Presentation of my Master's Thesis

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    04-Jul-2015

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Diferences between minimum distance and the distance of closest approach between two ellipses or ellipsoids.

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  • 1. Distancia entre dos elipsesDistancia closest-approachClosed formulae for distance functionsinvolving ellipsesFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipsesGema R. Quintana Portilla Tesis del Mster en Matemticas y ComputacinDirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-VegaCurso 2008-2009Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09

2. Distancia entre dos elipsesDistancia closest-approachObjetivoEstudiaremos dos problemas relacionados con la obtencin defrmulas cerradas para la determinacin de la funcin distanciaentre objetos denidos por ecuaciones de grado bajo:Determinacin de una frmula cerrada para el clculo dela distancia mnima entre dos elipsesDeterminacin de una frmula cerrada para el clculo dela denominada closest approach entre dos elipses oelipsoidesAmbos problemas son de gran inters en el mbito delmodelado geomtrico y en CAGDFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 3. Distancia entre dos elipsesDistancia closest-approachndice1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximacinEjemploTrabajo futuro2 Distancia closest-approachProblemaDistancia de closest approach de dos elipsesDistancia de closest approach de dos elipsoidesTrabajo futuroFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 4. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futurondice1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximacinEjemploTrabajo futuro2 Distancia closest-approachProblemaDistancia de closest approach de dos elipsesDistancia de closest approach de dos elipsoidesTrabajo futuroFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 5. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroIntroduccinQueremos calcular la distancia entre dos elipses coplanariasLa distancia mnima entre un punto y una elipse es un nmeroreal positivo: buscamos obtenerlo como la raz real de unpolinomioEsta forma de caracterizar la distancia es independiente de losllamados footpoints y proporciona la distancia de formadirecta, pudiendo ser usada para analizar el caso dinmicoFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 6. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroAplicacionesEl clculo de la mnima distancia entre dos elipses es unproblema fundamental en varios campos:Deteccin de colisiones en robticaAnlisis de interferencias en CAD/CAMInteracciones en Realidad VirtualJuegos de ordenadorAnlisis de rbitas (elipses no coplanarias)Interferencias entre molculas en fsica computacional yqumica...Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 7. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroTrabajos previosI. Z. E MIRIS , E. T SIGARIDAS , G. M. T ZOUMAS . Thepredicates for the Voronoi diagram of ellipses. Proc. ACMSymp. Comput. Geom., 2006I. Z. E MIRIS , G. M. T ZOUMAS . A Real-time and ExactImplementation of the predicates for the Voronoi Diagramfor parametric ellipses. Proc. ACM Symp. Solid PhysicalModelling, 2007C. L ENNERZ , E. S CHMER . Efcient DistanceComputation for Quadratic Curves and Surfaces.Geometric Modelling and Processing Proceedings, 2002Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 8. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroTrabajos previosJ.-K. S EONG , D. E. J OHNSON , E. C OHEN . A HigherDimensional Formulation for Robust and InteractiveDistance Queries. Proc. ACM Solid and PhysicalModeling, 2006K.A. S OHN , B. J TTLER , M.S. K IM , W. WANG .Computing the Distance Between Two Surfaces via LineGeometry. Proc. Tenth Pacic Conference on ComputerGraphics and Applications, 236-245, IEEE Press, 2002Aspecto comn: el problema se resuelve previo clculo de losfootpointsFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 9. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroNuestra aproximacinEl clculo de la distancia mnima no depende de losfootpoints. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distanciaParmetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinacin de los mismosFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 10. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroNuestra aproximacinEl clculo de la distancia mnima no depende de losfootpoints. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distanciaParmetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinacin de los mismosAlguna ventaja?Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 11. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroNuestra aproximacinEl clculo de la distancia mnima no depende de losfootpoints. Estudiamos el problema analizando el polinomiounivariado asociado a la distanciaParmetros del problema: coordenadas del centro, longitud delos ejes, inclinacin de los mismosAlguna ventaja?La distancia se comporta de forma continua, mientras que losfootpoints noFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 12. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseSean las ecuaciones paramtricas de la elipse 0 :x = a cos t, y = b sin t, t [0, 2)Construyamos la funcin fd cuyo mnimo positivo, d, nosproporcione el cuadrado de la distancia entre el punto (x0 , y0 ) yla elipse: fd := (x0 a cos t)2 + (y0 b sin t)2 dFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 13. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseQueremos resolver el sistema: fd (t) = 0fd(t)=0 tFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 14. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseQueremos resolver el sistema: fd (t) = 0fd(t)=0 t Hay dos posibilidades para el cambio de variable:racionalcomplejoFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 15. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseCambio de variable racional:1t2 cos t =1+t2 2t sin t =1+t2 Desventaja: ms complicadoFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 16. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseCambio de variable racional:1t2 cos t =1+t2 2t sin t =1+t2 Desventaja: ms complicadoFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 17. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipse1Como z = cos t + i sin t, z = z , luego podemos usar el cambio:1z zsin t =2i 1z+ z cos t = 2Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 18. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseEl nuevo sistema resulta: (b a)z 4 + 2(x0 a iy0 b)z 3 2(x0 a + iy0 b)z + a b = 0(b a)z 4 4(x0 a iy0 b)z 3 2(2(x2 + y0 d))z 2 + 0 2+4(x0 a + iy0 b)z + b a = 0Usando resultantes eliminamos la veriable zFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 19. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia punto-elipseTeoremaSi d0 es la distancia del punto (x0 , y0a la elipse 0 con centro) (0, 0) y semiejes de longitudes a y b entonces d = d2 es la0[x0 ,y ]menor raz no negativa del polinomio F[a,b] 0 (d)Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 20. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuro [x ,y ]F[a,b] 0 (d) =0= (a b)2 d4+2(a b)(b2 + 2x2 b + y0 b 2ay0 a2 x2 a)d30 2 20+(y0 b 8y0 ba 6b a + 6a y0 2x2 a3 + a4 + 6x2 y0 b2 2y0 b3 4 2 2 2 2 23 20 02 24 2 2 2 3 2 2 2 3 42 2+6y0 a + 4x0 a b + 2b a + 6x0 y0 a + 2a b 6x0 ab + 4y0 b a+6x4 b2 + 4x4 a2 + 6b3 x2 10x2 y0 ab + b4 8x2 ab2 6y0 ab)d20 0 0020 4 4 42 3 46 22 6 3 2 2 42(ab + y0 a b + a b + 2y0 a + 2b x0 a b bx0 ay0 4 222 22 2 2 62 4 24 3bx0 ay0 + 3x0 ay0 b + 3x0 a y0 b by0 a + b y0 x0 + 3x0 b+3y0 a3 + x2 b4 + x4 a2 y0 bx6 a 5x4 ab2 + 3b2 y0 x4 + 3y0 ab24002 00 20 42x2 a3 u2 + 3x4 a2 b + 3x2 b2 y0 2x2 ab3 2y0 a3 b 3y0 ab3000 0 202 23x2 a3 b 2x2 b3 y0 5y0 a2 b + 4x2 a2 b2 + 4y0 a2 b2 )d0 02 402+(x4 + 2x2 b + b2 2x2 a 2ba + a2 + y0 + 2x2 y0 2y0 b + 2ay0 ) 0004022 2(bx2 + ay0 ba)2 = 02 4 [a,b]= k=0 hk (x0 , y0 )dkFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 21. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximacinDistancia closest-approach Ejemplo Trabajo futuroAclaraciones al teorema [x ,y ]La mayor raz real de F[a,b] 0 (d) es el cuadrado de la0distancia mxima entre (x0 , y0 ) y 0 .Si x0 es un foco de 0 [ ab,0] F[a,b](d) = (a b)2 d2 (d2 + 2(b 2a)d + b2 ) d = ( a a b)2 , ( a + a b)2En el caso de una circunferencia a = b = R2 y sid = d2 0 [ ab,0] F[a,b](d2 ) = R4 (y0 + x2 )2 0 2 02 + 2Rd + R2 y 2 x2 )(d2 2Rd + R2 y 2 x2 ) (d000 0000 0 d0 = R y0 + x22 0Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipsesMster en Matemticas y Computacin 2008/09 22. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia entre dos elipsesSea 1 una elipse disjunta con 0 , dada por la parametrizacinx = (s), y = (s), s [0, 2). Entoncesd(0 , 1 ) = min{ (x1 x0 )2 + (y1 y0 )2 : (xi , yi ) i , i = 1, 2}es la raz cuadrada de la menor raz no negativa de la[(s),(s)]familia de polinomios univariados F[a,b](d)Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 23. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroDistancia entre dos elipsesPara hallar d(0 , 1 ) consideramos dos posibilidades:d es el menor real positivo tal que existe s [0, 2)solucin de [(s),(s)]4[a,b]F[a,b]= k=0 hk ((s), (s))dk = 0 [(s),(s)] :=F[a,b] 4 [a,b]((s), (s))dk = k=0 s hk 0d se determina a travs del anlisis de la curva[(s),(s)]implcita F[a,b]=0Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 24. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroPrimer casoComo (s) y (s) son lineales en cos(s) y sin(s) la pregunta seconvierte en un problema algebraico (al igual que en el casopunto-elipse) mediante el cambio de variable1111cos s = w+, sin s =w2w2i wy luego usando resultantes para eliminar w.Obtenemos un polinomio univariado de grado 60, G1 , cuya 0menor raz positiva es el cuadrado de d(0 , 1 ).G1 depende slo de los parmetros que denen 0 y 10Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 25. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximacinDistancia closest-approach Ejemplo Trabajo futuroSegundo casod se determina a travs del anlisis de la curva implcita[(s),(s)]F[a,b]= 0 en la regin d 0 y s [0, 2). Para aplicar elalgoritmo dado en L. G ONZALEZ -V EGA , I. N CULA , Efcienttopology determination of implicitly dened algebraic planecurves. Computer Aided Geometric Design, 19: 719-743, 2002,usamos el cambio de coordenadas: 1 u2 2u cos s =2sin s = 1+u1 + u2[(s),(s)]y la curva algebraica plana ral F[a,b]= 0 se estudia end 0, u RFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipsesMster en Matemticas y Computacin 2008/09 26. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroEjemploConsideremos 0 y 1 . 0 con centro (0, 0) y semiejes delongitudes 3 y 2. 1 centrada en (2, 3) y semiejes, paralelos alos ejes coordenados, con longitudes 2 y 1Frmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 27. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroEjemploFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 28. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroEjemploFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 29. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroEjemploLa mnima distancia se obtiene calculando las races reales delpolinomio:G1 (d) = k1 d4 (d12 216d11 +...)(d2 54d+1053)2 (d2 52d+1700)2 (k2 d12 +k3 d11 +...)3 0 donde los ki son nmeros realesEl factor simple de grado 12 es el que aporta la mayor ymenor raz real de G1 (d). An no est claro el carcter 0general de esta descomposicinFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 30. Problema Distancia entre dos elipsesNuestra aproximacinDistancia closest-approachEjemploTrabajo futuroTrabajo futuroEstudio del caso dinmicoGeneralizacin a elipsoidesElipses no-coplanariasAnlisis de otras cnicasFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 31. Problema Distancia entre dos elipsesDistancia de closest approach de dos elipsesDistancia closest-approachDistancia de closest approach de dos elipsoidesTrabajo futurondice1 Distancia entre dos elipsesProblemaNuestra aproximacinEjemploTrabajo futuro2 Distancia closest-approachProblemaDistancia de closest approach de dos elipsesDistancia de closest approach de dos elipsoidesTrabajo futuroFrmulas cerradas para el clculo de distancias entre elipses Mster en Matemticas y Computacin 2008/09 32. Problema Distancia entre dos elipsesDistancia de closest approach de dos elipsesDistancia closest-approachDistancia de closest approach de dos elipsoidesTrabajo futuroProblemaLa distancia de closest approach de dos eli...