Peep miidla matemaatiline_modelleerimine

Matemaatiline modelleerimine

19.02.2012 [email protected]

Liivi tn.2 50409 Tartu

Teadusest õpilastele Peep Miidla, Tartu Ülikool

MUDEL JA MODELLEERIMINE


MUDEL on tunnetatava objekti

analoog, mis tunnetusprotsessis seda objekti asendab.

[J. Lotman. Kultuurisemiootika

http://www.ut.ee/lotman/ee/teosed/kultuurisemiootika/kunstmod.htm]


TUNNETUS: AISTING TAJU MÕTLEMINE KEEL MÄLU KUJUTLUS TÄHELEPANU ÕPPIMINE

(28. II-1922, Petrograd — 28. X. 1993, Тartu)


Tegelikkuse teadlikku asendamist mudeliga nimetatakse modelleerimiseks,

Modelleerimise peamine eesmärk – abistada

inimest otsustamisel ja prognoosimisel

aga ka kunstiks /J. Lotman, Ibidem/


Maja

Kodu

Mägi

Jõgi

Ühiskond

Viiralt

Renessans

Hea

Halb

Ilus

Tubli

Isamaa

Inimlik

Armastus

Elektron

Plasma

Banachi ruum

Ruut

Kaalium

Neuron

Must auk

Oluline mudelite tekitamise vorm on haridus


Mudelite liike

abstraktne

katse-

testimis-

arvutuslik

arengu

selgitav

kirjeldav

idealiseeritud

skaleeritud

formaalne

käitumis-

heuristiline

karikatuurne

didaktiline

fantaasia-

mängu

asendus

ikooniline

analoog

teoreetiline

teaduslik

matemaatiline…

MATEMAATIKA


1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98

123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876

12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654

1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432

123456789 x 8 + 9 = 987654321


123456789 x 9 +10= 1111111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111

1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345 x 9 + 6 = 111111

1234 x 9 + 5 = 11111 123 x 9 + 4 = 1111

12 x 9 + 3 = 111 1 x 9 + 2 = 11

Kas matemaatika ilu seisneb vaid arvutamises?

Matemaatika – teadus lõpmatusest

∞ Hulgateooria

∞ Matemaatiline loogika

∞ Geomeetria

∞ Puhas matemaatika

∞ Rakendusmatemaatika

∞ Tööstusmatemaatika



TEADUSLIK TUNNETUS

• Vaadeldakse objekti, käsitletakse selle mudelit

• Eksisteerivad koolkonnad ja kokkulepped

• Eesmärgiks nähtuste ja fenomenide seletamine

• Osisteks hüpoteesid, teooriad, faktid

• Unistuseks Maailma prognoosimine

• Kasutusel teaduslik(ud) meetod(id)

• Väljundiks tunnetatu jagamine, tekstid, artiklid

• Relvastuses eksperiment, instrumentaarium

• Peab seletama kõiki Inimkonna tähelepanekuid

Universumi struktuur


Inflatsiooniline Universum (?) [Universumi vanus – ca 13 miljardit (1,3 . 1010) aastat] 1026 m – Universum – teoreetiline piir (1,3 . 1010) (3,15 . 107) s (3 . 108 m/s) 10 26 m 1025 m – tehniline piir (teleskoopide vaatlusulatus) 1024 m – Galaktikaparvede vahekaugus 400 miljonit ly 10 8 ly 1023 m – Lokaalne Grupp 1021 m – Galaktika (Linnutee) läbimõõt 10 5 ly

10 – 10 m = 1 Å (ongström) = 0,1 nm – Keemiline aatom 10 – 12 m = 1 pm (pikomeeter) 10 – 15 m = 1 fm (femtomeeter) = 1 fermi – Keemilise aatomi tuum 10 – 17 m – mesonid ja barüonid 10 – 18 m = 1 am (attomeeter) – leptonid ja kvargid 10 – 20 m – tehniline piir (kiirendite tegevusulatus) .............. – stringid ja braanid (?) 10 – 35 m – Plancki pikkus (teoreetiline piir)

Materjal võetud aine „Füüsikaline maailmapilt“ (LOFY.01.002) veebilehelt http://www.physic.ut.ee/instituudid/efti/loengumaterjalid/fmp/ autor Kalev Tarkpea loal

Hulgateooria aksiomaatika Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (27. juuli 1871 – 21. mai 1953) Abraham Halevi (Adolf) Fraenkel (17 veebruar 1891 – 15 oktoober 1965)


Ekstensionaalsus (hulkade võrdsus): ∀x∀y[∀z(z∈x ≡ z∈y) → x=y] Tühja hulga olemasolu: ∃x¬∃y(y ∈ x) Paaride aksioom: ∀x∀y∃z∀w(w∈z ≡ w=x ∨ w=y) Ühend: ∀x∃y∀z[z∈y ≡ ∃w(w∈x & z∈w)] Astmehulk (alamhulkade hulk): ∀x∃y∀z[z∈y ≡ ∀w(w∈z → w∈x)] või ∀x∃y∀z[z∈y ≡ z⊆x) Lõpmatu hulga aksioom: ∃x[∅∈x & ∀y(y∈x → ∪{y,{y}}∈x)] Regulaarsus: ∀x[x≠∅ → ∃y(y∈x & ∀z(z∈x → ¬(z∈y)))] Asendusaksioom: ∀u1…∀uk[∀x∃!yφ(x,y,û) → ∀w∃v∀r(r∈v ≡ ∃s(s∈w & φx,y,û[s,r,û]))] Eraldamisaksioom: ∀u1…∀uk[∀w∃v∀r(r∈v ≡ r∈w & ψx,û[r,û])] Valikuaksioom ∀x∈A∃y∈B[R(x,y)] ⇒ ∃f[f : A → B & ∀x∈A[R(x, fx)] ]

Matemaatilise loogika kokkulepped


Oluline kokkulepe:

kas välistatud kolmanda seadust tunnustada või ei

Tertium non datur:

┐┐P ≡ P

Oluline kokkulepe:

milline on lubatavate tõeväärtuste hulk?

Kas {0,1} või [0,1] või veel mingi muu hulk

Aritmeetika kokkulepped:

Kuidas on defineeritud liitmistehe?

Erinevad võimalused: 1 & 1 = 1 , liitmine loogikas

{1, 2} ⋃ {2, 3} = {1, 2, 3} , hulgateoreetiline liitmine

1/2 + 1/3 = 5/6 , kooliaritmeetika

1/2 + 1/3 = 2/5 , pesapalliaritmeetika

Geomeetria kokkulepped


Paralleelsete sirgete aksioom: Eukleides (325-265 eKr): Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata ainult ühe sirge, mis on paralleelne selle sirgega Nikolai Lobatševski (1792-1856): Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata lõpmata palju sirgeid, mis on paralleelsed selle sirgega Bernhard Riemann (1826-1866): Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, ei saa tõmmata ühtegi sirget, mis oleks paralleelne selle sirgega


Absolutistlikud koolkonnad matemaatikas

• Logitsism; Matemaatika on loogikaharu või vähemalt

taandatav loogikale. Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 -

1925)

• Formalism; Matemaatika iga osa on aksiomatiseeritav. David

Hilbert (1862 – 1943 )

• Intuitsionism; Matemaatika on konstrueeritav lõplikus

mentaalses protsessis. Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 -

1966)

• Platonism; Matemaatika tulemused eksisteerivad

transtsendentaalselt ja staatiliselt “kusagil”.


Postmodernistlik arusaam matemaatikast

Matemaatika on korrigeeritav ja muutuv sotsiaalne,

kultuuriline ja ajalooline produkt

Matemaatika pole eksimatu, kuna on tehtud inimeste

poolt, kes eksimatud ei ole

Nagu kõik teised tõed, pole ka matemaatilised tõed

absoluutsed

Asju õpitakse mitte nende teadmiseks vaid kasutamiseks

Humanism.

Matemaatika baseerub kokkulepetel, on

aksiomaatiline teooria


Matemaatika on teadusharu, kus mudel ja

objekt langevad kokku

Matemaatika on inimkultuuri geniaalne

saavutus

MATEMAATILINE MUDEL



Matemaatilise mudeli erijooned

• KASUTUSEL ON TÄPSED MÕISTED VAADELDAVA SÜSTEEMI VÕI NÄHTUSE KIRJELDAMISEKS

• KÕIK SAAVAD ÜHTMOODI ARU

• MIDA SAAB ÖELDA MATEMAATIKA VAHENDITEGA, SEDA SAAB VÄLJENDADA KA IGAPÄEVAKEELES

Matemaatiline modelleerimine tegelikkuses nõuab koostööd

praktikute ja akadeemiliste ringkondade vahel

See ongi tööstusmatemaatika

(Industrial Mathematics)


Tööstusmatemaatika organisatsioonid

• SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics, http://www.siam.org ), asutatud 1952.aastal.

• ECMI (European Consortium for Mathematics in Industry, http://www.ecmi-indmath.org/), asutatud 1986. aastal.

• CAIMS (Canadian Applied and Industrial Mathematics Society, http://www.caims.ca/), asutatud 1979. aastal.

• Jaapanis (http://www.jsiam.org/publication/jsiam-english.html).

• European Mathematical Society (http://www.euro-math-soc.eu/)

• Eesti Operatsioonianalüüsi Selts (http://www.ioc.ee/matem/estors/), asutatud 2010. aastal


Tööstusmatemaatika huvi- ja rakendusvaldkonnad

• tootmine • tehnoloogia • toorainete töötlemine • energeetika • transport ja logistika • ökoloogia • seired (atmosfääri, mere,

maakoore) • juhtimine • finantsmajandus • äri- ja kaubandustegevus • rakendusteadused


Matemaatilise modelleerimise tulemused on kõikjal meie ümber

Matemaatiline modelleerimine on kõige kiirem, odavam ja efektiivsem vahend innovatiivsete otsustuste testimisel, ökoloogiliselt puhas ning kõikide riikide seadustega kooskõlas

Olulised matemaatiliste mudelite vormid

• Arv, arvud, andmed

• Funktsioon; ühe- ja mitmemuutuja funktsioon

• Võrrand, algebraline võrrand; võrrandite süsteem

• Diferentsiaalvõrrand, harilik ja osatuletistega; süsteem

• Dünaamiline süsteem



Matemaatilise mudeli koostisosad

• Muutujad e. otsustusparameetrid e. juhitavad

parameetrid

• Konstandid, ka kalibreeritavad parameetrid

• Sisendparameetrid e. andmed

• Faasimuutujad e. seisundiparameetrid

• Väljundparameetrid

• Müra e. juhuslikud parameetrid


Matemaatilise modelleerimise käik

• Ülesande identifitseerimine ja formuleerimine

• Ekspertide ja spetsialistide valimine

• Mudeli lõplik väljatöötamine, mudeli edasiarendamine ning täpsustamine

• Mudeli matemaatiline uurimine ning rakendamine

• Numbriliste eksperimentide ja arvutisimulatsioonide läbiviimine

• Matemaatilise modelleerimise tulemuste interpreteerimine


Matemaatiliste mudelite klassifitseerimine

• Pidev – diskreetne

• Lineaarne – mittelineaarne

• Deterministlik – stohhastiline

• Staatiline - dünaamiline


Meetodi vägi

Vaatleme tuntud ülesannet: lineaarset võrrandisüsteemi:

a1,1x1 + a1,2x2 + … + a1,nxn = b1 a2,1x1 + a2,2x2 + … + a2,nxn = b2

… an,1x1 + an,2x2 + … + an,nxn = bn

Crameri meetod: tehete arv suurusjärgus n! = n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙2∙1 Juba juhul n = 25 pole jõukohane ühelegi kaasaegsele arvutile

Gaussi meetod: Tehete arv suurusjärgus n3

Majanduses, meteoroloogias,… lahendatakse süsteeme, kus n = 100 000, …,1 000 000,…

NÄIDE


GPS - tomograafia


jji

v

i

i fsx

,

1

-2

-1

0

1

2

x 107

-2

-1

0

1

2

x 107

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x 107

Võrrandisüsteem veeauru määramiseks

Satelliidid ja Maa

Vastuvõtjad Eestis

Tomograafia skemaatiliselt

Ilmaennustuse mudel (ECMWF - mudel) European Centre for Medium-Range Weather Forecasts

Ida-lääne tuul

Põhja-lõuna tuul

Temperatuur

Niiskus

Massipidevus

Rõhk


Pinnakareduse modelleerimine

Fraktaalsed

pinnad:

Vasakpoolne

tegelikkus

asendatakse

paremal oleva

mudeliga

Aine pinnale elektronide kogunemise mudel laengu-kontsentratsiooni teljestikus

Reflektiivekraanid: e-paber, painduvad ekraanid,

värvust muutvad pinnakatted


,0)sin(max

2

2

J

M

dt

d

J

B

dt

d E

φ - kera pöörlemisnurk

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1

2

3

4

5

Time (seconds)

Rota

tion

an

gle

Rotation angle

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-500

0

500

1000

Time (seconds)

Rota

tion

velo

city

Rotation velocity


Kui ette hinnatud tehete arv on sellises suurusjärgus: n!

Siis tuleb kasutada näiteks sipelgaalgoritmi, mille kirjeldas esmakordselt Marco Dorigo 1992. aastal

Teisi metaheuristilisi meetodeid: Geneetilised algoritmid Tehisnärvivõrgud Evolutsioonialgoritmid Simuleeritud lõõmutus Tabuotsing Mesilasalgoritm

Heuristilised optimiseerimisalgoritmid


Pesa Toit s

2∙s


Pesa Toit

2. tee, 2∙s

1. tee, s

Teede valimise algsed tõenäosused:

p1 = p2 = 0,5 Eeldused: Sipelgate kiirus ühesugune ja konstantne; Iga sipelgas jätab teele feromooni; Need feromoonikogused on ühesugused ja konstantsed; Tee valiku tõenäosus sõltub feromooni kogusest sellel; Ajaühikus aurustub konstantne osa feromoonist.

Järeldused: Ajaühikus läbib 1. teed kaks korda rohkem sipelgaid kui teist; Feromoonikogus 1. teel hakkab järjest kasvama; Tõenäosus p1, et valitakse 1. tee suureneb üha; Aja jooksul hüljatakse 2. tee.


Toodud eeldused ja järeldused on aluseks optimiseerimismeetodile, mida nimetatakse sipelgaalgoritmiks

Köningsbergi sillad (Leonhard Euler 1735)

Algoritm realiseeritakse nn. konstruktsioonigraafil, mis sõltub ülesandest

Iteratsioonisammu lõppedes kontrollitakse, kas mõne sipelga poolt leitud tee on lühem kui senine parim tulemus. Kui jah, lisatakse uue lühima tee servadele feromooni, kui ei, tehakse uus iteratsioonisamm

Algoritmi iteratsioonisamm seisneb selles, et pannakse tegutsema m sipelgat, igaüks neist konstrueerib tee graafis, mis läbib kõiki tippe täpselt ühe korra


Valeminäide:

ilc ilil

ijij

ijc

ccp

)(

)()(


Vastused nendele on komplitseeritud ja tuleb lahendada vastavalt vaadeldavale ülesandele

Olulised küsimused metaheuristiliste algoritmide realiseerimisel:

Kuidas vältida sattumist lokaalsele

ekstreemumile?

Millal algoritmi rakendamine lõpetada?


Tööstusmatemaatika oleks heaks näiteks kogu inimkonna vabavaraks olevate matemaatiliste meetodite rakendamisest Ülikooli ja Ettevõtete koostöös.

Matemaatika ja infotehnoloogia vahendid täiustuvad pidevalt. Järjest lisandub uusi rakendusi. Ja kuigi on teada, et kõiki asju matemaatilisse mudelisse panna ei õnnestu, tuleb selle poole siiski kogu aeg püüelda.


Tartu Ülikoolis näeme

Education

Peep miidla matemaatiline_modelleerimine