MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS EN EL ESPACIO DE …dea.unsj.edu.ar/control2/Clase07a_EE_Introduccion.pdf · Modelos de Espacio de Estado Las variables de fase no son

MODELADO MATEMÁTICO DESISTEMAS DINÁMICOS EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Fernando di Sciascio (2017)

Sistemas Dinámicos Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Un sistema dinámico continuo LTI se expresa matemática-mente mediante una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

Para resolver analítica o numéricamente una ecuacióndiferencial debemos conocer las condiciones iniciales. Sialguno de los parámetros ai, bi es variante en el tiempoentonces el sistema sigue siendo lineal pero variante en eltiempo.

2

1 2 1 22

0 00

( )

(0) , (0)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

t

d d dua a y t b b udt dtdt

dy y y y

dt

y t y t t t

y t

=

ìïïï + + +ïïïïíïïïï = = =ïïïî

=

En los modelos de Entrada-Salida (funciones de transferencias) se asume que las condiciones iniciales son nulas.

Modelos de Entrada-Salida o Externos

La respuesta al impulso de un sistema LTI define el sistema.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u d h t u t

h t u t

y t h t

Y s L y t L H s U s

t tt¥

-¥

= *

*

= -

= { } = { } =

ò

La señal de salida de un sistema LTI es la convolución de larespuesta al impulso h(t) con la señal de entrada u(t). Por elteorema de convolución en el tiempo se tiene que latransformada de Laplace de la señal de salida es el productode las transformadas de Laplace de las respuesta al impulsoy de señal de entrada.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s s sy t u h t d h t u t H Ut t t¥

-¥

«= - = * =ò

Respuesta en frecuencia de los Sistemas LTI

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t u t Yy t h H Uw w w* «= =

( )( ) ( ) jeH H q ww w=

Reemplazando s=jw se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema en módulo y fase:

H(ω) también es el espectro de la señal de salida para entrada impulsiva (Delta de Dirac) ya que:

( ) ( ), ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )u t t t U Y Hd d w w w= « = =

2

3 2( ) 6 9

( )( ) 7 14 8Y s s s

H sX s s s s

+ += =

+ + +

3 2 2

3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7 14 8 ( ) 6 9 ( )d y t d y t dy t d x t dx t

y t x tdt dtdt dt dt

+ + + = + +

3 2 2( ) 7 ( ) 14 ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( )s Y s s Y s sY s Y s s X s sX s X s+ + + = + +

Ejemplo: Se tiene el siguiente sistema dinámico lineal invariante

De la Ec. Diferencial a la Función de Transferencia

1( ) ( )h t H s

-= { } Es la respuesta del sistema al impulso

2 2

3 2

6 9 ( 3)( )

( 1)( 2)( 4)7 14 84 1 1 1 1 13 1 2 2 6 4

s s sH s

s s ss s s

s s s

+ + += =

+ + ++ + +

= - ++ + +

Para obtener la respuesta al impulso en el tiempo se debe anti transformar mediante el desarrollo en fracciones parciales

{ } { } { }1 1 1 14 1 1 1 1 1( ) ( )

3 1 2 2 6 4h t s

s s s- - - -= {H } = - +

+ + +

2 44 1 1( )

3 2 6t t th t e e e- - -= - +

22 4

3 2

4 1 1 6 9( ) ( )

3 2 6 7 14 8t t t s s

h t e e e H ss s s

- - - + += - + =

+ + +«

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Integral deConvolución FuncióndeTransferencia

t u t Y s s sy t h H U* «= =

Además de la ecuación diferencial de orden n, la integral deconvolución y la función de transferencia. ¿Existe otramanera de modelar un sistema dinámico?

2

1 2 1 22

0 00

( )

(0) , (0)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

t

EcuaciónDiferencial

d d dua a y t b b udt dtdtd

y y y ydt

y t y t t t

y t

=

ìïï + + +ïïïíïï = = =ïïïî

=

Si se puede construir otro tipo de modelo a partir de queuna Ecuación Diferencial de orden n se puede resolverplanteando n ecuaciones diferenciales de primer orden.

Para convertir una Ecuación Diferencial deorden n en n ecuaciones diferenciales deprimer orden se deben seleccionar unconjunto de n variables del sistema a lasque llamaremos variables de estado.

Esta elección (salvo casos muy simples) noes única.

Modelos de Espacio de Estado

0 0

12

1

1 1 0 01

11

0 0 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

n n

nn n

nn

nt t t t

nx

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt dt

dy t d y ty y y t y

dt dt

xx

-

- -

- é ù-ë û-

= =

+ + + + =

ß ß ß

= = =

Variables de fase: La elección usual de n variables delsistema (variables de estado) son las denominadas variablesde fase.Consideremos la ecuación diferencial de abajo. Se asocian lasvariables de estado x1, x2,…, xn a y(t), dy(t)/dt,…, d n-1y(t)/dt n-1 .Observar que se corresponden con las variables asociadas alas condiciones iniciales.

Modelos de Estado-Representación en Variables de Fase

1 1 1 2

2

2 2 2 32

2 1

1 1 12 1

1

0 11

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

n n

n n n nn n

n n

n n nn n

dy tx t y t x t x t x t

dtdy t d y t

x t x t x t x tdt dt

d y t d y tx t x t x t x t

dt dtd y t d y t

x t x t x t a x tdt dt

- -

- - -- -

-

-

= = =

= = =

= = =

= = =- - +

0 ( )b u t

1

2

1

1 1 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n

nn n

n

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt xxdxt

-

- -+ + + + =


1 2

2 3

1

0 1 1 2 1 0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a x t a x t a x t b u t-

-

==

==- - - - +

1 1

2 2

1 1

0 1 2 1

( ) 0 1 0 0 ( )

( ) 0 0 0 0 ( )

( ) 0 0 0 1 ( )

( ) ( )

( ) (

n n

n n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a a a a x t

Ax t x

- -

- -

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú=ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú- - - -ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

1 0

2 0

1 0

0 0

0 0

0 ( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

) ( )

,

n

n

x t

x t

u t

x t

b x t

Bt x t x

-

é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú+ ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

=

0 0( ) ( ) ( ) , ( )x Ect Ax t Bu uaciónt x de Estadot x= + =


0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

ì = + =ïïíï = +ïî

Nos interesa conocer la salida

( ) ( ) ( ) Ecuacióy t Cx t Du nde S dat ali= +Reescribiendo las dos últimas ecuaciones de forma compacta se llega a la forma usual del modelo de estado.

1

2

1

( )

( )

( ) 1 0 0 0 0 ( )

( )

( )

( )

,

n

n

x t

x t

y t u t

x t DCx t

x t

-

é ùê úê úê úê úé ù= +ê úê úë û ê úê úê úê úë û

1( ) ( )y t x t=



Las variables de fase no son la única elección posible de lasvariables de estado. En el siguiente ejemplo construimos unmodelo en el espacio de estados directamente de las leyesfísicas.Ejemplo: Consideremos la red eléctrica siguiente. Supongamosque queremos modelar el voltaje v(t).

Ley de carga del capacitor

0 0( )

( ) , ( )LL

di tv t L i t i

dt= =

Ley de Kirchoff (nodos)1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )fL

v t v t dv t v ti t C

R dt R

-= + +

0 0( )

( ) , ( )cdv t

i t C v t vdt

= =

22( ) Rv t R i=

Ley de Lenz

Ley de Ohm

0 0

1 2 1

( ) 1( )

, ,( ) 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

L

f

di tv t

dt L i vdv t

i t v t v tdt C RC RC RC

ìïï =ïïïí æ öï ÷çï ÷= - - + +çï ÷ç ÷çï è øïî

Reordenando y agrupando

0 0

11 2

1( ) 00 ( )( ) , ,11 1 1 ( )( )

LL

f

di ti tLdt v t i vv tdv t

RCC RC RCdt

é ùé ù é ùê úê ú é ù ê úê úê ú ê ú ê ú= +ê úê ú æ ö ê ú ê úê ú÷çê ú ê ú÷- - + ë û ê úçê ú÷ê ú ç ÷ ë ûè øê úë û ë û

Pasando a forma vectorial-matricial

Renombrando variablesy reemplazando en la ecuación matricial

1 1 1 0 0

2 2 2 0 0

( )( ) ( ) ( ) , ( )

( )( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( )

LL

f

di tx t i t x t x t i

dtdv t

x t v t x t x t vdt

v t u t

= = =

= = =

=

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )

x t x t x tL u tx t x t x t

RCC RC RC

é ù é ùê úé ù é ù é ùê úê úê ú ê ú ê úê ú= +ê úæ öê ú ê ú ê úê úê ú÷çê ú ê ú ê ú÷- - +ë û ë û ë ûê úçê ú÷ç ÷ ë ûè øê úë û

El número de estados es igual a la de elementos que almacenan energía

Como nos interesa modelar el voltaje v(t) (salida del sistema y(t))

12

2

( )( ) ( ) ( ) [0 1]

( )

x ty t v t x t

x t

é ùê ú= = = ê úê úë û

0 0

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2 ( )

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( )tx t


RCC RC RCx t x xBA

é ù é ùê úé ù é ù é ùê úê úê ú ê ú ê úê ú= +ê úæ öê ú ê ú ê úê úê ú÷çê ú ê ú ê ú÷- - +ë û ë û ë ûê úçê ú÷ç ÷ ë ûè øê úë û =

1

22

( )( ) ( ) ( ) [0 1] 0 ( )

( )

( )

x ty t v t x t u t

x tC D

x t

ìïïïïïïïïïïïíïï é ùïï ê úï = = = +ï ê úï ê úë ûïïïïî

Agrupando las dos últimas ecuaciones

Reescribiendo de forma compacta :

0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

EcuacióndeEstadox t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

s

Ecuaciónde Salida


0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

Ecuaciónde Estadx t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

o

Ecuaciónde Salida


( )

( )

( )

, ( )

entrada, ( )

, (

x t Vector deestadodedimensión n

u t Vector deentradadedimensión p

y t Vector de salidadedimensiónq

A Matriz del sistema de medición deorden n n

B Matriz de deorden n p

C Matriz de salida deorden q n

==== ´= ´= ´ )

, ( )D Matriz deacopledirecto deorden q p= ´


Definición de los términos

Señales descritas en espacios de estadoLas representaciones en variables de estado además dedescribir sistemas o procesos, pueden ser también muy útilespara modelar una gran variedad de señales. Para esto seutilizan generalmente modelos de estado, lineales einvariantes en el tiempo t, sin excitaciones. Comoconsecuencia de ello, la señal que se obtiene como salida delsistema sólo depende de la condición inicial del vector deestado. Este tipo de sistemas sin señal de entrada sedenominan homogéneos o autónomos:

Modelos de Espacio de Estado Homogeneos o Autónomos

0 0

( ) ( ); ( )

( ) ( )

x t Ax tx t x

y t Cx t

ì =ïï =íï =ïî

MODELOS EN EL ESPACIO DE ESTADO· CONCEPTO, DEFINICIÓN

· VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TEORÍA MODERNA

DE CONTROL CON RESPECTO A LA TEORÍA CLÁSICA



Concepto de Estado: La teoría moderna de control se basa enla representación matemática de los sistemas dinámicos pormedio del concepto de estado, en contraposición con la teoríaclásica de control, que utiliza únicamente la relación entre suentrada y su salida (función de transferencia).

Se define estado de un sistema como la mínima cantidad deinformación necesaria en un instante para que, conociendo laentrada a partir de ese instante, se pueda determinarcualquier variable del sistema en cualquier instanteposterior.La información se concentra en un conjunto mínimo devariables del sistema (variables de estado) que permitecalcular cualquier otra variable del sistema "t ³ to comofunción del estado en t = to y de los valores presentes de lasentradas del sistema " t ³ to .


El Vector de Estado se define sobre un Espacio Vectorialdenominado Espacio de Estado (es el conjunto de todos losvectores de estado que obviamente tiene la misma dimensiónque el vector de estado).Al ser el espacio de estado un espacio vectorial, admiteinfinitas bases, relacionadas entre sí mediante transforma-ciones lineales de semejanza.La representación del estado depende entonces de la baseelegida. Esta dependencia no afecta a las variables externas(entrada y salida), que no modifican su expresión sea cual seala representación del estado elegida.

Luego, existe una sola Función de Transferencia einfinitas representaciones en modelos de Espacio deEstados.


Como existen infinitas representaciones en variables deestado solo algunas pocas tendrán significado físico.

El estado del sistema en un instante t determina la energíaque el sistema posee en ese instante. Estas variablespueden ser cantidades físicas del sistema, tales comovelocidad, posición, presión, voltaje y corriente, entreotras, o bien ciertas funciones de esas variables delsistema.

TRAYECTORIAS EN EL ESPACIO DE ESTADOS

La variable de estado x(t) es una función explícita del tiempo t,pero también depende del tiempo inicial t0, del estado inicialx(t0)=x0 y de la entrada u(t). Esta dependencia funcional seescribe como x(t) =f (t, t0, x0 , u(t)) , y se denomina trayectoria.Esta trayectoria puede ser graficada en el espacio de estado dedimensión n a medida que el tiempo evoluciona desde t0 a t .

Ventajas de la teoría moderna de control, con respecto ala teoría clásica

· Es aplicable directamente a sistemas de multi-variables (MIMO) en los que existe interacciónentre las variables del sistema.

· Es aplicable a sistemas no-lineales cuyocomportamiento no puede ser aproximado por unmodelo lineal dentro del rango de funcionamiento.

· Es aplicable a sistemas variantes en el tiempodonde los parámetros varían con el tiempo avelocidades comparables con la evolución de lasvariables (LPV Linear Parameter-Varying systems).


· Es aplicable a la optimización del comportamientode sistemas, (Control Optimo). Esto se logramediante la minimización de una función objetivo querefleja la calidad en el cumplimiento de los objetivosde control.

· La realimentación del vector de estado en lugar desolamente la salida permite abordar el control desistemas mucho más complejos.


· El acondicionamiento numérico de losalgoritmos es mucho mejor en el controlmoderno (los vectores y matrices son ellenguaje natural de Matlab y en general decualquier computadora digital). Lasfunciones de transferencia son malcondicionadas numéricamente.

Desventajas de la teoría moderna de control, con respectoa la teoría clásica

· El control clásico es más intuitivo que el controlmoderno (Espacio de Estados). La respuesta de unsistema al escalón, la constelación de polos yceros, los diagramas de Bode o Nyquist, el lugar delas raíces son herramientas gráficas muy potentespara los humanos (es nuestro lenguaje natural)

· La interconexión de sistemas es más sencilla conlas funciones de transferencia que con los modelosen el espacio de estados (interconección serie,parelelo, realimentación, etc.).


· En el control moderno (espacio de estados)se pierde la noción de los ceros del sistema.

· En el control moderno (espacio de estados)se pierde la noción de ancho de banda y engeneral de todos los aspectos del dominio dela frecuencia.


El control clásico fue concebido para loshumanos en nuestro lenguaje natural. Elcontrol moderno (en el dominio del tiempo)fue concebido para las computadoras en sulenguaje natural.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS

MODELOS DE ESTADO

DIAGRAMAS DE BLOQUES


Representación Gráfica de los Modelos de Estado Diagrama de Bloques

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t ay t by t u t y t ay t by t u t+ + = = - - +

El modelo de estado de un sistema lineal admite varias formas graficas:

Representación Gráfica-Diagrama de Bloques

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

11 2

2

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 0 ( )

( )

x t a a x t b

x t a a x t b

x ty t c c u t

x t

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û

é ùé ù ê ú é ù= +ê ú ë ûê úë û ê úë û

Representación Gráfica-Diagrama de Bloques

Con vectores y matrices la representación es más compacta y eficiente

CONVERSIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

EN MODELOS EN EL ESPACIO DE ESTADOS

· CONVERSIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON UN

TÉRMINO CONSTANTE EN EL NUMERADOR

· CONVERSIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON UN

UN POLINOMIO EN EL NUMERADOR

La conversión de una función de transferencia en unmodelo en el espacio de estado se denominaREALIZACIÓN. Para un sistema dado existe una y solouna Función de Transferencia pero existen infinitasrealizaciones en modelos de Espacio de Estados.

Conversión de Funciones de Transferencia en Modelosde Espacio de Estados

Cuando el número de estados coincide con el númerode polos de la función de transferencia se dice queLA REALIZACIÓN ES MÍNIMA.

Número Mínimo de Variables de Estado

Como sabemos el número mínimo de variables deestado que debemos seleccionar?.

· Como el orden de la ecuación diferencial coincidecon el orden del denominador de la función detransferencia, el número de variables de estadodebe coincidir con el número de polos de la funciónde transferencia (después de haber cancelado losfactores comunes entre el numerador y el denomi-nador).

· Normalmente el número mínimo de variablescoincide con el orden de la ecuación diferencial quedescribe al sistema.

Número Mínimo de Variables de Estado· Otra manera de determinar el número de variablesde estado es contando el número de elementosindependientes que almacenan energía en el sistema. Elnúmero de esos elementos almacenadores de energía esigual al orden de la ecuación diferencial y al número depolos de la función de transferencia.

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )


RCC RC RC

é ù é ùê úé ù é ù é ùê úê úê ú ê ú ê úê ú= +ê úæ öê ú ê ú ê úê úê ú÷çê ú ê ú ê ú÷- - +ë û ë û ë ûê úçê ú÷ç ÷ ë ûè øê úë û

2

0

2

0

12

12

C C

L L

V

C

I

L

W L v dv CV

W L i di LI

= =

= =

ò

ò

1) Se pasa de la Función deTransferencia a la Ecuación Diferencial.

3 2 3 2

3 2

( )9 26 24 9 26 24

( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) 24

( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )

24 24( ) , ( )

( )

24

Y s Us s s s s s

s Y s s Y s sY s Y s U

y t y t y t y t u t

s G s

s

æ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø+ + + + + +

+ + +

+ + +

= =

=

=

ß

ß

Función de Transferencia

Conversión de Funciones de Transferencia con un términoconstante en el numerador (sin ceros)

Ecuación Diferencial

2) Se eligen como n variables de fase (variables de estado).

1 1 2

2 2 3

3 3 3 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )24

x t y t x t x t

x t y t x t x t

x t y t x t x t x t x t u t

= == == =- - - +

3) Se reescriben las ecuaciones de manera vectorial-matricial.

Ecuaciones en Variables de Fase1 1 2

2 2 3

3 3 3 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )24

x t y t x t x t

x t y t x t x t

x t y t x t x t x t x t u t

= == == =- - - +

1 1

2 2

3 3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 24 26 9 ( ) 24

( ) ( )

x t x t

x t x t u t

x t x t

BAx t x t

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú- - -ê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û

4) Se construye la ecuación de salida y se reescribe de manera vectorial-matricial.

1

2

3

( )

( ) 1 0 0 ( )

( )

( )

x t

y t x t

x tC

x t

é ùê úê úé ù= ê ú ê úë û ê úê úë û

( ) ( ) ( )y t Cx t Du t= +Ecuación de salida

Ecuación de estados vectorial-matricial( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t= +

3 2( )

9 26 24

24 ( )Y s Us s s

sæ ö÷ç ÷ç ÷÷çè ø+ + +

=

1 1

2 2

3 3

1

2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 24 26 9 ( ) 24

( )

( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t x t

x t

y t x t

x t

ìé ù é ù é ù é ùïïê ú ê ú ê ú ê úïê ú ê ú ê ú ê úï = +ïê ú ê ú ê ú ê úïïê ú ê ú ê ú ê úï - - -ê ú ê ú ê ú ê úïïë û ë û ë û ë ûí é ùïï ê úïï ê úé ù=ï ê ú ê úï ë ûï ê úï ê úïïî ë û

Ejemplo:

Conversión de Funciones de Transferencia con un polinomioen el numerador (con ceros)En este caso la ecuación diferencial original tiene términos conlas derivadas de u(t). El numerador y denominador de la funciónde transferencia deben manejarse por separado. Se separa lafunción de transferencia original en dos funciones detransferencia conectadas en serie o cascada, como indica lafigura.

La primera función de transferencia es el caso anterior(Función de Transferencia con un término constante en elnumerador), cuya salida coincide con X1(t) como se indica lafigura.

1 3 22 1 0

1( ) ( )X s U

s a s a s as

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + + +è ø=

El modelo en el espacio de estados (Representación de lasVariables de Fase) es:

Conversión de Funciones de Transferencia con un polinomioen el numerador (con ceros)

1 3 22 1 0

1( ) ( )X s U

s a s a s as

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + + +è ø=

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

1 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

x t x t

x t


22 1 0 1( ) ) ( )(Y s s b s b X sb + +=

23

21 1

2 1 0 12

( )( )

( ) ( )( ) ( )

x tx t

d x t dx ty t b b x t

dtdtb + +=

0 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )y t b x t b x t b x t+ +=

La segunda función de transferencia (el numerador de la original)es:

La salida de esta segunda función de transferencia es lacombinación lineal de las variables de estado de la primera funciónde transferencia.Desde otra perspectiva, el denominador de la función detransferencia original lleva a la ecuación de estados, mientras que elnumerador lleva a la ecuación de salida.

Conversión de Funciones de Transferencia con un polinomioen el numerador (con ceros)

22 1 0

3 22 1 0

( ) ( )s b s b

Y s Rs a s a s a

bs

æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + + +è ø=

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

0 1 2 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

y t b b b x t

x t


Figura ampliada

CONVERSIÓN DE MODELOS EN ELESPACIO DE ESTADOS A

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Conversión de modelos en el Espacio de Estado a Funcionesde Transferencia

0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

Ecuaciónde Estadx t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

o

Ecuaciónde Salida


Ahora se tiene el modelo en Espacio de Estado y se quiere obtenerla Función de Transferencia G(s).

Se aplica la transformada de Laplace a las ecuaciones de estado yde salida (recordar que para funciones de transferencia no se tieneen cuenta las condiciones iniciales)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sX s AX s BU s

Y s CX s DU s

= += +

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sX s AX s BU s X s sI A BU s-= + = -

1( ) ( ) ( )Y s C sI A B D U s-é ù= - +ê úë û 1( ) ( )G s C sI A B D-= - +


Propiedad de la inversa de una matriz: Si M es una matrizcuadrada invertible, entonces:

1( )( ) ( )

( )Y s

G s C sI A B DU s

-= = - +

1 ( )adj MM

M- =

Donde adj(M) es la matriz adjunta de M que se define como latranspuesta de la matriz cofactor CM de M y |M|=det(M) es eldeterminante de M.

( 1)i jij ijc M+= -

Cada elemento cij de la matriz cofactor CM de M se define como:

( ) TMadj M C=


1 2 4 3 4 2( )

3 4 2 1 3 1T

M MM C adj M Cé ù é ù é ù- -ê ú ê ú ê ú= = = =ê ú ê ú ê ú- -ê ú ê ú ê úë û ë û ë û

1 2det( ) det 2

3 4M M

é ùê ú= = = -ê úê úë û

14 2 2 1( ) 13 1 1.5 0.52

adj MM

M-

é ù é ù- -ê ú ê ú= = - =ê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û

Ejemplo:


Aplicando la propiedad de la inversa de una matriz.

1( )( ) ( )

( )Y s

G s C sI A B DU s

-= = - +

1adj[ ]

[ ]sI A

sI AsI A

--

- =-

a la función de transferencia

Se llega a:

1adj[ ]( )

( ) ( )( )

Cadj[ ]

sI AY sG s C sI A B D C B D

U s sI AsI AB sI A D

sI A

--

= = - + = +-

- + -=

-


Los ceros de G(s) son las raíces del polinomio numerador, paraun modelo en el espacio de estados los ceros son las raíces de:

Cadj[ ]( )( )( )

( ) ( )G

G

sI AB sI A DN sY sG s

U s D s sI A

- + -= = =

-

( ) Cadj[ ]GN s sI AB sI A D= - + -

Para el caso usual D=0 los ceros son las raíces de:

( ) Cadj[ ]GN s sI AB= -


Cadj[ ]( )( )( )

( ) ( )G

G

sI ABN sY sG s

U s D s sI A

-= = =

-

( )GD s sI A= -

Los polos de G(s) son las raíces del polinomio denominador,para un modelo en el espacio de estados los ceros son lasraíces de:

( ) 0cP s sI A= - =

El denominador de la Función de transferencia igualado a cero|sI-A| = 0 es el polinomio característico del sistema.


Observación Importante: Los polos de G(s) dependensolo de la matriz A, no dependen de B ni de C. (vectoresasociados a la entrada y a la salida). En contraste, losceros de G(s) están determinados por la matriz A comoasí también por los vectores B and C. Por lo tanto, losceros de G(s) dependen de la ubicación física de lossensores y actuadores en relación con la dinámicasubyacente.

Cadj[ ]( )( )( )

( ) ( )G

G

sI ABN sY sG s

U s D s sI A

-= = =

-

Ejemplo: 1 1 1, , 0 1 , 0

0 3 2A B C D

é ù é ù- é ùê ú ê ú= = = =ê úê ú ê ú ë û-ê ú ê úë û ë ûLa función de transferencia es:

1

3 1 1[0 1]

0 1 2( ) ( )

( 1)( 3)2 2

(( 1)

( 1) 3) ( 3)

s

sG s C sI

s

s

A Bs

sss

-

é ù é ù+ê ú ê úê ú ê ú+ê ú ê úë û ë û= - =+

=+

=+ +

++


2( )

( 3)G s

s=

+

Se observa que el modelo en estado no es unarealización mínima ya que la función detransferencia es de primer orden y se tienen dosestados.

Para un sistema de tercer orden o superior, es muy laboriosocalcular la función de transferencia a partir de un modelo enel espacio de estado mediante

Cadj[ ]( )

sI ABG s

sI A

-=

-

El comando ss (state space) de Matlab crea y conviertemodelos en el espacio de estados.

Ejemplo:

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 10 10 0 , 0

0 8 4 1

A B C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û

clear;clcA=[0 1 0;0 0 1;0 ‐8 ‐4]; B=[0;0;1]; C=[10 10 0]; D=0;Gss=ss(A,B,C,D); % ss crea el modelo Gss en estadosGtf=tf(Gss) % Convierte a función de transferenciaGzpk=zpk(Gss) % Convierte al formato zpk

10 s + 10Gtf = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

3 2s + 4 s + 8s

10 (s + 1)Gzpk = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

2s (s + 4 s + 8)

Devuelve

Tambien es útil el Symbolic Toolbox de Matlab para obtenerla función de transferencia a partir de la definición ya quefacilita mucho el manejo matricial.

Cadj[ ]( )

sI ABG s

sI A

-=

-

Ejemplo:

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 10 10 0 , 0

0 8 4 1

A B C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û

clear;clcA=[0 1 0;0 0 1;0 ‐8 ‐4]; B=[0;0;1]; C=[10 10 0]; D=0;syms s; I=eye(length(A));G=(C*adjoint(s*I‐A)*B)/det(s*I‐A);G=simplify(G);disp(['G(s) = ' char(G)])pretty(G)

>> G(s) = (10*s + 10)/(s*(4*s + s^2 + 8))

10 s + 10‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

2s (s + 4 s + 8)

Devuelve

0 0

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2 ( )

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( )tx t


RCC RC RCx t x xBA

é ù é ùê úé ù é ù é ùê úê úê ú ê ú ê úê ú= +ê úæ öê ú ê ú ê úê úê ú÷çê ú ê ú ê ú÷- - +ë û ë û ë ûê úçê ú÷ç ÷ ë ûè øê úë û =

1

22

( )( ) ( ) ( ) [0 1] 0 ( )

( )

( )

x ty t v t x t u t

x tC D

x t

ìïïïïïïïïïïïíïï é ùïï ê úï = = = +ï ê úï ê úë ûïïïïî

El Symbolic Toolbox permite obtener la función detransferencia a partir de la definición en forma simbólica.Ejemplo:

clear;clcsyms R1 R2 C L s; A=[0 1/L;‐1/C ‐((1/R1)+(1/R2))/C]; B=[0;1/(R1*C)]; C=[0 1]; D=0;I=eye(length(A));G=(C*adjoint(s*I‐A)*B)/det(s*I‐A);G=simplify(G);disp(['G(s) = ' char(G)]), pretty(G)

G = L*R2*s/(R1*R2 + L*R1*s + L*R2*s + C*L*R1*R2*s^2)

L R2 sG = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

2C L R1 R2 s + L R2 s + L R1 s + R1 R2

Devuelve

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MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS EN EL ESPACIO DE …dea.unsj.edu.ar/control2/Clase07a_EE_Introduccion.pdf · Modelos de Espacio de Estado Las variables de fase no son