Recurrencias Resolución de recurrencias, por cambio de variable

Recurrencias

Resolución de recurrencias,

por cambio de variable

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable

T(n) término de una recurrencia original

Ti término de un nueva recurrencia obtenida de la original mediante cambio de variable


Ejemplo 1:

Cambio de variable: n = 2i i = lg2 n

2..,12

3

11

)(

depotenciansinn

t

nsi

nt


n = 2i i = lg2 n para transformarla en recurrencias ya conocidas, actuamos de la forma:Llamanos ti = t(2i) La variable es i.

ti = t(2i) = 3t(2i-1) + 2i ti – 3ti-1 = 2i

Rec. no homogénea de e.c. (x-3)(x-2)ti=c1·3

i + c22i como i = lg2 n y clg n=nlg c

ti = c1nlg 3 + c2n

lg 2 t(n) O(nlg 3)

Para determinar orden exacto, calcular c1, c2.


Cálculo de las constantes:Sustituyendo ti = c1n

lg 3 + c2nlg 2 en la ec. de rec.

Calculamos t(n) en dos puntos, obteniendo dos ec.t(n)=c1·n

log3+c2·n

Obteniendo T(n) en dos puntos Para n=1 t(1)=1 condición inicialPara n=2 t(2)=3·t(1)+2=3·1+2=5


Sustituyendo en la solución general c1+c2=1 n=1

t(2)=c1·2log3+c2·2=3·c1+2·c2=5 n=2

Resolviendo el sistema de ecuacionesc1=3; c2= -2;

t(n) = 3·nlog3 –2·n, con n potencia de 2t(n) (nlg 3) siendo n potencia de 2


Ejemplo 2: No se puede aplicar el caso general, que veremos más adelante.

T(n) = 2·T(n/2)+n·lg n, con n potencia de 2

Cambio de variable n = 2i i = lg2 n


ti = T(2i) = 2·T(2i-1) + 2i ·i = 2·ti-1 + 2i ·i

Rec. no homogénea donde b=2, p(i)=i con grd 1ti – 2ti-1 = 2i·i (x-2)(x-2)2 = (x-2)3

Solución general ti = c1·2i + c2·i2

i + c3·i2·2i

Deshaciendo el cambio [ n = 2i i = lg n ]T(n) = c1n + c2nlg n + c3nlg2n

T(n) O(n·lg2n) siendo n potencia de 2Para conocer el orden exacto, calcular las constantes


Para obtener las constantes sustituimos en la recurrencia original :

n·lgn = T(n)-2·T(n/2)n·lgn=(c1·n+c2·lgn·n+c3·n·lg2n)-2(c1·(n/2)+c2·lg(n/2)·(n/2)+c3·(n/2)·lg2(n/2))

n·lgn=c1·n+c2·lgn·n+c3·n·lg2·n-

c1·n-c2·n·lg(n/2)-c3·n·lg2(n/2)


n·lgn=c2·n·lgn+c3·n·lg2n-c2·n(lgn-lg2)-c3·n(lgn-lg2)2

n·lgn=c2·n·lgn+c3·n·lg2n-c2·n·lgn+c2·n-c3·n(lg2n+lg22-2·lgn·lg2)

n·lgn=c2·n-c3·n+2·c3·n·lgn

n·lgn=(c2–c3)·n+2·c3·n·lg n

Igualando coeficientes : c2 – c3 = 0; 2·c3 = 1

Resolviendo c2=c3= ½T(n) (n·lg 2n)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Caso General

n0 1; l 1; b 2; k 0 enteros; c>0 real.

T:NR+ no decreciente

T(n) = l· T(n/b) + c·nk

n >n0 1 , n/n0 es potencia exacta de b, es decir,

n {bn0, b2n0, b

3n0, ...}


Cambio de variable adecuado: n = bi·n0

ti = T(bi·n0) = l· T(bi-1·n0) + c·(bi·n0)k = l·ti-1 + c·n0

kbik

ti – l·ti-1 = c·n0k·(bk)i (x-l)(x-bk)d+1 [pol. caraterístico]

[r1=l , r2=bk]

Las soluciones son de la forma: ti = c1li + c2(b

k)i

Aunque en general es falso porque no se consideran las raíces múltiples


Como n=bin0 i=logb(n/n0)

Si deshacemos el cambio de i

T(n) = c1·llog

b(n/n0) + c2·(b

k)logb

(n /n0)

T(n) = c1·llog

bn – log

bn0 + c2·( b

k)logbn - log

bn0

T(n)=c1·(llog

bn/llog

bn0)+c2·((b

k)logb

n/(bk)logb

n0)

Teniendo en cuenta lgbbk=k y llgbn=nlg

bl


T(n) = c1·(nlog

bl / n0

logb

l ) + c2·(nlog

bbk / n0

logb

bk )

T(n) = ( c1 /n0log

bl ) · nlog

bl + ( c2 /n0

k )· nk

Llamando: c3= c1 /n0log

bl , c4= c2 /n0

k

T(n) = c3·nlog

bl + c4·n

k Para conocer las constantes, sustituimos esta en la recurrencia original.


T(n) = c3·nlog

bl + c4·n

k c·nk = T(n) – l·T(n/b)

c·nk = c3·nlog

bl + c4·n

k – l(c3(n/b)logbl + c4(n/b)k)

c·nk = c·nk = c3·nlog

bl + c4·n

k – l·c3 ( nlog

bl / blog

bl )

– l·c4 (nk / bk )

c·nk = c3·nlog

bl + c4·n

k – l·c3 ( nlog

bl / llog

bb) – l·c4 (n

k / bk )

c·nk = c3·nlog

bl + c4·n

k – l·c3 ( nlog

bl / l) – l·c4 (n

k / bk )


c·nk = c4·nk – l·c4 (n

k / bk )

c·nk = c4·nk (1- ( l/bk ))

Por tanto:

Para expresar T(n) en notación asintótica, necesitamos saber el cuál es el término dominante en T(n)=c3·n

logb

l+c4·nk, tenemos 3 casos:

kb

lcc

14


Si l<bk en

c4>0 y k>logbl c4nk dominante

T(n) (nk | n/n0 potencia exacta de b)

Notación asintótica condicional: condicionada a que n/n0 sea potencia exacta de b. Como T(n) es no creciente T(n) (nk). Matemáticamente, si tenemos una función condicionada a potencias, logaritmos o polinomios y es creciente, se puede eliminar la condición.

kbl

cc

14


Si l>bk en

c4<0 y k< logbl c3 >0 c3nlogbl dominante

T(n) (nlogbl | n/n0 sea potencia de b)

Como T(n) es no decreciente T(n) (nlogbl )

kbl

cc

14


Si l=bk en

Problema en c4de división por 0 El polinomio característico tiene una raíz de grado de multiplicidad 2

La solución general: ti = c5(bk)i + c6i(b

k)i

Como i=logb(n/n0)

T(n) = c7nk + c8n

klogb(n/n0) c8=c distinto de cero

Término dominante: cnklogbn T(n) (nklogbn)

kbl

cc

14


Resumiendo T(n) = l·T(n/b) +c·nk, se comporta

Observación: En la notación asintótica no es necesario especificar la base del algoritmo por la propiedad:

logan = logab · logbn O(logan) = O(logbn)

kl

kk

kk

blsin

blsinn

blsin

nTb )(

)lg(

)(

)(lg

Recurrencias

Resolución de recurrencias, mediante transformación de intervalo.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo.

El cambio de variable transforma el dominio de la recurrencia.

Podemos transformar el intervalo para obtener una recurrencia que se pueda resolver.

Se pueden utilizar ambas transformaciones.

Cuando la recurrencia no es lineal o los coeficientes no son constantes, se debe manipular para que lo sea.


Ejemplo

T(n) definida cuando n es potencia de 2

“ nT2 “ , n es coeficiente no constante y T2 es una recurrencia no lineal.

12

13

1

)(

2 nsin

nT

nsi

nT


Cambio de variable: ti=T(2i), n=2i i=lg n

ti = T(2i) = 2iT2(2i-1) = 2iti-12

donde, no lineal y 2i no cte Transformar el intervalo o rango:

Creamos otra recurrencia ui=lg ti ti=2ui

ui=lg ti = log (2iti-12 ) = log (2i) + log (ti-1

2 )

ui= i + 2lg ti-1; ui= i +2ui-1

Por tanto: ui – 2ui-1 = i Cuyo pol. caract. es (x-2)(x-1)2


ui = c12i + c21

i + c3i1i

obtengo las ctes (...) sustituyendo la sol. general en la recurrencia para ui

i=ui – 2·ui-1

i=c1·2i + c2·1

i + c3·i·1i –

2(c1·2i-1+c2·1

i-1+c3(i-1)·1i-1)

i= c2+ c3·i – 2 c2 –2·c3(i-1)

i= - c2+ c3·(i – 2(i-1)) = -c2 + c3( -i +2)

i= 2·c3 – c2 – c3·i


Igualando coeficientes en i= 2·c3 – c2 – c3·i

1= - c3 y 0 = 2c3 – c2

Resolviendo c3 = -1 y c2 = 2c3 = - 2

De c1 no tenemos información

Por tanto: ui = c12i –i –2

Deshacemos los dos cambios para determinar la complejidad de la recurrencia


Deshacer el 2º cambio:

Deshacer el 1er cambio: (i=log2n)

icui

iit 22122

2lg2lg2lg2lg

12lg

1lg

1 222)( nncnncncn

n

tnT

nnT

nc

n

c

n

ncnnc

4

2

22

2

2

22)(

111

1

2lg2lg)2(lg


Como tenemos una condición inicial podemos conocer la constante c1

T(1) =1/3; T(1)= 2c1

·1 / (4·1) =1/3

Despejando c1=lg2 (4/3); c1 = lg 4 – lg3 = 2 - lg3

Despreciando el 4 (cte)

n

n

n

n

n

n

nnnnnT

34

2

34

2

24

2

4

2)(

2

2lg

2

3lg

2)·3lg2(

n

nT

n

34

)(

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