THỐNG KÊ SINH HỌC

Chủ đề 3: XÁC SUẤT NHẬP MÔNBản gốc tiếng Anh : Nguyễn Văn Tuấn

I. GIỚI THIỆUNhà nghiên cứu y khoa nổi tiếng người Anh Sir George Pickering đã từng nhận xét rằng "bác sĩ muốn giúp bệnh nhân, nhưng mức độ mà họ có thể giúp hiển nhiên phụ thuộc vào kiến thức của bác sĩ. Nhưng kiến thức là một vấn đề xác suất. Chẩn đoán là một vấn đề xác suất, và trong đánh giá việc điều trị, cơ sở mà bác sĩ phải dựa vào là kiến thức về xác suất ." Một số bạn có thể đã có sự dè dặt về nhận xét này, nhưng thực tế là khắc nghiệt và bướng bỉnh, và đòi hỏi phải được xử lí theo những cách riêng của nó. Chúng ta làm việc trong một thế giới ngẫu nhiên, và không có cách nào để loại bỏ hoàn toàn nguy cơ bị sai lầm. Tôi nghĩ rằng vấn đề thực sự của chúng ta không phải là làm thế nào để loại bỏ ngẫu nhiên mà làm thế nào để sống với chúng một cách thông minh. Trong nghiên cứu y học, mọi thứ không phải luôn luôn tiến hành như chúng ta giả thuyết hoặc lên kế hoạch. Hai lí do chính của việc này có thể là (i) giả thuyết của chúng ta là không chính xác và / hoặc (ii) chúng ta chưa có đủ bằng chứng để bác bỏ / chấp nhận giả thuyết. Lí do đầu là ý tưởng giả thuyết đó có thể được định nghĩa lại, tuy nhiên, lí do thứ hai là sự kiện (không có gì ngoài sự kiện), không thể thay đổi nhưng có thể được xử lí theo xác suất.

Trong chủ đề vừa qua, chúng ta đã quan tâm đến lĩnh vực của thống kê thường được gọi là phân tích mô tả. Chúng ta đã nêu ra rằng suy luận thống kê đưa ra các dự đoán về quần thể (dân số) bằng cách sử dụng thông tin thu được từ một mẫu lấy ngẫu nhiên từ quần thể đó. Suy luận thống kê chủ yếu dựa vào lí thuyết xác suất, trước hết là do lí thuyết xác suất cung cấp một phương tiện để xác định độ tin cậy của kết luận. Trong chủ đề này, chúng ta sẽ được giới thiệu những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất để hiểu các kết luận thu được từ việc ứng dụng kĩ thuật thống kê để phân tích dữ liệu cũng như những lí do đằng sau các đòi hỏi trong lấy mẫu xác suất khi thu thập dữ liệu.

Trước khi giới thiệu sư vận hành của xác suất, chúng ta sẽ điểm qua vắn tắt một vài ý tưởng chính như lí thuyết tập hợp, các biến cố, hoán vị và tổ hợp.

II. LÍ THUYẾT TẬP HỢP, KÍ HIỆU VÀ KHÁI NIỆM

2.1. ĐỊNH NGHĨA:

Một tập hợp (sau này ta gọi tắt là “tập”) là một bộ sưu tập các đối tượng được xác định rõ và khác biệt nhau có chung những tính chất đặc trưng. Các đối tượng được gọi là các phần tử.

Cụm từ “xác định rõ” chỉ rằng chúng ta phải có khả năng xác định một cách chắc chắn một phần tử cho sẵn thuộc hoặc không thuộc về tập hợp đang nghiên cứu. Như vậy, "tập hợp các phụ nữ có bị gãy xương " là xác định rõ bởi vì chúng ta biết gãy xương là cái gì. Tuy nhiên, tập hợp của "người bán hàng không trung thực tại Úc” 1 không xác định rõ ràng vì không có tiêu chuẩn chung để dựa vào mà đánh giá phẩm hạnh trung thực hay không trung thực.

Ở giai đoạn này, chúng ta kí hiệu một tập bằng một chữ in hoa và các phần tử của nó bằng chữ thường. Nếu x là một phần tử của tập A ta viết x A∈ , nếu y không là một phần tử của A ta viết y A∉ .

Ví dụ, tập hợp các nguyên âm: A = { a, e, i, o, u }.

Ta dùng kí hiệu ∅ để chỉ tập hợp rỗng, tức là tập không có phần tử nào.

Ta cũng nói hai tập hợp có cùng lực lượng nếu có một phép tương ứng 1 gióng 1 giữa các phần tử của tập này lên tập kia. Trong trường hợp tập hợp hữu hạn, dễ thấy rằng hai tập hợp có cùng lực lượng thì có số phần tử như nhau nên người ta thường đồng nhất lực lượng của một tập với số phần tử nó. Đối với tập hợp vô hạn thì sự đồng nhất này có thể gây ra một số điều phức tạp.

Dù tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên Z, tập hợp số vô tỉ Q và tập hợp số thực R đều là tập vô hạn nhưng người ta chứng minh được rằng các tập N, Z và Q đều có cùng lực lượng còn tập R lại có lực lượng “lớn hơn” tập N. Lực lượng của tập R gọi là lực lượng liên tục (continuum). Lực lượng của tập N gọi là lực lượng đếm được.Một tập hợp có cùng lực lượng với tập số tự nhiên N gọi là tập đếm được.(*)

Như vậy tập số nguyên Z và tập số hữu tỉ Q đều là tập đếm được và hiển nhiên tập số tự nhiên N cũng đếm được.

2.2. CÁC QUAN HỆ VỀ TẬP HỢP

1. Đẳng thức của các tập hợp: Hai tập hợp A và B là bằng nhau nếu mọi phần tử của tập A là phần tử của tập B và ngược lại.

Ví dụ: tập A = {a, e, i, u, o} bằng với tập B = { i, e, u, a, o }.

1Thật ra trong toán học, về mặt lí thuyết tập này vẫn là tập xác định.

2. Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập A là thuộc về tập B thì A được gọi là một tập hợp con của B (kí hiệu là A B⊂ ).

Ví dụ: cho A = { k, l, n, m } và B = { m, r, l, n, k }, thì là A B.⊂Dễ thấy rằng đối với các tập số đã giới thiệu ở chương trước ta có quan hệ sau:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.Mặc dù tập số tự nhiên N là tập con của tập số nguyên Z và Z là tập con của tập số hữu

tỉ Q, nhưng như đã nêu cả ba lại có cùng lực lượng.

2.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP

1. Hợp của các tập hợp: Cho hai tập hợp A và B, các hợp của A và B (kí hiệu là A B∪ ) là tập hợp các phần tử thuộc về A hay / và thuộc về B.Ví dụ: cho A = { a, e, i } và B = { c, d, e, i } thì A ∪ B={ a, e, i, c, d }.

* Từ định nghĩa, với các tập con A, B, C bất kì của một tập vũ trụ U (tập chứa các tập đang xét) dễ dàng suy ra:

A B = B A∪ ∪A (B C) = (A B) C∪ ∪ ∪ ∪A U = U,∪ A ∪ ∅ = A.

2. Giao của các tập hợp: Cho hai tập hợp A và B, giao của A và B (kí hiệu là A ∩ B) là tập hợp bao gồm các phần tử thuộc về cả hai tập A và B.Ví dụ: cho A = { a, e, i } và B = { a, c, d, e, i }, thì A ∩ B = { a, e, i }.

* Tương tự, với các tập A, B, C bất kì của một tập vũ trụ U ta cũng suy được:A ∩ B = B ∩ AA ∩ (B C)= (A ∩ B) (A ∩ C)∪ ∪A (B ∩ C) = A B) ∩ (A C)∪ ∪ ∪A ∩ U = A, A ∩ = ∅ ∅

3. Phần bù: Cho A là tập con của tập vũ trụ U. Phần bù của A (kí hiệu là hay A’ ) chứa tất cả các phần tử của tập vũ trụ nhưng không thuộc về A.

Ví dụ: cho U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } và A = { 1, 2, 3, 4 }, thì rõ ràng A là một tập hợp

con của tập vũ trụ U, và phần bù của A là = { 5 , 6, 7, 8, 9 }.

* Dễ thấy A ∪ = U và A ∩ = .∅

4. Tích hai tập hợp: Cho 2 tập hợp A và B, tích của A và B (kí hiệu là A× B) là tập hợp tất cả các cặp thứ tự (x, y) với x là phần tử của A và y là phần tử của B.

Ví dụ: A = { a, b } và B = { 1, 2 , 3 } thì A× B = { (a, 1); (a. 2); (a, 3); (b. 1); (b, 2); (b, 3) }.* Lưu ý rằng: A×B ≠ B×A.

Có thể mở rộng tích này cho nhiều tập hợp một cách tương tự:

A×B×…×M = { (∀ a,b,…,m) | a A, b B,…, m M}∈ ∈ ∈

III. KHÔNG GIAN MẪU VÀ CÁC BIẾN CỐ

3.1. KHÔNG GIAN MẪU

ĐỊNH NGHĨA:

Không gian mẫu được định nghĩa là tập hợp của tất cả các kết quả có thể của một thí nghiệm.

Từ “thí nghiệm” ở đây phải được hiểu theo một quan điểm tổng quát, chứ không chỉ theo quan điểm sinh học. Tung một con xúc xắc có thể được coi như là một thí nghiệm giống như nghiên cứu về các trường hợp gãy xương. Theo định nghĩa này, khi xúc xắc được ném, không gian mẫu là {1, 2, 3, 4, 5, 6} (vì xúc xắc có sáu mặt).Tương tự như vậy, khi tung 2 đồng tiền xu, không gian mẫu sẽ là: {sấp sấp, sấp ngửa, ngửa sấp, ngửa ngửa}.Tương tự, trong một nghiên cứu về gãy xương, không gian mẫu là những người đã gãy xương và những người không có gãy xương.

Chúng ta thường biểu thị không gian mẫu do bằng in chữ hoa, ví dụ như X.

3.2. BIẾN CỐ

ĐỊNH NGHĨA:

Biến cố là một kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm.Biến cố sơ cấp là một kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của một thí nghiệm.

Ví dụ, biến cố E: được “mặt 6” sau một lần tung một con xúc xắc là một biến cố sơ cấp, tức là E = {6}; trong khi biến cố F được mặt chẵn sau một lần tung một con xúc xắc không là một biến cố sơ cấp vì F là hợp của 3 biến cố sơ cấp được “mặt 2”, được “mặt 4” và được “mặt 6” (F = {2, 4, 6} là tập con trong không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}).

Chúng ta sẽ biểu thị các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm bằng xi, trong đó i chạy từ 1 đến n. Tất nhiên, { xi : i=1,2,..., n } là một tập hợp con của không gian mẫu (theo định nghĩa của lí thuyết tập hợp như đã nêu ở trên). Bây giờ chúng ta sẽ khảo sát một số loại biến cố.

Biến cố loại trừ lẫn nhau: Hai biến cố A và B gọi là loại trừ lẫn nhau khi chúng không có các phần tử chung hay A ∩ B = . ∅

Ví dụ: cho hai biến cố A = { 5, 6, 7 } và B = { 1, 2, 3, 4 } ta có A ∩ B = ∅ (không giao nhau) tức là A và B là 2 biến cố loại trừ lẫn nhau.

Biến cố không loại trừ lẫn nhau: Hai biến cố A và B gọi là không loại trừ lẫn nhau nếu chúng có chứa một hoặc nhiều phần tử mẫu chung, tức là A ∩ B ≠ .∅

Ví dụ: cho A = { 5, 6, 7 } và B = { 7, 8, 9, 10 } thế thì A ∩ B = { 7 } nên là không loại trừ lẫn nhau.

IV. KĨ THUẬT ĐẾM I: HOÁN VỊ

4.1. QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM:

Quy tắc cộng: Nếu một biến cố xảy ra với m kết quả theo dạng này và n kết quả theo dạng khác thì biến cố có thể xảy ra theo m + n cách.2

Ví dụ 1: số cách để chọn một người tình nguyện từ một nhóm gồm đàn ông 8 người và một nhóm đàn bà 10 người để làm một thử nghiệm là 8 + 10 = 18 cách.

* Trường hợp 2 tập kết quả có k phần tử chung thì biến cố có thể xảy ra theo m + n - k cách.3

Ví dụ 2: Trong một nhóm bệnh nhân gồm 12 người bị loãng xương và 8 người cao huyết áp có 3 người vừa loãng xương vừa cao huyết áp. Số cách để chọn một người mắc ít nhất một bệnh là 12 + 8 - 3 = 17 cách.

Quy tắc nhân: Nếu một biến cố có thể xảy ra theo cách m khác nhau,và sau khi biến cố này xảy ra, một biến cố khác có thể xảy ra trong n cách khác nhau, thì hai biến cố có thể xảy ra theo m×n cách khác nhau.4

Ví dụ 3: Để điều trị một bệnh mới người ta thử nghiệm dùng kết hợp 2 loại thuốc với liều lượng khác nhau. Dự kiến có 3 liều lượng khác nhau cho loại thuốc I và 4 liều lượng khác nhau cho loại II. Như vậy theo quy tác nhân ta có thể có 4 × 3 = 12 cách điều trị khác nhau.

Tổng quát, nếu biến cố đầu tiên có thể xảy ra theo n1 cách, biến cố thứ hai có thể xảy ra theo n2

cách, biến cố thứ ba có thể xảy ra theo n3 cách, và cứ thế tiếp tục cho đến biến cố r xảy ra theo nr cách, thì số cách để cho r biến cố này xảy ra liên tiếp là n1×n2 ×n3 × .... ×nr.

4.2. LỰA CHỌN r VẬT TỪ n VẬT CÓ HOÀN LẠI (CHỈNH HỢP LẶP):

2Quy tắc này rất đơn giản giản, nói một cách lỏng lẻo, đó chính là cách đếm số phần tử của hợp 2 tập rời nhau.3Cũng theo ngôn ngữ tập hợp đây là cách đếm số phần tử của hợp 2 tập hợp nói chung.4 Đây chính là phép đếm số phần tử của tích 2 tập hợp.

Khi lựa chọn r vật từ n vật có hoàn lại, vật thứ nhất có thể được chọn với n cách khác nhau, vì trong tập để lựa có n vật và bất kì vật nào trong đó đều có thể được chọn. Vì vật được chọn trả trở lại trước khi thực hiện lựa chọn thứ hai nên vật thứ hai cũng có thể được chọn với n cách khác nhau. Tương tự như vậy, mỗi vật khác trong số r vật cần chọn cũng có thể được lựa chọn với n cách. Do đó, số cách có thể chọn r vật với nhau hay số chỉnh hợp lặp r vật từ n vật bằng với tích:

n ×n× n ... n = n r

(có r thừa số ở vế trái)

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số có thể được tạo ra từ các chữ số 2, 4, 6, 7 và 9?Có ba vị trí để ghi trong một số 3 chữ số. Mỗi vị trí có thể được ghi với 5 cách khác nhau. Do đó, ba vị trí có thể được ghi với 5 × 5 × 5 = 125 cách.

4.3. LỰA CHỌN r VẬT TỪ n VẬT KHÔNG HOÀN LẠI (HOÁN VỊ r VẬT TỪ n VẬT).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp trong đó các vật được lựa chọn lần lượt từng vật một không hoàn lại từ n vật. Tức là, vật đầu tiên không được hoàn lại trước khi vật thứ hai được chọn, vật thứ hai không được hoàn lại trước khi vật thứ ba được chọn, và cứ thế tiếp tục. Một lựa chọn làm theo cách này được gọi là một hoán vị (hoặc một lựa chọn có thứ tự) của r vật từ n vật. Như trước đây, vật đầu tiên có thể được lựa chọn theo n cách. Tuy nhiên, vật thứ hai có thể được lựa chọn (n -1) cách. Tương tự, thứ ba có thể được lựa chọn (n - 2) cách, và vv. Vật cuối cùng vật r có thể được chọn (n - r - 1) cách. Như vậy số lượng cách mà toàn bộ các hoán vị có thể được chọn là tích sau:

n (n - 1) (n - 2). . . . (n- (r - 1)).

Tích này được ký hiệu là và được đọc là "số hoán vị của r vật từ n vật ". Có thể viết::

Ví dụ 5: Nếu chúng ta có sẵn 10 con chuột cho các mục đích thí nghiệm và muốn chọn 3 của chuột cho ba thí nghiệm khác nhau (mỗi con chỉ được dùng cho không quá một thí nghiệm). Có bao nhiêu cách để thực hiện việc lựa chọn này?

Con chuột đầu tiên có thể chọn với10 cách khác nhau, vì bất kỳ một trong 10 con chuột có sẵn đều có thể chọn được. Sau khi chọn con đầu tiên, còn 9 con chuột để chọn tiếp, do đó,con chuột thứ hai có thể được chọn với 9 cách khác nhau. Tương tự, con chuột thứ ba có thể được chọn với 8 cách khác nhau. Do đó, số cách có thể chọn ba con chuột là10 × 9 × 8 = 720 cách. / /

Ví dụ 6: Từ một nhóm 8 người, cần chọn ra các cá nhân để tham gia 5 xét nghiệm khác nhau (mỗi xét nghiệm với 1 người khác nhau). Có thể có bao nhiêu cách chọn?

Vì các xét nghiệm khác nhau nên thứ tự theo đó 5 người được chọn là đáng kể. Vì thế sốcách lựa chọn có thể thực hiện được là số hoán vị của 5 trong số 8 đối tượng, đó là:

8×7×6×5×4 = 6720.//

V. KĨ THUẬT ĐẾM II: TỔ HỢP

Giả sử ta có 7 bệnh nhân A, B, C, D, E, F và G và muốn chọn ra 3 người để thử một món thuốc nào đó. Do đó, nhóm này gồm những ai mới là điều cần quan tâm còn thứ tự ra sao là không quan trọng. Bây giờ, thử xét riêng một nhóm 3 bệnh nhân như vậy, chẳng hạn nhóm gồm có A, B, C. Có 3!(=6) lựa chọn có thứ tự cho nhóm này (đó là ABC, ACB, BCA,BAC, CAB, CBA). Tương tự, cũng có 3! lựa chọn có thứ tự từ mỗi nhóm 3 bệnh nhân khác. Như vậy, tổng số lựa chọn có thứ tự bằng tích của số nhóm con 3 bệnh nhân và 3!. Do đó, số nhóm con (tổ hợp) 3

bệnh nhân từ 7 bệnh nhân (ta kí hiệu là ) bằng thương của số lựa chọn có thứ tự (hay số

hoán vị) 3 từ 7 bệnh nhân với 3! hay:

Tổng quát: số tổ hợp r vật từ n vật là:

Từ công thức này dễ thấy :

và ta cũng có thể chứng minh được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức sau đây:

Ví dụ 7: Từ một nhóm chuột gồm 6 con trắng và 4 con nâu chọn ra 4 con để thử nghiệm. Có bao nhiêu cách chọn có thể để trong nhóm được chọn có chứa: (a) hai chuột nâu, (b) ít nhất hai chuột nâu?

(a) Chúng ta phải chọn tất cả 4 con chuột thí nghiệm. Vì phải có 2 chuột nâu, do đó, 2 chuột khác phải là chuột trắng. Mà số lượng các lựa chọn có 2 chuột nâu từ 4 con nâu được cho bởi:

, và số lượng các lựa chọn có 2 chuột trắng từ 6 con trắng được cho bởi: . Tổng cộng,

chúng ta có thể chọn cách.

(b) Trong trường hợp này, chúng ta phải chọn ít nhất hai con chuột màu nâu, 3 trường hợp có thể xảy ra:(i) 2 nâu và 2 trắng, (ii) 3 nâu và 1 trắng hoặc (iii) 4 nâu (và không có trắng).

Trường hợp (i) có 90 cách khác nhau (xem (a)). Trường hợp (ii) có cách.

Trường hợp (iii) có cách.Như vậy, tổng cộng, chúng ta có90 + 24 + 1 = 115 cách lựa chọn. / /

Tổ hợp và hoán vị cũng có nhiều ứng dụng khác nữa, tuy nhiên, chúng ta không đi sâu vào đây vì chúng quá phức tạp hoặc ra ngoài phạm vi chủ đề giới thiệu này.

VI. XÁC SUẤT

6.1. ĐỊNH NGHĨA:

Nếu một biến cố A có thể xảy ra theo n kết quả có khả năng đồng đều như nhau, trong đó nA kết quả có thuộc tính A, thì chúng ta có thể nói rằng thuộc tính A có xác suất là nA / n.

Gần như là quy ước, ta kí hiệu "xác suất để A xảy ra" là P(A).Do đó, theo định nghĩa: P(A) = nA / n.

Theo định nghĩa, xác suất là một con số giữa 0 và 1 dùng để biểu thị cơ hội mà một biến cố cụ

thể xảy ra trong một điều kiện quy định. Rõ ràng rằng xác suất để biến cố khác với A (hay ) xảy ra là

P( ) = 1 - P (A).Điều này được gọi là xác suất bù.

Quan sát các hiện tượng có thể dẫn đến kết quả khác nhau, một số trong đó có nhiều khả năng hơn số khác. Ví dụ, nếu chúng ta ném một xúc xắc không thiên vị và giả sử được số 4 , nếu chúng ta ném xúc xắc một lần nữa thì cơ hội để được số 4 lần nữa là bao nhiêu. Đã có lập luận cho rằng ta có khả năng được số 4 nữa vì nó đã từng ra. Mặt khác, cũng đã có lập luận bẽ lại cho rằng vì ta đã được số 4 nên cơ hội nó quay trở lại là ít hơn các số khác. Một số nỗ lực đã được thực hiện để đưa ra một định nghĩa chính xác cho xác suất của một kết quả Chúng ta sẽ thảo luận về một vài trong số này:

Cách giải thích cổ điển phát sinh từ các trò chơi may rủi. Phát biểu xác suất tiêu biểu cho loại này là "xác suất tung đồng xu được mặt ‘sấp’ là 1/2 và xác suất để rút được một con bài ‘ách’ là 4/52”. Giá trị bằng số của các xác suất này xuất phát từ bản chất của các trò chơi. Tung một đồng xu chỉ có thể có 2 kết quả: sấp hoặc ngửa, vì thế xác suất của mặt sấp phải là 1/2. Tương tự, có 4 lá “ách” trong một bộ bài tiêu chuẩn 52 lá, do đó, xác suất rút ra được một lá “ách” trong một lần rút là 4/52.

Theo quan niệm cổ điển, mỗi kết quả khác biệt có thể có được gọi là kết quả, một biến cố được xác định như là tập hợp của các kết quả. Việc áp dụng cách giải thích này này phụ thuộc vào giả định rằng tất cả các kết quả là có khả năng đồng đều. Nếu giả định này không thoả, xác suất chỉ ra theo cách giải thích cổ điển sẽ thành sai lầm.

Quan niệm tần số tương đối về xác suất là một phương pháp tiếp cận thực nghiệm xác suất. Nếu một thí nghiệm được lặp lại thật nhiều lần và biến cố E xảy ra với 30% số lần, thì 0,30 phải là một xấp xỉ rất tốt cho xác suất của biến cố E. Một cách tượng trưng, nếu một thí nghiệm được tiến hành n lần khác nhau và nếu biến cố E xảy ra n(E) lần trong các thử nghiệm này, thì xác suất của biến cố E xấp xỉ bằng n(E) / n.

Chúng ta nói "xấp xỉ" bởi vì chúng ta nghĩ tới xác suất thực tế P( E) là tần số tương đối của sự xuất hiện biến cố E trên một số lượng rất lớn quan sát hoặc trên việc lặp đi lặp lại của hiện tượng này. Sự kiện chúng ta có thể kiểm tra xác suất theo cách diễn giải tần số tương đối (bằng cách mô phỏng lặp lại thí nghiệm nhiều lần) khiến cho quan niệm niệm này trở thành rất hấp dẫn và thiết thực.

Xác suất cá nhân hay chủ quan có thể được áp dụng trong các tình huống trong đó việc lặp lại một thí nghiệm là việc hầu như bất khả. Đây là thí nghiệm “một phát”. Ví dụ, bác sĩ ước tính xác suất sống sót sau một ca mổ trên bệnh nhân A sẽ không được suy nghĩ về một chuỗi dài các ca mổ lặp đi lặp lại trên bệnh nhân. Thay vào đó, ông sẽ sử dụng một xác suất (cá nhân) chủ quan để đưa ra tuyên bố một-phát về niềm tin liên quan đến khả năng thành công của ca mổ liên hệ. Xác suất chủ quan có vấn đề ở chỗ là chúng có thể khác nhau từ người sang người và không thể kiểm tra được.

Ví dụ 8: Ở một khu dân cư, có m người bị gãy xương và n người không bị gãy xương. Xác suất để 10 người chọn ngẫu nhiên từ khu này này đều bị gãy xương thì bằng bao nhiêu?

Gọi biến cố A = {gãy xương }. Số lượng các lựa chọn 10 người gãy xương từ (m + n) người

dân là: . Mặt khác, số lựa chọn 10 người gãy xương từ m người gãy xương (biến cố A)

là: . Do đó, xác suất muốn tìm là:

Ví dụ 9: Giả sử rằng trong một vé lô tô có 40 số, trong đó, có 6 con số trúng thưởng trong mỗi lần xổ. Nếu chúng ta mua một vé, xác suất là là bao nhiêu để:(a), chúng ta trúng 4 trong 6 chữ số;

(b), chúng ta trúng 5 trong 6 chữ số;(c), chúng ta trúng tất cả 6 con số.

Bài toán tương đương với việc lấy 6 quả bóng từ một chiếc bình chứa 40 quả bóng, trong đó có 6 màu trắng bóng (số trúng) và 40 - 6 = 34 quả bóng màu đen (không trúng).

Trường hợp (a): số các lựa chọn 6 chữ số trong số 40 con số là ; và số các lựa chọn của 4

số trúng từ 6 số trúng thưởng và 2 con số từ 34 không trúng thì xác suất trúng 4

số trong số 6 là: .

Tương tự như vậy đối với (b) xác suất là: .

Và trường hợp cuối cùng (c), biến cố trúng tất cả 6 con số có xác suất là .//

Bây giờ chúng ta xem xét một số tính chất và định lý xác suất xuất phát từ các quan niệm và định đề trình bày trong các phần trên:

6.2. XÁC SUẤT LIÊN KẾT, BIÊN VÀ CÓ ĐIỀU KIỆN

Ví dụ 9: Xem xét các bảng sau ghi nhận số lượng phụ nữ bị gãy xương và không bị gãy xương theo nhóm tuổi:

Bảng 1: Tai nạn gãy xương ở phụ nữ phân loại theo nhóm tuổi.

Biến cố \ Tuổi 70-79 80-89 90+ Tổng cộng

Gãy 7 7 8 23

Không gãy 43 23 12 77

Tổng cộng 50 30 20 100

(I) Trong thống kê, chúng ta gọi bảng này là một không gian mẫu hai biến vì kết quả cơ bản (gãy xương so với không gãy xương) có thể được coi là một kết quả liên kết với biến thứ hai là tuổi. Xác suất kết quả kết hợp được gọi là một xác suất liên kết. Ví dụ, P(gãy xương ∩ 70-79) = 7 / 100 = 0,07 là một xác suất liên kết của một phụ nữ ở độ tuổi 70-79 bị gãy xương.

(Ii) Với không gian mẫu hai chiều, chúng ta cũng thường quan tâm đến phân bố xác suất của một biến riêng lẻ. Ví dụ,với dữ liệu trên, xác suất biên của gãy xương là:

P (gãy xương) = 7/100 + 7/100 + 8/100 = 23/100 = 0.23

Vì xác suất thu được bằng cách lấy tổng dọc theo suốt một trong những loại phân loại nêu ởcột / hàng biên nên được gọi là xác suất biên.

(iii) Xác suất có điều kiện: Thông thường, chúng ta muốn biết xác suất của một biến cố xảy ra, cho biết biến cố thứ hai xảy ra. Chúng ta kí hiệu phát biểu " Xác suất A xảy ra cho biết B xảy ra " là P(A | B), trong đó " | "là tương đương với “cho biết”. Xác suất có điều kiện được định nghĩa như sau:

Nếu A và B là hai biến cố của một không gian mẫu bất kì và P (B) ≠ 0, xác suất của có điều kiện của A, cho biết B là:

Theo định nghĩa này và với dữ liệu trong bảng 1, xác suất để một phụ nữ sẽ bị gãy xương biết rằng bà ta ở độ tuổi 90 + tuổi (cách nói bình thường là”xác suất để một phụ nữ ở độ tuổi 90+ sẽ bị gãy xương”) bằng:

P(gãy xương |90+)

Tương tự như vậy:

Mặt khác: P(70-79|gãy xương) . Đây là xác suất để một phụ nữ bị gãy xương nằm trong độ tuổi 70-79.

6.3. ĐỊNH LÍ CỘNG XÁC SUẤT:

Đối với bất kỳ hai biến cố A và B của một không gian mẫu,

P (A B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) ∪ nếu A và B không loại trừ lẫn nhau (A ∩ B ≠ ∅)P (A B) = P (A) + P (B)∪ nếu A và B loại trừ lẫn nhau (A ∩ B = ∅).5

Ví dụ, Tham khảo dữ liệu trong bảng 1 lần nữa, cho biến cố A = { 70-79 } và B = {gãy xương }.

Theo định nghĩa, ta có:P (gãy xương (70-79)) = P (A B)∪ ∪

= P (A) + P (B) - P (A ∩ B)= 0,50 + 0,23 - 0,07= 0,66.

5liên hệ với quy tắc cộng trong phần phép đếm I

Tương tự, P (gãy xương 80+) = ∪ 0,23 + 0,50 - 0.15 = 0,58

6.4. ĐỊNH LÍ NHÂN XÁC SUẤT

Đối với hai biến cố bất kì A và B của một không gian mẫu,

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A) = P (B) P (A | B).

Ví dụ 10: Cho A và B biểu thị tương ứng các biến cố bị loãng xương và bị chết. Giả sử rằng xác suất tử vong là 0,80, xác suất bị loảng xương là 0.15. Giả sử thêm rằng xác suất có điều kiện của “bị chết biết bị loãng xương “ là 0,90. Chúng ta muốn tìm xác suất bệnh loãng xương phát triển VÀ chết.Có lẽ viết các thông tin này dưới dạng kí hiệu dễ dàng hơn: P(A) = 0.15, P(B) = 0,80và P(B | A) = 0,90. Thì những gì chúng ta muốn tìm có thể viết như sau:

P(A ∩ B) = P(A). P(B | A)= 0,15 × 0,90= 0,135. / /

6.5. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Trong thống kê, khi chúng ta nói tới hai biến cố độc lập A và B khi chúng ta muốn nói:

P (A | B) = P(A) hoặc P(B | A) = P(B)

Hoặc phổ biến hơn:

P(A ∩ B) = P(A) × P B).

Ví dụ 11: Bảng dưới đây cho thấy mối quan hệ giữa thời gian lưu trú và tình trạng bảo hiểm.Bảng 2: Thời gian lưu trú (ngày) và Tình trạng bảo hiểm

Thời gian\Bảo hiểm có bảo hiểm không bảo hiểm Tổng

< 5 0,42 0,18 0.60

5 - 10 0.21 .0.09 0.30

> 10 0.07 0.03 0.10

Tổng 0.70 0.30 1.00

Trong bảng, biến cố "< 5 ngày" và biến cố "có bảo hiểm" là độc lập vì P (<5 VÀ có bảo hiểm) = 0,60 × 0,70 = 0,42.

VII. ĐỘ RẠCH RÒI VÀ ĐỘ NHẠY

Các từ “độ rạch ròi” (specificity) và “ độ nhạy” (sensibility) đã được Yerushamly đưa ra từ năm 1947 để mô tả hiệu quả của một xét nghiệm chẩn đoán. Kể từ đó một số từ ngữ mới đã được đặt ra và có xu hướng gây nhầm lẫn cho người sử dụng thống kê hơn là làm rõ việc sử dụng các chỉ số này. Trong phần này, chúng ta sẽ khảo sát các từ này và giới thiệu cách sử dụng độ nhạy và độ rạch ròi trong đánh giá một xét nghiệm sàng lọc mà chúng ta đã có tiếp xúc sơ qua.

Xét tình huống sau đây: Chúng ta có một xét nghiệm có thể dự đoán về khả năng phát triển bệnh loãng xương của một chủ thể. Xét nghiệm cho cả kết quả dương tính (P) hay âm tính(N). Giả sử sau khi tiến hành xét nghiệm và chúng ta theo dõi một nhóm bệnh nhân trong một thời gian và quan sát sư có mặt (P) hay không (N) của bệnh loãng xương. Chúng ta có thể biểu diễn kết quả của nghiên cứu này như sau:

Kết quả Xác nhận sau khi theo dõithử nghiệm P N Tổng cộng━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━P a b a + bN c d c + d━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Tổng cộng a + c b + d N

trong đó a, b, c và d là tần số của các quan sát và N = a + b + c + d là tổng số bệnh nhân.

Chúng ta có thể mô tả bảng trên dưới dạng khá thân thiện về mặt xác suất như sau:

Kết quả Xác nhận sau khi theo dõithử nghiệm P N━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━P dương tính đúng dương tính lầmN âm tính lầm âm tính đúng━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

(a) Theo định nghĩa cổ điển, độ nhạy (kí hiệu là s) là tỉ lệ dương tính đúng của thử nghiệm tức là xác suất người bị loãng xương có kết quả xét nghiệm dương tính:

s = a / (a + c)

(b) Và độ rạch ròi (kí hiệu là f) là tỉ lệ âm tính đúng tức là xác suất người không bị loãng xương xét nghiệm ra kết quả âm tính:

f = d / (b+ d)

(c) Giá trị dự đoán (predictive value): Khi chúng ta bắt đầu nghiên cứu trên một quần thể với tình trạng đã được xác nhận, nhưng sau đó bác sĩ sử dụng xét nghiệm lại bắt đầu với bệnh nhân có tình trạng chưa biết. Tuy nhiên, mục đích của xét nghiệm này là để dự đoán tình trạng của bệnh nhân thực sự là. gì Vì vậy, bác sĩ muốn biết dự đoán độ chính xác của xét nghiệm hay nói khác đi xét nghiệm sẽ đạt kết quả tốt đến mức nào cho một (hay thực ra cho bất kì) bệnh nhân chưa biết. Nếu xét nghiệm là dương tính, bệnh nhân có thực sự bị loãng xương không? Nếu xét nghiệm là âm tính, có thể sẽ không bị loãng xương trên thực tế hay không?

Để trả lời những câu hỏi chúng ta tính giá trị dương tính dự đoán (ký hiệu là v) là độ chính xác của chỉ số dương tính như sau:

v = a / (a + b)

và giá trị âm tính dự đoán là độ chính xác của chỉ sô âm tính (ký hiệu là g):

g = d / (c + d)

Đôi khi, các giá trị dự đoán cho dương tính và âm tính được gọi tương ứng là xác suất hậu nghiệm của có bệnh và xác suất hậu nghiệm của không bệnh.

(d) Rõ ràng từ bảng trên, tỉ lệ bệnh có thể được ước tính như là khả năng có bệnh trước xét nghiệm (hay xác suất tiên nghiệm có bệnh), đó là:

(a + c) / N

(e) Tỉ số hợp lẽ (Likelihood Rate), kí hiệu là LR, là một thước đo về mức phân biện (đối chọi) của một kết quả xét nghiệm. Đó là tỉ số giữa dương tính đúng và dương tính lầm.

LR+ = độ nhạy / (1 - độ rạch ròi)Khi LR > 1, xác suất có bệnh tăng lên, khi LR <1 xác suất có bệnh giảm xuống.

Tỉ số hợp lẽ cũng được tính cho kết quả xét nghiệm âm tính, tức là tỉ lệ âm tính lầm so với âm tính đúng:

LR- = (1 - độ nhạy) / độ rạch ròi

Như thế, LR+ cho biết tỉ số đối chọi cho có bệnh tăng lên mức độ nào khi xét nghiệm dương tính, còn LR- cho biết tỉ số đối chọi cho có bệnh giảm xuống mức độ nào khi xét nghiệm âm tính.

VII. ĐỊNH LÍ BAYES

Cho đến giờ chúng ta biết rằng với hai biến cố D và S bất kì P(D | S) thường khác với P(S | D).

Bây giờ chúng ta xét bài toán y tế tiêu biểu sau đây. Cho D biểu thị sự có mặt của một căn

bệnh và sự vắng mặt của bệnh đó. S biểu thị các triệu chứng của bệnh. Thường thì chúng ta biết được tỉ lệ bệnh trong dân số chung P(D), xác suất mà một đối tượng mắc bệnh sẽ biểu hiện triệu chứng

P(S | D), và xác suất mà một đối tượng không bệnh có biểu hiện các triệu chứng P(S| ). Chúng ta muốn tìm P(D | S) là xác suất mắc bệnh của chủ thể có biểu hiện các triệu chứng.

Chú ý rằng tất cả các đối tượng có S sẽ có hoặc D hoặc , do đó, S có thể được viết là "S và

D" hay "S và ", vì hai biến cố này loại trừ lẫn nhau:

P (S) = P (S ∩ D) + P (S ∩ ).

Nhưng P (S | D) = P(S ∩ D) / P(D)

và P (S | ) = P(S ∩ ) / P( )

Từ đó, hằng cách lần lượt nhân hai đẳng thức trên với P(D) và P( ) ta được

P (S ∩ D) = P(D). P(S | D) và P(S ∩ ) = P( ). P(S | ).

Nhưng P(D ∩ S) P(D ∩ S)P(D | S) = = ━━━━━━━ ━━━━━━━━━━

P(S) P(S ∩ D) + P(S ∩ )

P(D) . P(S | D)Do đó: P(D | S) = ━━━━━━━━━━━━━━━

P(D) . P(S |D) + P( ) . P(S | )

Biểu thức cuối này được gọi là "định lí Bayes”. Chú ý rằng biểu thức bên phải chỉ liên quan đến những đại lượng mà chúng ta đã giả định (và thường) là biết rồi.

Ví dụ 12: Giả sử rằng một xét nghiệm mới dùng máy quét được đề xuất để phát hiện gãy xương Tỉ lệ gãy xương trong dân số nói chung được biết là 10%. Xét nghiệm đã được điều tra trên các đối tượng gãy xương và được biết cho ra kết quả dương tính ở mức 70% các trường hợp như vậy (độ nhạy). Khi tiến hành trên các đối tượng không bị gãy xương, xét nghiệm cho ra một kết quả dương tính 20% (có nghĩa là độ rạch ròi bằng 80%). Chúng ta muốn biết các đối tượng xét nghiệm dương tính, khi theo dõi được phát hiện thực sự bị gãy xương có tỉ lệ là bao nhiêu?

Chúng ta biểu thị tỉ lệ gãy xương là P(D) = 0.10, xác suất dương tính ở đối tượng gãy xương là

P(S | D) = 0,70, và xác suất dương tính ở đối tượng không không bị gãy xương là P(S | ) = 0,20. Khi đó, xác suất để một đối tượng có kết quả dương tính sẽ bị gãy xương là:

P(D) . P(S | D)P(D | S) = ━━━━━━━━━━━━━━━

P(D) . P(S |D) + P( ) . P(S | )0.1 × 0.7

= ━━━━━━━━━━━━━━━0.1 × 0.7 + (1 - 0.1) × 0.2

= 0.07 ÷ 0.25 = 0.28. //

BÀI TẬP

1. Tìm giá trị các biểu thức sau đây:

(a) (b) (c) (d) .

2. Chứng minh rằng .

3. Giải phương trình .

4. Rút gọn (a) (b) (c) .

5. Rút gọn (a) (b) .

6. Giả sử một chuyên gia dinh dưỡng có sẵn các loại thực phẩm sau đây được liệt kê theo hàm lượng vitamin chính:

Vitamin A Vitamin B Vitamin Ccải xà lách đậu phộng cam chanhcà rốt đậu chanhbí thịt nạc lòng đỏ trứng lòng trắng trứng bơ gan

sữa ngũ cốc

Có bao nhiêu bữa ăn có thể có nếu mỗi bữa ăn chứa:(a ) một trong những thực phẩm từ mỗi nhóm vitamin? (b) 3 loại thực phẩm từ nhóm A và không có loại nào từ nhóm B hoặc C ?(c) 2 từ nhóm A, 3 từ nhóm B và 0 từ nhóm C? (d) 2 từ các nhóm A , 3 từ nhóm B và 1 từ nhóm C?(e) 4 từ nhóm A, 4 từ nhóm B và 1 từ nhóm C?.

7. Trong một nhóm 15 phụ nữ có 7 phụ nữ bị loãng xương. Chọn ngẫu nhiên 12 phụ nữ, tìm xác suất để có:(a) đúng 6 phụ nữ loãng xương (b) ít nhất 6 phụ nữ loãng xương.

8.. Trong một nhóm chuột, có 6 con thuộc loại di truyền R, 4 thuộc loại W và 3 thuộc loại B. Nếu chọn ngẫu nhiên 3 con từ nhóm đó. Xác suất bằng bao nhiêu để có:(a) tất cả đều loại R? (b) tất cả đều loại W?(c) tất cả đều cùng loại di truyền? (d) có loại di truyền khác biệt?(e) 2 loại R và 1 loại W? (f) đúng 2 con loại W?(g) ít nhất 1 con loại R? (h) có một con đặc biệt nào trong đó.

9. Có 10 chuột đực và 5 con chuột cái trong một cái lồng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 con, tính xác suất để: (a) cả hai đều là con cái (b) cả hai đều là con đực(c) có ít nhất là một con đực (d) không có con đực nào.nếu lấy mẫu có hoàn lại (các con chuột đầu tiên được trả về trước khi chọn một con chuột thứ hai).

10. Theo các điều kiện giống như trong câu hỏi 9, nhưng lấy mẫu không có hoàn lại. Tìm các xác suất yêu cầu (a) đến (d).

11. Cho A và B biểu thị hai đặc điểm di truyền và giả sử rằng xác suất mà một cá nhân được chọn ngẫu nhiên sẽ có đặc điểm A là ½, có B là ¾. Giả định rằng những đặc điểm này xảy ra độc lập. Tính xác suất để một cá nhân được chọn ngẫu nhiên sẽ có (a) cả hai (b) không (c) đúng một đặc điểm trên? 12. Năm thỏ giống hệt nhau ở trong một cái lồng. Ba con đã được tiêm chủng phòng chống một virus. Tìm xác suất để chọn ra:

a. một con và là con được tiêm chủng.b. ba con và có hai con được tiêm chủng. c. hai con và có hai con được tiêm chủng.

13. Giả sử rằng một đặc điểm nhất định của mắt kết hợp với màu mắt. Ba trăm đối tượng được lựa chọn ngẫu nhiên được nghiên cứu với kết quả như sau:

Màu mắt Đặc điểm Xanh Nâu Khác ━━━━━━━━━━━━━━━━━Có 70 30 20 Không 20 110 50

Tính:a. P(đ/điểm = Có)b. P(mắt xanh VÀ đ/điểm=Có)

c. P( (mắt xanh HAY nâu ) VÀ đ/điểm=Có)d. P(mắt nâu | đ/điểm=Có).

14. Cách điều trị Y gây ra một phản ứng độc hại trên 25% số người thực hiện. Chọn ngẫu nhiên 4 người thì xác suất để có 0, 1, 2, 3 hoặc 4 sẽ có phản ứng độc hại là bao nhiêu?

15. Trong một cộng đồng có 20% phụ nữ bị tiểu đường. Trong số này, 75% có mật độ khoáng trong xương (BMD) thấp. Trong số những người không bị tiểu đường thì 20% có BMD thấp. Khi chọn ngẫu nhiên một phụ nữ có BMD thấp thì xác suất để phụ nữ đó có bệnh tiểu đường là bao nhiêu?

16. Cho P(A | B) = 0.2, P(không A | không B) = 0,4 và P (B) = 0,3.a. Sử dụng Định lý Bayes để tính P(B | A) b. Lập bảng xác suất 2x2 với các cột (A, không A) và các hàng (B, không B). Tính trực tiếp

P( B | A) trực tiếp từ bảng này.

17. Một vấn đề khi sử dụng chụp động mạch để chẩn đoán đột quỵ là có nguy cơ nhẹ về tử vong (<1%) liên quan đến cách xét nghiệm này. Một số nghiên cứu đã cố gắng sử dụng máy quét PET (đo lưu lượng máu trong não) để phát hiện một cách không xâm phạm bệnh đột quỵ như là một phương pháp thay thế cho cách chụp động mạch. Người ta đã làm một so sánh giữa hai phương pháp phát hiện đột quỵ được tiến hành trên cùng các bệnh nhân, với kết quả cho trong bảng sau đây:

Kết quả chụp động mạchmáy quét PET + ₋━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━+ 21 3₋ 8 32 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Bây giờ chúng ta coi chụp động mạch như một xét nghiệm chính thức. Sử dụng dữ liệu trên để tính toán số liệu thống kê liên quan và nhận xét về cách xét nghiệm mới (cách quét PET).

18. Xét các chiến lược sau đây để chẩn đoán ung thư tuyến tụy sử dụng 4 xét nghiệm (ERP, US, PFT và ANG);.

(I) Nếu hai hoặc nhiều xét nghiệm dương tính thì sẽ chẩn đoán có ung thư tuyến tụy .(ii) Nếu có nhiều hơn hai trong số các bài kiểm tra phủ định thì sẽ chẩn đoán không có ung thư tuyến tụy.

a. Lập bảng 2x2 cho chiến lược này, chẩn đoán phân loại chéo về bệnh ung thư tuyến tụy với dữ liệu được cho trong Bảng 1:

b. Tính độ nhạy, độ rạch ròi và giá trị dự đoán của chiến lược này. c. Chiến lược này như thế nào khi so sánh với một mình xét nghiệm ERP?

Bảng 1: Bốn kết quả xét nghiệm và chẩn đoán phẫu thuật ở 42 bệnh nhân đã qua tất cả 4 xét nghiệm (NEJM 1977) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Bệnh tuyến tuỵ Bệnh khác━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Comb ANG ERP US PFT Ung thư Viêm Ung thư Viêm━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━A + + + + 12B - - - + 2 2*C - - + - 1 1D - + - -E + - - - 3F - - + +G - + - + 1H + - - +I - + + -J + - + - 1K + + - - 2L - + + + 2M + - + + 2N + + - + 1O + + + - 2P + + + + 10━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Tổng 14 6 4 18

19. Khoảng 10% người lớn trẻ (tuổi từ 11-30) bị đau họng có liên cầu khuẩn viêm họng, như được chỉ ra bởi một chương trình chăm sóc họng tích cực. Điều tra đã chỉ ra rằng một xét nghiệm mới được gọi là vết Gram của dịch họng*. Bảng sau đây cho thấy độ nhạy và độ rạch ròi của vết Gram, một số dấu hiệu, và lịch sử của việc tiếp xúc với một thành viên trong gia đình có viêm họng liên cầu khuẩn.

Sốt >38º

Bệnh tuyến cổ

Dịch họng

Lịch sử t/xúc

Vết Gram dương

Độ nhạy 0,33 0,73 0,45 0,18 0,73

Độ rạch ròi 0,89 0,55 0,78 0,92 0,96

a. Tính tỉ số hợp lẽ dương tính và âm tính.b. Một người 20 tuổi bị đau họng và bị sốt 39º. Xác suất có liên cầu khuẩn viêm họng là

bao nhiêu?

c. Một người 20 tuổi bị đau họng có một người chị có liên cầu khuẩn với viêm họng. Anh ta bị sốt 39º. Tìm tỉ số đối chọi (có / không) và xác suất có liên cầu khuẩn viêm họng là bao nhiêu?

d. Những xét nghiệm nào bạn nghĩ là độc lập? e. Theo những dữ liệu này thì xét nghiệm nào là tốt nhất?