REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONALNÚCLEO PUERTO CABELLO

INGENIERIA MECANICA NOCTURNO

Profesor:Ing. Rafael Peña

Integrantes:Ángeles VíctorBolívar MarbelysFigueredo WilliamMarchena BernisNavas PedroQuiroz Richard

Puerto Cabello, noviembre de 2007

Figuras planas

NoNo es más que una porción del espacio es más que una porción del espacio limitada por superficies planas. Los limitada por superficies planas. Los elementos característicos que poseen los elementos característicos que poseen los poliedros son las caras, las aristas y los poliedros son las caras, las aristas y los vértices.vértices.

Las caras de un poliedro son una serie de Las caras de un poliedro son una serie de polígonos en números finitos que limitan la polígonos en números finitos que limitan la figura. figura.   

Los lados de las caras del poliedro son Los lados de las caras del poliedro son las aristas, las cuales limitan dos caras las aristas, las cuales limitan dos caras contiguas. Cada arista del poliedro, lo es a su contiguas. Cada arista del poliedro, lo es a su vez, del diedro formado por las caras vez, del diedro formado por las caras contiguas a las que pertenece dicha arista.contiguas a las que pertenece dicha arista.  

Los vértices son los de las caras. Cada Los vértices son los de las caras. Cada vértice es el punto de encuentro de tres ó vértice es el punto de encuentro de tres ó más caras del poliedro.más caras del poliedro.

Podemos decir que un poliedro es Podemos decir que un poliedro es Convexo si todo él está en el mismo Convexo si todo él está en el mismo semi espacio respecto al plano de semi espacio respecto al plano de cada una de sus caras, prolongado cada una de sus caras, prolongado indefinidamente. indefinidamente.   

Si en una sola de sus caras no se Si en una sola de sus caras no se cumple esta condición, entonces cumple esta condición, entonces estamos hablando de un poliedro estamos hablando de un poliedro Cóncavo.Cóncavo.  

La clasificación de los poliedros La clasificación de los poliedros es:es:  Poliedros regulares: es aquel cuyas Poliedros regulares: es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. concurren el mismo número de caras. Solo existen cinco tipos de poliedros Solo existen cinco tipos de poliedros regulares:regulares:

El tetraedroEl tetraedro: Cuatro caras : Cuatro caras triangulares, que concurren tres en cada triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene cuatro vértice y seis aristas. vértice. Tiene cuatro vértice y seis aristas. Es el más sencillo de todos los poliedros, Es el más sencillo de todos los poliedros, puesto que con tres planos no se puede puesto que con tres planos no se puede cerrar ningún espacio. Sus ángulos cerrar ningún espacio. Sus ángulos poliedros son todos triedros cuyas caras poliedros son todos triedros cuyas caras miden 60º, y la perpendicular trazada miden 60º, y la perpendicular trazada desde un vértice a la cara opuesta pasa por desde un vértice a la cara opuesta pasa por el centro de ella.el centro de ella.

El Cubo El Cubo (exaedro): Seis caras (exaedro): Seis caras cuadradas, que concurren tres en cada cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene ocho vértice y doce aristas. vértice. Tiene ocho vértice y doce aristas. Sus caras contiguas son perpendiculares y Sus caras contiguas son perpendiculares y sus diedros. Por tanto, rectos. Las caras sus diedros. Por tanto, rectos. Las caras opuestas son paralelas.opuestas son paralelas.

El OctaedroEl Octaedro: Ocho caras : Ocho caras triangulares, que concurren cuatro en triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene seis vértice y doce cada vértice. Tiene seis vértice y doce aristas. Las cuatro caras de sus ángulos aristas. Las cuatro caras de sus ángulos poliedros miden 60º y sus tres poliedros miden 60º y sus tres diagonales, son perpendiculares entre sí. diagonales, son perpendiculares entre sí. Las aristas opuestas, son iguales y Las aristas opuestas, son iguales y paralelas, y sus extremos son los paralelas, y sus extremos son los vértices de un cuadrado.vértices de un cuadrado.

El DodecaedroEl Dodecaedro: doce caras : doce caras pentagonales regulares, que pentagonales regulares, que concurren en cada vértice. Tiene concurren en cada vértice. Tiene veinte vértice y treinta aristasveinte vértice y treinta aristas

El Icosaedro: Veinte caras triangulares que El Icosaedro: Veinte caras triangulares que concurren cinco en cada vértice. Tiene doce concurren cinco en cada vértice. Tiene doce vértices y treinta aristas. Las cinco caras de vértices y treinta aristas. Las cinco caras de sus ángulos poliedros miden 60º.sus ángulos poliedros miden 60º.

Se puede trazar una esfera fuera del poliedro Se puede trazar una esfera fuera del poliedro regular, en la que, su centro coincida con el regular, en la que, su centro coincida con el centro del poliedro circunscrito, siendo dicho centro del poliedro circunscrito, siendo dicho centro el punto de centro el punto de intersecciónintersección de las de las perpendiculares a las caras trazadas por el perpendiculares a las caras trazadas por el centro de estas.centro de estas.

EL PRISMA

El prisma es aquel que está compuesto por caras laterales rectangulares y bases con forma de triángulo, pentágono, hexágono ó cuadrado. En el caso de que sus caras también sean cuadradas, estaríamos hablando de un Cubo.  Se puede decir que el prisma es un poliedro, el cual se encuentra limitado por una superficie prismática y dos planos secantes paralelos. La distancia entre los planos a las bases de un prisma se llama Altura. Existen cuatro tipos diferentes de prisma tales como lo son el prisma Oblicuo, recto, Regular y el paralelepípedo que es aquel cuyas bases son paralelogramos. En el desarrollo de un prisma podemos decir que la superficie lateral del mismo puede extenderse sobre un plano, del cual obtendremos una figura plana, que es el desarrollo del prisma. Por saber que sus caras laterales son paralelogramos, el desarrollo tendrá como resultado una figura formada por muchos paralelogramos como caras laterales tenga el prisma.

PRISMA RECTO Si se trata más bien, del desarrollo de un prisma recto, las caras son rectángulos y el desarrollo será por tanto, un rectángulo. Para conseguirlo solo se debe tomar sobre una recta cualquiera de longitudes iguales, respectivamente, a los lados de la base del prisma y por los puntos de división, y en dirección perpendicular a la recta que los une, llevar longitudes iguales a la arista del prisma. El rectángulo total es el desarrollo de la superficie prismática.

   

PRISMA Y UN PLANO DE CANTO

 Para conseguir la traza que  deja un plano de canto y un prisma se debe tener en cuenta que un plano de canto es aquel que es totalmente perpendicular a la línea de tierra y paralelo al plano lateral de proyección, y se procede llevando líneas desde cada una de las aristas laterales del prisma hasta su corte con al traza  que deja  Vα,  estos  puntos  de  corte  que  referidos  a  la  proyección    horizontal  de  las  aristas      nos  dan  las proyecciones A1, B1,C1,D1 y E1 las cuales nos dan los vértices del polígono sección. 

Prisma y Recta

r2s2

s1

c1r1

Hs

c2

h A1 M1

B1

N1

A2

M2N2

B2Hr

Hemos representado en la figura las intersecciones de la recta r1-r2 con un prisma oblicuo. Se traza una recta que pase por un punto cualquiera en este caso C1 y trazamos una recta paralela a las arista del prisma que parta de ese punto y corte a la traza hα. Las trazas horizontales de r y s, determinan la traza hα del plano auxiliar, que corta en A1 y B1 a la base del prisma. Trazando paralelas por estos puntos a la proyección vertical r2 vamos a obtener las debidas proyecciones verticales de los puntos buscados.

PirámidePoliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican

Representación de una pirámide

Sección plana de un prismaPara hallar la sección que un plano cualquiera produce en un prisma, basta hallar la intersección con dicho plano de todas las aristas laterales del prisma, siendo estas intersecciones los vértices de la polígona sección. Esto se aprecia mejor en la figura que se presenta.

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.. .

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Sección plana de la pirámide

    El cono

     Es una superficie radiada, que se engendra al hacer girar una recta g llamada generatriz sobre una curva  d denominada directriz pasando siempre por un mismo punto v llamado vértice. Si el cono tiene base circular, se  denomina  cono  circular.  Si  el  cono  tiene  eje  perpendicular  a  la  base  se  denomina  cono  recto  de  lo contrario se llamara cono oblicuo.           Para  tener  una  correcta  representación  del  cono  se  deben  indicar  y  realizar  correctamente  las proyecciones  de  dicho  cono,  señalando  su  base  y  el  vértice.  Además  se  deben  determinar  los  contornos aparentes, es decir las partes vistas y las ocultas. 

   

Corte de una Recta con un cono. 

Dado una recta r y un cono, el plano α estará determinado por el vértice del cono y por la recta r.  Para hallar la intersección con el cono debemos determinar las generatrices VA y VB.  También notamos que  los puntos M y N se encuentran al interceptar la recta r con las generatrices VA y VB.

Para hallar la generatriz Va y VB, se debe determinar una traza Tα, así pues donde esta corta a la base del cono, se podrá hallar a los puntos A y B, por medio de los cuales luego se podrá hallar a la generatriz. 

   

Aplicación al Diedro de una recta que corta a un cono.  

Dada la figura donde vemos al cono y a la recta r-r, si quisiéramos hallar a los puntos de intersección M y N, debemos encontrar la traza Hr, de la recta dada y la D-D de la recta determinada por el vértice y cualquier punto C-C que pertenezca a R-R. En estas trazas determinan la traza horizontal Hα, así pues encontramos los cortes con la base del cono en los puntos A y B, de esta manera se trazan las generatrices VA y VB. Y donde estas se cortan con las rectas dadas, se encontrarán a los puntos N-N y M-M 

Plano tangente que pase por un punto exterior.Como todo plano tangente al cono ha de pasar por su vértice V (fig.

15.5) deberá contener a los puntos V y P, luego pasará por VP y como, además, su traza con el plano de la base del cono debe ser tangente a ésta, se deduce la siguiente construcción:  

Hallar la traza T de la recta VP (determinada por el punto P y el vértice y), con el plano de la base del cono. Trazar, desde T, las tangentes t1 y t2 a la base del cono determinando los puntos de tangencia A y B y las generatrices g2 y g1 de contacto. Los planos pedidos son los determinados por VP y las tangentes t1 y t2.

Plano tangente paralelo a una recta. 

Basta trazar por el vértice V (fig. 15.5) una recta VT, paralela a la D, dada, reduciéndose este problema al anterior, puesto que todo plano que pase por VT es paralelo a la dirección dada D. Plano tangente a dos conos del mismo vértice y bases coplanarias. 

Basta trazar las tangentes comunes a las bases de los conos, que en el caso de la figura son cuatro, AB, CD, EF y GH (fig. 15.6). Los planos pedidos son los determinados por el vértice común V y cada una de las tangentes citadas. Según la posición de las bases, el problema podrá tener de cero a cuatro soluciones.   Un caso de aplicación inmediata de este problema es el de trazar un plano tangente a un cono y que forme un ángulo determinado con una recta dada o con un plano dado, o el de trazar un plan tangente común a un cono y a una esfera.

Cilindro

Cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases.

Cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.

Cilindro de revolución: si está limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su vez ser:

Cilindro de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases.

Cilindro de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases.

Representación de una superficie cilíndrica

Proyecciones de la directriz y la dirección común de las generatrices.

Proyecciones de las bases y la dirección de las generatrices

Una base y la dirección y longitud de la generatriz.

Plano tangente

Para hallar el plano tangente a un cilindro, por un punto dado D de su superficie, se traza la generatriz CB que pasa por dicho punto, y corta a la base en B. esta generatriz y la tangente BH a la circunferencia de la base en B, nos determina el plano tangente α que buscamos.