Pp tinh the tich

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền

Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ

Trong trường phổ thông, Hình học không gian là bài toán rất khó đối với học sinh, do

đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thiết bài toán, vẽ hình rồi tiến hành

giải bài toán.

Cả chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích khối đa diện( thể tích khối

chóp và khối lăng trụ )

Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành hai dạng như sau:

Cho hình chóp

Thông thường bài toán về hình lăng trụ:

Cho hình lăng trụ:

( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

A C

B

S

Đa giác đáy:- Tam giác: vuông, cân, đều, ….- Tứ giác : Vuông, chữ nhật, …

Hình chóp đều.

AC

B

S

O

- Hình chóp tam giác đều- Hình chóp tứ giác đều

Lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C

1 ( )A A ABC⊥

Lăng trụ xiên 1 1 1.ABC A B C

1 ( )AG ABC⊥

Trường : THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh HiềnPhần II. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

A. MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC VÀ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A ta có

- BC = 2 AM

- Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông :

µ = =ÑoáisinHuyeàn

bB

a ; µ = =Keàcos

Huyeànc

Ba

; µ = =ÑoáitanKeà

bBc

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:

* Định lí hàm số côsin : 2 2 2 2 . osAa b c bc c= + −

* Định lí hàm số sin : 2sin sin sin

a b cR

A B C= = = ( R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC∆ )

3. Cấc công thức tính diện tích:

a. Công thức tính diện tích tam giác:

- 1

. .2ABCS BC AH∆ =

- µ ( ) ( )1 . .. . .sin . .( )

2 4ABC

a b cS AB AC A p r p p a p b p c

R∆ = = = = − − − Với 2

a b cp

+ +=

* Đặc biệt:

+ Diện tích tam giác vuông: 1

. .2ABCS AB AC∆ =

+ Tam giác cân:

- Đường cao AH cũng là đường trung tuyến- Tính đường cao và diện tích

µ. tanAH BH B=1

. .2ABCS BC AH∆ =

( Sưu tầm và biên soạn ) PP Tính thể tích khối đa diện

- Định lý pitago: - - -

_h

_H

_A

_B_C

_M

bc

a

b’c’

A

B CH

c

a

b

CB

A


+ Tam giác đều

- Đường cao của tam giác đều

= = 3.2

h AM AB

( đường cao h = cạnh x 32

)

- Diện tích : 2 3( ) .

4ABCS AB∆ =

b) Hình vuông: S = cạnh x cạnhc) Hình chữ nhật: S = dài x rộng

d) Diện tích hình thoi: S = 1

2 ( chéo dài x chéo ngắn )

e) Diện tích hình thang: S = 1

2( đáy lớn + đáy nhỏ ) x chiều cao

f) Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều caoi) Diện tích hình tròn : S = 2Rπ

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC.

1. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:

• Định lý 1 : ( ) ( ); ,

,

a b a b Pd P

d a d b

∩ ∈ ⇒ ⊥⊥ ⊥

• Định lý 2 : Nếu ( )d P⊥ ⇒ d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

• Định lý 3 : ( ) ( )// '

'd d

d Pd P

⇒ ⊥⊥

• Định lý 4 : ( )( ) ( ) ( )

d QQ P

d P

⊂ ⇒ ⊥⊥

• Định lý 5 : ( ) ( )

( ) ( ),

P Qd Q

d P d

∩ = ∆ ⇒ ⊥⊂ ⊥ ∆

• Định lý 6 :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )P Q

P R R

Q R

∩ = ∆

⊥ ⇒ ∆ ⊥⊥

( Sưu tầm và biên soạn ) PP: Tính thể tích khối đa diện

B

A

G

CM

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cách xác định góc− Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)

o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/

Ví dụ:

A C

B

S

Xác định góc giữa SB và (ABC)

Ta có AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) ⇒ · · ·( , ( )) ( , )SB ABC SB AB SBA= =

3. Góc giữa hai mặt phẳng

AC

B

S

MO

Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)

Ta có : · · ·( ) ( )

(( ), ( )) ( , )

SBC SABC BC

SM BC SBC ABC SM AM SMA

AM BC

∩ = ⊥ ⇒ = =⊥

Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.


Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền C. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

+ Thể tích khối chóp

= 1. .3

V Bh

Trong đó : B là diện tích đa giác đáy h : là đường cao của hình chóp.

+ Diện tích xungt quanh: xqS = Tổng diện tích các mặt bên

+ Diện tích toàn phần : tp xqS S= + diện tích đáy.

Các khối chóp đặc biệt :− Khối tứ diện đều:

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD)

− Khối chóp tứ giác đều+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O

+ SO ⊥ (ABCD)

D. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ :

+ Thể tích khối lăng trụ = .V Bh

B: diện tích đáy

h : đường cao


h

S

B

AC

H

OC

D

BA

S

H

A1

B

CA

B1

C1

G

_b

_A

_C

_D

_M_O


E. TỶ SỐ THỂ TÍCH

- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên

trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã

cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:

+ Cách 1:

o Xác định đa giác đáy

o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt

phẳng đáy)

o Tính thể tích khối chóp theo công thức

+ Cách 2

o Xác định đa giác đáy

o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích

đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết

luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho

+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S

Ta có : .

.

. .S MNK

S ABC

V SM SN SK

V SA SB SC=

Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp

“nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên


n

B

CA

S

N

KM


PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY.

Phương pháp:+ Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích.+ Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.

Ví dụ mẫu 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 ,

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABCGiải: Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

Lời giải:Ta có : AB = a 2 ,

AC = a 3

SB = 3a .

* ∆ ABC vuông tại B nên 2 2BC AC AB a= − =

⇒ 2

ABC

1 1 . 2S . . 2.

2 2 2

aBA BC a a∆ = = =

* ∆ SAB vuông tại A có 2 2SA SB AB a= − =* Thể tích khối chóp S.ABC

2 3

.

1 1 . 2 . 2. . . .

3 3 2 6S ABC ABC

a aV S SA a= = =

Ví dụ mẫu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng− Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên

(ABCD) Lời giải:

* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a ,

( ) SC

ABCDAC hc=

⇒ · · ·( , ( )) ( , ) 60oSC ABCD SC AC SCA= = = * Diện tích hình vuông

⇒ 2ABCDS a=

* ∆ SAC vuông tại A có AC= 2a , µ 060C = ⇒ . tan 60 6oSA AC a= = * Thể tích khối chóp S.ABCD

32

.

1 1 . 6. . . . 6

3 3 3S ABCD ABCD

aV S SA a a= = =


A C

B

S

60

A B

DC

S

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền Ví dụ mẫu 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600

.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải Sai lầm của học sinh:

− Gọi M là trung điểm BC− Ta có AM ⊥ BC SM ⊥ BC

⇒ · · ·(( ), ( )) ( , ) 60oSBC ABC SM AM SMA= = = (Hình vẽ sai)

Lời giải đúng: * Ta có : AB = 3a , (SBC) ∩ (ABC) = BCAB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B)

SB ⊥ BC ( vì ( ) SB

ABCAB hc=

⇒ · · ·(( ), ( )) ( , ) 60oSBC ABC SB AB SBA= = =

* ∆ ABC vuông tại B có AB = 3a ,BC =a

⇒ 2

ABC

1 1 . 3S . . 3.

2 2 2

aBA BC a a∆ = = =

* ∆ SAB vuông tại A có AB= a, µ 060B =⇒ . tan 60 3oSA AB a= =

* Thể tích khối chóp S.ABC2 3

.

1 1 . 3 . 3. . . .3

3 3 2 2S ABC ABC

a aV S SA a= = =

Nhận xét:

− Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o, do đó mất điểm.

− Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC

o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến

o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.


60M

S

B

C

A

60

S

B

CA

Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền BÀI TẬP VẬN DỤNG:

01 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.

ĐS. 3 2

12

aV =

02 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SB = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABC

ĐS. 3. 3

3

aV =

03 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SB = 3a .Tính thể tích khối chóp S.ABC

ĐS. 3. 2

6

aV =

04 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, ( )SA ABC⊥ , góc giữa SB và

mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

ĐS. 3 6

3

aV =

05 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , · 0AC 120B = ,cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

ĐS. 32 . 3

3

aV =

06 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, · 060ACB = , cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

07 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác

vuông tại B, AB a 3,AC 2a= = , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

ĐS. 3 3

2

aV =

08 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA vuông góc

với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 300. Gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chóp M.ABC.

ĐS. 3 3

9

aV =

09 Cho hình chóp S.ABC có SB = 2a ,AB=AC = a, · 060BAC = , Hai mặt bên (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

ĐS. 3 3

12

aV =

10 Cho hình chóp .SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại Bvới AC = a, biết

( )SA ABC⊥ và SB hợp với đáy một góc 060 . Tính thể tích của khối chóp.


Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS. 3

6

aV =

b) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ( AB’C’).

c)Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. ĐS. 3

36

aV =

11 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = 3a , BC = a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600

.Tính thể tích khối chóp S.ABC.

ĐS. 3 3

2

aV =

12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a , cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.

ĐS. 3 2

12

aV =

13 Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a , biết

SA (ABC)⊥ và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp SABC. ĐS. 3V a=

14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

ĐS. 3

4

aV =


phẳng đáy và SA = 3a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.

ĐS. 3 3

6

aV = ,

3 3

2

aV =

16 . Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ và SA a=.Tính thể tích khối chóp .S BCD theo a.

ĐS. 3

6

aV =

17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ⊥ (ABC) và

SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB).

ĐS. 3 3

, 23 AMB

a VV d a

S= = =

V



18 .Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , các cạnh bên

bằng 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

ĐS. 32 2

3

aV =

19 .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2AB a AD a= = ;

( )SA ABCD⊥ . Cạnh bên SB bằng 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

ĐS. 32 2

3

aV =

20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SC = 5a .Tính thể tích khối chóp S.ABCD

ĐS. 32

3

aV =

21 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD

ĐS. 3 2

3

aV =

22 .Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD.

23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

ĐS. 3 6

6

aV =

24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,

( )SA ABCD⊥ . Cho biết góc giữa (SCD) và (SAD) có số đo là 060 . Tính thể tích khối chóp.

ĐS: 3 15

6

aV =

25 Cho hình chóp S.ABCD có ( )SA ABCD⊥ , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc

giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là 060 .a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD.

ĐS: ( )3

2 26 6 10; 6 10 ; 1

6 2 2xq tp

aV S a S a

= = + = + + ÷ ÷

DẠNG 2 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP



01 TÝnh thÓ tÝch cña khèi hép ch÷ nhËt cã chiÒu réng b»ng 2,chiÒu dµi b»ng 3 vµ

chiÒu cao b»ng 4

02 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1, chiều dài bằng 3 và đường

chéo của hình hộp hợp với đáy một góc bằng 300

03 Đáy của hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600, AC =

B’D. Tính thể tích của hình hộp.

04 Đáy của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình thoi cạnh bằng 6cm, góc BAD bằng 450;

cạnh bên AA’ = 10cm và tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích của khối hộp đó.

05 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và góc BAD bằng 600,

AB’ hợp với đáy ABCD một góc α . Tính thể tích của khối hộp đó.

06 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', đáy ABCD là hình thoi có góc · 060ABC = , đường

chéo B'D = 4a và hợp với (ABCD) góc 030 . Tính thể tích của khối hộp đó.ĐS: 34 3V a=

07 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có góc giữa cạnh bên và đáy là 060 , đáy ABCD là hình

chữ nhật, AB = 4a, BC = 3a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là tronhj tâm G của tam giác ABD. Tính thể tích của khối hộp ABCD,A'B'C'D'.

ĐS: 320 3V a=

08 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khoảng cách giữa AB và B'C là 2 5

5

a , giữa

BC và AB' là 2 5

5

a, giữa AC và BD' là

3

3

a . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

ĐS: 32V a=

09 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' , đáy ABCD có AB = a, AD = 2a và · 060ABC = ; cạnh bên

hợp với đáy góc 060 ; mặt chéo ACC'A' là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.b) Tính thể tích củ khối chóp B.ACC'A'.

ĐS: 3 3

. ' ' ' ' . ' '

3 3 3;

2 2ABCD A B C D B ACC A

a aV V= =

10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi E là trung điểm

cạnh DD'. Biết rằng mặt phẳng (ACE) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 030 và diện tích

tam giác ACE bằng 2 3

3

a . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

ĐS: 3 6

3

aV =

DẠNG 3: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ



01 Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, chiều cạnh bên bằng 2a.

02 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối

chóp A. BCC’B’.

03 Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 ,

cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ

ĐS. 3 6

2

aV =

04 Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = 2a ,

mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ.

05 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A/A=A/B=A/C , AB = a,

AC = 3a , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS. 3

6

aV =

06 Cho hình lăng trụ xiªn ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy

một góc 600. Hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

07 . Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = 2a ,

mặt phẳmg (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS. 3 6

3

aV =

08 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc

của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.

ĐS. 312 3V a=

09 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 600, BC = a và

hình chóp A.A’B’C’ là hình chóp đều. Tính thể tích khối lăng trụ theo a.

10 Cho lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác vuông có AB=AC= a, AA1 = 2a .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích khối chóp MA1BC1.

ĐS: V= 3 2

12

a

11 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a .

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.a. Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’.b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và (CEB’)

12 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng

600. Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300.a. Tính độ dài đoạn thẳng AC’


Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền b. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC

= 2a, AA’ = 3a. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt CC’ và BB’ tại M và N.a. Tính thể tích khối chóp C.A’ABb. Chứng minh AN ⊥ A’Bc. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN.d. Tính diện tích tam giác AMN.

14 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’=

2a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

ĐS. V = 3 22

a; d =

77

a

DẠNG 4 : CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI CHÓP ĐỀU

01 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể

tích hình chóp S.ABC theo a.

02 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 450.

1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . 2) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.

03 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 600.

Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.

04 Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .

Tính thể tích hình chóp.

05 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc · 045SAC = . Tính thể tích khối chóp

S.ABCD

06 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính

thể tích khối chóp theo a.

ĐS. 3 3

12

aV =

07 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể

tích khối chóp S.ABC

ĐS. 33

4

aV =

08 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a .Tính thể

tích khối chóp S.ABCD

ĐS. 34

3

aV =



09 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là 060 .

Tính thể tích khối chóp theo a ?

ĐS. 3 6

18

aV =

10 Cho hình chóp S.ABCD đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 060 .

Tính thể tichhs khối chóp đã cho.

ĐS: 3

4 2

3 5

aV

= ÷

DẠNG 5: TỈ SỐ THỂ TÍCH

01 Cho khối chóp S.ABC. Trên 3 đương thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’

khác với S. Gọi V và V’ lần lược là thể tích của các khối chóp A.ABC và S.A’B’C’. Chứng

minh rằng . .' ' ' '

V SA SB SC

V SA SB SC=

02 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho 1

3CM CD= . Tính tỉ số thể tích của

hai tứ diện ABMD và ABMC

03 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’. Tính tỉ số của khối chóp A.BB’C’C và

khối lăng trụ ABC.A’B’C’

04 Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC = 4BM,

AC = #AP, BD = 2BN. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số AQAD

và tỉ số thể tích 2 phần

của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP). 35

AQAD

= ; 1

2

713

V

V=

05 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi B’,

D’ là hình chiếu của A trên SB,SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’.Tính thể tích khối chóp S. AB’C’D’.

06 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC.

ĐS. 1

2

1

4

V

V=

07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.

Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP).


phẳng đáy và SA = 3a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN.

08 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, ( )SA ABC⊥ , khoảng cách từ

A đến (SBC) là 3

4

a .


Trường: THPT Nguyễn Thị Minh Khai Giáo viên : Khổng Thanh Hiền a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN – THPT QUA CÁC NĂM

01 ( 2009 ) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết · 0120BAC = , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

02 ( 2010 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

03 ( 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với

AD=CD=a, AB=3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 045 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

04 ( 2012)Cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA

= BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.

05 ( 2013)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 030 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

06 ( 2104 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và SC = 2a 5 .

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) là 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

M

C

A

B

S

Ta có: ( )SM ABC⊥ . Suy ra SCM∆ vuông tại M và · = 060SCM .

+Chiều cao của hình chóp 0 3.sin 60 2 5. 15

2SM SC a a= = = .

+ 0 1.cos 60 2 5. 5

2CM SC a a= = = ;

2 2 2 2 252

4CA AM CM CA CM CA a+ = ⇔ = ⇒ = ;



Suy ra diện tích đáy 2 21( ) 2

2dt ABC CA a∆ = = .

Vậy thể tích khối chóp 3

21 1 2 15. . ( ) . 15.2

3 3 3

aV SM dt ABC a a= ∆ = =

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI CĐ – ĐH QUA CÁC NĂM

01 ( CĐ 2011 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.HD: BC vuông góc với mặt phẳng SAB

Góc SBC = 300 nên SA = 3

a

d(M,SAB) =1

( , )2 2 2

BC ad C SAB = =

Vậy VS.ABM = VM.SAB =3 31 1 3

( ).3 2 2 363 12 3

a a a aa = =

02 ( CĐ 2012 ) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

AB a 2,= SA SB SC= = . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính

thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. HD:Tinh thê tich tư diên S.ABC ?

● Goi O la trung điêm cua BC OA OB OC= =Þ .● Măt khac: SA SB SC= = .

SO :Þ la truc cua đương tron ( ) ( )ABC SO ABC^Þ .

( )·( ) · 0SA, ABC SAO 60= =Þ .

( ) S.ABC ABC

1V S .SO 1

3 D=Þ .

● Ta co: 0 1SO AO. tan 60 BC. 3

2= =

( ) ( ) ( ) 2 2

2 23 3AB AC 2a 2a a 3 2

2 2= + = + = .

● Ta lai co: ( ) ( ) đ 2

ABC

1 1S AB.AC a 2.a 2 a vdt 3

2 2D = = = .

● Thay ( ) ( )2 , 3 vao ( ) ( ) đ3

2

S.ABC

1 a 31 V a .a 3 vt t

3 3= =Þ .

Tinh ban kinh măt câu ngoai tiêp tư diên S.ABC theo a ?

● Ke đương trung trưc ∆ canh cua SC, căt SC tai trung điêm M, căt SO tai I I :Þ la tâm măt câu ngoai tiêp hinh chop S.ABC. Ban kinh măt câu la R SI IA IB IC= = = = .


A

B C

S

O

M

I

∆

A

B

C

S

M


● Xet SMI SOCD D: , ta co: 2SI SM SM.SC SC 2a 3

R SISC SO SO 2SO 3

= = = = =Û .

03 ( CĐ 2013 ) Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’ có AB = a. Và đường thẳng A’B tạo với đáy

một góc bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ và độ dài đoạn thẳng MN.HD:Ta có đường cao ' . tan 60 3AA AB a= =o

Diện tích đáy 2 3

4ABC

aS =

Thể tích khối trụ: 2 33 3

AA '. 3.4 4ABC

a aV S a= = =

Gọi E là trung điểm của BC thì ta có: ; AA ' 32

aME NE a= = =

( )2 222 2 2 13 13

32 4 2

a a aMN ME NE a MN

= + = + = ⇒ = ÷

04 ( CĐ 2014 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc

với đáy, SC tạo với đáy một góc 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

HD: Ta có AC = SA = a 2 ⇒ V = 3

21 a 2a .a 2

3 3=

d( B; SCD) = d (A; SCD) = a 6

3.

05 ( ĐH-KA - 13)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, · 0ABC 30= , SBC là

tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

HD:Gọi H là trung điểm BC thì SH ⊥ (ABC) và SH = 3

2

a

Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên


S

D C

BA

S

A B

C

H

I

E

N

M

C'B'

A'

CB

A


BC=a, 3

,2 2

= =a aAC AB

31 1 3 3

3 2 2 2 2 16

a a a aV

= =

(đvtt)

Gọi I là trung điểm AB

HI=a/4, 3

2= a

SH

Vẽ HK ⊥ SI thì HK ⊥ (SAB), ta có 2 22

1 1 1 3

5234 2

aHK

HK a a= + ⇒ =

Vậy d(C, SAB)= 2HK = 2 3 3

52 13=a a

06 ( ĐH-KB - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).HD:

= 3

2

aSH ; = =

321 3 3

3 2 6

a aV a

Xét tam giác vuông SHI

[ ]= + ⇒ =

2 2 2

1 1 1 3

732

aHK

HK aa

Vì AB// CD nên = 3

7

aHK =d(A, SCD)

07 ( ĐH-KD - 13)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với đáy, · 0120=BAD , M là trung điểm cạnh BC và · 045=SMA . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SMA vuông cân tại AHD:


B

S

A

C

D

H I

K

H

B

S

A

D

M C

I


Ta có: 3

2

aSA AM= =

Thể tích khối chóp: V=31 3 3

. .3 2 2 4

=

a aa a

Vì AD// BC nên

d(D, (SBC))= d(A, (SBC)) = AH = 1 1 3 6

22 2 2 4

= =a aSM

08 (KD 2014 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên

SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.HD: Gọi I là trung điểm của BC ⇒ SI ⊥ BC ⇒ SI ⊥ mp(ABC)

∆ABC vuông cân ⇒ AI = BC a

2 2=

S(ABC) = 21 a a

a.2 2 4

=

VS.ABC= 2 3

ABC

1 1 a 3 a a 3SI.S

3 3 2 4 24= =

Kẻ IJ vuông góc với SA, ∆SIA vuông góc tại I, IJ là khoảng cách giữa SA và BC

⇒ 2 22 2 2

1 1 1 1 1

3a aIJ SI AI4 4

= + = +⇒ IJ = a 3

4

09 (KB 2014 ) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông

góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).HD: Gọi H trung điểm AB thì A’H ⊥ (ABC)Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC) là HC. Vậy góc A’C và (ABC) là · 0A 'CH 60=

∆ A’HC vuông ⇒ tan600 = A 'H

3HC

= ⇒ A’H = a 3 3a

32 2

=

VLT = A’H dt (∆ABC) = 2 33a a 3 3a 3

.2 4 8

=

Cách 1: Do AB cắt (A’AC) tại A mà H là trung điểm AB nên d(B, (A’AC)) = 2d(H, (A’AC))

Vẽ HI ⊥ AC, Vẽ HK ⊥ A’I (1)Do AC ⊥ (A’IH) ⇒ AC ⊥ HK (2)(1), (2) ⇒ HK ⊥ (A’AC

∆A’HI vuông ⇒ HK = 2 2

3a a 3.HA '.HI 3a2 4

A 'I 2 139a 3a4 16

= =+

Vậy d(B, A’AC) = 2HK = 3a

13


B

A C

A/

B/

C/

H

I

S

A

B

C

I

J a


Cách 2: d(B, (A’AC)) =

3

A'.ABC LT

3a 33V V 3a8

1dt( A 'AC) 1 a 39 13A 'I.AC . .a2 2 4

= = =∆

10 ( KA 2014 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 3a

SD2

= , hình chiếu

vuông góc của S lên mp(ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ A đến mp(SBD).

HD:Gọi I là trung điểm ABTa có SI là đư cao của khối chóp S.ABCD

( )SI ABCD SI DI⊥ ⇒ ⊥Áp dụng định lý Pitago cho tam giác SID vuông tại I

( )2 2

2 2 2 2 2 29

4 4

a aI SD DI SD AI AD a a

= − = − + = − + = ÷

Thể tích hình chóp S.ABCD

31. .

3 3ABCD

aV S SI= =

Tính khoảng cách từ A đến (SBD)Gọi O là giao điểm của AC và BD

( )( ) ( )( ), 2 ,d A SBD d I SBD=

Dựng IM // AC( )IM BD IM SBD⊥ ⇒ ⊥

Dựng ( )( ),IH SM IH d I SBD⊥ ⇒ =

1 2

4 4

aIM AC= =

Áp dụng hệ thức lượng 2 2 2

1 1 1

3

aIH

IH SI IM= + ⇒ =

Vậy ( )( ) 2,

3

ad A SBD = .


A

B

OID

C

S

M

H

Education

Pp tinh the tich