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Fundación Gloria de Kriete
Programa “Oportunidades”
Materia
Matemática
Tema
Ecuaciones de Segundo Grado
Docente
Nelsón
Alumna
Jessica Morán
José Eduardo Monge
Grupo
A2
Fecha de Entrega
Sábado 29 de Agosto de 2014
Santa Ana, 10 de marzo de 2014
http://gaussianos.com/%C2%BFde-donde-sale-la-formula-para-resolver-ecuaciones-polinomicas-de-segundo-grado/ https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090107173105AA7amTH Página 2
Introducción
Los números forman parte de nuestro diario vivir, los vemos presentes en la
mayoría de actividades que como seres humanos realizamos diariamente. Están
presentes en nuestras finanzas, en los niveles poblacionales, en nuestra
respiración, en nuestra salud, en nuestra recreación……En fin, en todo lo que
realizamos.
Y es así, como de una u otra manera nos volvemos dependientes de una vida
estrechamente ligada a los cálculos, a las probabilidades y más importante aún, a
la realidad. Es por este motivo, que como si, existe una gran diversidad de ramas
en las cuales se subdividen las ciencias, no existiría una que se encargase de tan
importantes casos como los cuales les conllevan la utilización de los números.
Así es como nace “la matemática”, una ciencia, que según expertos en el tema, es
una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico,
estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas con números,
figuras geométricas o símbolos, pese a que también es discutido su carácter
científico. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas,
estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables.
Debido a su enorme utilidad en la vida humana, la matemática presenta cientos de
formas analíticas a utilizar, muchas que más que ayudar al razonamiento lógico de
la población, son eficaces en la solución de problemáticas que puedan surgir en el
área numérica. Prueba de esto, son las ecuaciones algébricas, cuyas ecuaciones
son fundamentales para lograr un calculo exacto o repartición, conocimiento de
ganancias, precios de productos, etc.
Existen ecuaciones algebraicas de tres tipos primordialmente, “Ecuaciones de
primer grado, Segundo grado y Tercer grado”.
En esta ocasión, nos enfocaremos en el estudio de las tan conocidas “Ecuaciones
de Segundo Grado”, también llamadas “Ecuaciones Cuadráticas”, cuya fórmula
general se encuentra dada de la siguiente manera:
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Objetivos
∞ Conocer los aspectos generales en el área teórica de las
ecuaciones de segundo grado.
∞ Reconocer ecuaciones de segundo grado.
∞ Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita en
forma numérica.
∞ Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.
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Definición
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.
1-2 De donde proviene
Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones
polinómicas de segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa
fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación
concreta:
Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendo cuántas
hay y cuáles son en el caso de que existan.
La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula?
Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo
comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más
y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que
merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:
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Partimos de la ecuación poli nómica siguiente:
donde se supone para que la ecuación sea de verdad de segundo
grado.
Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado
más unas ciertas constantes, digamos . Como sabemos
que tenemos que:
1. El término del binomio que nos proporcionará (supongamos que es )
debe ser . Por tanto .
2. El término debe salir del doble producto . Como tenemos
que . Despejando obtenemos que .
3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que , constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además debe
seguir estando. Por tanto .
Vamos, que la cosa queda como sigue:
Pasamos las constantes al otro lado:
Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el
):
Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:
Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos de la raíz:
Dividimos ambos miembros por (lo que comúnmente se diría como
pasamos al otro miembro) y sumamos las fracciones. La cosa queda:
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que es lo que todos conocemos.
Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es
bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez en cuando recordar ciertas cosas
relativamente sencilla que generalmente la gente no retiene en su memoria (el
cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo sobre este tipo de temas).
Partimos de . Restamos a ambos lados. Queda:
Multiplicamos a ambos lados por . Queda:
Sumamos a ambos lados:
La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:
Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:
Restamos a ambos lados:
Y para concluir dividimos por a ambos lados obteniendo lo que
queríamos:
1-3 conociendo un poco de la historia
Un poco de historia
Actualmente hay evidencias de que los babilonios, alrededor del año 1 600 a.C., ya
conocían un método para resolver ecuaciones de segundo grado, aunque no tenían una
notación algebraica para expresar la solución. Este conocimiento pasó a los egipcios,
que las usaban para redefinir los límites de las parcelas anegadas por el Nilo, en sus crecidas.
Posteriormente, los griegos, al menos a partir del año 100 a.C., resolvían las ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos, métodos que también
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utilizaban para resolver algunas ecuaciones de grado superior. Parece ser que fue Diofanto de Alejandría quien le dio un mayor impulso al tema. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su “Liber Embadorum”.
Para resolver la ecuación x2 – 10x = –9, el matemático indio Brahmagupta (ca. 628 d. C.) propuso el siguiente procedimiento: Multiplica el número absoluto, –9, por el [coeficiente del] cuadrado, 1; el resultado es –9. El matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi (s. IX) utilizó la siguiente estrategia para resolver la ecuación x2 + 10x = 39. Debes tomar la mitad del número de las raíces, que es 5, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número, que es 8, y le restas la mitad de las raíces, 5, y obtienes 3, que es el valor buscado. La fórmula, tal y como la vamos a ver, parece ser obra del matemático hindú Bhaskara (1114-1185). Bhaskara escribe su famoso “Siddhanta Siroman” en el año 1150. Este libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas). La mayor parte del trabajo de Bhaskara en el Lilavati y Bijaganita procede de matemáticos anteriores, pero los sobrepasa sobre todo en la resolución de ecuaciones. Es aquí, donde aparecela fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado.
Métodos para operar las ecuaciones de segundo grado
Método de factorización: 1.- Iguala a cero la ecuación. Reduce los términos semejantes ordenándolos en orden de creciente. 2.- Factoriza. a. Iguala a cero cada factor. b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución. Método de factorización: 1.- Iguala a cero la ecuación. Reduce los términos semejantes ordenándolos en orden de creciente. 2.- Factoriza. a. Iguala a cero cada factor. b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución.
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Ejemplos
Ecuaciones de 2º grado
Ecuaciones de 2º
grado, fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado completas
Ecuaciones de 2º grado completas Las ecuaciones de segundo grado deben tener
una x elevada al cuadrado.
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Conclusión
Como pudimos notar, la matemática es esenciales en la vida de toda la población,
y no solamente de las personas, sino también de los animales.
Si bien, de las ecuaciones que hemos venido hablando a lo largo de todo el
trabajo, pueden resultar bastante complejas, es necesario mencionar que la
matemática no permite un margen de error, y primordialmente requiere de un alto
nivel de análisis personal, especialmente en temas en los cuales el analicis y la
lógica se encuentran fusionados.
Además, a aplicación de las ecuaciones de de segundo grado y operaciones entre
conjuntos , es una forma de que los estudiante puedan desarrollar las diferentes
fue importante por la posibilidad de compartir y apoyarse el uno con el otro así
mismo, la socialización del trabajo realizado fue clave para establecer
comparaciones y llegar a acuerdos entre todos, al momento de realizar la
grabación cada uno de los compañeros procedió dar lo mejor de cada uno, para
de esta manera generar un material que sea de ayuda para las personas que lo
jo en equipo fue clave ya que de esta manera logramos socializar
las debilidades y las destrezas que cada uno de los integrantes