Математика и искусство, 12 класс             Тема: Парадоксы Эшера.         (Парадокс реальности или реальность парадоксов)                                                         «О, сколько нам открытий чудных                                                            Готовит просвященья дух.                                                            И опыт, сын ошибок трудных,                                                            И гений -  парадоксов друг...»                                                                                             А.С.ПушкинЦели урока:Познавательная (обучающая):

Будем учиться в обычном видеть необычное посредством математических понятий и произведений искусства, постараемся найти этому объяснение.

Проведем занятие по наглядной геометрии: опыты с лентой Мёбиуса Увидим изученные в математике понятия, стереометрические тела в

гравюрах Эшера,    постараемся сделать философские выводы. Узнаем много новых фактов, познакомимся с новыми именами. Попробуем увидеть математику в искусстве и искусство в математике.

Развивающая:        формирование умений анализировать,        сравнивать,        выдвигать гипотезы и предположения,        переносить знания в новые ситуации,         запоминать и извлекать информацию из памяти,        тренировка памяти, способности концентрировать внимание

 Воспитательная:        воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность творческой деятельности         (активности, увлеченности, целеустремленности, настойчивости, наблюдательности,  интуиции,          сообразительности)

 Необходимое на уроке оборудование:

1.    Медиапроектор с выходом в Интернет2.    Заготовки для занятий по наглядной геометрии (листы Мёбиуса), ножницы, карандаши или ручки3.    Рабочие листы с изображением гравюр Эшера

 Ход урока:Слайд 1. Эпиграф.1.Организационный момент.Учитель математики (УМ): - Что случилось, Оксана Ивановна? О чём вы задумались?Учитель искусства    (УИ):- Я думаю о том, что это за наука – МАТЕМАТИКА – и почему её считают такой важной?УМ:- О, математика – это важнейшая из наук и притом самая прекрасная!УИ:- Я бы попросила Вас не восхвалять математику, а объяснить мне сущность этой науки.

УМ:- Начнём с того, что на уроках математики изучают числа и геометрические фигуры.

1

 УИ:- А как Вы думаете, числа и геометрические фигуры существуют в реальности, как   существуют камни, цветы, звезды?УМ:- Дело всё в том, что математики изучают нечто,  существующее не в    действительности, а только в их сознании. Мы стремимся к постижению истины, поэтому создаем  абстрактные понятия непроизвольно. Мы создаем такие понятия, которые помогают в изучении реальных объектов, исходя из их свойств.УИ:- Если я правильно Вас поняла, математика изучает реальный мир, отраженный в    нашем сознании?УМ:- Вы правильно меня поняли. Математики, абстрагируясь от реально существующих предметов, рассматривают, анализируют то общее, что их объединяет. И метод, применяемый при изучении чисел и геометрических фигур (метод математического мышления), пригоден не только для нужд математики.УИ:   - Сегодня на уроке мы постараемся вас, ребята, в этом убедить. II. Парадоксы реальности. Практическая работа.Слайд 1 .

УИ.Выяснение значения слова «парадокс» путем короткой дискуссии.

Слайд 2.

Парадокс  (от греческого неожиданный, странный)  –  ситуация, которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.

 УМ: Человечество часто заблуждалось. Так, множеству математиков казалось очевидным, что любая поверхность в трехмерном пространстве обязательно должна иметь две стороны.

Предлагаю вам занятся наглядной геометрией. Перед вами полоска бумаги. Сколько поверхностей она имеет? ......... В этом

мы можем убедиться, нарисовав на одной из сторон галочку или точку. Возьмите в руки склеенную ленту. Рассмотрите её. Как вы думаете,

Что получится, если разрезать её ровно посередине?...........................................................................

А сколько поверхностей имеет лента ? ....................................................................Давай возьмем в руки карандаш и проведем линию посередине. Убеждаемсяв том, что это односторонняя поверхность.

Этот парадоксальный математический объект, названный позже лентой Мёбиуса, открыл миру в 1858 году немецкий математик Карл Август Мёбиус.

Слайд 4.

2

Карл Август Мёбус (1825-1908), родился в Айленбурге (Германия)Учёный-эколог

УИ:Слайд 5. Появляется изображение гравюры Эшера «Красные муравьи».

Посмотрите на это изображение: перед вами та же лента Мёбиуса, только выполненная рукой мастера.Огромные красные муравьи ползут по ленте Мебиуса и никак не могут выбраться.И никогда не выберутся, это точно известно, так как перед нами полоса с односторонней поверхностью, хотя на первый взгляд она имеет две поверхности – внешнюю и внутреннюю.

Это изображение принадлежит гениальному голландскому художнику и графику Морису  Корнелиусу  Эшеру (1898-1972гг.)

Теперь мы обозначили второе ключевое слово нашего урока: Морис Эшер.На экране появляется портрет Мориса Эшера.

3

Так кто же он , загадочный Морис Корнелиус Эшер?

Его жизнь богата парадоксами не меньше, чем его творчество. Он рисовал только левой рукой, а писал правой.   Обладая ярко выраженными способностями к рисованию, он не всегда занимался только этим. Переехав в Голландию в возрасте 20-ти лет, он увлекся литературой и даже написал несколько очерков и поэм. До сорока лет он много путешествовал, а потом почти не покидал  своего дома в Барне. Его работы часто становились иллюстрациями серьезных трудов по математике, но в самой науке он разбирался не более обычного обывателя. Однако у него были особые отношения с королевой наук: он ее чувствовал, причем как никто другой. На этом парадоксе жизни Мориса Эшера нам хотелось бы остановиться подробнее. Но сначала немного математики.

Задачи на выход из плоскости в пространство.

УМ: давайте вспомним самое простое: аксиомы стереометрии.

1.Три точки, не лежащие на одной прямой всегда определяют плоскость и только одну.

А что будет, если две точки принадлежат плоскости, а третья - не принадлежит?   Можете ли вы проиллюстрировать эту ситуацию на практике, как это может происходить в повседневной жизни, в ваших постоянных действиях?         Фантазируйте...Представляем себе, что мы все плоскатики....

Построить и показать в программе GG треугольники, лежащие в плоскости и выходящие из неё.

2.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая  принадлежит этой плоскости.

   Когда вы проходили эту аксиому, задавали ли вы себе вопрос, а как будет, если вдруг это не аксиома?

4

УИ:.А теперь перейдём от сдержанного языка математики к образному языку искусства

На экране гравюра «Рисующие руки»

На экране появляется гравюра Эшера «Рептилии».

  

  На раскрытой странице альбома – мозаика из зооморфных форм. Одной из рептилий надоело лежать рядом с неподвижными сотоварищами, поэтому она спускает переднюю ногу с края книги и вступает в реальную жизнь.  Вползает на толстый переплет книжки по зоологии и проделывает трудный путь наверх.  Далее это создание взбирается по угольнику, переползает через пепельницу, спускается на прежнее место, становясь вновь элементом мозаики. С одной стороны – изощренная фантазия художника, а сдругой – это целая философия. Мы вышли из природы, проделали свой путь и вернулись туда же. Но давайте посмотрим, какие предметы стали фоном этой гравюры: раскрытая книга, растение с причудливыми острыми листьями, бутыль со стаканом и правильный многогранник…

УМ.

Правильный многогранник... Одно из пяти Платоновых тел... Называется он -.......(додекаэдр, правильный двенадцатигранник).

Давайте вспомним виды правильных многогранников, их основные свойства.

Платоновы тела

5

Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Платон (427-347 годы до н.э.)

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду , так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

УИ. А теперь давайте вернемся к гравюре «Рептилии» ещё раз. Посмотрите на неё теперь другими глазами. Найдите присутствие всех 4-х стихий. Может быть теперь станет понятно изображение додекаэдра на этой репродукции.

Слайд 8.На экране появляется изображение гравюры Эшера «Порядок и хаос».

6

 Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники  встречаются в качестве вспомогательных элементов, как, например, додекаэдр в только что показанной гравюре «Рептилии». Однако нередко многогранник  становился главной фигурой работы. Именно такое значение имеет изящный звездчатый додекаэдр в работе «Порядок и хаос». В данном случае многогранник помещен внутрь стеклянной сферы.  Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу  мусором.  Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции – это окно, которое отражается левой верхней частью сферы.

Эшер много раз обыгрывал в своих работах геометрические тела. Однако, этим круг интересов художника не ограничивается. Он продолжает свои игры, как он сам говорил, серьезные игры с логикой пространства.

УМ:Скажите, сколько вы знаете пространственных измерений?

Двумерное Трехмерное Передвижение объемов во времени – четырехмерное пространство

Но есть такие измерения высших порядков, которые человеку представить достаточно сложно, а иногда и невозможно.

Слайд 9.

УИ: Появляется гравюра Эшера «Другой мир».

 

7

В предыдущих примерах мы видели игру с невозможными предметами, но этим круг интересов художника не ограничивается. Он продолжает свои игры с логикой пространства. Перед нами интерьер кубического пространства. Сквозь проемы сдвоенных арок в пяти видимых нам стен видны три разных пейзажа. Через верхние арки мы можем смотреть вниз, на землю – почти вертикально; в двух средних линия горизонта находится на уровне глаз; сквозь нижнюю пару арок можно любоваться звездами. Но одновременно все это смог увидеть только художник своим непостижимым воображением.

Мы посмотрели с вами крохотную часть из того огромного наследия, что оставил после себя Морис Эшер. На вашем рабочем листе размещены 5 гравюр, три из которых мы рассмотрели подробно, а о двух последних «Относительность» и «Терраса» вы подумаете дома.

Слайд 12. На экране появляется гравюра Эшера «Автопортрет».

 Этот автопортрет создан в конце жизни. Он парадоксален так же, как и все его работы. Точные детали создают странную гармонию целого. Наверное, сам того не желая, Морис Эшер оставил здесь свидетельство не только своего внешнего облика и стиля, но и своего характера. На ладони видна линия Урана, говорящая о глубоком уме, интуиции и блестящей фантазии. Разглядывая эту руку, невольно начинаешь верить в хиромантию.

8

Она поразительно соответствует прожитой художником жизни. А может быть это еще один поворот Игры?

УИ. Вот и подошел к концу наш урок. Признаюсь откровенно, последние слова, как и весь урок, рождались непросто. А потом неожиданно вспомнилось высказывание А.С. Пушкина, которое мы взяли эпиграфом к нашему уроку.......................

Слайд 1.

Мы прошли и через открытия, и через ошибки, прикоснулись и к парадоксам и к гениям. И если этот тернистый путь просвещения не оставил вас равнодушными, то можно сказать, что цель нашего урока достигнута.

УМ. Я в свою очередь, хочу добавить, что, увидев математические явления глазами Эшера, я была поражена тем, какой эмоциональной, а подчас и парадоксальной может быть такая точная и конкретная наука как математика.

УИ. А теперь, как говорится во многих передачах, настало время подарков. Я хочу подарить Вам ....................... эту репродукцию гравюры Эшера. Делаю это не только с уважением и любовью, но и с намёком: пусть она станет памятью о нашем сегодняшнем уроке и напоминанием о том, что не все парадоксы Эшера разгаданы, и мы обязательно должны к ним вернуться.

Спасибо за урок!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

10