Tổ hớp xác suất

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

300

Chuyeân ñeà 11:

ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP VAØ XAÙC SUAÁT

Vaán ñeà 1: SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC k k

n n nP ,A ,C

A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

1. HOAÙN VÒ

Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû: Pn =n!

2. CHÆNH HÔÏP:

Soá chænh hôïp: m

nA n(n 1)(n 2)...(n m 1)

m

n

n!A

(n m)!

Ñieàu kieän: n m vaø n, m nguyeân döông

3. TOÅ HÔÏP:

Soá toå hôïp:

m

n

n(n 1)(n 2)...(n m 1)C

1.2.3...m

m

n

n!C

m!(n m)!

Ñieàu kieän:

n m

n, m nguyeân döông

Ta coù coâng thöùc:

1/ m n m

n nC C 2/

m 1 m m

n 1 n 1 nC C C

3/ 0 1 2 n n

n n n nC C C ..... C 2

Soá taäp hôïp con cuûa taäp hôïp n phaân töû laø 2n

.

B.ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008

Chöùng minh raèng

k k 1 k

n 1 n 1 n

n 1 1 1 1

n 2 C C C

(n, k laø caùc soá nguyeân döông, k n, k

nC laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).

Giaûi

Ta coù:

k k 1

n 1 n 1

n 1 1 1 n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)!.

n 2 n 2 (n 1)!C C

1 k!(n k)!. (n 1 k) (k 1)

n 2 n!

k

n

k!(n k)! 1

n! C

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

301


Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû cuûa

A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A.

Tìm k {1, 2…, n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.

Giaûi

Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng k

nC .

Töø giaû thieát suy ra: 4 2

n nC 20C 2

n 5n 234 0 n 18 (vì n 4).

Do

k 1

18

k

18

C 18 k1

k 1C

k < 9 neân 1 2 9 9 10 18

18 18 18 18 18 18C C ... C C C ... C

Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9.

Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005

Tính giaù trò bieåu thöùc

4 3

n 1 nA 3A

M

(n 1)!

, bieát raèng :

2 2 2 2

n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149

(n laø soá nguyeân döông, k

nA laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû vaø

k

nC laø soá toå

hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).

Giaûi

Ñieàu kieän: n 3.

Ta coù 2 2 2 2

n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C 149

(n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)!2 2 149

2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!

n2

+ 4n 45 = 0 n = 5 hay n = 9 (loaïi).

suy ra M =

4 3

6 5

6! 5!3.

A 3A 32! 2!

6! 6! 4

.


Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc: 2 2

n n n n2P 6A P A 12 .

(n

P laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû vaø k

nA laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).

Giaûi

Ta coù: 2 2

n n n n2P 6A P A 12 (n , n 2)

n! n!2.n! 6. n! 12

(n 2)! (n 2)!

n! n!(6 n!) 2(6 n!) 0 (6 n!) 2 0

(n 2)! (n 2)!

6 n! 0n! 6 n 3

n!2 0 n(n 1) 2 0 n 2

(n 2)!


302

Vaán ñeà 2: PHEÙP ÑEÁM VAØ XAÙC SUAÁT

A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

1. NGUYEÂN TAÉC ÑEÁM

2 bieán coá A vaø B

A coù m caùch xaûy ra

B coù n caùch xaûy ra

2 bieán coá A vaø B cuøng xaûy ra coù m n caùch

Bieán coá A hoaëc B xaûy ra coù m + n caùch

Chuù yù: Nguyeân taéc treân coù theå aùp duïng cho nhieàu bieán coá.

2. CHUÙ YÙ

Neáu thay ñoåi vò trí maø bieán coá thay ñoåi ta coù moät hoaùn vò hoaëc moät chænh hôïp.

Neáu thay ñoåi vò trí maø bieán coá khoâng ñoåi ta coù moät toå hôïp.

XAÙC SUAÁT

1. KHOÂNG GIAN MAÃU

Khoâng gian maãu laø taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra.

Bieán coá A laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu.

2. XAÙC SUAÁT

Neáu caùc phaàn töû cuûa khoâng gian maãu coù cuøng khaû naêng xaûy ra, h laø soá phaân töû

cuûa bieán coá A, n laø soá phaân töû cuûa khoâng gian maãu. Xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra:

h

p(A)

n

3. CAÙC COÂNG THÖÙC

Khoâng gian maãu E laø bieán coá chaéc chaén xaûy ra: p(E) = 1

Bieán coá laø bieán coá khoâng theå xaûy ra: p () = 0

Bieán coá keùo theo A B laø bieán coá A xaûy ra thì bieán coá B xaûy ra: A B.

P(A) p(B)

A B laø bieán coá (A xaûy ra hay B xaûy ra). p(A B) = p(A) + p(B) p(A B)

A B laø bieán coá A vaø B cuøng xaûy ra

Bieán coá A vaø B ñoái laäp neáu khoâng cuøng xaûy ra. Khi ñoù, ta coù

A B = ; p(A B) = 0; p(A B) = p(A) + p(B)

Bieán coá A laø ñoái laäp cuûa A: p( A ) = 1 p(A)

Xaùc xuaát coù ñieàu kieän:

Bieán coá A xaûy ra vôùi ñieàu kieän bieán coá B ñaõ xaûy ra:

p(A B)

p(A B)

p(B)

hay p(A B) = p(B).p(AB)

Bieán coá A vaø B ñoäc laäp neáu bieán coá B coù xaûy ra hay khoâng thì xaùc suaát cuûa A

vaãn khoâng ñoåi: p(AB)=p(A)

p(A B) = p(A)p(B)


303

B. ÑEÀ THI


Ñoäi thanh nieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, goàm 5 hoïc

sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B vaø 3 hoïc sinh lôùp C.

Caàn choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc khoâng quaù

2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy?

Giaûi

Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø 4

12C 495 .

Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau:

Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp coù 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø:

2 1 1

5 4 3C .C .C 120

Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp C, A moãi lôùp coù 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø:

1 2 1

5 4 3C .C .C 90

Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp coù 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø:

1 1 2

5 4 3C .C .C 60

Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø:

120 + 90 + 60 = 270.

Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø 495 270 = 225.


Moät ñoäi thanh nieân tình nguyeän coù 15 ngöôøi, goàm 12 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao

nhieâu caùch phaân coâng ñoäi thanh nieân tình nguyeän ñoù veà giuùp ñôõ 3 tænh mieàn nuùi,

sao cho moãi tænh coù 4 nam vaø 1 nöõ?

Giaûi

Coù 1 4

3 12C C caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát.

Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát thì coù 1 4

2 8C C

caùch phaân coâng thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù hai.

Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù

hai thì coù 1 4

1 4C C caùch phaân coâng thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba.

Soá caùch phaân coâng thanh nieân tình nguyeän veà 3 tænh thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn

laø: 1 4 1 4 1 4

3 12 2 8 1 4C .C .C .C .C .C 207900 caùch

Baøi 3:

Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu hoûi khoù, 10

caâu hoûi trung bình vaø 15 caâu hoûi deã. Töø 30 caâu hoûi ñoù coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu

ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau, sao cho trong moãi ñeà nhaát thieát

phaûi coù ñuû ba loaïi caâu hoûi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu hoûi deã khoâng ít hôn 2?


304

Giaûi

Coù 3 tröôøng hôïp xaûy ra.

Tröôøng hôïp 1: 2 deã + 1trung bình + 2 khoù: 2 1 2

15 10 5C C C 10.500

Tröôøng hôïp 2: 2 deã + 2 trung bình + 1 khoù: 2 2 1

15 10 5C C C 23.625

Tröôøng hôïp 3: 3 deã + 1 trung bình + 1 khoù: 3 1 1

15 10 5C C C 22750

Theo qui taéc coäng ta coù: 2 1 2

15 10 5C C C +

2 2 1

15 10 5C C C +

3 1 1

15 10 5C C C = 56875 ñeà

Baøi 4:

Cho ña giaùc ñeàu A1A2 . . . A2n (n 2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O), bieát

raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, . . . A2n nhieàu gaáp 20 laàn

soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A1, A2, . . . , A2n. Tìm n.

Giaûi

Soá tam giaùc thoûa maõn ñeà baøi laø 3

2nC .

Soá ñöôøng cheùo qua taâm ñöôøng troøn laø n, cöù 2 ñöôøng cheùo qua taâm thì coù moät

hình chöõ nhaät suy ra ta coù 2

nC hình chöõ nhaät.

Theo giaû thieát ta coù 2 2 2

2n nC 20C n 9n 8 0

n = 8 V n = 1 (loaïi). Keát luaän n = 8.

Baøi 5:

Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa moät tröôøng goàm 18 em, trong ñoù coù 7 hoïc sinh

khoái 12, 6 hoïc sinh khoái 11 vaø 5 hoïc sinh khoái 10. Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû 8 hoïc

sinh trong ñoäi ñi döï traïi heø sao cho moãi khoái coù ít nhaát moät em ñöôïc choïn.

Giaûi

Soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 hoïc sinh cuûa ñoäi tuyeån laø:

8

18

18!C 43758

8!10!

caùch

Soá caùch choïn 8 hoïc sinh chæ goàm coù hai khoái laø:

Soá caùch choïn 8 hoïc sinh khoái 12 vaø 11 laø 8

13C

Soá caùch choïn 8 hoïc sinh khoái 11 vaø 10 laø 8

11C

Soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø khoái 10 vaø 12 laø 8

12C

Soá caùch choïn theo ycbt: 43758 8 8 8

13 11 12C C C = 41811 caùch


305

Vaán ñeà 3: NHÒ THÖÙC NIUTÔN

A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

NHÒ THÖÙC NIUTÔN:

(a + b)n

= 0 n 1 n 1 n n

n n nC a C a b ... C b

Chuù y ù: Soá muõ cuûa a taêng daàn, soá muõ b giaûm daàn coù toång baèng n.

Caùc heä soá ñoái xöùng: m n m

n nC C

Tam giaùc Pascal: 1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

Chuù y ù: Döïa vaøo baûng Pascal ta coù theå vieát ngay ñöôïc khai trieån Niutôn.

B. ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008

Cho khai trieån (1 + 2x)n

= a0 + a1x + … + anxn

, trong ñoù n N*

vaø caùc heä soá a0,

a1, …, an thoûa maõn heä thöùc 1 n

0 n

a aa ... 4096

2 2

. Tìm soá lôùn nhaát trong caùc soá

a0, a1, … , an.

Giaûi

Töø khai trieån: (1 + 2x)n

= a0 + a1x + … + anxn

Choïn 1

x

2

ta ñöôïc: n 121 n

0 n

a a2 a ... 4096 2 n 12

2 2

Vaäy bieåu thöùc khai trieån laø: (1 + 2x)12

Soá haïng toång quaùt laø k k k

12C 2 .x (k , 0 k 12)

heä soá toång quaùt laø k k

k 12a 2 .C ;

k 1 k 1

k 1 12a 2 .C

ak < ak + 1 k k k 1 k 1

12 122 .C 2 .C

k k 112! 12!2 . 2 .

k!(12 k)! (k 1)!(12 k 1)!

k + 1 < 24 – 2k 23

k

3

Maø k . Do ñoù: a0 < a1 < a2 < … < a8

Töông töï: ak > ak + 1 k > 7

Do ñoù: a8 > a9 > … > a12

Soá lôùn nhaát trong caùc soá a0, a1, …, a12 laø: 8 8

8 12a 2 .C 126720


306


Tìm soá nguyeân döông n thoûa maõn heä thöùc 1 3 2n 1

2n 2n 2nC C ... C 2048

(k

nC laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaân töû).

Giaûi

1 3 2n 1

2n 2n 2nC C ... C 2048 (*)

Ta coù: 2n 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x C x

Vôùi x = 1 thay vaøo (*) ta ñöôïc:

2n 0 1 3 2n 1 2n

2n 2n 2n 2n 2n2 C C C ... C C (1)

Vôùi x = 1 thay vaøo (*) ta ñöôïc:

0 1 2 3 2n 1 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n0 C C C C ... C C (2)

Laáy (1) tröø (2) ta ñöôïc: 2n 1 3 2n 1 12

2n 2n 2n2 2 C C ... C 4096 2 n 6


Chöùng minh raèng:

2n

1 3 5 2n 1

2n 2n 2n 2n

1 1 1 1 2 1C C C .... C

2 4 6 2n 2n 1



Giaûi

Ta coù:

2n 0 1 2n 2n 2n 0 1 2n 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n(1 x) C C x .... C x ,(1 x) C C x .... C x

2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1

2n 2n 2n(1 x) (1 x) 2(C x C x .... C x )

1 12n 2n

1 3 3 5 5 2n 1 2n 1

2n 2n 2n 2n

0 0

(1 x) (1 x)dx (C x C x C x ... C x )dx

2

11

2n 2n 2n 1 2n 1 2n

00

(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 2 1dx

2 2(2n 1) 2n 1

(1)

1

1 3 3 5 5 2n 1 2n 1

2n 2n 2n 2n

0

C x C x C x ... C x dx

12 4 6 2n

1 3 5 2n 1

2n 2n 2n 2n

0

x x x xC . C . C . ... C .

2 4 6 2n

1 3 5 2n 1

2n 2n 2n 2n

1 1 1 1C C C ..... C

2 4 6 2n

(2)

Töø (1) vaø (2) ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.


307


Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x10

trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa (2 + x)n

, bieát:

n 0 n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n

n n n n n3 C 3 C 3 C 3 C ... ( 1) C 2048



Giaûi

Ta coù: n 0 n 1 1 n 2 2 n n n n

n n n n3 C 3 C 3 C .... ( 1) C (3 1) 2

Töø giaû thieát suy ra n = 11

Heä soá cuûa soá haïng chöùa x10

trong khai trieån Niutôn cuûa (2 + x)11

laø: 10 1

11C .2 22


Tìm heä soá cuûa x5

trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa: x(1 –2x)5

+ x2

(1 + 3x)10

Giaûi

Heä soá cuûa x5

trong khai trieån cuûa x(1 2x)5

laø (2)4

.4

5C

Heä soá cuûa x5

trong khai trieån cuûa x2

(1 + 3x)10

laø 33

3

10C

Heä soá cuûa x5

trong khai trieån cuûa x(1 2x)5

+ x2

(1 + 3x)10

laø:

4 4 3 3

5 10( 2) C 3 C 3320



trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa

n

7

4

1x

x

bieát raèng 1 2 n 20

2n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1

(n nguyeân döông, k


Giaûi

Töø giaû thieát suy ra: 0 1 n 20

2n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 (1)

Vì

k 2n 1 k

2n 1 2n 1C C k, 0 k 2n +1 neân:

0 1 n 0 1 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1C C ... C C C ... C

2

(2).

Töø khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa 2n 1

(1 1) suy ra:

0 1 2n 1 2n 1 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1C C ... C (1 1) 2 (3)

Töø (1), (2) vaø (3) suy ra : 2n 202 2 hay n = 10.

Ta coù:

10 10 1010 k k

7 k 4 7 k 11k 40

10 104

k 0 k 0

1x C x x C x

x

Heä soá cuûa x26

laø k

10C vôùi k thoûa maõn: 11k 40 = 26 k = 6.

Vaäy heä soá cuûa soá haïng chöùa x26

laø : 6

10C 210 .


308


Tìm soá nguyeân döông n sao cho:

1 2 2 3 3 4 2n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C .... (2n 1).2 C = 2005

(k

nC laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû )

Giaûi

Ta coù:

2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x x

Ñaïo haøm hai veá ta coù:

2n 1 2 3 2 2n 1 2n

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1(2n 1) 1 x C 2C x 3C x ... (2n 1)C x x

Thay x = 2 ta coù:

1 2 2 3 4 n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2C ... (2n 1).2 C 2n 1

Theo giaû thieát ta coù 2n + 1 = 2005 n = 1002.

Baøi 8:

Tìm heä soá cuûa x8

trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa

82

1 x 1 x .

Giaûi

2 32 8 0 1 2 2 4 3 6

8 8 8 81 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x . . .

88 16

8 . . . + C x 1 x

Soá haïng chöùa x8

trong khai trieån chæ coù trong 33 6

8C x 1 x vaø

44 8

8C x 1 x .

Suy ra heä soá cuûa 8 3 4

8 8x laø 3C C 238 .

Baøi 9:

Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa

7

3

4

1x

x

vôùi x > 0.

Giaûi

7 k k7 k7 77 k

k k3 3 3 47 74 4

k 0 k 0

1 1x C x C x

x x

Soá haïng khoâng chöùa x öùng vôùi

7 k k

0

3 4

28 4k 3k = 0 k = 4

Soá haïng khoâng chöùa x laø k

7

7!C 35

3!4!

.

Baøi 10:


trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa

n

5 n 1 n

n 4 n 33

1x bieát raèng C C 7(n 3)

x

(n laø soá nguyeân döông, x > 0, k



309

Giaûi

n 1 n

n 4 n 3

n + 4 ! n 3 !

C C 7 n 3 7 n 3

n 1 !3! n!3!

(n + 3) (3n 36) = 0 n = 12

Vaäy

12 k12 12 5k

5 k 3 2123

k 0

1x C x x

x

Cho

12 k5k

3 82x x x x 0

5 12 k

3k

2

= 8 k = 4

Vaäy heä soá cuûa x8

trong khai trieån

12

5

3

1x

x

laø 4

12C 495 .

Baøi 11:

Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång:

2 3 n 1

0 1 2 n

n n n n

2 1 2 1 2 1C C C ... C

2 3 n 1

(k


Giaûi

Xeùt n 0 1 2 2 n 4

n n n n1 x C C x C x ... C x

2 2

n 0 1 2 2 n n

n n n n

1 1

1 x dx C C x C x ... C x dx

n 1 2 3 n 1

0 1 2 n

n n n n

2 21 x x x xC x C C ... C

1 1n 1 2 3 n 1

n 1 n 1 2 3 n 1

0 1 2 n

n n n n

3 2 2 1 2 1 2 1C C C ... C

n 1 2 3 n 1

.

Baøi 12:

Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a3n3 laø heä soá cuûa x3n3

trong khai trieån thaønh ña

thöùc cuûa: (x2

+ 1)n

(x + 2)n

. Tìm n ñeå a3n 3 = 26n.

Giaûi

n n

n n2 2 k 2n 2k h n h h

n n

k 0 h 0

x 1 x 2 C x C x 2

n n

k h 3n (2k h)

n n

k 0 h 0

C C x

Ycbt 2k + h = 3 k = h = 1 hay (k = 0 vaø h = 3)

1 1 3 0 3

3n 3 n n n na 2C C 2 C C 26n n = 5 .


310

Baøi 13:

Cho khai trieån nhò thöùc:

n n n 1

x xx 1 x 1x 1 0 1

n n3 32 22C C . . . +

2 22 2 2

n 1 n

x xx 1n 1 n

n n3 32 C C

2 2 2

(n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù 3 1

n nC 5C vaø soá haïng

thöù tö baèng 20n. Tìm n vaø x.

Giaûi

Ta coù

+

3 1

n n

n Z , n 3C 5C n = 7 V n = 4 (loaïi)

n 2 (n 1) 30

Soá haïng thöù tö baèng 20n neân ta coù 34

xx 13

7 32C 140

2 2

x 2 2

2 4 2 x 2 = 2 x = 4.

Baøi 14:

Tìm soá nguyeân döông n sao cho 0 1 2 n n

n n n nC 2C 4C ... 2 C 243 .

Giaûi

0 1 2 n n

n n n nC 2C 4C ... 2 C 243 (*)

Ta coù n 0 1 2 2 n n

n n n n1 x C xC x C ... x C (* *)

Theá x = 2 vaøo (* *) ta coù:

n 0 1 2 n n

n n n n1 2 C 2C 4C ... 2 C 243 3

n

= 243 n = 5.

Baøi 15:

Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø n 2 k n

0 1 2 k n1 x a a x a x ... a x ... a x

Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 k n 1) sao cho

k k k 1a 1 a a

2 9 24

.

Haõy tính n.

Giaûi

Ta coù: (1 + x)n

= a0 + a1x + a2x2

+ … + akxk

+ … + anxn

Vì

k 1 k k 1

k 1 k k 1 n n na a a C C C

2 9 24 2 9 24

k k 1

n n

k k 1

n n

C C 2n 2k

2 n k 1 9k9 2 11

3n 83 n k 8 k 1C Ck

119 24

3n – 8 = 2n + 2 n = 10

Education

Tổ hớp xác suất