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Este trabalho tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria, procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia.
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O presente trabalho foi realizado pelas alunas Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e Marcia Cristina de Sá Sousa, sob a orientação da professora Rosangela Figueira Dornas, e tem por finalidade propor uma forma de ensino da trigonometria, procurando enfatizar sua aplicação na resolução de problemas do dia a dia e utilizando recursos tecnológicos como ferramenta de apoio.
Rio de Janeiro, 15 de junho de 2009.
Dupla: Cristiane Teixeira Maciel Barreiras e
Marcia Cristina de Sá Sousa.
Nome da Dupla: Trigonometria na escola, no trabalho e em todo lugar.
Os primeiros trabalhos elementares, envolvendo conceitos trigonométricos, foram desenvolvidos pelos babilônios e antigos egípcios, que realizavam estudos e cálculos relativos a fenômenos astronômicos e geográficos, como a determinação de eclipses, fases da lua, distâncias inacessíveis e rotas de navegação.
Hoje em dia, a Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo, na topografia, astronomia, agrimensura, física, entre outras áreas.
Maisaplicações
Triângulos e
tabelas
Construções
R. e C.AnexosHistórico Aplicações
HistóricoHistórico O termo “trigonometria”, criado em 1595, pelo
matemático alemão Bartolomeu Pitiscus (1561-1613), deriva das palavras gregas “trigono” e “metria” e foi usado pela primeira vez em seu livro Thesaurus Mathematicus, como sendo a ciência da resolução de triângulos.
Deve-se aos babilônios a divisão da circunferência, ainda, hoje em uso, ou seja, dividida em graus, minutos e segundos.
HistóricoHistórico Entre os gregos, também é possível encontrar
trabalhos ligados à Astronomia. Nesses trabalhos aparecem conceitos trigonométricos, como, por exemplo, a expressão 1/2 < sen 30º < 1/18, usada no trabalho denominado “Das grandezas e das distâncias ao Sol e à Lua”. O autor deste trabalho é Aristarco de Samos (310 a 250 a.C.).
É atribuído a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), por muitos considerado o “Pai da Astronomia”, o estabelecimento das “bases da Trigonometria”, bem como a construção das primeiras “tabelas trigonométricas”.
HistóricoHistórico Ptolomeu (85 a 165 d.C.) inspirando-se no
trabalho de Hiparco e ampliando-o, escreve uma obra intitulada “Sintaxe matemática”, resultando num “tratado sobre a Trigonometria.
Inicialmente considerada uma extensão da Geometria, com o trabalho do árabe Nasir Edin (1201-1274), a Trigonometria recebe um tratamento independente.
HistóricoHistórico Até o século XII, os trabalhos sobre Trigonometria
eram relacionados à Astronomia. Entre os árabes, destacam-se as contribuições de Abulwafa (940-998), do observatório de Bagdá, que construiu tábuas de senos e tangentes, com relativa precisão.
No século XII. Fibonacci escreveu à obra “Practica Geometriae” (1220), apresentando importantes aplicações de Trigonometria. São aplicações que havia aprendido em contatos feitos com árabes e hindus.
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LARGURA DO RIO
ALTURA DO PRÉDIO
SOMBRA DE UMA ÁRVORE
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Aplicação 1 - LARGURA DO RIO
Na figura, temos a ilustração do trecho de um rio. De acordo com as informações indicadas, qual a largura do rio neste trecho?
Aplicação 2 Aplicação 3
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Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO
Aplicação 3Aplicação 1
(Esam-RN) Um observador de 1,80 metro de altura a 100 m de distância da base de um prédio vê o topo desse prédio sob um ângulo de 30º com a horizontal, conforme mostra a figura. Sabendo que os olhos do observador estão a 1,70 m do solo, qual é aproximadamente a altura h do prédio?
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Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE
Aplicação 1 Aplicação 2
Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o Sol esta 30º acima do horizonte?
Mais aplicaçõesMais aplicações
TEODOLITO
O teodolito é um instrumento de medir ângulos usado, geralmente, por agrimensores e construtores para calcular grandes distâncias ou alturas inacessíveis. À primeira vista, parece com uma máquina fotográfica montada sobre um tripé, e a pessoa que usa esse instrumento carrega sempre uma trena. Pra efetuar essas medidas, o agrimensor utiliza-se do conceito de tangente de um ângulo agudo.
Mais aplicaçõesMais aplicaçõesConstrução de um teodolito
Material:- pedaço de papelão grosso (o melhor é aquele que é
ondulado por dentro) de aproximadamente 10 cm x 15 cm;- um pedaço de barbante de aproximadamente 20 cm;- um canudo de plástico;- um peso de linha de pesca ou moeda ou uma argola de metal;- um desenho ou cópia xerográfica de um transferidor de 180º;- fita adesiva;- cola.
Mais aplicaçõesMais aplicaçõesConstrução de um teodolito (continuação)
Como construir:Usando a fita adesiva, prenda o canudo na borda do papelão.Cole o desenho do transferidor logo abaixo do canudo.Amarre o peso numa extremidade do barbante.Com cuidado, faça um pequeno furo, transpassando o
papelão, bem no encontro da linha de fé do transferidor com a linha que marca 90º.
Passe por esse furo a outra extremidade do barbante, deixando o restante no mesmo lado onde está o transferidor e dê um nó bem firme.
Mais aplicaçõesMais aplicações
O teodolito construído é semelhante ao da imagem abaixo.
Mais aplicaçõesMais aplicaçõesComo efetuar a medição utilizando o teodolito:
Agora, vamos experimentar o teodolito para realizar cálculos de grandes alturas. Para isso, necessitamos de uma trena (ou de fita métrica ou metro de carpinteiro).
Afaste-se de um poste de iluminação, meça sua distância até ele e anote (cateto adjacente). Olhe pelo orifício do canudo até enxergar o topo do poste. A altura do poste corresponderá ao cateto oposto.
Segure o barbante com o peso na posição em que ele parou. Anote a medida do ângulo determinado pelo barbante(na posição horizontal, o ângulo marcado é de 90º).
Mais aplicaçõesMais aplicações
Como efetuar a medição utilizando o teodolito (continuação):
Procure, na tabela de razões trigonométricas, a tangente do seu ângulo de visão. Essa tangente será a razão entre a altura do poste, vista pelo observador, e a distância desse observador até o poste. Para saber a altura do poste devemos acrescentar a altura do observador(do chão até seus olhos) à altura vista por ele.
Realize os cálculos e determine a altura do poste. Não se esqueça de somar a distância entre o chão e os seus olhos na altura que você determinou.
Mais aplicaçõesMais aplicaçõesAgora resolva:
1) Paulo, treinando o uso de um teodolito semelhante ao que você construiu, observa uma torre. Calcule a altura da torre, sabendo que o ângulo de visão de Paulo ao topo dessa torre é de 45º, que ele está a 3,5 m dela e que seus olhos estão a 1,25 m do chão. 2) Paulo, ainda treinando o uso de seu teodolito, observou o topo de um poste de 7 m, sob um ângulo de visão de 15º. Qual é a distância aproximada de Paulo até o poste?
Faça outras experiências semelhantes a esta e procure calcular distâncias a partir de algum objeto do qual você conhece a altura.
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Triângulos e TabelasTriângulos e Tabelas
Associação entre os triângulos retângulos e as tabelas trigonométricas.
Cálculo das razões trigonométricas
Os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo são encontrados em tabelas próprias para isso. Vejamos um exemplo em que precisamos consultar essa tabela (veja o Anexo 3).
Os centros da roda de uma bicicleta estão a uma distância PQ de 100 cm.
O raio PA da roda traseira (a menor) mede 24 cm e raio QB da roda maior mede 40 cm.
Observe o esquema dessa situação:
Triângulos e TabelasTriângulos e Tabelas
Resolução:
Esses triângulos são proporcionais, ou seja: AO/OB=OP/OQ=AP/BQ
Usando as duas últimas razões, temos:
x/(2,90846 + x) = 1,60119/3,00498
3,00498x = 4,656997 + 1,60119x
x = 3,3174456
Pela figura, temos: sen Ô =1,60119/3,3174456 sen Ô = 0,4826575
Consultando a tabela de razões trigonométricas, encontramos Ô = 29º.
Triângulos e TabelasTriângulos e Tabelas
Para alguns ângulos, os valores podem ser determinados facilmente, conforme veremos em seguida.
Ângulo de 45º
Consideremos um quadrado cujo lado mede a.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, obtemos a medida d da diagonal desse quadrado:
Note que esses valores não dependem do valor de a.
Triângulos e TabelasTriângulos e Tabelas Ângulo de 60º
Consideremos um triângulo eqüilátero cujo lado mede a.
Como o triângulo é equilátero,cada um de seus ângulos
internos mede 60º e a altura CH é também mediana do
segmento AB e bissetriz do ângulo C.
A medida da altura (h) é achada aplicando-se o teorema
de Pitágoras no triângulo retângulo AHC:
Novamente, obtivemos valores quenão dependem do valor de a.
Triângulos e TabelasTriângulos e Tabelas Ângulo de 30º
Outra vez, obtivemos valores quenão dependem do valor de a.
Em todos os casos, observamos que os resultados só dependem dos ângulos e não da medida dos lados da figura.A tabela abaixo apresenta um resumo dos valores encontrados.
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BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática: ensino médio. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2004.v.1. CARDOSO, Adriano Sumar. Trigonometria: Tabela Trigonométrica. Disponível em: <http://profdrico.sites.uol.com.br/trigono2.html#c >. Acesso em: 13 jun. 2009.
DOLCE, O., POMPEO, J. N. (1993) Fundamentos de Matemática Elementar 9 – Geometria Plana - 7ª Ed. São Paulo: Atual. EDUMATEC – Educação Matemática e Tecnologia Informática. Winplot – Software de Funções. Disponível em:http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/softwares/soft_funcoes.php. Acesso em: 11 jun. 2009.
LOPES, Alice K. T. e outros (2006). Matemática– 2ª Ed. Paraná: SEED- PR. PAIVA, MANOEL (1999) Coleção base: matemática (ensino médio): volume único - 1ª Ed. São Paulo: Moderna. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. Régua e Compasso: Software de Geometria Dinâmica Gratuito. Disponível em: < http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/ > . Acesso em: 11 jun. 2009.
Anexo 1 - Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho.
Anexo 2 - Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso.
Anexo 3 - Tabela trigonométrica.
Anexo 4 - Resoluções das atividades.
Anexo 5 - Atividades utilizando o software Winplot
Profissionais que utilizam a trigonometria em seu trabalho.
A Trigonometria não se limita a estudar somente triângulos, suas aplicações abrangem outros campos de atividades como, por exemplo:- na Engenharia: construção de pontes sobre rios, envolvida com o conceito de proporcionalidade;- na Astronomia: cálculo da distância da Terra à Lua, da Terra ao Sol e do diâmetro da Terra, usando-se observações e cálculos trigonométricos;- na Agrimensura: arte de medir os campos, as terras;- na Física : estudo de deslocamento.
Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso.
Situação problema: Na entrada de uma loja será construída uma rampa de acesso de pessoas portadoras de deficiência física, como mostra a ilustração abaixo. A rampa deverá ser construída no final da terceira porta com 8,5 m de extensão. Altura a ser atingida é de 0,8 m. Qual deverá ser a medida do ângulo de inclinação da rampa em relação ao solo?
Arquiteto – Construção de uma rampa de acesso. (continuação)
Resolução:Ao observarmos a rampa, percebemos que temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 8,5 m e cateto oposto ao ângulo igual a 0,8 m. Logo, devemos aplicar a razão trigonométrica seno.
Assim, temos: sen = medida do cateto oposto a /medida da hipotenusa sen = 0,8/ 8,5 = aproximadamente 0,0941 Ao observamos a tabela trigonométrica no seno, temos:0,0941 entre: 0,0872 < sen < 0,1045
Logo: 5º< < 6º
Tabela trigonométricaPodemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos entre 1o e 89o.
Tabela trigonométrica (continuação)
Resoluções de atividades - Aplicações Aplicação 1 – LARGURA DO RIO
tg 55º = (x + 8,5) / 35
1,428148 = (x + 8,5) / 35
x + 8,5 = 49,98518
x = 41,485 m
Logo, a largura do rio é 41,485 m.
Aplicação 2 – ALTURA DO PRÉDIO
tg 30º = x / 100
0,57735 = x / 100
x = 57,7 = aproximadamente 58
h = x + 1,70 h = 58 + 1,70 = 59,7 m.
Logo, a altura do prédio é 59,7 m.
Resoluções de atividades - Aplicações (continuação):
Aplicação 3 – SOMBRA DE UMA ÁRVORE
tg 30º = 5 / x
0,57735 = 5 / x
x = 5 / 0,57735
x = 8,67 m Logo, o comprimento da sombra é 8,67 m.
Resoluções de atividades - Mais aplicações
1) tg 45º = x / 3,5 1 = x / 3,5 x = 3,5 Logo, a altura da torre é (3,5 + 1,25) m, ou seja, 4,75 m.
2) tg 15º = 5,75 / xx = 5,75 / tg 15ºx = 5,75 / 0,2679 = aproximadamente 21,5.Logo, Paulo está aproximadamente 21,5 m do posto.
Atividades, utilizando o software Winplot, que levam os alunos a verificar o gráfico das funções sen, cos e tg com variação de constantes e parâmetros
Gráfico da função y = sen x
Atividade 1:a) Utilize o software Winplot para construir a função y = sen x.b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y =sen x. c) Qual o período dessa função?
Atividade 2:a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 sen x.b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y =2 sen x. c) Qual o período dessa função?d) O que acontece com a função y = sen x quando acrescentamos o parâmetro 2 na função?
Gráfico da função y = cos x
Atividade 1:a) Utilize o software Winplot para construir a função y = cos x.b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = cos x. c) Qual o período dessa função?
Atividade 2:a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 3 cos x.b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 3 cos x. c) Qual o período dessa função?d) O que acontece com a função y = cos x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?
Gráfico da função y = tg x
Atividade 1:a) Utilize o software Winplot para construir a função y = tg x.b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = tg x. c) Qual o período dessa função?
Atividade 2:a) Utilize o software Winplot para construir a função y = 2 tg x.b) Determine o conjunto domínio e imagem da função y = 2 tg x. c) Qual o período dessa função?d) O que acontece com a função y = tg x quando acrescentamos o parâmetro 3 na função?