MATEMÁTICA IIIPuntos y Vectores en el

Espacio

Profesor: Pedro BeltránAlumno: Jesús Suarez

Guanta 26 de Mayo 2016

Introducción Por medio del presente trabajo he querido mostrar de la forma más sencilla y practica los conceptos de puntos y vectores en el espacio, buscando siempre la simplicidad y practicismo para aclarar y evitar dudas básicas en los tópicos aquí tratados.

Es importante poder seguir la secuencia del trabajo con el fin de poder sacar el mejor provecho a la información aquí presentada.

¨Para ampliar el concepto de función a las funciones de cualquier número de variables, debemos considerar primero puntos en el espacio numérico n-dimensional. Así como un punto en R1 lo representamos por un número real x, un punto en R2, por un par ordenado de números reales (x,y) y un punto en R3, por una triada de números reales (x, y, z). A un punto en el espacio n-dimensional , Rn lo representaremos por un n-ada ordenada, de números reales.¨

¨Definición: El conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se llama espacio numérico n-dimencional y se representa por Rn . Cada n-ada ordenada (x1, x2, ….,xn) se considera como un punto en el espacio n-direccional. ¨

PUNTOS EN EL ESPACIO Y REPRESENTACIÓN GRAFICA

P1(1,3,0)

z

x yFig. 1

Ejemplo de 2 puntos en el espacio R3. P1(1,3,2) y P2(1,3,0) Fig. 1 .

Si P(x1,x2,……,xn) y A(a1, a2,….an) son dos puntos en Rn, entonces la distancia entre P y A, designada por :

|| P-A|| = ((x1-a1)2 + (x2-a2)2 + (xn-an)2) ½

Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos P(1,2,1) y Q(5,2,7) .

| |P-Q | | =((1-5)2 + (2-2)2 + (1-7)2) ½

= (16 + 36) ½

= (52)

DISTANCIA ENTRE PUNTOS EN EL ESPACIO

Sean A(x1,y1,z1) y B(x2,y2,z2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por : M(x1+x2 , y1 + y2, z1 + z2 ). A B 2 2 2 M

Ejemplo: Dados los puntos A(3,-2,5) y B(3,1,7)

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.

M(3+3, -2+1, 5+7) M(3,-1/2, 6) 2 2 2

PUNTO MEDIO EN EL ESPACIO

La ecuación de la esfera esta dada por : ( x-x0 )2 + ( y-y0 )2 + ( z-z0 )2 = r2

Donde (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro de la esfera y r en el radio de la esfera.

Ejemplo. Graficar (x – 2) 2 + y2 + (z – 1)2 = 4 (x - 2)2 + (y-0)2 + (z – 1)2 = 4

La ecuación corresponde a una esfera de Punto (2, 0, 1) y radio 2. Ubicamos el centro y luego se traza una esfera con este radio, como se Muestra en la figura a la derecha.

ECUACIÓN DE LA ESFERA EN EL ESPACIO

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector r son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Componentes de un rector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

AB = (x2 – x1 . Y2 – y1 , z2 – z1 )

Términos Vectores en el Espacio: Definición y sus características.

Para v otro vector Rn se cumple la desigualdad triangular ||a + v || <= || u || < ||v||

La dirección de está definida por la medida de los ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z

Dados por:

Geométricamente:Los vectores w y v sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor es el

vector suma y el vector de la diagonal menor es el vector diferencia.

Propiedades de los vectores

Conclusión He logrado determinar la importancia de los tópicos tratados en esta investigación los cuales me permitirán un mejor entendimiento en temas tales como funciones de varias variables, graficar en el espacio tridimensional, características de los vectores .

Bibliografía

• El Calculo Louis. Leithold.

• El calculo Earl. W. Swokowski.

• http://inciomiguel.blogspot.com/2012/06/vectores-en-r3-un-vector-de-r3-es-una.html