SAYI SİSTEMLERİ

KONU ANLATIMI

SAYI SİSTEMLERİSAYI BASAMAĞIBir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır.243 üç basamaklı bir sayıdır.

SAYI SİSTEMLERİÇÖZÜMLEMEDoğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir.Üç basamaklı abc sayısı aşağıda çözümlenmiştir.

SAYI SİSTEMLERİ• ab = 10 × a + b• abc = 100 × a + 10 × b + c• aaa = 111 × a• ab + ba = 11 × (a + b)• ab – ba = 9 × (a – b)• abc – cba = 99 × (a – c)• abcd = cd + 100 × ab = bcd+ 1000 × a

SAYI SİSTEMLERİTABANBir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.T taban olmak üzere,(abcd)T = a × T3 + b × T2 + c × T + d dir.

Burada, T, 1 den büyük doğal sayıdır. a, b, c, d rakamları T den küçüktür. Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir. (abc,de)T = a × T2 + b × T + c + d × T–1 + e × T–2 dir.

SAYI SİSTEMLERİOnluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana ÇevrilmesiOnluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

SAYI SİSTEMLERİHerhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana ÇevrilmesiHerhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda YazılmasıHerhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

SAYI SİSTEMLERİTaban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleriDeğişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığıbasamaktaki rakam 1 azalır.

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL

Faktöriyel, 1′den başlayarak n’ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına denilmektedir. Bu çarpıma n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.

Bazı faktöriyel açılımları şu şekildedir:0!=11!=12!=2.1=23!=3.2.1=64!=4.3.2.1=245!=5.4.3.2.1=1206!=6.5.4.3.2.1=720

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİBüyük faktöriyel kendisinden küçük olan herhangi bir faktöriyele indirgenebilir.5!=5.4.3!11!=11.10.9.8.7!Büyük faktöriyel, küçük faktöriyelin çarpanlarını içerisinde bulundurmaktadır. Bunun için küçük faktöriyeli tam bölen her sayı büyük faktöriyeli de kesinlikle tam böler. 6! i tam bölen herhangi bir sayı 6 faktöriyelden sonra

gelen herhangi bir faktöriyeli de tam bölecektir. Yani 7! de 8! de ya da sonrasında gelen tüm faktöriyeller 6′ya tam bölünecektir. Çünkü içlerinde 6 çarpanı bulunmaktadır. 6 çarpanı varsa o sayı 6′ya tam bölünebilir demektir.

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİ 5! ve sonrasında gelen faktöriyellerin son basamağında

kesinlikle 0 bulunur. 2! ve sonrasından gelen faktöriyellerin hepsi çift sayıdır.

Faktöriyel Soru Tipleri:”Sondan kaç basamağı sıfırdır?” ya da ”Sondan kaç basamağı 9′dur?” gibi sorularda verilen faktöriyel sayısı devamlı olarak 5′e bölünür.

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİÖrnek: 80! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9′dur?Çözüm:

Burada 80′i devamlı olarak 5′e böldüğümüzde;20+4= 24 çıkar. Dolayısıyla 80! sayısının sondan 24 basamağı 9′dur. Eğer bize ”Sondan kaç basamağı 0′dır?” diye sorulsaydı cevap yine 24 olacaktı. Basit bir örnekle 1000 sayısının sondan 3 basamağı 0′dır. 1000-1 sonucu da 999′dur ve 999′un son üç basmağı 9′dur ki bu zaten sayının tamamıdır. Kısaca sondan kaç basamağı 0′dır ya da sondan kaç basamağı 9′dur (x!-1 olarak verildiğinde) sorularının çözüm yöntemi aynıdır.

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİÖrnek: 80! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9′dur?Çözüm:

Burada 80′i devamlı olarak 5′e böldüğümüzde;20+4= 24 çıkar. Dolayısıyla 80! sayısının sondan 24 basamağı 9′dur. Eğer bize ”Sondan kaç basamağı 0′dır?” diye sorulsaydı cevap yine 24 olacaktı. Basit bir örnekle 1000 sayısının sondan 3 basamağı 0′dır. 1000-1 sonucu da 999′dur ve 999′un son üç basmağı 9′dur ki bu zaten sayının tamamıdır. Kısaca sondan kaç basamağı 0′dır ya da sondan kaç basamağı 9′dur (x!-1 olarak verildiğinde) sorularının çözüm yöntemi aynıdır.

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİÖrnek

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

SAYI SİSTEMLERİFAKTÖRİYEL ÖZELLİKLERİ

Örnek

(6-n)! ifadesinde n’in alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm: Faktöriyel sayıları sadece doğal sayılardan oluşmaktadır. Dolayısıyla doğal sayılar kümesi dışında yer alan kavramlar faktöriyel olamaz. Buradan n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 değerlerini alabilir, yani n toplamda 7 değer alabilir.