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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle “Alma Mater del Magisterio Nacional”
ESCUELA DE POST GRADO
TESIS
“La Comprensión de los Significados del Número Racional Positivo y su Relación con sus Operaciones Básicas y Propiedades Elementales”
PRESENTADO POR: WENCESLAO QUISPE YAPO
ASESOR
Dr. MÁXIMO JUAN TUTUY ASPAUZA
Para optar el Grado Académico de Doctor en Ciencias de la Educación
LIMA - PERÚ
2011
ii
iii
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle ESCUELA DE POST GRADO
TESIS DOCTORAL
“La Comprensión de los Significados del Número Racional Positivo y su Relación con sus Operaciones Básicas y Propiedades Elementales”
PRESENTADO POR: WENCESLAO QUISPE YAPO
ASESOR
Dr. MÁXIMO JUAN TUTUY ASPAUZA
Para optar el Grado Académico de Doctor en Ciencias de la Educación
LIMA - PERÚ
2011
iv
A mis seres queridos.
A Alejandrina por su constante apoyo y comprensión.
A Arturo y Jaqueline por ser la razón de mis afanes.
A los maestros, que
ocupan el más alto cargo
en una democracia.
v
RESUMEN
El objetivo de esta investigación es determinar el tipo de relación que
existe entre la comprensión de los significados del número racional positivo
con la resolución de operaciones básicas con fracciones y el conocimiento
de las propiedades elementales de los números racionales, de los
estudiantes de educación secundaria. Además, el estudio tiene por
propósitos caracterizar e identificar los tipos de interferencias en la
comprensión de los significados del número racional.
El marco teórico que fundamenta la investigación está compuesto por
los antecedentes sobre la comprensión de los significados, la resolución de
operaciones aritméticas y propiedades elementales del conjunto de los
números racionales. Así mismo, se hace una investigación de la teoría
relacionada a la comprensión, cognición y aprendizaje; además, de un
estudio de la evolución histórica y fenomenología del número racional,
evaluando las diferentes interpretaciones o significados de las fracciones.
El estudio es de nivel descriptivo correlacional, por consiguiente, el
diseño de investigación es transeccional descriptivo correlacional. Se estudió
una muestra estratificada de 380 estudiantes, distribuidos en los cinco
grados escolares. Para la recolección de datos se aplicó tres pruebas, una
sobre comprensión, otra sobre operaciones básicas y una tercera sobre
propiedades elementales de los números racionales; los cuales fueron
sometidos a un proceso de validación concurrente y confiabilización.
Los resultados obtenidos del análisis de las respuestas de los
estudiantes, han permitido concluir, con relativa probabilidad, que en la
comprensión de los significados del número racional existe una interferencia
persistente del significado parte-todo, en la interpretación de los significados
de medida, razón, cociente y operador. Además, se logró verificar la
existencia de una relación directa entre la capacidad que tiene el alumno
para manejar los algoritmos de las operaciones básicas con fracciones y el
conocimiento de las propiedades del número racional, con la comprensión
de sus significados.
vi
RREESSUUMMOO
O principal objetivo desta pesquisa é determinar o tipo de relação que
existe entre a capacidade de resolver situações-problema envolvendo as
operações básicas com frações e conhecimento das propriedades básicas
dos números racionais com a compreensão dos significados dos números
racionais positivos do estudantes do ensino médio. O objetivo do estudo é
identificar os tipos de interferências na compreensão dos significados dos
números racionais, caracterizar a compreensão dos significados da número
racional positivo en seu representação fracionária.
O referencial teórico que sustentam a investigação é constituído por
uma verificação de antecedentes sobre a compreensão dos significados dos
números racionais, operações aritméticas básicas e propriedades
elementares. Além disso, uma revisão da teoria relacionada à cognição,
compreensão e aprendizagem dos números racionais, exame da evolução
histórica e fenomenologia dos números racionais para avaliar suas
diferentes interpretações e significados.
O estudo é o nível descritivo correlacional, relatórios de informação
sobre o estado atual de compreensão dos significados dos números
racionais. A técnica de observação do fenômeno da compreensão, a
aplicação de provas. O projeto de pesquisa é correlacional descritivo trans.
Os resultados da análise das respostas dos alunos permitiu-nos
concluir com uma probabilidade relativa de que a compreensão dos
significados do número racional é verificada interferência persistente
significado parte-todo na interpretação do significado da medida da relação,
razão e operador. Além disso, há uma relação direta entre a capacidade do
aluno para lidar com os algoritmos das operações básicas com frações e
conhecimento das propriedades do número racional entender seus
significados.
vii
ABSTRACT
The main objective of this research is to determine the type of
relationship that exists between the ability to solve problem situations
involving basic operations with fractions and the knowledge of the basic
properties of rational numbers with understanding of the meanings of positive
rational numbers of secondary education students. The study has a purpose
to identify the types of interference in the understanding of the meanings of
rational numbers, to characterize the understanding of the meanings of
positive rational numbers in fractional representation and determine the type
of relationship between the ability to solve problem situations involving basic
operations with fractions and knowledge of the basic properties of rational
numbers with understanding the meanings of positive rational numbers that
students hold.
The theoretical framework underpinning the research is composed of a
background check on understanding the meanings of rational numbers, basic
arithmetic operations and elementary properties. Also, a review of the theory
related to understanding, cognition and learning of rational numbers,
examination of the historical evolution and phenomenology of rational
numbers to evaluate their different interpretations or meanings.
The study is of descriptive correlational level, reports information about
the current state of understanding of the meanings of rational numbers. The
technique of observation of the phenomenon of understanding was the
application of tests. The research design is correlational descriptive trans.
The results of the analysis of student responses have allowed us to
conclude with relative probability that the understanding of the meanings of
rational number is verified persistent interference part-whole meaning in the
interpretation of the meanings of measure, reason, ratio and operator. Also,
there is a direct relationship between the ability of the student to handle the
algorithms of basic operations with fractions and knowledge of the properties
of rational number with the understanding of their meanings.
viii
ÍÍNNDDIICCEE
RESUMEN v
RESUMO vi
ABSTRACT vii
ÍNDICE viii
INTRODUCCIÓN xiii
TTÍÍTTUULLOO PPRRIIMMEERROO
CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN DDEE LLOOSS SSIIGGNNIIFFIICCAADDOOSS DDEELL NNÚÚMMEERROO
RRAACCIIOONNAALL PPOOSSIITTIIVVOO,, SSUUSS OOPPEERRAACCIIOONNEESS YY PPRROOPPIIEEDDAADDEESS
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
MMAARRCCOO TTEEÓÓRRIICCOO
11..11 AANNTTEECCEEDDEENNTTEESS DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 11
11..22 BBAASSEE TTEEÓÓRRIICCAA 3344
11..22..11 CCOOGGNNIICCIIÓÓNN,, AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE YY CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA 3344
1.2.1.1 Comprensión en Matemática 34
1.2.1.2 Dificultades, Obstáculos Epistemológicos y Errores en el
Aprendizaje 44
11..22..22 CCUURRRRÍÍCCUULLUUMM YY EENNSSEEÑÑAANNZZAA DDEELL NNÚÚMMEERROO RRAACCIIOONNAALL 4466
1.2.2.1 El Número Racional en el Currículo Nacional 46
1.2.2.2 El Número Racional en los Estándares Curriculares 51
1.2.2.3 Consideraciones de la Enseñanza de la Matemática 52
1.2.2.4 Evaluación Nacional del Rendimiento Estudiantil 54
11..22..33 FFEENNOOMMEENNOOLLOOGGÍÍAA EE HHIISSTTOORRIIAA DDEELL NNÚÚMMEERROO RRAACCIIOONNAALL 5555
ix
1.2.3.1 Análisis Fenomenológico del Conocimiento Matemático 55
1.2.3.2 Fenomenología del Número Racional Según Freudenthal 63
1.2.3.3 Historia de las Fracciones 64
11..22..44 CCOOMMPPOONNEENNTTEESS EEPPIISSTTEEMMOOLLÓÓGGIICCOOSS DDEELL NNÚÚMMEERROO
RRAACCIIOONNAALL 6699
1.2.4.1 Significados del Número Racional 70
1.2.4.2 Representaciones Matemáticas 77
1.2.4.3 Representaciones del Número Racional 87
1.2.4.4 Conocimiento Académico del Número Racional 92
11..33 DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE TTÉÉRRMMIINNOOSS BBÁÁSSIICCOOSS UUTTIILLIIZZAADDOOSS 9955
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA
22..11 DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA 9999
22..11..11 OORRIIGGEENN YY RRAACCIIOONNAALLIIDDAADD 110000
22..11..22 DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 110022
22..22 FFOORRMMUULLAACCIIÓÓNN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA 110066
22..22..11 PPRROOBBLLEEMMAA GGEENNEERRAALL 110077
22..22..22 PPRROOBBLLEEMMÁÁTTIICCAA EESSPPEECCÍÍFFIICCAA 110077
22..33 IIMMPPOORRTTAANNCCIIAA YY AALLCCAANNCCEE DDEE LLAA IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 110088
22..44 LLIIMMIITTAACCIIOONNEESS DDEE LLAA IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 110099
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIIIII
MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
33..11 PPRROOPPUUEESSTTAA DDEE OOBBJJEETTIIVVOOSS 111111
33..11..11 OOBBJJEETTIIVVOO GGEENNEERRAALL 111111
x
33..11..22 OOBBJJEETTIIVVOOSS EESSPPEECCÍÍFFIICCOOSS 111111
33..22 SSIISSTTEEMMAA DDEE HHIIPPÓÓTTEESSIISS 111122
33..22..11 HHIIPPÓÓTTEESSIISS GGEENNEERRAALL 111122
33..22..22.. HHIIPPÓÓTTEESSIISS EESSPPEECCÍÍFFIICCAA 111122
33..33 SSIISSTTEEMMAA DDEE VVAARRIIAABBLLEESS 111133
33..33..11 VVAARRIIAABBLLEESS DDEE EESSTTUUDDIIOO AA CCOORRRREELLAACCIIOONNAARR 111133
33..33..22 DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN OOPPEERRAATTIIVVAA DDEE LLAASS VVAARRIIAABBLLEESS 111133
33..44 TTIIPPOO YY MMÉÉTTOODDOOSS DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 111144
33..44..11 MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA 111144
33..44..22 NNIIVVEELL YY TTIIPPOO DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 111155
33..55 DDIISSEEÑÑOO DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN 111166
33..66 IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS 111177
33..66..11 DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN YY AANNÁÁLLIISSIISS DDEELL IINNSSTTRRUUMMEENNTTOO DDEE
RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS 111177
33..66..22 PPRROOCCEESSOO DDEE EELLAABBOORRAACCIIÓÓNN DDEELL IINNSSTTRRUUMMEENNTTOO 111188
33..77 DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN DDEE LLAA PPOOBBLLAACCIIÓÓNN YY MMUUEESSTTRRAA 112211
33..77..11 PPOOBBLLAACCIIÓÓNN 112211
33..77..22 MMUUEESSTTRRAA 112211
33..88 TTRRAATTAAMMIIEENNTTOO EESSTTAADDÍÍSSTTIICCOO 112244
33..88..11 EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA DDEESSCCRRIIPPTTIIVVAA 112244
33..88..22 EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA CCOORRRREELLAACCIIOONNAALL 112266
3.8.2.1 Determinación de la Ecuación de Regresión 126
3.8.2.2 Evaluación General del Modelo de Regresión Múltiple 127
3.8.2.3 Coeficiente de Determinación Múltiple 127
3.8.2.4 Análisis de Varianza 128
3.8.2.5 Evaluación Particular del Modelo de Regresión Múltiple 129
3.8.2.6 Correlación Parcial 131
xi
TTÍÍTTUULLOO SSEEGGUUNNDDOO
TTRRAABBAAJJOO DDEE CCAAMMPPOO
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN YY
RREESSUULLTTAADDOOSS
44..11 VVAALLIIDDAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE
DDAATTOOSS 113344
44..11..11 VVAALLIIDDAACCIIÓÓNN DDEELL CCOONNTTEENNIIDDOO DDEE LLAASS PPRRUUEEBBAASS 113344
44..11..22 VVAALLIIDDEEZZ CCOONNCCUURRRREENNTTEE DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE
RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS 114400
44..22 CCOONNFFIIAABBIILLIIDDAADD DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE
DDAATTOOSS 114455
44..33 TTRRAATTAAMMIIEENNTTOO EESSTTAADDÍÍSSTTIICCOO EE IINNTTEERRPPRREETTAACCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS 114499
44..33..11 SSOOBBRREE LLAA CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN DDEE LLOOSS SSIIGGNNIIFFIICCAADDOOSS 114499
4.3.1.1 Evaluación Cuantitativa de los Significados del Número
Racional 149
4.3.1.2 Análisis de las Respuestas por Significados 152
4.3.1.3 Prueba de Diferencia entre las Medias de los Significados 168
44..33..22 SSOOBBRREE LLAASS OOPPEERRAACCIIOONNEESS BBÁÁSSIICCAASS CCOONN FFRRAACCCCIIOONNEESS 117700
4.3.2.1 Evaluación Cuantitativa de la Resolución de Operaciones
Básicas. 170
4.3.2.2 Valoración de la Resolución de Operaciones 172
4.3.2.3 Tipificación de los Errores en la Resolución de Operaciones
Básicas con Fracciones 178
4.3.2.4 Prueba de Diferencia entre las Medias 183
44..33..33 SSOOBBRREE LLAA CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN DDEE LLAASS PPRROOPPIIEEDDAADDEESS
EELLEEMMEENNTTAALLEESS 118855
4.3.3.1 Evaluación Cuantitativa del Conocimiento de las Propiedades
Elementales de los Números Racionales 185
xii
4.3.3.2 Valoración de la Comprensión de la Definición del Número
Racional 190
4.3.3.3 Tendencia de la Comprensión de las Propiedades
Elementales de los Números Racionales 191
4.3.3.4 Inferencia de la Evolución Respecto a la Diferencia de Medias 193
44..33..44 EEVVAALLUUAACCIIÓÓNN DDEE LLAA RREELLAACCIIÓÓNN MMÚÚLLTTIIPPLLEE 119944
4.3.4.1 Estimación de los Parámetros por Ecuaciones Normales 195
4.3.4.2 Evaluación General del Modelo de Regresión Múltiple 196
4.3.4.3 Análisis de Varianza 199
4.3.4.4 Evaluación Particular del Modelo de Regresión Múltiple 203
4.3.4.5 Correlación Parcial 207
44..44 DDIISSCCUUSSIIÓÓNN DDEE RREESSUULLTTAADDOOSS 221122
CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS 222255
RREECCOOMMEENNDDAACCIIOONNEESS 222299
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA 223311
AANNEEXXOOSS 224411
xiii
INTRODUCCIÓN
El aprendizaje escolar de conocimientos matemáticos, en general, y de
los números racionales, en particular, presupone que los estudiantes
desarrollen su capacidad de establecer relaciones entre los conceptos,
propiedades y algoritmos; a su vez, construyan una red de saberes
relacionados entre sí, que posibilite acrecentar nuevos conocimientos, cada
vez más amplios y complejos, basándose en los conocimientos previos, y
así, construir una estructura de conocimiento matemático.
Diversos investigadores señalan puntos críticos de comprensión que son
fuentes de dificultades para el aprendizaje de los números racionales; y
algunos de estos puntos de vista son particularmente sensibles sobre cómo
se debe introducir la enseñanza de los números racionales, a partir de la
ampliación del conjunto de los números enteros y la interpretación de sus
significados contextuales.
Se ha verificado que el sistema educativo ha desarrollado un significado
de número racional que, históricamente, tiene su génesis en el sistema
escolar, el significado parte-todo, que interfiere en la comprensión de los
demás significados. Estas constataciones de deficiencia en la comprensión,
motivan esta investigación que analiza el tipo de relación existente entre la
comprensión de los significados con el conocimiento de los algoritmos de las
operaciones básicas y las propiedades de los números racionales.
Así, la investigación fue orientada por el siguiente objetivo:
Determinar el tipo de relación de la capacidad de resolución de operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales, con la comprensión de los significados del número racional positivo de alumnos de educación secundaria.
El trabajo se enfocó en la representación fraccionaria del número
racional positivo, o sea, números de la forma a/b, donde a y b pertenecen a
xiv
los números enteros, con la restricción que b es diferente de cero. Estos
números aquí recibirán, simplemente, la denominación de fracción.
En el Perú, el concepto de fracción se estudia desde el tercer grado de
educación primaria hasta el segundo grado de educación secundaria
(Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, 2008).
Además, este conocimiento es fundamental para el estudio de los demás
sistemas numéricos y otros conceptos relacionados como las proporciones,
funciones trigonométricas, probabilidades, etc.
Investigaciones relacionadas a la cognición de las fracciones han
evidenciado dificultades en relación a este concepto, sea desde el punto de
vista de su enseñanza o su aprendizaje (Kieren, 1999; Llinares y Sánches,
1988; Berh, et al. 1983). Un aspecto relevante de estas investigaciones es
que concuerdan en recomendar estudiar los diferentes significados en sus
diferentes representaciones del número racional, para adquirir una
comprensión integral de la noción.
Para Escolano y Gairín (2005), las dificultades en el aprendizaje de los
números racionales son básicamente conceptuales y procedimentales en lo
referente a las relaciones y operaciones de la propia estructura numérica de
los números racionales; y en parte, son el resultado de procesos instructivos
inadecuados. Asumen el supuesto que en el sistema educativo la enseñanza
de las fracciones prioriza el significado parte-todo, y pretenden demostrar
que el significado parte-todo provoca dificultades en su aprendizaje. Cabe
destacar que proponen resolver tres cuestiones: ¿El significado parte-todo
es un significado diferenciado o está incluido en otros? ¿Por qué se prioriza
su utilización? ¿Qué efectos provocan en el aprendizaje?
Según Escolano y Gairín, el significado parte-todo no tiene significado de
medida, cociente, razón y operador. Ellos arribaron a las siguientes
conclusiones: primero, la fracción como significado parte-todo no surge de
las necesidades humanas, puesto que la génesis histórica del número
racional se encuentra en la medida de cantidades de magnitudes o en la
xv
comparación de dos cantidades de magnitud que da sentido a la idea de
razón. Segundo, el “significado parte-todo habría que situarlo en la práctica
educativa, y ubicarlo entre los recursos didácticos creados por necesidades
del proceso de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas”
(Escolano y Gairín, 2005, p. 23).
Del mismo modo demostraron que la priorización del significado parte-
todo en la escuela se justifica, porque en la enseñanza se elude el proceso
de medida con objetos y se abrevia los periodos de instrucción. Además,
Escolano y Gairín (2005) encontraron tres obstáculos didácticos. Primero,
se obstaculiza la formación de concepciones adecuadas al promover las
ideas: “No existen las fracciones impropias”, “Las fracciones son números no
medidas”, “el todo o unidad no es un número”. Segundo, se obstaculiza la
separación conceptual del número racional y del número natural al apoyar
las ideas incorrectas como: “La fracción está formada por dos números
naturales”, “las relaciones y operaciones con números racionales tienen el
mismo significado que en los números naturales”. Tercero, se obstaculiza la
formación de ideas abstractas, los alumnos desarrollan creencias como las
siguientes: “Los conceptos son las técnicas asociadas a los mismos” y “los
contenidos útiles son los procedimientos”.
Partiendo de esta revisión sobre la comprensión de los significados del
número racional es legítimo preguntarnos si estos tienen relación con el
manejo de los algoritmos de las operaciones básicas (adición, resta,
multiplicación y división) y los conocimientos de las propiedades básicas de
los números racionales tan enfatizados en la enseñanza básica y en los
libros de texto.
El trabajo de investigación partió de la hipótesis:
A mayor capacidad de resolución de operaciones básicas con fracciones y mayor conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales corresponde mayor comprensión de los significados del número racional positivo.
xvi
Por estas consideraciones se respondió a la siguiente cuestión de
investigación:
¿Cómo se relaciona la capacidad de resolución de operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales, con la comprensión de los significados del número racional positivo que revelan los estudiantes del nivel de educación secundaria?
Para responder esta interrogante se han estructurado tres instrumentos:
Prueba sobre comprensión de los significados del número racional, Prueba
sobre operaciones básicas con fracciones y Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales, las cuales permitieron recoger
información sobre las variables:
X1: Resolución de operaciones básicas con fracciones.
X2: Conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales.
Y: Comprensión de los significados del número racional positivo.
Los mismos que fueron sometidos a un estudio de diseño correlacional
transeccional. Se utilizó recursos estadísticos de correlación múltiple.
El informe de investigación tiene la siguiente estructura:
En el Capítulo 1 se presenta: el marco teórico que sustenta la
investigación, una revisión relativamente completa de los antecedentes de
investigación; así mismo, se define los conceptos que pueden ocasionar
controversia en la lectura del presente informe.
En el Capítulo 2 se hace un planteamiento formal de la problemática,
enunciando las cuestiones materia de investigación, los objetivos, además,
de enunciar la importancia, relevancia y limitaciones de la investigación.
xvii
En el capítulo 3 se presenta la metodología empleada, la selección de la
muestra, descripción de los instrumentos de recolección de datos y su
aplicación. Se hizo una explicación concienzuda del diseño estadístico, por
ser la parte más compleja del análisis.
El Capítulo 4 presenta los resultados de las tabulaciones de las
respuestas presentadas en los ítems de la prueba, permitiendo un
levantamiento de la información para el análisis cuantitativo. Así mismo, se
hace la discusión de los resultados más relevantes sustentados en el estudio
estadístico previo.
En el Capítulo 5 se exponen las conclusiones y recomendaciones como
consecuencia del estudio teórico y empírico.
Finalmente, se presenta las referencias bibliográficas y anexos.
TTÍÍTTUULLOO PPRRIIMMEERROO
CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN DDEE LLOOSS SSIIGGNNIIFFIICCAADDOOSS DDEELL
NNÚÚMMEERROO RRAACCIIOONNAALL PPOOSSIITTIIVVOO,, SSUUSS OOPPEERRAACCIIOONNEESS
YY PPRROOPPIIEEDDAADDEESS
CCAAPPÍÍTTUULLOO II
MMAARRCCOO TTEEÓÓRRIICCOO
11..11 AANNTTEECCEEDDEENNTTEESS DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
La organización de los antecedentes de investigación se ajusta a las
recomendaciones del “Publication Manual of the American Psychological
Association, 2002): Introducción descriptiva de la investigación y del autor,
enunciación del objetivo, descripción de aspectos teóricos, descripción de la
metodología, comentario crítico de los resultados y reflexión del informe en
torno al problema de investigación que nos ocupa. (Hart y Hitt, 1999)
A continuación, se incluye los antecedentes relacionados al fenómeno de
la comprensión del número racional, provenientes de investigaciones previas
realizadas en diferentes latitudes.
2
- Resignificación del algoritmo para operar aditivamente con fracciones en un contexto escolar. Tesis de maestría presentado por Peña Rincón,
Pilar (2011) en el Instituto Politécnico Nacional de México.
La cuestión problemática que orientó la investigación es “¿Qué
característica debería tener una propuesta didáctica que busque resignificar
el algoritmo aditivo promoviendo la comprensión tanto del concepto como del
propio algoritmo? Además, el objetivo general fue “Construir una propuesta
que a través de un trabajo conceptual resignifique el algoritmo para operar
aditivamente con fracciones.
La propuesta didáctica se fundamentó en la Teoría de las Situaciones
Didácticas de Brousseau y la Teoría Antropológica de lo Didáctico de
Chevallard. Un elemento nuclear del estudio fue la noción de resignificación
el cual fue definida así: el conocimiento y su vida social. Es decir, buscar la
resignificación de un concepto supone que los estudiantes han tenido ya un
acercamiento escolar del mismo. De acuerdo con Gracia y Montiel (2007,
citado por Peña, 2011) “La noción de resignificación busca hacer una
distinción de origen con respecto a la idea platónica que establece la
preexistencia de los objetos y procesos matemáticos y que implica
considerar la unicidad de los significados. La noción de resignificación
emerge, entonces, como elemento para dar cuenta de que el conocimiento
tiene significados propios, contextos, historia e intensión; lo que señala la
posibilidad de enriquecer el significado de los conocimientos en el marco de
los grupos humanos”.
La metodología predominante fue la Ingeniería Didáctica, por ser la
más adecuada para desarrollar una propuesta didáctica. Las fases del
proceso fueron: primero, el análisis preliminar; segundo, el diseño y análisis
apriori de las situaciones didácticas; tercero, experimentación; y cuarto,
análisis aposteriori y validación.
3
La muestra de estudio estuvo conformada por una sección de
estudiantes de 11 a 12 años de una escuela municipal de educación básica
de Santiago de Chile.
La propuesta logró que el uso de la fracción y la funcionalidad del
conocimiento se hayan manifestado a través del significado de medida de la
fracción. Así mismo, se logró que la adición de fracciones surgiera como
respuesta natural a un problema de medida compuesta.
La interpretación del concepto de fracción como parte-todo se amplió al
significado de medida. Del mismo modo, en la construcción de fracciones
equivalentes se utilice el significado de razón.
Para comprender el algoritmo de adición de fracciones se ha partido de
la noción de fracciones equivalentes, superando las limitaciones de la
identidad de números naturales, por el cual se cree que si dos números se
escriben de forma distinta, entonces expresan cantidades diferentes.
La resignificación se produjo cuando la comprensión se desplazó del
significado parte-todo al significado de medida. La resignificación de la
equivalencia de fracciones se produjo como resultado de una comprensión
profunda del significado a través de la comprensión de su definición y de sus
procedimientos asociados a la equivalencia como ampliar, agrandar,
multiplicar, simplificar, achicar, dividir, etc.
El estudio concluyó señalando que la interpretación de la fracción como
medida fue la más propicia para construir el algoritmo aditivo. La
contextualización en una situación concreta permitió realizar las sumas con
materiales, y, mediante un proceso de abstracción sucesiva, establecer un
procedimiento estándar para efectuar la suma.
Peña concluyó que para resignificar el algoritmo, para operar
aditivamente fracciones promoviendo la comprensión, se debe articular la
comprensión del concepto de fracción con los procedimientos aditivos y
4
resignificar el algoritmo aditivo ya conocido. Así mismo, se debe considerar
un significado de la fracción que posibilite construir un algoritmo con sentido.
Se ha utilizado el significado de medida para el contexto aditivo y el
significado de razón para establecer las equivalencias.
Referente a los obstáculos epistemológicos derivados de la extensión
del aprendizaje de los números naturales para aprender las fracciones,
sostuvo que fue necesario entender que las fracciones son un tipo de
número y no un número compuesto por otros dos. Así mismo, fue preciso
entender que dos fracciones expresadas con distintas cifras pueden ser
“iguales”.
- Representación de los números racionales y la medida de segmentos: Posibilidades con tecnologías informáticas. Tesis de Maestría
presentado por Claudio Woerle Lima en la Universidad Estatal Paulista de
Brasil en el 2010.
El estudio buscó contribuir con las investigaciones sobre aprendizaje y
enseñanza de los números racionales, proponer alternativas para la
enseñanza de las fracciones, por medio de análisis de una propuesta
metodológica que explore los números racionales vía la medición de
segmentos usando un software de geometría dinámica, buscando indicios de
cómo esa propuesta puede contribuir en la comprensión de los racionales.
La interrogante que orientó la investigación fue: ¿Cómo la exploración
de fracciones como medida y el proceso de medición de segmentos,
explorados vía software de geometría dinámica, contribuye al entendimiento
de los números racionales en sus múltiples representaciones?
Además de sustentar la teoría relativa a las tecnologías de la
informática, el investigador desarrolló la teoría de las representaciones
según Lesh, Post y Behr (1987, citado por Woerle).
5
Además, desarrolló una perspectiva histórica de la evolución de los
números racionales, hizo también una revisión de libros de texto para hacer
una breve historia de la enseñanza y aprendizaje de las fracciones y los
decimales. Como el núcleo de la investigación es el significado de medida de
los números racionales, realizó una revisión detallada de los procesos de
medición y fracción. Así, Lebesgue (1966) y Baroni y Nascimento (2005)
(citados por Woerle) proponen la construcción del conjunto de los números
reales no negativos a través del proceso de medición de segmentos. De esa
forma presentó la función medida como un proceso, llamado medición.
Esta investigación se basó en procesos de medición de segmentos, en
teorías de visualización, experimentación y representaciones múltiples. La
experimentación se inspiró en los principios constructivistas. La investigación
de enfoque cualitativo se basó en la metodología de experimentos de
enseñanza, con dos grupos de alumnos de 6º y 7º serie de enseñanza
fundamental de una escuela pública estatal del interior de São Paulo.
El estudio teórico dio como resultado que el significado de medida tuvo
su importancia en la enseñanza de fracciones, mas las sucesivas reformas
dieron paso a otros significados, como el de parte-todo, cociente, razón u
operador. Además, el significado de medida tuvo su origen histórico en las
antiguas civilizaciones.
Las principales contribuciones de esta investigación y que tienen
relación con nuestra investigación son:
- La importancia de las coordinaciones en las representaciones
fraccionarias, decimales y en la semi-recta.
- Se evidenció que las estudiantes vieron a las fracciones como más
significativas, principalmente al asociar el sistema de representación
simbólica con la figural en la recta numérica racional.
- La importancia de la visualización geométrica de las operaciones de
adición y sustracción se manifestó en la posibilidad de explorar las
operaciones de adición y sustracción geométricamente, sin conocer
6
los resultados aritméticos. La visualización en cuestión permitió al
estudiante comprender los algoritmos de cálculo, gracias a la
confrontación con las construcciones geométricas.
La investigación evidenció que las representaciones en la recta
permitieron visualizar la densidad de los números racionales y la posibilidad
de ampliar la recta tanto como se desee.
La utilización de la semi-recta dejó en evidencia que debería definirse
primeramente la unidad patrón, de modo que cualquier representación en la
recta debe ser asociada a una representación simbólica.
- Significados asociados a la noción de fracción en la escuela secundaria. Tesis de Maestría presentado por Rebeca Flores García (2010)
en el Instituto Politécnico Nacional de México.
En este estudio se analizaron los significados asociados a la noción de
fracción en la escuela secundaria. El problema de investigación fue: ¿Cuáles
son los significados asociados a la noción de fracción presente en la escuela
secundaria? Algunas cuestiones derivadas del mismo fueron: ¿Cuáles son
los significados asociados a la noción de fracción presentes en el discurso
matemático escolar?, ¿cuáles son los significados asociados a la noción de
fracción movilizados por los estudiantes?
La teoría que sustentó esta investigación estuvo enmarcada
principalmente en los modelos teóricos planteados por Brousseau, Kieren y
Lamon; en los dos primeros se realizaron planteamientos acerca de cómo
podría llevarse a cabo la enseñanza de los racionales, y el tercero, aplicó el
modelo teórico de Kieren, construyó una red de significados para los
números racionales. Su finalidad: ayudar a los estudiantes a comprender las
fracciones y sus representaciones.
Los antecedentes de investigación se desarrollaron a través de una
revisión de investigaciones relacionadas con el objeto de estudio, un análisis
7
del programa de estudio, así como de tres series de libros de texto de
educación secundaria en México. Se aplicó a los estudiantes un instrumento
conformado por 6 preguntas, para el análisis de las realizaciones de los
estudiantes al enfrentar esos problemas.
Los resultados a los que se arribó en este trabajo fueron:
a) Las investigaciones revisadas evidenciaron al menos entre 12 y 14
significados asociados a la noción de fracción.
b) En las producciones de los estudiantes se manifestó:
- Dificultad para arribar a una “nueva unidad”, a partir de ella
generar la solución del problema.
- La presencia de nociones como equivalencia y partición en las
soluciones propuestas por los estudiantes.
- Dificultades para pasar de un contexto aritmético a uno geométrico
o algebraico.
- La multiplicidad de nociones en un mismo problema genera
conflictos en la comprensión del problema.
- La recurrencia a la representación decimal pretendiendo evitar
trabajar con las fracciones.
- Encuadramiento de los números racionales en intervalos de racionales: Una investigación con alumnos de Enseñanza Fundamental. Tesis de Maestría presentado por Luciana Lage en la
Pontificia Universidad Católica de São Paulo de Brasil en el 2006.
El objetivo principal de la investigación fue responder a las siguientes
cuestiones:
a) ¿Qué herramientas y procedimientos utilizaron los alumnos en el
desarrollo de las actividades sobre encuadramiento numérico en
intervalos?
b) ¿Qué capacidades (en términos de representación numérica, gráfica
u otras) utilizan los alumnos para resolver las actividades propuestas?
8
La teoría que sustentó esta investigación fue el de Juegos de Marcos y
Dialéctica Herramienta-Objeto de Douady. Según esta teoría la
reorganización de la enseñanza se hace en base a la dialéctica de
herramienta-objeto.
Douady explicó, se llama Dialéctica Herramienta-Objeto al proceso de
fases:
Fase a “antigua”: Los conceptos matemáticos que posee el estudiante se
ponen en acción como herramientas explícitas para resolver, al menos, en
forma parcial el problema.
Fase b “Nueva búsqueda implícita”: En las condiciones que los conceptos
anteriores se tornan ineficaces para concretizar la resolución será necesario
buscar, y adaptar nuevos medios. A menudo, esto se consigue eficazmente
cambiando marcos, esto permitirá poner en acción implícitamente nuevas
herramientas, nuevas por el campo de intervención del problema o por su
naturaleza, se está refiriendo a los “nuevo implícito”.
Fase c “Explicitación e institucionalización local”: Ciertos elementos
matemáticos que han sido utilizados en la fase anterior, deben ser
formulados en términos de objeto, o bien, en términos de práctica con sus
condiciones de empleo para el momento. En esta fase se discute
colectivamente la validez de los trabajos, propuestas de solución, y
argumentos de los alumnos.
Fase d “Institucionalización-estatuto del objeto”: Aun si los estudiantes de la
clase han resuelto el problema, algunos alumnos no comprenden de la
misma manera las herramientas utilizadas, entonces es necesario oficializar
estos conocimientos, darles el estatuto de objeto matemático es una
condición de homogeneización y de constitución de un saber de la clase. En
esta fase, el profesor organiza y estructura las definiciones, teoremas,
demostraciones, clasificando lo esencial de lo secundario.
9
Fase e “Familiarización-reinvención”: La estructuración personal es
importante en matemáticas para que sea efectivo el saber. En esta fase el
estudiante debe poner a prueba, en ensayos renovados, los conocimientos
que cree haber aprendido. El docente propone ejercicios variados que
requieran los conocimientos institucionalizados recientemente, con la
finalidad de integrar el saber social confrontándolo a su saber personal.
Fase f “La tarea o el nuevo problema se hace más complejo”: En esta fase,
el alumno se enfrenta a situaciones más complejas; pone a prueba e incluso
desarrolla su dominio de las adquisiciones de saberes.
A partir de esta fase los “nuevos conocimientos” se constituyen en
“antiguos” y comienza un nuevo ciclo de la dialéctica herramienta-objeto.
La dinámica de ciclos describe los siguientes comportamientos: a veces
será necesario trabajar más de un ciclo para desarrollar un ciclo de la
dialéctica herramienta-objeto. Se puede presentar casos en que hábitos y
prácticas necesiten años para convertirse en objetos del saber.
La investigación fue de carácter cualitativo, en la forma de estudio de
caso exploratorio, caracterizado como un estudio en profundidad, adecuado
a situaciones complejas y dinámicas, permitiendo obtener información
relevante para la toma de decisiones. Esta metodología le permitió al
investigador hacer descubrimientos y observaciones referentes tanto a
nuevos factores como a otros aspectos relevantes que pueden surgir
durante la investigación.
Los logros más importantes que los estudiantes demostraron fueron:
interacciones entre dos a cuatro dentro de los siguientes dominios:
numérico, de lenguaje materno, algebraico y geométrico; creación de
diversas estrategias de resolución de problemas, en las que emplearon
herramientas matemáticas principalmente las nociones de números
positivos, número par (con posibles fallas en el significado), multiplicación,
media aritmética, segmento e intervalos numéricos, con significados
10
diferentes entre los alumnos de la clase; empleo de relaciones “ser mayor
que”, “ser menor que” y “ser múltiplo de”, además de las relaciones de
orden “ser mayor o igual a “ y “ser menor o igual a”.
- El concepto de fracción en sus diferentes significados: un estudio diagnóstico de alumnos del 5º y 6º serie de Enseñanza Fundamental. Tesis de Maestría en Educación Matemática presentado por Vera Lucía
Merlini (2005) en la Pontificia Universidad Católica de São Paulo de Brasil.
La investigación tuvo el objetivo de indagar las estrategias que los
alumnos de 5ª y 6ª serie de Enseñanza Fundamental utilizan cuando
resuelven problemas que involucran el concepto de fracción. La interrogante
fue ¿qué estrategias de resolución utilizan los estudiantes cuando se
enfrentan a problemas que aborden el concepto de fracción, respecto a los
cinco significados de fracción: número, parte-todo, cociente, medida y
operador multiplicativo?
El estudio se sustentó en la Teoría de los Campos Conceptuales de
Vergnaud, la clasificación de los significados de la fracción según Kieren y la
propuesta de clasificación de Nunes.
La muestra de estudio fue de 120 estudiantes, siendo 60 de 5ª serie y
60 de 6ª serie, de las escuelas estatales de la zona este de la ciudad de São
Paulo. La investigación fue de carácter diagnóstico, para ello se aplicaron
pruebas sobre los significados de las fracciones y entrevistas clínicas al 12%
de los sujetos. Los análisis de datos fueron de doble naturaleza: primero,
cuantitativos, y segundo, cualitativos.
Los porcentajes de acierto, en ambos grados, presentaron una
homogeneidad en el desempeño. En la interpretación del significado de
‘parte-todo’ se ha encontrado mejor desempeño, sin embargo, las
representaciones icónicas no ayudan a la interpretación del mismo. Un
hallazgo adicional es que, en la interpretación del significado de ‘número’, se
presentó el mayor fracaso, seguido del significado de medida.
11
El fenómeno de homogeneidad en los desempeños de las dos series
se ha roto, ya que en la interpretación de los significados de Cociente y
Operador multiplicativo existen diferencias. Así, se encontró que los alumnos
de la 6ª serie tienen mejores desempeños en la interpretación del significado
de Operador multiplicativo, en tanto que los alumnos de la 5ª serie se
desempeñan mejor en la interpretación del significado de Cociente.
Las estrategias de resolución de problemas que involucran los
significados de fracción fueron: Primera, estrategia de relación parte-parte,
es decir el alumno ignora el todo, e interpreta las partes con las partes como
si se tratara de razones; segunda, estrategia de inversión numerador por el
denominador; tercera, estrategia para resolver una situación de cociente que
es resuelta siguiendo la interpretación parte-todo; cuarta, estrategia de
interpretación literal de la fracción (1/2 como un entero y medio); quinta,
estrategia de invertir las fracciones impropias por considerarlas inadecuadas;
sexta, estrategia de considerar las fracciones como la superposición de dos
números naturales y séptima, estrategia de realizar alguna operación entre
el numerador y el denominador.
Lucía concluyó que dentro de las estrategias utilizadas para resolver
las situaciones no se han encontrado una regularidad. Así mismo, para
resolver una situación problemática de un significado se logró encontrar
diferentes estrategias de resolución. La enseñanza del concepto de fracción
en las escuelas privilegia los significados parte-todo y de operador
multiplicativo, en detrimento de los demás. Este privilegio no garantiza que el
alumno construya este concepto.
- Fracciones y sus diferentes significados un estudio con alumnos de 4ª y 8ª serie de Enseñanza Fundamental. Tesis de Maestría en Educación
Matemática presentado por Valpereiro, L. (2005) en la Pontificia Universidad
Católica de São Paulo.
Dada la importancia de las dificultades detectadas en la enseñanza-
aprendizaje de las fracciones se da cuenta del estudio de Valpereiro (2005).
12
El objetivo fue identificar las concepciones de los alumnos de la 4ta y 8va
serie (grado) de Enseñanza Fundamental en escuelas públicas, presentadas
con relación a los cinco significados de la fracción: como número, parte-todo,
cociente, medida y operador multiplicativo.
El marco teórico estuvo respaldado en la teoría de los campos
conceptuales de Vergnaud (1990) y las ideas de Nunes et al. (2004),
Valpereiro (2005), quienes insistieron en clasificar los significados de los
números racionales, en su representación de fracción como parte–todo,
medida, número, operador multiplicado y cociente.
Son importantes las referencias que se presentan en Kieren sobre las
interpretaciones y significados del número racional como relación parte–
todo, cociente, medida, razón y operador. Además, se referenció a Ohlsson,
Behr, Nunes para fundamentar los significados del número racional.
La investigación fue de tipo diagnóstico cualitativo, que pretendió
describir la comprensión de los significados de las fracciones. El universo de
estudio estuvo constituido por estudiantes de escuelas públicas estatales,
localizadas en la región central de la ciudad de São Paulo. Se seleccionó el
4to grado por ser este donde el estudio de las fracciones se enfatiza y 8º
grado por ser este el grado concluyente de la Enseñanza Fundamental. La
muestra fue de 65 estudiantes en 4º grado y 58 alumnos en 8º grado, a
quienes se aplicó una prueba de 19 cuestiones que tuvieron la intención de
evaluar los cinco significados de las fracciones distribuidas en 29 ítems.
La conclusión más interesante, según nuestro criterio fue:
…en las series (grados) iniciales de Enseñanza Fundamental deben
trabajarse situaciones que aborden los significados, parte-todo,
medida y cociente, en vista que estos alumnos poseen apenas el
concepto de número racional, en tanto que a partir de la 5ta serie,
del mismo nivel de enseñanza, sean estudiados también los
significados número y operador multiplicativo, teniendo en cuenta la
13
construcción de los números racionales que comienza a ocurrir a
partir de esa serie (Valpereiro, 2005, p. 188).
La primera parte de la conclusión se sustentó en el hecho que esos
significados son más afines a los números naturales. Cabe preguntar, por
qué el alumno tiene dificultades para comprender los significados de fracción
como operador, por ejemplo. La curiosidad científica debería conducir a
buscar explicaciones y ver si son superables esas dificultades y si pueden
ser estudiados en la 4ta serie (grado) los significados de operador y razón.
- Números racionales: Un estudio de las concepciones de los alumnos después de los estudios formales. Tesis de Maestría en Educación
Matemática presentado por Rodríguez, W. R. (2005) en la Pontificia
Universidad Católica de São Paulo.
Rodríguez (2005) estudió las concepciones del número racional
haciendo énfasis en el diagnóstico de los significados parte–todo y cociente.
La investigación se desarrolló en el ámbito de los estudiantes de diferentes
niveles educativos. Tomándose en cuenta que a pesar que los números
racionales están presentes en casi toda la educación escolarizada, se
observó que el dominio que adquieren entraña algunas incongruencias, así
un alumno puede dominar los algoritmos y puede tener éxito en el contexto
escolar y mostrar dificultades para resolver situaciones de la vida cotidiana o
a la inversa.
El objetivo de la investigación fue: “Identificar aspectos del concepto de
número racional cuya construcción no se estudió eficazmente en el periodo
de educación básica, cuando fueron trabajados en el aula y que permanecen
sin ser aprendidos por los alumnos por largo tiempo, durante el proceso de
escolarización” (Rodríguez, 2005, p. 11). La interrogante fue: “¿Qué
aspectos del concepto de fracción en los significados parte–todo y cociente
permanecen sin ser aprendidos, por los alumnos de octavo grado de
enseñanza fundamental, tercer grado de enseñanza media y enseñanza
superior, en el área de exactas?” (p. 15). La hipótesis fue: la enseñanza
14
formal de fracciones no ha sido capaz de proveer situaciones a los alumnos
para que el concepto sea plenamente aprendido como se observara en
niveles avanzados de escolaridad.
Los fundamentos teóricos del estudio se sustentaron básicamente en
tres autores: Primero, Caraça en su libro Coceitos fundamentais da
matemática de 1952 postula que el surgimiento del campo de los números
racionales es a partir de las necesidades humanas de comparar magnitudes,
lo que da lugar al surgimiento de la unidad de medida y del manejo de los
principios básicos de la matemática. Segundo, el aporte de Vygotsky
respecto a la construcción del concepto en la interacción entre la vida
escolar y cotidiana. Según este psicólogo ruso existen dos tipos de
conceptos; los cotidianos (espontáneos) y científicos, y estos últimos se
forman en situaciones de educación formal y no son aprendidos en forma
definitiva. Y tercero, la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud
(1990).
La investigación fue de naturaleza causal comparativa y de carácter
diagnóstico. En una muestra de 29 alumnos de enseñanza superior, 31
alumnos de enseñanza media y 13 alumnos de octavo grado de escuela, se
aplicó un cuestionario que evalúa la comprensión de dos significados parte–
todo y cociente, considerados como los más ligados a la idea de
construcción del número racional; además, se sostuvo que por medio de
estos significados se introduce el concepto de fracción en el inicio de la
escolaridad. En la medida que la formación de un concepto puede durar
largo tiempo se escogió una muestra de tres diferentes niveles educativos.
A igual que Bher, Rodríguez (2005) concluyó que la correcta
construcción del concepto de número racional es un factor fundamental para
el aprendizaje de otros conceptos más sofisticados, y que el estudio del
número racional es particularmente adecuado para desarrollar estructuras
cognitivas para el tránsito del pensamiento concreto al operatorio formal.
15
En la evaluación del significado de la fracción como cociente se
encontró que en situaciones de cociente con cantidades discretas, la
mayoría de los estudiantes usan la cardinalidad del conjunto a ser repartido.
Como consecuencia, se percibió una resistencia a asumir que un número
natural es un número racional. Así mismo, los educandos no lograron
identificar a las fracciones como entes numéricos en su plenitud,
evidenciando la dificultad de aceptar que el conjunto de los números
naturales está incluido en los racionales.
- Modelos de medida para la enseñanza de números racionales en educación primaria. Investigación realizada por Escolano, R. y Gairín, J.
(2005).
Para Escolano y Gairín (2005) las dificultades en el aprendizaje de los
números racionales, son básicamente conceptuales, procedimentales, de
relaciones y operaciones de la propia estructura numérica de los números
racionales; y en parte, son el resultado de procesos instructivos
inadecuados. En el año 2002, se encontró que en España “son casi tres de
cada cuatro, los que tienen dificultad para comprender el concepto de
fracción y operar con fracciones” (INCE, 2002, p. 2) citado por Escolano y
Gairín (2005).
Estos investigadores asumieron el supuesto que en el sistema
educativo español, la enseñanza de las fracciones prioriza el significado
parte-todo y demostraron que el significado parte-todo provoca dificultades
en su aprendizaje. Propusieron resolver tres cuestiones: ¿El significado
parte-todo es un significado diferenciado o está incluido en otros?, ¿por qué
se prioriza su utilización?, ¿qué efectos provoca en el aprendizaje?
El significado parte-todo de los números racionales fue discutido
respecto a su legitimidad como tal, así Behr et al. (1992) admitió cinco
significados de las fracciones: parte-todo, cociente, razón, operador y
medida; en tanto que Kieren (1999) consideró el significado parte-todo como
parte de los significados de cociente y medida.
16
Escolano y Gairín, afirmó que el significado parte-todo no tiene
significado de medida, cociente, razón y operador. Ellos arribaron a las
siguientes conclusiones:
1. “La fracción como significado parte-todo no surge de las
necesidades humanas (en el sentido que nombró Bishop, 1999),
puesto que la génesis histórica del número racional se encuentra
en la medida de cantidades de magnitudes – bien realizada
directamente o bien realizadas para expresar el resultado un
reparto – o en la comparación de dos cantidades de magnitud, ya
medidas, que da sentido a la idea de razón” (Escolano y Gairín,
2005, p. 22).
2. El “significado parte-todo habría que situarlo en la práctica
educativa, y ubicarlo entre los recursos didácticos creados por
necesidades del proceso de la enseñanza y del aprendizaje de las
matemáticas” (Escolano y Gairín, 2005, p. 23).
La priorización del significado parte-todo en la escuela se justifica:
primero, porque en la enseñanza se elude el proceso de medida con
objetos; y, segundo, se abrevia los periodos de instrucción. Además,
Escolano y Gairín (2005) encontraron tres obstáculos didácticos:
1. Se obstaculiza la formación de concepciones adecuadas al promover
las ideas: “No existen las fracciones impropias”, “Las fracciones son
números no medidas”, “el todo o unidad no es un número”.
2. Se obstaculiza la separación conceptual del número racional y del
número natural al apoyar las ideas incorrectas: “La fracción está
formada por dos números naturales”, “las relaciones y operaciones
con números racionales tienen el mismo significado que en los
números naturales”.
3. Se obstaculiza la formación de ideas abstractas al propiciar que los
alumnos desarrollen creencias como las siguientes: “Los conceptos
17
son las técnicas asociadas a los mismos” y “Los contenidos útiles son
los procedimientos”.
Escolano y Gairin en la segunda parte del documento, plantearon una
propuesta pedagógica alternativa de la enseñanza del número racional. El
objetivo de la propuesta fue favorecer la construcción de concepciones
adecuadas; potenciar la idea del número racional y facilitar la construcción
de ideas abstractas; que los “escolares integren los diferentes significados
de número racional, así como los sistemas de representación asociados; y
que se evite la exclusividad de alguno de ellos, puesto que cualquiera de los
significados destaca alguno de los aspectos del número racional mientras
que oscurece a otros” Figueras (1988) citado por Escolano y Gairín (2005, p.
26) . El modelo establece una secuencia de tres momentos: en cuarto grado,
(10 años) se enseñará los modelos de medida; en quinto (11 años), los
modelos de cociente; y en sexto (12 años), los modelos de razón.
Los resultados de la propuesta pedagógica fueron alentadores;
desaparición de los obstáculos epistemológicos, además los alumnos
perciben que la fenomenología asociada a la fracción difiere
sustancialmente de la del número natural. Entre las desventajas de la
propuesta está que el aprendizaje es más dilatado en el tiempo por que se
retrasa la introducción de la representación simbólica de la fracción.
- El concepto de fracción en sus diferentes significados: un estudio de diagnóstico de profesores de Enseñanza Fundamental. Tesis de
Maestría en Educación Matemática presentado por Dos Santos, A. (2005) en
la Pontificia Universidad Católica de São Paulo.
Para Dos Santos (2005) el objetivo de su estudio fue evaluar las
concepciones que los profesores tenían del concepto de número racional en
su representación fraccionaria. El bajo desempeño en la resolución de
situaciones con fracciones de los estudiantes motivó a este investigador a
plantear la hipótesis de que el desempeño de los alumnos tiene estrecha
relación con las concepciones de sus profesores. Basándose en el hecho
18
que el éxito de la enseñanza de las fracciones en sus diferentes significados
depende de la concepción que tenga el docente. Por esta razón la
interrogante planteada fue: ¿Es posible reconocer las concepciones de los
profesores que enseñan en los 1° y 2° ciclo (polivalente) y 3° ciclo
(especialista) de Enseñanza Fundamental respecto a los conceptos de
fracción en sus diferentes significados?
El estudio se apoya en las teorías de los campos conceptuales de
Vergnaud, investigaciones de Teresinha Nunes y la clasificación de
significados de la fracción de Kieren (1988). Dos Santos asume cinco
significados del número racional adhiriéndose a Kieren (1988) y Nunes et al.
(2004): el número racional como número, parte–todo, medida (con
cantidades intensivas y extensivas), cociente (una división) y como operador
multiplicativo.
La investigación diagnóstica es de tipo cualitativo, es decir, observa,
interpreta y analiza los trabajos producidos por los docentes, relacionados
con sus concepciones del concepto de número racional. La naturaleza de los
datos permitió una metodología cuantitativa / cualitativa para la presentación
de los resultados.
El método de análisis de Bardin, citado por Dos Santos (2005), le
permitió comprender críticamente el significado contenido en las
producciones del sujeto, tanto desde el punto de vista de su contenido
manifiesto como de su contenido latente. El método parte del supuesto que
el sujeto que proporciona datos es un seleccionador de información. El
análisis de contenido posibilitó la formulación de categorías de análisis a
posteriori que emerge de la producción de resultados. La estrategia de
recolección de datos constó de dos momentos; primero, se solicitó a los
profesores elaborar seis problemas referentes al concepto de fracción; y, en
el segundo, se solicitó que resolvieran los mismos problemas.
El universo de estudio fue el grupo de profesores de Enseñanza
Fundamental de escuelas públicas de la ciudad de São Paulo, perteneciente
19
a la zona este, menos favorecida económicamente y con serios problemas
sociales. La muestra fue de 67 profesores.
Las conclusiones muestran que los problemas elaborados por los
profesores, parten de situaciones próximas a la vida cotidiana; sin embargo,
algunos problemas eran inconsistentes.
El significado de operador multiplicativo predomina, seguido del
significado parte–todo; se cree que dicha situación se debió a las
recomendaciones contenidas en los Parámetros Curriculares Nacionales. El
significado parte–todo está relacionado a cantidades continuas, en tanto que
el significado como operador multiplicativo está ligado a cantidades
discretas. Los significados número y medida fueron los más desatendidos en
la formulación de problemas por los docentes.
Respecto a los procedimientos y estrategias de resolución de los
problemas, se constató que existe una tendencia a preferir procedimientos
algorítmicos en la resolución de problemas del significado operador
multiplicativo. En tanto que para resolver problemas de parte–todo se usó
con mayor frecuencia las representaciones icónicas.
Finalmente, Dos Santos afirmó que, los profesores polivalentes y
especialistas, con relación al concepto de fracción en sus diferentes
significados, poseen concepciones similares a pesar de pertenecer a
espacios de formación profesional distinta, pues los docentes especialistas
han tenido una formación matemática. La explicación que ensaya es que las
concepciones y saberes de los profesores se fundan en pre concepciones de
enseñanza y aprendizaje, asimismo de su historia de vida; principalmente,
de su historia escolar, en el tipo de tareas y actividades que desarrollaron en
su época de aprendiz.
- Enseñanza del número racional positivo en educación primaria: Un estudio desde el modelo cociente. Resultado de la investigación realizado
por Escolano, R. (2001).
20
Según Escolano (2001) el aprendizaje de los números racionales
presenta dificultades por la desconexión entre los sistemas de
representación fraccional y decimal, deficiencias del conocimiento
conceptual de los racionales y los procedimientos manipulativos de los
símbolos, y la priorización del significado de la fracción como parte-todo, que
destaca solo algunos aspectos y oculta otros, descuidándose otros
significados como: operador, medida, cociente o razón.
El objetivo del estudio fue explorar las potencialidades y limitaciones de
la propuesta didáctica que excluye el significado de la fracción como parte–
todo y enfatiza los significados propios de la fenomenología del número
racional como medida y reparto. La hipótesis fue que este medio didáctico
favorece la comprensión de los números racionales. Los objetivos
específicos fueron:
1. Conceptualizar la fracción con significado de medida de cantidades de
magnitud (longitud, peso, superficie y cardinalidad).
2. Dar significado y justificar desde los modelos de medida las
operaciones básicas.
3. Conceptualizar la fracción como el resultado de un reparto.
4. Conectar los sistemas de representación fraccionaria y decimal.
5. Dar significado y justificar desde modelos de aprendizaje las
relaciones y operaciones entre números racionales.
El marco teórico tuvo tres dimensiones: las estructuras numéricas
específicas, las funciones cognitivas y el estudio de problemas y situaciones
que se abordan mediante estructuras numéricas, pero concretamente se
ocupa de la dimensión cognitiva. Dentro de esta última dimensión se explica:
la noción de comprensión, los sistemas de representación y los modelos de
aprendizaje. Escolano asume la hipótesis de Kaput (1999), quien explica que
para alcanzar la comprensión es necesario el dominio coordinado de dos o
más sistemas de representación.
21
La investigación fue de tipo exploratorio e interpretativo enmarcado en
el paradigma cualitativo. La innovación curricular se sustentó en la
investigación acción empírica y diagnóstica de dos etapas, con un primer
grupo natural de 4to grado; y luego, con 5to grado de educación primaria de
un colegio de Zaragoza durante los años 1999–2001.
El estudio concluyó, primeramente, en que los estudiantes no intuyen la
necesidad de fraccionar en partes iguales la unidad de medida; segundo,
tuvieron dificultades para representar medidas fraccionales del peso; tercero,
no se observó diferencias significativas en la comprensión cuando se
manipula modelos de longitud y superficie; y cuarto, los alumnos con la
ayuda de material manipulativo construyeron con más facilidad, fracciones
equivalentes.
Las conclusiones respecto al potencial de la propuesta didáctica
señalan que el aprendizaje basado en magnitudes continuas (longitud y
superficie) permitió a los educandos construir y evaluar semánticamente el
sistema de representación fraccional y dar significados a las relaciones de
equivalencia y orden; además, las representaciones gráficas facilitan la
transmisión entre las acciones realizadas con materiales manipulativos y las
representaciones simbólicas.
- Equivalencia y orden: La enseñanza de la comparación de fracciones. Investigación realizada por Carlos Maza Gómez (1999) parte del supuesto
que para entender las fracciones es imprescindible considerar la relación de
equivalencia. La idea que justifica que dos números fraccionarios son
equivalentes, es que ambos representan el mismo número racional, pero
que son dos pares ordenados distintos. Las fracciones tienen una apariencia
como par ordenado y una sola naturaleza como número racional. Maza
sostiene que para comprender la naturaleza de las fracciones debemos ver
sus manifestaciones, operaciones entre sí y el establecimiento de sus
relaciones de equivalencia y orden.
22
En esta investigación Maza indagó sobre las relaciones de equivalencia
en la construcción del conjunto de los números racionales; no obstante,
como sistema numérico está condicionado por su relación de orden. Esto
implica que una enseñanza de los números racionales debe conjuncionar
las relaciones de equivalencia y de orden entre las fracciones en actividades
de comparar el tamaño de las fracciones. En este estudio el autor reflexionó
sobre las dificultades de aprendizaje en la comparación de fracciones.
Entiende que 32 y
64 son equivalentes porque representan el mismo
número racional, aunque son distintos como pares ordenados. Las
fracciones tienen una apariencia de par ordenado, pero una naturaleza como
número, y que esta naturaleza solo se manifiesta cuando las fracciones se
ordenan y operan entre sí.
Particularmente, desde la matemática moderna se presta mucha
atención a la relación de equivalencia para la construcción de los números
racionales como para su enseñanza. Frente a este sesgo en el tratamiento
actualmente se postula que la relación de equivalencia no debe ser el único,
sino complementado con la “concepción de las fracciones como entes
matemáticos ordenados”.
El objetivo del estudio de Maza fue comprender la enseñanza de los
números racionales considerando las relaciones de equivalencia y de orden,
organizar la comprensión de la construcción del número racional y proponer
pautas para su adecuada enseñanza.
Dentro de los aspectos técnicos que recogió para comprender como
aprenden los alumnos las relaciones de equivalencia, sostuvo que la
dificultad tuvo dos fuentes:
- En el paso de las representaciones manipulativas o icónicas a
las simbólicas.
- En las manipulaciones entre las representaciones simbólicas.
23
Maza recoge lo que Post y sus colegas llamaron las “traslaciones
coordinadas de las representaciones”, es decir para reconocer que dos
fracciones son equivalentes se hacen traducciones de los sistemas
simbólicos a las representaciones icónicas, plegado de papeles y en ellas
comparar áreas; se debe primero reconocer la equivalencia en
representación icónica y luego trasladar estas a las representaciones
simbólicas; esta forma de proceder es más asequible que hacerlo solo
manipulando representaciones simbólicas.
Según Bohan (1971, citado por Maza 1999) luego de enseñar de esta
forma menos de la mitad de los estudiantes de 11 años son capaces de
simplificar fracciones en el nivel simbólico. Esto muestra que no es inmediata
la adquisición de la capacidad de traducir las representaciones icónicas a las
representaciones simbólicas, de ahí la importancia de investigar este
aspecto.
Las manipulaciones al interior de las representaciones simbólicas
mostraron que para los alumnos es más fácil construir fracciones
equivalentes a partir de una más elemental que al revés. Ettline (1985, citado
por Maza 1999) sostiene que la división del numerador y el denominador por
un mismo número lo confunden con la división de fracciones. Frente a esta
conjetura de Ettline, Maza sostiene que la dificultad de estas dos tareas
radica en la incomprensión y falta de dominio de la regla de multiplicación
por uno, y en la posesión de estrategias incompletas o informales que
sustituye a esta regla. Otro resultado que presentó es que frente a la tarea
?2
31= el porcentaje de aciertos oscila entre el 72%, a los 12 años, y el 79%
a los 15 años (Hart 1981, citado por Maza 1999); así mismo, hizo un análisis
de los errores que cometen los alumnos frente a similares tareas, donde se
justifica que: 63
42
21
== ¿por qué? o 42
2211=
++ y
63
2412=
++ (Vance 1992,
citado por Maza 1999)
24
Aquí aparentemente los niños no tienen una correcta comprensión de
la equivalencia, sino estarían utilizando regularidades o pautas. Sin
embargo, debemos señalar que las pautas o regularidades las encontrará en
algunos ejemplos, pero no en la mayoría, lo que lo conducirá a comprender
que este tipo de patrones no son los adecuados para justificar las
regularidades.
Algunas conclusiones que formuló son:
- La regla de la multiplicación por uno se va construyendo a partir de
la suma del numerador y denominador consigo mismo.
- Existe otros criterios de comparación numérica entre numerador y
denominador, de falsa generalización de las reglas, entre otros que
obstaculizan el aprendizaje de las reglas de multiplicación por 1.
Los errores que cometen los alumnos posiblemente radiquen en la
“escasa transparencia de los símbolos y reglas utilizadas”, es decir, los
estudiantes no comprenden la relación entre las representaciones simbólica
y su referente gráfico, de modo que el referente actúe como restricción de
las acciones que ejecuta en el sistema simbólico. De allí, que Maza
recomendó reforzar la conexión símbolo-referente.
Kieren (1992) recuerda que la equivalencia de fracciones implica
comprender dos tipos de igualdades: la “relativa” y la “deductiva”; la primera,
referente a la regla de multiplicar por el uno; y la segunda, como la igualdad
del producto de los “medios” y los “extremos”. Esta última, es vista por Maza
antes como una regularidad observable que como una regla construida en
relación con las acciones sobre el referente.
Las dificultades que presentó el alumno al ordenar fracciones son de
diversas fuentes: los conocimientos de orden en el conjunto de los números
naturales, características lingüísticas del orden entre fracciones, y el hecho
de ser fracciones como pareja de números.
25
Enfrentado a estas dos fracciones 31 y
41 puede llegar a afirmar que
41 es mayor que
31 , dado que 4 es mayor que 3. Sin embargo este criterio
podría ser válido cuando se compara fracciones homogéneas. Mayor será la
dificultad si son diferentes los numeradores y denominadores.
Las dificultades lingüísticas fomentan la incomprensión, por ejemplo, de
la siguiente instrucción: “Dime cuál es mayor”. El alumno puede entender
entre “cuál fracción tenía mayor número de partes” o “mayor en su tamaño”.
Un tercer factor de error es la “incomprensión de que el orden de las
fracciones se determinan por la consideración simultánea de sus
numeradores y denominadores entre sí”.
Maza asevera que el punto de vista matemático de transformar en
fracciones equivalentes con el mismo denominador, es el procedimiento más
fácil para determinar el orden de las fracciones.
Un dato interesante, encontrado por Hart y citado por Maza, es que el
21% de jóvenes de 15 años aciertan en encontrar una fracción entre 21 y
32 .
Existe una fuerte idea de que la equivalencia es una herramienta
indispensable incluso para la propia ordenación de las fracciones,
simplificación y operaciones. Maza señala que otros estudiosos consideran
que las equivalencias se deben estudiar cuando solo la necesitan en la
enseñanza de la adición y no aisladamente. Sin embargo, Maza coincide con
que no se debe enseñar la equivalencia aisladamente de otros
conocimientos, sino incluido en dichos conocimientos. Cree que basar el
aprendizaje de la adición en la relación de equivalencia tiene limitaciones.
Así mismo, el orden de las fracciones sirve para destacar sus propiedades
numéricas. Sostiene que el orden de fracciones comprende “procedimientos
intuitivos, incompletos y de falsas generalizaciones”.
26
Planteó la hipótesis de que la dificultad que tiene el alumno para
entender la relación entre fracciones y números racionales (lo que implica
limitaciones serias de todo el aprendizaje sobre fracciones) se debe a que
“no existe un conocimiento conceptual que garantice la unificación de
métodos como los basados en las fracciones equivalentes. Y el aprendizaje
de las consideraciones numéricas de las fracciones presenta debilidades y
numerosos obstáculos”.
Por estas consideraciones previas, Maza planteó que la noción de
equivalencia debe estar incluida en el estudio de la noción de orden de las
fracciones, esbozó que la secuencia de enseñanza de las fracciones debe
producir un aprendizaje integrado de la relación de equivalencia y de orden
de las fracciones, para lograr una comprensión del carácter numérico de las
mismas.
- Sistemas de representación de números racionales positivos, Un estudio con maestros en formación. Tesis Doctoral presentado por Gairín,
J. (1999) en la Universidad de Zaragoza. España.
Situado en un contexto de formación de maestro de educación
primaria, Gairín (1999) investigó el problema ¿de qué modo se puede
modificar los conocimientos sobre los números racionales de los estudiantes
para maestro? Los objetivos de la investigación que contempla la dimensión
formativa fueron: primero, explorar dificultades y potencialidades que
presenta el trabajo en los números racionales positivos para estudiantes de
maestros de primaria, utilizando una propuesta didáctica; segundo,
establecer relaciones entre los conocimientos de los futuros profesores
sobre la propuesta didáctica y el desempeño de determinadas tareas como
profesionales.
En la investigación se utilizaron tres variables: modelo de aprendizaje,
sistemas de representación y comprensión del conocimiento matemático.
Para Gairín un modelo es un facilitador de la aprehensión sensorial de
hechos y relaciones matemáticas mediante la manipulación. En este estudio
27
se propuso un modelo para dar significado a los números racionales
positivos.
El estudio se sustentó en la teoría de la comprensión matemática de
Hierbert y Carpenter (1992) y los registros de representación semiótica de
Duval. Usa las representaciones externas para caracterizar el grado de
comprensión del estudiante. Según Gairín, para un adecuado aprendizaje no
solo es suficiente manipular símbolos, sino también implica interpretar
situaciones matemáticas, cuantificar, visualizar, coordinar sistemas
estructuralmente interesantes y, principalmente, utilizar un lenguaje
especializado, símbolos, esquemas, gráficos y otros sistemas de
representación.
Gairín pretendió mejorar la comprensión de los números racionales
positivos coordinando los sistemas de representación denominados
polinómico unitario y polinómico decimal. El manejo de estas
representaciones mejorará la comprensión del objeto matemático en
cuestión.
La investigación se desarrolló en dos etapas: En la primera etapa,
utilizó la metodología de la Investigación-acción. Esta le permitió reflexionar
sobre la práctica educativa y mejorar la comprensión del número racional a
través de una indagación introspectiva colectiva. En la segunda etapa, la
metodología de la entrevista semiestructurada tuvo la finalidad de determinar
la utilidad de la propuesta de enseñanza sobre expresiones fraccionarias y
decimales. Estas entrevistas permitieron analizar cómo los futuros
profesores resuelven trabajos profesionales de detección de errores y
concepciones inadecuadas.
Como resultado se encontró que cuanto más débil es la comprensión
del modelo, por parte de los docentes, más deficiencias se detectan en los
errores cometidos por ellos. En tanto el docente tenga una sólida
comprensión, mayor serán las explicaciones que pueda brindar a los
escolares sobre el origen de los errores.
28
Los resultados confirmaron las hipótesis. La viabilidad de la propuesta
didáctica incrementó las conexiones entre las notaciones fraccionarias y
decimales de los números racionales positivos. En el proceso se ha
observado que los docentes en formación son resistentes al tratamiento por
que ellos están habituados a la aplicación de técnicas de cálculo antes que a
la evaluación semántica de las expresiones matemáticas que manipula. De
la misma forma, respecto a la segunda hipótesis, se confirmó la relación
entre los conocimientos matemáticos que poseen los futuros maestros y su
actuación profesional, en el sentido de que a un mayor y mejor dominio
conceptual le corresponde una mayor competencia en determinadas tareas
profesionales. Lo que significa que si los futuros profesores no tienen una
buena comprensión del objeto matemático, tanto mayor será las deficiencias
para detectar las dificultades que poseen los escolares.
- Procedimientos de niños de primaria en la solución de problemas de reparto. Investigación realizada por De León, H. (1998).
De León (1998) sostiene que el fracaso en el aprendizaje de las
fracciones tiene su explicación en la pobreza conceptual, como
consecuencia de la priorización del significado del fraccionamiento de la
unidad. El objetivo del estudio fue analizar los procedimientos de los niños
de primaria al resolver situaciones de reparto siguiendo los supuestos de
Vergnaud, en el sentido que la fuente del saber matemático es la solución de
problemas.
El estudio se fundamentó en: la teoría cognitiva desarrollada por
Vergnaud (1990) al estudiar la psicogénesis de los contenidos matemáticos,
la antropología de Chevallard (1991) concerniente a la transposición
didáctica, la teoría sobre las situaciones didácticas de Brousseau (2004), e
investigaciones centradas en construir, experimentar y analizar situaciones
para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el aula.
Algunas de las interrogantes del estudio fueron: ¿Qué procedimientos
usan los niños al resolver problemas de reparto?, ¿qué dificultades
29
encuentran los niños para dar significado a las situaciones de reparto?, y
¿qué conocimientos precisos se necesitan para dar sentido a los problemas
de reparto?
La muestra de 36 niños fue aleatoria, de diferentes estratos sociales,
ocho por cada grado de estudios: primero, tercero, cuarto, quinto y sexto. De
esta manera se intentó tener una muestra de naturaleza transversal. La
recolección de datos se efectuó por medio de entrevistas de 45 minutos, las
mismas fueron estructuradas según el método clínico de Piaget. Los niños
fueron enfrentados a tres tipos de problemas; de reparto, de elección del
pedazo resultado de un reparto y de comparación de reparto.
Las conclusiones señalan que en cada una de las situaciones se
identificaron tres formas de organización de los procedimientos de solución.
a) Formas de organización de las situaciones de reparto:
En las situaciones de reparto se pide a los niños que repartan
equitativa y exhaustivamente cierta cantidad de chocolates entre
determinada cantidad de niños. Se ha encontrado que niños de
primero y segundo grados se caracterizan por tener dificultades en la
coordinación de la exhaustividad y equitatividad, y en interpretar los
resultados de las particiones desde el esquema de los números
enteros, constituyéndose en un obstáculo epistemológico.
b) Formas de organización en la selección del pedazo:
Se entiende la selección de un pedazo como resultado de un reparto
previo; a partir de un reparto de chocolates ya realizado, entre cierta
cantidad de niños, se pide a los alumnos que seccionen el pedazo de
chocolate que le tocó a cada niño; el pedazo lo seleccionan de cuatro
posibles conjuntos de reparto.
La mayoría de niños tuvieron dificultades para resolver el problema
de la selección del pedazo. Los niños de primer grado no lograron
construir en el plano de la acción implícita la relación de igualdad
30
entre el total de enteros de un reparto y el total de pedazos del
mismo.
c) Formas de organización de la situación de comparación de resultados
de reparto:
En la comparación de repartos, los niños compararon los resultados
de dos repartos y decidieron a cuál reparto le tocó más chocolates, o
bien si les tocó lo mismo. Aquí se encontró tres formas de
organización en los procedimientos: La comparación sobre la base de
datos aislados de las situaciones; comparación sobre la base del
establecimiento de relaciones recíprocas entre los chocolates y los
niños; comparaciones a partir de resultados de reparto.
Los esquemas de los números naturales funcionan como un
conocimiento que se resiste a ser rechazado y a modificarse en lo más
mínimo, se constituye en un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de
las fracciones en el contexto de reparto; esta dificultad también se debe a la
falta de coordinación de los esquemas con los que cuentan los niños, como
a una ausencia de diferenciaciones de las relaciones que caracterizan a la
situación problemática.
Se encontró que en el aprendizaje del significado de la fracción, en el
contexto de reparto, al inicio, los niños ignoraron las relaciones fraccionarias;
luego, incorporaron de manera implícita estas relaciones, dependiendo del
uso del material concreto; finalmente, construyeron el modelo fraccional
durante la solución de las situaciones problemáticas de reparto.
- Aprender a enseñar. Modos de representación y números racionales. Investigación realizada por Llinares, S. y Sánchez, V. (1997). Socializado en
el Primer Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación
Matemática (SEIEM), Zamora.
Llinares y Sánchez (1997) analizaron las características de la
comprensión de las fracciones y números racionales en estudiantes de
formación magisterial de educación primaria. Plantearon una doble relación,
31
primero, la forma en que comprenden una noción matemática determina el
tipo de tareas y representaciones que usa en la enseñanza; y segundo,
estudiar si una determinada representación puede ampliar la comprensión
del conocimiento matemático.
La investigación tuvo como objetivo particular, “analizar las
características de la forma de comprender los contenidos matemáticos de la
Enseñanza Primaria que dichos estudiantes traían al programa de formación
y cómo esas características influyen en lo que se aprende” (Llinares y
Sánchez, 1997). La finalidad fue caracterizar el conocimiento pedagógico y
los factores que influyen en su generación y desarrollo, contextualizado en el
dominio de las fracciones y números racionales. El análisis se centra en el
conocimiento que sobre las fracciones que poseen los estudiantes para
profesor de primaria, con relación al uso de diferentes sistemas de
representación.
La problemática se tradujo en las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son
las características de la conexión de los símbolos matemáticos para las
fracciones y los referentes gráficos o concretos?, ¿qué influencia ejerce el
sistema de representación utilizado en la realización de diferentes tareas con
fracciones? y ¿cuál es el origen del significado de los procesos de
equivalencia y orden con las fracciones?
El estudio se fundamentó en la teoría de Hiebert (1988) sobre el
desarrollo de la comprensión del significado de los símbolos y
procedimientos matemáticos como esquema analítico para interpretar los
datos.
La investigación se realizó en un grupo de estudiantes voluntarios de la
Diplomatura de Magisterio. Los datos proceden de la aplicación de
cuestionarios, entrevistas estructuradas y análisis con profundidad de casos.
Los resultados de sus indagaciones referentes a las características de
la comprensión de la relación de equivalencia de fracciones fueron:
32
- Los estudiantes tuvieron dificultades entre la conexión de los
referentes concretos con los procesos de obtención de fracciones
equivalentes al nivel de símbolos.
- Se encontró dificultades en relación con los modos de
representación y los símbolos al nivel de procedimientos. Esta
dificultad se concretiza en que los estudiantes conocían
procedimientos simbólicos para encontrar una fracción equivalente
(a/b = ak/bk), pero tenían dificultades para traducir este proceso
en un “nivel concreto”.
- Los hallazgos referentes a los procedimientos en el ámbito de
símbolos y su influencia en la comprensión de los números
racionales; el significado que se atribuye a los símbolos
matemáticos, proceden en muchas ocasiones del nivel de
formalización matemática y está vinculado parcialmente al aspecto
simbólico y manejo sintáctico.
- Los estudiantes para profesor respecto a la flexibilidad, entendida
como la habilidad para cambiar el significado asociado a los
conceptos matemáticos con relación a las características de la
tarea y/o el sistema de representación utilizado, presentan
dificultades de comprensión porque no son compatibles: el
significado dado a la fracción, las características de la
representación y la tarea a realizar.
- Se observa dificultades en lo que Hierbert denominó la “traslación
a la fuente del significado”, cuando no se puede representar en el
nivel de lo concreto lo operado en el nivel de los símbolos. Cuando
no existe esta traslación a la fuente del significado se imposibilita
el pensamiento recurrente.
- La formalización matemática y la falta del proceso recurrente de
comprensión imposibilita una comprensión del significado
concreto; no visualizando la estrecha relación entre el nivel de
33
formalización y los niveles interiores más intuitivos mostrando
dificultades para modelar concreta y gráficamente.
- En conclusión, el proceso de “folding back” permite realizar la
integración de los significados que conlleva a una comprensión
cabal del objeto matemático y la posibilidad de transitar entre
diversas representaciones, utilizando diferentes significados.
- La caracterización de la comprensión de los estudiantes para
profesor indica que la formación inicial de los profesores debe
incidir en la influencia de los símbolos sobre la comprensión, el
origen del significado de las reglas, y la flexibilidad del
conocimiento para lograr una comprensión del objeto matemático.
- El docente en formación necesita conocer la función que
desempeñan los diferentes sistemas de representación y su uso
en la enseñanza, para que los niños valoren adecuadamente la
información y la idoneidad de una representación de los números
racionales frente a otra.
34
11..22 BBAASSEE TTEEÓÓRRIICCAA
11..22..11 CCOOGGNNIICCIIÓÓNN,, AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE YY CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA
1.2.1.1 Comprensión en Matemática
La comprensión del conocimiento matemático viene contemplándose
como un tema básico de interés y un objeto de estudio prioritario para la
Educación Matemática. En las últimas décadas, la investigación sobre esta
cuestión en el área se ha visto incrementada notablemente con estudios
caracterizados por un elevado nivel de precisión, rigurosidad y prudencia en
los problemas tratados, en los métodos empleados y en los resultados y
conclusiones obtenidos. Además, la creciente especialización ha generado
una considerable diversificación entre los estudios realizados, resultando
difícil identificar en la actualidad, aproximaciones consolidadas bajo las que
se pueda afrontar los distintos problemas derivados de la comprensión del
conocimiento matemático.
La revisión que se desarrolla en este apartado se centra en una
presentación de antecedentes relevantes surgidos en el área durante las
últimas dos décadas, que tienen a la comprensión como principal objeto de
reflexión.
a. La perspectiva representacional de la comprensión
Hiebert y Carpenter (1992) proponen un marco teórico desde el que
abordar el estudio del fenómeno de la comprensión en matemáticas. Dicho
marco se sustenta básicamente en el concepto de representación y proviene
principalmente del modelo de procesamiento de la información desarrollado
en el ámbito de la psicología cognitiva del aprendizaje.
Los supuestos importantes relacionados con la representación en
matemáticas para desarrollar la idea de comprensión sobre los que se
basan son:
35
La comunicación del conocimiento matemático requiere
representaciones externas; para pensar sobre él se necesitan
unas representaciones internas con las cuales poder operar la
mente.
Las características de las representaciones externas influyen de
algún modo en la naturaleza de las representaciones internas
construidas por los sujetos. Las representaciones externas
empleadas por los individuos revelan algo acerca de cómo
representan la información internamente.
Las representaciones internas pueden ser conectadas entre sí en
la mente del sujeto. Hiebert y Carpenter reconocen la
imposibilidad de especificar la naturaleza exacta de las
representaciones internas y de las conexiones entre ellas (el
investigador solo podrá inferir a través de las representaciones
externas); proponen que supongamos que las redes de
representaciones y conexiones internas sean de un modo
metafórico, como estructuras jerárquicas verticales organizadas
como telas de araña constituidas por nodos unidos entre sí
mediante segmentos relacionales.
A partir de estos supuestos, Hiebert y Carpenter desarrollan un concepto
de comprensión:
Una idea, un procedimiento o hecho matemático es comprendido
si forma parte de una red interna. Más específicamente, las
matemáticas son comprendidas si su representación mental forma
parte de una red de representaciones. El grado de comprensión está
determinado por el número y la fuerza de las conexiones. Una idea,
procedimiento o hecho matemático es comprendido a fondo si se
enlaza a redes existentes con conexiones más numerosas o más
fuertes (p. 67).
El desarrollo de la comprensión, en virtud del modelo representacional es
el crecimiento de las redes de representaciones mentales. El crecimiento de
36
las redes se produce por la unión de nuevas representaciones internas a la
red ya existente o por la reestructuración o reorganización de esa red a
causa de la creación de nuevas conexiones entre representaciones
existentes.
Nakahara (1994) analiza el Sistema Representacional en Educación
Matemática y clasifica los distintos modos de representación externa que se
emplean en educación matemática en cinco categorías fundamentales de
representación: Simbólica, lingüística, ilustrativa, manipulativa y realista.
Sostiene que el sistema representacional (externo) con sus relaciones
muestra desventajas importantes, como la ambigüedad en la conexión entre
las representaciones externas y sus significados matemáticos o la limitación
en el estudio del aspecto interno de los procesos de pensamiento de los
sujetos.
Nakahara sostiene que es posible emplear el Sistema Representacional
extendido y los análisis que de él se derivan, cuando se estudian los
procesos de comprensión y resolución de problemas desde el punto de vista
de las representaciones.
Para English y Halford (1995) la comprensión de una noción matemática
es un proceso consistente en la elaboración de una representación que
incluya las relaciones esenciales caracterizadoras de ese conocimiento.
Ellos explican que:
La esencia de comprender un concepto es poseer una
representación mental o modelo mental que verdaderamente refleje
la estructura de este concepto. […] comprender el número es tener
un modelo mental de él que incluya todas las relaciones esenciales
de los números, al menos en el dominio donde el concepto es
utilizado. (p. 57).
El tipo de relaciones internas incluidas en el modelo mental de un
conocimiento matemático resulta fundamental para la comprensión de ese
conocimiento matemático. Para English y Halford lo esencial de los modelos
mentales son precisamente las relaciones que ellos representan. Los
37
modelos mentales se constituyen no tanto con las definiciones formales
vinculadas a un tópico matemático, sino a partir de las propiedades
concretas que van identificándose en el tiempo como consecuencia de las
experiencias que se van teniendo con el conocimiento en cuestión. Por
tanto, la experiencia posibilita el enriquecimiento y refinamiento progresivo
del modelo mental original, dando lugar de este modo a un desarrollo en la
comprensión.
Finalmente, Janvier (1987) enumera cuatro características de la
comprensión relacionadas con la representación:
1. La comprensión puede ser comprobada por la realización de
actos mentales definidos. Esto implica una serie de actividades
complejas.
2. Presupone acciones automáticas (o automatizadas)
controladas por procesos mentales de reflexión y planificación.
Por lo tanto, la comprensión no puede ser identificada
exclusivamente con actividades mentales reflejadas en conceptos.
3. La comprensión es un proceso en desarrollo. La
construcción de un sistema ramificado de conceptos en el cerebro
es lo que proporciona la comprensión. Los conceptos
matemáticos no comienzan a construirse desde el momento en
que son introducidos en clase por el profesor. Este principio bien
conocido no se pone en práctica fácilmente ni a menudo en la
enseñanza diaria.
4. Algunos investigadores intentan determinar etapas en la
comprensión. Nos inclinamos a creer que la comprensión es un
proceso acumulativo basado, principalmente, en la capacidad de
tratar con un conjunto de representaciones siempre
enriqueciéndose. La idea de etapas supone una ordenación
unidimensional contraria a las observaciones (p. 67)
38
b. Dimensiones de la comprensión en matemáticas
La preocupación fundamental por el desarrollo de la comprensión
matemática en los alumnos forma parte de un problema más amplio en el
que también intervienen otras dimensiones del fenómeno. De hecho, es en
el carácter multidimensional de la comprensión donde radica una de las
principales causas por la que su estudio resulta una tarea altamente
compleja y un condicionante para los distintos trabajos en curso.
Por lo general, las aproximaciones a la comprensión en matemáticas
reconocen, al menos como referencia provisional para posicionar su estudio,
algunas de las siguientes dimensiones del fenómeno: origen y fuentes;
naturaleza y funcionamiento; factores; evolución; y efectos.
El origen hace referencia a las situaciones y circunstancias responsables
de la aparición de la comprensión y las fuentes a los acontecimientos
concretos previos generadores de tales situaciones. Por ejemplo, en
términos constructivistas generales, el origen de la comprensión se sitúa en
aquellas situaciones de desequilibrio cognitivo en las que se ve implicado el
sujeto en su interacción con el medio. Las fuentes, por su parte, se
encuentran en las experiencias generadoras de tales situaciones que obligan
al individuo a elaborar respuestas adaptadas a cada situación particular
(English y Halford, 1995). En este caso, la comprensión surge en este
espacio de experiencias, desequilibrios cognitivos, respuestas adaptativas y
búsqueda de estabilidad asociada.
Las dimensiones naturaleza y funcionamiento, estrechamente
relacionadas, suponen enfrentarse a las complejas cuestiones sobre qué es
y cómo se produce la comprensión. Por tratarse de un constructo que
acontece en la esfera interna del individuo, y por tanto sin posibilidad de ser
observado directamente, estas dimensiones suelen estudiarse al amparo de
propuestas teóricas interpretativas de la relación no casual reconocida entre
los estados mentales del sujeto y su comportamiento externo observable.
Una de estas propuestas, ampliamente extendida, la encontramos en el
39
enfoque representacional que desarrolla una visión de la comprensión
vinculada a las representaciones y conexiones internas del conocimiento
matemático (Hiebert y Carpenter, 1992; Romero, 2000; Goldin, 2002). El
empleo de tipologías generales de comprensión (Hiebert y Lefevre, 1986) o
de referencias metafóricas (Davis, 1992) son otras de las estrategias usuales
presentes en el estudio de tales dimensiones.
Los factores se refieren a todos aquellos aspectos condicionantes de la
comprensión. La especificidad del objeto de comprensión, las capacidades
cognitivas generales del sujeto, la valoración personal que este realiza sobre
el propio objeto o las características del medio donde se produce la
interacción entre ambos son algunos de los factores reconocidos por los que
se ve afectada la comprensión (Sierpinska, 1994; Godino, 2000).
El estudio de la evolución se relaciona con la faceta dinámica de la
comprensión y supone reconocer que el conocimiento no se adquiere de
forma inmediata e instantánea sino que se va desarrollando en el individuo a
lo largo del tiempo. La comprensión, por tanto, no es un fenómeno estático,
sino que emerge, se desarrolla y evoluciona (Carpenter y Lehrer, 1999). En
este contexto, la teoría dinámica de Pirie-Kieren para el crecimiento de la
comprensión matemática (Pirie y Kieren, 1989, 1994; Kieren, Pirie y Calvert,
1999) aparece entre las propuestas más consolidadas y con mayor
influencia en el estudio de esta dimensión en educación matemática.
También, los modelos jerárquicos de categorías o niveles aplicados con el
propósito de capturar los procesos dinámicos de la comprensión constituyen
otra de las estrategias extendidas en la investigación en torno a la evolución.
Un claro ejemplo de esta última opción se tiene en el modelo de proceso de
dos ejes desarrollado por Koyama (1993, 2000).
Por último, los efectos se asocian a los resultados o productos derivados
de la presencia de una determinada comprensión en el individuo. Suelen
considerarse efectos observables los comportamientos adaptados, la
aplicación de conocimientos, la resolución de problemas o la descripción de
40
acciones. Entre los efectos internos no observables cabe mencionar como
ejemplo las nuevas estructuras cognitivas y semánticas resultantes de un
cambio en la comprensión. Esta dimensión aparece reflejada en
aproximaciones como la de Duffin y Simpon (1997, 2000) donde se
describen algunos de los efectos internos y externos (por ejemplo, sentirse
capaz de reconstruir lo olvidado o derivar consecuencias, respectivamente)
asociados a los tres componentes de su definición de comprensión.
c. Relación con otras nociones cognitivas
La aproximación a la comprensión a través del estudio de su relación con
otras nociones cognitivas de similar complejidad, constituye otra de las
alternativas empleadas en la exploración de este fenómeno en educación
matemática. Desde esta perspectiva, la comprensión comparte
protagonismo con otros objetos de investigación de interés para el área
como el significado, el aprendizaje, el pensamiento matemático o la
competencia, entre otros. La propuesta, que reconoce la comprensión como
necesariamente vinculada al resto de configuraciones cognitivas, define una
vía de acceso complementaria que extiende la posición centrada en el
análisis específico de las distintas dimensiones propias del fenómeno.
Es posible apreciar esta visión integral de la comprensión matemática en
trabajos como los de Byers y Erlwanger (1985), donde se vincula con el
aprendizaje y la memoria; Godino y Batanero (1994) en relación con el
significado de los objetos matemáticos; o Bender (1996) cuando asume que
imagen y comprensión son modos de pensamiento distintos, aunque
estrechamente relacionados. Un aporte reciente en este mismo sentido
proviene de Warner et al. (2003) al estudiar la contribución del pensamiento
matemático flexible en el crecimiento de la comprensión.
d. Valoración y comprensión
La valoración está presente en el tratamiento de la comprensión en
matemáticas. Los resultados procedentes de las distintas vías de acceso y
41
dimensiones contempladas para su estudio encuentran en esta actividad un
condicionante metodológico de primer orden. Por lo general, las
aproximaciones en educación matemática suelen ser conscientes de este
hecho y entre sus configuraciones y planteamientos teóricos resulta
frecuente encontrar referencias y supuestos básicos compartidos en torno a
la valoración, llegándose a reconocer circunstancias tales como:
- Su elevada complejidad y existencia de limitaciones inherentes a su
propia naturaleza.
- La influencia de la especificidad del conocimiento matemático en la
valoración.
- La adecuación de las manifestaciones observables como vía para
obtener información sobre la comprensión de los alumnos.
Referentes genéricos como estos sirven de base a los diferentes
enfoques para desarrollar sus propuestas de valoración en correspondencia
con aquellos aspectos particulares de la comprensión que son centro de su
interés, generándose por ello una variedad de posibilidades sobre los modos
y términos en los que valorar la comprensión y sobre los métodos, técnicas e
instrumentos a emplear. Entre las contribuciones que se vienen realizando
en este sentido, resultan relevantes las propuestas que plantean valorar la
comprensión en función de la representación y las conexiones internas del
conocimiento matemático (Hiebert y Carpenter, 1992), teniendo en cuenta la
superación de obstáculos epistemológicos (Sierpinska, 1990, 1994) o según
sean las relaciones con significados institucionales preestablecidos (Godino
y Batanero, 1994). Igualmente, destacan los métodos y técnicas centrados
en la elaboración de perfiles de comprensión (Pirie y Kieren, 1994) así como
las estrategias y procedimientos de valoración multifacética basados en el
análisis del conocimiento matemático, como son los análisis semántico y
estructural propuestos por Niemi (1996), el análisis de los significados
praxeológicos de los objetos matemáticos derivado del enfoque
ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática (Godino, 2002a,
2002b) o, más recientemente, el análisis fenómeno-epistemológico del
42
conocimiento matemático desarrollado y aplicado en Gallardo y González
(2006).
e. Contribuciones de las aproximaciones
Algunas consecuencias que se derivan de la teoría son:
- Las Implicaciones didácticas para la enseñanza de la matemática: Los
estudios sobre comprensión suelen venir acompañados de
recomendaciones, propuestas e iniciativas de distinta índole para
fomentar el aprendizaje comprensivo entre los alumnos. Para poder
garantizar su utilidad y efectividad en educación matemática interesa
que tales enfoques manifiesten una clara potencialidad descriptiva y
prescriptiva (Koyama, 1993). Este es el caso del modelo propuesto por
Gallardo y González (2006), donde se facilita un procedimiento
operativo para la identificación y organización de situaciones
matemáticas de utilidad para la práctica docente.
- Las repercusiones sobre otros focos de estudio en educación
matemática: las aproximaciones sobre comprensión aportan, además
de información específica sobre su ámbito de estudio, referencias
añadidas con las que mejorar la situación actual de conocimientos en
torno a otras áreas de investigación, de interés para la educación
matemática, organizando, interpretando, explicando, solucionando o
ampliando las distintas problemáticas ya existentes. Muestras de ello
son las aportaciones de la aproximación representacional a la
controversia vigente sobre la enseñanza del cálculo aritmético
elemental en sus distintas manifestaciones concretadas, por ejemplo,
en propuestas basadas en la construcción de relaciones mediante la
comparación de algoritmos alternativos como vía para favorecer la
comprensión. También son destacables las consecuencias derivadas
de la aplicación del modelo Pirie-Kieren en el ámbito de la formación
inicial de profesores de matemáticas (Cavey y Berenson, 2005).
43
f. Fronteras en la investigación sobre comprensión en matemáticas
Los resultados proporcionados por las distintas investigaciones
realizadas en educación matemática van configurando a lo largo del tiempo
un cuerpo creciente de conocimiento contrastado y consolidado, en torno a
los distintos aspectos vinculados con la comprensión en matemáticas. Este
progreso contrasta, no obstante, con limitaciones importantes para las que la
investigación actual aún no ha encontrado soluciones definitivas. De manera
específica, las fronteras reconocidas que delimitan el estudio de la
comprensión del conocimiento matemático vendrían dadas
fundamentalmente por:
- Las cuestiones abiertas inherentes a cada dimensión particular del
fenómeno. Este es el caso, por ejemplo, del problema de la existencia de
límites en la adquisición de la comprensión o de la encapsulación de su
dinamismo, presentes en el estudio de la evolución. También de la
dificultad que supone lo inobservable en el análisis de la naturaleza y el
funcionamiento internos.
- El problema de la interpretación de la acción del otro. El estudio de las
distintas dimensiones asociadas a la comprensión se ve afectado en su
conjunto por la naturaleza interpretativa de la valoración. De entrada, se
acepta que el modelo básico del observador que pretende obtener
información sobre la comprensión del individuo inmerso en una actividad
matemática comparta la complejidad propia de las situaciones
hermenéuticas condicionadas por el lenguaje (Brown, 2001).
- La controversia vigente en torno al grado de profundidad y extensión
que habría de exigirse al estudio de la comprensión en matemáticas.
Admitir el desarrollo de la comprensión como fin de la educación
matemática genera en el ámbito de la investigación la cuestión básica
de aclarar los conocimientos que resultan precisos para afrontar esta
labor con garantía, cumpliendo con los intereses del área de forma
consensuada con la comunidad científica.
44
1.2.1.2 Dificultades, Obstáculos Epistemológicos y Errores en el Aprendizaje
El concepto de obstáculo fue introducido por Bachelard en 1938, en su
célebre libro La Formación del Espíritu Científico, en el cual explica la idea
de obstáculos:
....hay que plantearse el problema del conocimiento científico en
términos de obstáculos. Y no se trata de considerar obstáculos
externos, como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos,
pues es, precisamente, en el mismo acto de conocer, íntimamente,
cuando surgen, como una necesidad funcional, torpezas de
entendimiento y confusiones. Es ahí donde mostraremos causas de
estancamiento e incluso de regresión, y donde descubrimos causas
de inercia que llamaremos obstáculos epistemológicos. (Citado por
Socas, 1997, p.136)
La transferencia de este concepto en la didáctica de la matemática se
debe a Brousseau quien justifica la flexibilidad de esta idea “la propia noción
de obstáculos está constituyéndose y diversificándose: no es fácil decir
generalidades pertinentes sobre este tema, es mucho mejor estudiar caso
por caso”. Para Brousseau, los obstáculos en el sistema didáctico pueden
ser de origen: ontogénico o psicogénico, didáctico y epistemológico,
La acepción que se adjudica al concepto de obstáculo epistemológico,
tanto para Bachelard y Brousseau es:
Aquel conocimiento que ha sido en general satisfactorio durante un
tiempo para la resolución de ciertos problemas, y que por esta razón
se fija en la mente de los estudiantes, pero que posteriormente este
conocimiento resulta inadecuado y difícil de adaptarse cuando el
alumno se enfrenta con nuevos problemas (Citado por Socas, 1997,
p. 137).
45
La historia de la matemática puede ser un auxiliar para el maestro quien
debe detectar núcleos históricos de obstáculos epistemológicos en el
desarrollo del saber sabio, evento análogo que puede reproducirse en la
actividad de enseñanza aprendizaje. Socas (1997).
Según Socas (1997) las dificultades están asociadas a la complejidad de
los objetos de las matemáticas. Un aspecto relevante es que la matemática
utiliza una simbología acompañada de lenguaje habitual. El lenguaje natural
ayuda a interpretar los símbolos, sin embargo, en esta función del lenguaje
se detecta dificultades de comprensión y comunicación de los objetos
matemáticos. Una dificultad es el resultado de la diferencia de significado
que se le adjudica en matemática a ciertos vocablos comunes. Palabras
como, por ejemplo: matriz, raíz y quebrado; estos vocablos en matemática
adquieren un significado diferente.
Otras dificultades originadas en el lenguaje son el resultado de usar
vocablos que en ciertos contextos pueden ocasionar confusión (reducir la
fracción), o también, palabras que tiene su origen en la matemática como
‘parámetro’ o ‘número racional’.
Algunas de estas dificultades pueden tener su explicación en el dominio
del lenguaje matemático, su semiótica; en especial, su componente
pragmático que se refiere al estudio del sentido que se da al discurso en
función del contexto en el que se utiliza una determinada palabra.
Las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático se
manifiestan con mayor claridad cuando el estudiante se enfrenta a
situaciones de pensamiento deductivo formal. La educación básica ha
optado por abandonar la enseñanza de la argumentación lógica para hacer
demostraciones formales; este hecho evidentemente trajo el descuido del
desarrollo del pensamiento lógico.
Los errores en el aprendizaje de las matemáticas según Socas (1997) se
clasifican en tres tipos: primero, errores que tienen su origen en un
46
obstáculo; segundo, errores que tienen su origen en una ausencia de sentido
o significado, estos están relacionados con las dificultades asociadas a la
complejidad de los objetos matemáticos y a los procesos de pensamiento
matemático; los errores de este tipo son de naturaleza semiótica en sus tres
componentes sintáctico, semántico y pragmático y tercero, errores que
tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas.
11..22..22 CCUURRRRÍÍCCUULLUUMM YY EENNSSEEÑÑAANNZZAA DDEELL NNÚÚMMEERROO RRAACCIIOONNAALL
1.2.2.1 El Número Racional en el Currículo Nacional
El sistema educativo peruano en las últimas décadas ha experimentado
múltiples reformas; concretamente, el Programa Curricular del Área de
Matemática se ha modificado varias veces en los últimos treinta años. En
este numeral se presenta una breve descripción histórica de los cambios en
los planes de estudio de acuerdo a los documentos oficiales del Ministerio de
Educación (M. E.).
En la Tabla 1.1 se enumera los diferentes dispositivos curriculares que
normaron el programa curricular del nivel de educación secundaria,
específicamente el curso o área de matemática del primero y, en ocasiones,
del segundo grado. Se detalla los contenidos específicos del tema Los
Números Racionales; además, se describe las capacidades, objetivos y
pautas metodológicas que proponen estos documentos, en los casos en que
se pudo encontrar dicha información.
47
Tabla 1.1
Diseños y Programas Curriculares del Contenido “Números
Racionales” Perú 1982-2008 Grado Dispositivo
Legal Contenidos Específicos Capacidades, objetivos/ Pautas
Metodológicas 1 Primero y segundo
R.M. 0440-2008-ED Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular.
Primero: Representación, orden y operaciones con números racionales. Operaciones con fracciones y decimales. Segundo: Representación, orden, densidad y operaciones con números racionales.
Primero: Compara y ordena números racionales. Interpreta el significado del número racional en diversas situaciones y contextos. Matematiza situaciones de contexto real, utilizando los números racionales y sus propiedades. Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con números racionales. Segundo: Compara y ordena números racionales. Interpreta significados de números racionales en diversas situaciones y contextos.
2 Primero
R.M. Nº 0667-2005 Diseño Curricular nacional de la Educación Básica Regular. Proceso de Articulación.
Números racionales Igualdad. Adición. Opuesto de un número racional. Valor absoluto. La propiedad de densidad. Multiplicación. Propiedades. Inverso de un número racional no nulo. La propiedad distributiva. Sustracción y división. Propiedades. Potencia con exponente entero. Expresión decimal de un número racional. Expresión decimal periódica y números racionales. Generatriz de una expresión decimal periódica.
El Área de matemática desarrolla las siguientes capacidades de área: Razonamiento y Demostración. Comunicación matemática. Resolución de problema.
3 Primero
R. M. Nº 019-2004. Programa Estratégico Nacional de Desarrollo Curricular. Diseño Curricular Básico
Números racionales Igualdad Adición. Opuesto de un número racional. Valor absoluto. La propiedad de densidad. Multiplicación. Propiedades. Inverso de un número racional. La propiedad distributiva. Sustracción y división. Propiedades. Potencia con exponente entero. Expresión decimal de un número racional. Expresión decimal periódica y números racionales. Generatriz de una expresión decimal periódica.
El Área de matemática, prioriza el desarrollo de tres capacidades: Razonamiento y demostración. Interpretación de gráficos y/o expresiones simbólicas, y Resolución de problemas.
4 Primero
Reconocido por el MED-2002 Diseño Curricular Básico de Educación Secundaria de Menores. Una Nueva Secundaria
Fracciones y decimales. Competencia General: Establece conexiones entre los conceptos, hace uso de destrezas, algoritmos, estrategias heurísticas, procesos de modelación, y muestra capacidad innovadora, interés, confianza, perseverancia y flexibilidad al resolver situaciones problemáticas. Utiliza el lenguaje matemático para interpretar, argumentar y comunicar información de forma pertinente; lo valora y demuestra orden y precisión.
48
Procesos característicos (Capacidades) Resolución de problemas Razonamiento y demostración Interpretación y comunicación. Manejo de algoritmos.
5 Primero y Segundo
Reconocido por el MED-2001 Diseño Curricular Básico de Educación Secundaria de Menores (Adolescentes) Propuesta curricular experimental.
Primer grado: Fracciones y decimales: Operaciones y propiedades. Segundo grado: Números racionales: Operaciones y propiedades.
Competencia: Interpreta, formula y resuelve problemas de la vida cotidiana utilizando técnicas y fórmulas al aplicar métodos apropiados que involucran datos y contraejemplos, utilizando números, funciones, geometría, medida y estadística, desarrollando comunicación, razonamiento y conexiones matemáticas y manifestando confianza, flexibilidad y perseverancia. Se evalúa los siguientes criterios: Formulación y resolución de problemas. Razonamiento y demostración. Interpretación y comunicación. Aplicación de algoritmos.
6 Primero
Resolución Ministerial Nº 0178-1993-ED. Programa Curricular del Primer Grado de Educación Secundaria de Menores.
Extensión de los números enteros a los racionales. Fracción, Conjunto Q de los números racionales y recta numérica. Comparación en Q. Operaciones de adición y sustracción de fracciones. Número mixto. Operaciones de multiplicación y división de fracciones. Representación decimal de un número racional. Números decimales exactos y periódicos. Comparación. Operaciones con expresiones decimales. Generatriz de un número decimal, Cálculo. Potenciación con base fraccionaria o decimal y exponente entero. Radicación en Q. Raíz cuadrada.
Objetivos: Identificar números racionales y resolver problemas reales aplicando las propiedades y técnicas operativas propias del conjunto de los números racionales.
7 Primero
Aprobado por el MED-1989. Programa de Matemática para el Primer Grado de Secundaria
Ampliación de Z. El conjunto Q de los números racionales. La recta numérica y los números racionales. Representación de los números racionales mediante fracciones: Comparación: Equivalencia, relación mayor, menor. Operaciones: Adición, sustracción, multiplicación, división. Potencia con exponentes enteros. Propiedades. Representación decimal de los números racionales. Decimales: Exactos-periódicos. Generatriz. Aproximación. Comparación de decimales. Operaciones con expresiones decimales: Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Radicación en Q. Concepto. Raíz cuadra.
49
8 Segundo
R.M. 0043-82-ED. Programa Curricular de Matemática
Ejemplos de Actividades de Aprendizaje: Identifican el número racional como el cociente de un entero entre un entero positivo. Identifican el conjunto de racionales positivos Q+, racionales negativos Q- y el racional Q. Utilizan la recta numérica. Reconocen la escritura decimal de números racionales. Hallan la generatriz de números decimales finitos o periódicos. Reconocen que existen decimales que no es posible expresarlo como fracciones: Números irracionales. Adquieren la noción de número real. Comparan los números racionales en sus expresiones fraccionaria y decimal: “igual a”, “menor que” y “mayor que”. Adición y sustracción. Multiplicación y división. Potenciación de racionales con base fraccionaria y decimal y exponente entero. Recomendaciones metodológicas: Se recomienda que los alumnos comprendan el significado del ordenamiento de números racionales sea a través de la observación de gráficos.
Realizar operaciones de adición, multiplicación, división, potenciación y radicación en el conjunto Q de números racionales. Realiza operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en el conjunto Q de números racionales.
Observaciones: En este periodo en primer grado se desarrolla los contenidos; regla de tres simple y media aritmética simple. El objetivo es Aplicar los conocimientos matemáticos en la resolución de problemas sobre regla de tres y media aritmética simple. Para el estudio de estos contenidos es necesario tener conocimientos sobre los números fraccionarios, sin embargo estos recién son estudiados en segundo grado. Las recomendaciones metodológicas priorizan el aspecto procedimental: “El procedimiento es sencillo: Basta para cada caso, plantear la ecuación correspondiente y ...resolver”, es decir sugiere hacer una aplicación algorítmica de las ecuaciones.
Elaborado por el investigador.
Como vemos, las últimas propuestas curriculares parten de la concepción
de educación como un proceso sociocultural permanente y sistemático,
dirigido al perfeccionamiento y realización del ser humano, buscando que en
el proceso educativo se logre aprendizajes que desarrollen capacidades y
actitudes. En este marco se plantea la competencia: “Interpreta, formula y
resuelve problemas de la vida cotidiana utilizando técnicas y fórmulas al
aplicar métodos apropiados que involucran datos y contraejemplos utilizando
números racionales, desarrollando comunicación, razonamiento y
conexiones matemáticas y manifestando confianza, flexibilidad y
perseverancia”. (M. E. Diseño Curricular, 2001, p. 57). En las Orientaciones
Metodológicas se destaca la importancia de la matemática, no por la
naturaleza de los objetos con los que se trabaja, sino las relaciones que
puedan establecerse con dichos objetos. Enfatiza que el aprender
matemática significa entender y usar la matemática a través de la resolución
de problemas; el hecho que un estudiante pueda memorizar fórmulas y
50
aplicar algoritmos y técnicas de resolución de problemas y proporcionar
respuestas correctas no implica comprensión matemática.
La matemática es una obra humana en permanente construcción, como
resultado de un proceso histórico-cultural en el que los aspectos formales y
deductivos corresponden a una faceta de ella. El aprendizaje de la
matemática debe contribuir a la formación integral del educando desde las
perspectivas cognitiva, instrumental, estética, lúdica, ética, cultural y
principalmente comunicacional. La comunicación ayuda a los modos de
argumentación, las distintas formas de expresión matemática –numérica,
gráfica, geométrica, lógica, algebraica y probabilística-, ganando así el
educando en precisión y rigor; se explica que el lenguaje matemático ayuda
a los estudiantes a desarrollar sus habilidades para formular, argumentar
convincentemente, interpretar y representar ideas matemáticas en forma
verbal, gráfica o simbólica (M. E. Diseño Curricular, 2001).
El tratamiento de los números requiere una comprensión y tratamiento
más amplio, que no puede limitarse únicamente al dominio de las operaciones básicas y las destrezas operatorias con expresiones algebraicas. Actualmente, los educandos tienen que tener la capacidad de
interpretar los números, razonar con conjuntos de variables
interrelacionadas, y crear e interpretar de manera crítica métodos para
modelizar los fenómenos. Será necesario desarrollar capacidades para
identificar relaciones críticas en situaciones nuevas y expresarlas en una
forma simbólica y eficaz. Las habilidades requeridas para describir e
interpretar información cuantitativa estructurada, sacar inferencias y probar
la plausibilidad de las conclusiones, se encuentran principalmente en la
comprensión de las propiedades fundamentales de los sistemas numéricos
y en la vinculación entre estos sistemas matemáticos y la vida real, así como
en la generalización del razonamiento aritmético al álgebra. (M. E. Diseño
Curricular Básico 2002)
51
1.2.2.2 El Número Racional en los Estándares Curriculares
Los Principios y Estándares para la Educación Matemática, elaborado por
la Federación Norteamericana de Sociedades de Profesores de Matemática,
el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM. 2000), describen lo
que la enseñanza matemática debería lograr que los estudiantes conozcan y
hagan. Así, respecto a la enseñanza de los números racionales para la
etapa 6-8 que corresponde a la escolaridad de sexto de educación primaria,
primero y segundo de secundaria del sistema educativo peruano, se propone
como expectativa lo siguiente:
- Trabajar flexiblemente con fracciones, decimales y porcentajes
para resolver problemas.
- Comparar y ordenar fracciones, decimales y porcentajes con
eficacia, y encontrar su situación aproximada en la recta
numérica.
- Comprender y utilizar razones y proporciones para representar
relaciones cuantitativas.
- Comprender el significado y los efectos de las operaciones
aritméticas con fracciones.
- Utilizar las propiedades asociativa, conmutativa de la adición y de
la multiplicación.
- Utilizar la distributividad de la multiplicación respecto a la adición,
para simplificar cálculos con enteros y fracciones.
- Seleccionar y aplicar los métodos y herramientas apropiadas en
cada situación para calcular con fracciones.
- Desarrollar y analizar algoritmos para calcular con fracciones y
desarrollar fluidez con ellos.
- Desarrollar, analizar y explicar métodos para resolver problemas
relacionados con las proporciones, como usar escalas y hallar
razones equivalentes. (NCTM. 2000, p. 218)
52
En esta etapa de la escolaridad los alumnos deben ser hábiles en el
trabajo con fracciones, el trabajo de enseñanza aprendizaje debe basarse en
los conocimientos previos con las fracciones y experiencias de la vida diaria.
La destreza con los números racionales debe alcanzarse conjuntamente con
otros contenidos del currículo. La comprensión de los números racionales
pasa por la manipulación de diferentes representaciones, ya sean pictórica,
gráfica en la recta numérica y simbólica, tal como lo recomienda Duval
(1995). Quien a su vez establece estándares:
Una sólida comprensión de las diferentes formas de representar las
fracciones, los decimales y los porcentajes, es la esencia de la
flexibilidad al trabajar con números racionales. En los niveles 3-5, los
estudiantes debieron aprender a generar y reconocer formas
equivalentes de fracciones, decimales y porcentajes, al menos en los
casos sencillos. En los niveles medios, y con la base de estas
experiencias, deberían llegar a ser diestros en el uso de las
fracciones, los decimales y los porcentajes. (NCTM. 2000, p. 219)
En esta etapa de la escolaridad los estudiantes deberían de ampliar y
consolidar su repertorio de significados, representaciones y usos del número
racional positivo. Si bien el estudiante hasta ahora conoce los significados de
la fracción como medida, cantidades, partes de un todo, localización en la
recta numérica y división indicada, deberá también ser capaz de resolver
problemas relativos a razones, tasas y operador. (NCTM. 2000).
1.2.2.3 Consideraciones de la Enseñanza de la Matemática
a. La educación matemática que promovemos
La percepción que transmiten la estructuración de los libros de textos es
que están diseñados para el entrenamiento “training” de los algoritmos,
generalidades, principios y definiciones presentados por el instructor; y para
que los alumnos estén técnicamente diestros en el manejo de los
conocimientos objetivados y externos al sujeto que alcancen el “competent
53
performance”. Esta forma de presentar los contenidos matemáticos no es
aprendida en forma comprensiva. Este enfoque excluye la posibilidad de
generar comprensión, porque, el acceso al conocimiento, o a los dominios
de consenso se logra a través de experiencias artificiales subjetivas (Arcavi,
1995).
Los problemas y ejercicios que se plantean, en los libros de texto, a los
alumnos tienen la finalidad de afianzar la memorización del contenido a
través de la reiteración; lo que se debe hacer es que se planteen problemas
que, para su solución, no se utilice las técnicas aprendidas anteriormente
sino que el alumno se sienta conducido a utilizar su comprensión de los
conceptos y establezca conexiones con otros conceptos conocidos (Arcavi,
1995). La solución de un problema o ejercicio solo conduce a la aplicación
de un algoritmo conocido, son el resultado de una operación, y lo
recomendable es que el alumno tenga que argumentar, establecer
conexiones entre los conceptos.
b. Los saberes escolarizados y su preparación didáctica
Para Chevallard, los saberes escolarizables como resultado de la
transposición didáctica cumplen con los requisitos de desincretización,
despersonalización, la programabilidad de la adquisición, la publicidad del
saber y el control social de los aprendizajes. Estos requisitos se ven
realizados a través de la preparación didáctica que denomina la puesta en
texto del saber. En este texto quedan explicitadas las nociones matemáticas,
y la existencia real, por ser necesaria, para la construcción del texto, pero no
es su objetivo las nociones paramatemáticas. En tanto queda de forma
implícita las nociones protomatemáticas.
La textualización del saber trae consigo la delimitación de saberes
parciales, los agentes de la transposición usualmente son conscientes del
carácter delimitado de los saberes parciales independizados. En el proceso
de textualización de las nociones matemáticas, se manifiesta las nociones
protomatemáticas a través de los prerrequisitos, en tanto no son reconocidos
54
como tales. La delimitación de las nociones matemáticas produce su
descontextualización, su desubicación contextual que le otorga sentido
completo; se produce la ruptura del juego intersectorial constitutiva del saber
en su movimiento de creación y de realización, como lo enfatiza Chevallard.
Así mismo, la textualización del saber produce la despersonalización como
la disociación entre el pensamiento y sus producciones discursivas. Además,
la puesta en texto de los saberes posibilita la objetivación, es decir, la
publicidad de las nociones matemáticas. Esta a la vez posibilitará el control
social de los aprendizajes. Finalmente, el texto es una norma de progresión
en el conocimiento en el que se programa la adquisición del saber. Esta
programabilidad se manifiesta en la secuenciación de razonamientos y
nociones textualizados y se pretende que el aprendizaje sea isomorfo a la
estructura del texto, hecho que no es así en la realidad.
1.2.2.4 Evaluación Nacional del Rendimiento Estudiantil
En la Evaluación Nacional de Rendimiento Estudiantil 2004, se exigió
como nivel suficiente a los estudiantes del tercer grado lo siguiente:
Los estudiantes ubicados en este nivel resuelven situaciones
problemáticas rutinarias y no rutinarias que demandan elaborar una
secuencia de hasta tres operaciones aritméticas o utilizar la
proporcionalidad directa con números racionales en su
representación decimal.
Estos estudiantes manejan adecuadamente las operaciones
combinadas con números enteros respetando el orden jerárquico de
dichas operaciones y se están iniciando en la comprensión de los
números racionales. Unidad de Medición de la Calidad Secundaria
del Ministerio de Educación (UMC. 2004, p. 52).
La evaluación reveló que los estudiantes presentan limitaciones en el
cálculo de operaciones aritméticas combinadas con números naturales,
enteros y racionales.
55
Las sugerencias metodológicas de la Unidad de Medición de la Calidad
del Ministerio de Educación respecto a los números naturales es que, se
debe trabajar “en primer lugar, con los racionales positivos, reforzando la
equivalencia de las distintas representaciones: como fracción, como número
decimal, como gráfico, o como porcentaje” (p. 92).
La UMC recomienda que a través de situaciones intra y extra
matemáticas se debe hacer hincapié en situaciones problemáticas, en las
propiedades de orden, densidad y relaciones de equivalencia. Además, la
UMC recomienda desarrollar los siguientes significados: la fracción en sí
como parte-todo, como cociente entre dos números (como una división
indicada), como razón y finalmente, como operador (p. 92).
Asimismo, recomienda el uso de las representaciones gráficas con el
objetivo de promover comprensión significativa de la noción y evitar el
entrenamiento o aprendizaje memorístico.
11..22..33 FFEENNOOMMEENNOOLLOOGGÍÍAA EE HHIISSTTOORRIIAA DDEELL NNÚÚMMEERROO RRAACCIIOONNAALL
En este apartado presentamos información referente a la fenomenología
del conocimiento matemático, en general; y del número racional, en
particular. Se revisa la metodología y teorías desarrollados por Freudenthal
(1993), Puig (1997), y Gallardo y Gonzales (2006). En una segunda parte, se
revisa el conocimiento académico o saber sabio, Chevallard (1991), del
número racional; también, se hace una revisión del desarrollo histórico con la
finalidad de comprender la fenomenología histórica que se adjudica a las
fracciones.
1.2.3.1 Análisis Fenomenológico del Conocimiento Matemático
En este apartado se reseña la teoría sobre la fenomenología del
conocimiento matemático desarrollado por Hans Freudenthal y su método.
Asimismo, revisamos la perspectiva del análisis fenomenológico desde la
56
visión de Luis Puig, además de discutir la naturaleza de la matemática como
constitución de objetos mentales frente a la adquisición del concepto.
a. El método de Hans Freudenthal
Para Freundenthal (2001) la fenomenología es la antítesis entre el
noumenon (contenidos o estructuras matemáticas, objeto de pensamiento) y
el phainomenon. Es lo que se adquiere como categoría cuando tenemos
experiencia de ellos. De este modo, los objetos matemáticos son noumenon;
así por ejemplo, los números racionales pertenecen a esta categoría, pero,
los significados del número racional son phainomenon.
Trabajar con los significados del número racional implica manejar
conceptos, estructuras e ideas matemáticas; estos elementos organizan los
fenómenos. Así una ilustración icónica de la fracción ½ ayuda a organizar el
uso de los significados del número, en este caso como par ordenado (a, b) a,
b ∈ Z x Z- {0}, o como el fenómeno de la medida, razón, contexto de reparto
y operador, del número racional se organiza mediante un par de números
enteros como se aclaró más arriba. Así, Freudenthal remarca “La
fenomenología de un concepto matemático, de una estructura matemática o
una idea matemática significa en mi terminología, describir este noumenon
en su relación con los phainomena para los cuales es el medio de
organización” (p. 1).
Si se presta atención a cómo se adquiere la relación noumenon y
phainomenon en un proceso de enseñanza aprendizaje entonces se estará
hablando de la fenomenología didáctica de ese noumenon, en tanto que la
fenomenología genética está interesado en la observación de las relaciones
en el proceso de crecimiento cognitivo.
Según recomendaciones de Freudenthal (2001) el material necesario
para una fenomenología didáctica de los números racionales será:
1) El conocimiento matemático de los números racionales.
57
2) Sus aplicaciones.
3) Su historia.
4) Análisis de libros de texto.
5) La experiencia de los didactas en el desarrollo de los números
racionales en la mente de los estudiantes.
6) Indagaciones sobre los procesos reales de la construcción de
número racional y la adquisición de conceptos matemáticos relativo
al objeto en cuestión.
Para Freudenthal, la adquisición de conceptos y la constitución de
objetos mentales son dos procesos distintos que tienen sus características
particulares. Así, si se quiere estudiar el concepto de número racional de
Bourbaki o Birkhoff y MacLane (1954), se intenta comprender qué es lo que
estos autores tienen en mente cuando utilizan el concepto número racional.
En comparación con el concepto de números racionales que pueda manejar
un estudiante de educación primaria o una comerciante de papas, interesará
averiguar sobre lo que saben acerca de los números racionales y cómo lo
utilizan. En esta descripción se percibe un doble significado de la palabra
‘concepto’.
Si se desea que algún alumno de educación primaria tenga un concepto
de número racional concebido, y si se enseña o se intenta enseñar el
concepto de número racional como campo, se inculca este concepto, pero,
es evidente que no se tendrá éxito. Por esta razón, se intentará materializar
el concepto. Como señala Freudenthal deberá ser “embodied” (concretizar),
es decir, “enseñar abstracciones haciéndolas concretas”, y a pesar que el
enseñante realice varios “embodiments” para alcanzar el objetivo, el
concepto de número racional será muy pobre.
Freudenthal propone que, para tener éxito en la enseñanza del concepto
de número racional, en vez de comenzar por el concepto, será preferible
buscar fenómenos que puedan compeler al estudiante a constituir el objeto
mental que está siendo materializado por el concepto de número racional.
58
En este sentido la fenomenología didáctica tiene la tarea de organizar los
fenómenos ligados, en este caso, al número racional.
El autor aclara que la constitución de los objetos mentales antecede a la
adquisición de conceptos; incluso, si no se llegara a la adquisición la
constitución puede ser altamente efectivo duradero y definitivo. Se debe
recordar que vemos los noumenon, en primer lugar, como objetos mentales,
y solo secundariamente como concepto. La aproximación al conocimiento
por adquisición de conceptos se inicia con la presentación del concepto, y
solo luego, las aplicaciones. En tanto que la aproximación por constitución
de objetos mentales se principia por la organización de los fenómenos y en
seguida se construye el objeto mental, es decir, el concepto.
b. Análisis fenomenológico en la visión de Luis Puig
Según Puig (1997), el análisis fenomenológico se ocupa de la naturaleza
de los objetos matemáticos y de la práctica matemática; y,
consecuentemente, de la naturaleza de la actividad para propiciar en el
estudiante una genuina experiencia matemática.
La interpretación del análisis fenomenológico que realiza Puig tiene dos
sentidos: primero, concierne a la naturaleza de los objetos matemáticos y de
la práctica matemática promover espacios de genuina experiencia
matemática para el alumno; segundo, el análisis fenomenológico debe
establecer los objetivos de la educación matemática, en expresión de
Freudenthal, es la constitución de objetos mentales versus la adquisición de
conceptos.
El análisis fenomenológico de una estructura matemática, es describir
cuáles son los fenómenos para los que es el medio de organización y
establecer las relaciones entre la estructura y los fenómenos. En el análisis
de los fenómenos se debe describir la totalidad de los fenómenos para los
cuales es así, considerando los fenómenos para cuya organización fue
creado al inicio y a qué fenómeno se extendió posteriormente. La
59
descripción del concepto con los fenómenos debe exhibir la manera cómo
actúa sobre el fenómeno como medio de organización y de qué poder nos
dota sobre ellos.
A diferencia de Freudenthal, Puig sustituye el término noúmenos por
‘medio de organización’, o sea la función de los conceptos cuando se
considera en su relación con los fenómenos, y entiende que fenómeno es el
objeto de la experiencia matemática. Los medios de organización de los
fenómenos son tomado a su vez como objeto de experiencia, este par
‘fenómeno/medios de organización’ está en permanente interacción
dinámica y se dan saltos de cambio, así los medios de organización de un
par pasan a ser fenómenos del siguiente. Luego, hacer fenomenología es
describir una de esas series o una de sus partes.
Según Freudenthal los tipos de fenomenología son cuatro:
- Fenomenología: Se trata de los fenómenos que están organizados en
las matemáticas tomadas en su estado, momento y uso actual. Aquí
los conceptos o las estructuras matemáticas se tratan como productos
cognitivos.
- Fenomenología didáctica: Intervienen los fenómenos del mundo de
los alumnos y los que se proponen en las secuencias de enseñanza.
Aquí los conceptos o estructuras matemáticas se tratan como
procesos cognitivos.
- Fenomenología genética: Son los fenómenos relacionados al
desarrollo cognitivo de los aprendices.
- Fenomenología histórica: Se estudia los fenómenos para cuya
organización se creó el concepto y cómo se extendió a otros
fenómenos.
La secuencia de los distintos tipos de análisis fenomenológico para
describir una fenomenología didáctica, según Freudenthal, es la siguiente:
fenomenología pura, histórica, didáctica y finalmente, fenomenología
genética.
60
Según Puig (1997) los conceptos matemáticos son medios de
organización de fenómenos del mundo. Como la tarea de la fenomenología
es indagar, analizar los conceptos matemáticos y cuáles son los fenómenos
que organiza; los fenómenos que consideramos en el análisis apenas si son
del tipo que se trata a partir de los análisis concretos que realicemos; es
decir, los fenómenos que son organizados por los conceptos matemáticos
son fenómenos del mundo real, físico, cotidiano, sus propiedades, las
acciones que se realiza sobre ellos y las propiedades de las acciones.
Los conceptos matemáticos no están en otro mundo, uno ideal, ni es
anterior a la actividad matemática, se ubican en nuestro mundo de
experiencias. Para Freudenthal, en el proceso de creación de objetos
matemáticos como medio de organización, se convierten en objetos que se
sitúan en el campo del fenómeno.
Así, los objetos matemáticos se incorporan al mundo de las experiencias
en el que entran como fenómeno en una nueva relación fenómenos / medios
de organización en la que se crean nuevos conceptos matemáticos y así
este proceso se repite una y otra vez, (Puig. 1997). Este proceso iterativo de
producción de objetos matemáticos se da cada vez en un nivel más
abstracto. Estos conceptos matemáticos creados se ubican en el mundo de
experiencias que se puede percibir a través de los sistemas de signos en
que se expresan.
Puig distingue dos tipos de signos en los textos matemáticos; primero, los
“artificiales” o propios de la matemática; y segundo, los signos de alguna
lengua vernácula. Pero, lo importante no es esto, sino el estudio de los
procesos de significación y producción de sentido. En consecuencia, postula
un determinado sistema de signos, es decir, un “sistema matemático de
signos”, ya que en este sistema matemático de signos muchos de ellos
carecen de naturaleza lingüística. Puig no usa en su análisis la pareja
‘significante/significado’ como postula Sausssure, sino prefiere la propuesta
61
de Eco o Barthes, por eso usa el par ‘expresión/contenido’ de un signo o una
función semiótica del signo.
La interpretación del par ‘expresión/contenido’ del signo que hace Puig es
coherente con la relación fenómenos / medios de organización. “El signo que
tiene un componente de expresión y contenido, se sitúa en la relación de ser
la expresión de un contenido al que remite o que implica” (Puig, 1997, p. 68)
así por ejemplo, una expresión primigenia está compuesto de una expresión
y un contenido.
Los sistemas matemáticos de signos, además de permitir organizar los
fenómenos creando los conceptos, también capacitan, y permiten realizar
nuevas acciones sobre los objetos matemáticos, que son acciones
matemáticas no arbitrarias. Estas acciones están sugeridas por los sistemas
matemáticos de signos más abstractos, es decir, estos sistemas abren
nuevas perspectivas de desarrollo matemático con capacidades cada vez
más superiores.
Los conceptos matemáticos se crean en el proceso ‘fenómeno/medios de
organización’, y estos no son inmutables, sino que se modifican como
consecuencia de su uso y de los nuevos sistemas matemáticos de signos en
que se describen.
Para Freudenthal desde la perspectiva de la didáctica, el objeto de la
acción educativa matemática básica es la constitución de objetos mentales;
y, solo después, de manera temporal y en importancia, la adquisición de
conceptos, esto como consecuencia de considerar a las personas que
aprenden y usan matemática primero; y luego, la disciplina o conjunto de
saberes, histórico, social y culturalmente establecidos.
Puig describe en términos semióticos las diferencias entre objeto mental
y concepto, tomando como pretexto el número racional.
62
El conjunto de contexto en que se usa el número racional, puede ser
contexto de etiqueta (página 1 de 10: 1/10), contexto de medida, contexto de
comparación o de razón, contexto de reparto, contexto matemático o de
operador, contexto de parte-todo. Este conjunto de contexto constituye el
campo semántico de “número” formados por todos los significados
culturalmente establecidos. El significado enciclopédico de número posibilita
identificar el contexto en que se usa el número, permitiendo al receptor del
mensaje adoptar la restricción semántica que establece el contexto y así
poder interpretar el mensaje de la forma correcta. El sujeto usuario del texto
no se mueve en el conjunto enciclopédico, sino tiene un campo semántico
personal, a esto Freudenthal llama “objeto mental número”.
La riqueza fenomenológica del número se logra cuando se supera los
contextos de uso mundano de los números que se ubica en los niveles más
bajos y se toma en consideración otros contextos, como por ejemplo, el
contexto matemático. Los objetos mentales se constituyen en cadenas
fenómenos / medios de organización alcanzando niveles de desarrollo cada
vez superiores.
Puig (1997) señala que los conceptos de número natural, entero y
racional son distintos; además, el objeto mental número se constituye para
organizar fenómenos de naturaleza diversa. El conjunto de todos los usos
posibles en los diferentes contextos compone el campo semántico de
número y lo que un sujeto experimenta para constituir su propio objeto
mental de ‘número’. Puig sostiene que la adquisición de los conceptos de
número solo se logra a través de buenos objetos mentales y de recortes de
ese campo semántico, y además estos objetos metales relativos al número
se siguen desarrollando permanentemente. Así, por ejemplo, el número
racional no solo se usa en contextos de la vida cotidiana, percibidos por un
niño, sino que también se pondrá en contacto en los siguientes niveles
educativos, con otros contextos matematizados hasta llegar al concepto
algebraico de número racional que se alcanza en la educación superior.
63
1.2.3.2 Fenomenología del número racional según Freudenthal
Según Freudenthal (2001) una fracción es una expresión o
representación de un número racional. Así, varias expresiones fraccionarias
(21 ,
62 ,
2010 ,
5532
++ ) representan al número racional, el objeto matemático. Cada
uno de estas expresiones fraccionarias como dice Freudenthal “tiene una
vida propia”, las fracciones son el recurso fenomenológico del número
racional.
El término fracción evoca la fractura o quebramiento que hay. También se
les llama números quebrados. En tanto que el número racional evoca la
razón como proporción de medidas.
Freudenthal se propone el objetivo de presentar las fracciones en su
completa riqueza fenomenológica. En sus observaciones metodológicas
busca prestar atención al cien por ciento de los fenómenos y organizarlos
demasiado sistemáticamente corriendo el riesgo de llegar a la simplificación
con el consiguiente entorpecimiento de la tarea fenomenológica.
Para Freudenthal, las fracciones en el lenguaje cotidiano se presentan
como:
a. La fracción como fracturador
Se entiende la acción de dividir, fracturar en forma irreversible o
reversible o meramente simbólico y que la igualdad de partes como requisito
sea estimada al ojo o por tacto. Dentro de la tarea de dividir en partes
iguales es relevante observar la comparación entre las porciones.
b. Las fracciones como comparador
Las fracciones sirven para comparar objetos que se separan uno de otro.
La comparación se realiza de acuerdo con ciertos criterios directos e
indirectos. Dentro de los modelos de comparación se pueden distinguir:
modelo de la relación razón y modelo del operador razón.
64
1.2.3.3 Historia de las Fracciones
La revisión histórica sobre el origen de las fracciones explora los aportes
de las culturas mesopotámica, egipcia, griega y otras quienes desarrollaron
la idea de fracción unitaria, fracciones sexadecimales, y el reconocimiento de
las contribuciones de otras culturas como la china e hindú, permitieron
cristalizar el concepto de número racional en la modernidad.
El concepto de número natural es el más antiguo que la humanidad
conoció, sus orígenes se pierden en la oscuridad de la prehistoria. Mientras
que las fracciones racionales, se desarrollaron relativamente más tarde,
según los vestigios históricos data de dos mil años antes de la era cristiana.
Su origen no obedece a causas sociales relacionadas con los sistemas
elaborados para los números enteros. Aparentemente en las sociedades
primitivas no tenían necesidades de usar fracciones, (Boyer, 1996).
El concepto de fracción se ha ido desarrollando a través de la historia, de
hecho ha tenido que pasar miles de años para llegar a conceptuarlo con el
nivel que hoy lo conocemos. Las fracciones se llamaron en un principio
“rotos” y después “quebrados”, esta última sustantivación aún hoy subsiste.
Recientemente se ha añadido al denominador la terminación genérica avos.
a. Los babilónicos y la noción de fracción
La civilización babilónica de Mesopotamia reemplazó a las civilizaciones
sumeria y acadia. Los babilonios heredaron el sistema de numeración de los
sumerios y de los acadios. El sistema numérico de estos predecesores era
de base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema
acadio, ni el sumerio eran posicionales; el mérito de los babilonios fue
indudablemente el desarrollo del sistema numérico posicional.
Los babilónicos usaron un sistema mixto en la lectura numérica
(posicional y aditivo) y en la base 60 y 10. La base 60 dificultaba la
memorización de las tablas y por ello editaron gran número de estas tablas.
65
Los babilonios usaban un sistema de fracciones sexagesimales similar a
nuestras fracciones decimales. Por ejemplo, si escribimos 0.125 entonces
tenemos 1/10 + 2/100 + 5/1000 = 1/8. Análogamente, la fracción sexagesimal
babilónica 0;7,30 representaba 7/60 + 30/3600, que en nuestra notación resulta
también 1/8.
Las fracciones eran utilizadas con frecuencia por los babilonios,
afirmamos esto porque aparecen diversos casos de multa, expresados en
fracciones en el Código de Hamurabi (1694 a.C.); como también en el
estudio de la astronomía, Ptolomeo de Alejandría en el año 150 explica, en
su obra “El Almagesto”, su preferencia por las fracciones sexagesimales
antes que las fracciones como razón utilizadas por los griegos.
b. Las fracciones en el antiguo Egipto
Henry Rhind, ciudadano inglés, adquirió en Luxor un largo papiro de más
de cinco metros de longitud, que por versiones de los vendedores había sido
encontrado en una estancia cercana al Rameseum.
El papiro Rhind es uno de los documentos más antiguos sobre
matemática, tiene aproximadamente 4000 años, cuyos datos parecen indicar
que esta copia corresponde a los años 1585-1542 a. C. durante el Segundo
Período Intermedio. En su introducción el autor Ahmes, escribe lo siguiente:
Razonamiento exacto para averiguar las cosas y el conocimiento de
todas las cosas, misterios... todos los secretos. Este libro está escrito
en el año real 33, mes 4 de Akhet, Rey del Bajo Egipto, Awserre,
Vida dada, a partir de una copia antigua hecha en el año del Rey del
Alto Egipto, Nymatre. El escriba Ahmose escribe esta copia.
Este documento refiere la costumbre egipcia de expresar toda fracción en
una suma de fracciones de numerador uno. Así, la fracción ¾ se escribía
como la suma de dos fracciones de numerador uno: ½ + ¼. Los datos
históricos permiten afirmar que los egipcios solo sabían operar con
66
fracciones de numerador uno, por esa razón se reducía únicamente a este
tipo de fracción.
Al contar solo con fracciones unitarias el escriba no necesitaba
representar por escrito la fracción como un par de números, tal como
hicieron los árabes con el 'número roto'. Para indicar que se estaba tratando
de fracciones se dibujaba, en el sistema jeroglífico, el símbolo del 'rho',
definido como 1/320 de heqat de grano, esto denota un significado preciso
de la fracción. Bajo este símbolo se colocaba el denominador escrito del
modo usual como tal cantidad numérica. Dentro de este esquema existían
dos excepciones: la mitad tenía un símbolo propio, una especie de U
inclinada. Algo similar sucede con el 2/3, la fracción excepcional, que
mostraba o bien un símbolo de ro con dos palos desiguales debajo o el
mismo símbolo atravesado por una U invertida con dos brazos desiguales.
c. Las fracciones en la cultura china
Según Carl B. Boyer, los chinos, mucho más antes que los griegos y
romanos, ya conocían un sistema de numeración posicional, y además
podían hacer cálculos con fracciones.
No podemos considerar completa nuestra descripción del sistema de
numeración chino sin hacer referencia al uso de las fracciones. Los
chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias,
hasta el punto que en ese contexto hallaban el mínimo común
denominador de varias fracciones. Al igual que hacían en otras
materias, también establecían aquí analogías con los distintos
sexos, refiriéndose al numerador como “el hijo” y al denominador
como “la madre”; el énfasis generalizado en toda la cultura china
sobre los principios del yin y del yang (opuestos entre sí,
especialmente en el sexo), hacia más fácil seguir las reglas para
manipular fracciones. Boyer (1996, pp. 263 - 264).
67
El hecho histórico más importante de las fracciones chinas es su
decimalización. Al igual que en la cultura babilónica los sistemas de medida
básicamente sexagesimal produjeron un sistema de numeración posicional
de base 60, de la misma manera los chinos desarrollaron “una idea directriz
decimal en los pesos y medidas dio como resultado el que se impusiera el
hábito decimal en el manejo de las fracciones, que puede rastrearse, según
se dice, tan lejos en el tiempo como el siglo XIV a. C.” (Boyer, 1996, p. 264)
d. Las fracciones en la cultura griega
Según Boyer (1996) es probable que los griegos se nutrieran de los
aportes matemáticos egipcios, los griegos adoptaron las fracciones unitarias
para legarlo a los romanos. Mientras que los babilonios y egipcios incluyeron
los números enteros y fraccionarios en el dominio numérico, en Grecia la
palabra número se aplicaba solo a los números enteros positivos. Boyer
apunta “A las fracciones no se las consideraba como entidades únicas, sino
como una razón o relación entre dos números enteros” (p. 83), esta forma de
concebir las fracciones es más parecida a la matemática “moderna”.
Euclides escribe en los Elementos (V.3), “Una razón es una cierta relación
con respecto al tamaño de dos magnitudes del mismo tipo” (p. 83); de
acuerdo con Boyer la noción “razón” centrada en la conexión entre pares de
números, tiende a poner el énfasis en los aspectos racionales o teóricos del
concepto de número y no en el papel del número como herramienta para el
cálculo o para la aproximación en la medida.
De acuerdo con Whitehead (1944) los griegos consideran las fracciones
en su significado de razón. Así, un griego sostendría que una línea de dos
metros de longitud, guarda relación a una línea de tres metros, una razón de
2 a 3; lo que actualmente diríamos que, una línea es los dos tercios de la
otra en longitud, y consideraríamos a los dos tercios como un multiplicador
numérico.
68
e. Las fracciones en el mundo árabe, el caso de Al-Kashi
Al-Kashi (ca. 1436) en Samarcanda, hizo construir Ulugh Beg un
observatorio astronómico. Desde allí Al-Kashi desarrolló la matemática que
escribió, tanto en árabe como en persa, mostrando exactitud en el cálculo.
Fue el primero en utilizar las fracciones decimales en el cálculo de muchas
cifras exactas. Pero para el cálculo sistemático de raíces continuas utilizó las
fracciones sexagesimales. Se cree que adoptó los aporte de los chinos para
su práctica de utilización de fracciones decimales. Al-Kashi es un personaje
histórico de la matemática, muy importante en la difusión de las fracciones
decimales.
f. El Liber Abaci de Leonardo de Pisa
Leonardo de Pisa (1180-1250) conocido como Fibonacci, vivió en una
época de disputa entre algoritmistas y abacistas. En ese contexto escribe el
Liber Abaci (libro del ábaco), un tratado de problemas algebraicos, en él se
difunden los numerales hindú-arábigos, describe las nueve formas hindúes,
junto con el signo 0 que en árabe se llama “zephirum”. Fibonacci, utiliza la
barra horizontal en la notación de las fracciones, claro que esta ya se usaba
en Arabia, pero solo llegó a generalizarse en el siglo XVI.
Fibonacci, en la explicación de procesos algorítmicos para la solución de
problemas de transacción comercial, utilizó un complicado sistema de
fracciones al calcular los cambios de moneda. El tipo de fracciones que
utilizó son las fracciones comunes, sexagesimales y unitarias, pero nunca
decimales. De estas tres prefería las fracciones comunes y unitarias.
g. François Viète en la Europa Occidental
François Viète (1540-1603), su aporte en aritmética se debe a la defensa
del uso de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales. En su obra
Canon-mathematicus de 1579 señala:
69
Los sexagesimales y los sesenta han de ser usados raramente o
nunca en la matemática, mientras que los milésimos y los miles, los
centésimos y los cientos, los décimos y los dieces, y las
progresiones semejantes, ascendentes y descendentes, deben
usarse frecuente y aun exclusivamente. (En Boyer 1996, p. 386).
h. Simón Stevin y la popularización de las fracciones decimales
Simón Stevin de Brujas (1585), hace una propuesta consistente a favor
de las fracciones decimales, el uso de la escala de base 10 para las
fracciones, lo mismo que para los enteros. Si bien las fracciones decimales
tienen sus primeros vestigios en la antigua China, Arabia medieval y Europa
renacentistas; Stevin, a través de su libro De Thiende (o “El décimo”)
popularizó las fracciones decimales entre la gente corriente y los
matemáticos que se ocupaban de trabajos prácticos. Stevin se propuso la
tarea de enseñar a todo el mundo, con detalle y de manera muy elemental,
los cálculos necesarios de la vida diaria por medio de enteros sin fracciones,
análogamente a la forma de medir el tiempo en minutos y segundos.
11..22..44 CCOOMMPPOONNEENNTTEESS EEPPIISSTTEEMMOOLLÓÓGGIICCOOSS DDEELL NNÚÚMMEERROO RRAACCIIOONNAALL
En este numeral se realiza una precisión de los términos concepto,
significado, signo, y una aproximación al término ‘fracción’, desde el lenguaje
español; seguidamente, se aclara la noción del aprendizaje contextual, para
luego, discutir los diferentes significados que admite el número racional,
específicamente su representante, el número fraccional.
El componente epistemológico estudia la naturaleza del número racional
desde la caracterización de sus significados en educación matemática y de
la descripción de sus principales representaciones externas, caracterización
que se sustenta en la teoría de los registros de representación semiótica de
Duval. R. (1995).
70
1.2.4.1 Significados del Número Racional
a. Contexto y significados del número racional
Para Vergnaud (1987) el contexto es entendido como una situación
problemática o un fenómeno que da sentido a un concepto. Para Vygotsky
(1962) el contexto es importante en la enseñanza y el aprendizaje de
cualquier contenido, y debe tenerse en cuenta la influencia del contexto. En
Educación Matemática, Roth (1996) plantea tres diferentes sentidos para el
término “contexto”:
Primero, los problemas de matemática poseen un texto. Se refiere a todo
conocimiento adicional necesario para la comprensión del problema
matemático. La interpretación del problema matemático y del texto va
depender de la experiencia y conocimientos previos que tenga el individuo.
Segundo, se refiere a algunos fenómenos del mundo, que pueden ser
modelados de una forma matemática particular. Cuando los estudiantes se
apropian significativamente del concepto en relación con un fenómeno, este
puede ser considerado el contexto que intervino en la elaboración del
significado del concepto.
Tercero, el contexto está ligado a la noción de ambientes y situación. Son
constituyentes del contexto las situaciones sociales, físicas, históricas,
espaciales y temporales que forman la base para las actividades de
aprendizaje.
En nuestro estudio adoptamos el concepto de contexto de Roth. Sobre
todo se usa la palabra contexto siempre que se refiere a fenómenos, lugares
físicos (ambientes), la situación problemática o situaciones diversas que
incluyan prácticas matemáticas. Examinar el “contexto” es fundamental para
la investigación, ya que a partir de él se plantea algunas interpretaciones del
comportamiento en el aprendizaje y comprensión de los significados del
número racional. El “contexto” está estrictamente relacionado con el estudio
71
de los significados de las fracciones que se presenta en diferentes
situaciones problemáticas, así se tiene los “contextos de medida”, o
“contexto algorítmico cuando se entiende la fracción como operador” o
“contexto de reparto o cociente” y los problemas enmarcados en el “contexto
de razón”.
b. Los Significados de la Fracciones en la Educación Secundaria
Para Gairín y Sancho (2002) los números tienen una importancia social y
cultural, así su inclusión en el currículo de matemáticas de la educación
escolar primaria y secundaria es debido a su “interés fenomenológico y
conceptual”. La construcción del concepto de número racional,
cognitivamente, es un proceso largo de articulación integral de
conocimientos, conceptos, nociones y significados que se enumera
seguidamente:
- Dominio del sistema de números naturales.
- Comprensión del dominio integridad de los números enteros.
- Introducción de nueva especialidades simbólicas.
- Operaciones y propiedades (clase de equivalencia entre otros).
- Representaciones que hay que acomodar a una variedad de nuevos
significados.
- Estudiar las relaciones entre los sistemas de representación.
- Comprender la estructura algebraica de grupo multiplicativo, lo que
implica dotar de significado al inverso de un número.
- Comprender la noción topológica de densidad de los racionales.
Enunciar la definición de los números racionales como una estructura
algebraica campo o cuerpo donde la fracción a/b∈Q y a, b ∈ Z, cuando
b≠0; no siempre denota una comprensión integral del número racional. Si no,
es necesario analizar los diferentes significados que entraña una fracción
como representante del número racional.
72
En opinión de Gairín y Sancho el número racional tiene los significados
como “parte-todo”, “cociente”, “medida”, “razón” y “como operador”.
Aparentemente, el significado parte-todo está omnipresente en los demás
significados. Posiblemente, por esta razón, la interpretación parte-todo se
utiliza para la introducción de la noción de número fraccional en el aula.
Como se constata en los textos escolares y anteriores investigaciones, el
aprendizaje casi exclusivo de la interpretación parte-todo puede convertirse
en un obstáculo para un posterior aprendizaje de los demás significados.
Esto se producirá siempre que se priorice esta interpretación en detrimento
de los demás.
c. Significados del número racional en su representación fraccional
Las diferentes investigaciones (Berh, et al., 1983; Kerslaske, 1986; Lesh,
et al., 1983; Kieren, 1976 y Dienes, 1972) que cita Llinares y Sánchez
(1988), concluyen que para que el niño pueda conseguir una comprensión
amplia y operativa de todas las ideas relacionadas con el concepto de
fracción, se debe plantear las secuencias de enseñanza, de tal forma que
proporcione a los niños la adecuada experiencia con la mayoría de sus
interpretaciones. Este aprendizaje se logra en largos periodos de
escolaridad, así se tiene su presencia desde el segundo ciclo de educación
primaria (9 años) hasta el primer grado de educación secundaria (12 años),
en forma explícita como contenido a ser tratado en el aula; pero, eso no
implica que luego se deje de estudiar, más aún, se sigue utilizando la noción
de fracción durante la educación secundaria, en el estudio de otros
contenidos.
La identificación y caracterización de los contextos que hacen
significativa la noción de fracción; las interpretaciones principales de los
significados del número racional que realiza Gairin y Sancho (2002); y
Llinares y Sánchez (1988), en base a los trabajos de T. Kieren (1976), Behr,
et al. (1983), Dickson, et al. (1984), son:
73
1. Significado Parte-Todo
Este significado se da cuando existe la división de una unidad en partes
iguales de las que se “destacan” algunas. Las partes en que se ha dividido la
unidad lo indica el denominador de la fracción, mientras que las partes que
se destacan están indicadas por el numerador. La relación “parte-todo” se
presenta cuando un “todo”, continuo o discreto, se divide en partes
“congruentes”. La fracción indica la relación que existe entre un número de
partes y el número total de partes; el todo recibe el nombre de unidad (Gairín
y Sancho, 2002). En esta interpretación la expresión a/b representa la
situación en que un todo o unidad se ha dividido en ‘b’ partes iguales de las
que se consideran ‘a’ de dichas partes.
Cuando se ubica fracciones en la recta numérica a la fracción a/b se le
asocia un punto situado sobre ella, aquí implícitamente se realiza la
asociación de un punto con una fracción, donde cada segmento unidad se
divide en ‘b’ partes (o en un múltiplo de b) congruentes, de las que se toma
‘a’. También se puede considerar como un caso particular de la relación
parte-todo.
2. La fracción como cociente.
El número racional como “cociente”, a/b representa una situación de
reparto, en la que se trata de conocer el tamaño de cada una de las partes
que resulta de distribuir ‘a’ unidades en ‘b’ partes iguales. (Gairín y Sancho
2002)
Bajo esta interpretación, se asocia la fracción a la operación de dividir un
número natural por otro distinto de cero (división indicada a/b), o bien, dividir
una cantidad en un número de partes dadas en un contexto de reparto.
Kieren (1980) “señala la diferencia entre la interpretación parte-todo con la
de cociente; indica que, para el alumno que está aprendiendo a trabajar con
fracciones, el dividir una unidad en cinco partes y tomar tres (3/5) resulta
74
muy distinto del hecho de dividir tres unidades entre cinco personas, aunque
el resultado sea el mismo”.
Las situaciones de reparto se presentan en contextos de magnitudes
continuas y discretas. A diferencia de la interpretación parte-todo, los
alumnos realizan de mejor manera las reparticiones en contextos discretos
que en contextos continuos. Esto siempre que el numerador sea múltiplo del
denominador. Caso contrario se “torna” una situación de contexto discreto en
continuo.
Esta interpretación sirve para introducir los números racionales con rango
de “número” y romper el concepto de que solo los naturales son números.
En esta interpretación se considera que las fracciones tienen un doble
aspecto; primero, se distingue la fracción como una división indicada; y
segundo, como elemento de un cuerpo cociente. Se considera las fracciones
como los elementos de una estructura algebraica, es decir, como elementos
de un conjunto numérico { }
−∈∈= 0,/ ZbZa
baQ que representa la
solución de la ecuación b . x = a. Según Kieren (1975) “esta interpretación
de las fracciones (números racionales) como elemento de un cuerpo
(estructura algebraica) no está estrechamente vinculado al pensamiento
natural del niño al desarrollarse de forma deductiva las operaciones y
propiedades”.
3. Las fracciones en la medición
Según Bishop (1999) medir es una actividad “universal” e importante para
el desarrollo de ideas matemáticas y se ocupa de comparar, ordenar y
cuantificar cualidades que tienen valor e importancia. Así la medida de
cantidades de magnitud es una actividad importante, tanto así que este
universo originó los números racionales.
Este significado surge cuando al medir una longitud, la unidad no cabe un
número entero de veces en ella, esta puede fraccionarse para obtener una
75
medida más precisa. La necesidad de fraccionar la unidad de medida
permitió la emergencia natural del significado parte-todo; la unidad de
medida debía ser dividida en sub unidades de medida para garantizar la
realización. Esta acepción es consecuencia de la necesidad de medir
longitud, superficie, cardinalidad, peso y comunicar las medidas. La fracción
a/b indica fraccionar la unidad de medida en b sub-unidades iguales y que es
necesario colocar a sub-unidades, reiteradas veces, para completar la
cantidad de magnitud del objeto a medir.
En esta situación el todo, sea continuo o discreto, se divide en partes
“congruentes”. La fracción indica la relación que existe entre un número de
partes y el número total de partes. La relación parte-todo es intrínseca a la
interpretación de la fracción como medida. De los contextos continuo y
discreto de la fracción como parte-todo, la que presenta mayor dificultad es
del contexto discreto, por consiguiente, “se fuerza a que el niño amplíe su
esquema de la relación parte-todo”
El número racional como “medida” plantea la necesidad de medir la
longitud de un segmento AB tomando como unidad de medida la longitud
de un segmento CD, que no está incluido un número entero de veces en el
segmento AB. En términos generales, se puede decir que la fracción como
medida responde a la necesidad de medir una magnitud, tomando como
unidad de medida otra magnitud de la misma naturaleza que la anterior,
que no está incluido un número entero de veces en ella. El objeto a medir
no siempre será una longitud, puede ser un área, el tiempo, masa, etc.
(Gairín y Sancho 2002)
4. La fracción como razón
El número racional como “razón” a/b no representa la partición de
ningún objeto o cantidad de magnitud, sino la relación que existe entre dos
cantidades de magnitud, la comparación entre los cardinales de dos
conjuntos, o la comparación entre una cantidad de magnitud y el cardinal
de un conjunto. La comparación se establece entre las cantidades que
76
expresan el numerador y el denominador y, por tanto, el orden en que se
citan las magnitudes que se están comparando es esencial. La
comparación entre cantidades que indica la fracción a de entenderse como
el tanto por uno, es decir, como la cantidad de la magnitud a que se refiere
el numerador que corresponde a cada unidad de la magnitud considerada
en el denominador (Gairín y Sancho 2002).
La fracción tiene significado de razón cuando lo que se simboliza con ella
es la relación entre dos cantidades o conjuntos de unidades. En esa
interpretación, la noción de par ordenado de números naturales toma mucha
importancia. En una razón el primer elemento, o sea, el dividendo o
numerador, se llama antecedente, y al segundo elemento, divisor o
denominador, se llama consecuente.
La fracción como índice comparativo entre dos cantidades de una
magnitud es una relación parte-parte o todo-todo, y se denota a/b. En esta
interpretación es importante fijarse en la bidireccionalidad de la comparación,
de manera que se puede leer: A es a/b respecto a B o B es b/a con relación
a A. Luego, podemos concluir que en la interpretación de la fracción como
razón está implícito la relación todo-todo o parte-parte y en la frontera de la
diferencia se puede comparar el todo con la parte o la parte con el todo
como una razón.
5. Las fracciones como operadores
El significado de operador de la fracción permite que actúe sobre una
situación, o estado inicial, para modificarla y conseguir un estado final. Por
tanto, se puede interpretar a la fracción como una función de cambio. El
trabajo con operadores conecta las fracciones con las propiedades
algebraicas de multiplicación inversa y de identidad de elementos, y con
propiedades del análisis como son los de composición de funciones. (Gairín
y Sancho 2002.)
77
En esta interpretación la fracción actúa como un transformador, número
que provoca cambios a través de una sucesión de multiplicaciones y
divisiones, o a la inversa. Esta interpretación puede ser relacionada a la
noción de función. Ante la siguiente situación; “En el salón A de 36 alumnos
2/3 deben ser niñas. Y si en el salón B son 42, ¿cuántas niñas hay en cada
salón?” se puede interpretar como la función: xxf32)( = .
La fracción como porcentaje, es un caso particular de la fracción como
operador, así la relación que se establece entre un número y 100 recibe el
nombre particular de porcentaje. Por regla general, los porcentajes tienen
asignado un aspecto de ‘operador’, es decir, al interpretar ‘el 40% de 25’ se
concibe ‘actuando la fracción 40/100 sobre 25’.
1.2.4.2 Representaciones Matemáticas
En este subtítulo se reúne información sobre el concepto de
representación, desde la perspectiva teórica de Raymond Duval (1995),
además de la orientación sociocultural de la representación (Radford 1999).
En una segunda parte revisamos los conceptos de visualización y modelo de
Castro et al. (1997), la imaginación (Skemp, 1980), los símbolos (Skemp
1980, Hiebert 1988) y algunos antecedentes e investigaciones que se
hallaron sobre la representación del número racional.
a. Primeras aproximaciones a los sistemas de representación
Bruner (1984) distinguió tres tipos básicos mediante los cuales el hombre
representa sus modelos mentales y la realidad. Primero, el sistema enactivo
como procesos sensoriales y motores de los experimentos físicos; en este
sistema las demostraciones se hacen mediante predicciones y
experimentos. Este tipo de representación ocurre marcadamente en los
primeros años de la persona. Segundo, el sistema icónico consiste en
representar cosas mediante una imagen o esquema espacial
independientemente de la acción, corresponde a las experiencias visuales
78
espaciales que incluyen las representaciones icónicas, el trazado e
interpretación de gráficos y diagramas y los experimentos mentales; en este
sistema se producen demostraciones visuales genéricas sobre imágenes
concebidas como prototipos que no solo representan un caso particular sino
todos los de la misma clase. Y tercero, la representación simbólica consiste
en representar una cosa mediante un símbolo arbitrario que en su forma no
guarda relación con la cosa representada, el sistema simbólico
correspondiente a las descripciones de objetos y de relaciones entre objetos;
en esta categoría se consideran las demostraciones euclidianas, definiciones
de objetos, las deducciones de relaciones, y las demostraciones formales.
b. Raymond Duval: sistemas de registros de representación
Desde el punto de vista de la semiótica, las representaciones son signos,
códigos, tablas, gráficos, algoritmos y diseños. El signo es algo que nos
transmite un significado, una expresión comunicativa verbal o escrita y hasta
gestual. Para la semiótica, la relación entre el signo y el significado está
mediada por un concepto.
Según Duval (1993), la necesidad de representaciones simbólicas para
un objeto matemático se debe a que él no tiene existencia física y no es
accesible directamente por los sentidos. En la dimensión psicológica, el uso
de diferentes representaciones está relacionado al funcionamiento cognitivo
del pensamiento.
Las representaciones son esenciales para el desarrollo y comunicación
del conocimiento matemático. Duval (1995) defiende tres nociones de
representación, aunque son de la misma especie realizan funciones
diferentes y son: las “representaciones mentales” tienen una función de
objetivación, son internas, conscientes y ocurren en el pensamiento, por lo
tanto, son imágenes mentales que consideran características figurativas o
gráficas del concepto; las “representaciones computacionales” son internas y
no conscientes del sujeto, funcionan en forma automática e instantánea,
estos se refieren a las tareas que el sujeto realiza sin reflexionar sobre los
79
pasos necesarios para su realización; y, las “representaciones semióticas”
son las que realizan una función de objetivación y de expresión, son
conscientes y relativas a un sistema particular de signos, como el lenguaje
natural, lenguaje matemático o gráfico, se refieren al mundo de las
estructuras físicas y los sistemas de notación. Las representaciones
semióticas tienen dos aspectos: la forma (representante) y el contenido
(representado); tienen doble carácter funcional; actúan como estímulo para
los sentidos en los procesos de construcción de las nuevas estructuras
mentales y permiten la expresión de conceptos e ideas a los sujetos que las
utilizan.
Para el mismo autor, las representaciones internas y externas no
pertenecen a dominios diferentes; las representaciones internas se
desarrollan como una interiorización de las representaciones externas, es
decir, existe una mutua interacción desarrollista: a mayor diversidad de
representaciones de un mismo objeto o concepto, corresponde mayor
capacidad cognitiva, a su vez, mayor capacidad de pensamiento sobre los
conceptos matemáticos; y, además el sujeto usa representaciones externas
para exteriorizar sus imágenes y representaciones mentales comunicándolas
a los demás, es decir, las representaciones externas actúan como una
suerte de radiografía de la comprensión del concepto que se sitúa en la
mente del sujeto (1993).
Así mismo, sostiene que no se puede tener comprensión en matemática
si no se distingue un objeto matemático de su representación (símbolos,
signos, códigos,...). La confusión entre el objeto y su representación produce
una pérdida de comprensión.
Duval (1993, 1995), considera que la semiosis es la producción de una
representación semiótica, en tanto que la noesis implica aprehensión
conceptual del objeto. La semiosis y la noesis movilizan diferentes
actividades cognitivas que son analizadas en sus interacciones, la noesis es
inseparable de la semiosis.
80
Para que ocurra la aprehensión de un objeto matemático, es necesario
que la noesis (conceptualización) ocurra por medio de significantes semiosis
(representación). La aprehensión conceptual de los objetos matemáticos
solamente será posible con la coordinación de varios registros de
representación. Esto significa que, cuanto mayor sea la movilidad entre
registros de representación, diferentes del mismo objeto matemático, mayor
será la posibilidad de aprehensión del objeto matemático, puesto que “la
coordinación de diferentes registros de representación es una condición
necesaria para la comprensión” (Duval, 1995, p. 59).
Duval (1995) indica que las actividades cognitivas ligadas a la semiosis
son: la formación, tratamiento y conversión. Solo los dos primeros se
consideran en la enseñanza. En el aprendizaje, el conflicto se expresa en
que no se logra comprender y reconocer el mismo objeto matemático en
cada uno de los diferentes sistemas semióticos de representación. Otra
dificultad en la comprensión es que los alumnos no logran distinguir entre las
actividades de tratamiento y conversión.
La formación de representaciones identificables como representación en
un sistema dado, implica una selección de rasgos y datos en el contenido
que se quiere representar. Da reglas para asegurar las condiciones de
identificación y reconocimiento.
Por otra parte, considera la conversión de una representación a la
transformación de una representación en otro registro, conservando la
totalidad o una parte del contenido de la representación inicial. La actividad
de conversión es muy importante y no es rutinaria en la actividad
matemática, sino esta es cognitivamente activa, y posibilitará la
diferenciación entre representante y representado. Para Duval (1993)
manipular diversas representaciones de un mismo objeto matemático
conlleva a beneficios de economía de tratamiento, complementariedad de
registros y la conceptualización que implica la coordinación de los registros
de representación.
81
La economía del tratamiento permite superar los límites de una
representación y la eficacia en la representación de las relaciones entre
objetos. Así, para ordenar fracciones de menor a mayor, enunciados como
pares ordenados en la forma a/b, se puede recurrir a la ‘multiplicación en
cruz’ o representarlos en un sistema de ejes coordenados y por simple
inspección se podrá ordenarlos.
La complementariedad de registros involucra los elementos
informativos o comunicacionales, que las representaciones hacen posible,
por ejemplo, las ubicaciones de los racionales en la recta numérica pueden
representar la relación de orden o equivalencia, pero no permiten efectuar
operaciones. En tanto que, la representación simbólica permitirá hacer
transformaciones y manipular ciertos algoritmos operacionales. Cada
representación distinta tiene la propiedad de transmitir una característica
diferente del concepto matemático. Todas estas diferentes representaciones
se complementan en la tarea de estudiar un concepto matemático. Ninguna
representación es capaz de agotar en su totalidad la complejidad conceptual
del objeto matemático. Cada representación destaca alguna propiedad del
objeto matemático y dificulta la comprensión de otra.
Respecto a la conceptualización Duval (1993) presenta un esquema del
funcionamiento de la representación semiótica y la conceptualización.
Fuente: Duval, R. Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivos del pensamiento. Anales de Didáctica y de Ciencias Cognitivas, IREM de Strasbourg, n. 5, 37-65, 1993,p.51.
Figura 1.1 Funcionamiento de la representación semiótica
Tratamiento Tratamiento
Representante de un Registro A Representante de un Registro B
Concepto Objeto Cognitivo
82
Este esquema explica la hipótesis de que la comprensión conceptual se
produce por la coordinación de, al menos, dos registros de representación.
Pero, la conceptualización está generada por las transformaciones y las
conversiones de un registro de representación a otro. Insistiendo, la
conceptualización es el resultado de la coordinación, de al menos, dos tipos
de representación, y que estas coordinaciones deben necesariamente ser
provocadas y estar en permanente alerta para distinguir entre representante
y representado, además, evitar el enclaustramiento en un único registro de
representación.
En 1995, Duval explica que la conversión que es tan necesaria para la
conceptualización implica encarar el problema de la congruencia y no
congruencia, entre las representaciones de un mismo objeto, que se originan
de sistemas semióticos diferentes. La observación de las congruencias y no
congruencias ayudarán a explicar los sucesos e insucesos de los alumnos
frente a las cuestiones que implican un cambio de sistemas semióticos de
representación.
Se encuentra que los pasos de una representación a otra son casi
espontáneos cuando las representaciones con congruentes. Duval (1995)
enumera tres condiciones para que dos sistemas semióticos de
representación sean congruentes:
a) Debe existir una correspondencia semántica entre unidades
significantes que las constituyen.
b) Deben tener el mismo orden posible de percepción o aprehensión
de las unidades significantes en las dos representaciones.
c) Conversión de una unidad significante de representación de
partida, a una sola unidad significante en la representación de
llegada.
83
c. Representación simbólica en educación matemática
A continuación, se da referencia acerca de la teoría sobre las funciones
de los símbolos en matemática desarrollada por Skemp (1980) y el rol de los
símbolos en el desarrollo de las competencias según Hiebert (1988).
1. Símbolos visuales y símbolos verbales
Primero, estos términos necesitan aclaración, porque tan pronto como las
palabras se escriben se convierten en cosas para ser vistas, no oídas;
entonces, por lo “verbal” significaremos ambas palabras hablada y escrita.
Para Skemp (1980), los símbolos visuales se ejemplifican con claridad
por medio de diferentes clases de diagramas (figuras geométricas). Pero,
¿en qué categoría podríamos colocar los símbolos algebraicos?
Básicamente, son una taquigrafía verbal, porque pueden leerse en voz alta,
o comunicarse incluso sin tomar una forma visual. Se puede decir que los
símbolos algebraicos poseen muchos más símbolos verbales que diagramas
o figuras geométricas, y se clasifican entre los verbales. Estos símbolos
verbales y visuales se usan en matemáticas, juntos y separados.
Los símbolos visuales parecen ser los más básicos en su forma primitiva
de representación de objetos reales como lo ha mostrado Piaget. Por lo
tanto, las imágenes visuales son más difíciles de comunicar que las
auditivas. Para las últimas, todo lo que tenemos que hacer es traducir
nuestro pensamiento vocal en hablar en voz alta, en tanto que para
comunicar nuestro pensamiento visual, necesitamos dibujar, pintar o filmar,
entonces el pensamiento verbal tiene una ventaja sobre el visual. Sin
embargo, el que una idea llegue a ser consciente está ligado estrechamente
con el uso de un símbolo asociado.
Se deduce que el pensamiento verbal tiende a ser más socializado, es
decir, más extensivo; es producto final no solo de nuestro pensamiento
84
individual, sino también el de las otras personas y de la interacción del
pensamiento individual y de las otras personas.
La visión es individual, mientras que el escuchar es colectivo, tanto en el
nivel concreto como en el simbólico; sin embargo, cuando queremos dar
énfasis individual más que colectivo, a aspectos de una serie de ideas,
hablamos a cerca de “un punto de vista”.
2. Los sistemas comparados
A manera de resumir las propiedades de contraste y, a la vez,
complementarias de las dos clases de símbolos, se esquematizan sus
características en la Tabla 1.2:
85
Tabla 1.2
Propiedades de los símbolos visuales y verbal-algebraicos.
VISUAL VERBAL - ALGEBRAICO - Abstrae propiedades espaciales, tales
como forma, posición. - Más difícil de comunicar - Puede representar pensamiento más
individual. - Integrador, muestra estructura. - Simultáneo. - Intuitivo
- Abstraer propiedades que son independientes de la configuración espacial tales como número.
- Más fácil de comunicar. - Pueden representar pensamiento más
socializado. - Analítica, muestra detalles. - Secuencial. - Lógico
Elaborado por el investigador.
Las propiedades comunicables, socializadas del sistema verbal–
algebraico han contribuido a su predominio sobre el sistema visual. Este
valor del simbolismo visual se muestra, también, por el modo en que se
superpone con el verbal–algebraico en forma de ordenación espacial de
símbolos escritos.
3. Función de los símbolos matemáticos
Para Skemp, el símbolo es un mundo de representaciones del concepto
y procedimientos matemáticos. Un sistema de símbolos matemáticos
constituye un modo específico de representación, un lenguaje matemático.
Estos ayudan a generar ideas y aplicarlos a situaciones, además el sistema
de signos posibilita la comunicación de conceptos matemáticos y promueve
el aprendizaje.
Sin embargo, se ha observado en la práctica educativa que la
transferencia de los signos a los estudiantes en forma directa y automática,
puede producir procedimientos mecánicos en la manipulación de los signos
cuando realiza tareas específicas. Una hipótesis que necesita mayor
investigación es que muchas de las dificultades en la comprensión de un
concepto matemático se deben a un énfasis prematuro en el simbolismo y
sus reglas descuidando la comprensión del significado matemático del
referente.
86
Por eso, se recomienda que cuando el docente transfiera a los
estudiantes nuevos símbolos matemáticos, es imprescindible que establezca
conexiones entre el símbolo y el significado asociado del referente para
lograr un aprendizaje comprensivo.
Skemp (1980) distingue diez funciones de la simbología: la comunicación,
registro de comunicación, comunicación de nuevos conceptos, confección de
clasificaciones múltiples correctas, explicación, hacer posible la actividad
reflexiva, ayudar a mostrar la estructura, automatizar las manipulaciones
rutinarias, recuperar información y comprensión, y hacer la actividad mental
creativa
d. Teoría para desarrollar competencias con símbolos matemáticos
Hiebert (1988) desarrolla una teoría para explicar las conductas
excesivamente mecánicas de los estudiantes cuando manipulan símbolos;
sin embargo, su objetivo final es proporcionar una base teórica para
promover programas alternativos que promuevan el desarrollo de
competencias numéricas en estudiantes.
¿Qué son los símbolos? Según Hiebert, los símbolos son entidades que
representan o toman el lugar de algo. Estas entidades pueden ser objetos
físicos hasta marcas en el papel. Los símbolos pueden ser copiables y no
copiables, los primeros pueden ser reproducidos por diferentes sujetos en
diferentes ocasiones, sin perder su identidad. En cambio, los no copiables
pierden su identidad cuando se producen cambios en su apariencia física,
por ejemplo las pinturas. Citando a Kaput, los símbolos copiables son
considerados como una clase de equivalencia, y los representantes dentro
de una misma clase se pueden intercambiar; tanto que los representantes de
clases diferentes no se confundan.
Muchos símbolos matemáticos representan ideas cuantitativas. Cuando
los escolares usan estos símbolos con intencionalidad representan las ideas
del usuario, esta parece ser una función de los símbolos copiables. Es la
acepción que en esta teoría se adopta.
87
Para Hiebert (1988), la competencia con los símbolos se desarrolla a
través de cinco procesos secuenciados, los pasos del proceso son retenidos
permanentemente al avanzar a los procesos ulteriores. Los pasos son:
1. Conectar los símbolos individuales con los referentes.
2. Desarrollo de procedimientos de manipulación de símbolos.
3. Elaboración de procedimientos para los símbolos.
4. Memorización de los procedimientos para manipular los símbolos.
5. Usar los símbolos y reglas como referente para construir sistemas
simbólicos más abstractos.
Los argumentos filosóficos de esta propuesta descansan en que: los
símbolos son creados como representantes de los referentes, la estructura
del sistema de símbolos se desarrolla, los sistemas de símbolos se separan
de los referentes asociados y pueden servir en sí mismos como referentes
para nuevos sistemas de símbolos
Las consideraciones psicológicas del análisis de los procesos cognitivos,
empleados en la construcción de sistema de símbolos, muestran que la
actuación inicial y espontánea de los niños parece ser que se ajusta a la
teoría postulada, en tanto que los esfuerzos instruccionales que cambian el
orden de la secuencia teórica son inefectivos y a veces contraproducentes.
1.2.4.3 Representaciones del Número Racional
Usualmente, en la enseñanza de los números racionales se tiene en
cuenta las actividades cognitivas de formación y transformación, y se
considera obvia la traducción entre los sistemas de representación; esto es
un error, un sistema no siempre es el adecuado para representar ciertos
aspectos de un concepto que solo pueden ser expresados mediante otro, a
esta característica se le denomina la irreductibilidad entre sistemas de
representación. Así, en la enseñanza del número racional en la educación
secundaria se enfatiza en las representaciones simbólicas, en desmedro de
la riqueza de otras, como las representaciones gráficas.
88
Se asume el supuesto que la comprensión del número racional está
caracterizado por el dominio de sus sistemas de representación, y la
coordinación entre ellos. Las traducciones son importantes porque permiten
una economía de tratamiento, puesto que hay facetas del número racional
que un determinado sistema de representación puede poner de manifiesto
con más claridad que otro; además, algunas acciones ligadas al concepto
pueden trabajarse con más facilidad en un sistema que otro. Así mismo, los
sistemas de representación se complementan, toda representación es
cognitivamente parcial en referencia a lo que ella representa, pues de un
sistema a otro no son los mismos aspectos de un contenido los que se
representan. La comprensión reposa sobre la necesaria coordinación de, al
menos, dos sistemas de representación; esta coordinación se manifiesta por
la rapidez y la naturalidad de la actividad cognitiva de traducción, pero eso
no quiere decir que no se produzca comprensión en un solo sistema, sino se
comprende en forma aislada y parcial perjudicando los aprendizajes
posteriores.
Comprender el número racional requiere un adecuado uso de sus
representaciones. Será necesario no confundir el representante con el
representado. Según Duval (1993, 1995) el representante y representado
son importantes para comprender el objeto matemático; por ejemplo, será
importante distinguir ‘1/2’ como representante canónico de una clase de
equivalencia, y lo que dicho símbolo representa. Las representaciones se
organizan en sistemas, así, el sistema de símbolos tiene un conjunto de
relaciones semánticas, sintácticas y que adquieren utilidad en la práctica.
Las representaciones: 1/2; 0.5; 5x10-1 y 50%, cada uno de ellos destaca u
oscurece algunos aspectos del objeto matemático, luego no existe una
representación universal. Lo que se puede observar es que algunos son más
“expresivos”, más comunicativos que otros. Según Duval (1993, 1995) la
comprensión, por decir del número racional, será cada vez más completa en
la medida que se construyen sistemas de representación y se realizan las
transformaciones al interior de los sistemas de representación y las
conversiones de un sistema a otro. (Gairín y Sancho, 2002).
89
Los sistemas de representación simbólica y gráfica desempeñan un papel
fundamental para expresar las ideas y las relaciones constitutivas (Castro,
Rico y Castro, 1995). Los sistemas de representación del número racional
que se utilizan en la enseñanza elemental son las notaciones simbólicas: par
ordenado, número decimal, fracción decimal, o verbal, etc.; y con menor
frecuencia, las representaciones gráficas (pictóricas, en la recta numérica y
en sistema de ejes coordenado), a través de los cuales se organiza el
pensamiento y se transmite significados, propiedades y algoritmos
operacionales.
a. Representaciones simbólicas del número racional
Los sistemas de representación simbólica son las representaciones
digitales y discretas. Es la utilización en forma exclusiva de un lenguaje
abstracto usualmente numérico alfabético, es decir, un lenguaje aritmético y
algebraico, cuya sintaxis viene descrita mediante una serie de reglas de
procedimiento que destacan aspectos operacionales. Las representaciones
simbólicas de los números racionales son los pares ordenados de números
enteros, con la restricción que el segundo componente es diferente de cero,
dispuesto en las formas: (a, b) o a/b, juntamente con la representación
decimal. Los números racionales pueden estar representados en forma
verbal y hasta algebraica conjuntista v. gr. { }0,/),( ≠∧∈= bZbabaS .
Los cálculos procedimentales son propios de las representaciones
simbólicas algebraicas, están ligadas a la forma y no al contenido, y se rigen
por un conjunto de reglas y algoritmos. En la representación simbólica
fraccional es necesario distinguir la “significación operacional” o
procedimiento de cálculo ligado al significante (número representado). Así,
0.5 y ½ representan el mismo número racional pero tienen significación
operatoria diferente. Las representaciones simbólicas del número racional
pueden ser:
90
Aritméticas y algebraicas
- La notación fraccional, sintácticamente se denotan así; a/b o ba .
- La notación decimal, sintácticamente, cumple las normas del sistema
de numeración decimal incorporando una coma decimal para separar
los dígitos de la parte entera de los de la parte fraccional decimal.
- La notación como par ordenado, su sintaxis es (a, b) o (2, 3).
- Notación porcentual, su sintaxis es a% que equivale a 100
a . Esta
notación se evalúa semánticamente como un operador que actúa
sobre un número o una cantidad de magnitud.
Representaciones Verbales
La fracción puede ser expresada verbalmente, como lectura de la
representación simbólica, gráfica o enunciado de una situación
fenomenológica, problema o situación de la vida real.
b. Representaciones visuales o figurativas
Su sintaxis viene dada por reglas de composición y convenios de
interpretación que permite discernir propiedades de los números
racionales. Dentro de las representaciones gráficas se considera las
representaciones pictóricas, el modelo de la recta numérica y en el sistema
de ejes ortogonales para representar el número como par ordenado.
Representaciones Pictóricas
Es un soporte visual (representación icónica, geométrica o diagramática),
es decir, es un código gráfico para plantear las relaciones entre los
elementos de una fracción.
Representaciones en la Recta Numérica
Es un sistema de signos, imágenes, reglas y convenios con los que se
representan gráficamente los números racionales y se interpreta sus
91
propiedades y operaciones sobre una recta numérica. En un primer nivel de
análisis, se examina las imágenes específicas, convenios de carácter general
y reglas para representar los números. En un segundo nivel de análisis, se
considera la recta numérica como un dominio de estudio de las propiedades
de orden y densidad de los números racionales.
En la recta numérica, la fracción como representante de un número
racional se asocia a un punto en la recta. Es decir, no se asocia a una parte
o subconjunto de objetos. Si bien se usa el concepto de parte-todo para
ubicar el punto, no se debe entender como el significado en cuestión. Esta
representación tiene la ventaja de conducir al estudiante a entender que las
fracciones no solo se ubican entre cero y uno, sino que también, pueden
existir más allá del uno, como es el caso de las fracciones impropias y las
representaciones mixtas. Esta representación será vital para entender el
significado de medida, pues, tendremos que utilizar la representación en la
recta numérica como recurso didáctico para estudiar las unidades y sub-
unidades de medidas de longitud. Además, logra que el estudiante
comprenda que al igual que los números naturales, los racionales pueden
ser parte de la “recta numérica” reclamando su categoría de “número”.
Whitehead (1944) representa las fracciones considerando la serie de
números enteros en la recta numérica conformando los “números reales”,
estos números se presentan en una recta por medio de puntos sobre la línea
que principia en 0 y se prolonga indefinidamente en la dirección 0X como se
muestra en la Figura 1.2.
Figura 1.2. Los números racionales en la recta numérica.
7/2 Q
5/2 P
3 C
4 D
2 B
3/2 N
1 A
½ M
0 O
X
92
Donde OA representa la unidad longitud que se transporta a lo largo de la
línea AB, BC, CD.
Entre O y A se representa las fracciones propias y las inconmensurables
menores de 1; y el punto medio de OA representa ½; en tanto que las
fracciones impropias se sitúan a través de los puntos AX.
Esta representación transmite la idea de orden de los números, creciente
de magnitud, comenzando en cero y aumentando continuamente a medida
que se avanza hacia X. Además, se entiende que la serie de fracciones es
una serie compacta (propiedad de la densidad de los números racionales),
ya que ninguna fracción tiene predecesor o sucesor inmediato; sea el caso
de dos fracciones p y q donde p < q, entonces, siempre es posible encontrar
una fracción con valor intermedio, basta sumar esa dos fracciones y dividir
entre dos y así iterar el proceso indefinidamente. Luego la serie de cifras
quebradas, es una serie “compacta”.
1.2.4.4 Conocimiento Académico del Número Racional
En este apartado hacemos una revisión de libros de álgebra, álgebra
moderna, álgebra abstracta y otros, con la finalidad de hacer una indagación
del concepto de ‘números racionales’ desde el saber académico.
a. Introducción de los números racionales
El conjunto de los números enteros surgen de la necesidad de dar
solución a la ecuación, b + x = a, cuando a es menor que b; de la misma
manera, se determina el conjunto de los números racionales de la necesidad
de encontrar solución a la ecuación b x = a, cuando a y b son enteros con
b ≠ 0. A estos los llamaremos “números racionales” ya que se escribe como
“razón”. (Burton, 1969)
93
b. Los números racionales como campo
Los números enteros solos no forman un campo; la construcción de los
números racionales a partir de los enteros es esencialmente la construcción
de un campo que contenga a los enteros. Naturalmente, este campo deberá,
además, contener las soluciones a todas las ecuaciones del tipo b x = a con
coeficiente enteros a y b ≠ 0. Este conjunto que satisfaga estas necesidades
se consigue, introduciendo “ciertos símbolos” nuevos r = (a, b), a los que se
llamará pares, estos pares se pueden sumar multiplicar e igualar
exactamente como los cocientes a/b en un campo. (Birkhoff y MaClane,
1954).
Teorema: El conjunto Q de números racionales está constituido por
todos los pares (a, b) de enteros a y b ≠ 0. (p. 48)
Teorema: El conjunto Q de números racionales r, construido por pares
de enteros, es un dominio de integridad en el que cada ecuación r x = 1 con
r ≠ 0 tiene una solución x en Q. (p. 49)
Para Herstein (1974) el conjunto de los números racionales es “el campo
Q de los números racionales que consiste de todas las fracciones formadas
con enteros; es decir, todos los cocientes m/n, donde m, n ≠ 0 están en Z”.
(p. 171). Además, “Sea D un dominio integral y { }0,,/),( ≠∈= bDbabaS ; de
manera que S es el subconjunto de D x D –el producto cartesiano de D
consigo mismo- en el que no se permite que la segunda componente sea
cero”. (p. 171).
El cuerpo de los racionales para Rojo (1986) se define así:
Consideramos: }{ ** /),(x ZbZabaZZ ∈∧∈= donde Z* = Z - 0 el
conjunto de los enteros no nulos.
En Z x Z* definimos la siguiente relación:
(a, b) ∼ (a’, b’) ⇔ a b’ = b a’
94
Esta relación es de equivalencia y verifica las propiedades de
reflexividad, simetría y transitividad.
Por el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una
partición de Z x Z* en clases de equivalencia, cada una de las cuales se
llama número racional.
La clase de equivalencia de un elemento genérico (a, b) es
{ }),(), /(* x ZZ),(),( bayxyxK ba ∼∈=
Se tiene aybxbayx =⇒∼ ),(),(
En particular
{ } { }*)2,1( /)2,(2x /y* x ZZ),( ZxxxyxK ∈==∈=
donde x puede tomar todos los valores enteros no nulos, y resulta
{ }),......6,3(),4,2(),2,1(),2,1(),4,2(...,)2,1( −−−−=K
Es claro que, dado un elemento de ZxZ* , sus equivalentes se obtienen
multiplicando ambas componentes por todos los enteros distintos de cero.
Definición: Número racional es toda clase determinada por la relación de
equivalencia definida en ZxZ*.
Conjunto de los números racionales es el cociente de ZxZ* por la relación
de equivalencia: ∼
= *ZxZQ .
Para denotar los números racionales, es decir, las clases K(p, q) de
acuerdo con la definición del conjunto de índices, se escribe . Rojo, A.
(1986, p. 295)
95
11..33 DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN DDEE TTÉÉRRMMIINNOOSS BBÁÁSSIICCOOSS UUTTIILLIIZZAADDOOSS
a. Comprensión matemática
Es un proceso de crecimiento permanente, dinámico, estratificado no
lineal en interminable proceso de organización y reorganización. Es la
construcción de esquemas iterativos, mediante la abstracción reflexiva. El
sujeto cognoscente reconstruye y reorganiza las acciones físicas y mentales
en la esfera del pensamiento.
La comprensión de cualquier conocimiento matemático, en general, y en
particular, de los números racionales que se definen como un proceso
cognitivo recursivo, y esta recursividad parece ocurrir cuando el pensamiento
cambia los niveles de sofisticación.
La comprensión es interpretada en términos de representaciones
internas y de relaciones entre ellas en la mente del sujeto. Se suele
reconocer un vínculo especular entre las representaciones internas y
externas. Existe comprensión matemática si su representación mental forma
parte de una red de representaciones. El grado de comprensión está
determinado por el número y la fuerza de las conexiones. Una idea,
procedimiento o hecho matemático es comprendido a fondo si se enlaza a
redes existentes con conexiones más numerosas o más fuertes” (Hiebert y
Carpenter, 1992).
b. Significados
Adjetivo que denota lo conocido, parte fundamental, junto al significante
del concepto de signo lingüístico. Designa la idea de representación mental
de lo nombrado, es decir, lo que se significa de algún modo.
c. Significados del número racional:
Si se entiende el contexto como una situación problemática o un
fenómeno que da sentido a un concepto y que está ligado a la noción de
ambiente y situación, entonces, a partir de estas consideraciones se plantea
algunas interpretaciones del comportamiento en el aprendizaje y
96
comprensión de los significados del número racional. El contexto está
estrictamente relacionado con la comprensión de los significados de las
fracciones que se presentan en diferentes situaciones problemáticas, así se
tiene los “contextos de medida”, “contexto algorítmico cuando se entiende la
fracción como operador”, “contexto de reparto o cociente” o “contexto de
razón”.
d. El número racional como “parte-todo”
Este significado se da cuando existe la división de una unidad en
partes iguales de las que se “destacan” algunas. Las partes en que se ha
dividido la unidad son representadas por el denominador de la fracción,
mientras que las partes que se destacan están indicadas por el numerador.
La relación “parte-todo” se presenta cuando un “todo” (continuo o discreto)
que se divide en partes “congruentes” (equivalentes como cantidad de
superficie o cantidad de “objetos”). La fracción indica la relación que existe
entre un número de partes y el número total de partes (que puede estar
formado por varios “todos”). El todo recibe el nombre de unidad.
e. El número racional como “cociente”
En este caso, la fracción a/b representa una situación de reparto, en la
que se trata de conocer el tamaño de cada una de las partes que resulta de
distribuir a unidades en b partes iguales.
f. El número racional como “medida”
En este constructo se plantea la necesidad de medir la longitud de un
determinado segmento, tomando como unidad de medida la longitud de un
segmento patrón, que no está incluido un número entero de veces en el
segmento objeto de medida.
En términos generales, se puede decir que la fracción como medida
responde a la necesidad de medir una magnitud, tomando como unidad de
medida otra magnitud de la misma naturaleza que la anterior que no está
incluida un número entero de veces en ella. El objeto a medir no siempre
será una longitud, puede ser un área, periodo de tiempo, masa, etc.
97
g. El número racional como “razón”
En este constructo a/b no representa la partición de ningún objeto o
cantidad de magnitud, sino la relación que existe entre dos cantidades de
magnitud, la comparación entre los cardinales de dos conjuntos, o la
comparación entre una cantidad de magnitud y el cardinal de un conjunto. La
comparación se establece entre las cantidades que expresan el numerador y
el denominador y, por tanto, el orden en que se citan las magnitudes que se
están comparando es esencial. La comparación entre cantidades que indica
la fracción a de entenderse como el tanto por uno, es decir, como la cantidad
de la magnitud a que se refiere el numerador que corresponde a cada
unidad de la magnitud considerada en el denominador
h. El número racional como “operador”
En este constructo se parte de un número o figura dada y mediante la
realización de operaciones se transforma en un segundo número o figura.
Por tanto, se puede interpretar a la fracción como una función de cambio. El
trabajo con operadores conecta las fracciones con las propiedades
algebraicas de multiplicación inversa y de identidad de elementos, y con
propiedades del análisis como la composición de funciones.
i. Representación matemática
Las representaciones son signos, códigos, tablas, gráficos, algoritmos y
diseños. El signo es algo que nos transmite un significado, una expresión
comunicativa verbal o escrita y hasta gestual. Para la semiótica, la relación
entre el signo y el significado está mediada por un concepto. Las
representaciones se pueden definir según Duval (1995) como:
- Representaciones mentales, que tienen una función de objetivación,
son internas y conscientes y ocurren en el pensamiento, estas
representaciones internas son las imágenes mentales que
consideran características figurativas o gráficas del concepto.
- Representaciones computacionales, son internas y no conscientes
del sujeto, funcionan en forma automática e instantánea. Se refiere a
98
las tareas que el sujeto realiza sin reflexionar sobre los pasos
necesarios para su realización.
- Representaciones semióticas, son las que realizan una función de
objetivación y de expresión, son conscientes y es relativo a un
sistema particular de signos, como el lenguaje natural, matemático o
gráfico, se refieren al mundo de las estructuras físicas y los sistemas
de notación. Ellas tienen dos aspectos: la forma (representante) y el
contenido (representado). Tienen doble carácter funcional; actúan
como estímulo para los sentidos en los procesos de construcción de
las nuevas estructuras mentales y permiten la expresión de conceptos
e ideas a los sujetos que las utilizan.
j. Representación fraccional
Sistema de representación simbólica del número racional expresado en
un par ordenado de número enteros, donde la segunda componente es
diferente de cero. Es una variedad de las representaciones simbólicas.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIII
PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA
22..11 DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA
Esta investigación descriptiva correlacional transversal trata sobre la
comprensión del número racional positivo en su representación fraccional de
los estudiantes del nivel de educación secundario de la ciudad de Puno, En
este numeral se exponen el origen y racionalidad del problema de
investigación, que se concreta en la formulación de las interrogantes,
además de la justificación e importancia del estudio, así como su pertinencia
y viabilidad. Como es normal en un estudio de este nivel en el proceso se
encuentran limitaciones que quedan explicitadas.
Se parte del supuesto que, los planteamientos teóricos sobre temas de
comprensión y representación del conocimiento matemático y sus
consecuencias teóricas han de contribuir a la solución de problemas de
aprendizaje de la matemática en general, y específicamente, en el
pensamiento numérico en la educación básica. El tema de investigación se
centra en los significados, operaciones básicas y propiedades elementales
de los números racionales positivos en su representación fraccional.
100
22..11..11 OORRIIGGEENN YY RRAACCIIOONNAALLIIDDAADD
A lo largo de las últimas décadas, diversos estudios realizados a nivel
internacional han venido indicando el bajo nivel educativo en el país,
concretamente, en el ámbito del aprendizaje de la matemática. Un indicador
de ello son los resultados del Estudio Internacional Comparativo de la
UNESCO sobre Lenguaje y Matemática. Así mismo, los factores asociados
en tercer y cuarto grado de primaria, muestran que el Perú ocupa el último
lugar en matemática, según el informe realizado por el Laboratorio
Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE,
1998). Igualmente, la Unidad de Medición de la Calidad Educativa del
Ministerio de Educación, concluye en el informe pedagógico “Como rinden
los estudiantes peruanos en comunicación, matemática, resultados de la
Evaluación Nacional 2001, sexto grado de primaria”, que un “escaso
porcentaje de estudiantes muestran rendimientos aceptables para el grado,
pues en seis de las siete competencias, el Nivel Suficiente es el que
contiene el menor número de estudiantes”; además la mayoría de
estudiantes presentan limitaciones para representar cantidades y operar con
fracciones (homogéneas) y expresiones decimales. Más recientemente, la
Unidad de Medición de la Calidad Educativa en el año 2004 en su informe
concluye lo siguiente:
El 6.0% de los estudiantes de tercer grado de secundaria se
ubican en el nivel suficiente. Esto significa que solo este pequeño
porcentaje muestra un desarrollo de sus capacidades matemáticas
aceptable para el grado. Lo preocupante de estos resultados radica
en que el resto de estudiantes (94.0%) muestra no haber
desarrollado adecuadamente las habilidades matemáticas
requeridas para el grado que están culminando. Esto implica que, un
gran porcentaje de los estudiantes no han logrado incorporar
importantes nociones matemáticas, ni han desarrollado habilidades
necesarias para enfrentarse con éxito a diversas situaciones
problemáticas tanto dentro como fuera de la escuela. (p. 219).
101
Estos resultados desfavorables exigen respuestas urgentes a ciertas
interrogantes que expliquen esta deficiencia en el aprendizaje matemático,
con relativa rigurosidad científica.
Dejando al margen, dimensiones sobre la validez real y pertinencia
práctica de estos estudios comparativos, lo cierto es, que estos resultados
constituyen un indicador de la necesidad de realizar esfuerzos más intensos
y sistemáticos, que los hasta ahora desplegados, destinados a mejorar la
enseñanza de la matemática en el país.
Ante este problema, resulta imprescindible la investigación destinada a
profundizar en la naturaleza de las dificultades de aprendizaje existentes,
además de caracterizar los detalles y las limitaciones en la educación
matemática. Nos referimos a una vía de actuación (un enfoque, una nueva
perspectiva) fundada en la convicción de que conocer los resultados
negativos no son suficientes por sí mismos, sino a partir de ellos establecer
líneas de acción y realizar las reformas necesarias. Por cierto, es necesario
posicionar y caracterizar con detalle los distintos problemas de aprendizaje
de la matemática, pues la complejidad del conocimiento matemático y su
enseñanza así lo exigen.
En este sentido, la presente investigación constituye un aporte para
entender las razones del deficiente aprendizaje de las fracciones. Apoyado
en un marco teórico sobre la comprensión, sistemas semióticos de
representación y un marco metodológico, sustentado en el análisis didáctico,
se realizó el estudio de tres variables: las interferencias en la comprensión
de los significados del número racional positivo en su representación
fraccional, la capacidad de resolver operaciones básicas con fracciones y el
conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales que
poseen los estudiantes del nivel de educación secundaria.
102
22..11..22 DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
La enseñanza aprendizaje de la matemática fue una preocupación
permanente durante el siglo XX. Un notable estudioso de la educación
peruana, José Antonio Encinas, objetaba la enseñanza libresca y carente de
principios didácticos. Encinas (1928) en su obra “Un Ensayo de Escuela
Nueva en el Perú” criticó la:
...clásica y artificial división de las operaciones de cálculo en enteros,
quebrados y decimales; las tablas de sumar, restar, multiplicar y
dividir; las definiciones redactadas en forma ininteligible, los
ejemplos expuestos con ambigüedad, todas con una macabra
procesión de números que los niños debían retener en la cabeza.
(p.116).
El pedagogo en mención, planteó la enseñanza de la matemática
“mediante problemas escogidos en relación a su capacidad y a sus
necesidades, calculando con todas las operaciones” (p. 116), por ejemplo,
proponía que la enseñanza de las fracciones debe partir de los
conocimientos que el niño tiene como producto de su experiencia en la vida
diaria, cuando habitualmente usa fracciones de la unidad. Recomendó que,
si se tenía que enseñar a sumar no se debe proceder en forma abstracta y
aislada de la realidad cotidiana del niño, sino en la resolución de problemas,
deben ser graduados convenientemente, buscando que el niño discipline su
inteligencia haciendo que la enseñanza de la matemática sea más útil,
amena, y sobre todo, comprensiva (Encinas, 1928).
Como constatamos, la preocupación por la educación matemática, en
general, y específicamente la enseñanza aprendizaje de las fracciones fue y
sigue siendo una constante. La manera de abordar la enseñanza de las
fracciones tiene deficiencias conceptuales y metodológicas, esto queda
evidente en la revisión de los textos escolares de matemática. El manejo
casi exclusivo del concepto “parte-todo” de las fracciones, se traduce en un
deficiente aprendizaje comprensivo de los números racionales positivos. En
103
la resolución y planteo de problemas predominan casi exclusivamente las
representaciones simbólicas, descuidando otras representaciones del
número racional.
La organización de la enseñanza de los números racionales, basado casi
exclusivamente en el significado parte-todo y el olvido negligente de la
enseñanza de los demás significados como: medida, razón, cociente y
operador, trajo como consecuencia resultados insuficientes en la
comprensión de la noción de número racional. Este aprendizaje deficiente se
traduce en las dificultades que tiene el estudiante al momento de utilizar este
conocimiento en el aprendizaje de otros contenidos que tienen relación con
él. Se ha observado, en la labor docente, que en el aprendizaje de las
proporciones, razones, fracciones parciales, fracciones algebraicas,
funciones trigonométricas, probabilidad, funciones exponenciales y otras, los
alumnos tienen dificultades porque carecen de un sólido aprendizaje
comprensivo de los números racionales como par ordenado. Si no se
atienden estos problemas de aprendizaje, es altamente probable que el
alumno los sopese durante sus estudios superiores.
Algo que nos sorprende es encontrar personas adultas que olvidan con
frecuencia el algoritmo de la adición de fracciones heterogéneas, o no
pueden explicar por qué razón tienen que calcular el mínimo común múltiplo
para sumar. Nos atrevemos a afirmar que, esta dificultad se debe a que el
aprendizaje de los algoritmos matemáticos se basa en la repetición y
memorización mecánica, razón por la que no han sido asimilados de forma
racional. Estas deficiencias quizás se deban a un aprendizaje mecánico (rote
learning), donde se ejerce la memoria sin preocuparse por comprender el
significado de los procesos algorítmicos, ni desarrollar una comprensión
adecuada del concepto de fracción.
Es probable que estas personas no hayan tenido la necesidad de utilizar
las fracciones en mucho tiempo o tengan oportunidades escasas de
manipular fracciones de cierta complejidad, limitando sus necesidades
104
cotidianas a utilizar situaciones del tipo: medio litro de leche, varillas de fierro
de 3/8, 1/8 de galón de pintura, ¼ de pollo, diez céntimos de Sol. Como sea,
las fracciones están presentes en la vida diaria y son necesarias para ejercer
su ciudadanía plenamente; así en el Informe Cockcroft, “Las matemáticas sí
cuentan, recomiendan Cockcroft et al. (1985) que: “Los alumnos deben ser
capaces de realizar cálculos que incluyan la palabra “de”, tales como 1/3 de
4.50 libras: Sumar y restar fracciones con denominadores 2, 4, 8 ó 16 en el
contexto de la medida” (p.167). De allí surge la necesidad de comprender la
naturaleza de los números racionales positivos, el cómo se la conceptúa y
cuáles son sus significados.
En el informe pedagógico de los resultados de la Evaluación Nacional del
Rendimiento Estudiantil 2004 (ENRE 2004) del tercero y quinto grados de
educación secundaria, elaborado por la Unidad de Medición de la Calidad,
en una muestra de 640 instituciones educativas de educación secundaria de
todas las regiones del Perú, se evaluaron alrededor de 14 500 estudiantes
en cada grado; se encontró que el 74.1% de los estudiantes de tercer grado
no han incorporado el manejo de las propiedades y operaciones aritméticas
en los diversos conjuntos numéricos (N, Z, Q, R).
El informe en referencia (ENRE 2004) “ha encontrado que los estudiantes
de quinto grado presentaron dificultades en el manejo de las nociones de
número en el conjunto de los racionales” (p. 179), lo que evidencia que los
estudiantes tienen dificultades en la comprensión de los números racionales
y sus operaciones aritméticas básicas; así mismo, en la interpretación y
recodificación en sus diversas representaciones (decimal, fraccionaria,
simbólica, porcentual, gráfica, etc.), no tienen incorporadas las nociones de
número (entero, racional, real) y no realizan conexiones entre estos
conjuntos numéricos.
Una de las posibles causas que explican el problema que expone el
informe es que los estudiantes no comprenden el concepto de número, ni
sus representaciones y mucho menos sus propiedades, y consecuentemente
105
tiene serias dificultades en el manejo de los algoritmos de las operaciones
aritméticas básicas de los diferentes conjuntos numéricos (N, Z, Q y R).
La explicación a las deficiencias anteriores, que proponen los
especialistas, es la falta de significatividad de las actividades matemáticas, la
compartimentalización -organización del conocimiento matemático escolar
en temas o disciplinas desconectadas- y la baja demanda cognitiva de las
actividades propuestas. Así, los números racionales positivos, en su
representación fraccional, son estudiados como un tema desconectado de
los demás sistemas numéricos, sin relacionarlos con otros tópicos de la
matemática escolar; además, los problemas de los números racionales son
planteados aisladamente de su fenomenología y divorciados de las
situaciones problemáticas de la vida real. Por otra parte, la resolución de
problemas se basa en estrategias de memorización e imitación al docente de
la manera como resuelve «problemas tipo», constituyéndose en modelo
constante de resolutor a imitar.
Consideramos que las sugerencias propuestas por el informe de la ENRE
2004, pueden servir al docente para reflexionar sobre su práctica y buscar
mejores estrategias para promover el aprendizaje comprensivo. Su
propuesta se centra en que se debe trabajar con los números racionales
positivos, estudiar sus propiedades de equivalencia, orden y densidad en
sus diferentes representaciones simbólicas y gráficas; así también, la
representación fraccional se debe interpretar en sus diferentes significados
como: fracción en sí (parte-todo), medida, cociente entre dos números, razón
y operador.
En conclusión, se encontró que las evaluaciones nacionales e
internacionales demuestran las limitaciones de la enseñanza y aprendizaje
de la matemática en general, y específicamente, de los números racionales;
esto justifica a plenitud la necesidad de abordar la problemática que se
formula en el siguiente bloque.
106
22..22 FFOORRMMUULLAACCIIÓÓNN DDEELL PPRROOBBLLEEMMAA
La enseñanza y aprendizaje del número racional positivo, en su
representación fraccional, en el nivel de educación secundaria, se
caracteriza por su marcado énfasis en el cálculo y resolución de ejercicios de
aplicación de algoritmos explicados por el profesor, donde el alumno imita la
demostración previa del docente, utilizando casi exclusivamente el
significado parte-todo en su representación simbólica-numérica. El enfoque
tradicional de la enseñanza del número racional, se traduce en la utilización
exclusiva de la representación simbólica numérica, al momento de abordar
su enseñanza en el nivel secundario. La investigación evalúa el
conocimiento de los algoritmos de las operaciones básicas con fracciones y
el conocimiento de las propiedades básicas de los números racionales, y su
implicancia en la comprensión de los significados de las fracciones como
medida, razón, cociente y operador; así como, las interferencias entre las
diferentes interpretaciones o, concretamente, la interferencia del significado
parte-todo en las demás acepciones. Estos fenómenos son el núcleo de esta
investigación.
El problema de investigación pretende responder a cuestiones referentes
a la comprensión interferente de los significados del número racional
positivo, y su relación con la capacidad de resolución de operaciones
básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de
los números racionales, a través de la observación del desempeño de los
estudiantes del nivel de educación secundaria. El campo problemático del
objeto matemático se limita a los números racionales positivos,
representados en forma de números fraccionales, lo que implica que no
hemos investigado cuestiones relativas a su representación decimal.
La interrogante general es la siguiente:
107
22..22..11 PPRROOBBLLEEMMAA GGEENNEERRAALL
¿Cómo se relaciona la capacidad de resolución de operaciones básicas
con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales, con la comprensión de los significados del número
racional positivo que revelan los estudiantes del nivel de educación
secundaria de los colegios de la ciudad de Puno en el año 2009?
La absolución de esta interrogante aspira a contribuir al entendimiento
del fenómeno de la comprensión del número racional que muestran los
estudiantes, a través de una evaluación de la interpretación de los
significados, resolución de operaciones y conocimiento de las propiedades
de los números racionales. La dilucidación de la interrogante general se da
a través de las interrogantes específicas.
22..22..22 PPRROOBBLLEEMMÁÁTTIICCAA EESSPPEECCÍÍFFIICCAA
Coherente con el nivel descriptivo correlacional múltiple se plantea las
siguientes interrogantes específicas:
a) ¿Qué tipo de interferencias presentan los estudiantes en la
comprensión de los significados del número racional cuando se
enfrentan a situaciones problemáticas con fracciones?
b) ¿Cuál es la naturaleza de la comprensión de los significados del
número racional positivo, en su representación fraccional, que revelan
los estudiantes del nivel de educación secundaria de la ciudad de
Puno?
c) ¿Cómo es la comprensión de los algoritmos de las operaciones
básicas con fracciones?
d) ¿Cuánto conocen sobre las propiedades elementales del conjunto de
los números racionales?
e) ¿Qué tipo de relación existe entre la capacidad de resolución de
operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
108
propiedades elementales de los números racionales, con la
comprensión de los significados del número racional positivo?
f) ¿Está relacionado la capacidad de resolución de operaciones básicas
con fracciones con la comprensión de los significados del número
racional positivo?
g) ¿Está relacionado el conocimiento de las propiedades elementales de
los números racionales con la comprensión de los significados del
número racional positivo?
22..33 IIMMPPOORRTTAANNCCIIAA YY AALLCCAANNCCEE DDEE LLAA IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
La proliferación de reformas que cíclicamente se han realizado en los
sistemas educativos a nivel mundial, son evidencia de la inconformidad con
su funcionamiento y/o con los resultados que ellos obtienen.
Particularmente, en Puno, es claro que el problema de la deficiente calidad
de la formación matemática de los estudiantes en el nivel escolar persiste y
es grave, sin importar las definiciones de "calidad" y de "formación
matemática" que se acojan. Por eso, este estudio se propone escudriñar
cuestiones más específicas de la enseñanza y aprendizaje de las fracciones,
la naturaleza de la misma y la comprensión que el estudiante tiene sobre el
conjunto de los números racionales.
La investigación correlacional evalúa de forma sistemática el estado y
características de la comprensión de los significados del número racional y
su relación con la capacidad de resolver problemas que involucran
operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades
elementales de los números racionales. Los resultados de este estudio
permitirán dar pautas para plantear acciones de capacitación para los
profesores y proponer algunos recursos didácticos que servirán para la
conducción del aprendizaje de las fracciones.
109
22..44 LLIIMMIITTAACCIIOONNEESS DDEE LLAA IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
Los resultados y conclusiones del presente estudio corresponden al caso
de los estudiantes del nivel de educación secundario de la ciudad de Puno,
por tanto, no se aplican a otros casos, por lo que no pueden extenderse a la
población regional y menos al ámbito nacional. Es un estudio de caso, que
corresponde al distrito de Puno, de una muestra de 380 estudiantes
distribuidos en los cinco grados de estudio, a quienes se les aplicó tres
pruebas, una sobre comprensión de los significados del número racional,
otra que evalúa la capacidad operativa con las fracciones, y una última que
evalúa el conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales.
Como se podrá deducir de los objetivos de esta investigación, no se han
considerado aspectos relativos al proceso de enseñanza en general, como
metodología, currículo o evaluación, aspectos que pueden ser materia de
otras investigaciones; nuestra preocupación es estudiar la naturaleza de la
comprensión del concepto y significados del número racional, expresado
como fracciones y su relación con las operaciones básicas y propiedades
elementales.
Entre otras limitantes que se enfrenta está el dominio del idioma. La
documentación revisada tiene su fuente en investigaciones, actas, libros
esencialmente en idioma español; y algunos informes de investigación de
universidades brasileñas, en idioma portugués. El idioma inglés como
tercera opción, permitió en forma limitada acceder a la información sobre
teoría de la educación matemática que forma parte de la fundamentación
teórica.
Creemos que la revisión de antecedentes sobre los significados del
número racional fue parcial, pero suficiente para tener una visión general del
estado actual de la cuestión en el espectro de la comunidad de
investigadores de la educación matemática.
110
Si bien, las interferencias de los significados es una de las múltiples
razones de la deficiente comprensión de los significados del número
racional, en esta investigación tenemos el propósito de estudiar solo esta
arista del problema; en consecuencia, este aspecto más que una restricción
es un elemento delimitador de las fronteras de la investigación.
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIIIII
MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
33..11 PPRROOPPUUEESSTTAA DDEE OOBBJJEETTIIVVOOSS
33..11..11 OOBBJJEETTIIVVOO GGEENNEERRAALL
Determinar el tipo de relación entre la capacidad de resolución de
operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades
elementales de los números racionales, con la comprensión de los
significados del número racional positivo, de alumnos de educación
secundaria que estudian en la ciudad de Puno.
33..11..22 OOBBJJEETTIIVVOOSS EESSPPEECCÍÍFFIICCOOSS
a) Caracterizar la comprensión de los significados del número racional
positivo, en su representación fraccional, que ostentan los estudiantes
del nivel de educación secundaria de los colegios de la ciudad de
Puno.
b) Identificar los tipos de interferencias en la comprensión de los
significados del número racional que revelan los estudiantes.
c) Caracterizar la comprensión de los algoritmos de las operaciones
básicas con fracciones.
112
d) Determinar cuánto conocen sobre las propiedades del conjunto de los
números racionales.
e) Determinar el tipo de relación existente entre la capacidad de
resolución de operaciones básicas con fracciones y el conocimiento
de las propiedades elementales de los números racionales con la
comprensión de los significados del número racional positivo.
f) Establecer el tipo de relación entre la capacidad de resolución de
operaciones básicas con fracciones con la comprensión de los
significados del número racional positivo.
g) Establecer el tipo de relación entre el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales con la
comprensión de los significados del número racional positivo.
33..22 SSIISSTTEEMMAA DDEE HHIIPPÓÓTTEESSIISS
33..22..11 HHIIPPÓÓTTEESSIISS GGEENNEERRAALL
A mayor capacidad de resolución de operaciones básicas con
fracciones y un mayor conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales corresponde mayor comprensión de los significados del
número racional positivo.
33..22..22 HHIIPPÓÓTTEESSIISS EESSPPEECCÍÍFFIICCAASS
a) La comprensión de los significados del número racional positivo, en
su representación fraccional, es de naturaleza intuitiva y parcial,
sustentado esencialmente en el significado parte-todo.
b) El significado parte-todo interfiere en la interpretación de los
significados de medida, razón, cociente y operador.
c) La comprensión de los algoritmos de las operaciones adición,
sustracción, multiplicación y división de fracciones es obstaculizado
por algoritmos previamente aprendidos.
d) Demuestran escaso conocimiento de las propiedades elementales del
conjunto de los números racionales.
113
e) La capacidad de resolución de operaciones básicas con fracciones y
el conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales se relacionan directamente con la comprensión de los
significados del número racional positivo.
f) A mayor capacidad de resolución de las operaciones básicas con
fracciones, mayor es la comprensión de los significados del número
racional.
gg)) A mayor conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales, corresponde una mayor comprensión de los
significados del número racional positivo.
33..33 SSIISSTTEEMMAA DDEE VVAARRIIAABBLLEESS
33..33..11 VVAARRIIAABBLLEESS DDEE EESSTTUUDDIIOO AA CCOORRRREELLAACCIIOONNAARR Variables de Independencia Estadística: X1: Resolución de operaciones básicas con fracciones.
X2: Conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales.
Variable de Dependencia Estadística:
Y: Comprensión de los significados del número racional positivo.
33..33..22 DDEEFFIINNIICCIIÓÓNN OOPPEERRAATTIIVVAA DDEE LLAASS VVAARRIIAABBLLEESS Indicadores de la Variable X1:
i. Realiza la adición de fracciones utilizando el algoritmo de la
operación aritmética.
ii. Efectúa la operación de sustracción de fracciones.
iii. Efectúa la operación de multiplicación de fracciones utilizando el
algoritmo correspondiente.
iv. Utiliza el algoritmo en la realización de la división de fracciones.
Indicadores de la Variable X2: i. Identifica la definición de número racional.
ii. Formula el opuesto de un número racional escrito como fracción.
iii. Formula el inverso de un número racional como fracción.
114
iv. Evalúa la relación de equivalencia del número racional en su
representación fraccional.
v. Ordena de menor a mayor los números racionales en su
representación fraccional.
vi. Interpreta la propiedad de densidad de los números racionales.
Indicadores de la Variable Y: i. Comprensión del significado parte-todo.
ii. Comprensión del significado de medida.
iii. Comprensión del significado razón.
iv. Comprensión del significado cociente.
v. Comprensión del significado operador.
33..44 TTIIPPOO YY MMÉÉTTOODDOOSS DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
33..44..11 MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA
El enfoque de investigación es cuantitativo, por lo que, acotamos
información esencialmente cuantitativa para deducir conocimiento. Por tal
razón, en el primer capítulo delineamos teorías y de ella derivamos hipótesis,
las cuales se someten a prueba utilizando diseños estadísticos,
específicamente correlacionales. En el cuarto capítulo se aporta resultados
empíricos que corroboran esas hipótesis.
Las fases de esta investigación son:
Primera, realizamos la caracterización del fenómeno de la comprensión a
través de un estudio descriptivo sobre las dificultades que tienen los
estudiantes en la comprensión de los significados de los números racionales
positivos (Q+).
Segunda, identificamos los tipos de interferencia y establecemos
suposiciones como consecuencia de la descripción anterior. Estas
suposiciones se ven plasmadas en un conjunto de clasificaciones y
tipificaciones de las interferencias.
115
Tercera, evaluamos la capacidad que ostentan los estudiantes en la
resolución de operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales.
Cuarta, establecemos relaciones múltiples entre las variables de estudio.
33..44..22 NNIIVVEELL YY TTIIPPOO DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
El enfoque de investigación es cuantitativo, se recolecta y analizan
datos para probar la hipótesis y establecer con un grado de probabilidad los
patrones de comportamiento de la población. El alcance de la investigación
es correlacional múltiple. El propósito del estudio es evaluar la relación que
existe entre tres variables.
El estudio es de nivel descriptivo correlacional, reporta información
sobre el estado actual de la comprensión de los significados del número
racional positivo, en su representación fraccional. La técnica de observación
del fenómeno de comprensión fue a través de la aplicación de pruebas.
Cabe recalcar que en este estudio no tenemos control de la variable, lo que
hacemos es estudiarla en su estado natural. En el estudio se hace una
tipificación y clasificación de las interferencias de los significados y los
errores en la resolución de operaciones básicas con fracciones, con la
intención de realizar una aproximación cualitativa del estudio.
De acuerdo a la clasificación propuesta por Sierra Bravo (1988), la
investigación por su finalidad es del tipo básico, pues, tiene el objetivo de
evaluar, describir y correlacionar la comprensión de los significados del
número racional con el dominio de las operaciones básicas con fracciones y
el conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales,
así mismo, no deja de tener una naturaleza aplicativa, ya que sus
conclusiones y recomendaciones estarán dirigidas a solucionar el problema
de los bajos niveles de comprensión que presentan los estudiantes del nivel
de educación secundaria.
116
33..55 DDIISSEEÑÑOO DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
Como el estudio tiene el objetivo de evaluar el estado de la
comprensión de los significados del número racional positivo, en un
momento dado y determinar la relación entre las variables en un punto del
tiempo, nuestro diseño apropiado es el transversal o transeccional,
concordante con el alcance correlacional.
El diseño de investigación es transeccional descriptivo correlacional,
porque se indaga la incidencia y los valores en que se manifiestan las
variables, las cuales son categorizadas. Es correlacional, porque describe
las relaciones entre la comprensión de los significados del número racional
que ostentan los estudiantes con el dominio de las operaciones básicas con
fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales. La relación insinúa una naturaleza de tipo causal.
El esquema del diseño se configura de la siguiente manera:
Figura 3.1. Diseño transeccional correlacional múltiple de la investigación.
X1 Resolución de operaciones básicas con fracciones.
X2 Conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales.
Y Comprensión de los significados del número racional positivo.
Existe relación
Existe relación
Rec
olec
ción
de
dato
s y
desc
ripci
ón d
e re
laci
ones
en
un
tiem
po ú
nico
117
33..66 IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS
El instrumento es concebido como el medio material empleado para
recoger y almacenar la información. En esta investigación se utilizó el
cuestionario o prueba de tipo cerrado y abierto, diseñado en forma sencilla y
clara, de manera que sea comprendida con facilidad. En cuanto a la validez
del instrumento fue favorablemente validado por la correlación por rangos.
Los instrumentos que se aplicaron son los siguientes:
- Prueba de comprensión de los significados del número racional.
- Prueba de operaciones básicas con fracciones. - Prueba sobre las propiedades elementales de los números racionales.
33..66..11 DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN YY AANNÁÁLLIISSIISS DDEELL IINNSSTTRRUUMMEENNTTOO DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN
DDEE DDAATTOOSS
Para la evaluación de la comprensión de los significados que
manifiestan los estudiantes se diseñó una prueba de seis preguntas abiertas,
se optó por estas, porque son más adecuadas para recoger información que,
podría quedar oculta con preguntas cerradas o de alternativa múltiple.
El instrumento tiene un conjunto de orientaciones como “Instrucciones
para responder el cuestionario”; seguidamente, se proponen las seis
cuestiones organizadas según los significados del número racional, tal como
se muestra en el Anexo A. 2 “Prueba sobre comprensión de los significados
del número racional”. En este instrumento se propone dos cuestiones sobre
el significado “parte-todo continuo” y “parte-todo discreto”; la tercera
pregunta evalúa el significado de “cociente”; la cuarta, la “medida”; la quinta,
la “razón”; y finalmente, el significado de “operador”. De los seis enunciados,
solo el cuarto tiene una representación gráfica de segmentos. En lo posible,
se ha procurado que los enunciados se hallen sin el auxilio de gráficos, con
la finalidad de dejar abierta la posibilidad de que sea el estudiante quien
utilice las representaciones gráficas.
118
Se ha pretendido que los instrumentos de medición registren datos
observables que denoten con nitidez los procesos cognitivos involucrados, lo
más cercano posible a la variable de interés; se trató de alcanzar este
requisito con la formulación de preguntas abiertas, porque estas dan mayor
posibilidad de recoger información sobre lo que acontece en el ámbito de las
representaciones internas del sujeto, exteriorizadas a través de las
representaciones externas que presentan en cada respuesta.
Para acceder a la mayor riqueza de las respuestas se habilitó un
espacio determinado “sector de respuestas”; en la resolución del problema
se sugirió hacer todos los cálculos en el mismo folio; además, se pidió no
borrar los errores o equivocaciones para tener pistas sobre sus procesos de
solución.
33..66..22 PPRROOCCEESSOO DDEE EELLAABBOORRAACCIIÓÓNN DDEELL IINNSSTTRRUUMMEENNTTOO
La secuencia del proceso de construcción del instrumento se inicia con
la definición de los significados del número racional. Para esta tarea se tomó
como documento orientador el libro de Gairín y Sancho (2002); luego, se
exponen los objetivos de cada ítem, que en la tabla se muestra como
“Desempeño esperado”, es decir, las habilidades que deberán mostrar los
sujetos. Estas habilidades están referidas a la comprensión de los cinco
significados más usuales que tienen los números racionales: la fracción
como parte-todo, cociente, medida, razón y operador. Paso seguido, se
formula una pregunta por cada desempeño esperado, tal como muestran los
cuadros que a continuación se exponen:
119
Tabla 3.1
Matriz de Formulación del Instrumento de Recolección de Información sobre Significados del Número Racional
Definición de los significados de número racional, según Gairín y Sancho 2002.
Desempeño esperado Problemas
El número racional como “parte-todo”: Este significado se da cuando existe la división de una unidad en partes iguales, de las que se “destacan” algunas. Las partes en que se ha dividido la unidad son el denominador de la fracción, mientras que las partes que se destacan están indicadas por el numerador. La relación “parte-todo” se presenta cuando un “todo” (continuo o discreto) se divide en partes “congruentes” (equivalentes como cantidad de superficie o cantidad de “objetos”). La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y el número total de partes (que puede estar formado por varios “todos”). El todo recibe el nombre de unidad.
Con
tinuo
Interpreta una situación problemática, enunciada en forma verbal, de la fracción en su significado ‘parte-todo continuo’ proponiendo una explicación simbólica y gráfica.
1) Si divido una barra de chocolate en cuatro trozos iguales y tomo tres, ¿qué significado matemático tiene para usted la acción de tomar 3 de un total de 4 trozos?
Dis
cret
o
Interpreta una situación problemática de la fracción, enunciada en forma verbal, en su significado ‘parte-todo discreto’ proponiendo una explicación simbólica y gráfica.
2) Si en una reunión de amigos, tres son chicos y cuatro, chicas, ¿qué fracción del grupo de amigos son chicos?
El número Racional como “cociente”: En este caso, la fracción a/b representa una situación de reparto, en la que se trata de conocer el tamaño de cada una de las partes que resulta de distribuir a unidades en b partes iguales.
Interpreta una situación problemática, enunciada en forma verbal, de la fracción en su significado como “cociente” y explica el reparto usando símbolos y gráficas.
3) Tres amigos quieren repartirse 5 chocolates de manera equitativa, ¿cuánto chocolate le corresponde a cada uno de los amigos?
El número Racional como “medida”: En este constructo se plantea la necesidad de medir la longitud de un segmento AB tomando como unidad de medida la longitud de un segmento CD, que no está incluido un número entero de veces en el segmento AB. En términos generales se puede decir que la fracción como medida responde a la necesidad de medir una magnitud tomando como unidad de medida otra magnitud de la misma naturaleza que la anterior, que no está incluido un número entero de veces en ella. El objeto a medir no siempre será una longitud, puede ser un área, el tiempo, masa, etc.
Interpreta una representación gráfica lineal que trasmite el significado de la fracción como ‘medida’ y traduce a representación simbólica.
4) De la observación de la figura: ¿Qué
parte de _
a es _
b ? ,
¿cuánto mide _
a ?
120
El número Racional como “razón”: En este constructo a/b no representa la partición de ningún objeto o cantidad de magnitud, sino la relación que existe entre dos cantidades de magnitud, la comparación entre los cardinales de dos conjuntos o la comparación entre una cantidad de magnitud y el cardinal de un conjunto. La comparación se establece entre las cantidades que expresan el numerador y el denominador y, por tanto, el orden en que se citan las magnitudes que se están comparando es esencial. La comparación entre cantidades que indica la fracción ha de entenderse como el tanto por uno, es decir, como la cantidad de la magnitud a que se refiere el numerador que corresponde a cada unidad de la magnitud considerada en el denominador
Interpreta el enunciado problemático que involucra fracciones en su significado de ‘razón’ a través de una explicación simbólica y o gráfica.
5) En una mesa hay 9 libros, de los cuales 5 son de matemáticas y 4 de investigación; ¿qué se puede decir del número de libros de investigación respecto al número de libros de matemática?
El número Racional como “operador”: En este constructo se parte de un número o figura dada y mediante la realización de operaciones se transforma en un segundo número o figura. Por tanto, se puede interpretar a la fracción como una función de cambio. El trabajo con operadores conecta las fracciones con las propiedades algebraicas de multiplicación inversa y de identidad de elementos, y con propiedades del análisis como son los de composición de funciones.
Identifica la fracción en su significado como ‘operador’ y lo utiliza para la solución de una situación problemática.
6) En un salón de clases, de los 35 alumnos aprueban matemática los 4/5 ¿cuántos aprueban matemática?
Elaborado por el investigador.
121
33..77 DDEESSCCRRIIPPCCIIÓÓNN DDEE LLAA PPOOBBLLAACCIIÓÓNN YY MMUUEESSTTRRAA
33..77..11 PPOOBBLLAACCIIÓÓNN
La población de estudio está constituido por Instituciones Educativas
del Nivel Secundario, de la modalidad de menores (FO) correspondiente a la
variante Ciencias y Humanidades. Estos centros educativos son de gestión
estatal (A1) de financiamiento público. Los educandos asisten en el turno
diurno.
Tabla 3.2
Población de estudiantes de los cinco grados de estudio del nivel secundario
de la ciudad de Puno. 2009.
N° NÚMERO Y/O NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA
NÚMERO DE ALUMNOS POR GRADO DE ESTUDIO
1ro. 2do. 3ro. 4to. 5to Total
1 GRAN UNIDAD ESCOLAR SAN CARLOS 241 303 243 244 291 1322 2 GLORIOSO SAN CARLOS 368 317 300 297 258 1540 3 SANTA ROSA 247 222 226 230 228 1153 4 MARÍA AUXILIADORA 228 272 246 283 261 1290 5 INDEPENDENCIA NACIONAL 205 154 191 183 144 877 6 JOSÉ ANTONIO ENCINAS 86 73 66 83 62 370 7 CARLOS RUBINA BURGOS 77 75 77 76 99 404 8 JOSÉ CARLOS MARIÁTEGUI APLICACIÓN UNA 47 63 57 67 65 299 Total 1499 1479 1406 1463 1408 7255 Fuente: Actas de evaluación integral de las ocho Instituciones Educativas. Elaborado por el investigador.
33..77..22 MMUUEESSTTRRAA
El tamaño de la muestra fue determinado por la fórmula
Nn
nn´1
´
+= ,
donde n´ es el tamaño provisional de la muestra y es directamente
proporcional a la varianza de la muestra e inversamente proporcional a la
varianza de la población 2
2
´Vsn = . (Sampiere, 2006)
Siendo la población todos los estudiantes de instituciones educativas
secundarias de menores de variante ciencias y humanidades de gestión
estatal, el tamaño poblacional es N= 7 255. Entonces, el tamaño de la
122
muestra de estudiantes (n) a quienes se aplicó los instrumentos de
recolección de datos está calculado con un error estándar menor de 0.05.
N = tamaño de la población de 7 255.
se = error estándar = 0.015, determinado por nosotros.
2s = varianza de la muestra expresada como la probabilidad de ocurrencia
del valor promedio de una variable: p = 0.9.
2V = varianza de la población al cuadrado que se definición como el
cuadrado del error estándar ( 2se ).
n´= tamaño de la muestra sin ajustar.
n = tamaño de la muestra definitivo.
Tenemos el cálculo:
2s = p(1-p) = 0.9 (1- 0.9) = 0.09
2V = 2se = (0.015)2 = 0.000225
400000225.0
09.0´ 2
2
===Vsn
3801.37905513.1400
05513.01400
72554001
400´1
´===
+=
+=
+=
Nn
nn
La muestra de estudio es probabilística estratificada, porque tenemos
subgrupos en el que la población se divide en segmentos y se seleccionó
una muestra para cada segmento poblacional. El interés del estudio es
comparar los resultados entre segmentos, grupos o nichos de la población.
En nuestro caso los grados de estudio del nivel secundario son los
segmentos en referencia.
La estratificación en estratos de estudio aumenta la precisión de la
muestra, además, implica el uso de diferentes tamaños de muestras para
cada estrato, con el objetivo de reducir la varianza de cada unidad de la
media muestral. Kish (1995, citado por Sampiere 2006) sostiene que, un
123
número determinado de elementos muestrales n = ∑nh, la varianza de la
media muestral puede reducirse al mínimo cuando el tamaño de la muestra
para cada estrato es proporcional a la desviación estándar dentro del
estrato.
Si la población es N= 7 255 estudiantes de los cinco grados de estudio
y el tamaño de la muestra es n = 380 estudiantes, la muestra que
necesitamos para cada estrato es:
0522.07255379
==Nn
de manera que el total de la subpoblación se multiplica
por esta fracción constante para obtener el tamaño de la muestra por cada
estrato.
Tabla 3.3
Muestra probabilística estratificada de estudiantes de los cinco grados de
estudio del nivel secundario de la ciudad de Puno. 2009.
N° NÚMERO Y/O NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA
NÚMERO DE ALUMNOS POR GRADO DE ESTUDIO
1ro. 2do. 3ro. 4to. 5to Total
1 GRAN UNIDAD ESCOLAR SAN CARLOS 13 16 13 13 15 70 2 GLORIOSO SAN CARLOS 19 17 16 16 13 81 3 SANTA ROSA 13 12 12 12 12 61 4 MARÍA AUXILIADORA 12 14 13 15 14 68 5 INDEPENDENCIA NACIONAL 11 8 10 10 8 47 6 JOSÉ ANTONIO ENCINAS 4 4 3 4 3 18 7 CARLOS RUBINA BURGOS 4 4 4 4 5 21 8 JOSÉ CARLOS MARIÁTEGUI APLICACIÓN UNA 2 3 3 3 3 14 Total 78 78 74 77 73 380 Fuente: Actas de evaluación integral de las ocho Instituciones Educativas. Elaborado por el investigador.
124
33..88.. TTRRAATTAAMMIIEENNTTOO EESSTTAADDÍÍSSTTIICCOO
33..88..11 EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA DDEESSCCRRIIPPTTIIVVAA
1. Una primera tarea fue clasificar los datos individuales sin
agrupamiento, es decir, agrupar los datos recogidos de cada una de
las variables, y presentarlas en tablas de frecuencia y gráficos. La
clasificación implica que realicemos lo siguiente: codificación,
transferencia y tabulación. (Sierra Bravo, 1994)
- Gráficas de barras: para presentar datos discretos en escalas
nominales y ordinales, como por ejemplo tipos de respuestas
presentadas por los educandos y porcentaje de respuestas
correctas e incorrectas.
- Gráficas circulares: estas se utilizaron para presentar información
en gran número de categorías, sin que se confundan o
sobrelapen, como suele ocurrir con las gráficas lineales.
- Gráficas acumulativas: para representar las distribuciones de
frecuencias acumuladas, de las que resultarán las ojivas.
- Gráficas lineales: para representar datos continuos en escalas de
intervalos o razones. Utilizamos para graficar datos continuos y
tendencia de la conducta de nuestro interés sobre el tiempo
(grados de estudio) y sobre diferentes condiciones experimentales.
- Los análisis visuales en base a las gráficas: para observar la
dirección, la variabilidad, la tendencia y el nivel.
2. Se utilizaron los estadígrafos de tendencia central, dispersión,
posición y forma para realizar una descripción estadística de las
variables.
3. En la lógica de la contrastación de hipótesis se ha previsto los
siguientes procesos: formulación de las hipótesis estadísticas que
han de contrastarse, elección de una determinada estadística,
análisis de la distribución muestral, adopción de un nivel de
significancia, toma de decisión y control de los posibles tipos de
errores.
125
4. Para el análisis de la evolución de la comprensión de los
significados, capacidad de operar con fracciones y conocimiento de
propiedades elementales de los números racionales se utilizó la
prueba o inferencia respecto a la diferencia entre las medias de dos
muestras independientes de varianza poblacional desconocida.
Para esta prueba, según Johnson (1988) si se seleccionan
aleatoriamente muestras independientes de tamaños n1 y n2 de
grandes poblaciones con medias µ1 y µ2 y varianza y
respectivamente, la distribución de muestreo de - , la diferencia
entre las medias, entonces:
- La distribución de datos es aproximadamente normal.
- Tiene media: .
- Tiene desviación estándar: .
Si se sume que, la distribución muestral es aproximadamente
normal, se utilizará la estadística Z en las inferencias. En los
contrastes o pruebas de hipótesis, Z estará determinado por
cuando σ1y σ2 son conocidos.
En tanto que la hipótesis alternativa Ha: µA - µB > 0, se admite
que la prueba será unilateral (de una sola cola).
126
33..88..22 EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA CCOORRRREELLAACCIIOONNAALL
El fenómeno de comprensión de los significados del número racional,
por su complejidad necesitan explicaciones multicausales, como en el
conocimiento de algoritmos de las operaciones básicas y sus propiedades.
El modelo de regresión que se ajusta al fenómeno de estudio es la lineal
múltiple (Silva, 1992).
La forma del modelo de regresión para 2 variables independientes está
dado por:
Y = β0 + β1 X1 + β2 X2
3.8.2.1 Determinación de la Ecuación de Regresión
Los parámetros del modelo (bK) o coeficientes de regresión se estiman
por ecuaciones normales:
∑ ∑∑= ==
++=n
i
n
i
n
io XbXbnbY
1 12211
1
∑ ∑∑ ∑= == =
++=n
i
n
i
n
i
n
io XXbXbXbYX
1 1212
211
1 111
∑ ∑ ∑∑= = ==
++=n
i
n
i
n
i
n
io XbXXbXbYX
1 1 1
2222112
12
La estimación de los parámetros del modelo, también se puede
realizar por método matricial. Para calcular los estimadores b0, b1, b2, es
necesario definir una matriz X y una matriz vector columna Y, constituidos de
la siguiente manera:
La estimación matricial de los parámetros se da por la siguiente
fórmula:
127
Donde:
: es la transpuesta de la matriz X.
: es la inversa de la matriz .
: es el producto de la matriz por la matriz vector columna Y.
3.8.2.2 Evaluación General del Modelo de Regresión Múltiple
La evaluación del modelo de regresión múltiple se realiza midiendo la
magnitud en que los valores estimados o predichos por el modelo se desvían
de los valores observados en la muestra. Si el modelo se ajusta a los datos,
la desviación es nula. Esto es:
0=−∧
ii YY , o ii YY∧
=
Para obtener los valores estimados o predichos por el modelo de
regresión múltiple se resuelve la siguiente ecuación matricial:
XbY =∧
,
donde, b es la matriz vector columna de estimadores de mínimos cuadrados
y X es la matriz de las variables independientes.
3.8.2.3 Coeficiente de Determinación Múltiple
El modelo de regresión múltiple supone que la variación total de la
variable dependiente está formada por una variación explicada, la cual mide
la magnitud de la variable total que es explicada por el modelo de regresión
estimado y por una variación inexplicada, que mide la magnitud de la
variación total que no queda comprendida dentro del modelo de regresión
ajustado. Esta suposición se expresa en la siguiente ecuación:
SCtotal = SCexplicada + SCinexplicada
128
SC: Suma de cuadrados.
Queda expresado matemáticamente en la siguiente fórmula:
Donde:
: Valor observado.
: Promedio.
: Valor estimado.
3.8.2.4 Análisis de Varianza
Este análisis de varianza sirve para probar la hipótesis nula de que:
β1 = β2 = 0
Lo que significa que, todas las variables independientes no tienen
ningún valor explicativo de la variación de Y. Es decir, la capacidad de
efectuar las operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales no tienen ningún valor
explicativo en la comprensión de los significados del número racional.
Tomando los tres términos de la suma de cuadrados con sus
respectivos grados de libertad asociados, se puede construir la tabla de
abajo, que sirve para probar la hipótesis nula: β1 = β2 = ... βk = 0
es decir, todas las variables independientes no tienen ningún valor
explicativo de la variación de Y.
129
Tabla 3.4.
Análisis de Varianza para el modelo de regresión lineal múltiple.
Fuentes de
variación
SC gl MC Razón F
Regresión Lineal licadaSCexp K K
SC licadaexp licadain
licada
MCMC
exp
exp
Residual (error) licadainSC exp n-K-1 1
exp
−− KnSC licadain
Total totalSC n-1
1,1 −−− KnKFα Si Fc > Ft, entonces se rechaza Ho.
Donde:
SC : Suma de cuadrados.
gl : Grados de libertad.
MC : Media de cuadrado.
Fc : Valor de F calculado.
Ft : Valor de F tabulado ( 1,1 −−− KnKFα )
k : Número de variables independientes.
n : Total de valores en la muestra.
Para nuestro estudio:
H0: β1 = β2 = 0
H1: β1 ≠ β2 ≠ 0
α = 0.05 (α: nivel de la probabilidad de significancia).
3.8.2.5 Evaluación Particular del Modelo de Regresión Múltiple
Fue necesario determinar la importancia relativa de cada variable
independiente, en particular en la descripción de la variable dependiente
(Silva, 1992, p. 551-554).
130
a. Evaluación de los parámetros del modelo
Para determinar la importancia que tiene cada variable independiente
en la explicación de la variable dependiente es necesario computar el
estadístico tbj, que se distribuye como el valor de la distribución t de Student
con n-k-1 grados de libertad, el cual se define por la ecuación:
bj
jbj S
bt =
Donde:
bj: es el estimador de mínimos cuadrados de βj, y
Sbj: es el error estándar del estimador jb , que se calcula mediante la fórmula:
jjbj csS =
donde:
licadainMCs exp=
Cjj es el (j, j) ésimo elemento de la matriz (XTX)-1 usada en la estimación de
los mínimos cuadrados, son los valores de la diagonal de la matriz definida.
Para nuestro caso será:
33222120
121110
0201001)(
×
−
=
CCCCCCCCC
XX T
Los estimadores de los parámetros son:
YXXXbbb
b TT 1
132
1
0
)( −
×
=
=
y el error estándar es:
licadainMCs exp=
Así pues, se pueden establecer las siguientes hipótesis:
131
H0: β0 =0
H1: β0 ≠0
α = 0.05
Recordemos que β0 representa el punto en el que la ecuación de
regresión múltiple corta al eje Y. Conforme a esto, la hipótesis nula establece
que el modelo de regresión parte de cero. Por el contrario, la hipótesis
alterna señala que el origen es diferente de cero.
Sustituyendo tenemos entonces, para la ordenada al origen, el error
estándar del estimador b0 es:
oobo csS =
b. Intervalos de confianza para los parámetros
Los coeficientes de regresión parcial tienen un intervalo de confianza, y
se calcula con la siguiente ecuación:
jjknj cstb)1,
21( −−−
± α
3.8.2.6 Correlación Parcial
Utilizamos para medir la intensidad de la relación lineal entre dos
variables, cuando se ha eliminado el efecto de la otra variable, se usa el
coeficiente de correlación parcial.
Denotaremos el coeficiente ry1.2 como la medida de la correlación entre
la variable dependiente Y y X1, manteniéndose constante X2. Los
coeficientes de correlación parcial pueden calcularse a partir de los
coeficientes de correlación simple, ya que estos evalúan la correlación entre
dos variables, cuando no se ha hecho ningún intento de controlar a las
demás.
132
Los coeficientes de correlación simple se calculan a partir de la matriz
cuadrada (k+1)2. Cuando existen k variables independientes y una variable
dependiente, se obtiene una matriz R de correlación simple de la forma:
Kkkky
ky
ky
ykyy
X
XXY
XXXY
rrr
rrrrrrrrr
R
k
.
.
.
1........................
...1
...1
...1
.2
1
.......
21
2212
112
21
21
=
1
esta matriz es cuadrada y simétrica.
En nuestro estudio la matriz será de 3x3. Se tiene dos variables
independientes y una dependiente, luego, existen tres coeficientes de
correlación simple, que son:
=1
11
212
121
21
rrrrrr
R
y
y
yy
ry1, la correlación simple entre Y y X1,
ry2, la correlación simple entre Y y X2,
r12, la correlación simple entre X1 y X2,
Para calcular la matriz R, primero se deben estandarizar las
puntuaciones de cada variable. Las calificaciones estándar tienen una media
de cero y una varianza de uno. La fórmula para calcular las calificaciones
estándar es:
sXX
Z i
−
−=
De la puntuación tipificada para cada una de las variables calculamos
la matriz de correlación R, por medio de la fórmula:
133
MMn
R T1=
a. Contraste de los coeficientes de Correlación Parcial
Aquí se prueba la hipótesis nula de que el valor correspondiente en la
población de cualquier coeficiente de correlación parcial es cero, por medio
de la fórmula:
21
2,...,2,1
....2.1 11
−−−
=ky
ky rknrt
la cual se distribuye como el valor de la distribución t de Student, con n-k-1
grados de libertad.
TTÍÍTTUULLOO SSEEGGUUNNDDOO
TTRRAABBAAJJOO DDEE CCAAMMPPOO
CCAAPPÍÍTTUULLOO IIVV
DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN YY
RREESSUULLTTAADDOOSS
44..11 VVAALLIIDDAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE
DDAATTOOSS
Se evaluó la capacidad que poseen los instrumentos para obtener y
proporcionar información directa y efectiva acerca de la comprensión de los
significados, manejo de algoritmos de las operaciones básicas y
conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales.
44..11..11 VVAALLIIDDAACCIIÓÓNN DDEELL CCOONNTTEENNIIDDOO DDEE LLAASS PPRRUUEEBBAASS
Para la evaluación de la comprensión de los significados que poseen
los estudiantes se ha diseñado una prueba de seis ítems, correspondiente a
los significados parte-todo continuo, parte-todo discreto, cociente, medida,
razón y operador. La secuencia del proceso de diseño del instrumento se
inicia con la definición del número racional, para esta tarea se tomó como
135
fuente el documento de Gairín y Sancho (2002); luego, se expone los
objetivos de cada ítem como se detalla en Tabla 4.1.
Las definiciones de los significados del número racional consideradas
por Gairín y Sancho (2002) en esta investigación son:
El número racional como “parte-todo”: Este significado se da cuando
existe la división de una unidad en partes iguales de las que se “destacan”
algunas. Las partes en que se ha dividido la unidad son el denominador de
la fracción, mientras que las partes que se destacan están indicadas por el
numerador. La relación “parte-todo” se presenta cuando un “todo” (continuo
o discreto) se divide en partes “congruentes” (equivalentes como cantidad de
superficie o cantidad de “objetos”). La fracción indica la relación que existe
entre un número de partes y el número total de partes (que puede estar
formado por varios “todos”). El todo recibe el nombre de unidad.
El número Racional como “cociente”: En este caso, la fracción a/b
representa una situación de reparto, en la que se trata de conocer el tamaño
de cada una de las partes que resulta de distribuir a unidades en b partes
iguales.
El número Racional como “medida”: En este constructo se plantea la
necesidad de medir la longitud de un segmento AB tomando como unidad de
medida la longitud de un segmento CD, que no está incluido un número
entero de veces en el segmento AB.
En términos generales se puede decir que la fracción como medida
responde a la necesidad de medir una magnitud tomando como unidad de
medida otra magnitud de la misma naturaleza que la anterior que no está
incluido un número entero de veces en ella. El objeto a medir no siempre
será una longitud, puede ser un área, el tiempo, masa, etc.
El número Racional como “razón”: En este constructo a/b no representa
la partición de ningún objeto o cantidad de magnitud, sino la relación que
existe entre dos cantidades de magnitud, la comparación entre los cardinales
de dos conjuntos, o la comparación entre una cantidad de magnitud y el
cardinal de un conjunto. La comparación se establece entre las cantidades
que expresan el numerador y el denominador y, por tanto, el orden en que
136
se citan las magnitudes que se están comparando es esencial. La
comparación entre cantidades que indica la fracción ha de entenderse como
el tanto por uno, es decir, como la cantidad de la magnitud a que se refiere el
numerador que corresponde a cada unidad de la magnitud considerada en el
denominador
El número Racional como “operador”: En este constructo se parte de un
número o figura dada, y mediante la realización de operaciones se
transforma en un segundo número o figura, por tanto, se puede interpretar a
la fracción como una función de cambio. El trabajo con operadores conecta
las fracciones con las propiedades algebraicas de multiplicación inversa y de
identidad de elementos, y con propiedades del análisis como son los de
composición de funciones.
La validez descriptiva se logra a partir de la definición del universo
conductual por evaluar. Para ello se ha delimitado:
a) Los tipos de contenidos o tareas por considerar como base
representativa, tanto de la comprensión de significados como del
manejo de algoritmos de las operaciones básicas y las propiedades
elementales de los números racionales.
b) Las formas de comportamiento que se desea observar y evaluar, está
establecido por los objetivos y concretado en los ítems. Tal como se
presenta en la Tabla 4.1.
137
Tabla 4.1
Universo conductual para la distribución de los ítems por significados del
número racional.
Universo de significados
Objetivos Enunciado de Ítems
Parte-todo (continuo)
Interpretar una situación problemática, enunciada en forma verbal, de la fracción en su significado ‘parte-todo continuo’ proponiendo una explicación simbólica y gráfica.
[S1] Si divide una naranja en cuatro trozos iguales, de los cuales come tres, ¿qué fracción de naranja le queda?
Parte-todo (discreto)
Interpretar una situación problemática de la fracción, enunciada en forma verbal, en su significado ‘parte-todo discreto’ proponiendo una explicación simbólica y gráfica.
[S2] Si tienes tres lapiceros de color rojo y cuatro de color azul, ¿qué fracción del total de lapiceros son de color azul?
Cociente Interpretar una situación problemática, enunciada en forma verbal, de la fracción en su significado como “cociente” y explica el reparto usando símbolos y gráficas.
[S3] Tres amigos quieren repartirse 5 barras de chocolate de manera equitativa, ¿qué cantidad de chocolate le corresponde a cada uno de los amigos?
Medida Interpretar una representación gráfica lineal que trasmite el significado de la fracción como ‘medida’ y traduce a representación simbólica.
[S4] Utilizando esta unidad de medida: ¿Cuánto mide la barra completa?
Razón Interpretar el enunciado
problemático que involucra fracciones en su significado de ‘razón’ a través de una explicación simbólica y o gráfica.
[S5] Para elaborar una torta, se necesitan cuatro kilos de harina y nueve huevos, ¿cuál es la razón entre la cantidad de harina y huevos?
Operador Identificar la fracción en su significado como ‘operador’ y lo utiliza para la solución de una situación problemática.
[S6] En un salón de 35 estudiantes aprueban
matemática solo 4/5. ¿Cuántos aprueban
matemática?
Elaborado por el investigador.
Este instrumento determina el grado de comprensión del universo de
situaciones relativo a los significados que tiene el número racional en su
representación fraccional. La validez de contenido se justifica por cuanto los
ítems que conforman el instrumento, representan el universo de significados
establecidos por los investigados. Además, tienen la característica de ser
elementales y libre de distractores.
138
Tabla 4.2
Universo conductual para la distribución de los ítems por tipo de operación
aritmética básica con fracciones.
Universo de operaciones
Objetivos Enunciado del Ítems
Adición Realizar la adición de fracciones utilizando el algoritmo adecuado.
[O1] Realizar la adición de fracciones:
=+74
53
Sustracción Efectuar la operación de
sustracción de fracciones.
[O2] Realizar la sustracción de fracciones:
=−65
73
Multiplicación Efectuar la operación de
multiplicación de fracciones utilizando el algoritmo correspondiente.
[O3] Realizar la multiplicación de fracciones:
=×96
87
División Efectuar la división de
fracciones utilizando el algoritmo correctamente.
[O4] Realizar la división de fracciones:
=÷65
74
Elaborado por el investigador.
El instrumento que evalúa el manejo de algoritmos de las operaciones
básicas con fracciones: adición, sustracción, multiplicación y división es
esencialmente elemental, lo que se pretende con este instrumento es
evaluar si los estudiantes de los cinco grados de estudio del nivel secundario
puede efectuar las operaciones con dos números fraccionarios. Se ha tenido
el cuidado en no introducir distractores en su formulación, de ahí su
enunciado simple, directo y concreto “realizar la operación”. Es evidente que
el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular (DCN, 2008) y
los libros de texto patrocinados por el Ministerio de Educación promueven el
estudio de las operaciones básicas con fracciones, así en el MED. DCN
(2008) señala la capacidad: “Calcula la suma y la diferencia de fracciones
heterogéneas usando fracciones homogéneas” (p. 197) en cuarto grado de
educación primaria y como conocimiento “Adición, sustracción,
multiplicación y división con fracciones” (p. 203) en sexto grado.
Considerando los argumentos precedentes se afirma con seguridad que el
139
100% de los estudiantes de la muestra estudiaron los algoritmos básicos de
las operaciones con fracciones.
Tabla 4.3 Universo conductual de la distribución de los ítems por propiedad elemental de los números racionales.
Universo de propiedades elementales
Objetivos y fuente Enunciado del Ítems
Definición del conjunto de los números racionales
- Identificar la definición de número racional.
Fuente: Palomares (2008), p. 73.
[P1] Identifique y marque la definición correcta del conjunto de los números racionales: � a) Es el conjunto de los números enteros y
fracciones, por ejemplo 53 .
� b) Un número racional es el cociente de dos números, tal que el divisor es diferente de cero.
� c)
≠∧∈∈= 0;/),( bZbZabaQ
� d)
∈∧∈= ZbZa
baQ /
Opuesto aditivo - Formular el opuesto de un número racional escrito como fracción.
Fuente: Palomares (2008), p. 76.
[P2] Escriba en el recuadro el opuesto “aditivo” del siguiente número racional:
83
Inverso multiplicativo
- Formula el inverso de un número racional como fracción.
Fuente: Palomares (2008), p. 79. Vera (2004), p. 83.
[P3] Escriba en el recuadro el inverso “multiplicativo” del siguiente número racional:
52
Clase de equivalencia
- Evaluar la relación de equivalencia del número racional en su representación fraccional.
Fuente: Palomares (2008), p. 73. Vera (2004), p. 75. Ozejo, et al. (2004), p. 65.
[P4] Completa el recuadro vacío para que las fracciones sean equivalentes:
1553≅
Relación de orden
- Ordenar de menor a mayor los números racionales en su representación fraccional.
Fuente: Vera (2004), p.79. Ozejo, et al. (2004), p. 11.
[P5] Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales:
73
y 52
.
Densidad - Interpretar la propiedad de densidad de los números racionales.
Fuente: Palomares (2008), p. 77. Vara(2004), p. 82 Ozejo, et al. (2004), p. 11.
[P6] Hallar un número racional entre 32
y 43
.
Elaborado por el investigador.
<
140
El instrumento que evalúa el conocimiento sobre las propiedades
elementales de los números racionales que posee el estudiante de
educación secundaria, tiene por finalidad evaluar el conocimiento sobre la
definición de número racional, opuesto aditivo, inverso multiplicativo, relación
de orden, relación de equivalencia y densidad de los números racionales.
Estas propiedades fueron seleccionadas de entre otras muchas que
poseen los números racionales por ser elementales; y de orden común en
todos los libros de texto del primer y segundo grado de educación
secundaria y especialmente por los distribuidos por el Ministerio de
Educación; Palomares (2008) y Vera (2004). Así mismo, ya en los libros de
texto de sexto y quinto grado del nivel de educación primaria se avizora las
propiedades de las fracciones, por ejemplo Ozejo, et al. (2004), distribuido
por el Ministerio de Educación, es explícito respecto al abordaje de las
propiedades de relación de orden y equivalencia de las fracciones, además
de las operaciones básicas.
Los instrumentos “Prueba sobre operaciones básicas con fracciones” y
“Prueba sobre propiedades elementales de los números racionales” ostentan
una validez de contenido, por cuanto contienen una muestra representativa
de las conductas y conocimientos que se pretende medir; así mismo, se ha
evitado introducir factores no pertinentes que pueden distraer la atención del
sujeto observado. Para su validación de contenido se ha realizado un
examen lógico del contenido y confirmado que los reactivos cubren los
objetivos de la evaluación.
44..11..22 VVAALLIIDDEEZZ CCOONNCCUURRRREENNTTEE DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE
RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS
En la investigación se tuvo especial cuidado en conseguir la validez
concurrente. Para conseguirlo se ha procedido a correlacionar dos
resultados; primero, los resultados de la prueba que se va a validar, y
segundo, el criterio externo.
141
Pruebas que se validaron: (X)
a) Prueba sobre comprensión de los significados del número racional b) Prueba sobre operaciones básicas con fracciones
c) Prueba sobre propiedades elementales de los números racionales
Criterios Externos: (Y)
Estimación del investigador como resultado de una sesión de
aprendizaje en el que se trabajó una práctica calificada de:
a) Práctica de interpretación de los significados del número racional en
su representación fraccional.
b) Taller de operaciones combinadas de adición, sustracción
multiplicación y división de fracciones.
c) Práctica sobre la propiedades del los números racionales.
Para determinar la validez concurrente, se realizó un análisis
estadístico correlacional de los resultados. Este análisis se hizo utilizando la
correlación por rangos o lugares (rho). Tal procedimiento fue propuesto por
Spearman y se basa en la fórmula:
: Suma de los cuadrados de las diferencias entre los rangos.
N : Total de parejas de datos correlacionados.
Escala de medición cualitativa: 0 ≤ ≤ 1
142
Cálculo de la correlación por rangos para la prueba de significados:
Tabla 4.4 Rango de puntuaciones obtenidas para la validación de la prueba de significados. Sujetos Prueba
X Criterio
Y Lugar o rango de
RX Lugar o rango de
RY Diferencia de rangos
1 3 6 16 20 -4 16
2 2 6 20.5 20 0.5 0.25
3 5 12 5 5.5 -0.5 0.25
4 1 10 24 10 14 196
5 4 5 10 24 -14 196
6 4 9 10 12 -2 4
7 4 10 10 10 0 0
8 4 10 10 10 0 0
9 6 15 2 2 0 0
10 6 17 2 1 1 1
11 6 14 2 3 -1 1
12 2 6 20.5 20 0.5 0.25
13 2 6 20.5 20 0.5 0.25
14 2 6 20.5 20 0.5 0.25
15 1 5 24 24 0 0
16 1 5 24 24 0 0
17 4 11 10 7.5 2.5 6.25
18 3 7 16 16 0 0
19 3 7 16 16 0 0
20 4 11 10 7.5 2.5 6.25
21 4 8 10 13.5 -3.5 12.25
22 5 13 5 4 1 1
23 5 12 5 5.5 -0.5 0.25
24 3 7 16 16 0 0
25 3 8 16 13.5 2.5 6.25
= 447.5
Fuente: Instrumentos de recolección de datos. Elaborado por el investigador.
De acuerdo a datos procesados, el cálculo del coeficiente de
correlación por rangos (rho) para verificar la validez concurrente de la
Prueba sobre comprensión de los significados del número racional es:
0.82788462
El valor rho= 0.82788462 equivale a una correlación o asociación muy
aceptable, que permite sostener que “existe una relación directa y
143
significativa”, pero no determinante, entre el desempeño en la Prueba sobre
comprensión de los significados del número racional y el criterio externo
Interpretación de los significados del número racional en su representación
fraccional. En términos concluyentes, la prueba en cuestión posee una
validez concurrente aceptable.
Correlación por rangos para la prueba de operaciones básicas
Tabla 4.5 Rango de puntuaciones obtenidas para la validación de la prueba de operaciones básicas. Sujetos Prueba
X Criterio
Y Lugar o rango de
RX Lugar o rango de
RY Diferencia de rangos
1 14 18 6.5 1.5 5 25
2 14 18 6.5 1.5 5 25
3 12 17 12 3 9 81
4 12 16 12 4.5 7.5 56.25
5 7 10 23.5 18.5 5 25
6 7 6 23.5 23.5 0 0
7 6 5 25 25 0 0
8 15 16 4.5 4.5 0 0
9 11 11 15 16.5 -1.5 2.25
10 9 9 19.5 20 -0.5 0.25
11 8 8 21.5 21 0.5 0.25
12 8 7 21.5 22 -0.5 0.25
13 12 12 12 14 -2 4
14 13 14 9 8.5 0.5 0.25
15 13 14 9 8.5 0.5 0.25
16 13 13 9 11 -2 4
17 10 11 17.5 16.5 1 1
18 10 10 17.5 18.5 -1 1
19 17 15 1 6.5 -5.5 30.25
20 16 15 2.5 6.5 -4 16
21 16 13 2.5 11 -8.5 72.25
22 15 13 4.5 11 -6.5 42.25
23 9 6 19.5 23.5 -4 16
24 11 12 15 14 1 1
25 11 12 15 14 1 1
= 404.5 Fuente: Instrumentos de recolección de datos. Elaborado por el investigador.
De los datos procesados, el cálculo del coeficiente de validez
concurrente para la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones es:
144
0.84442308
El coeficiente de correlación de Spearman rho= 0.84442308 tiene un
valor cercano a 1, expresa que las calificaciones obtenidas en la Prueba
sobre operaciones básicas con fracciones y en el Taller de Operaciones
combinadas de adición, sustracción multiplicación y división de fracciones
están bastante asociados o son muy afines, por tanto, es aceptable la
validez concurrente del instrumento materia de validación.
Correlación por rangos para la prueba de propiedades elementales
Tabla 4.6 Rango de puntuaciones obtenidas para la validación de la prueba de propiedades elementales. Sujetos Prueba
X Criterio
Y Lugar o rango de
RX Lugar o rango de
RY Diferencia de rangos
1 17 19 1.5 1 0.5 0.25
2 8 11 21.5 16 5.5 30.25
3 7 11 24.5 16 8.5 72.25
4 15 15 4.5 7 -2.5 6.25
5 16 15 3 7 -4 16
6 11 11 15 16 -1 1
7 14 16 7 4.5 2.5 6.25
8 10 6 17.5 24 -6.5 42.25
9 5 12 25 13.5 11.5 132.25
10 13 13 10 11 -1 1
11 17 18 1.5 2 -0.5 0.25
12 12 10 12.5 18.5 -6 36
13 7 6 24.5 24 0.5 0.25
14 11 7 15 22 -7 49
15 12 10 12.5 18.5 -6 36
16 11 12 15 13.5 1.5 2.25
17 8 8 21.5 21 0.5 0.25
18 14 15 7 7 0 0
19 13 14 10 9 1 1
20 10 13 17.5 11 6.5 42.25
21 9 6 19.5 24 -4.5 20.25
22 9 9 19.5 20 -0.5 0.25
23 15 16 4.5 4.5 0 0
24 14 17 7 3 4 16
25 13 13 10 11 -1 1
= 512.5
Fuente: Instrumentos de recolección de datos. Elaborado por el investigador.
145
De acuerdo a datos procesados, el cálculo del coeficiente por rangos
(rho) de validez concurrente del instrumento Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales es:
0.82788462
El coeficiente de correlación por rangos rho = 0.82788462 revela una
asociación o correlación positiva fuerte entre los calificativos obtenidos con
la Práctica sobre las propiedades de los números racionales y la Prueba
sobre las propiedades elementales de los números racionales. En términos
generales, se puede aseverar que el instrumento en cuestión posee una
validez aceptable.
Respecto a los tres casos de validación concurrente, podemos concluir
que estas pruebas son útiles para la función de convergencia informativa con
fines de diagnóstico del alumno. Se infiere que las pruebas utilizadas son un
procedimiento alternativo muy adecuado, es decir, válidos para juzgar sin
grandes equívocos la capacidad para comprender los significados del
número racional, efectuar operaciones básicas con fracciones e interpretar
las propiedades elementales de los números racionales.
44..22 CCOONNFFIIAABBIILLIIDDAADD DDEE LLOOSS IINNSSTTRRUUMMEENNTTOOSS DDEE RREECCOOLLEECCCCIIÓÓNN DDEE
DDAATTOOSS
Para el proceso de recolección de datos se evaluó la estabilidad de los
mismos, analizando la bondad que poseen los instrumentos, para obtener y
suministrarnos información idéntica o similar sobre la comprensión de los
significados, dominio de las operaciones básicas y conocimientos de las
propiedades elementales de los números racionales, que posee un
determinado estudiante, indagadas en dos oportunidades con un intervalo de
tiempo prudente.
En este estudio se decidió por el método de prueba reiterada para
evaluar la estabilidad de los datos. Se calculó el coeficiente de estabilidad, el
cual deberá ser mayor que +0.70 o más para garantizar la efectividad de la
estimación de la confiabilidad.
146
El método de prueba reiterada requirió la aplicación del mismo
instrumento de prueba dos veces, al mismo grupo de estudiantes, con un
intervalo de dos días. Los resultados de las pruebas reiteradas se comparan
mediante la correlación, obteniendo el coeficiente de confiabilidad que es
representado por el grado de estabilidad de la capacidad cognitiva de los
estudiantes frente a la misma prueba en ambas ocasiones.
Considerando que el desempeño de los estudiantes son mensurados
en un nivel ordinario, siendo el número de datos inferior a 31, se decide que
para el cálculo del coeficiente de confiabilidad se utilizará la correlación por
rangos (rho) propuesta por Spearman.
Cálculo de la correlación por rangos para la prueba de significados:
Tabla 4.7 Rango de puntuaciones obtenidas para la confiabilización de la prueba de significados.
Sujetos Prueba
X Criterio
Y Lugar o rango de
RX Lugar o rango de
RY Diferencia de rangos
1 4 5 8.5 4 4.5 20.25
2 4 4 8.5 7 1.5 2.25
3 6 4 2 7 -5 25
4 2 2 14 14 0 0
5 0 1 17 16.5 0.5 0.25
6 5 5 5 4 1 1
7 5 4 5 7 -2 4
8 2 3 14 10.5 3.5 12.25
9 5 5 5 4 1 1
10 3 3 11.5 10.5 1 1
11 4 3 8.5 10.5 -2 4
12 4 2 8.5 14 -5.5 30.25
13 3 3 11.5 10.5 1 1
14 6 6 2 1.5 0.5 0.25
15 1 1 16 16.5 -0.5 0.25
16 6 6 2 1.5 0.5 0.25
17 2 2 14 14 0 0
= 103
Fuente: Instrumentos de recolección de datos. Elaborado por el investigador.
147
De acuerdo a los datos procesados, el cálculo del coeficiente por
rangos (rho) de confiabilidad de la Prueba sobre comprensión de los
significados del número racional es:
0.87377451
Como el valor obtenido 0.87377451 es superior al coeficiente 0.70,
establecido como asociación mínima aceptable para propósitos de
confiabilidad, entonces se infiere que el desempeño en la Prueba sobre
comprensión de los significados del número racional mostrada en las
ocasiones por los estudiantes ha permanecido real y efectivamente estable.
Cálculo de la correlación por rangos para la prueba de operaciones básicas:
Tabla 4.8 Rango de puntuaciones obtenidas para la confiabilización de la prueba de operaciones básicas. Sujetos Prueba
X Criterio
Y Lugar o rango de
RX Lugar o rango de
RY Diferencia de rangos
1 10 10 14.5 15 -0.5 0.25
2 13 13 7 6.5 0.5 0.25
3 15 14 3.5 4.5 -1 1
4 14 15 5.5 2.5 3 9
5 8 8 17.5 19 -1.5 2.25
6 12 12 9 9.5 -0.5 0.25
7 8 9 17.5 17.5 0 0
8 7 9 19 17.5 1.5 2.25
9 11 12 12 9.5 2.5 6.25
10 14 13 5.5 6.5 -1 1
11 16 16 1.5 1 0.5 0.25
12 11 11 12 12.5 -0.5 0.25
13 15 15 3.5 2.5 1 1
14 12 12 9 9.5 -0.5 0.25
15 10 11 14.5 12.5 2 4
16 9 10 16 15 1 1
17 16 14 1.5 4.5 -3 9
18 12 12 9 9.5 -0.5 0.25
19 11 10 12 15 -3 9
= 47.5
Fuente: Instrumentos de recolección de datos. Elaborado por el investigador.
148
El cálculo del coeficiente por rangos, asociado al coeficiente de
estabilidad para la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones es:
0.95833333
El coeficiente de correlación de Spearman rho= 0.95833333 es un valor
muy superior a 0.70, el cual permite inferir que la Prueba sobre operaciones
básicas con fracciones es altamente confiable.
Cálculo de la correlación por rangos para la prueba de propiedades elementales
Tabla 4.9 Rango de puntuaciones obtenidas para la confiabilización de la prueba de propiedades elementales.
Sujetos Prueba
X Criterio
Y Lugar o rango de
RX Lugar o rango de
RY Diferencia de rangos
1 8 9 19 19 0 0
2 12 14 10.5 10.5 0 0
3 8 10 19 17.5 1.5 2.25
4 7 7 21 21 0 0
5 15 17 4.5 3.5 1 1
6 10 12 15 14 1 1
7 16 16 2.5 6 -3.5 12.25
8 8 13 19 12 7 49
9 14 15 7 8.5 -1.5 2.25
10 13 15 9 8.5 0.5 0.25
11 12 11 10.5 16 -5.5 30.25
12 10 8 15 20 -5 25
13 9 10 17 17.5 -0.5 0.25
14 11 12 12.5 14 -1.5 2.25
15 17 19 1 1 0 0
16 16 16 2.5 6 -3.5 12.25
17 11 14 12.5 10.5 2 4
18 15 18 4.5 2 2.5 6.25
19 14 17 7 3.5 3.5 12.25
20 10 12 15 14 1 1
21 14 16 7 6 1 1
= 162.5
Fuente: Instrumentos de recolección de datos. Elaborado por el investigador.
149
El cálculo del coeficiente por rangos (rho) para estimar la confiabilidad
de la Prueba sobre propiedades elementales de los números racionales es:
0.89448052
Dado que rho= 0.89448 es superior a 0.70 se puede inferir que la
Prueba sobre propiedades elementales de los números racionales es
confiable, es decir, en la aplicación reiterada de la prueba se ha obtenido
información similar.
44..33 TTRRAATTAAMMIIEENNTTOO EESSTTAADDÍÍSSTTIICCOO EE IINNTTEERRPPRREETTAACCIIÓÓNN DDEE DDAATTOOSS
44..33..11 SSOOBBRREE LLAA CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN DDEE LLOOSS SSIIGGNNIIFFIICCAADDOOSS
4.3.1.1 Evaluación Cuantitativa de los Significados del Número Racional
a. Histograma de los significados del número racional
Tabla 4.10
Distribución del desempeño en la Prueba sobre Significados del Número
Racional de los colegios de la ciudad de Puno, según el número de
respuestas correctas 2009.
Clase Frecuencia Frecuencia
relativa % acumulado Clase Frecuencia % acumulado 0 22 5.79 5.79% 2 83 21.84% 1 35 9.21 15.00% 3 80 42.89% 2 83 21.84 36.84% 4 67 60.53% 3 80 21.05 57.89% 6 47 72.89% 4 67 17.63 75.53% 5 46 85.00% 5 46 12.11 87.63% 1 35 94.21% 6 47 12.37 100.00% 0 22 100.00%
Total 380 100.00
380 Fuente: Anexos A.4.1 a A.4.5.
Elaborado por el investigador.
Existe 83 alumnos que interpretan, tan solo, 2 situaciones
problemáticas de significados de números racionales; y 22 estudiantes no
logran resolver ninguna. En tanto que, 47 (12.4%) personas interpretan
correctamente los 6 significados de los números racionales.
150
El 57% de los estudiantes resuelven entre 0 y 3 situaciones
problemáticas sobre significados. Así mismo, el 60.53% de los estudiantes
resuelven 2, 3 o 4 situaciones problemáticas.
Un dato relevante es que la mayoría de los estudiantes resuelven dos
cuestiones ascendiendo al orden del 21.84%.
Figura 4.1. Desempeño en la Prueba sobre Significados del Número Racional de
los colegios de la ciudad de Puno, según el número de respuestas correctas 2009,
en porcentajes.
b. Estadísticas descriptivas de los significados
Tabla 4.11
Estadígrafos descriptivos de la Prueba sobre Significados del Número
Racional, según grados de estudios escolares
Estadígrafos Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
Promedio 2.115 2.679 3.135 3.597 4.630 Mediana 2 3 3 3 5 Moda 2 2 2 3 6 Desviación estándar 1.450 1.372 1.682 1.426 1.369 Coeficiente de variación 68.560 51.212 53.666 39.637 29.575 Curtosis -0.285 -0.051 -0.753 -0.854 -0.152 Coeficiente de asimetría 0.344 0.356 -0.077 0.161 -0.765 Fuente: Anexos A.4.1 a A.4.5. Elaborado por el investigador.
83 80
67
47 46
35
22
21.84%
42.89%
60.53%
72.89%
85.00%94.21% 100.00%
0.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
120.00%
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2 3 4 6 5 1 0
Frec
uenc
ia
Clase
Frecuencia % acumulado
151
Los resultados de la Prueba sobre comprensión de los significados del
número racional presentan los siguientes estadígrafos descriptivos: El logro
promedio de los estudiantes de los cinco grados de educación secundaria,
oscila entre 2.12 y 4.63 puntos. La mitad de los alumnos tienen como
máximo 2 en primer grado, en tanto que en los grados segundo, tercero y
cuarto la mitad de los estudiantes tienen como máximo 3 puntos. Solo en
quinto grado se observa mayor performance. Es en este último grado, que la
mayoría de los estudiantes alcanza un puntaje de 6.
En todos los casos el calificativo de los estudiantes se dispersa
respecto al valor central en una desviación estándar que oscila entre 1.37 y
1.68 puntos. De primero a cuarto grado el coeficiente de variación es mayor
al 30%, entonces el promedio es una medida poco representativa. En tanto
que, en quinto grado el coeficiente de variación es 29.6%, menor que 30%,
entonces se sostiene que el promedio es una medida representativa del
conjunto de datos.
La asimetría es moderadamente positiva en los grados primero,
segundo y cuarto, en tanto que en los grados tercero y quinto la asimetría es
discretamente negativa, porque el coeficiente de asimetría es negativo, o
sea menor que cero. En términos generales, como los coeficientes de
asimetría tienden a cero, se puede afirmar que la información se distribuye
aproximadamente de forma simétrica. En todos los grados el coeficiente de
apuntamiento o curtosis es negativo, lo que indica que la distribución es
platicúrtica.
152
4.3.1.2 Análisis de las Respuestas por Significados
En este numeral se presenta los resultados cuantitativos de la
evaluación de la comprensión de los significados del número racional. El
análisis cuantitativo abre posibilidades de percepción de patrones de
regularidad que permita identificar el fenómeno de interferencia de
significados. En adelante se establecen las categorías de análisis para el
proceso de clasificación y tipificación de las respuestas a las seis situaciones
problemáticas que evalúan los significados.
Las Categorías de análisis
La observación e interpretación del fenómeno de interferencia entre los
significados de la fracción ha permitido establecer las siguientes categorías:
- Empleo Propio Correcto (EPC). Son las respuestas que
evidencian el vínculo fenomenológico del significado propuesto y el
uso oportuno del significado en la interpretación de la situación
problemática.
- Empleo Propio Incorrecto (EPI). Son las respuestas que revelan
la incongruencia fenomenológica del significado propuesto en la
situación problemática y el uso inapropiado del significado en la
solución del problema.
- Interferencia Externa (IE). Son las respuestas incorrectas que
emplean otros conocimientos ajenos a los números racionales
positivos en su representación fraccional.
- Respuesta Dudosa (RD). Son las respuestas que no manifiestan
indicios suficientes y racionales para ser catalogadas dentro de las
categorías anteriores.
A continuación se exhibe la información cuantitativa organizada en
tablas, figuras y aproximaciones analíticas.
153
Tabla 4.12
Distribución porcentual de respuestas a la prueba sobre significados del
número racional, según sean del Empleo Propio Correcto y respuestas
equivocadas.
Tipo de Respuesta Significado Parte-todo
Continuo Parte-todo Discreto
Cociente Medida Razón Operador
Empleo Propio Correcto 76.8 62.6 52.9 25.5 52.4 51.05 Equivocada 23.2 37.4 47.1 74.5 47.6 48.95
Total 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.00 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Los índices porcentuales de la Tabla 4.12 revelan que en la mayoría de
los significados existe una superioridad del porcentaje de Empleo Propio
Correcto frente a las respuestas equivocadas, pero los porcentajes del
significado de medida dejan ver que las respuestas correctas apenas llegan
a 25.5% frente al 74.5% de respuestas erradas. Es evidente que los
escolares tienen más dificultad para interpretar el significado de medida.
Figura 4.2. Distribución porcentual de respuestas a la prueba sobre significados del
número racional.
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
Parte Todo
Continuo
Parte Todo
Discreto
Cociente Medida Razón Operador
76.8
62.652.9
25.5
52.4 51.05
23.2
37.447.1
74.5
47.6 48.95
%Significados
Empleo Propio Correcto Respuesta equivocada
154
a. Análisis del Significado “Parte-todo Continuo” Tabla 4.13
Tipos de respuestas al ítem que evalúa el significado “Parte-todo Continuo”,
por grados de estudio escolar
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Total EPC 56 71 84 84 90 77 EPI(R-PT) 15 9 12 9.1 1.4 9.5 IE 9 5.1 1.4 1.3 0 3.4 RD 19 15 2.7 5.2 8.2 10 SUMA 100 100 100 100 100 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
La situación problemática “1) Si divide una naranja en cuatro trozos
iguales, de los cuales come tres, ¿qué fracción de naranja le queda?” evalúa
la capacidad de interpretar el significado parte-todo continuo de una fracción.
El 77% de los estudiantes emplean correctamente el significado (EPC) en la
solución del problema. Entre las respuestas de carácter dudoso (RD) y las
respuestas en que se utilizan conocimientos matemáticos extraños a las
fracciones, a los que denominamos respuestas de interferencias externas
(IE), ascienden al 13.4%.
Figura 4.3. Histograma y línea de tendencia del Tipo de respuestas al ítem sobre el “significado parte-todo continuo”.
EPC; 56
EPC; 71
EPC; 84 EPC; 84EPC; 90
EPI(R-PT); 15.4
EPI(R-PT); 9.0EPI(R-PT); 12.2
EPI(R-PT); 9.1
EPI(R-PT); 1.4
IE; 9.0IE; 5.1
IE; 1.4 IE; 1.3 IE; 0.0
RD; 19.2RD; 15.4
RD; 2.7RD; 5.2
RD; 8.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
% Significado Parte Todo Continuo
EPC EPI(R-PT) IE RD Lineal (EPC) Lineal (EPI(R-PT))
155
Interferencias en la interpretación del “significado parte-todo continuo”
Una constante en las soluciones erráticas son las llamadas
interferencias, que en este caso son del tipo “interferencia del significado
razón en la interpretación parte-todo continuo” EPI (R-PT). Estas respuestas
se caracterizan por que existe un empleo propio de las fracciones pero que
son incorrectas, por eso se denominan EPI, estos ascienden al 9.5% en los
cinco grados de estudio.
La Figura 4.3 muestra un tendencia ascendente en el porcentaje del
Empleo Propio Correcto (EPC), así mismo, la recta de tendencia del Empleo
Propio Incorrecto de Interferencia Razón en Parte-todo (EPI(R-PT)) muestra
una pendiente negativa.
Interferencia del “significado de razón” en el “significado parte-todo continuo”
Esta interferencia se presenta en la interpretación del significado de
parte-todo continuo. Fenómeno por el cual el estudiante establece una
relación de razón entre las partes en que fue fraccionado el todo continuo.
Así en el ejemplo se observa que la interpretación del estudiante es de
razón: “una parte no sombreada es a las tres partes sombreadas”.
1) Si divide una naranja en cuatro trozos iguales, de los cuales come tres, ¿qué fracción de naranja le queda?
Figura 4.4. Ejemplo de interferencia del “significado de razón en el significado de parte-todo continuo”. Código 5-5° CRB.
b. Análisis del Significado “Parte-todo Discreto”
La interrogante “2) Si tienes tres lapiceros de color rojo y cuatro de
color azul, ¿qué fracción del total de lapiceros son de color azul?” evalúa la
156
interpretación del significado parte-todo-discreto. Los resultados globales
muestran que entre los dos tipos de respuestas (IE) y (RD) asciende a
19.9%. En tanto que las respuestas de Empleo Propio Correcto (EPC) son
del orden de 62.6%, con una tendencia al crecimiento, conforme se pasa de
un grado inferior a otro superior, así lo ilustra la recta de tendencia de la
Figura 4.5.
Tabla 4.14
Tipos de respuestas al ítem que evalúa el significado “Parte-todo Discreto”,
por grados de estudio escolar
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Total EPC 46 49 61 77 82 62.6 EPI(R-PT) 23 15 24 13 11 17.4 IE 5.1 3.8 1.4 2.6 1.4 2.89 RD 26 32 14 7.8 5.5 17.1 SUMA 100 100 100 100 100 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Figura 4.5. Histograma y línea de tendencia del Tipo de respuestas al ítem sobre el “significado parte-todo discreto”.
EPC; 46.2EPC; 48.7
EPC; 60.8
EPC; 76.6EPC; 82.2
EPI(R-PT); 23.1
EPI(R-PT); 15.4
EPI(R-PT); 24.3
EPI(R-PT); 13.0 EPI(R-PT); 11.0
IE; 5.1 IE; 3.8IE; 1.4 IE; 2.6 IE; 1.4
RD; 25.6
RD; 32.1
RD; 13.5
RD; 7.8RD; 5.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
% Significado Parte Todo Discreto
EPC EPI(R-PT) IE RD Lineal (EPC) Lineal (EPI(R-PT))
157
Interferencias en la interpretación del “significado parte-todo discreto”
Las respuestas del tipo Empleo Propio Incorrecto de interferencia del
significado de razón en el significado parte-todo discreto (EPI(R-PT))
representan el 17.4%, además la recta de tendencia muestra que este
porcentaje es decreciente conforme se asciende de primero a quinto grado
de estudio.
La interferencia del “significado de razón en el significado parte-todo discreto” se caracteriza porque en su interpretación se emplea de
forma incorrecta el significado de razón en la solución de un problema que
para su solución se debe usar el concepto de parte-todo discreto. En el
ejemplo se puede ver que el sujeto en lugar de responder 4/7 establece una
razón entre el número de lapiceros rojos y lapiceros azules, es decir,
presenta como solución ¾.
2) Si tienes tres lapiceros de color rojo y cuatro de color azul, ¿qué fracción del total de lapiceros son de color azul?
Figura 4.6. Ejemplo de interferencia del “significado de razón en el significado de
parte-todo discreto”. Código 1-4° SR.
c. Análisis del Significado de “Cociente”
En la solución al problema “3) Tres amigos quieren repartirse 5 barras
de chocolate de manera equitativa, ¿qué cantidad de chocolate le
corresponde a cada uno de los amigos?” se encontró que 53 estudiantes de
cada 100 emplean apropiadamente el significado de cociente y
aproximadamente el 16% resuelven sin éxito, utilizando conocimientos no
158
relacionados con las fracciones, ya sea porque tienen respuestas poco
comprensibles o absurdas.
Tabla 4.15
Tipos de respuestas al ítem que evalúa el significado de “Cociente”, por
grados de estudio escolar
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Total EPC 50 41 38 55 82 52.89 EPI(PT-C) 32 36 43 26 16 30.79 IE 2.6 0 0 1.3 0 0.789 RD 15 23 19 18 1.4 15.53 Total 100 100 100 100 100 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
La Figura 4.7 muestra que el porcentaje de EPC es creciente conforme
se asciende de grado de estudio escolar, consecuentemente, se puede
afirmar con relativa certeza que las interferencias disminuyen conforme los
estudiantes suben de grado. De la misma manera las respuestas dudosas
que no se ajustan a ninguna tipificación también disminuyen de grado a
grado, tal como se puede ver en la grafica.
Figura 4.7. Histograma y línea de tendencia del Tipo de respuestas al ítem sobre el
“significado de cociente”.
EPC; 50.0EPC; 41.0 EPC; 37.8
EPC; 54.5
EPC; 82.2
EPI(PT-C); 32.1 EPI(PT-C); 35.9EPI(PT-C); 43.2
EPI(PT-C); 26.0EPI(PT-C); 16.4
IE; 2.6 IE; 0.0 IE; 0.0 IE; 1.3 IE; 0.0
RD; 15.4RD; 23.1 RD; 18.9 RD; 18.2
RD; 1.40
20
40
60
80
100
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
% Significado de Cociente
EPC EPI(PT-C) IE RD Lineal (EPC)
159
Interferencia del “significado de parte-todo” en el “significado de cociente”
La interpretación que se puede realizar de este tipo de respuestas es la
siguiente: primeramente, el estudiante representa un todo discreto a través
de una representación continua (cinco barras de chocolate representado por
una barra dividida en cinco partes). Segundo, aplica el significado parte-todo
a esta representación inapropiada. Tercero, concluye que a cada alumno le
corresponde 3/5 de chocolate. Este es un ejemplo paradigmático de
interferencia del significado parte-todo en la interpretación del significado de
cociente del número racional.
3) Tres amigos quieren repartirse 5 barras de chocolate de manera equitativa, ¿qué cantidad de
chocolate le corresponde a cada uno de los amigos?
Figura 4.8. Ejemplo de interferencia del “significado parte-todo en el significado de
cociente”. Código 8-3° GLO.
d. Análisis del Significado de “Medida”
En la solución a la interrogante 4 de la Prueba sobre Comprensión de
los Significados del Número Racional se ha encontrado que solo un 26% de
los estudiantes logran emplear correctamente el significado pertinente
(EPC). En tanto que el 27% de los estudiantes tratan de encontrar una
solución utilizando conocimientos matemáticos extraños (IE) a los números
racionales sin éxito; y el 6.3% presentan respuestas ininteligibles o dudosas.
160
Tabla 4.16
Tipos de respuestas al ítem que evalúa el significado de “Medida”, por
grados de estudio escolar
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Total EPC 6.4 17 30 22 55 26 EPI(PT-M) 14 27 35 19 19 23 EPI(R-M) 17 23 22 17 15 19 IE 51 23 11 36 9.6 27 RD 12 10 2.7 5.2 1.4 6.3 Total 100 100 100 100 100 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Es importante hacer notar que si bien los EPC tienen una tendencia al
crecimiento respecto a los grados de estudio, más no es así con las
interferencias, como se aprecia en la Figura 4.9, la recta de tendencia de EPI
(PT-M) es una constante y la recta de EPI (R-M) tiene una pendiente
levemente negativa, lo que significa que estos tipos de respuestas a las
cuestiones son una constante en los estudiantes de los cinco grados de
estudio del nivel de educación secundario.
Figura 4.9. Histograma y línea de tendencia del Tipo de respuestas al ítem sobre el
“significado de medida”.
EPC; 6.4
EPC; 16.7
EPC; 29.7
EPC; 22.1
EPC; 54.8
EPI(PT-M); 14.1
EPI(PT-M); 26.9
EPI(PT-M); 35.1
EPI(PT-M); 19.5 EPI(PT-M); 19.2EPI(R-M); 16.7
EPI(R-M); 23.1EPI(R-M); 21.6
EPI(R-M); 16.9EPI(R-M); 15.1
IE; 51.3
IE; 23.1
IE; 10.8
IE; 36.4
IE; 9.6RD; 11.5 RD; 10.3
RD; 2.7RD; 5.2
RD; 1.4
0
10
20
30
40
50
60
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
%Significado de Medida
EPC EPI(PT-M) EPI(R-M) IE
161
Interferencia del “significado parte-todo” en el “significado de medida”
En la solución del problema que en su enunciado posee el significado
de medida del número racional, se ha encontrado que el significado parte-
todo está presente en su interpretación equivocada. Así, en el ejemplo que
ilustra la Figura 4.10, el estudiante utiliza la unidad de medida para encontrar
que la barra mide dos unidades, pero en la medición del “pedazo restante”
utiliza de forma incorrecta el significado parte-todo, porque identifica el
retazo con un cuarto que visiblemente lo grafica en la barra.
Figura 4.10. Ejemplo de interferencia del “significado parte-todo en el significado de
medida”. Código 15-3° GLO.
Interferencia del “significado de razón” en el “significado de medida”
Este tipo de interferencia queda ilustrado en la solución del estudiante
de código 2-3ª JCM, donde se observa que: primero, utiliza el significado de
parte-todo (12/16); seguido del significado de razón, porque está
estableciendo una relación de 6 a 16, suponemos porque la unidad de
medida tiene 6 subunidades y la barra 16; finalmente, utiliza una sustracción
de fracciones de forma inapropiada.
162
4) Utilizando esta unidad de medida:
¿Cuánto mide la barra completa?
Figura 4.11. Ejemplo de interferencia del “significado de razón en el significado de
medida”. Código 2-3° JCM
e. Análisis del Significado de “Razón”
La interrogante “5) Para elaborar una torta, se necesitan cuatro kilos de
harina y nueve huevos, ¿cuál es la razón entre la cantidad de harina y
huevos?” evalúa la capacidad del estudiante de identificar y aplicar el
significado de razón del número racional. Los resultados de la evaluación
deja ver que 52 estudiantes de cada 100 emplean correctamente el
significado (EPC), en tanto que el 36.6% emplea otras nociones
matemáticas de forma incorrecta (IE),ya sea presentando respuestas
dudosas o incomprensibles.
Al igual que en el caso anterior, en las soluciones se presentaron dos
tipos de interferencias: el EPI (PT-R) y EPI (C-R). El 10.8% de las soluciones
equivocadas son de interferencias en la interpretación del significado
pertinente. Corresponde el 4.5% a las interferencias del tipo EPI (PT-R) y
6.3% al tipo EPI (C-R).
Tabla 4.17
Tipos de respuestas al ítem que evalúa el significado de “Razón”, por grados
de estudio escolar
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Total EPC 28 47 57 64 67 52 EPI(PT-R) 6.4 3.8 5.4 3.9 2.7 4.5 EPI(C-R) 2.6 2.6 20 2.6 4.1 6.3 IE 51 41 12 22 23 30 RD 12 5.1 5.4 7.8 2.7 6.6 Total 100 100 100 100 100 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
163
Las líneas de tendencia graficadas en la Figura 4.12 muestran
claramente que el EPC del significado es de pendiente positiva, lo que
significa que la comprensión de este significado aumenta conforme el
estudiante pasa de grado, en tanto que la recta de tendencia de los Empleos
Propios Incorrectos (EPI) de interferencia es de pendiente negativa, lo que
significa que los estudiantes mejoran su comprensión de los significados
conforme se pasa de grado de estudio.
Figura 4.12. Histograma y línea de tendencia del Tipo de respuestas al ítem sobre
el “significado de razón”.
Interferencia del “significado parte-todo” en el “significado de razón”
En lugar de la respuesta correcta 4/9 (por cada 4 kilos de harina se
necesita 9 huevos), que se ajusta al significado de razón, los estudiantes
aun utilizan el significado de parte-todo en su interpretación, en el ejemplo se
observa que luego de adicionar el número de kilos de harina y número de
huevos establece una relación de parte-todo discreto presentando como
EPC; 28.2
EPC; 47.4
EPC; 56.8
EPC; 63.6EPC; 67.1
EPI(PT-R); 6.4 EPI(PT-R); 3.8 EPI(PT-R); 5.4 EPI(PT-R); 3.9EPI(PT-R); 2.7EPI(C-R); 2.6 EPI(C-R); 2.6
EPI(C-R); 20.3
EPI(C-R); 2.6EPI(C-R); 4.1
IE; 51.3
IE; 41.0
IE; 12.2
IE; 22.1 IE; 23.3
RD; 11.5RD; 5.1
RD; 5.4RD; 7.8
RD; 2.7
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
% Significado de Razón
EPC EPI(PT-R) EPI(C-R) IE RD Lineal (EPC) Lineal (EPI(PT-R))
164
solución 4/13, además, para su razonamiento utiliza representaciones
pictóricas discretas.
5) Para elaborar una torta, se necesitan cuatro kilos de harina y nueve huevos, ¿cuál es la razón entre la cantidad de harina y huevos?
Figura 4. 13. Ejemplo de interferencia del “significado parte-todo en el significado de
razón”. Código 14-2° GUE.
Interferencia del “significado de cociente” en el “significado de razón”
El significado de cociente es un elemento extraño, interferente al
momento de interpretar el significado de razón, en la solución del problema.
Así por ejemplo, el estudiante de código 3-4°INDP procede por realizar el
cociente 9÷4 =2 ignorando por completo la interrogante ¿Cuál es la razón
entre la cantidad de harina y huevo? No es extraño este tipo de
razonamientos, se ha encontrado que el significado de cociente es un
elemento muy arraigado en la conciencia del estudiante.
5) Para elaborar una torta, se necesitan cuatro kilos de harina y nueve huevos, ¿cuál es la razón
entre la cantidad de harina y huevos?
Figura 4.14. Ejemplo de interferencia del “significado cociente en el significado de
razón”. Código 3-4° INDP.
f. Análisis del Significado de “Operador”
Frente a la cuestión “6) En un salón de 35 estudiantes aprueban
matemática solo 4/5. ¿Cuántos aprueban matemática?” de cada cien 51
165
estudiantes emplean correctamente el significado de operador en la solución
que amerita su uso. En tanto que, un promedio de 32.2% de los estudiantes
utilizan conocimientos matemáticos extraños a las fracciones o presentan
respuestas inexplicables o dudosas en la errática solución del problema.
Tabla 4.18
Tipos de respuestas al ítem que evalúa el significado de “Operador”, por
grados de estudio escolar
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Total EPC 24 44 45 58 86 51.1 EPI(PT-O) 12 14 23 7.8 4.1 12.1 EPI(C-O) 3.8 2.6 8.1 7.8 1.4 4.7 IE 28 23 11 12 5.5 16.1 RD 32 17 14 14 2.7 16.1 SUMA 100 100 100 100 100 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Figura 4.15. Histograma y línea de tendencia del Tipo de respuestas al ítem sobre
el “significado de operador”.
Las soluciones que revelan una interferencia de significados en la
interpretación del problema son del orden del 16.8%. El significado parte-
EPC; 24.4
EPC; 43.6 EPC; 44.6
EPC; 58.4
EPC; 86.3
EPI(PT-O); 12EPI(PT-O); 14
EPI(PT-O); 23
EPI(PT-O); 8 EPI(PT-O); 4EPI(C-O); 4 EPI(C-O); 3
EPI(C-O); 8EPI(C-O); 8 EPI(C-O); 1
IE; 28IE; 23
IE; 11 IE; 12IE; 5
RD; 32
RD; 17RD; 14 RD; 14
RD; 30
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto
%
EPC EPI(PT-O) EPI(C-O) IE RD Lineal (EPC) Lineal (EPI(PT-O))
166
todo interfiere (EPI(PT-O)) en la solución del problema en un orden del
12.1%, siendo incidental la interferencia del significado de cociente de solo
4.7% EPI(C-O)
Las líneas de tendencias de la Figura 4.15 indican que el Empleo
Propio Correcto (EPC) del significado es creciente, en tanto que, las
interferencias son decrecientes conforme cambia ascendentemente de grado
de estudio.
Interferencia del “significado parte-todo” en el “significado de operador”
El uso del “significado parte-todo” en la solución de problemas que
involucran otros significados del número racional es una constante. Así por
ejemplo, el estudiante de código 8-1° GUE, si bien hace una correcta
interpretación del significado operador, pero concluye afirmando que el
número de alumnos que aprueban matemática son 28/35, esta afirmación
revela claramente la intromisión del significado parte-todo en la solución del
problema.
6) En un salón de 35 estudiantes aprueban matemática solo 4/5. ¿Cuántos aprueban matemática?
Figura 4.16. Ejemplo de interferencia del “significado parte-todo en el significado de
operador”. Código 8-1° GUE.
Interferencia del “significado de cociente” en el “significado de operador”
En la solución de la cuestión que evalúa la capacidad de interpretar el
significado de operador del número racional, el estudiante primeramente
167
opera el operador 4/5 como si se tratara del significado cociente, para luego
dividirlo entre el número total de estudiantes. Como podemos observar, se
utiliza dos veces la acción de dividir.
6) En un salón de 35 estudiantes aprueban matemática solo 4/5. ¿Cuántos aprueban matemática?
Figura 4.17. Ejemplo de interferencia del “significado de cociente en el significado
de operador”. Código 14-4° MA.
Tabla 4.19
Resultados globales del empleo propio incorrecto (EPI) como interferencias
en la interpretación de los significados, en porcentajes.
Parte-todo
Continuo
Parte-todo
Discreto Cociente Medida Razón Operador
Empleo Propio Correcto 76.8 62.6 52.9 25.5 52.4 51.1 EPI* (Parte-todo-Cociente) 0.0 0.0 30.8 0.0 0.0 0.0 EPI (Parte-todo-Medida) 0.0 0.0 0.0 22.9 0.0 0.0 EPI (Parte-todo-Operador) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 12.1 EPI (Parte-todo-Razón) 0.0 0.0 0.0 0.0 4.5 0.0 EPI (Razón-Parte-todo) 9.5 17.4 0.0 0.0 0.0 0.0 EPI (Razón-Medida) 0.0 0.0 0.0 18.7 0.0 0.0 EPI (Cociente-Razón) 0.0 0.0 0.0 0.0 6.3 0.0 EPI (Cociente-Operador) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 4.7 Interferencias Externas 3.4 2.9 0.8 26.6 30.3 16.1 Respuestas Dudosas 10.3 17.1 15.5 6.3 6.6 16.1 Total 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 * EPI: Empleo Propio Incorrecto. Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
En la Tabla 4.19 se observa como una regularidad la interferencia del
significado parte-todo en los significados de cociente llegando a un 30.8%,
de medida a un 22.9%, de razón a un 4.5% y de operador al 12.1%, esta
constante confirma la aseveración de la discusión anterior, sin embargo, es
168
revelador que el significado de razón interfiera en la interpretación de los
significados de parte-todo continuo llegando a un 9.5%, parte-todo discreto
al 17.4% y de medida al 18.7%, además, el significado de cociente tiene su
presencia como interferente en los significados de razón con 6.3% y
operador con 4.7%.
4.3.1.3 Prueba de Diferencia Entre las Medias de los Significados
El estudio toma muestras estratificadas de estudiantes de los cinco
grados (n1, n2, n3, n4, n5,) de educación secundaria, en cada grado se
seleccionó muestras independientes de más 70 estudiantes. En los cuatro
casos siguientes se compara la media del logro de comprensión de los
significados del número racional. A continuación se presentan las
estadísticas muestrales de los cuatro casos:
Caso IV
Grados n s Zc= 4.525>1.65
Quinto 73 4.630 1.369
Cuarto 77 3.597 1.426
Caso III
Grados n s Zc = 1.818>1.65
Cuarto 77 3.597 1.426
Tercero 74 3.135 1.682
Caso II
Grados n s Zc = 1.824>1.65
Tercero 74 3.135 1.682
Segundo 78 2.679 1.372
Caso I
Grados n s Zc = 2.495>1.65 Segundo 78 2.679 1.372
Primero 78 2.115 1.450
El análisis comparativo de los puntajes de comprensión de los
significados de los cinco grados, la prueba de diferencia de medias dio los
siguientes resultados:
169
Las hipótesis son:
H0:
No existe diferencia entre los promedios de los
puntajes de comprensión de los significados del número
racional de los dos grados.
H1:
El promedio de los puntajes de comprensión de los
significados del número racional del grado superior es mayor
al promedio de los puntajes del grado inferior.
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
En cada caso la regla de decisión es si la Zc calculada es mayor que la
Z(0,05) tabulada, se rechaza la H0.
Considerando que en los cuatro casos el valor de la Zc es mayor que
Z(0,05) =1.65, se puede concluir.
En la muestra de estudiantes del nivel de educación secundaria de los
colegios de ciencias y humanidades de la ciudad de Puno, se encontró que,
en la prueba de medias, en los cuatro casos (primero-segundo, segundo-
tercero, tercero-cuarto y cuarto-quinto), se rechaza la hipótesis nula H0, pues
la Zc calculada es mayor que Z(0.05) tabulada; y se concluye que, los
promedios de los puntajes de comprensión de los significados del número
racional de los grados superiores son mayores al de los grados inferiores.
170
44..33..22 SSOOBBRREE LLAASS OOPPEERRAACCIIOONNEESS BBÁÁSSIICCAASS CCOONN FFRRAACCCCIIOONNEESS
4.3.2.1 Evaluación Cuantitativa de la Resolución de Operaciones Básicas
a. Histograma de la resolución de las operaciones básicas
Tabla 4.20
Distribución del desempeño en la Prueba sobre Operaciones Básicas con
Fracciones de los colegios de la ciudad de Puno, según el número de
respuestas correctas, 2009.
Clase Frecuencia Frecuencia
relativa %
acumulado Clase Frecuencia %
acumulado 0 24 6.32 6.32% 4 111 29.21% 1 63 16.58 22.89% 3 99 55.26% 2 83 21.84 44.74% 2 83 77.11% 3 99 26.05 70.79% 1 63 93.68% 4 111 29.21 100.00% 0 24 100.00%
Total 380 100 380 Fuente: Anexos A.4.1 a A.4.5. Elaborado por el investigador.
Figura 4.18. Desempeño en la Prueba sobre Operaciones Básicas con fracciones de los colegios de la ciudad de Puno, según el número de respuestas correctas 2009, en porcentajes.
111
99
83
63
2429.21%
55.26%
77.11%
93.68%100.00%
0.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
120.00%
0
20
40
60
80
100
120
4 3 2 1 0
Frec
uenc
ia
ClaseFrecuencia % acumulado
171
b. Estadística descriptiva de las operaciones básicas con fracciones
Tabla 4.21
Estadígrafos descriptivos de la Prueba sobre Operaciones Básicas con
Fracciones, según grados de estudios escolares
Estadígrafos Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Promedio 1.872 2.218 2.554 2.909 3.260 Mediana 2 2 3 3 4 Moda 2 3 3 4 4 Desviación estándar 1.166 1.147 1.207 1.194 1.014 Coeficiente de variación 62.303 51.713 47.243 41.047 31.107 Curtosis -0.751 -0.763 -0.812 -0.085 0.846 Coeficiente de asimetría 0.205 -0.230 -0.419 -0.916 -1.288 Fuente: Anexos A.4.1 a A.4.5. Elaborado por el investigador.
Es revelador que el promedio crece conforme se pasa de grado, así
esta asciende de 1.87 en primero a 3.26 en quinto grado. Un dato relevante
es que en los grados primero, tercero y quinto la moda y el promedio
coinciden en 2, 3 y 4 puntos respectivamente; en tanto que en el cuarto
grado el 50% de los estudiantes tienen como máximo 3 puntos, y la otra
mitad tienen más de 3 puntos. Además, la mayoría de los estudiantes del
cuarto grado obtienen un puntaje de 4.
Respecto a los estadígrafos de dispersión, el coeficiente de variación,
mayor de 30%, revela que la media aritmética es una medida poco
representativa del conjunto de datos. El puntaje alcanzado en la prueba
denota que los alumnos se dispersan respecto al valor central en 1 punto
aproximadamente.
En primer grado, el coeficiente de asimetría tiende a cero y es positivo,
lo que indica que la distribución de la información es aproximadamente
simétrica, en tanto que en los grados restantes (segundo a quinto) el
coeficiente es negativo, lo que indica que la distribución es negativa. El
coeficiente de curtosis es negativo de primero a cuarto grado, lo que significa
que la curva correspondiente a la distribución de frecuencias es platicúrtica.
172
Solo en quinto grado se puede afirmar que la distribución es leptocúrtica por
que el coeficiente de curtosis 0.846 es positivo.
4.3.2.2 Valoración de la Resolución de Operaciones
Para acometer el análisis de las respuestas en la resolución de
operaciones básicas con fracciones, se procede a clasificar y tipificarlas para
reconocer indicios del fenómeno que se denomina superposición de
algoritmos que a continuación se define:
Superposición de algoritmos:
En la medida que el algoritmo es un conjunto ordenado y finito de
operaciones, procedimientos o instrucciones bien definidas que permiten
realizar de forma correcta una operación básica como la adición,
sustracción, multiplicación o división de fracciones; el fenómeno de la
superposición de algoritmos se definirá en los siguientes términos:
Es el fenómeno por el cual el sujeto utiliza o añade instrucciones,
reglas o procedimientos de un algoritmo extraño encima del algoritmo
pertinente. Así por ejemplo, en la resolución de la multiplicación de
fracciones la superposición se manifiesta cuando el sujeto multiplica en cruz
el primer numerador por el segundo denominador y escribe el producto en el
numerador de la fracción producto, y seguidamente multiplica el primer
denominador por el segundo numerador y escribe el resultado en el
denominador de la fracción producto. Esto evidencia que el estudiante
superpone el algoritmo de la división de fracciones sobre el algoritmo de la
multiplicación de fracciones. Este fenómeno también se manifiesta en la
superposición del algoritmo de la adición sobre el algoritmo de la
multiplicación o la división.
En adelante, se expone los resultados cuantitativos para encontrar
regularidades del fenómeno de superposición de algoritmos.
173
La Tabla 4.22 exhibe los resultados porcentuales globales de la Prueba
sobre operaciones básicas con fracciones, de los cinco grados de estudio,
según el tipo de respuestas ya sean correctas o equivocadas.
Tabla 4.22
Tipos de respuestas en la Prueba de Operaciones Básicas con Fracciones,
en porcentaje.
Respuestas Adición Sustracción Multiplicación División Correctas 75.79 51.32 74.21 53.95 Error Tipo A 15.26 12.89 10.00 10.26 Error Tipo B 0.79 1.58 2.37 7.37 Error Tipo C 3.68 2.37 13.42 13.42 Error Tipo D 2.37 2.11 __ 7.37 Error Tipo E 0.79 1.32 __ 1.58 Error Tipo F 1.32 28.42 __ 6.05 Total 100.0 100.0 100.0 100.0 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Las respuestas equivocadas fueron tipificadas según el tipo de error.
a. Resultados de la Evaluación de la Adición de Fracciones En la realización de la adición de fracciones heterogéneas los
resultados son más alentadores, solo el 24.21% de los educandos cometen
algún tipo de error. El error Tipo A es el más significativo, representa el
15.3% de la muestra, en tanto que los demás son incidentales.
Figura 4.19. Resultado porcentual de la evaluación de adición de fracciones. Respuestas correctas y tipos de errores.
Correcta, 75.79
Tipo A; 15.3
Tipo B; 0.8
Tipo C; 3.7 Tipo D; 2.4 Tipo E; 0.8 Tipo F; 1.3
Correcta Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Tipo E Tipo F
174
b. Resultados de la Evaluación de la Sustracción de Fracciones
En la realización de la sustracción de fracciones heterogéneas el
48.68% de los educandos de los cinco grados cometen diversos errores,
entre ellos los errores Tipo F y A son los más frecuentes, mientras que los
otros apenas llegan al 2.4 %.
Figura 4.20. Resultado porcentual de la evaluación de sustracción de fracciones. Respuestas correctas y tipos de errores.
c. Resultados de la Evaluación de la Multiplicación de Fracciones En la realización de la multiplicación de fracciones el 24.79% de los
estudiantes cometen equivocaciones al aplicar el algoritmo de multiplicación
de fracciones. Los errores Tipo C y A son los más frecuentes, en tanto que el
Tipo B es incidental.
Figura 4.21. Resultado porcentual de la evaluación de multiplicación de fracciones.
Respuestas correctas y tipos de errores.
Correcta, 51.32
Tipo A; 12.89
Tipo B; 1.58
Tipo C; 2.37
Tipo D; 2.11
Tipo E; 1.32
Tipo F; 28.42
Correcta Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Tipo E Tipo F
Correcta, 74.21
Tipo A; 10.0
Tipo B; 2.4
Tipo C; 13.4
Correcta Tipo A Tipo B Tipo C
175
d. Resultados de la Evaluación de la División de Fracciones En los cinco grados se ha encontrado que en la realización de la
división de dos fracciones el 46.05% de los estudiantes comete algún tipo de
error en el cálculo, de ellos el más frecuente es del Tipo C. Además, los
errores del Tipo A, B, D y F merecen atención por cuanto representan entre
10.3% y 7.4% respectivamente, el error Tipo E es un caso esporádico, poco
frecuente.
Figura 4.22. Resultado porcentual de la evaluación de división de fracciones.
Respuestas correctas y tipos de errores.
Correcta, 53.95
Tipo A; 10.3
Tipo B; 7.4
Tipo C; 13.4
Tipo D; 7.4Tipo E; 1.6 Tipo F; 6.1
Correcta Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Tipo E Tipo F
e. Tendencias en el desarrollo de la capacidad del manejo de algoritmos
Se percibe que la capacidad de manejar algoritmos, de las operaciones básicas con fracciones, comporta una
regularidad o tendencia a mejorar conforme se pasa de un grado inferior a otro inmediato superior. La Tabla 4.23 y los
histogramas de la Figura 4.23 exhiben este patrón de formación.
Tabla 4.23
Distribución de respuestas correctas y con errores a la prueba sobre operaciones básicas con fracciones
Cálculo
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
1° 2° 3° 4° 5° 1° 2° 3° 4° 5° 1° 2° 3° 4° 5° 1° 2° 3° 4° 5°
Correcto 52.6 78.2 79.7 77.9 91.8 23.1 37.2 54.1 64.9 79.5 66.7 62.8 67.6 87.0 87.7 44.9 43.6 54.1 61.0 67.1
Con errores 47.4 21.8 20.3 22.1 8.2 76.9 62.8 45.9 35.1 20.5 33.3 37.2 32.4 13.0 12.3 55.1 56.4 45.9 39.0 32.9
Total 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Como se observa, el porcentaje de respuestas correctas en cada
operación crece conforme se transita de un grado inferior a otro superior.
Es evidente que el porcentaje de cálculos correctos en la realización de
las operaciones básicas con fracciones tiene una tendencia progresiva de
desarrollo conforme el estudiante va ascendiendo de grados de estudio, en
concordancia con la observación anterior, en forma reciproca, se disminuye
el porcentaje de cálculos erráticos.
Así por ejemplo, en la realización correcta de la operación sustracción
de fracciones, este llega al 76.9% en primer grado y desciende hasta el
20.5% en quinto grado. De forma simétrica el porcentaje de cálculos
correctos en los primeros grados crece de 23.1% hasta llegar a un 79.5% en
quinto grado.
Figura 4.23. Resultado porcentual de la prueba sobre operaciones básicas con
fracciones, por grados de estudio escolar, según sean los cálculos correctos o con
errores.
Sin embargo, esta afirmación será confirmada con la prueba de
hipótesis respecto a la diferencia entre medias de los grados consecutivos.
178
4.3.2.3 Tipificación de los Errores en la Resolución de Operaciones Básicas con Fracciones
Se han identificado los siguientes tipos de errores en la adición de
fracciones heterogéneas.
a. Tipos de errores en la adición 1) Realizar la adición de fracciones:
=+74
53
Tipo A: Tipo B:
8-5° INDP
3-1° GUE
Tipo C: Tipo D:
15-2° GUE 1-1° MA
Tipo E: Tipo F:
3-4° INDP 1-1° MA
Figura 4.24. Tipos de errores en el cálculo de adición de fracciones.
El error de Tipo A es el más común, consiste en la adición directa e
independiente entre numeradores y denominares. En el error de Tipo B se
observa una intromisión de uno de los procesos de la división de fracciones,
también se observa la multiplicación en cruz, en este error el estudiante
efectúa adiciones en cruz para formar los sumandos del numerador, el
denominador de la suma se forma como la suma de los denominadores del
sumando. En el error de Tipo C, el estudiante inicia con la multiplicación de
los denominadores, este proceso es completamente correcto cuando son
primos entre sí, pero el numerador de la suma se forma con una suma
directa de los numeradores.
179
Los errores de Tipo D responden a equivocaciones de multiplicación o
adición en el numerador de la suma que escapan al algoritmo propio de la
adición de fracciones. Los estudiantes, a pesar de que manejan
adecuadamente el algoritmo de la adición de fracciones terminan
cometiendo equivocaciones.
Los errores del Tipo E son una clara intromisión del algoritmo de la división
de fracciones, realizan multiplicaciones en cruz, tanto para conformar el
numerador como el denominador. Finalmente, el error de Tipo F resulta muy
interesante, es una variante del Tipo E. En vez de multiplicar en cruz, en
este caso se adiciona en cruz para conformar la suma.
b. Tipos de errores en la sustracción
Los errores típicos identificados en la realización de sustracción de
fracciones heterogéneas son los siguientes:
2 ) Realizar la sustracción de fracciones:
=−65
73
Tipo A: Tipo B:
1-1° GUE 9-4° SR
Tipo C: Tipo D:
1-3° CRB
16-2° GLO Tipo E: Tipo F:
1-2° JAE 6-5° SR Figura 4.25. Tipos de errores en el cálculo de sustracciones de fracciones.
El error de Tipo A, de sustracción de fracciones, es análogo al error de
Tipo A de la adición, de la misma manera efectúan sustracciones de los
180
numeradores y denominadores respectivamente, como si se tratara de
números enteros.
En el error de Tipo B se procede primero, con la adición de los
denominadores; seguidamente, se efectúa la multiplicación en cruz para
efectuar una sustracciones de estos productos en el numerador de la
diferencia.
En el caso del error de Tipo C se procede a realizar sustracciones en
cruz, el numerador de la diferencia es la sustracción del denominador del
minuendo menos el numerador del sustraendo, en tanto que el denominador
de la diferencia es la sustracción entre el numerador del minuendo menos el
denominador del sustraendo.
En el caso del error de Tipo D, la sustracción comienza con una
multiplicación de los denominadores, lo cual es correcto, pero luego realiza
una sustracción directa de los numeradores para formar el numerador de la
diferencia.
El error de Tipo E tiene el siguiente algoritmo errático: El denominador
de la diferencia es el producto del denominador del minuendo por el
numerador del sustraendo; en tanto que el numerador de la diferencia es la
suma de la multiplicación de 3×6 + 7×5= 53.
El error de Tipo F revela, simplemente, dificultades menores como
equivocaciones en la sustracción de números enteros o errores de
multiplicación.
181
c. Tipos de errores en la multiplicación
A diferencia de la adición y sustracción de fracciones, en la
multiplicación, se han detectado solo tres tipos de errores que son los
siguientes:
3 ) Realizar la multiplicación de fracciones:
=×96
87
Tipo A: Tipo A:
3-3° GLO
2-2° GLO Tipo B: Tipo C:
8-1° MA 1-5° CRB
Figura 4.26. Tipos de errores en el cálculo de multiplicación de fracciones.
Los errores de Tipo A siguen el siguiente procedimiento: primero,
efectúan la multiplicación de los denominadores, que es correcto; segundo,
realizan dos multiplicaciones en cruz y estos a la vez son multiplicados en el
numerador de la fracción producto. En algunos casos el producto de las
multiplicaciones en cruz es adicionado en el numerador de la fracción
producto.
Los errores de Tipo B son el resultado del desconocimiento de la tabla
de multiplicar, que no merece mayor comentario. Finalmente, los errores de
Tipo C tienen el siguiente procedimiento: se multiplica el primer numerador
con el segundo denominador para formar el denominador de la fracción
producto, seguidamente, se multiplica el primer denominador por el segundo
numerador para conformar el numerador de la fracción producto.
182
d. Tipos de errores en la división
En la división de fracciones se ha podido identificar seis tipos de
errores a ver:
4) Realizar la división de fracciones:
=÷65
74
Tipo A: Tipo B:
5-2° INDP
1-3° MA
Tipo C: Tipo D:
1-4° GLO 1-1° MA
Tipo E: Tipo F:
7-4° GLO 5-5° GUE
Figura 4.27. Tipos de errores en el cálculo de una división de fracciones.
En la división de fracciones el error de Tipo A es análogo al error de
Tipo A de multiplicaciones. A diferencia de los anteriores, en este caso se
dividen los productos de la multiplicación en cruz para conformar el
numerador de cociente.
El error de Tipo B, de división de fracciones, es análogo al error de Tipo
A de la adición; en este caso, la división se efectúa como si se tratara de
números enteros, numerador entre numerador y denominador entre
denominador.
El error de Tipo C es el resultado de multiplicar el primer numerador por
el segundo denominador para formar el denominador del cociente; y luego,
183
multiplicar el primer denominador por el segundo numerador para formar el
numerador del cociente.
El error de Tipo D, una vez más, evidencia la obsesión por operar en
cruz, así en este caso el estudiante procede a dividir fracciones siguiendo el
siguiente proceso: en el numerador del cociente se realiza una división del
primer denominador entre el segundo numerador y en el denominador del
cociente se realiza la división del segundo denominador entre el primer
numerador.
Los errores de Tipo E obedecen a equivocaciones en la adición o
multiplicación de números enteros, como en el ejemplo, el estudiante
confunde la multiplicación de 4×6=28 en vez de 24.
Los errores de Tipo F son el resultado de confundir el algoritmo de la
multiplicación de fracciones con el algoritmo de la división de fracciones. Es
decir, “divide” efectuando multiplicaciones directas de numerador con
numerador y denominador con denominador.
4.3.2.4 Prueba de Diferencia Entre las Medias
Se desea saber si es posible concluir que el puntaje promedio obtenido
en la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones, de los estudiantes
que cursan un grado de estudio, es mayor conforme se sube al grado
inmediato superior. El caso que tratamos es de un muestreo de dos
poblaciones independientes que están distribuidas aproximadamente en
forma normal con varianza poblacional desconocida, pero iguales.
Se computa los puntajes totales de éxito, en el cálculo de operaciones
básicas con fracciones, de los estudiantes de los cinco grados de estudio del
nivel de educación secundaria. La comparación se realiza considerando la
diferencia de medias de un grado inferior con el grado inmediato superior. A
continuación se exhiben las estadísticas muestrales de los cuatro casos de
comparación. El procedimiento de verificación de las hipótesis es:
184
Caso IV
Grados n s Zc = 1.945>1.65
Quinto 73 3.260 1.014
Cuarto 77 2.909 1.194
Caso III
Grados n s Zc = 1.817>1.65
Cuarto 77 2.909 1.194
Tercero 74 2.554 1.207
Caso II
Grados n s Zc = 1.758>1.65
Tercero 74 2.554 1.207
Segundo 78 2.218 1.147
Caso I Grados n s Zc = 1.869>1.65
Segundo 78 2.218 1.147 Primero 78 1.872 1.166
Planteamiento de la hipótesis.
H0: µi+1 - µi = 0
No existe diferencia entre los promedios µi+1 y µi de los puntajes
de la capacidad de resolución de operaciones básicas con
fracciones de los dos grados consecutivos.
H1: µi+1 - µi > 0
El promedio µi+1 de los puntajes de la capacidad de resolución de
operaciones básicas del grado superior es mayor al promedio
de los puntajes del grado inferior.
Donde µi+1 es el logro promedio del grado superior y µi el logro promedio
del grado inferior.
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05.
Descripción de las poblaciones y suposiciones. Las formas funcionales de
las poblaciones no se conocen, pero, no es una limitante para determinar
185
que el estadístico de prueba sea la Zc, puesto que las muestras son
independientes y suficientemente grandes, mayores a 70, como para estimar
aceptablemente que las varianzas poblacionales sean iguales.
Justificación del estadístico pertinente: la prueba estadística más adecuada
es , y como consecuencia del teorema del límite central, está
distribuido en forma aproximadamente normal.
El estadístico de prueba: con base en las consideraciones anteriores, el
estadístico de prueba adecuado es Z (distribución normal).
Región de rechazo o de aceptación: el valor crítico de Z para un nivel de
significancia de α = 0.05 es 1.645 (Z(0.05)=1.645).
Recolección de datos y cálculos: con los datos exhibidos se calcula la Zc.
Decisión estadística: como en los cuatro casos Zc > Z(0.05)=1.645, por lo tanto
rechazamos la hipótesis nula H0.
Conclusión. El promedio de logro en el cálculo de operaciones básicas
con fracciones, de los estudiantes de los grados superiores, es mayor que el
promedio del logro de los grados inferiores.
44..33..33 SSOOBBRREE LLAA CCOOMMPPRREENNSSIIÓÓNN DDEE LLAASS PPRROOPPIIEEDDAADDEESS EELLEEMMEENNTTAALLEESS
4.3.3.1 Evaluación Cuantitativa del Conocimiento de las Propiedades Elementales de los Números Racionales
El tercer instrumento de investigación evalúa el conocimiento de las
propiedades que poseen los estudiantes, en los cinco grados de estudio.
Además de la definición del conjunto de los números racionales, las
propiedades: opuesto aditivo, inverso multiplicativo, relación de equivalencia,
relación de orden y densidad de los números racionales son materia de
evaluación. Los resultados obtenidos son los siguientes:
186
a. Histograma de la comprensión de las propiedades del número racional
En este numeral, se hace una presentación de la frecuencia absoluta y
acumulada de la comprensión de las propiedades, que ostentan los
estudiantes de los cinco grados de estudio. En la Tabla 4.24 se observa que
el 72.11% de los estudiantes resuelven correctamente hasta tres cuestiones,
en tanto que el 28.42% resuelve tres cuestiones y solo el 1.58% logra
resolver las 6 cuestiones de la prueba.
Tabla 4.24
Distribución del desempeño en la Prueba sobre Propiedades Elementales de
los Números Racionales de los colegios de la ciudad de Puno, según el
número de respuestas correctas, 2009.
Clase Frecuencia Frecuencia
relativa %
acumulado Clase Frecuencia %
acumulado 0 15 3.95 3.95% 3 108 28.42% 1 54 14.21 18.16% 2 97 53.95% 2 97 25.53 43.68% 4 61 70.00% 3 108 28.42 72.11% 1 54 84.21% 4 61 16.05 88.16% 5 39 94.47% 5 39 10.26 98.42% 0 15 98.42% 6 6 1.58 100.00% 6 6 100.00%
Total 380 100 380 Fuente: Anexos A.4.1 a A.4.5. Elaborado por el investigador.
Del histograma podemos deducir que el 53.95% de los estudiantes
resuelven entre 3 y 2 cuestiones planteadas y el 84.21% logra resolver entre
1 y 4 cuestiones, sin embargo, existe un porcentaje mínimo de estudiantes
que se ubican en los extremos, quienes resuelven todas las cuestiones o
ninguna.
187
Figura 4.28. Desempeño en la Prueba sobre Propiedades Elementales de los Número Racionales, de los colegios de la ciudad de Puno, según el número de respuestas correctas 2009, en porcentajes.
b. Estadísticas descriptivas del conocimiento de las propiedades del número racional
Tabla 4.25
Estadígrafos descriptivos de la Prueba sobre Significados del Número
Racional, según grados de estudios escolares
Estadígrafos Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Promedio 1.718 2.449 2.797 3.260 3.616 Mediana 2 2 3 3 4 Moda 2 3 3 3 5 Desviación estándar 1.043 1.052 1.271 1.418 1.126
Coeficiente de variación 60.723 42.981 45.443 43.499 31.131 Curtosis -0.568 0.519 -0.348 -0.574 -0.823 Coeficiente de asimetría 0.102 0.310 -0.100 0.093 -0.329 Fuente: Anexos A.4.1 a A.4.5. Elaborado por el investigador.
108
97
6154
39
156
28.42%
53.95%
70.00%
84.21%94.47%
98.42%
100.00%
0.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
120.00%
0
20
40
60
80
100
120
3 2 4 1 5 0 6
Frec
uenc
ia
Clase
Frecuencia % acumulado
188
El rendimiento promedio de los alumnos de primer grado es de 1,7 en
una escala de 0 a 6 puntos. En tanto que la mitad de los estudiantes tienen
como máximo un puntaje de 2 y la mayoría tiene un puntaje de 2.
La puntuación que alcanzan los estudiantes se dispersan respecto al
valor central en aproximadamente 1.04 puntos. Como el coeficiente de
variación es aproximadamente 61% muy superior que el 30%, entonces la
media no es una medida representativa del conjunto de datos, es decir, las
puntuaciones son dispersas.
Respecto a las medidas de forma, el coeficiente de asimetría 0.102 > 0
indica que la distribución de los datos es positiva, como tiende a 0 se puede
afirmar que la información es relativamente simétrica. Como el coeficiente de
curtosis es -0.568 (negativa), entonces indica una distribución relativamente
plana.
De la misma manera se puede proceder con la interpretación de los
demás grados, sin embargo, abundaremos en la interpretación del quinto
grado.
Las medidas de tendencia central revelan que el promedio de
puntuación alcanzado por los estudiantes del quinto grado es de 3.6 puntos,
la mitad tiene como máximo 4 puntos, y la mayoría alcanza una puntuación
de 5.
Respecto a la medida de dispersión, las puntuaciones de los
estudiantes del quinto grado se dispersan respecto al valor central en
aproximadamente 1.13 puntos. El coeficiente de variación cv= 31.13 % es
mayor que el 30%, entonces la media no es una medida representativa del
conjunto de datos.
Dentro de las medidas de forma, tanto el coeficiente de asimetría (-
0.329<0) como el coeficiente de curtosis (-0.823), ambas, indican que la
distribución es relativamente plana.
189
c. Resultados globales por propiedades del número racional
En la Tabla 4.26 se muestra los resultados globales, de los cinco
grados, de la evaluación sobre propiedades elementales de los números
racionales en porcentajes.
Tabla 4.26
Tipos de respuestas en la Prueba de Propiedades Elementales de los
Números Racionales, en porcentajes.
Definición %
Opuesto aditivo
%
Inverso multiplicativo
%
Relación de equivalencia
%
Relación de orden
%
Densidad %
Correcta 26.8 35.0 55.0 67.4 72.1 19.2 Incorrecta 73.2 65.0 45.0 32.6 27.9 80.8 Total 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
El análisis de las respuestas a las seis cuestiones sobre las
propiedades de los números racionales, permite afirmar que los estudiantes
de los cinco grados tienen mayor conocimiento de las propiedades del
inverso multiplicativo, relación de orden y de equivalencia, por ejemplo, el
72.1% de los estudiantes ordenan dos fracciones de mayor a menor; en
tanto que, la comprensión de la definición del conjunto de los números
racionales es deficiente, apenas el 26.8% de los estudiantes responden
correctamente. Lo más relevante de las deficiencias se presenta en la
interpretación de la propiedad de la densidad de los números racionales, así
9 de cada diez estudiantes no pueden encontrar una fracción intermedia
entre 32
y 43
.
190
Figura 4.29. Distribución porcentual de las respuestas correctas e incorrectas de la prueba sobre propiedades elementales de los números racionales.
4.3.3.2 Valoración de la Comprensión de la Definición del Número Racional
Ante la cuestión:
Los resultados relativos a este aspecto son los siguientes:
Tabla 4.27
Tipos de respuestas al ítem que evalúa la definición del conjunto de los
números racionales, según grados de estudio escolar.
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Global % Global Alternativa A 25 15 14 16 15 85 22.4 Alternativa B 16 38 28 14 25 121 31.8 Alternativa C 10 21 16 31 24 102 26.8 Alternativa D 27 4 16 16 9 72 18.9 TOTAL 78 78 74 77 73 380 100 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Correcta; 26.1
Correcta; 33.9
Correcta; 53.2
Correcta; 64.8Correcta; 70.4
Correcta; 16.9
Incorrecta; 73.9
Incorrecta; 66.1
Incorrecta; 46.8
Incorrecta; 35.2Incorrecta; 29.6
Incorrecta; 83.1
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
Definición Opuesto aditivo Inverso multiplicativo
Relación de equivalencia
Relación de orden
Densidad
%
Correcta Incorrecta
191
Figura 4.30. Distribución porcentual de la evaluación de la definición del conjunto de los números racionales, según alternativa de respuesta.
En los cinco grados de estudio se observa que el 26.8% (alternativa C)
comprenden la definición del conjunto de los números racionales, así como
el conjunto de pares ordenados de números enteros, además, tienen el
cuidado de identificar la condición que la segunda componente es un
número entero diferente de cero. En tanto que, un 18.9 % (alternativa D) no
distinguen esta restricción. Además, según la alternativa B, el 31.8 %
considera que un número racional es el cociente de dos números sin
distinción alguna, es decir, dos números cualesquiera, no necesariamente
enteros. Esta última observación es confirmada con el 22.4 % de las
respuestas a la alternativa A, estos últimos estudiantes consideran que el
conjunto de los números racionales está conformado por los números
enteros y las fracciones; y aceptan que 53 es un número racional.
4.3.3.3 Tendencia de la Comprensión de las Propiedades Elementales de los Números Racionales
El diseño transversal posibilita percibir que el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales evoluciona, conforme el
estudiante salta de un grado a otro inmediato superior. Una descripción de
esta tendencia evolutiva se puede observar en la Tabla 4.28 y en la Figura
4.31.
Alternativa A; 22.4
Alternativa B; 31.8
Alternativa C; 26.8
Alternativa D; 18.9
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D
192
Tabla 4.28 Respuestas correctas de la Prueba sobre Propiedades Elementales del Número Racional, según grados de estudio escolar, en porcentajes, 2009.
Propiedades elementales Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Definición 12.8 26.9 21.6 40.3 32.9 Opuesto aditivo 5.1 38.5 45.9 41.6 45.2 Inverso multiplicativo 39.7 44.9 51.4 70.1 69.9 Relación de equivalencia 47.4 53.8 74.3 74.0 89.0 Relación de orden 55.1 73.1 70.3 76.6 86.3 Densidad 11.5 7.7 16.2 23.4 38.4 Fuente: Anexos A.3.1 a A.3.5. Elaborado por el investigador.
Figura 4.31. Evolución porcentual de las respuestas correctas de la prueba sobre propiedades elementales del número racional por grados de estudio escolar.
193
Es evidente que existe una evolución a pesar de algunas
irregularidades, es el caso de la primera cuestión sobre la Definición del
número racional, que en el segundo y cuarto grado rompen con la
regularidad, con porcentajes mayores a sus sucesores, alcanzando un 26.9
% y un 40.3% respectivamente. Así mismo, la depresión en la sexta cuestión
sobre Densidad de los números racionales en segundo grado es menor al de
primer grado (7.7% < 11.5%). Sin embargo, a pesar de las irregularidades
anteriores, podemos afirmar que, en términos generales la tendencia de la
comprensión de las propiedades de los números racionales mejora conforme
el estudiante transita al grado de estudio inmediato superior.
4.3.3.4 Inferencia de la Evolución Respecto a la Diferencia de Medias
La evolución de conocimiento de las propiedades elementales que
manifiestan los estudiantes se realiza utilizando la prueba de diferencia de
medias. Para tal prueba, se consideran independientes los estratos de
muestra por grados de estudio de tamaño ni y ni+1. Como se desconoce la
varianza de la población, y queremos realizar una inferencia acerca de la
media, será necesario reemplazar las varianzas poblacionales con las
estimaciones disponibles, es decir, las varianzas muestrales; además,
supondremos que las medias poblacionales son iguales.
En el siguiente diagrama se exhiben los estratos muestras
independientes, así como las estadísticas por grados para comparar las
medias de los grados de estudio. Se va a concluir al nivel de significancia del
α=0.05, así mismo la media del grado superior es mayor que la del grado
inferior.
Las hipótesis son:
H0: No hay diferencia entre los puntajes medios de conocimiento de propiedades del número racional de los grados µi+1 y µi.
H1: El puntaje medio del conocimiento de las propiedades del grado superior µi+1 es mayor que la del grado inferior µi.
Nivel de la probabilidad de significancia α = 0.05
194
En cada caso la regla de decisión es si la Zc calculada es mayor que la
Z(0.05) tabulada, se rechaza la hipótesis nula H0.
Caso IV
Grado n s Zc = 1.711>1.65
Quinto 73 3.616 1.126
Cuarto 77 3.260 1.418
Caso III
Grado n s Zc = 2.112>1.65
Cuarto 77 3.260 1.418
Tercero 74 2.797 1.271
Caso II
Grado n s Zc = 1.836>1.65
Tercero 74 2.797 1.271
Segundo 78 2.449 1.052
Caso I Grado n s Zc = 4.355>1.65
Segundo 78 2.449 1.052 Primero 78 1.718 1.043 En todos los cuatro casos la Zc es mayor que Z(0.05) =1.65
Decisión estadística: como en todos los casos Zc es mayor que Z(0.05) = 1.65,
entonces se rechaza la hipótesis nula H0.
Conclusión: se afirma que el conocimiento de las propiedades elementales
de los números racionales, en los grados superiores es mayor que en los
grados inferiores. Esto permite concluir que el progreso es notable conforme
se sube o salta de un grado al inmediato superior.
44..33..44 EEVVAALLUUAACCIIÓÓNN DDEE LLAA RREELLAACCIIÓÓNN MMÚÚLLTTIIPPLLEE
La manera de efectuar predicciones más certeras sobre la comprensión
de los significados del número racional positivo implica adoptar una
concepción multicausal del fenómeno; y plantearse cuestiones más
complejas, por ejemplo, preguntar si la predicción de la comprensión de los
significados del número racional positivo, por medio de una prueba, es más
exacto cuando se considera la capacidad de resolver situaciones
problemáticas que involucran operaciones básicas y el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales. Por esta exigencia de
195
la cuestión, es necesario utilizar un diseño de investigación que evalúe la
relación entre tres variables de regresión lineal múltiple.
Las tablas desde la A.5.1 al A.5.5 del Anexo, presentan datos sobre la
observación del grado de exactitud que se logra en la predicción de la
comprensión de los significados del número racional, la capacidad de
resolver operaciones básicas y el conocimiento de las propiedades
elementales de los números racionales. En las tablas se observan que a
cada estudiante le corresponde una triada de valores que se denota por: (X1,
X2, Y)
X1: Resolución de operaciones básicas con fracciones.
X2: Conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales.
Y: Comprensión de los significados del número racional positivo.
4.3.4.1 Estimación de los Parámetros por Ecuaciones Normales
El procedimiento para encontrar los estimadores de los parámetros del
modelo de regresión múltiple consistió en resolver el sistema de ecuaciones
normales. Los cálculos de los parámetros fueron realizados con el Software
Excel con la herramienta Análisis de datos.
El modelo de regresión múltiple que describe la relación entre las
variables independientes X1 y X2, sobre la variable dependiente Y, adquiere
la forma:
Primer grado:
Segundo grado:
Tercer grado:
Cuarto grado:
Quinto grado:
196
4.3.4.2 Evaluación General del Modelo de Regresión Múltiple
Se realizó midiendo la magnitud en que los valores estimados o
predichos por el modelo de regresión múltiple se desvían de los valores
observados en la muestra.
Los valores estimados por el modelo de regresión, conjuntamente con
los valores observados de la comprensión de los significados del número
racional positivo, se muestran en las tablas A.7.1 al A.7.5 del anexo.
Coeficiente de determinación múltiple
El modelo de regresión múltiple supone que la variación total de la
variable dependiente está formada por una variación explicada, la cual mide
la magnitud de la variable total, que es explicada por el modelo de regresión
estimado; y por una variación inexplicada que mide la magnitud de la
variación total, que no queda comprendida dentro del modelo de regresión
ajustado. Esta suposición se expresa en la siguiente ecuación:
SCtotal = SCexplicada + SCinexplicada
Queda enunciado matemáticamente en la siguiente fórmula:
Suma de cuadrado por grados
Tabla 4. 29
Suma de cuadrados según los grados de estudio escolar.
SCtotal = SCexplicada + SCinexplicada
Primer grado 161.9615385 = 44.73496085 + 117.2265776
Segundo grado 144.9871795 = 49.99263375 + 94.99454574
Tercer grado 206.6486486 = 23.95621893 + 182.6924297
Cuarto grado 154.5194805 = 46.20994436 + 108.3095362
Quinto grado 135.0136986 = 25.61957461 + 109.394124
Fuente: Anexos A.6.1 a A.6.5. Elaborado por el investigador.
197
La magnitud de la proporción de la variación total que aplica el modelo
de regresión múltiple se conoce como coeficiente múltiple, cuya fórmula es:
En efecto la razón se establece entre la suma de cuadrados explicada
y la suma de cuadrados totales.
Los coeficientes múltiples por cada grado de estudio escolar son:
Coeficiente de determinación múltiple del primer grado es:
Su interpretación es que aproximadamente el 27.62% de la variable (Y)
‘comprensión de los significados del número racional’ es explicada por la
regresión de la variable (X1) ‘resolución de operaciones básicas con
fracciones’ y la variable (X2) ‘conocimiento de las propiedades elementales
del número racional’.
Coeficiente de determinación múltiple del segundo grado es:
Su interpretación es que aproximadamente el 34.48% de la variable
‘comprensión de los significados del número racional’ es explicada por la
regresión de la variable resolución de operaciones básicas con fracciones’ y
la variable ‘conocimiento de las propiedades elementales del número
racional’.
Coeficiente de determinación múltiple del tercer grado es:
Su interpretación es que aproximadamente el 11.59% de la variable de
‘comprensión de los significados del número racional’ es explicada por la
regresión de las variables ‘resolución de operaciones básicas con fracciones’
y ‘conocimiento de las propiedades elementales del número racional’.
198
.Coeficiente de determinación múltiple del cuarto grado es:
Su interpretación es que aproximadamente el 29.91% de la variable de
‘comprensión de los significados del número racional’ es explicada por la
regresión de la variables ‘resolución de operaciones básicas con fracciones’
y la variable ‘conocimiento de las propiedades elementales del número
racional’.
Coeficiente de determinación múltiple del quinto grado es:
De forma análoga, la interpretación correspondiente al quinto grado es
que aproximadamente el 18.97% de la variable (Y) es explicada por la
regresión de las variables (X1) y (X2).
199
4.3.4.3 Análisis de Varianza
Este análisis de varianza sirve para probar la hipótesis nula:
β1 = β2 = 0
Lo que significa que, todas las variables independientes no tienen
ningún valor explicativo de la variación de Y. Es decir, que la capacidad de
efectuar las operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales, no tienen ningún valor
explicativo en la comprensión de los significados del número racional.
Las hipótesis para cada grado son las siguientes:
Análisis de varianza del primer grado:
Ho: β1 = β2 = 0
H1: β1 ≠ β2 ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
Tabla 4.30
Estadísticas del análisis de varianza para la regresión múltiple del primer
grado.
Fuentes de variación SC gl MC Razón F P
Regresión lineal 44.73496085 2 22.36748042 14.31041549 P < 0.05
Residual (error) 117.2265776 75 1.563021035 P=5.43916E-06
Total 161.9615385 77
0.95F2,75 = 3.15 Como Ft = 3.15 < Fc = 14.31, entonces se rechaza la hipótesis nula.
Fuente: Anexos A.6.1. Elaborado por el investigador.
En el primer grado, se concluye que el modelo de regresión múltiple
explica una proporción significativamente alta de la variación de la
comprensión de los significados del número racional; es decir, la
comprensión de los significados del número racional está linealmente
relacionado con la capacidad de efectuar las operaciones básicas con
200
fracciones y el conocimientos de las propiedades elementales del número
racional positivo.
Análisis de varianza del segundo grado:
Ho: β1 = β2 = 0
H1: β1 ≠ β2 ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
Tabla 4. 31
Estadísticas del análisis de varianza para la regresión múltiple del segundo
grado.
Fuentes de variación SC gl MC Razón F P
Regresión lineal 49.99263375 2 24.99631687 19.73506743 P < 0.05
Residual (error) 94.99454574 75 1.266593943 P=1.29969E-07
Total 144.9871795 77
0.95F2,75 = 3.15 Como Ft = 3.15 < Fc = 19.74, entonces se rechaza la hipótesis nula.
Fuente: Anexos A.6.2. Elaborado por el investigador.
En el segundo grado, el modelo de regresión múltiple explica una
proporción significativamente alta de la variación de la comprensión de los
significados del número racional; es decir, la comprensión de los significados
del número racional está linealmente relacionada con la capacidad de
efectuar las operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
propiedades elementales del número racional positivo.
Análisis de varianza del tercer grado:
Ho: β1 = β2 = 0
H1: β1 ≠ β2 ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
201
Tabla 4.32
Estadísticas del análisis de varianza para la regresión múltiple del tercer
grado.
Fuentes de variación SC gl MC Razón F P
Regresión lineal 23.95621893 2 11.97810947 4.655068485 P < 0.05
Residual (error) 182.6924297 71 2.573132813 P=0.012598631
Total 206.6486486 73
0.95F2,71 = 3.15 Como Ft = 3.15 < Fc = 4.66, entonces se rechaza la hipótesis nula.
Fuente: Anexos A.6.3. Elaborado por el investigador.
En el tercer grado, el modelo de regresión múltiple explica una
proporción significativamente alta de la variación de la comprensión de los
significados del número racional; es decir, la comprensión de los significados
del número racional está linealmente relacionada con la capacidad de
efectuar las operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
propiedades elementales del número racional positivo.
Análisis de varianza del cuarto grado:
Ho: β1 = β2 = 0
H1: β1 ≠ β2 ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
Tabla 4.33
Estadísticas del análisis de varianza para la regresión múltiple del cuarto
grado.
Fuentes de variación SC gl MC Razón F P
Regresión lineal 46.20994436 2 23.10497218 15.78594094 P < 0.05
Residual (error) 108.3095362 74 1.463642381 P=1.95114E-06
Total 154.5194805 76
0.95F2,74 = 3.15 Como Ft = 3.15 < Fc = 15.79, entonces se rechaza la hipótesis nula.
Fuente: Anexos A.6.4. Elaborado por el investigador.
202
En cuarto grado, el modelo de regresión múltiple explica una
proporción significativamente alta la variación de la comprensión de los
significados del número racional; es decir, la comprensión de los significados
del número racional está linealmente relacionada con la capacidad de
efectuar las operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las
propiedades elementales del número racional positivo.
Análisis de varianza del quinto grado:
Ho: β1 = β2 = 0
H1: β1 ≠ β2 ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
Tabla 4.34
Estadísticas del análisis de varianza para la regresión múltiple del quinto
grado.
Fuentes de variación SC gl MC Razón F P
Regresión lineal 25.61957461 2 12.80978731 8.196830674 P < 0.05
Residual (error) 109.394124 70 1.5627732 P=0.000633236
Total 135.0136986 72
0.95F2,70 = 3.15 Como Ft = 3.15 < Fc = 8.120, entonces se rechaza la hipótesis nula.
Fuente: Anexos A.6.5. Elaborado por el investigador.
En quinto grado, el modelo de regresión múltiple explica una proporción
significativamente alta la variación de la comprensión de los significados del
número racional; es decir, la comprensión de los significados del número
racional está linealmente relacionada con la capacidad de efectuar las
operaciones básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades
elementales del número racional positivo.
203
4.3.4.4 Evaluación Particular del Modelo de Regresión Múltiple
En este apartado determinamos la importancia relativa de cada variable
independiente, en particular, en la descripción de la variable dependiente.
Para los cálculos de los estadísticos se ha utilizado la herramienta de
Análisis de Datos de Software Microsoft Excel.
a. Evaluación de los parámetros del modelo
Es necesario determinar la importancia que tiene cada variable
independiente: conocimiento del algoritmo de las operaciones básicas con
fracciones y conocimiento de las propiedades elementales. En la explicación
de la variable dependiente: comprensión de los significados del número
racional positivo es necesario computar el estadístico tbj, que se distribuye
como el valor de la distribución t de Student con n-k-1 grados de libertad, el
cual se define por la ecuación:
jjlicadain
j
jj
j
bj
jbj CMC
bCs
bSb
texp
===
A continuación se expone la explicación del cálculo del estadístico
del primer grado y en la Tabla 4.35 se presenta los estadísticos de los cinco
grados.
Primer grado:
Dada las matrices:
204
Prueba de hipótesis para β0:
H0: β0 = 0 El modelo de regresión parte del origen (0, 0, 0).
H1: β0 ≠ 0 El modelo de regresión no parte del origen (0, 0, 0).
gl = 78-2-1=75
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
t(α=0,05) = 2.00 <
Dado que el estadístico tbj observado es mayor que la t
tabulada t(α=0,05) = 2.00. En consecuencia, se rechaza la hipótesis nula. Se
concluye que existen evidencias a nivel probabilístico de que el origen del
modelo de regresión múltiple es diferente de cero.
Prueba de hipótesis para β1:
Las siguientes pruebas de hipótesis b1 y b2 son más importantes
porque proporcionan información acerca de la magnitud de la contribución
de cada variable independiente, en la explicación de la variable dependiente.
Para las hipótesis:
H0: β1 = 0
La resolución de operaciones básicas con fracciones no
contribuye significativamente a la explicación de la
comprensión de los significados del número racional positivo.
H1: β1 ≠ 0
La resolución de operaciones básicas con fracciones
contribuye significativamente a la explicación de la
comprensión de los significados del número racional positivo.
gl = 78-2-1=75
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
t(α=0,05) = 2.00 <
El estadístico tbj observado es: 3.670851 =bt , en tanto la t tabulada es
2.00; con el valor crítico de t para una prueba bilateral cuando α = 0.05 y los
grados de libertad son 75. En consecuencia, se rechaza la hipótesis nula. Se
concluye que existe una relación lineal significativa entre la variable Y:
205
comprensión de los significados del número racional y la variable
independiente X1: cálculo de las operaciones básicas con fracciones,
mientras X2 se mantiene constante. Significa que los datos tomados del
primer grado proporcionan evidencias suficientes para afirmar que la
puntuación obtenida en la “Prueba sobre operaciones básicas con
fracciones” es una variable útil para explicar la comprensión de los
significados del número racional positivo, cuando se considera constante la
puntuación de la Prueba sobre propiedades elementales de los números
racionales”.
Prueba de hipótesis para β2:
En relación al segundo coeficiente de regresión β2 se tiene:
Las hipótesis:
H0: β2 = 0
El conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales no contribuye significativamente a la
explicación de la comprensión de los significados del número
racional positivo.
H1: β2 ≠ 0
El conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales contribuye significativamente a la
explicación de la comprensión de los significados del número
racional positivo.
Grados de libertad: gl = 78-2-1=75
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
t(α=0,05) = 2.00 <
La 1.638712 =bt observada es menor que la t=2.00 tabulada, en
consecuencia, no se puede rechazar la hipótesis nula. Es decir, el
conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales no
tiene una correlación lineal con la comprensión de los significados del
número racional positivo.
206
Luego de la explicación del proceso de cálculo de bjt y la toma de
decisión, en la prueba de hipótesis, presentamos los resultados de los cinco
grados de estudio escolar para su discusión:
Tabla 4. 35
Estadísticos bbj para la evaluación de los parámetros del modelo, según los
grados de estudio escolar.
Estadístico Primer Grado
Segundo Grado
Tercer Grado
Cuarto Grado
Quinto Grado
0bt 2.36166477 2.008421845 3.903152597 3.848428536 4.081750181
1bt 3.670854466 1.573866745 2.477596875 4.65543678 2.193379184
2bt 1.638706297 4.430932393 0.001410609 0.718987233 2.132361508
gl 75 75 71 74 73
Elaborado por el investigador.
Dada que la prueba de hipótesis es bilateral, cuando α = 0.05 con los
grados de libertad (gl= 75, 75, 71, 74 y 73 de los cinco grados de estudio);
por lo tanto, para la toma de decisión es necesario considerar que el valor
crítico de t es 2.00 (t = 2.00), según la Tabla de Valores críticos de la
distribución de t de Student.
207
4.3.4.5 Correlación Parcial
En esta sección se mide la intensidad de la relación entre dos variables,
sin considerar el efecto de las demás variables. Para este efecto obtenemos la
matriz simétrica R de correlación simple de la forma:
=1
11
212
121
21
rrrrrr
R
y
y
yy
Se tiene dos variables independientes y una dependiente, por lo que
existen tres coeficientes de correlación simple, son:
r1y = ry1, la correlación simple entre Y y X1,
r2y = ry2, la correlación simple entre Y y X2,
r21 = r12, la correlación simple entre X1 y X2,
Para obtener la matriz simétrica R, el primer paso es estandarizar las
puntuaciones de cada variable. La fórmula para las calificaciones estándar es:
sXX
Z i
−
−=
En los Anexos A.8.1 a A.8.5 se presentan las tablas de Puntuaciones
tipificadas para las variables Y1, X1, X2, de los cinco grados.
A las columnas Zy, Zx1 y Zx2 de las tablas A.8.1 al A.8.5 del anexo se
llaman matriz de calificaciones estándar M. Con esta matriz se calcula R, por
medio de la fórmula , donde n es el número de sujetos en el grado o
estrato muestral. Los cálculos matriciales se realizan con ayuda del software
Microsoft Excel.
Correlaciones parciales del primer grado A continuación se describe el proceso de cálculo de la matriz M, R los
coeficientes de correlación r1y, r2y y r21 y los coeficientes parciales del primer
grado.
208
Como se observa, la correlación de cada variable consigo misma es igual
a 1 aproximadamente (diagonal principal). De la matriz simétrica se tiene los
coeficientes de correlación entre variables. En consecuencia:
r1y = ry1 = correlación simple entre Y y X1,
r2y = ry2 = correlación simple entre Y y X2,
r21 = r12 = correlación simple entre X1 y X2,
Con los datos de la matriz R se puede calcular los coeficientes de
correlación parcial.
a) La correlación parcial entre Y y X1, cuando X2 se mantiene constante:
b) La correlación parcial entre Y y X2, cuando X1 se mantiene constante:
c) La correlación parcial entre X1 y X2, cuando Y se mantiene constante:
A continuación presentamos la tabla resumen de los coeficientes de
correlación parcial en el caso de tres variables de los cinco grados.
209
Tabla 4.36
Estadísticos r, coeficiente de correlación parcial, según los grados de estudio
escolar.
Coeficiente de correlación parcial
Primer Grado
Segundo Grado
Tercer Grado
Cuarto Grado
Quinto Grado
r1y 0.386 0.180 0.278 0.470 0.251
r2y 0.186 0.450 0.004 0.086 0.245
r21 0.360 0.361 0.552 0.350 0.336
Elaborado por el investigador.
Contraste de los coeficientes de correlación parcial
Se prueba la hipótesis nula de que el valor correspondiente en la
población de cualquier coeficiente de correlación parcial es cero, por medio de
la fórmula:
La cual se distribuye como la t de Student, con n-k-1 grados de libertad.
A continuación se explica el contraste de los coeficientes de correlación
parcial del primer grado:
a) Para Y y X1, cuando X2 se mantiene constante:
H0: = 0
H1: ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
Como t = es mayor que la t(α = 0.05)= 1.990, entonces se puede
rechazar la hipótesis nula.
Se afirma que existe una correlación significativa entre las puntuaciones
de la Prueba sobre comprensión de los significados del número racional y las
210
puntuaciones de la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones, cuando
se mantiene constante las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales.
b) Para Y y X2, cuando X1 se mantiene constante:
H0: = 0
H1: ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
Como t = es menor que la t(α = 0.05)= 1.990, entonces no se
rechaza la hipótesis nula.
Cuando se mantiene constante las puntuaciones de la Prueba sobre
operaciones básicas con fracciones, no se verifica una correlación significativa
entre las puntuaciones de la Prueba sobre comprensión de los significados del
número racional y las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales.
c) Para X1 y X2, cuando Y se mantiene constante:
H0: = 0
H1: ≠ 0
El nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05
3.33969446
Como t = 3.33969446 es mayor que la t(α = 0.05)= 1.990, entonces se rechaza
la hipótesis nula.
En este tercer caso, se encuentra que existe una correlación directa y
significativa entre las puntuaciones de la Prueba sobre operaciones básicas
con fracciones y la Prueba sobre propiedades elementales de los números
racionales, cuando se mantienen constantes las puntuaciones de la Prueba
sobre comprensión de los significados del número racional.
211
Luego de esta explicación del proceso de prueba, en la Tabla 4.37 se
presenta los resultados del cálculo de los valores de t estimadas de los cinco
grados, para su discusión posterior.
Tabla 4.37
Valores del estadístico t para el contraste de los coeficientes de correlación
parcial, según los grados de estudio escolar.
Estadístico t Primer Grado
Segundo Grado
Tercer Grado
Cuarto Grado
Quinto Grado
t (para Y y X1)
Cuando X2 se mantiene constante.
3.622 1.583 2.440 4.577 2.173
t (para Y y X2)
Cuando X1 se mantiene constante.
1.640 4.362 0.030 0.739 2.113
t (para X1 y X2)
Cuando Y se mantiene constante.
3.340 3.354 5.574 3.213 2.982
gl 75 75 71 74 73
Para t(α=0.05) = 2.00. Elaborado por el investigador.
212
44..44 DDIISSCCUUSSIIÓÓNN DDEE RREESSUULLTTAADDOOSS
La investigación, objeto del presente informe, se ha centrado en la
determinación de aspectos de la comprensión de los significados, los
algoritmos de operaciones básicas y propiedades elementales de los números
racionales positivos, en su representación fraccional. Luego de la presentación
de resultados, se está en posición de evaluar e interpretar las implicancias,
respecto a la hipótesis.
Dada la hipótesis general: “A mayor capacidad de resolución de operaciones básicas con fracciones y su conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales corresponde mayor comprensión de los significados del número racional positivo”. Es
necesario discutir cada una de las hipótesis específicas, enfatizando las
consecuencias teóricas de los resultados y la validez de las conclusiones.
Discusión de resultados sobre la comprensión de los significados
La comprensión de los significados del número racional positivo, en su
representación fraccional, es de naturaleza intuitiva y parcial, sustentado
esencialmente en el significado parte-todo. El 83.0% de los sujetos observados
interpretan correctamente solo dos significados y 47 estudiantes de cada cien
logran interpretar los seis significados. El significado que comprenden con más
éxito es el de parte-todo continuo que alcanzó el 76.8% y parte-todo discreto
con 62.6%. En tanto, que el significado de medida apenas alcanza el 25.5% de
empleo propio correcto en la interpretación de la cuestión. Además, el nivel de
comprensión evoluciona de forma positiva conforme se sube de grado escolar,
tal como fue demostrado con la prueba de diferencias de medias de la muestra
estratificada.
Estos resultados confirman lo sostenido por Escolano, R. (2004) quien
sostiene que el significado parte-todo de las fracciones no tiene su origen en
las necesidades humanas, sino es el resultado de las necesidades didácticas,
que permite eludir las actividades de medida con objetos tangibles que generan
dificultades en la gestión de materiales; además, el significado parte-todo
permite abreviar procesos de enseñanza. En consecuencia, se coincide con lo
213
afirmado por Escolano, quien sostiene que, la enseñanza de los números
racionales positivos en su representación fraccional se sustenta casi
exclusivamente en el significado parte-todo.
En contraposición a lo anterior, la revisión histórica de la génesis del
número racional revela que sus orígenes se localizan en los significados de
medida; así, los babilonios y egipcios por su necesidad de realizar mediciones
cada vez más precisas, tuvieron la necesidad de fraccionar la unidad de
medida en subunidades o fracciones. Paradójicamente, el sistema didáctico
renuncia a la génesis histórica de las fracciones para promover aprendizaje de
los números racionales. De esta manera, en el sistema escolar el significado de
medida se ha convertido en un objeto matemático marginal al momento de
estudiar las fracciones, y consecuentemente, su comprensión es deficiente e
intuitiva, basado esencialmente en el significado parte-todo, como se ha
constatado en los resultados empíricos.
Es evidente la interferencia del significado parte-todo, esencialmente en
su naturaleza continua, en la interpretación de los significados de medida,
razón, cociente y operador. La comprensión de los significados del número
racional se caracteriza por la marcada interferencia del significado parte-todo
en la interpretación de los significados de medida, razón, cociente y operador,
los cuales son secundarios en la comprensión.
Se constituye como una regularidad la interferencia del significado parte-
todo en los significados de cociente 30.8%, medida 22.9%, razón 4.5% y
operador de 12.1%; esta constante confirma la aseveración de la discusión
anterior, sin embargo, es revelador que el significado de razón interfiera en la
interpretación de los significados de parte-todo continuo 9.5%, parte-todo
discreto 17.4% y medida 18.7%. Además, el significado de cociente tiene su
presencia como interferente en los significados de razón con 6.3% y operador
con 4.7%. Diferentes antecedentes de investigación como: Rodríguez (2005),
León (1998), Escolano y Gairín (2005), Escolano (2001), Dos Santos (2005),
Amorin, Flores y Moretti (2005), Llinares y Sánchez (1997), Gairín (1999),
Ferreira (2005); todos ellos coinciden en afirmar que el aprendizaje de las
fracciones, como representante del número racional, es complejo y está
214
íntimamente relacionado con sus significados. Estos investigadores proponen
para su abordaje en la enseñanza desde algún significado en particular como
medida, o puntualizando que la interpretación parte-todo se ha posicionado
como significado principal, para la introducción del número racional en el
sistema didáctico. Sostienen que, este posicionamiento está perjudicando la
comprensión de los significados del número racional, fenómeno que nosotros
denominamos interferencias del significado parte-todo.
Discusión de resultados sobre la realización de operaciones básicas
Veintinueve de cada cien estudiantes logran resolver las cuatro
operaciones con fracciones y el 63.8% realiza correctamente las operaciones
en general. Respecto a la adición el 24.0% comete algún tipo de error; en la
realización de la sustracción el 49.0% comete errores de cálculo; en la
multiplicación el 26.0%; y en la división el 46.0% realiza cálculos erróneos.
Aproximadamente, una tercera parte de los estudiantes tiene dificultad para
realizar correctamente las operaciones básicas con fracciones, debido a que
desconocen u olvidan el algoritmo, puesto que existe un fenómeno constante
denominado obstáculo epistemológico que es la persistencia de los algoritmos
de operaciones básicas del conjunto de los números enteros; en efecto, esta
anomalía tiene una variedad que se manifiesta como una superposición de
algoritmos propios de las operaciones con fracciones.
La prueba de diferencias entre medias permite rechazar la hipótesis nula
de que la diferencia entre los promedios de logro en la realización de
operaciones básicas con fracciones es cero. Lo cual, permite afirmar al nivel de
significancia del α = 0.05 que el promedio de logro en la realización de cálculo
de operaciones básicas con fracciones de los estudiantes en los grados
superiores es mayor que el promedio de logro de los grados inferiores. Lo que
posibilita sostener que la comprensión de los algoritmos de adición,
sustracción, multiplicación y división, mejora conforme los estudiantes pasan a
grados superiores.
En la observación de los errores típicos en la realización la adición y
sustracción de fracciones se identifica plenamente el fenómeno denominado
obstáculo epistemológico postulado por Brousseau. Se entiende que, el
215
aprendizaje satisfactorio del algoritmo de la adición de números enteros, que se
fija en la mente de los estudiantes, resulta siendo un obstáculo al momento de
aprender nuevos algoritmos de adición, como es la adición de fracciones. Este
fenómeno se produce porque el algoritmo de adición de enteros resulta un
escollo para comprender nuevos algoritmos y demanda mayor práctica y
reflexión para su adaptación a nuevos algoritmos.
Relativo a la dinámica de los algoritmos previos y nuevos en la cognición
del sujeto, se evidencia un nuevo fenómeno que denominamos superposición de algoritmos, el cual pasamos a definir de acuerdo a los tipos de errores
identificados y de mayor frecuencia.
El 15.3% de los errores de adición del Tipo A son una confirmación
empírica del fenómeno Obstáculo Epistemológico. Con la adición directa e
independiente de los numeradores y denominadores queda evidente la
presencia del algoritmo de adición de números enteros que no se adapta aun
en el aprendizaje del nuevo algoritmo de adición de fracciones heterogéneas.
De la misma manera, el 12.9% de los errores en la sustracción del Tipo A
corroboran la afirmación anterior. Este tipo de error se caracteriza por efectuar
sustracciones de los numeradores y denominadores respectivamente, como si
se tratara de números enteros.
En la comprensión del algoritmo de la multiplicación de fracciones se
encontró un fenómeno que denominamos superposición de algoritmos. El
error de Tipo A que alcanza el 10% se caracteriza por presentar un rasgo
propio del algoritmo de la división, la multiplicación en cruz, o puede ser la
superposición del algoritmo de la adición en cruz, en ambos casos el estudiante
efectúa la multiplicación de los denominadores que es correcto, seguido de las
multiplicaciones en cruz, tal como se muestra en la Figura 4.26. El error del
Tipo C, que alcanza el 13.4%, reconfirma la aseveración anterior, en este caso
la superposición del algoritmo de la división es irrefutable.
El 10.3% de los errores en la división de fracciones del Tipo A corroboran
la teoría de la superposición de algoritmos. Este tipo de error presenta una
analogía con la adición de fracciones. Mientras que, el error del Tipo E muestra
la superposición del algoritmo de multiplicación de fracciones en la división.
Más revelador es aun el error del Tipo B, donde se verifica la intromisión del
216
algoritmo de la división de número enteros, un 7.4% de los estudiantes dividen
fracciones como si se tratara de números enteros; es decir, dividen
numeradores entre sí y denominadores entre sí.
Discusión de resultados sobre el conocimiento de las propiedades elementales del conjunto de los números racionales.
El Diseño Curricular Nacional (2008), propone el descubrimiento de
propiedades de los sistemas numéricos como capacidad y propone el estudio
de las diversas representaciones, relación de orden y operaciones con
números racionales como contenido, por otro lado, los libros de texto también
desarrollan el estudio de las propiedades elementales de los números
racionales.
La evaluación del conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales consideró: el número racional como un par ordenado de
números enteros, donde el denominador es diferente de cero; opuesto aditivo;
inverso multiplicativo; relación de equivalencia; relación de orden; y densidad
de los números racionales. Esta evaluación, muestra que el 28.4% de los
estudiantes conocen tres propiedades, el 72.1% conoce entre 0 y 3
propiedades y solo el 1.6% conoce las seis propiedades propuestas en la
evaluación.
La definición que se estudia en el nivel de educación secundaria, materia
de valuación, es }{ */),( ZbZabaQ ∈∧∈= donde Z* es el conjunto de los
enteros no nulos. Esta definición es una transposición didáctica (Chevallard,
1991), de la definición presentado por Birkhoff y MacLane (1954), quien
explica que el conjunto de los números racionales es un campo donde se
soluciona todas las ecuaciones de la forma bx=a con coeficiente entero a y b ≠
0. Este conjunto, que satisface estas necesidades, se consigue introduciendo
“ciertos símbolos” nuevos r=(a, b), a los que se llamará pares ordenados, estos
pares se pueden sumar, multiplicar e igualar exactamente como los cocientes
a/b en un campo.
217
En discordancia con la definición de número racional, los resultados
presentados en la Tabla 4.27 muestran que solo el 26.8% identifica la definición
correcta expresada en la alternativa C. El 18.9% de estudiantes que marcan la
alternativa D, revelan que no ven necesaria la restricción b≠0 en el par
ordenado de la definición de número racional. Mientras que, el 22.4% cree que
una fracción con términos irracionales pertenece al conjunto de los números
racionales. En tanto que, el 31.8% cree que “Un número racional es el cociente
de dos números, tal que el divisor es diferente de cero”. Esta alternativa
resultaría correcta siempre que tenga el cuidado de aclarar que el cociente es
de dos números enteros, mientras no sea así, revela imprecisión en la
definición.
A diferencia de las demás propiedades, la relación de orden es de mayor
comprensión, alcanzando el orden del 72.1% de respuestas correctas. En tanto
que, la densidad de los números racionales es la menos lograda, donde solo 19
de cada 100 estudiantes logra encontrar una fracción intermedia entre otras
dos fracciones.
Se percibe una evolución permanente en el conocimiento de las
propiedades elementales del número racional, tal como sugieren los índices
porcentuales de la Figura 4.31, sin embargo, esto requiere de una prueba
exhaustiva, para tal efecto se ha recurrido a la prueba de diferencia de medias.
Luego de los cálculos y estimaciones necesarias se rechaza la hipótesis nula al
nivel de significancia del α= 0.05. En los cuatro casos: la diferencia de medias
de los grados primero y segundo; segundo y tercero; tercero y cuarto; y
finalmente, cuarto y quinto; permite afirmar que el conocimiento de las
propiedades elementales de los números racionales de los grados superiores
siempre son mayores al de los grados inferiores en la educación secundaria.
Discusión de resultados sobre la relación entre las variables
Respecto a la hipótesis “La capacidad de resolución de operaciones
básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de
los números racionales se relacionan directamente con la comprensión de los
218
significados del número racional positivo”, se encontró que los coeficientes de
determinación múltiple de los cinco grados de estudios establecen lo siguiente:
de primer grado = 27.620731
de segundo grado = 34.4807271
de tercer grado = 11.5927295
de cuarto grado = 29.9055784
de quinto grado = 18.9755372
De ellos se puede calcular que el coeficiente total que involucra a los
cinco grados es:
total de los cinco grados = 24.5150607
Cuya interpretación es: aproximadamente solo el 24.5% de la variable
“Comprensión de los significados del número racional” es explicada por la
regresión de las variables “Resolución de operaciones básicas con fracciones”
y “Conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales”.
El análisis de varianza posibilitó rechazar la hipótesis nula “las dos
variables independientes no tienen ningún valor explicativo en la variable
comprensión de los significados del número racional”. Los resultados empíricos
permiten afirmar con una seguridad del 95% que en todos los casos, primero a
quinto grado escolar, el modelo de regresión múltiple explica en una proporción
significativamente alta la variación de la comprensión de los significados del número racional; es decir, la comprensión de los significados está linealmente
relacionado con la capacidad de efectuar o resolver operaciones básicas
con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales.
Para la evaluación particular del modelo de regresión múltiple, fue
necesario establecer la importancia relativa de cada variable independiente en
219
la descripción de la variable dependiente. Para la evaluación de los parámetros
del modelo β0, β1, β2, de los cinco grados de estudio se organizó la Tabla 4.38.
Se explicitan los tres tipos de prueba de hipótesis:
El origen del modelo de regresión es diferente de cero
H0: β0 = 0 El modelo de regresión parte de cero. H1: β0 ≠ 0 El modelo de regresión no parte de cero Nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05. Discusión: En todos los grados se ha encontrado que el modelo de regresión
no parte de cero, sino existe evidencia de que el origen del modelo de
regresión múltiple es diferente de cero.
Existe relación lineal entre X1 y Y, cuando X2 se mantiene constante. H0: β1 = 0 La capacidad de resolver operaciones básicas con
fracciones no contribuye significativamente a la explicación de la comprensión de los significados del número racional positivo.
H1: β1 ≠ 0 Existe una relación lineal significativa entre las variables
capacidad de resolver operaciones básicas con fracciones y comprensión de los significados del número racional positivo.
Nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05.
Discusión: Casi en todos los grados, a excepción de segundo, se rechaza la
hipótesis nula y se afirma que existe una relación lineal significativa entre las
variables capacidad de resolver operaciones básicas con fracciones y
comprensión de los significados del número racional.
Existe relación lineal entre X2 y Y, cuando X1 se mantiene constante.
H0: β2 = 0 El conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales no contribuye a la explicación de la comprensión de los significados del número racional positivo.
220
H1: β2 ≠ 0 Existe una relación lineal significativa entre las variables conocimiento de las propiedades elementales del conjunto de los números racionales y la comprensión de los significados del número racional positivo.
Nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05.
Discusión: En los grados primero, tercero y cuarto no se puede rechazar la
hipótesis nula, es decir, el conocimiento de las propiedades elementales de
los números racionales no contribuye a la explicación de la comprensión de
los significados del número racional. Sin embargo, en los grados segundo y
quinto sí se rechaza. Como es natural, se debe considerar que el DCN (2008 p.
324) tiene programado, en primero y segundo grados, el estudio de las
propiedades del sistema numérico de los racionales, esto puede ser una
explicación de este hecho particular.
221
Discusión de las correlaciones parciales
Respecto a las hipótesis de investigación que proponen correlaciones
parciales, se encontró los siguientes resultados:
Dadas las hipótesis.
- A mayor capacidad de resolución de operaciones básicas con
fracciones, existe mayor comprensión de los significados del
número racional, y
- A mayor conocimiento de las propiedades elementales de los
números racionales, corresponde mayor comprensión de los
significados del número racional positivo.
Primeramente, se explica el uso del estadístico t que se distribuye
como la t de Student, con n-k-1 grados de libertad. Se establecen tres casos
Considerando las variables:
X1: Resolución de operaciones básicas con fracciones.
X2: Conocimiento de las propiedades elementales de los números
racionales.
Y: Comprensión de los significados del número racional positivo.
Caso a) Para X1 y Y, cuando X2 se mantiene constante:
H0: = 0
El coeficiente de correlación parcial entre X1 y Y es cero.
H1: ≠ 0
El coeficiente de correlación parcial entre X1 y Y es
diferente de cero.
Nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05.
223
Caso b) Para X2 y Y, cuando X1 se mantiene constante:
H0: = 0
El coeficiente de correlación parcial entre X2 y Y es cero.
H1: ≠ 0
El coeficiente de correlación parcial entre X2 y Y es
diferente de cero.
Nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05.
Caso c) Para X1 y X2, cuando Y se mantiene constante:
H0: = 0
El coeficiente de correlación parcial entre X1 y X2 es cero.
H1: ≠ 0
El coeficiente de correlación parcial entre X1 y X2 es
diferente de cero.
Nivel de la probabilidad de significancia es α = 0.05.
La regla de decisión es la siguiente: cuando el valor de la t calculada es
mayor que la t(α = 0.05)= 1.99 tabulada, entonces se puede rechazar la
hipótesis nula.
Discusión: Respecto a la correlación parcial entre X1 y Y, cuando X2 se
mantiene constante, de la Tabla 4.37 se decide que en todos los grados de
estudio a excepción de segundo, se rechaza la hipótesis nula; y se puede
afirmar, al nivel de significancia del α = 0.05, que existe una correlación
significativa entre las puntuaciones de la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones y las puntuaciones de la Prueba sobre
comprensión de los significados del número racional, cuando se
mantiene constante las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales.
224
Así mismo, respecto a la correlación parcial entre X2 y Y, cuando X1 se
mantiene constante, no se ha podido rechazar categóricamente en todos los
grados la hipótesis nula “El coeficiente de correlación parcial entre X2 y Y, es cero”. Solo en segundo y quinto grados se rechaza la hipótesis nula,
por lo cual podemos afirmar que existe una correlación significativa entre las
puntuaciones de la Prueba sobre propiedades elementales de los
números racionales y las puntuaciones de la Prueba sobre comprensión
de los significados del número racional, cuando se mantiene constante
las puntuaciones de la Prueba sobre operaciones básicas con
fracciones.
Respecto a la correlación parcial entre X1 y X2, cuando Y se mantiene
constante; como era de esperarse, las dos nociones matemáticas:
operaciones básicas con fracciones y propiedades elementales del
conjuntos de los números racionales presentes y programados
explícitamente en el DCN (2008), tiene una relación mutua altamente
significativa, porque se verifica que en todos los grados sin excepción se ha
podido rechazar la hipótesis nula “El valor correspondiente en la población
del coeficiente de correlación parcial entre X1 y X2, es cero”.
Consecuentemente, se puede afirmar que existe correlación significativa
entre las puntuaciones de la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones y las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales, cuando se mantiene constante
las puntuaciones de la Prueba sobre comprensión de los significados del
número racional.
CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS
La revisión teórica y los resultados empíricos considerados en la
investigación permiten arribar a las siguientes conclusiones:
Primera: Conclusión referente a las características de la comprensión del número racional
La comprensión de los significados del número racional positivo se
sustenta esencialmente en el significado parte-todo continuo y parte-todo
discreto; así, estos alcanzaron el 76.8% y 62.6% de éxito en la interpretación
del empleo propio correcto de las fracciones. En tanto que, el significado de
medida desvinculado de su génesis histórica apenas alcanza el 25.5%.
La muestra estratificada de los cinco grados revela que la
comprensión de los significados del número racional es progresiva, es decir,
la prueba de diferencias de medias permite probar que los estudiantes del
nivel de educación secundaria logran superar su comprensión conforme
suben de grado escolar.
Segunda: Conclusión relativa a las interferencias en la comprensión de los significados del número racional
La comprensión de los significados del número racional se caracteriza,
por una acentuada interferencia del significado parte-todo en la
interpretación de los significados de cociente, medida, razón y operador.
Además, el significado de razón interfiere en los significados de parte-todo
discreto, parte-todo continuo y en el significado de medida. Asimismo, el
significado cociente se manifiesta como interferente, de forma incidental, en
los significados de razón y operador.
Tercera: Conclusiones relativas a la realización de operaciones básicas con fracciones
Las dificultades en la aplicación de algoritmos en la realización de
operaciones básicas con fracciones se superan conforme se sube de grado
226
escolar. El promedio de logro en el cálculo de operaciones básicas de los
estudiantes de grado escolar superior es mayor que el promedio de logro de
los estudiantes del grado inferior, en todo el nivel de educación secundaria
de forma transitiva.
Los algoritmos de la adición y sustracción de números enteros
aprendidos previa y satisfactoriamente, se constituyen en un obstáculo
epistemológico en el aprendizaje de los nuevos algoritmos de la adición y
sustracción de fracciones heterogéneas.
En la comprensión del algoritmo de la multiplicación de fracciones se
presenta errores típicos, la superposición de algoritmos. Así, los errores del
Tipo A y C evidencian que rasgos propios del algoritmo de adición en cruz, o
rasgos propios del algoritmo de la división se superponen sobre el algoritmo
de la multiplicación de fracciones.
En la división de fracciones se corrobora la teoría de la superposición
de algoritmos. En los errores de la división de fracciones se encontró la
superposición del algoritmo de la suma de fracciones en cruz y rasgos de la
multiplicación de fracciones. Además, se verificó la intromisión del algoritmo
de la división de números enteros, donde los estudiantes dividen fracciones
como si se tratara de números enteros, tanto en el numerador como en el
denominador.
Cuarta: Conclusiones relativas al conocimiento de propiedades elementales de los números racionales
Los estudiantes del nivel de educación secundaria muestran un escaso
conocimiento de las propiedades elementales del conjunto de los números
racionales, apenas logran un 45.9% de éxito en la resolución de la prueba de
propiedades. Sin embargo, esta evoluciona favorablemente conforme
asciende en los grados escolares, tal como se ha probado con la inferencia
de medias.
227
La comprensión que poseen los estudiantes, del nivel de educación
secundaria, de la definición del conjunto de los números racionales es
imprecisa; asumen que, es el conjunto de cocientes o pares ordenados a/b
de números, mas no precisan que deben ser números enteros y menos
comprenden que el segundo componente, divisor o denominador, sea
diferente de cero.
Quinta: Conclusiones concernientes a las relaciones entre las variables de estudio
Frente a la hipótesis "La capacidad de resolución de operaciones
básicas con fracciones y el conocimiento de las propiedades elementales de
los números racionales se relacionan directamente con la comprensión de
los significados del número racional positivo”, podemos concluir que
lamentablemente no podemos confirmar categóricamente esta vinculación
relacional; sin embargo, podemos afirmar que aproximadamente solo el 24.5% de la variable “Comprensión de los significados del número racional” es explicada por la regresión de la variable “Resolución de operaciones básicas con fracciones” y la variable “Conocimiento de las propiedades elementales de los números racionales”.
Sexta: Conclusión concerniente a la correlación parcial
El contraste de los coeficientes de correlación parcial posibilitó concluir
lo siguiente, respeto a las relaciones parciales entre las variables de estudio:
En todos los grados escolares, a excepción del segundo grado, existe
una correlación significativa entre las puntuaciones de la Prueba sobre
operaciones básicas con fracciones y las puntuaciones de la Prueba
sobre comprensión de los significados del número racional, cuando se
mantiene constante las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales.
228
Solo en segundo y quinto grados existe una correlación significativa
entre las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades elementales de
los números racionales y las puntuaciones de la Prueba sobre
comprensión de los significados del número racional, cuando se
mantiene constante las puntuaciones de la Prueba sobre operaciones
básicas con fracciones. En tanto que, en primero, tercero y cuarto grados
no se puede rechazar la hipótesis nula, puesto que se encontró que el
coeficiente de correlación parcial entre la Prueba sobre propiedades
elementales de los números racionales y las puntuaciones de la Prueba
sobre comprensión de los significados del número racional es cero.
De primero a quinto grado existe una correlación significativa entre las
puntuaciones de la Prueba sobre operaciones básicas con fracciones y
las puntuaciones de la Prueba sobre propiedades elementales de los
números racionales, cuando se mantiene constante las puntuaciones de la
Prueba sobre comprensión de los significados del número racional.
229
RREECCOOMMEENNDDAACCIIOONNEESS
Considerando las repercusiones que suponen los resultados y
conclusiones de la investigación, se hace las siguientes recomendaciones a
los maestros del nivel de educación secundaria de la ciudad de Puno:
- En la enseñanza de los números racionales se debe plantear
actividades didácticas, situaciones didácticas que permitan
comprender interpretaciones del significado medida, razón,
cociente, operador; y, en medio de todos ellos, el significado de
parte-todo.
- Para la enseñanza y evaluación de los algoritmos de las
operaciones básicas con fracciones, se recomienda analizar los
tipos de errores que comenten los educandos e identificar los
obstáculos epistemológicos y las superposiciones entre algoritmos, para tomar decisiones y diseñar estrategias que
permitan superar las dificultades de aprendizaje.
- Tanto en el estudio de los significados del número racional como
en la realización de operaciones básicas con fracciones, es
necesario que las situaciones didácticas propuestas por el
profesor deban estar fundamentadas en el atento estudio de las
propiedades de los números racionales. Eso implica, por
ejemplo, que si se estudia el algoritmo de la adición de
fracciones heterogéneas, se debe comprender que por una
relación de fracciones equivalente se homogenizan las
fracciones heterogéneas.
- En vista que las correlaciones multilineal entre las variables: comprensión de los significados del número racional, manejo de
algoritmo de operaciones básicas con fracciones y conocimiento
de las propiedades elementales de los números racionales, son
débiles y poco significativas, se sugiere que, en el diseño de las
230
actividades didácticas se proponga situaciones de aprendizaje que
relacionen los significados de los números racionales con la
realización de operaciones básicas con fracciones y,
simultáneamente, se analice las propiedades de los números
racionales. De tal manera que, estas nociones matemáticas no estén
desconectadas, sino sean integradas en un cuerpo de conocimientos
relacionados entre sí.
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