TEMA: 

ENSEÑANZA DE LAS FRACCIONES UTILIZANDO REPRESENTACIONES Y JUEGOS

POR: CASTRO, NORIS

2014

INTRODUCCIÓN

Hoy en día existe consenso en admitir que cuando un alumno se enfrenta ante un nuevo concepto, su mente, lejos de ser una tabla rasa, lleva consigo un cúmulo de conocimientos y experiencias previas que interactúan con y para la adquisición del nuevo conocimiento

Algunos de esos conocimientos o concepciones previas pueden, sin embargo, lejos de ayudar, dificultar la adquisición del nuevo conocimiento, y pueden transformarse en auténticos obstáculos   epistemológicos que, esencialmente, consisten en viejos conocimientos, útiles dentro de un cierto dominio durante algún tiempo, pero que en un momento dado, ante un nuevo conocimiento, se revelan contradictorios, inadaptados y falsos.

El dominio de las fracciones es un campo conceptual constituido por un conjunto de situaciones, cuyo dominio progresivo requiere de una variedad de procedimientos, de conceptos y   representaciones simbólicas que están en estrecha conexión.

Por lo tanto, el   conocimiento de los obstáculos, errores y dificultades permite   al profesor   conocer los conceptos que van a tener una especial dificultad.

El presente trabajo analiza los posibles

motivos que hay detrás de esas

dificultades y las forma de afrontarlas; Para ello se realizará un breve relato de la

historia, sus representaciones y las dificultades que ello conlleva   en su

enseñanza aprendizaje.

IMPORTANCIA DE LAS REPRESENTACIONES

En la última década se ha dado un resurgimiento de la importancia de

las representaciones visuales, pictóricas y diagramáticas en

distintas actividades y ámbitos científicos, como también en el

ámbito de la lógica y la filosofía e historia de la ciencia.

EL VALOR EDUCATIVO DEL JUEGO

El juego infantil es una actividad que

puede abordarse desde muchos puntos de

vista, uno de ellos es el educativo. Con el

juego, el niño pone en marcha los

mecanismos de su imaginación, expresa su manera de ver el mundo que le rodea,

de transformarlo, desarrolla su

creatividad y le da la posibilidad de abrirse

a los demás.

En la escuela infantil el juego tiene un lugar importante en el horario y las rutinas diarias. Se desenvuelve a través de los llamados rincones o zonas de juego donde el niño encuentra todo lo necesario para desarrollar el juego simbólico (representación del mundo que le rodea, con el que así se identifica) como en la zona de “casita” tanto para niñas como para niños

Lugares destacado del juego en la escuela

En la zona de construcciones y puzzles desarrollan su creatividad y dominio del espacio y los materiales; en el rincón de los disfraces juegan a ser “mayores” (bombero, médico..) y desarrollan su fantasía representando al pirata o a la princesa de sus cuentos. No son los únicos rincones, también están la biblioteca, con libros infantiles o el rincón del artista, otra faceta del juego infantil, el trabajo manual, los dibujos, la plastilina o las pinturas, donde expresar su imaginación. "Las representaciones dramáticas como el guiñol, el teatro o los juegos de expresión corporal desarrollan el lenguaje, el dominio del cuerpo y la creatividad."

EL PAPEL DEL JUEGO EN LA MATEMÁTICA

La actividad matemática ha tenido desde siempre un componente

lúdico que ha sido el que ha dado lugar a una buena

parte de las creaciones más

interesantes que en ella han

surgido.

ENSEÑANZA DE LAS FRACCIONES

Las fracciones son una

manera de anotar los números

racionales. Es por eso que

enseñar fracciones es adentrarse en

cuestiones matemáticas

complejas que van más allá de

pintar pedacitos de un

dibujo.

Cuando en clase de Matemática se propone la representación de cantidades fraccionarias, es muy común este fenómeno en el que quiero poner la lupa. El docente pide representar 3/5, por ejemplo, y los chicos dibujan un rectángulo que partirán en 5 partes iguales y luego destacarán 3 de ellas, generalmente, coloreándolas.

CONCEPTO DE FRACCIÓN

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un

depósito de gasolina.  Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes

de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera

Una fracción se representa

matemáticamente por números

que están escritos uno

sobre otro y que se hallan

separados por una línea recta

horizontal llamada raya fraccionaria.

La fracción está formada por dos

términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está

sobre la raya fraccionaria y el denominador es

el que está bajo la raya fraccionaria.

TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓNEl Numerador indica el número de partes iguales  que se han tomado o considerado de un entero. El  Denominador indica el número de partes iguales en que se ha

dividido un entero.

EJEMPLO

EJEMPLO

Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, aunque

parezcan diferentes.

¿Por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo

por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es: ¡Lo que haces a la parte de arriba de la

fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Y en un dibujo se ve así:

Dos fracciones son equivalentes cuando al multiplicarlas en cruz se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo 1:

Las fracciones son equivalentes porque

La comparación de fracciones permite determinar, de una

pareja o varias fracciones, cuál es aquella con valor

superior. Se pueden dar tres

casos:

FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

Para fracciones que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor.

FRACCIONES CON IGUAL NUMERADOR

FRACCIONES CON DIFERENTE NUMERADOR Y DENOMINADOR

Para fracciones con diferente

numerador y denominador, se

deben buscar fracciones

equivalentes hallando el mínimo

común denominador

(reducir fracciones a común

denominador).

Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo

(m c m) de los denominadores y a partir

de ahí estamos en el primer caso que ya hemos

visto.

Ejemplo: y El mínimo común denominador

es 20, resultando y . Como 5 < 8,

Nota: también se puede utilizar la notación decimal,

como 1/4 = 0,25 y 2/5 = 0,4; 0,25 < 0,4 así pues 1/4 <

2/5.

DIVISION

MULTIPLICACION

FRACIONES PROPIA

FRACIONES IMPROPIAS

FRACCIONES HOMOGÉNEAS

FRACCIONES HETEROGÉNEAS

REDUCIBLES / IREEDUCIBLES

UNITARIAS

EGIPCIAS

APARENTES

MIXTAS

LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

El término de ‘adición’ proviene del latín ‘addo, is’ significando ‘añadir, agregar’. De igual manera, el término de ‘resta’ tiene su origen en el latín ‘restare’, sobrar, quedar.

Observa que la lámina superpuesta presenta 12 divisiones, de las cuales dos están sombreadas de color VERDE, combinación (amarillo + azul),

obteniéndose así

+ =

EJEMPLO

- =

EJEMPLO

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos fracciones hay un procedimiento muy rápido. Solo basta

multiplicar los numeradores y denominadores, luego el numerador es el

producto de los numeradores y denominador es el producto de los denominadores.

Observa que la lámina superpuesta presenta 12 divisiones, de las cuales dos están sombreadas de color VERDE, combinación (amarillo + azul),

obteniéndose así

X =

EJEMPLO

DIVISIÓN

Como ya sabemos, la división es una operación, la cual consiste en buscar cuantas veces un número, o sea el divisor, está

contenido en otro, que sería el dividendo. Aquí veremos como resolver divisiones entre fracciones. Una de las formas de dividir fracciones es usando la regla “invertir y multiplicar” (de todos

modos esta regla no se aplica tan solo a la división de fracciones, si no que también se aplica a las divisiones en general).

Podemos utilizar también para resolver divisiones de fracciones,

(pueden ser dos o más fracciones) la multiplicación en cruz. O sea el numerador de la primera fracción se multiplica

por el denominador perteneciente a la segunda fracción, de esta forma ya

tendríamos el numerador. Luego multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador perteneciente a la segunda fracción, por lo cual

finalmente hallamos el denominador.

Ejemplo:

Otra forma de pensarlo es de la forma en la cual la división de fracciones

siempre se cambia a la multiplicación y entonces la segunda fracción

cambia de este modo a su recíproco. Veamos un ejemplo claro:

FRACCIONES PROPIA

Una fracción propia es aquella en la cual el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, 3/8 o 5/16.

Supongamos que tenemos una pizza y comemos 2/6 de ella pizza, ¿nos quedará pizza? La fracción 2/6 es propia, o sea es menor que la unidad, por lo tanto, nos va a quedar pizza.

Veamos la representación de esto:

Aquí tenemos algunos otros ejemplos claros de fracciones propias:

FRACCIONES IMPROPIAS

Las fracciones impropias son aquellas en las cuales el número de arriba, que llamamos numerador y representa el número de partes que tenemos, es mayor o igual al número de abajo o sea el denominador, que sería el número de partes por el cual se divide el numerador.

Este tipo de fracciones pueden transformarse en la suma de un número natural y una fracción propia, por esta razón las fracciones impropias son invariablemente mayores que la unidad.

Las siguientes son ejemplos de fracciones impropias. Veamos:

Cuando el numerador y el denominador son iguales, sabemos que

es entonces un número entero escrito en forma de fracción, por

ejemplo 6/6. Generalmente se dice que este tipo de fracción es una

fracción impropia.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. La fracción a simplificar se debe seguir simplificando hasta

llegar entonces a una fracción que ya no se pueda simplificar más. A esta le damos el nombre de

fracción irreducible.

Para realizar una simplificación de fracciones lo que debemos hacer es dividir

el numerador y el denominador, ambos por un mismo número.

Por lo tanto, debe haber un número entre el cual podamos dividir el numerador y el denominador de forma exacta, o sea que lo correcto para realizar la simplificación

sería buscar algún divisor en común (debemos tener en cuenta que no pueden

ser primos entre sí).

Veamos algunos ejemplos:

En caso de que tanto el denominador como el numerador

terminen en cero, podemos hacer una simplificación rápida

y eficaz. Veamos un ejemplo:

AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Ejemplo:

Veamos ahora un ejemplo de otro tipo, en el cual podremos apreciar

claramente qué son las fracciones equivalentes. Veamos aquí cómo se

representan diferentes fracciones con la misma zona sombreada:

FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Llamaremos fracciones homogéneas a aquellas que comparten el mismo

denominador, por ejemplo (3/8 y 6/8). Si no comparten el denominador, las llamamos fracciones heterogéneas. Si

realizamos una suma o adición de fracciones homogéneas, debemos

sumar los numeradores y mantener igual el denominador.

Veamos un ejemplo de esto:

En caso de realizar sustracciones o restas, procederemos de la misma forma que en

una suma, pero en este caso estamos restando. Observemos un ejemplo:

FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Diremos que dos fracciones son heterogéneas cuando estas poseen distinto denominador, por lo cual se

diferencian de las fracciones homogéneas, que tienen el denominador en común. Si lo que queremos es realizar

sumas o restas con fracciones heterogéneas, lo que debemos hacer en primer lugar es encontrar el común

denominador, o sea hallar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Luego de esto, lo que se debe

hacer es colocar el denominador común, dividimos entonces el común denominador entre el primer

denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Repetimos la operación con cada una de las

fracciones que tengamos. Por último, se suman los resultados obtenidos y así finalizamos. A veces no es necesario multiplicar entre sí los denominadores; eso

depende de las fracciones que tengamos.

Ejemplo:

Vemos en el ejemplo anterior que en primer lugar se multiplicaron los

denominadores, luego se realizó la multiplicación cruzada. Se sumaron los

productos para obtener luego el numerador y finalmente se simplificó la fracción.

Observemos otro ejemplo:

En la resta o sustracción de fracciones heterogéneas debemos utilizar las mismas

reglas que usamos en la suma. Lo único que cambia es que en este caso tenemos

que restar en vez de sumar. Veamos un ejemplo:

En la multiplicación de fracciones, tanto fracciones homogéneas como

heterogéneas se multiplican de igual forma. El producto de dos o más fracciones es

entonces igual a otra fracción que tiene como numerador el producto de los

numeradores y tiene también como denominador el producto de los

denominadores. Veamos un claro ejemplo:

FRACCIONES REDUCIBLES E IRREDUCIBLES

Tomemos como ejemplo la fracción 9/15, la cual es reducible.

El máximo divisor común de 9 y 13 es 3. Teniendo en cuenta esto,

podemos simplificar 9/15 de la siguiente forma:

FRACCIONES UNITARIAS

Una fracción unitaria representa a un número racional. Es una

fracción que tiene como numerador la cifra 1 y como denominador

tiene un número entero positivo. O sea, que las fracciones unitarias

tienen como numerador la unidad. Veamos algunos ejemplos:

Podemos observar que estas tipos de fracciones son los inversos de

números enteros positivos. Cuanto más grande sea el denominador,

menor será el número racional que representa la fracción.

Una fracción egipcia es una suma de fracciones unitarias diferentes, o sea fracciones que tienen de numerador la unidad y en donde el denominador presenta un número entero positivo, por ejemplo 1/2, 1/4, 1/7. Es posible demostrar entonces que cualquier número racional que sea positivo se

puede escribir como una fracción egipcia. Aparte de que la representación de una fracción no unitaria se representaba como la suma

de fracciones que tenían la unidad como numerador y que eran todas diferentes, se empleaban también símbolos diferentes a los nuestros.

FRACCIONES EGIPCIAS

Ejemplo:

Las fracciones que poseían un numerador distinto se descomponían

en la suma de fracciones unitarias, siempre los sumandos eran

diferentes. Por ejemplo, en el papiro de Rhind se escribe la fracción

2/5 como la suma de 1/3+1/15, jamás se podría haber empleado la

suma 1/5 + 1/5. La misma fracción 2/5 no tenía cabida en el

pensamiento egipcio, si no tan sólo su descomposición como suma de

fracciones unitarias.

Los jeroglíficos de las fracciones fueron tomados de las partes que componían el jeroglífico del ojo del dios egipcio Horus.

Las cejas equivalían 1/8la pupila ¼

la parte derecha de la pupila 1/16 la parte izquierda de la pupila 1/2,

la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64,

mientras que la parte inferior vertical 1/32.

FRACCIONES APARENTES

Una fracción aparente es siempre un número entero, también es posible que se le llame fracción entera. Los números enteros son un conjunto de números naturales que tienen incluidos también números enteros negativos, además del número cero. O sea, que la división del numerador entre el denominador nos tiene que dar un número sin coma. La fracción 4/4 es una fracción aparente, porque si dividimos 4 entre 4 nos da como resultado 1. La fracción 10/5 también es aparente, ya que la división da como resultado 2.

Ejemplos

FRACCIONES MIXTAS

Los números enteros abarcan lo que son el conjunto de números naturales, incluyendo también los números enteros negativos, además del cero. Sabiendo esto, podemos decir que una fracción mixta es la suma de una fracción y un número entero, o sea un número entero y una fracción combinados. Pese a esto, este tipo de fracciones se escriben sin el símbolo de suma.

Ejemplos

JUEGOS PARA SU ENSEÑANZA

Los juegos de naipes que se proponen son juegos de estrategias, es decir, aquellos en los que los jugadores deben buscar estrategias para ganar. Estos juegos permiten ejemplificar los procesos heurísticos o estrategias generales para resolver problemas e iniciar a los estudiantes en el desarrollo de procesos propios del pensamiento matemático.

Pescacartas: El juego consta de 40 naipes distribuidos de la siguiente forma:

•1

del

número

0

6

del

número

1

6

del

número

2

5

del

número

3

5

del

número

4

4

del

número

5

3

del

número

6

2

del

número

7

2

del

número

8

1

del

número

9

1

del

número

10

4 comodines

Este juego permite:

• Reconocer la representación de los 10 primeros números en cuatro formas diferentes:

· En forma natural (con los dedos)

· Digito

· Escrito

· Como cardinal

• Potenciar la descomposición de los primeros números.

• Fomentar el cálculo mental.

• Iniciarse en la búsqueda de las estrategias ganadoras.

CONCLUSIONES

Finalizado el análisis del tema, presento las siguientes conclusiones:

Las situaciones problema se deberán presentar al principio, en el contexto de la vida real, haciendo posible la aplicación de relaciones todo parte. Al iniciar el uso de las fracciones como razón, nos basaremos en comparaciones entre dos dimensiones.

Los modelos gráficos ofrecidos por los libros de texto son insuficientes y meramente pasivos para el alumno. Necesitamos ofrecer actividades complementarias en este sentido. La representación gráfica  de las actividades realizadas con materiales manipulativos en el taller de matemáticas,  a partir de 4º, es la alternativa más acertada.

De esta manera participan activamente en la construcción de modelos al transferir las actividades manipulativas a la representación gráfica en su cuaderno de matemáticas.

Al Ministerio de Educación de nuestro país, quien rige la educación en Panamá, el cual debe implementar el uso de herramientas tecnológicas y otros materiales similares, como juegos didácticos, para la enseñanza de las diversas clases de matemáticas.

RECOMENDACIONES

Otra recomendación, dirigida también al Ministerio de Educación, es que apoye la capacitación de los y las profesoras en el uso de la tecnología, para que sean capaces de hacer uso de la misma en beneficio de las y los estudiantes; dando lugar a que ellos puedan conocer sobre este tipo de herramientas tecnológicas, para que de este modo pierdan el temor a usar la tecnología y superen la apatía que muchos y muchas sienten.

RECOMENDACIONES

GRACIASGRACIAS