B
L1
L2
x
x
A) 100º B) 98º C) 105º D) 120º E) 110º
RESOLUCIÓN
El ABC es equilátero:
A C
L1
L2
B
60°
30°30°
180°-x°
x°
x°
x°
60°
(30°) + (180° -x°) = x° 210° = 2x°
x° = 105°
RPTA.: C
Geometría
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4. Calcule el valor de “” , si AB= BC
y AC=CE=ED.
A
3
C D
B
E
A) 10º B) 15º C) 12º D) 18º E) 24º
RESOLUCIÓN
A
3
3
4 2 2
4
B AC = CE = ED AB = BC
E
C D
ACE:
180244
10 = 180°
= 18° RPTA.: D
5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de
modo que AC=AD, mADC=80º y
mBCD=15º. Calcule la mBAD.
A) 15º B) 20º C) 35º D) 45º E) 55º
RESOLUCIÓN
A
B
AB = BCAC= AD
D
Cx
20°
80°
65°
15°
En el ABC
x + 20° = 65°
x = 45° RPTA.: D
6. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo
equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es:
A
B
CF
D
Eb°
c°
a°
A) 2
cba
B) a-b-c = 0
C) 2
cab
D)
2
cba
E) 2
cab
RESOLUCIÓN
A
B
CF
DEb°
c°
a°
60°
60°
60°
Como el DEF es equilátero se cumple:
60° + b = +a .............. ( 1)
+c = 60 + a .............. ( 2)
De (1) a (2) 2
cba
RPTA.: D
Geometría
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7. En la figura se cumple:
x+ y + z = 360°; siendo x ; y,
z; números enteros . Calcule: x+y+z
m
m
n
n
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
RESOLUCIÓN
mm
n
nc
n
m
A
D
B
E Se cumple:
m + n + + = 360° ...... ( 1 )
m +n = + ................ ( 2 ) ( 2) en (1)
1 + 1 + 2 = 360°
x + y + z = 4 RPTA.: C
8. En la figura, calcule x + y,
si: m + n = 150º
A) 150° B) 200° C) 225° D) 255° E) 270°
RESOLUCIÓN
1) x = 90º + n
2
2) y = 90º + m
2
3) suma x + y = 180 + n m
2
...(I)
4) Dato: m + n = 150º ...........(II) 5) (II) en (I)
x + y = 180 + 150º
2
x + y = 180 + 75º
x + y = 255º RPTA.: D
9. En un triángulo ABC, se traza la
bisectriz interior BF que resulta ser
igual al lado AB. Si la mC = 15º.
Calcule la mABF.
A) 50º b) 30º C) 45º D) 70º E) 60º
RESOLUCIÓN
B
x
x+15º x+15º
x
15ºA F
C
ABF : x+x+15º +x+15º = 180º 3x = 150º x = 50º
RPTA.: A
10. En la figura AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB
Calcule la medida del ángulo ABC. A
E
D F BC
A) 15º B) 18º C) 30º
D) 36º E) 20º
y
nm
x
Geometría
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RESOLUCIÓN
Completando ángulos:
mBAC = mACB = 4x
mDAC = x A
X
X
X4x
3x
3x
2x 2x4x
E
D F BC
ACD : 4x + 4x + x = 180º x = 20º
RPTA.: E
11. En la figura mostrada, calcule “x”.
X
5 53 3
30º
A) 60º B) 40º C) 80º D) 70º E) 50º
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
exterior:
8 + x = 8
x = 8( - )
3 + 30º = 3
- = 10º
x = 80º RPTA.: C
12. En la figura, calcule “x”:
3
3
x
40°
A) 8° B) 15° C) 12° D) 18° E) 10°
RESOLUCIÓN
4 + 4 = 40º +180º
+ = 55º
3 + 3 = x = 180º 3. 55 + x = 180º
x = 15º
RPTA.: B
13. En la figura, calcule: "x", si:
=20°.
A
BD
C
Ex
50°
A) 30° B) 40° C) 50° D) 45° E) 35°
RESOLUCIÓN Dato-=20°……….(1)
ABC: Propiedad: mB=100° Luego:
=80°
=40° ……………(2)
Ec.(1) + Ec.(2):
2
=30° y =10°
x = = 30° + 2(10°) = 50°
RPTA.: C
Geometría
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14. En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.
A
10a
X
b8
B
D
C
A) 20 B) 21 C) 22
D) 26 E) 25
RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 36
ABC : x < 10 +a .................. ( I)
ACD : x < 8 + b .................. ( II) (I) +(II) 2x < 10 +8 +a+b
2x < 54 x < 27
xmax = 26 RPTA.: D
15. En la figura, calcule: “x”.
x
x
x x
x
A) 144º B) 150º C) 136º D) 160º E) 120º
RESOLUCIÓN
x + = 180º x =180º -
x
x xx
2 2
x
2 +2 + = 5 = 180º
= 36º
x = 180º - 36º = 144º RPTA.: A
16. Calcule “x” sabiendo que es entero,
AB = AE = CD
A) 82º B) 83° C) 84° D) 85° E) 86°
RESOLUCIÓN
1) EPD, m AEP = x + 4º
2) ABE isósceles m AEB = m ABE = x + 4º
m BAE = 180º 2(x + 4º) ....(I)
3) x + 4º < 90º x < 86º ...............................(II)
D4º
CB
EA
X
D4º
CB
EA
xº
=
==
x+4º
x+4º
180º-2(x+4º)
P
Geometría
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4) ACD a mayor lado se opone mayor ángulo
180º 2(x+4º) < 4º 84º< x ................................(III) 5) De (II) y (III)
84º < x < 86º x = 85º
RPTA.: D
17. Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.
A) 62º B) 82º C) 88º D) 92º E) 98º
RESOLUCIÓN
1) 2x y + x + y + y x = 180 2x + y = 180
y = 1802x ......(I) 2) En A:
2xº yº > 0º (no existe ángulo negativo)
2xº > yº ........................(II) 3) (I) en (II)
2xº > 180º 2xº 4xº > 180º xº > 45º
4) El mínimo valor entero de “x” es 46º
x = 46º ......... (III)
5) (III) en (I)
yº = 180º 2(46º) yº = 88º
RPTA.: C
18. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz
interior CP intersectandose en “O” . Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de
AD , si AC toma su mínimo valor
entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC.
A) 20 B) 21 C) 23
D) 25 E) 27
RESOLUCIÓN
A C
D
B
PH
O
4 12
13
15X
Del gráfico: > 90º (obtuso)
AOC: 12 < AC < 16
ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12²
ADC:
2 < x < 28
xmax = 27
RPTA.: E
19. En un triángulo ABC, S y R son
puntos que pertenecen a AB y BC
respectivamente. Si : AC=AS=RC,
mSAR=10° y mRAC=50°.
Calcule mSRA.
A) 20° B) 30° C) 40° D) 25° E) 15°
RESOLUCIÓN
Se une S y C ASC equilátero
SRC isósceles
y - xC
2x - y
x + y
B
A
Geometría
Página 368
A
B
RS50°
50°
10° 20°60°
x
C
x + 50° = 80°
x = 30° RPTA.: B
20. Se tiene un triángulo equilátero
ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si:
mCBD - m DAC = 30° y
mADC=10°.
Calule: mCAD.
A) 5° B) 10° C) 15° D) 18° E) 20°
RESOLUCIÓN
60°-x
60°
60°
30°
10°
x+30°
xA
B
C
D
Como la m BDA = 30° es la
mitad de la m ACB = 60°; y como se cumple que: AC = CB ,
entonces:
AC = CB = CD
mCBD = mCDB
x+30° = 40° x = 10°
m CAD = x = 10°
RPTA.: B
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