TRIGONOMETRIA

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Tópicos deHISTÓRIA DA MATEMÁTICA para uso em sala de aula

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Andressa Cerqueira

Beatriz Suzana Levin

Jéferson Alves

Renata Cruz Pissardo

Apresentação do livro:

Ѻ Livro elaborado por: National Council of Teachers os Mathematics – dos

Estados Unidos da América

Ѻ Tem por proposta:

Criação de um texto que independesse de pré-requisitos específicos

Inclusão de assuntos significativos para todos os níveis escolares

Fornecimento de material com possibilidade de uso imediato em sala de aula

Possibilidade de servir de motivação

Possibilidade de servir de referência

Estrutura do livro:

Ѻ Introdução: visão geral – Edward S. Kennedy

Ѻ Cápsula 1: O almagesto de Ptolomeu – Larry Mossburg

Ѻ Cápsula 2: Ângulo – Jerry W. Shereves

Ѻ Cápsula 3: Ângulos retos – Donald L.Reinknd

Ѻ Cápsula 4: Medida angular – Philip S. Jones

Ѻ Cápsula 5: Seno e co-seno – Roger D. Lowe e Cynthia Schanck

Ѻ Cápsula 6: Tangente e co-tangente – Ruth Anne Miler

Ѻ Cápsula 7: Identidades trigonométrias – Eleanor Hayes

Visão Geral:

Astronomia

Trigonometria Sombra “Gnomom” Sombra e sombra reversa

Função Corda [Mediterrâneo] Seno [Índia]

Seno reverso

ACosseno

Visão Geral:

A Tábuas Sexagesimais Trigonometria Genuína [Síria e Ásia Central]

[Europa] Substituição de regras verbais por símbolos

Cálculo Infinitesimal Fim da trigonometria como ramo independente da Matemática

Tábuas de sombra:

Ѻ Tábuas de sombra estendida:

Sombra do gnômon projetada no solo.

θSombra projetada

Co

mp

rime

nto

do

gn

ôm

on

θ

θ

gn

ôm

on

Sombracotg

Hoje:

Tábuas de sombra:

Ѻ Tábuas de sombra reversa:

Sombra projetada por um gnômon horizontal

θ

So

mb

ra p

roje

tad

a

Comprimento do gnômon

θgnômon

So

mb

ra

tg

Hoje:

Função Corda:

Ѻ Corda:

Latim – Chorda (corda de arco)

Grego – Chorde (intestino de um animal)

Ѻ Estudado pelos gregos antes da era cristã

Ѻ Teon de Alexandria(390 d.C.) mencionou que Hiparco (140 a.C.) havia

escrito doze livros sobre cálculo de cordas, incluindo uma tábua de cordas

θ

A

B

60

crd θ

Função Seno:

Ѻ Seno:

Indus: jya, uma das grafias da palavra corda

Árabes: jyb lida incorretamente como jayb que significa bolso, golfo ou seio

Latin: Sinus, tradução em latim do árabe

Ѻ Surgiu quando pensou-se em calcular metade da corda de um arco duplo

Ѻ Tábuas mais antigas foram descobertas na Índia, onde se originaram

Ѻ 500 d.C. – matemático hindu Aryabhata já calculava semi-cordas.

Sen(θ/2)

θ/2

A

B

60

Função Seno:

Ѻ Algum tempo depois os matemáticos

hindus calculavam tabuas de seno e

seno reverso (R-cos θ)

Ѻ Rheticus (1550) foi o primeiro europeu que usou as funções trigonométricas

como razões entre os lados de um triângulo retângulo

Ѻ Edmund Gunter (1620): termo co-seno para o complemento do seno de um

ângulo

Analemas:

Ѻ Método geométrico descritivo que visa acomodar em um único plano uma

esfera

Ѻ Projeção Estereográfica: provavelmente foi inventada por Hiparco.

Ѻ Figura plana que pode ser resolvida por

tábuas de sombras e pela função corda.

Ѻ Planisphaerium e Analemma, ambos

de Ptolomeu.

O Almagesto de Ptolomeu:

Ѻ Almagesto: magiste (o maior) + al = Al-magest Almagesto (13 livros)

Ѻ A circunferência era dividida em 360 partes (graus) diâmetro dividido em

120 porções divididas em 60 partes (minutae primae) divididas em 60

partes (minutae secundae). Daí os termos minuto e segundo.

Ѻ A Tábua de Cordas de Ptolomeu fornece a medida das cordas, de meio em

meio grau, de 0,5º a 180º.

Ѻ Teorema de Ptolomeu:

AD . BC = AC . BD – AB . CD sen(U – V) = senU cosV – senV cosU

Ѻ Maior contribuição: promoção da ideia de que uma descrição matemática

dos fenômenos naturais é desejável e possível.

Ângulo:

Ѻ Euclides: “Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num

plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento”. Ângulo raso é

“retilíneo”, cujos lados estão na mesma linha reta.

Ѻ O ângulo é uma quantidade, uma qualidade ou uma relação? (Aristóteles).

Proclus diz que é uma combinação dos três.

Ѻ H. Schotten sumariou as definições de ângulos: diferença de direção entre

duas linhas retas, medida de rotação e a porção do plano contida “entre” as

duas retas que definem o ângulo.

Ѻ Pierre Herigone: usava < e para representar ângulos. Em 1923 o “National

Commitee on Mathematical Requirements”, recomendou como padrão.

Ângulos Retos:

Ѻ Os antigos mediam altura de um objeto colocando uma vara em ângulo reto

com o horizonte e comparando as sombras projetadas.

Ѻ Euclides deu uma definição em Elementos e mais adiante enunciou o quarto

postulado.

Ѻ O ângulo reto foi usado como padrão para medir outros ângulos. “Ângulo

Agudo” e “Ângulo Obtuso” respectivamente menor e maior que um ângulo reto.

Ѻ Hilbert (1899): enunciou seis axiomas de congruência de triângulos e

ângulos e posteriormente provou que todos os ângulos retos são iguais.

Medida Angular:

Ѻ Os Babilônios antigos desenvolveram um sistema numérico de base 60.

Ѻ A civilização grega absorveu parcialmente a cultura babilônica. Hipísiles foi o

primeiro astrônomo grego a dividir o circulo do zodíaco em 360 partes.

Ѻ Ptolomeu fez uso genérico das frações sexagesimais em seus cálculos.

Ѻ Thomas Muir e James T. Thomson consideravam a necessidade de uma

nova unidade angular, o radian (radiano).

Ѻ Oliver, Wait e Jones discutiram a expressão de ângulos em termos de “ “. As

razões estavam ligadas na simplificação de fórmulas matemáticas e físicas.

Ѻ “Mil verdadeiro” = ângulo central cujo arco mede 0,001; “Mil” = usado pelo

Exército dos Estados Unidos.

Livro apresentado:

Dados de Catalogação na publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Kennedy, Edward S.História da trigonometria / Edward S. Kennedy;

trad. Hygino H. Domingues – São Paulo : Atual, 1992 – (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula; v. 5)

BibliografiaISBN 85-7056-455-4

1. Matemática (2º grau) 2. Matemática – História 3. Trigonometria – História I. Título. II. Série.