Embed Size (px)
Citation preview
Métodos y Técnicas
de integración
G. Edgar Mata Ortiz
El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.
Resolución individual de problemas
En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.
Las técnicas de integración
Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
Las técnicas de integración
En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de:
Cambio de
Variable
En primer lugar, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración.
Ejemplo:
න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =
Vamos a utilizar la técnica de cambio de variable, estableciendo que:
Ejemplo:
න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4
Después de elegir el cambio de variable, se despeja equis y se calcula el diferencial de equis derivando respecto a la nueva variable (se deriva x respecto a u).
Ejemplo:
න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4𝑑𝑥
𝑑𝑢= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos.
Ejemplo: න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4𝑑𝑥
𝑑𝑢= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4𝑑𝑢 =
Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos.
Ejemplo: න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =
න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4𝑑𝑢 =
න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =
Efectuando operaciones
Solución:න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =
න(𝑢 + 4)𝑢12 𝑑𝑢 = න 𝑢
32 + 4𝑢
12 𝑑𝑢
= න𝑢32𝑑𝑢 +න4𝑢
12 𝑑𝑢
Solución:
= න𝑢32𝑑𝑢 +න4𝑢
12 𝑑𝑢
=𝑢52
52
+𝑢32
32
+ 𝐶
න(𝑢 + 4)𝑢12 𝑑𝑢 = න 𝑢
32 + 4𝑢
12 𝑑𝑢
Solución:
= න𝑢32𝑑𝑢 +න4𝑢
12 𝑑𝑢
=𝑢52
52
+𝑢32
32
+ 𝐶
න(𝑢 + 4)𝑢12 𝑑𝑢 = න 𝑢
32 + 4𝑢
12 𝑑𝑢
Variable original:
න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =2
5𝑥 − 4
52 +
2
3𝑥 − 4
32 + 𝐶
=2
5𝑥 − 4
42 𝑥 − 4
12 +
2
3𝑥 − 4
22 𝑥 − 4
12 + 𝐶
=2
5𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 +
2
3𝑥 − 4 1 𝑥 − 4 + 𝐶
=2
5𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 +
2
3𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶
Solución del problema:
න𝑥 𝑥 − 4𝑑𝑥 =2
5𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 +
2
3𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶
La solución debe expresarse en términos de la variable original (x), para que tenga sentido; no olvidemos que el cambio de variable que se realiza es arbitrario, un artificio matemático para poder resolver el problema.
