Mecanica

Mecánica I

N. J. MartinicUniversidad Mayor de San Andrés

Editorial Mongo 2003

2

Índice general

1. Movimiento Lineal 9

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. La Dinámica del Movimiento Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. El Concepto de la Integral de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Las Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. Reseña Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1. La Mecánica de Landau y Lifschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.2. La Mecánica de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3. La Mecánica Clásica del Goldstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.4. La Mecánica de Symon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.5. La Mecánica de Slater y Frank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Movimiento en el Plano y Espacio 27

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Dinámica del Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Potenciales Mas Conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6. El Movimiento Planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7. Las Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8. La Solución de la ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.1. El Sol en Reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8.2. La Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.9. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Grados de Libertad, Trabajos Virtuales 47

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Los Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 ÍNDICE GENERAL

4. El Principio de D’Alembert 59

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Las ecuaciones de Lagrange (1a Especie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. Las Ecuaciones de Lagrange 69

5.1. El Cálculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1. La Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2. El Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6. Lagrange y Hamilton 77

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2. Las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3. Las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1. Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir del principio variacional . . . . . . . . . . . . 83

6.3.2. Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . 84

6.4. Tranformaciones Canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.5. Variables Canónicamente Conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7. Hamilton-Jacobi 89

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.3. Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4. El Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.4.1. Solución de la Ecuación de Hamilton-Jacobi por Separación de Variables . . . . . . . . . . . . . 95

7.5. Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8. Mecánica del Rígido 99

8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2. La Mecánica de las Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2.1. Fuerza y Movimiento del Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.3. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.4. Cinemática del Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.5. Los Parámetros de Klein-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.6. Las matrices de variables dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.7. Klein-Cayley y los ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.8. Las Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ÍNDICE GENERAL 5

9. Mecánica del Rígido II 117

9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2. Momentos de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.2.1. Transformaciones de un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2.2. El Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.3. Las Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.3.1. Trompo Pesado y Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.3.2. El Péndulo Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10. Las Oscilaciones Forzadas 139

10.1. oscilaciones forzadas sin amortiguamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10.2. Las oscilaciones atenuadas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.3. Oscilaciones forzadas con atenuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A. Las Ecuaciones de Lagrange de 1a Especie 145

A.1. Ejercicio resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2. Dinámica del Péndulo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 ÍNDICE GENERAL

Preámbulo

Este es un curso completo de mecánica para estudiantes de ciencias y por supuestode carreras técnicas. El presente texto ha sido enriquecido con varios semestres deenseñanza en diversas universidades, aunque con un centro de gravedad geográficaen la ciudad de La Paz.

El contenido está previsto para un semestre universitario de cuatro horas de clasespor semana y otras dos de prácticas con un asistente que administra fundamen-talmente los problemas y la manipulación de los problemas numéricos medianteordenadores. El estudiante debe conocer medianamente el análisis matemático, elmatricial y tensorial. Debe tener conocimiento práctico de uno o dos lenguajes deprogramación, de preferencia el C y el FORTRAN.

La filosofía del curso se halla en preparar al estudiante a los cursos de mecánicade fluídos y la mecánica cuántica. La doble visión de principios variacionales yel método histórico-inductivo es enfatizada en el texto. Es conocimiento ortodoxode que la bibliografía en el sujeto –por lo menos durante medio siglo!, es más quesuficiente como para vetar la aparición de textos noveles en la arena pedagógicaa este nivel universitario. Sin embargo, parece que la bibliografía existente sehubiera congelado con los excelentes libros de dominio público. No obstante ello,no existen prácticamente nuevas ediciones, ni ediciones baratas, de estos textospor razones incomprensibles. Nosotros creemos que es necesario introducir losmedios informáticos para realzar el valor intrínseco de aquellos libros dándolesun valor agregado moderno.

Esta obra está dedicada a los estudiantes de la UMSA

La Paz agosto 2003

8 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Movimiento Lineal

1.1. Introducción

El concepto epistemológico de la disciplina llamadamecánicase halla fundamen-tada luego de la aparición del libro de Newton,Principiae Mathematicaen el sigloXVII. Hasta entonces sólo se habia considerado la mecánica como un capítulo dela Fisica de Aristóteles. Aunque los eruditos de la edad media así como del rena-cimiento lo enseñaban como una “ciencia” semejante a otras como la alquimia, laanatomia, etc. . .

Fue Newton quien sintetizó los conceptos de movimiento que ya se hicieron mo-dernos a través de los trabajos de Galileo, Copérnico y Kepler. Se sabía perfecta-mente que lafuerzaera la fuente del incremento de la velocidad. Se había hechoel gran paso de considerar a la ciencia de la mecánica confrontándola con obser-vaciones de cuerpos celestes, o por lo menos de comprobar esas ideas en algunosexperimentos propuestos y realizados por los hombres de ciencia. Sin embargo,fue Newton quien propuso, cuantitativamente, que la tasa de la cantidad de movi-miento era generada por una fuerza exterior. Siendo la cantidad de movimiento elproducto de la masa de una partícula multiplicada por la velocidad de la misma.Obviamente que le concepto de velocidad ya se lo tenía muy bien definido desdelos tiempos de Aristóteles mientras que el concepto de masa era introducido justopara permitir esta definición.

Fue entonces que se comienza a hablar deleyesinmutables y universales. Lasfuerzas gravitacionales entre los cuerpos celestes, como la tierra y el sol, pueden

10 Movimiento Lineal

escribirse en función de la ubicación de estos cuerpos. Recíprocamente una vezconocido estas fuerzas en una ubicación dada, se puede calcular cuantitativamenteel valor de la aceleración de estos cuerpos.

El estudio presente se ocupará de clasificar los conceptos en juego en esta rama dela ciencia, independiente de la existencia de ideas modernas por las cuales las pre-sente leyes de la mecánica quedarán un poco cambiadas tanto como interpretacióncomo de definición de las variables dinámicas en lamecánica cuántica.

Sin embargo, el estudio de la mecánica cuántica u ondulatoria se basa genética-mente en el aparato formal de la mecánica tal como estudiamos a continuación.Los conceptos de energía, momento angular, momento lineal . . . serán traslada-dos con ciertos cambios sistemáticos y conceptuales en la cuántica. Por otro lado,no se cambiará la mecánica,clásica, en los problemas tradicionales a las que haestado sometido antes del siglo XX. El cambio visible en la concepción cuánticaaparece para el mundo subatómico, tal como lo entendemos ahora, e incluso pa-ra el límite en el que la mecánica clásica evita esos entornos es posible pasar enforma contínua desde una mecánica cuántica, moderna y atómica, a una mecáni-ca clásica. Por otro lado, vale la pena mencionar elpequeñocambio que se debehacer en la mecánica clásica para su validez desde el punto de vista de la rela-tividad (restringida). No hay prácticamente cambio conceptual en los principiosde la mecánica si se desea abarcar dicha mecánica relativista restringida, bastan-do considerar los principios de la relatividad dentro del esquema de la mecánicaanalítica.

Es por lo tanto imprescindible el conocimiento profundo de la mecánica tradicio-nal desde todo punto de vista.

1.2. La Dinámica del Movimiento Lineal

Consideremos una partícula definida sólo mediante su posición. Por el momentono consideramos su componente dinámica, esto es su masa. Sea por ejemplo uncuerpo pesado que cae debido a la gravedad. Se deduce que la variación de lavelocidad,dv/dt, se denominaaceleración. Además, debido a los conocimientosdel cálculo, se puede esciribr, dondex es la coordenada del cuerpo

a =dv

dt=d2x

dx2(1.1)

1.2 La Dinámica del Movimiento Lineal 11

la definición de lasegundaley de Newton es: La fuerza que actúa sobre el cuerpoes igual a la tasa de variación [con respecto del tiempo] de la cantidad de movi-miento,mv es decir,

F =d

dtmv (1.2)

la masam, que para la relatividad restringida no es constante aunque si lo es parael caso clásico. En el caso relativista,m = m0√

1−v2/c2 , dondec es la velocidad

de la luz en el vacío ym0 es la masa en reposo, que es una constante universalpara cada cuerpo. Dicha velocidad tomaremos en lo que sigue comoc ∼ 3 ×1010 cm/s. Desde el punto de vista de la mecánica, el momento lineal, o cantidadde movimientop = mv debe tener en cuenta la masa relativista. Como se ve elcambio en la segunda ley de Newton no es muy grande.

Si, en la ecuación 1.2 se conoceF el objetivo del cálculo presente es el de sumi-nistrar la abscisax en función det haciendo uso de cualquier tipo de conocimientotécnico en matemáticas.

Infelizmente, la dependencia deF puede depender no sólo de la abscissax, sinoque del tiempot e incluso de la velocidadv o en el peor de los casos de todas estasvariables.

Fuerza constanteLa ecuación 1.2 se puede integrar rápidamente para locual necesitamos constantes arbitrarias, como cualquier estudiante de cálcu-lo sabe. El resultado es, siF =constante,

x = x0 + v + v0(t− t0) +1

2

F

m(t− t0)

2 (1.3)

dondem es una constante asi comov0 y t0.

Fuerza variable dependiente delt asi como dex y dx/dt cada vez en su-mando. La ecuación resultante es

mx+ ax+ kx = F (t) (1.4)

donde los puntos sobre la variablex implica derivadas con respecto al tiem-po para un punto, mientras que para dos significa derivadas segundas conrespecto al tiempo dos veces.


Si, en el caso mas simple, no hay dependencia deF con respecto at diga-mosF (t) = 0, entonces hablamos deoscilaciones libres. En la ecuación1.4 el tercer término de la izquierda implica una “ley” de Hooke, esto es,existe una fuerza de restitución (colocándolo al segunto término) que haceque el cuerpo sienta un coeficiente de restitución que tiende a empujar alcuerpo hacia la posición de equilibrio, en este casox = 0. Llevando el se-gundo término al segundo miembro de la ecuación 1.4 se obtiene una fuerza“activa” F = −adx/dt que produce una resistencia viscosa al movimientodel cuerpo.

La solución de la ecuación diferenciallineal 1.4, se encuentra mediante lasconstantesr± = −a/2m ±

√(a/2m)2 − k/m de tal modo que la solución

general de 1.4 es

x = A+er+t + A−er−t (1.5)

Cuando la solución de la ecuación característica posee una sola raiz, es de-cir p+ = p− = p = −a/2m, entonces se dice que la solución ofrece solouna atenuación, la solución general siempre tiene dos constantes arbitrarias,entoncesx = (A + Bt) exp(pt). Esa atenuación recibe el nombre de ate-nuación crítica. La atenuación es la disminución exponencial que define lafunciónexp(−|p|t). Cuando la atenuación es menor que la atenuación crí-tica, es decir cuando las amplitudes de las oscilaciones no disminuyen masrápidamente que la atenuación crítica, los valores der± son conjugadoscomplejos entre si.

La solución teórica de más arriba se muestra en la figura 1.1. En la ilustra-ción de la izquierda se muestra el esquema tanto de la fuerza de restitucióndel resorte, así como la de fricción.

Ahora bien, ya que las soluciones parax deben ser reales, entonces la solu-ción general debera ser real, con lo que los coeficientesA± de la solución1.5, también deberán ser entre si complejos conjugados. En esos casos, lla-mamosjω =

√(a/2m)2 − k/m dondej =

√−1, obteniéndose finalmente

x = Re Ae−(a/2m)tejωt (1.6)

donde|A| ≡ 2|A±|. Las dos constantes arbitrarias se pueden escribir comoA0 y φ en la nueva expresión siguiente


velocidad

friccion

km

posi

ción

, u.a

.

tiempo, u.a.

Figura 1.1: A la izquierda el esquema que da origen a la ecuación diferencial 1.4:el resorte que se encuentra gracias al cocientek/m, mientras que el rozamientoque interviene con la constate−a/m. A la derecha la topología general de lassoluciones para el caso en que las soluciones posean sólo una raiz.

x = A0e−(a/2m)t cos(ωt+ φ) (1.7)

además, se debe escribir las ecuaciones de movimiento en función de cons-tantes físicas comox0, la posición inicial, o bien una posición a un tiempofijo t0 lo cual es similar al presente análisis, y comov0 como la velocidadinicial a un tiempo inicial (en el presente cálculo al tiempot = 0) dandoambas constantes físicas como funciones de las constantesA0 y φ de masarriba. Del modo siguiente

x0 = A0 cosφ

v0 = −A0a

2mcosφ− Aω sinφ (1.8)

es fácil visualizar la variación dex en función del tiempot.

Caída Libre. Se sabe que la fuerza exterior es una constanteF = −mg. Elsigno se debe a que se toma la dirección positiva del eje de coordenadas a lolargo del cenit. Entonces, de acuerdo a lo anterior,x = −g, donde la masase considera constante, y que la aceleración de la gravedad se halla inmersoen la variableg. Elegimosv = 0 para la posición inicial yx = h para dichaposición. Quedando entonces con simple integracion

x = −gt x = h− g

2t2 (1.9)


1. Ejercicio: La dependencia de la abscisa en función del tiempo, recibe elnombre de horaria del movimiento, mientras que la dependencia de la velo-cidad dx

dten función del tiempo recibe el nombre de odógrafa del movimiento.

Encuentre ambas curvas para el caso del problema de caída libre. Los datosiniciales del problema son por un lado la aceleración de la gravedad,g y porotro las condiciones del movimiento propiamente dichas, a saber una veloci-dad inicial y una posición inicial.

Como ya se ha visto en la expresión 1.9 las dos funciones son, una cuadrática enel tiempo y la otra lineal en la misma variable. En la figura 1.2 se exhibe ambascurvas. Se ha tomado como condiciones inicialesv0 = −1 m/s y la posicióninicial x0 = 5 m; por otro lado, por sencillez se ha tomadog = 10 m/s2.

−8

−4

0

4

−0.5 0 0.5

velo

cida

d, m

/s

tiempo, s

−8

0

8

−2 −1 0 1 2

posi

ción

, m

tiempo, s

Figura 1.2: A la izquierda laodógrafadel movimiento, mientras que a la derechala horaria del mismo. El tiempo inicial implica el valor de las magnitudes para eltiempot = 0 s, empero, es posible extrapolar a tiempos negativos, esto es, antesde ahora, y los positivos que implica el futuro.

2. Ejercicio: En la expresión 1.4, sabiendo quekm

= 0,554 s−2, y que a)am

= 0,34 s−1, b) am

= 0,554 s−1 encuentre la horaria y hodógrafa del mo-vimiento

Como quiera que es necesario utilizar paquetes ortodoxos para resolver las ecua-ciones diferenciales en mecánica, se presenta a continuación el listado del progra-ma principal, escrito en Fortran, que resuelve dicho problema. En la figura 1.3 sedan las gráficas pedidas.

C RKGS-SYSTEM OF 1ST ORDER DIFF. EQNS.

C


CÑewton equation with friction

C y1’ = y(2) WITH Y1(0) = 0

C y2’ = -(g/l)y(2)-(k/m)(y(1)) WITH Y2(0) = -2.3

C

EXTERNAL FCN

EXTERNAL OUTPUT

DIMENSION Y(2),DERY(2),AUX(8,2),PARAM(5)

common/one/v0,gsll,xkslm,PI

common/two/mongo

C

C INITIALIZATION

mongo=0

V0=20.

xkslm=0.554

C gsll=0.34

gsll=0.14

Y(1)=V0

Y(2)=-2.3

C Y(2)=-8.3

PI=atan(1.)*4

PARAM(1)=.0

PARAM(2)=60.0

PARAM(3)=0.01

PARAM(4)=1.E-5

DERY(1)=.6

DERY(2)=.4

C DERY WEIGHTING FACTORS FOR ERRORS

ÑDIM=2

CALL RKGS(PARAM,Y,DERY,

*NDIM,IHLF,FCN,OUTPUT,AUX)

STOP ’successful!’

END

SUBROUTINE FCN(X,Y,DERY)

DIMENSION Y(*),DERY(*)

common/one/v0,gsll,xkslm,PI

DERY(1)=Y(2)

DERY(2)=-gsll*Y(2)-xkslm*Y(1)

RETURN


END

SUBROUTINE OUTPUT(X,Y,DERY,

*IHLF,NDIM,PARAM)

DIMENSION Y(*),DERY(*),PARAM(*)

common/two/mongo

mongo = mongo+1

if(mongo/50*50.eq.mongo)

*WRITE(*,102) X,Y(1),Y(2),IHLF

102 FORMAT(1x,F10.2,2(1PE17.8,1x),I7)

RETURN

END

C g77 velo.f rkgs.f

La rutina ortodoxa utilizada se basa en la solución de ecuaciones diferenciales porel método de Runge-Kutta. Esta rutina se encuentra listada en cualquier libro deanálisis numérico. Los estudiantes que así lo deseen pueden copiar dicha rutinallamada <rkgs.f>pueden solicitar al autor de este trabajo.

Más adelante, ver 1.18, se encuentra analíticamente una solución similar a la dadanuméricamente aquí. Existe sin embargo, una diferencia y es que el rozamiento esproporcional al cuadrado de la velocidad.

−10

0

10

20

0 30 60

posi

ción

, m

tiempo, s

−10

0

10

0 30 60

velo

cida

d, m

/s

tiempo, s

Figura 1.3: En la ilustración de la izquierda, se exhibe la horaria del movimiento,con las condiciones iniciales elegidas apropiadamente, a saber, la posición inicialen la ordenada a20 m y la velocidad inicial dada porv0 = −2,3 m/s. A laderecha la odógrafa del movimiento. Se ha dibujado sólo uno de cada 20 puntoscalculados.

1.3 El Concepto de la Integral de la Energía 17

1.3. El Concepto de la Integral de la Energía

Si suponemos que la fuerza depende sólo de la posición, que es una suposiciónrazonable en muchos casos, entonces es posible integrar directamente la ecuación1.2, quedando

m∫ t

0

dx

dt

d2x

dt2dt =

∫ t

0F (ξ)

dξ

dtdt (1.10)

en vista de que en la ecuación 1.10, se puede escribir el integrando del primermiembro como1/2 d/dt(dx/dt)2, la expresión 1.10 se transforma en

m

2v2 − m

2v2

0 =∫ x

x0

F (ξ)dξ (1.11)

donde las velocidades y posiciones iniciales se han tomado comox0 y v0 especti-vamente. Por otro lado, definimos a una función potencialV (x), como el trabajocon signo contrario de “otra” fuerza opuesta a la anterior que la produce, es decir1

V (x)− V0(x) = −∫ x

x0

F (ξ)dξ (1.12)

igualando las expresiones 1.11 y 1.12, se obtiene finalmente

1

2mv2 + V (x) =

1

2mv2

0 + V (x0) ≡ E (1.13)

que no es otra cosa que la suma de la energía cinética, tradicionalmente escritocomoT = 1/2 mv2 y la “energía” potencial que acabamos de definir. Comose ve, ambas sumatorias, independiente del punto en que el cuerpo se encuentre,siempre dan un númeroE.

Volviendo el ejercicio anterior de la caida libre, encontramos que la energía poten-cial se escribe comodV = mg dx, (obsérvese el cambio de signo para la fuerza),dando como consecuenciaV (x) = mgx. Por otro lado,T = 1/2 mv2, se obtienede 1.13,

1alternativamente se puede decir que existe una función potencial tal que su gradiente cambiadode signo sea igual a la fuerzaF (x)


1

2mv2 +mgx = mgh = E (1.14)

lo que implica haber tomado que para la posición inicial el cuerpo se encuentra auna alturah y con una velocidadv0 = 0, de donde se obtiene para la velocidadfinal (para cuando arrive al piso, esto es,x = 0) v =

√2gh.

En vista de la introducción de este nuevo concepto analicemos ejemplos

Caída Libre en el Aire. Como es usual asumimos que laresistenciadelaire a la caída de un cuerpo depende de la velocidad de éste. Es mas, deacuerdo a la ley de fricción introducida por Newton, podemos pensar quedicha resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad. Es decir

F (x) = −mg + av2 (1.15)

aplicando la segunda ecuación de Newton se obtiene

dv

dt= −g +

a

mv2 = −g(1− a

gmv2) (1.16)

donde se puede observar que el sentido de la aceleración de la gravedadse halla opuesto a la fuerza de fricción. Ahora bien, separando variables yhaciendo uso de la descomposición en fracciones simples se obtiene

−gdt =dv

2[

1

1−√a/gmv

+1

1 +√a/gmv

] =1

2√a/gm

ln[1 +

√a/gmv

1−√a/gmv

]

(1.17)

de donde se obtiene

√a/gm v = − sinh(

√a/gm gt)

cosh(√a/gm gt)

= − tanh(√a/gm gt) (1.18)

debido a que existe un valor límite paratanh(x) que se aproxima a 1, se

puede obtener una velocidad máxima para el cuerpo, a saber|v| =√gm/a.


Por otro lado, si se descompone en serie de Taylor la tangente hiperbólicase obtiene

v = −gt[1− a

3mgt2] (1.19)

de donde se puede ver la dependencia cúbica entre la velocidad y el tiempopara valores pequeños de

√ag/mt.

3. Ejercicio: Haciendo uso de una rutina apropiada, encontrar la hora-ria de movimiento del problema de la caída libre en el aire.

El Oscilador Armónico Por definición, el oscilador es el movimiento deun cuerpo con masa definida y constante que es solicitado por una fuerzaproporcional a su desplazamiento y dirigida en la dirección del centro dedesplazamiento. Es decirF = −kx. Utilizando la conservación de la ener-gía se obtiene, por un lado,dV = −Fdx = 1/2 kdx2, lo que da para unaintegración entre0 y x V (x) = k/2 x2, de donde haciendo uso la conserva-ción de la energía se obtiene

1

2mv2 +

1

2kx2 = E (1.20)

dando las condiciones iniciales, parat = 0, se suministra digamos,x = a yv = 0, de tal modo que en el puntot = 0 la energíaE valga1/2 ka2. De laecuación 1.20 se obtiene

(dx

dt)2 =

k

m(a2 − x2)

√k

mdt =

dx√a2 − x2

(1.21)

con una cuadratura, se obtiene con las condiciones iniciales indicadas masarriba, llamando, como es costumbreω =

√k/m

ωt = arcsin(x

a)− π

2(1.22)


lo que da el resultado buscado

x = a cos(ωt) (1.23)

ω no es otra cosa que el número de vibraciones de2π por unidad de tiempo.Si se llamaT el período de oscilación yν la frecuencia se ve queω =2π/T = 2πν. Obviamente que no es necesario recurrir a la conservación dela energía para resolver este problema.

4. Ejercicio: Encontrar la solución de la ecuación del resorte sin teneren cuenta la conservación de la energía

La Fuerza que depende del inverso de la distancia al cuadrado.En estecaso, que es el de la gravitación universal, se puede escribir la ecuaciónde Newton como sigue, caso de un meteorito, o un cohete que sale de laatmósfera terrestre sin rozamiento.

md2r

dt2= −mMG

r2(1.24)

con las constantes usuales,m, la masa del cuerpo que se halla atraída porla atracción gravitatoria de una cuerpo celeste de masaM y G la constantede la gravitaciónuniversal. La distancia a la que se encuentra el cuerpo sedefine, en una dimensión, comor. (Ver figura 1.4). Para evitar utilizar elvalor de la constante de gravitaciónG decimos que el valor de la fuerza a ladistancia de la superficie del cuerpo celeste, que es esférico, se confunde conla llamada aceleración de la gravedad multiplicada por la masa del cuerpo; osea,gm = mMG/a2, dondea es el radio del cuerpo celeste. Para fijar ideasdiremos que se trata de la tierra. Entonces, encontremos la energía potencial

dV = +mga2dr

r2(1.25)

efectuando una cuadratura, empero, con los límites de integración entreel valor que nos interesa y otro a una distancia∞. Quedando finalmenteV (x) = −mga2/r. Utilizando entonces la conservación de la energía conlas condiciones iniciales indicadas queda


0

r

r

F

Figura 1.4: El origen es el centro del cuerpo celeste, el cuerpo de masam se hallaatraída hacia el centro del cuerpo celeste de acuerdo a la ley de la gravitaciónuniversal. No olvidar que el movimiento es lineal

m

2(dr

dt)2 − mga2

r= E = −mga

2

R

dr

dt= a

√2g(

1

r− 1

R) (1.26)

de donde se puede despejar el valor del tiempot. Quedando

t =1

a√

2g

∫ dr√1r− 1

R

(1.27)

dondeR es la posición inicial donde el meteorito se encontraba en reposodesde donde iniciará su caída hacia la tierra. Los casos mas simples son,por un lado,R = ∞ y r = a, es decir un meteorito cae desde “arriba” a lasuperficie de la tierra con una velocidad dev =

√2ga.

Ahora bien, si el meteorito no cae desde una distancia muy grande, entoncesR = a+ h y r = a, dondeh << a. Descomponiendo en Taylor se tiene,

v =√

2gh (1− h

2a+ . . .) (1.28)


1.4. Las Leyes de Newton

1. Primera LeyTodo cuerpo material permanece en el estado de reposo o bien posee unmovimiento uniforme y rectilíneo a no ser que se le soliciten fuerzas exte-riores.

2. Segunda LeyLa tasa del momento lineal es proporcional a las fuerzas exteriores que ac-túan sobre el cuerpo. Dicha tasa es un incremento de la velocidad por unidadde tiempo y que posee la dirección y sentido de las fuerzas exteriores. Sesobre entiende, como se ha dicho antes que el momento lineal o la canti-dad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad del cuerpo.Cuantitativamente quiere decirF = p

3. Tercera LeyAcción es igual a la reacción. Las fuerzas que ejerce un cuerpo sobre otroson iguales y de sentido contrario a la que éste ejerce sobre aquel.

1.5. Reseña Bibliográfica

Ha pasado casi medio siglo desde que aparecieron los libros clásicos de Mecánica.Las colecciones de Landau y Lifchitz, el Goldstein, libros clásicos sobre este su-jeto. En ese entonces los estudios de física, o mejor científicos, prometían muchomás de lo que se ha obtenido en esas carreras. Los estudios llamados superioresen los países del tercer mundo han conocido varios avatares. Desde la proposiciónque la ciencia era un camino para combatir el subdesarrollo hasta la actual en laque el concepto científico está supeditado a la llamada globalización política se haconocido diversas hermenéuticas para justificar y alentar a la juventud en las víasde estudios científicos.

Sin embargo, admitamos que el concepto de globalización es la base de los estu-dios en ciencia. No sólo ahora en el marco popular de tal “filosofía” que se puederesumir como un monopolio del conocimiento aceptado y aceptable para todos losque estudian ciencia, con aquello que es indispensable: bibliografías ortodoxas, unidioma casi monopolista como lo fuera antes el latín y ahora parece ser el inglés,tecnologías universales como la de los ordenadores, el “internet”, el intercambio

1.5 Reseña Bibliográfica 23

académico que no conoce fronteras ya sea geográficas, raciales o ideológicas, lasrevistas, sean estas virtuales o no, forman la base de la globalización científica.

Por otro lado analizando las bibliografías en Mecánica se puede enumerar unaserie de conceptos que disputan a los sobre-entendidos sobre la bondad de las bi-bliografías ortodoxas. Es prácticamente imposible encontrar re-ediciones de loslibros que justamente vamos a reseñar bibliográficamente. Las ediciones Aguilardel Goldstein parece que ha caido en el olvido muy posiblemente por que dicholibro se encuentra en exceso en las bibliotecas públicas. Incluso las editoriales enlengua inglesa no han permitido ediciones “paperback” de estos libros reputadosde serios y exitosos. En el tercer mundo, felizmente, gracias a medias por la apa-rición de los aparatos de reproducción electrónica-fotográfica (también llamadasfotocopiadoras en nuestro medio) y un cierto respeto a la piratería justificable só-lamente por la ausencia de fondos para reconocer una propiedad intelectual loslibros en cuestión están a disposición de los estudiantes. La colección de los 10Landaus, la 4a edición en lengua francesa por la editorial Mir antes de la heca-tombe soviética en mi poder (la original rusa salió a luz en julio del 1957 con 9tomos), parece ser la sobreviviente de esos tiempos heroicos de una cierta modaque desaparece en este siglo XXI.

A continuación se inicia una reseña de algunos de estos libros dirigidos al públicoestudiantil.

1.5.1. La Mecánica de Landau y Lifschitz

Landau L., Lifchitz E.,Mécanique, 4a Edición, Mir Ed., Moscú, 1988

Se trata de introducir la mecánica mediante el principio de mínima acción, apa-reciendo casi en las primeras páginas las ecuaciones de Lagrange. Introduce in-mediátamente también Lagrangianos relativistas (relatividad restringida). Menosmal que no habla del Hamiltoniano en el primer capítulo. Los teoremas de con-servación son enfatizados, así como las colisiones, y las pequeñas oscilaciones. Eltodo se completa con un análisis exhaustivo de la mecánica del rígido para con-cluir con las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. El concepto de Hamiltoniano juegaun papel importante a lo largo del volumen. Existen problemas resueltos (75 en la4a edición francesa) con mucha sagacidad. Faltan ejercicios propuestos. Se tratade un libro repudado de denso y tal vez un poco difícil.


1.5.2. La Mecánica de Sommerfeld

Sommerfeld, A.,Mechanics, Academic Press, Nueva York, 1952

Aparecido por vez primera en septiembre del 1942, la colección de la física teó-rica de 6 tomos entre los que sobresale la mecánica. La tradición europea delenciclopedismo hace posible este tipo de colecciones, muy rara vez emulado enlas Américas. La aparición de esta colección se halla en el esquema de la llamadafísica teórica, que era nos imaginamos, vista como una rama más bien de las ma-temáticas que de la física experimental. Hoy en día dicho calificativo no deja deser un pié de página. Se trata de un libro muy didáctico, con un énfasis en el méto-do inductivo desde las leyes de Newton, pasando clásicamente de la dinámica delpunto material hasta los conceptos de energía y potencial para resolver, con granfacilidad, el problema de dos cuerpos. A continuación ataca la mecánica de lossistemas de partículas, los trabajos virtuales, para ingresar a través de las fuerzasde D’Alembert a las ecuaciones de Lagrange de 1a y 2a especie. El cuerpo rígidomerece particular atención al ser un erudito en la materia ya que este autor junto aF. Klein ha escrito un tratado sobre el sujeto. Finalmente toda la teoría variacionaly de Hamilton se encuentra discutida con un énfasis para preparar al estudiantea la mecánica cuántica, sujeto muy conocido por este profesor de Heisenberg enla Universidad de Munich. Existen una sesentena de ejercicios resueltos de muybuena calidad.

1.5.3. La Mecánica Clásica del Goldstein

Goldstein H.,Classical Mechanics, 3d Printing, 1966, Addison Wes-ley, Reading Mass.

Libro clásico, o por lo menos reputado de tal. Su primera edición apareción en1950. Posee una decena de ejercicios propuestos por capítulo muy al estilo ame-ricano. Las ecuaciones de Lagrange se encuentran discutidos inmediátamente enel primer capítulo luego de un análisis de los conceptos de grados de libertad, defuerzas, y de las leyes de Newton. Es un libro de casi 400 páginas con una tipo-grafía excelente, siendo su notación aceptada por todos a partir de la aparición dellibro. El principio de Hamilton se encuentra en el segundo capítulo. Cubre todoslos sujetos clásicos e incluso introduce en un capítulo la teoría de la relatividadrestringida con una formulación covariante. Las ecuaciones de Hamilton y las de

1.5 Reseña Bibliográfica 25

Hamilton-Jacobi son tratadas con cierta profundidad. Termina el texto con la for-mulación Lagrangiana de los sistemas contínuos. Obviamente que en la época dela aparición del libro se pensaba que un fluído era un sistema con infinitos gradosde libertad.

Se trata de un libro que posee más reputación de ser un libro de texto entre losestudiantes que ser estudiado realmente.

1.5.4. La Mecánica de Symon

Symon K. R.,Mechanics, 2d Edition, Addison Wesley, 1960, Rea-ding, Mass.

Es un libro de apenas 40 años, como se vé de todos modos un libro relativamenteviejo. Se trata de una obra muy al estilo americano, relativamente “facil” en latradición clásica de introducir el sujeto. Es decir, primero la dinámica del pun-to, luego de un sistema de partículas, el rígido, la gravitación para introducir enlos últimos capítulos Lagrange, Hamilton. No existen los principios variaciona-les, tampoco las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Posee muchos más ejerciciospropuestos (con las respuestas para las preguntas impares) que los otros libros. Esmas bien un libro para ingenieros que para científicos, aunque no es demasiadotécnico tampoco.

1.5.5. La Mecánica de Slater y Frank

Slater J. C., Frank N. H.,Mechanics, 1947, New York, McGraw-Hill

Otro libro relativamente viejo, su primera edición es de 1947. Se trata de otro libroque forma parte de una colección clásica de la llamada entonces Física Teórica.Se trata de un muy buen libro con una introducción clásica del sujeto, punto ma-terial, sistema de partículas, las ecuaciones de Lagrange y Hamilton, aunque no laecuación de Hamilton-Jacobi ni los principios variacionales. Posee sin embargoelasticidad e introducción a la teoría de los fluidos. Es una obra a consultar aúnhoy día ya que sus ideas son muy claras.


Capítulo 2

Movimiento en el Plano y Espacio

2.1. Introducción

A partir de ahora se va introducir el concepto de geometría diferencial para quese pueda exhibir el concepto de análisis vectorial como la base de la cinemáticaen mas de una dimensión. Es oportuno mencionar sin embargo que si se dominapasablemente el álgebra vectorial, la mecánica de más de una dimensión no ofrecemayores dificultades de comprensión.

A continuación introducimos las fórmulas de Fresnet para entender adecuádamen-te los conceptos de relaciones geométricas útiles en la cinemática.

Empecemos con la definición geométrica de una curva en el espacio de tres di-mensiones, sear = r(t) la ecuación de una curva en tres dimensiones. Se sobreentiende quer es un vector cuyo orígen está elegido arbitrariamente y cuyo puntofinal se encuentra sucesivamente en todos los punto de la curva en cuestión, verfigura 2.1. Si se define como el cuadrado de un elemento de arco de la curva a laexpresiónds2, entonces

ds2 = dr2 = [dr

dt]2dt2 (2.1)

si en la expresión 2.1 se pudiese encontrart(s), o su inverso digamoss(t), po-dríamos elegir el parámetro s, es decir elarco de la curva, como el argumentoespecial de otra función vectorial dada por

28 Movimiento en el Plano y Espacio

r

r+dr

dst+dt

O

t,ss 0

Figura 2.1: La magnitud escalars se puede medir a partir des0. Aquel punto coin-cide con un tiempot medido en un reloj cualquiera. El incremento vectorial entret y t + dt depende de los vectoresr y r + dr, mientras queds se halla medido alo largo de la curva que une estos dos últimos puntos

r = R(s) (2.2)

encontrando, mediante una simple derivación vectorial

t(s) =dR

ds(2.3)

se ve inmediatamente que el módulo de|t| = 1, por la definición de derivada deuna función vectorial con respecto a su argumento cuando éste es la longitud a lolargo de la curva. Ello involucra quet2 = 1, o lo que es lo mismo, derivandot · t,

t·dtds

= 0 (2.4)

lo que la expresión 2.4 implica es que tantot comodt/ds sonperpendicularesentre si.

Definamos unanormaln, como un vector unitario, del modo siguiente

dt

ds= κn (2.5)

dondeκ es lacurvatura.

2.1 Introducción 29

Nuevamente, se tiene un vectorn que es unitario, esto es,n · n = 1, muy posi-blemente que la derivada de ese vector con respecto del arcos sea un vector quese encuentre en forma perpendicular a la normaln, aunque con componentes a lolargo de la tangentet y también a lo largo de una vector que llamaremos a con-tinuaciónbi-normal, b. La definición de este vector bi-normal esb = t× n, esdecir

dn

ds= αt + τb (2.6)

y como se ve de la definición del vector binormal se trata de un vector tambiénunitario como los otros dos la tangente y la normal. De las definiciones los tresvectores forman unaternacartesiana ortogonal, como la que estamos acostumbra-dos en un sistemaOxyz. Como quiera que la normal y la tangente son ortogonales,entonces, de derivard(t · n)/ds se obtiene

t · dnds

+ n · dtds

= 0 (2.7)

ello implica, haciendo uso las anteriores ecuaciones 2.6 y 2.5 se obtienenα = −κ.Por otro lado el coeficienteτ de la expresión 2.5 recibe el nombre de coeficientedetorsión.

Finalmente, es posible demostrar que la derivada del vector binormal con respectoel arco de la curva se convierte en el producto del coeficiente de torsión multipli-cado por el vector normal. A continuación resumiremos las tres ecuaciones deFresnet

dt

ds= κn (2.8)

dn

ds= −τb− κt (2.9)

db

ds= τn (2.10)

5. Ejercicio:

Para considerar el tipo de cálculo indicado en las fórmulas de Fresnet busquemos la trayectoria dada por una


y

x

z

y

x

z

tnb

Figura 2.2: A la izquierda, una vista de una hélice. El radio vector apunta a unaposición con coordenadas polares con acimut:4π+π

4. A la derecha se ha dibujado

la terna de Fresnet para un punto con acimut:3π2

.

hélice, ver figura 2.2. Ello se realiza mediante el movimiento de un cuerpo con una velocidad angularω en unplano que al mismo tiempo se mueve perpendicular a dicho plano hacia arriba. Si consideramos el sistema carte-siano tal que la velocidad hacia arriba es el sentido del eje positivoozy por otro lado que el movimiento circularproyectado sobre el planoxy de tal modo que cuando el tiempo est = 0 el móvil se encuentra sobre el eje de lasabscisas. Se asume que el radio de la circunferencia esa, entonces las coordenadas cartesianas del movimientoson

x = a cosωt (2.11)

y = a sinωt (2.12)

z = vt (2.13)

para poder encontrar el parámetros basta encontrar

ds = dx2 + dy2 + dz2 = [x2 + y2 + z2]dt2 = (a2ω2 + v2)dt2 (2.14)

entonces

tx = dxds

= − aω√a2ω2 + v2

sinωs√

a2ω2 + v2(2.15)

ty = dyds

=aω√

a2ω2 + v2cosω

s√a2ω2 + v2

(2.16)

tz = dzds

=v√

a2ω2 + v2(2.17)

como se puede comprobar|t| = 1.

Sabemos que el vectorn es proporcional a la derivada del vector tangentet en función des. Ello implica

2.2 Dinámica del Punto 31

κnx = dtxds

= − aω2

a2ω2 + v2cosω

s√a2ω2 + v2

(2.18)

κny =dty

ds= − aω2

a2ω2 + v2sinω

s√a2ω2 + v2

(2.19)

κnz = 0 (2.20)

de donde se ve laramente queκ = −aω2/(a2ω2 + v2), y que

nx = cosω s√a2ω2+v2

(2.21)

ny = sinω s√a2ω2+v2

(2.22)

nz = 0 (2.23)

ya que|n| = 1.

Finalmente, calculando el producto vectorial entre el vector tangente y el vector normal se obtiene el vectorbi-normal, a saber

bx = − v√a2ω2+v2

sinω s√a2ω2+v2

(2.24)

by = v√a2ω2+v2

cosω s√a2ω2+v2

(2.25)

bz = − aω√a2ω2+v2

(2.26)

2.2. Dinámica del Punto

La segunda ley de Newton se representa como

F =dp

dt(2.27)

dondeF es la fuerza exterior que actua sobre la partícula cuyo momento lineal esp. La velocidadv está expresada comodr/dt. Como antes si llamamos la longitudde la curva a partir de un valor fijo, aunque arbitrario,s entonces,

dr

dt= tv (2.28)

dondev = |v| y t es la tangente unitaria como se ha explicado antes. Es facil darsecuenta de queds/dt = d|(∆r)|/dt.


Si la masa es constante entonces la expresión de la segunda ley de Newton seescribe como

md2r

dt2= F (2.29)

mediante una segunda derivada a la expresión 2.28 reemplazando en 2.29,

mκv2n +mdv

dtt = F = F⊥ + F‖t = F⊥n + F‖t (2.30)

lo que involucra que la fuerza paralela al movimiento genera una aceleración tan-gencial dada por ya sead2s/dt2 o bien |dv/dt|, mientras que la fuerza normalgenera una aceleración normal que es igual a la curvatura ya descrita multiplicadapor la velocidad al cuadrado.

6. Ejercicio:

Sea el caso de un movimiento parabólico. Se trata de un cuerpo que inicia su movimiento con una velocidadinicial con una inclinación con respecto al eje horizontal de un ángunoα. Se pretende encontrar no sólo la acele-ración con sus dos componentes, sino que además se busca el triedro de Fresnet.

Por un lado, las ecuaciones de movimiento, que se integran desde las ecuaciones de Newton, considerando lamasam constante

y = v sinα · t− 12gt2 (2.31)

x = v cosα · t (2.32)

sólo necesitamos esas dos ecuaciones ya que el movimiento es plano. Las dos ecuaciones 2.31 y 2.32 son lasecuaciones paramétricas de la horaria. Derivando ambas ecuaciones se encuentra las ecuaciones paramétricas dela hodógrafa, a saber

y = v sinα− gt (2.33)

x = v cosα (2.34)

Por otro lado para resolver este problema se necesita, por un lado la curvatura de la trayectoria, es decir,κexpresada en las fórmulas de Fresnet de mas arriba. Para ello basta encontrar la velocidad de la partícula entodo punto. Basta derivar, con respecto det en ambas expresiones 2.31 y 2.32. Dicha velocidad es un vectorcuya magnitud no es por supuesto la unidad en general. Bastará dividir dicho vector por el módulo del mismo yencontrar el vector tangentet. Es decir

ty = v sin α−gt√v2+g2t2−2gtv sin α

(2.35)

tx = v cos α√v2+g2t2−2gtv sin α

(2.36)

tz = 0 (2.37)

2.3 Momento Angular 33

obsérvese que en estas ecuaciones no se ha escrito el vector tangente en función del parámetro longitud de lacurva. Eso a veces no es posible hacerlo en forma compacta. Una vez que se tiene dicho vector, el derivar enfunción del parámetro longitud de la curvas hay que realizarla en cadena, lo que resulta ser muy laborioso yaque se encuentra la raiz en el denominador de las expresiones del vectort. Sin embargo, el encontrar la curvaturade curvas planas (en cuyo caso el vector bi-normal es el versork del ejeOz, que es perpendicular al plano dela parábola y latorsiónse anula) es automático cuando la curva está escrita en función de un parámetro, en estecaso el tiempot. La fórmula de la curvatura de estas curvas está dada por1

κ = ± xy − yx

[√x2 + y2]3

(2.38)

Por lo tanto, en vista de que la normal es escrita con las mismas componentes que la tangente, excepto un signocambiado (para que se pueda verificar que son normales entre si), los otros versores del triedro de Fresnet seescribe como

n = −tyi + txj (2.39)

b = k (2.40)

donde los versoresi, j, k son los versores cartesianos.

Finalmene la aceleración se escribe como

a‖ = ddt

√v2 + g2t2 − 2gtv sinα (2.41)

a⊥ = gv cos α√v2+g2t2−2gtv sin α

(2.42)

7. Ejercicio: En el ejercicio anterior, encuentre numéricamente los valores dela aceleración tangencial y la normal, para el cuerpo a un tiempot = 0,3 ssabiendo que el tiro inclinado posee una inclinación de60 y que a la posicióninicial se encontraba en el origen de coordenadas Cartesianas que se muestraen la figura 2.3

2.3. Momento Angular y Momentode las Fuerzas

Se define el momento angularL como

1G. B. Thomas, Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley, pp. 588, London 1960


0

5

0 5

y, m

x, m

tn

v0 v0=10.8 m/s

Figura 2.3: Encuentre la aceleración tangencial y normal para los datos que semuestran en la ilustración para la posición indicada con un círculo. Se mues-tra asimismo el versor tangente y el normal en esta ilustración de acuerdo a lasfórmulas 2.35, 2.36, 2.37 y 2.39

L = r× p (2.43)

donder es el radio posición de la partícula. Hay que insistir en que se debe respetarel órden de los factores. En forma análoga se define el momento de las fuerzasexteriores como

N = r× F (2.44)

Tomando en cuenta el momento en la ecuación 2.27 se encuentra

r× F = N = r× d

dtmv (2.45)

por otro lado, se sabe que la derivada de un producto vectorial es igual a la derivadadel primer factor vectorial el segundo mas el primer factor vectorial la derivadadel segundo factor. Por lo tanto,d

dtr× v = v × v + r× a; sin embargo, el primer

término del segundo miembro es óbviamente igual a cero, por lo tanto

d

dtr× p = r× d

dtp ≡ r× F (2.46)

2.4 Sistemas Conservativos 35

es decir

d

dtL = N (2.47)

esta ecuación 2.47 es la reflección especular del primer principio de Newton.

Si los momentos de las fuerzas exteriores se anulan, esto es,N=0, entonces, comola derivada con respecto del tiempo del momento angular se anula, se saca comoconsecuencia,el momento angular, L , se mantiene constante. Recordemos el pri-mer principio de Newton, si las fuerzas exterioresF=0, entonces, de acuerdo a laexpresión 2.27, el momento linealp= constante.

2.4. Sistemas Conservativos

Como se ha deducido en una dimensión ver capítulo 1, sección 1.3 es necesariointroducir los conceptos deenergía potencialen el movimiento descrito por elálgebra vectorial. En primer lugar, siempre que las fuerzas que actúan sobre loscuerpos sólo dependan de laposiciónentonces es posible hablar desistemas con-servativos. Dado un cuerpo (que supondremos pequeño desde el punto de vista desus dimensiones geométricas en tres dimensiones) al cual se solicita una fuerzaF, por un lado podemos encontrar una magnitud dinámica que depende de suscaracterísticas cinemáticas, tales como sus velocidades ademas de sus masas, queen lo que sigue se considera constante. Para ello basta integrar la segunda ley deNewton 2.27 multiplicada escalarmente por dr y nos concentramos con el segun-do miembro, entonces, si asumimos que la trayectoria pasa desde el punto1 alpunto2, donde en ésta última el cuerpo posee una velocidadv2 mientras que enaquel punto poseev1,

m∫ 2

1

dv

dt· dr = m

∫ 2

1

dv

dt· dvdt =

m

2

∫ 2

1

d

dtv2dt (2.48)

como se ve de la ecuación 2.27, el primer miembro no es otra cosa que la energíade la partícula cuando es trasladada desde el punto1 al punto2 a lo largo de latrayectoria por la fuerza exteriorF. Esa energía otrabajo se puede representarmedianteW12, por lo que la identidad entre esta definición y la integral de 2.48 da

W12 =m

2[v2

2 − v21] = T2 − T1 (2.49)


en la expresión 2.49 se ha reemplazado el producto de la masa por la velocidad alcuadrado en un punto dado por la fórmula compactaT .

Aqui vale la pena una digresión. Se ve con más claridad aqui que cuando la tra-yectoria del móvil escerrada, (por mas que sea alabeada), la expresión 2.49 sehace cero: El trabajo desde el punto dado a lo largo de una trayectoria cerradahasta llegar al mismo punto escero. Ello se representa con una integral curvilínea

∮F·dr = 0 (2.50)

entonces se dice que eltrabajo por la fuerza exterior es cero en un camino ce-rrado. Entonces el sistema es conservativo. Por otro lado, es posible demostrar(teorema de Stockes) que en esos casos la fuerza exterior poseeun rotor que seanula. Como consecuencia, existe entonces una función escalar, llamadaenergíapotencialdel sistema tal que

F = −∇V (r) (2.51)

en esas circunstancias de acuerdo al capítulo 1, sección 1.3 ecuación 1.13, sepuede introducir una constante en ese sistema, llamada Energía y que se suelerepresentar por la letraE. Se había dicho entonces que se denomina la energíapotencial al trabajo de una fuerza similar a la exteriorF pero de signo contrario,es decir

V1 − V2 = −∫ 2

1F·dr (2.52)

que igualando con 2.49 se tiene

V1 − V2 = T2 − T1 E ≡ T1 + V1 = T2 + V2 (2.53)

8. Ejercicio:

Demostrar por cálculo directo que la energíaE es constante en dos puntos cualesquiera de la trayectoria deuna tiro inclinado.

Por un lado, sabemos que al iniciar el tiro inclinado, esto est = 0 s la velocidad inicial, que posee una inclinación

de un ánguloα, esv =√v20 cos2 α+ v20 sin2 α, ver figura 2.3. Por otro lado, cuando el proyectil se encuentra

en la cima de su movimiento parabólico es fácil de encontrar quev0 sinα = gt, anulando la ecuación 2.33.

En la posición inicial, la energía es (la energía potencialV (y) depende sólo de la altura del pisoy)

2.5 Potenciales Mas Conocidos 37

Cuadro 2.1: Principales potenciales conservativos

secuencia fuerza Potencial dimension

1 caida mgz 1,2libre

2 oscilador kr2 1,2,3armónico

3 gravitación −ga2/r 1,2universal

4 Coulomb ±me2/r 1,2

E =m

2v20 + 0 (2.54)

en la cima de la parábola,t = v0 sinα/g que reemplazando en la hodógrafa del movimiento, 2.33, sale,vy = 0y vx = v0 cosα de la expresión 2.34. Por otro lado, la energía potencial es en la cima (ya que en el piso es 0)V = gmh ≡ m

2v20 − 1

2mv2x = 1

2mv20 sin2 α, entonces

E =m

2v20 cos2 α+

m

2v20 sin2 α (2.55)

que es el mismo resultado anterior. En cualquier otro punto la energíaE posee el mismo valor.

2.5. Potenciales Mas Conocidos

Es oportuno presentar un cuadro sinóptico de cada tipo de fuerza (que sea conser-vativa por supuesto) y su correspondiente [energía] potencial. En la Tabla 2.1 semuestra las variablesr o z. Cuando se trata de un problema bidimensional, enton-ces, se considera el ejeOz en la dirección del nadir local. Mientras que la variabler es el módulo de un vector posición ya sea en un plano o bien en el espacio.

Un oscilador armónico, en una dimensión significa que el móvil oscila a lo largode un centro de oscilación, esto es, un movimiento de vaivén. En dos dimensionesy tres dimensiones, el potencial se expresa como

V (x, y) =1

2kxx

2 +1

2kyy

2 (2.56)


V (x, y, z) =1

2kxx

2 +1

2kyy

2 +1

2kzz

2 (2.57)

donde los coeficientesk son constantes. Hay que pensar que el movimiento delmóvil frente a estas fuerzas puede ejecutar trayectorias cerradas.

En cuanto a los potenciales que dependen de1/r, donder(x, y) o bien1/x parados y una dimensiones respectivamente, pueden producir órbitas cerradas (elipsesen general) o bien abiertas (hiperbólicas o parabólicas). Debido a la existencia deeste tipo de potenciales (los llamados potencialescentrales) el movimiento resultaserplanoen el peor de los casos.

2.6. El Movimiento Planetario

Como quiera que la fuerza de la gravitación universal posee una dirección desdeel cuerpo celeste, digamos la tierra, hacia otro, digamos el sol, el momento de lasfuerzas gravitacionales debe ser cero ya que el producto vectorial de dos vectoresparalelos se anulan. Ello quiere decir que el momento angularL del sistema deesos dos cuerpos es constante como se ha visto antes. Al serL constante el pro-ducto vectorial del radio vector y el momento lineal del sistema siempre debenestar en un plano: El movimiento esplano. Tomemos el plano del papel como elplano del movimiento. Ello involucra que sólo el eje cartesianox, y se pondrá enjuego. U otro sistema plano como el polar con las variablesr y φ.

Por otro lado, si bien se trata dedoscuerpos, para introducir un esquema de cálcu-lo apropiado, supondremos que uno de ellos, digamos el sol, permanece siemprefijo. Eso no es posible ni en la realidad ni se hace plausible ya que el sol poseeuna masa finita y que por el tercer principio de Newton el efecto de la tierra sobreel sol debe ser idéntido al del sol sobre la tierra. Ello involucra que el sol tam-bien debe dejar de estar en reposo o con velocidad constante. Oportunamente severá que en un sistema de partículas como el que nos ocupa, hay que separar ladiscusión de estos dos cuerpos como si se tratara deunosolo y que semueveconrespecto alcentro de masade ambos. Sólo que hay que cambiar ligeramente lamasa del cuerpo estudiado. Para hacer una historia largo corta, y evitar este tipode problemas, diremos que el sol se halla inmóvil en su lugar todo el tiempo.

2.7 Las Leyes de Kepler 39

C C’

MN

a

bc

Figura 2.4: la elipse con sus dos semi-ejes y la excentricidadε=c/a

2.7. Las Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler, indican fundamentalmente que las trayectorias de los planetasen nuestro sistema solar siguen órbitas elípticas. La geometría de una elipse estádada por la definición de los puntos geométricos donde la suma de las distanciasa dos puntos fijos, llamadosfocos de la elipseposee un valor fijo. Esa distanciase denomina2a, dondea será el semieje mayor de la elipse, ver figura 2.4. Losdos puntos fijos del que se habla están indicados con los símbolos de un pequeñocírculo en la figura. El foco de la izquierda es la posición del sol, mientras que elextremo del vectorCM se encuentra la tierra.

El origen del sistema coordenado Cartesiano de la figura 2.4 se encuentra en elcentro geométrico de la elipse. La distanciab recibe el nombre de semieje menorde la elipse. La distanciac es la distancia del centro al foco de la elipse. Es posibledemostrar quec =

√a2 − b2. A su vez se denomina excentricidad de la elipse al

cociente de la distancia focal (al centro de la elipse) sobre el eje mayor de unaelipse. Es decir

ε =c

a(2.58)

La ecuación de una elipse en ese sistema de coordenadas, se escribe como


x2

a2+y2

b2= 1 (2.59)

como se puede deducir rapidamente. Por otro lado, conviene escribir dicha cónicaen el sistema de coordenas polares del plano. El semieje positivo comienza no enel centro de la elipse sinó en el foco de la izquierda. el radio vector,r, apunta atodos los puntos de la elipse, en este caso la ecuación de una elipse se escribe

r =a(1− ε2)

1 + ε cos θ(2.60)

En la figura 2.4 se puede ver que cuandoθ = π/2 el radio vector posee unadistanciab × b/a, ya que se sabe quea2 = b2 + c2 por lo que la distanciaCN =b2/a.

2.8. La Solución de la ecuación de Newton

Por un lado, se tiene que el momento de las fuerzas de gravitación es nulo. Ya quede acuerdo a la gravitación universal, la ley de atracción entre cuerpos celestes seescribe como (en el sistema de referencia de la figura 2.4, donde el origen está enel puntoC)

F = −GM¯mr3

r (2.61)

obsérvese que el signo menos indica que hay atracción.

Es facil de ver que el momento de las fuerzas exteriores con respecto al origen dela figura 2.4 es nulo. Se define el momento angular como

L = r× p (2.62)

derivando la ecuación 2.62 se obtiene dos términos uno de los cuales es óbvia-mente cero ya que la derivada der es paralela al momento lineal; mientras quela otra es el momento de las fuerzascentrales, ver 2.61, ya que el momento depes, de acuerdo a la segunda ley de Newton, el momento de las fuerzas exteriores,que sale cero en vista de que tanto la fuerza como el radio vector son paralelos.

2.8 La Solución de la ecuación de Newton 41

Ello involucra que, al permanecerL constante,r apunta siempre a un plano per-pendicular al momento angular . En consecuencia el movimiento del planeta estáen un plano

2.8.1. El Sol en Reposo

Los planetas se encuentran realizando un movimiento bi-dimensional, digamos enla eclíptica. Como quiera que la masa del sol es 300 mil veces más grande que lade la tierra, e incluso 320 veces mas grande que el planeta Jupiter –el mayor denuestro sistema solar, suponemos que el sol no se mueve. Por otro lado, debidoa la ley de la gravitación universal,r× F = 0. De acuerdo a la constancia delmomento angular, se tiene

L = r× p = const. (2.63)

Si denominamosvelocidad aerolara la variación de la superficie de un sectorelíptico por unidad de tiempo comor× v/2, implica que

r× p = 2mdS

dt(2.64)

llamandoC = 2dS/dt, se obtiene

dS =1

2r2dφ 2

dS

dt= r2φ = C (2.65)

de donde se obtiene,φ = C/r2.

La primera ley de Kepler dice:Los planetas describen órbitas elípticas alrededordel sol, el que ocupa uno de los focos de la elipse.

La segunda ley de Kepler dice:El radio vector de los planetas barre áreas igualesen tiempos iguales. Derivemos la primera ley de Kepler. En el sistema de coorde-nadas del sistema de referencia polar se puede encontar las componentes de lasvelocidades como

dx

dt= −GM¯

r2cosφ (2.66)

dy

dt= −GM¯

r2sinφ (2.67)


Multiplicando ambos miembros de las expresiones 2.66 y 2.67 por1φ

y con laayuda de la expresión 2.65 se obtiene

dx

dφ= −GM¯

Ccosφ (2.68)

dy

dφ= −GM¯

Csinφ (2.69)

que es fácil de integrar, en efecto, llamando las constantes de integraciónA y Brespectivamente se tiene

x = −GM¯C

sinφ+ A (2.70)

y = +GM¯C

cosφ+B (2.71)

Finalmente, gracias a la expresión 2.65, es posible integrar la ecuación de Newtonpara el problema de dos cuerpos con el sol en reposo aunque de tal modo quela variable independiente sea la variableφ y no el tiempot. Para ello basta ha-cer un cambio de variable de las coordenadas Cartesianas a las polares del modosiguiente

x = r cosφ y = r sinφ (2.72)

derivando ambas ecuaciones 2.72 con respecto al tiempo se tiene

x = r cosφ− rφ sinφ = −GM¯C

sinφ+ A (2.73)

y = r sinφ+ rφ cosφ = +GM¯C

cosφ+B (2.74)

eliminandor entre ambas ecuaciones se encuentra (multiplicando la expresión2.73 porsinφ y la otra 2.74 porcosφ, luego restando ambas expresiones)

rφ =GM¯C

− A sinφ+B cosφ (2.75)

2.8 La Solución de la ecuación de Newton 43

que con la expresión 2.65 se convierte en

1

r=GM¯C2

− A

Csinφ+

B

Ccosφ (2.76)

2.8.2. La Conservación de la Energía

Es normal pensar en la conservación de la energía, cuando existen potenciales quees el caso para las fuerzas centrales , y tratar de formar la energía cinética y lapotencial haciendo uso de las ecuaciones 2.66 y 2.67, sabiendo que los cocientesentre la abscisa y la distancia del sol al planeta no es otra cosa quecosφ así comoes elsinφ como el cociente entre la ordenada y la distancia sol-tierra. Multipli-cando la ecuación 2.66 porx y la ecuación 2.67 pory se obtiene al sumar ambasecuaciones

d

dt

1

2[x2 + y2] = −1

2

GM¯r3

d

dt[x2 + y2] ≡ −GM¯

r2

dr

dt(2.77)

que integrando con respecto at se tiene la forma clásica de la conservación de laenergía que se denominaE, es decir

1

2[x2 + y2]− GM¯

r= E (2.78)

Sabiendo que el cuadrado de la velocidad se escribe en coordenadas polares como

r2 + r2φ2 (2.79)

por lo que, haciendo un cambio de variable independiente det a φ se tiene, cons = 1/r

1

2C2[(

ds

dφ)2 + s2]−GM¯s = E (2.80)

que, en vista de que la energía total es constante, derivando con respecto deφ seobtiene

ds

dφ[C2(

d2s

dφ2+ s)−GM¯] = 0 (2.81)


en vista de que la relación entre el radio vector y la variableφ no puede ser nu-lo sólo queda que el corchete de la expresión 2.82 se anule. Obteniéndose unaexpresión similar a la de un resorte con una fuerza constante, a saber

d2s

dφ2+ s =

GM¯C2

(2.82)

La solución de esta expresión 2.82 es óbviamente la solución de la expresiónhomogéneamas la solución particular de la inhomogénea, que es la constante delsegundo miembro de dicha expresión. Una comparación de esta posible solucióncon las constantes arbitrarias y la expresión 2.76 se identifican inmediátamente.

Ahora se puede intentar buscar los valores de las constantes arbitrarias. Se puededecir que las derivadas del radio vector con respecto a la variableφ se hace ceropara los valores deφ = 0 y paraφ = π. Ello involucra claramente queA = 0.Por otro lado, para los valores extremos del aphelio y perihelio, ver figura 2.4,se puede escribir en función de los valores cinemáticos de la elipse, a saber, lossemiejes y la excentricidad: para el perihelio

rp = a(1− ε) φ = π (2.83)

y para el aphelio

ra = a(1 + ε) φ = 0 (2.84)

Reemplazando estos valores en la expresión 2.76 se encuentra, para el perihelio yaphelio respectivamente

φ = π1

a(1− ε)=GM¯C2

− B

C(2.85)

φ = 01

a(1 + ε)=GM¯C2

+B

C(2.86)

de donde se encuentra

GM¯C2

=1

a(1− ε)

B

C= − ε

a(1− ε)(2.87)

2.9 Reseña Histórica 45

de donde se puede encontrar los parámetros de la elipse en función de las cons-tantes físicos del problema de los dos cuerpos. Por lo tanto la ley de Kepler quedice que la trayectoria es una elipse se convierte en una realidad.

Ahora, para encontrar la tercera ley de Kepler, basta saber que la velocidad aerolaren una elipse se puede escribir como el cociente entre la superficie de la elipseentre el período de revolución de los planetas con un factor 2 para la constanteC,en particular de uno que es, digamosT . Entonces

C = 2πab

T≡ 2

πa2√

1− ε2

T(2.88)

elevando al cuadrado esta expresión 2.88 y reemplazando el producto dea(1 −ε2) haciendo uso de la primera expresión 2.87 se encuentra la ley que diceLoscuadrados de los períodos de los tiempos de revolución son proporcionales alcubo de los semiejes mayores de las órbitas de los planetas, a saber,

T 2

a3=

4π2

GM¯(2.89)

2.9. Reseña Histórica

Newton nació en el condado de Lincoln en 1642 era hijo de un hacendado que mu-rió antes de nacido Isaac Newton. A los 18 años fue enviado a estudiar al TrinityCollege en Cambridge. En 1665, cuando la peste asediaba Londres, Cambridgefue clausurado y paso a estudiar en Woolsthorpe hasta dos años después. Fue ahidonde probablemente creó las tres disciplinas que le hicieron famoso: la natura-leza de la luz, el cálculo infinitesimal y la gravitación universal. Permanece enCambridge en la vida académica haciendose sentir con distintas publicaciones.En 1671 construye de sus propias manos un telescopio.

A instancias de Halley, descubridor del cometa que lleva su nombre, escirbe suPrincipios Matemáticos de la Filosofía Natural que será publicado en 1687. En1727 falleció como consecuencia de cálculos renales.

Galileo nació en Pisa en 1564 en el seno de una familia educada, luego de unajuventud autodidacta fue nombrado en 1589 profesor de matemáticas en la uni-vesidad de Pádua. Fue el fundador del método experimental de la física moderna.


Gracias a la construcción de un telescopio, pudo observar las libraciones de laluna, descubre los satélites de Jupiter, los anillos de Saturno, las manchas solares,las fases de Venus, . . . Observaciones que confirmaban las ideas del sistema pla-netario de Copérnico en detrimento del sistema de Ptolomeo, entonces favorecidopor la autoridad civil y religiosa. Luego de una vida fructífera en publicaciones yenseñanzas fue citado ante la inquisición en 1632 a un proceso que duró 20 días.De rodillas tuvo que abjurar de sus ideas científicas. En 1642 murió casi ciego ybajo la vigilancia de la inquisición.

N. Copérnico, nació en 1473 en Torun, Polonia, hijo de comerciantes ricos. Es-tudia en las universidades de Cracovia, y luego en Bolognia, Italia. En 1500 sepresenta en Roma y fue nombrado canónico y tuvo la autorización de estudiar enla universidad de Pádua. Toda su vida se dedicó a observar los planetas. Sólo alfin de su vida, en 1543, se decidió a publicar su tratado sobre las órbitas de losplanetas. La obra la dedicó al Papa Paul III.

El alemán Kepler nacio en Wurtemberg en 1571 en un hogar muy modesto. Es-tudió en las universidades de Adelberg y de Tubingen y fue un ardiente defensorde las ideas de Copérnico. Fue profesor de la universidad de Graz, pero debido alas persecuaciones religiosas fue echado de Austria en 1600 y se refugió en Pra-ga, donde fue un discípulo de Ticho Brahe, astrónomo nórdico, y a quien sucedióen la cátedra de Praga. En 1609 publica su Astronomía Nueva donde enuncia lasdos primeras leyes que llevan su nombre. En 1619 en otra obra Mundo Armónicopublica su tercera ley. En 1630 muere en Regensburg.

Capítulo 3

Grados de Libertad, TrabajosVirtuales

3.1. Introducción

En esta parte empezamos a abandonar el sistema cartesiano, debido a que cada sis-tema mecánico se compondrá por muchos puntos materiales además que existenvínculos (en principio rígidos) entre los puntos materiales. Deseamos encontarfunciones dinámicas del sistema, como por ejemplo la energía del sistema, o elmomento angunlar o la suma de los momentos lineales. Existe un concepto si-nóptico para determinar sin posibilidad de ambigüedad a un sistema dinámico,sin referirse a él como si se tratara de un sistema de puntos materiales en unaconfiguración geométrica dada.

En forma dogmática contamos los puntos materiales que contiene el sistema, yaque siempre se puede esquematizar un sistema por muy complejo que sea median-te un número finito de puntos materiales. Pero, debido a que existen relacionesgeométricas entre los puntos materiales se debe hablar de otro concepto adicionalal de número de puntos materiales. Este concepto se denominará a partir de ahoravínculoentre los puntos materiales. Veamos un ejemplo, dos puntos unidos por unvínculorígido, pueden ser ya sea una barra rígida formada por una continuidad depuntos materiales, o bien simplemente dos puntos unidos por una barra sin masa,aunque rígida.

La barra contínua posee una masam igual a la suma de las dos masas de losextremos. Si acaso la barra tuviese una masa de tal modo que si bien la masa de

48 Grados de Libertad, Trabajos Virtuales

la barra no tuviera una densidad constante, entonces tendrá un peso solicitado,no por el centro de la barra, como antes sino en un lugar diferente al del centrogeomtrico de la barra lineal. No obstante eso, siempre se puede considerar esabarra por dos puntos materiales pero, cada masa con una diferente entre si ya queel peso debera estar solicitada en un punto diferente al del centro geométrico de labarra. Si el centro de masa se encuentra a una distancial de un extremo de la barrade una longitud totalL, entonces la masa próxima al extremo desde donde se midel tendra una masa mayor en un factorL/l al de la masa del otro extremo. Como seve, una barra uniforme o con una distribución precisa de masa puede reemplazarsecon dos puntos materiales en los extremos. En vez de hablar de la barra siempre sepuede hablar de dos puntos materiales con masasm1 y m2 separados rígidamentepor una distanciaL.

En general un sistema mecánico se forma deN puntos materiales, empero, ha-brán r relaciones entre los puntos materiales. (En el caso de la barra, existendos partículas,N = 2 y hay una relación entre ambos puntos, es decir,L =√

(x1 − x2)2 + . . .). Entonces, el sistema mecánico poseef = 3N − r grados delibertad. El número3 se debe a que cada partícula posee3 grados de libertad, porejemplo las tres coordenadas cartesianas de la partícula.

En el caso de la barra rígida implica que esa barra poseedosgrados de liberdad,f = 3− 1 = 2.

x

y

x 1

x 2

A

BO

M

Figura 3.1: A la izquierda, una barra de longitud dada y que debe permanecercon los dos extremos sobre la circunferencia rígida. Los grados de libertad delsistema es sólo1. A la derecha, una barra apoyada sobre el puntoM y uno desus extremos sobre la semicircunferencia. En ambos casos hay que encontrar losgrados de libertad y las ecuaciones de vínculo. En cada uno de estos ejercicios lalongitud y masa de la barra están dadas, así como los parámetros geométricos dela configuración de esos sistemas mecánicos.


9. Ejercicio:

Sea una esfera rígida, de radioR. Encontrar los grados de liberdad de ese sistema mecánico. Por un lado, unaesfera se puede reemplazar portrespuntos en la superficie de la esfera. Por supuesto que hay que elegir esos trespuntos fuera de un círculo máximo de la misma. Por otro lado, cada punto tiene que satisfacer la ecuación de laesfera, es decir, para cada punto

x2i + y21 + z2i = R2 i = 1, 3, 1. (3.1)

Por otro lado, entre cada punto, sobre la esfera, posee una distancia constante entre sí (será una cuerda de unacircunferencia que es a la vez un círculo máximo que pasa por cada dos puntos). Como hay3 puntos entonceshayC2

3 = 3 relaciones adicionales.

Por lo tanto, la esfera poseef = 3×3−6 = 3 grados de libertad para la esfera rígida. Ahora bien, si suponemosque la esfera en vez de estar amarrado al centro de nuestro sistema de coordenadas, dejamos que pueda moverselibremente, entonces hay que añadir tres grados de libertad más. En consecuencia, una esfera rígida que se muevelibremente posee6 grados de libertad.

10. Ejercicio:

Sea una barra que se mueve en un plano de tal modo que siempre sus extremos se encuentren en una circunferen-cia, ver figura 3.1, izquierda.

La barra siempre es una cuerda de la circunferencia. Una barra puede convertirse en dos puntos (es decir2×2 = 4grados de libertad). Se ha multiplicado por2 debido a que todo el sistema es bidimensional. A eso hay que restarleun vínculo debido a que la distancia entre los dos puntos es constante. Por otro lado siempre para cada partícula,ésta se hallasobrela circunferencia, es decir, hay dos condiciones adicionales para cada punto a saber

R =√x2

i + y2i + z2i (3.2)

dondeR es el radio de la circunferencia.

Los 4 grados de libertad se resta los tres vínculos queda con los grados de libertad igual a1. Esto quiere decirdesde el punto de vista formal, ese sistema es equivalente al de una partícula que se mueve a lo largo de un eje. Yaque ambos sistemas poseen sólo un grado de libertad. Formalmente, la energía en un caso o en el otro se escribecomo una función deuna solavariable. Por supuesto que la forma de dicha función debe ser diferente en un casoque en el otro.

11. Ejercicio:

Sea una semicircunferencia, con la concavidad hacia arriba. Supongamos una barra, uniforme, debe poseer unode sus extremos sobre la semicircunferencia mientras que otro punto cualquiera de la barra debe estar siempre encontacto con uno de los bordes de la semicirunverencia. Averiguar los grados de libertad del sistema mecánicoasi descrito (ver Fig. 3.1, derecha) asi como escribir todas las ecuaciones de vínculo.

Por un lado suponemos que la barra está definida –de acuerdo a nuestra representación de sistemas mecánicosatravés de puntos materiales vinculados, por dos puntos, los cuales están colocados en los puntosA y B dela barra. Ello involucra 4 grados de libertad. Por otro lado, la barra debe ser rígida. Ello involucra la siguienteecuación de vínculo

L =√

(x1 − x+ 2)2 + (y1 − y2)2 (3.3)


donde las coordenas cartesianas en el plano definen cada partícula. AdemásL es la longitud de la barra.

Por otro lado, el puntoM posee las coordenadasxM = R, yM = 0 en un sistema Cartesiano apropiado.Res el radio de la semicircunferencia. Por un lado, el puntoA, con coordenadas, digamos,x1, y1 debe satisfacerla ecuación de la semicircunferencia. Si asumimos que el centro del sistema Cartesiano se halla en el centrogeométrico de la semicircunferencia, entonces la ecuación de vínculo número dos será

R2 = x21 + y21 (3.4)

finalmente, los tres puntosA, M, B están en una línea recto, lo que es lo mismo

0 = det

(x1 y1 1xM yM 1x2 y2 1

)

ésta expresión mas las ecuaciones 3.3 y 3.4 son las ecuaciones de vínculo solicitadas. Por lo tanto los grados delibertad del sistema mecánico indicado alcanza a1

3.2. Los Grados de Libertad

A continuación, una vez encontrado el número de grados de libertad de un sistemamecánico se debeidentificara la variable o variables que definen completamenteel sistema. Habrán tantas variables, ahora con el adjetivo devariables generaliza-das, como grados de libertad posee el sistema.

En el ejercicio de la figura 3.1, derecha, de la sección anterior se puede definircomo variable generalizada –que en número será una sola, a cualquiera de lascuatro coordenadas cartesianas de los extremos de la barraAB. También –cosaque es habitual, se buscará otra variable generalizada de acuerdo a la experienciadel que desea trabajar con el sistema mecánico. Por ejemplo, el ánguloθ formadopor el radio vector que define el puntoA desde el centro geométrico de la semi-circunferencia. En general, existen tantas variables generalizadas como uno puedeimaginarlos. Empero, todas ellas están relacionadas mediante funciones apropia-das.

Una vez identificado la(s) variable(s) generalizada(s), que se denominarán tra-dicionalmente por las variablesqi, las demás coordenadas, ya sean Cartesianas,Polares, . . . , se pueden escribir en función de la(s) variable(s) generalizada(s)qi.

12. Ejercicio:

3.2 Los Grados de Libertad 51

Suponiendo que en la figura 3.1, derecha, se considera como coordenada generalizada a la abscisa del puntoA,es decir,q = x1, encontrar las coordenadas Cartesianas de los extremos de la barra en función deq.

Se puede ver que las siguientes tres coordenadas Cartesianas se escriben en función deq

y1 = ±√R2 − q2 (3.5)

y2 = (L

R− 1)

√R2 − q2 (3.6)

x2 = q ±√L2 − (y2(q)−

√R2 − q2)2 (3.7)

donde cada variable Cartesiana de los extremos de la barra se puede escribir como funciones de la coordenadageneralizadaq.

Ahora bien, si se dejadesplazara las coordenadas generalizadas una variaciónδqel sistema dinámico puede alcanzar otra configuración geométrica, aunque com-patible a la dinámica del sistema.

Los vínculos se nominanholonómicos, cuando es posible encontrar las expresio-nes compactas de mas arriba, a saber las formas 3.5, 3.6 y 3.7. Diferenciando estasexpresiones con respecto a la variableqi se tiene, para cadaF (q)

ΣiGi(q)δqi = 0 Gi ≡ ∂F

∂qi(3.8)

dondeqi son cada uno de los grados de libertad del sistema. Cuando es posibleescribir funcionesGi(qi) entonces se llama un sistema holonómico como se hadicho, empero, si no existe las funcionesGi(qi) entonces el sistema se dice no-holonómico. Este tipo de vínculos se definen cuando existenr condiciones devínculo de órden infinitesimal, aunque no en forma finita, entonces el sistema sedice no holonómico. Una moneda que rueda sin deslizarse es un ejemplo de estetipo de sistemas.

En efecto en la figura 3.2 se exhiben dos ilustraciones esquemáticas, la de la iz-quierda donde se dan las 5 coordenadas generalizadas del sistema, a saber, los tresángulos de la ilustración, a saber,φ, θ y ψ. A ello hay que añadir las coordenadas(digamos Cartesianas) del punto de contacto. Las variaciones de las coordenadasgeneralizadas Cartesianas, esto es,δx y δy de la ilustración de la derecha de lafigura 3.2, se pueden escribir como

δx = a cosψ · δφ δy = a sinψ · δφ (3.9)


θ

ψ xy

z

φδ

δ ψx

yx

y

Figura 3.2: A la izquierda, una moneda queruedasobre la trayectoria indicadaen el sistema de referencia. Los tres ángulos indicados mas las coordenadas delplanox, y, del punto de contacto de la moneda, forman los 5 grados de libertadde una moneda que se mueve de acuerdo a una ley dada. A la derecha se ha vueltoa dibujar la trayectoria en un punto cualquiera. Se puede volver a notar el ánguloφ de la ilustración de la izquierda.

dondea es el radio de la moneda. Ahora bien, los 5 grados de libertad del movi-miento se transforman en sólotres. Obviamente en un movimiento infinitesimalya que para esos casos se encuentra las dos ecuaciones de vínculo dados por lasdos ecuaciones 3.9.

Ahora bien, se verá a continuación que no existe una función a la que derivan-do en función de las (4, ya queθ, al rodar la moneda, puede considerarse comoindependiente de las demás) coordenadas generalizadas se pueda encontar unacompatibilidad con las diferenciales dadas por el expresión 3.9. En efecto, supon-gamos que exista, es decir,f(x, y, φ, ψ), tomando diferenciales se encuentra

δf =∂

∂xfδx+

∂

∂yfδy +

∂

∂φfδφ+

∂

∂ψfδψ (3.10)

reemplazando las variaciones de las coordenadas Cartesianas con ayuda de la ex-presión 3.9 se tiene

δf =∂

∂xfa cosψδψ +

∂

∂yfa sinψδφ+

∂

∂φfδφ+

∂

∂ψfδψ (3.11)

Como quiera que las variacionesδφ y δψ son independientes entre sí, se puedeanular ambos, quedando∂

∂ψf = 0. Para que esto ocurra, se puede dejar de anular

δφ por lo que debe cumplirse que su coeficiente se anule, es decir

3.3 Trabajos Virtuales 53

a∂

∂xf cosψ + a

∂

∂yf sinψ +

∂

∂φ= 0 (3.12)

Derivando la expresión 3.12 con respecto aψ, y en vista de que se cumple∂∂ψf =

0 se escribe

−a ∂∂xf sinψ + a

∂

∂yf cosψ = 0 (3.13)

volviendo a derivar la expresión 3.13 se tiene

a∂

∂xf cosψ + a

∂

∂yf sinψ = 0 (3.14)

por lo tanto,

∂

∂xf =

∂

∂yf =

∂

∂φf = 0 (3.15)

por lo que no existe la tal funciónf .

3.3. Trabajos Virtuales

Supongamos que se tiene el sistema mecánico de la figura 3.1, derecha. Sabemosque en cada extremo de la barra, si ésta es homogénea, se encuentra dos masaspuntuales de masa igual a la mitad de la masa total de la barra. Escribamos to-das las variables en función de la coordenada generalizada. Esta vez tomemos alánguloAOM = α como la coordenada generalizada. Una variación de la coor-denada generalizada puede deslizar al puntoA sobre la semicircunferencia, de talmodo que el puntoM sea siempre un punto común entre la semicircunferencia yla barra. Existe naturalmente el peso de cada cuerpo como la fuerzaacciónsobreel sistema. Debemos aclarar que además de estas fuerzas existen otras, llamadasfuerzas reacción, pero que empero, no aportan con un trabajo positivo ya que latensión de la barra no puededeformara la misma. Tampoco la fuerza de reacciónsobre la semicircunferencia en el punto A puede aportar ya que siempre se colocaperpendicular a la circunferencia en el punto dado. Lo que implica que al variar


la posición del punto A la fuerza de reacción en dicho punto siempre está perpen-dicular al posible movimiento de la barra en ese punto. Como la fuerza reacciónen A siempre se halla perpendicular al movimiento, la fuerzano produce trabajo.En el puntoM también hay una reacción, pero que debe ser perpendicular en ca-da momento al movimiento de la barra en ese punto, dando también un trabajo dedicha fuerza de reacción igual a cero. A las fuerzas de reacción denominaremosindistintamente ya sea fuerzas de reacción o fuerzas interiores del sistema, en opo-sición a las fuerzas exteriores, esto es, activas que originan cualquier movimientoreal o virtual en el sistema.

13. Ejercicio:

Sea el sistema de la figurafig3-1, derecha. Encuentre los trabajosvirtualesque las fuerzas exteriores realizan enese sistema de un grado de libertad.

Tomemos otra variable como la variable generalizada. Buscamos, naturalmente aquella variable que nos permitautilizar un mínimo de dificultad en encontrar los trabajos pedidos. Para ello definamos a la coordenada generaliza-da al ánguloAOM = α. Supongamos que el “piso” se encuentre en una recta paralela a la horizontal y que pasepor el punto0. Las fuerzas exteriores a cada una de las masas de los extremos de la barra sólo podrán producirtrabajo siempre que la ordenada de cada masa se mueva desde la posiciónA, digamos que se encuentre a la alturadel piso (ordenada=y1) hasta una alturay1 + δy1, dondey1 es la altura del móbil sobre el piso. No olvidar quedicha altura puede ser positiva o negativa.

Por otro lado, el triánguloA0M es un triáguno isósceles. ello involucra que los dos ángulos enA yM son igualesentre si e iguales aπ/2− α/2. Los trabajosvirtualesde las fuerzas activas, seránmg/2× δy1 +mg/2× δy2.

Se ve claramente que la expresión dey1(α) y y2(α) son las siguientes

y1 = R sin(π − α) (3.16)

y2 = L sin(π

2− α

2)−R (3.17)

Por lo tanto, los trabajos realizados por las fuerzas que actúan sobre cada uno de los extremos de la barra son

m

2g δ[R sinα+ L cos

α

2−R] (3.18)

m

2g [R cosα− L

2sin

α

2] δα (3.19)

éstas expresiones deben ser iguales a cero, de donde, resolviendo esta ecuación trascendente se tiene

sinα

2= − L

8R±

√(L

8R)2 +

1

2(3.20)

en la ecuación 3.20 se puede calcular el valor de la coordenada generalizada, para el caso del equilibrio.


0

AB

N M

m1g m2g

Figura 3.3: Una semiesfera de radioR donde se encuentra una barra de longitudL y de masaM aunque con su centro de masa a una distancial1 del extremoAde la barra y a la distancial2 del extremoB. Se desea encontrar la posición deequilibrio del sistema.

Como se ve se debe multiplicar la(s) fuerza(s) exterior(es) por ladiferencialde lasfunciones de vínculo apropiadas para el punto de aplicación de la masa puntualcorrespondiente. Como quiera que buscar cada punto material y su fuerza exteriorimplica un producto de la fuerza en cuestión por una coordenada apropiada (en elcaso que nos ocupa había que multiplicar por laδyi y no por laδxi, por ejemplo)tal vez es mejor utilizar expresiones escalares. La expresión escalar mas óbvia esla energía-potencialV (qi). De ese modo se matan dos pájaros de un tiro.

En efecto, por un lado, las fuerzas sonel gradientedel potencial (cambiado designo, claro está), empero debido a que las fuerzas existen independientes delos vínculos, sólo aparecen las derivadas con respecto a las ordenadas, es decir∂V/∂yi, ya que el potencial de la fuerzapeso, sólo depende de dichas ordenadas.Por lo tanto en forma automática aparecerá sólo las derivadas con respecto a lasordenadasyi y al hacer una derivada en cadena se tiene∂V/∂qi sin necesidad depreocuparse cuál de las ordenadas hay que diferenciar. La derivada en cadena ha-ce desaparecer todo intermediario ya sea la ordenada o la abscisa. Sólo queda unaderivada parcial con respecto de los grados de libertad. Estas derivadas deben seriguales a cero. Ese es el algoritmo de los trabajos virtuales.

Esta manera de calcular no deja de ser lógica, ya que los grados de libertad dealgún modo se dan cuenta de que los responsables de todo movimiento virtual(o real) provienen de las fuerzas exteriores. Aunque la coordenada generalizadasea perpendicular a la fuerza peso, dicho desplazamiento (virtual) sólo es posiblegracias a las fuerzas exteriores. La elección de la coordenada generalizada no tiene


porqué interferir con este movimiento.

Existen pues dos maneras de trabajar con los trabajos virtuales, aunque en am-bos casos, hay que encontrar la variable o variables generalizadas,qi; en el casoclásico hay que buscar realmente el producto escalar entre la fuerza exterior y eldesplazamiento virtualδqi, lo que involucra por un lado encontrar el tamaño deldesplazamiento virtualδqi y multiplicado por el coseno del ángulo entre la fuerzaexterior y el vector desplazamiento viertual. Al final hay que trabajar con una de-rivada con respecto el desplazamiento virtual multiplicado porδqi. La otra maneraes un esquema de tipo completamente escalar. Hay que buscar la energía-potencialdel sistema, luego derivar dicha función con respecto a cualquier variable gene-ralizada e igualar a cero. Si hay una sola, entonces la solución se encuentra dela ecuación igualada a cero. Si hay varias coordenadas generalizadas entonces seencuetra el equilibrio de resolver el sistema de3×N − r ecuaciones.

14. Ejercicio:

Encuentre la posición de equilibrio del sistema mecánico de la Fig. 3.1, derecha, utilizando la energía potencialdel sistema.

Utilizandoα como el grado de libertad del sistema se encuentra la energía potencial de los dos puntos materialescomoV = m/2× gy1 +m/2× gy2. Derivando esta expresión con respecto aq se obtiene el problema similaral del ejercicio 4.

15. Ejercicio:

Encontrar la posición de equilibrio del sistema de la figura 3.3. Se trata de una barra de densidad de masa nohomogénea que posee un centro de masa a una distancial1 del extremoA de la barra. Utilice el principio de lostrabajos virtuales.

En primer lugar se deduce que se trata de un sistema de un grado de libertad. Elijamos la coordenada generalizadaq = θ al ángulo que forma el puntoB con respecto el eje horizontal cuyo orígen se ubica en el centro geométrico0 de la semiesfera.

El triángulo0AB es un triángulo isósceles. Mediante los datosL, la longitud de la barra y el radioR de lasemiesfera se puede encontrar el ánguloα, el ángulo que subtiende a la barraAB como

α = 2arc cos(L

2R) (3.21)

La suma de los trabajos virtuales se puede escribir como

l2

Lmgj · δq1 +

l1

Lmgj · δq2 = 0 (3.22)


donde, la relaciónli/L asume que la barra homogénea se ha reemplazado por dos masas diferentes a la mitadde la masa totalm de la barra. La fracción sirve para identificar el centro de masa de la barra con la suma de lasmasas de los dos puntos materiales en los extremos de la barra.

Por otro lado, las fuerzasexterioressiempre se hallan dirigidos hacia abajo, como sucede con las fuerzas degravedad. Los desplazamientos virtuales, o posibles son siempre a lo largo de la circunferencia. Por otro lado elángulo entre las fuerzas y la tangente a la curva son respectivamente para los extremosA yB π− θ−α y π− θ.

Reemplazando el producto escalar entre las fuerzas y los desplazamientos se tiene

l2

Lmg ·Rδθ cos(α+ θ) +

l1

Lmg ·Rδθ cos θ = 0 (3.23)

de donde se puede encontrar la solución para la variable generalizadaθ. Vale la pena mencionar que hay que tenercuidado con los signos de los términos de los trabajos virtuales, por otro lado hay que sumar magnitudes escalaresaunque es laborioso darse cuenta cuál de los términos puede ser positivo y cuál negativo. Es decir, saber en quécaso existe un ángulo agudo entre la fuerza exterior o activa y en qué caso el ángulo es obtuso.

16. Ejercicio:

Resolver el mismo ejercicio de la figura 3.3 pero teniendo en cuenta sólo las derivadas parciales de la energíapotencial.

En este caso, hay que sumar dos energías potenciales de cada masa. A saber, la distancia al piso multiplcado porla masa de cada partícula por la gravedadg. Para la partícula enA se tiene la masa de la partícula multiplicadoporg y R sin(π − α− θ). La otra partícula enB además de su masa hay que multiplicar porg y R sin(θ). Porlo tanto derivando la energ’ıa potencial e igualando a cero

∂

∂θV (θ) =

l2

Lcos(θ + α) +

l1

Lcos(θ) = 0 (3.24)

de donde se puede obtener

tan θ =l1 + l2 cosα

l2 sinα(3.25)

como en el caso anterior.

En ningún caso se ha considerado las fuerzas interiores o de reacción por las razo-nes discutidas más arriba. Existe una razón adicional que tal vez es útil mencionar.Todas las fuerzas de tensión interna poseen fuerzas opuestas e iguales dos a dos.Por lo tanto, aunque el desplazamiento de las “partículas” generado por ambastensiones producen “trabajos” que se anulan dos a dos.


Capítulo 4

El Principio de D’Alembert

4.1. Introducción

Desde el punto de vista dinámico la segunda ley de Newton dice que un cuerpo yasea se encuentra en reposo o bien provisto de un movimiento uniforme. Se trataóbviamente de una resitencia a unatasa de movimiento. Esta resistencia recibe elnombre de Fuerza Inercial. Se puede pues, pensar que en formadinámicaexisteun equilibrio vectorial de fuerzas entre la fuerza inercial y las fuerzas exterioresque son la causa del movimiento. Esta fuerza, si bien en su concepción académi-ca puede considerarse como ficticia, tiene una realidad a toda prueba. Cuando unvehículo frena, los ocupantes del mismo se sienten como si una fuerza les empuja-ra hacia adelante. Lo propio sucede, aunque en sentido inverso, cuando ese mismovehículo arranca del reposo. En ambos casos la fuerza activa frena, o acelera alvehículo.

La más conocida fuerza inercial es la fuerza centrífuga. Ya que cuando los ocupan-tes de un vehículo que maniobra una curva entonces éstos se sienten empujadoshacia “afuera”. La única fuerza activa que hace que el vehículo siga una trayecto-ria circular es la fuerza centrípeta, que tiene el mismo sentido que la aceleracióncentrípeta, dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Mientras quela fuerza centrífuga se dirige en sentido opuesto. La fuerza de Coriolis es otroejemplo de fuerza inercial.

D’Alembert, en suTraité de Dynamique, 1758, separó los puntos materiales so-bre los cuales existen fuerzas, tanto aplicadas o exteriores asi como ésta fuerza de

60 El Principio de D’Alembert

inercia y finalmente las fuerzas de reacción, que provienen de los vínculos pre-sentes en el sistema mecánico. Como ya hemos visto antes, en esas condiciones,el trabajo realizado por estas fuerzas es equivalente al trabajo realizado por lasfuerzas exteriores y las de inercia ya que las reacciones no producen trabajo. En-tonces, el resultado equivalente a los trabajos virtuales de la estática en el casodinámico será

Σk(Fk + FRk ) · δrk = 0 (4.1)

mg

Pendulo Fisico

Figura 4.1: Se ilustra un momento dado del péndulo cuando su posición está sobrela posición de equilibrio. Se muestra asimismo la fuerza acción sobre el cuerpoque es el peso del cuerpo.

como se vió en estática, las fuerzas de reacción no producen trabajo. Si se tieneun sistema con n partículas entonces, en coordenadas cartesianas se podrá escribir4.1 como

Σk=nk=1 (Xk −mkxk)δx+ . . . (4.2)


dondeXk, Yk, Zk son las componentes cartesianas de la fuerza activa que actúansobre cada partícula. La fuerza de D’Alembert está escrito como menos la masapor la aceleración y los desplazamientosδx, . . . compatiblescon sus vínculos. Acontinuación veamos un ejemplo.

17. Ejercicio:

Sea un péndulo simple, ver fig. 4.1. Utilizando la ecuación del equilibrio dinámico encuentre la ecuación demovimiento de un péndulo físico. Datos la longitud del hilo y la masa del péndulo.

En primer lugar encontremos la fuerza exterior, ésta esF=(0, −mg), por otro lado, haciendo uso de la coordenadageneralizada,θ, se escribe en las coordenadas Cartesianas de la figura comox = −a sin θ y y = −a cos θ.Debemos calcular la fuerza de D’Alembert, a saber,

−mx = −a cos θ θ + a sin θ θ2 (4.3)

−my = +a sin θ θ + a cos θ θ2 (4.4)

luego, hay que encontrar el desplazamiento virtual,δr = δx, δy. Con una doble derivada se encuentra

δx = −a cos θ δθ (4.5)

δy = +a sin θ δθ (4.6)

(4.7)

multiplicando escalarmente entre la fuerza de inercia y el desplazamiento virtual sale

θ + (

√g

a)2 sin θ = 0 (4.8)

18. Ejercicio:

Sea un proyectil, el llamado tiro inclinado, que sólo posee una fuerza exterior que actúa sobre el móvil. En estecaso,F = 0,−mg donde las constantes son las habituales. Es oportuno indicar que el sistema poseedosgradosde libertad. Es automático el buscar las dos variables generalizadas como las coordenadas Cartesianas del móvil.

En estas condiciones el desplazamiento virtual (que no tiene porqué estar sobre la trayectoria!) se escribe comoδr = δx, δy. Obsérvese asimismo que el tiempo, en los desplazamientos virtuales, no interviene. La fuerza deD’Alembert es automática:FR = −mx, −my. De donde se saca la ecuación de equilibrio dinámico

(0−mx)δx+ (−mg −my)δy = 0 (4.9)

Ahora bien, se debe asumir por un lado que las coordenadas generalizadas son independientes entre si. Elloinvolucra que se puede asumir los valores de los desplazamientos virtuales como se deseee. Por ejemplo yo deseoque cuando uno de los desplazamientos es diferente de cero, el otro elijo que sea igual a cero, de ese modo sepuede encontrar de una sóla ecuación 4.9 dos ecuaciones independientes a saber


−mx = 0 (4.10)

−mg −my = 0 (4.11)

De las dos ecuaciones diferenciales se obtiene todos los parámetros del tiro inclinado, la forma de la trayectoria,. . .

19. Ejercicio: Dada la configuración mecánica de la figura 4.2, izquierda, en-cuentre la posición de equilibrio, los datos se encuentran indicados en la figu-ra, la incógnita esφ

20. Ejercicio: Idem para la derecha de la figura 4.2. El punto A puede resba-lar sin rozamiento. Los datos además del radio de la circunferencia son losdos pesosP y W

l

a

W

φ

WP

A

Figura 4.2: En ambas ilustraciones hay que encontrar la posición de equilibrio.

21. Ejercicio: Sea una barra de longitudl = a+ b de pesoW , se apoya sobrelos dos planos inclinados, definidos con sus ángulosα y β, encuentre la posi-ción de equilibrio de la barra. Ver figura 4.3, ilustración izquierda

22. Ejercicio: Una barra de longitud l = a + b se apoya sobre una pared y elotro extremo sobre una superficie circular como indica la figura 4.3, ilustra-

4.2 Las ecuaciones de Lagrange (1a Especie) 63

ción de la derecha, encuentre la posición de equilibrio

a

b

W

α β

R

W

a

b

Figura 4.3: En ambas ilustraciones hay que encontrar la posición de equilibrio.

4.2. Las ecuaciones de Lagrange (1a Especie)

Consideremos en este momento una serie de masasdiscretas, por ejemplom1, m2, . . .,cada una de ellas están sujetas a vínculos holonómicos através de las siguientesrelaciones de vínculo

φ1 = 0, φ2 = 0, . . . (4.12)

El número de grados de libertad está dado por3n − r, conn el número de lasmasas, mientras quer son el número de ecuaciones de vínculo. En primera ins-tancia tomemos las coordenadas Cartesianas. Cada una de lasn partículas poseentres coordenadas Cartesianas. Las fuerzas, en general, estarán actuando sobre cadauna de las masas. Llamando las tres componentes con las letrasX1, X2, X3 ma-yúscula, y colocando un subíndice para que identifique a cada una de las masas setiene, de acuerdo a la ecuación dinámica estudiada (no olvidar que sólo tomamosen cuenta las fuerzasactivas), se tiene

Σ3nk=1 (Xk −mkxk)δxk = 0 (4.13)

donde se ha colocado subíndice supérfluo a la masa, ya que cada tres valoresconsecutivos dek poseen la misma masa. Ahora bien, se tiene como se dijo masarriba,r ecuaciones de vínculo. Si diferenciamos cada una de ellas se tiene


δφi = 0 i = 1, r (4.14)

que se puede escribir como (para cada una de lasi ecuaciones)

Σ3nk=1

∂φi∂xk

δxk = 0 (4.15)

multiplicando cada una de las ecuaciones 4.15 por una constanteλi y luego sesuma a las ecuaciones 4.13, la ecuación de D’Alembert se convierte en

Σ3nk=1 (Xk −mkxk + Σr

i=1λi∂φi∂xk

)δxk = 0 (4.16)

ahora bien, estas ecuaciones 4.16, poseen algunas de los desplazamientos virtualesδxj legítimos. Es decir que son independientes entre si. Pero no lo son todos yaque existen sólo3n−r grados de libertad. Sin embargo, como quiera que tenemoslos coeficientesλi para elección, elegimos a éstos de tal modo que permitan a losparéntesis de la ecuación 4.16 se puedan anular para cualquier valor dek. Esosparámetros adicionalesλi nos permiten entonces escribir

Xk −mkxk + Σi=ri=1λi

∂φi∂xk

= 0 k = 1, 3n (4.17)

estas ecuaciones, escritos en otro orden, como la siguiente ecuación reciben elnombre de Ecuaciones de Lagrange de Primera Especie

mkxk = Xk + Σi=ri=1λi

∂φi∂xk

k = 1, 3n (4.18)

Se indica a continuación un ejemplo trivial para explicar cada uno de los términosde las expresiones de más arriba. En primer lugar se enuncia el problema trivial,esto es, el movimiento de un cuerpo de masam que se desliza sin rozamiento alo largo de un plano inclinado que tiene una pendiente dada por el ánguloθ. En lafigura 4.4 se ilustra el problema donde se ha dibujado no sólo el peso del cuerposino que también lareaccióndel plano inclinado.

Se ha denominadoλ a la reacción para acostumbrar al lector que se trata delmismoλ de la expresión 4.18. Además en la figura 4.4 se supone que la dimen-sión física deλ es la fuerza. Se ve claramente de la ilustración que las fuerzas


x

y

mg

λ

θ

λ λcos

mg sinθ

θ sinθ

Figura 4.4: Las fuerzas exteriores (la acción peso mas la reacción del plano incli-nado). Se ha puesto en evidencia las componentes Cartesianas de cada una de lasfuerzas exteriores.

exteriores, ya sean acción o reacción, pueden descomponerse en las componetessiguientes:

F = −λ sin θi + (−mg + λ cos θ)j (4.19)

Encontrando la ecuación de Newton para ambas componentes se puede escribir

mx = −λ sin θ (4.20)

my = −mg + λ cos θ (4.21)

que es exactamente lo mismo que se saca cuando se escribe las ecuaciones deLagrange de primera especie, 4.18, donde la función de vínculo no es otra cosaque la expresión de la trayectoria del móvil, a saber,φ(x, y, . . .) = y−tan θ·x = 0

En el ejercicio correspondiente a la figura 4.2, izquierda, se puede utilizar concierta automaticidad las expresiones 4.18. Dicha figura se reproduce en la figura4.5 donde se ha colocado una masa en el extremo de la barra de longitudl. Comoquiera que se trata de un sólo grado de libertad, ya que basta definirθ para definirel sistema, se debe encontrar la ecuación de vínculo. Por ejemplo se debe pensarque la barra es recta y en consecuencia los tres puntosP , A y Q deben estar en


x

y

mgl

aP

A

Q

(a,0)(x,y)

(0,[x−a]cotan

θ

θ)

Figura 4.5: La ilustración es la misma que la ilustración de la izquierda de la figura4.2 manipulada de tal modo que se trate del movimiento del punto materialQ

una recta. Las coordenadas Cartesianas de estos puntos se encuentran escritos enla figura 4.5.

Se ve inmediátamente que existe una relación entre el ánguloθ, que puede ser vis-to como una coordenada generalizada del sistema, y las coordenadas cartesianasdel puntoQ, a saber

θ = arcsinx

lcot θ =

√l2 − x2

x(4.22)

la relación de vínculo es una sola, a saber

φ =

x y 1a 0 10 (x− a) cot θ 1

= 0

que no es otra cosa que decir que todos los puntos (P , A y Q) se encuentran enuna recta. Obteniéndose


φ(x, y) = axy + (x− a)2√l2 − x2 = 0 (4.23)

Encontrándose las derivadas parciales de las dos variables

∂

∂yφ = ax

∂

∂xφ = ay + 2(x− a)

√l2 − x2 − (x− a)2x√

l2 − x2(4.24)

reemplazando en la expresión 4.18 queda

mx = −λ(ay + 2(x− a)√l2 − x2 − (x−a)2x√

l2−x2 )

my = −mg + λax(4.25)

que son las ecuaciones diferenciales que hay que resolver para encontrar la ecua-ción de movimiento. Es decir, las ecuaciones 4.25, la 4.25 y la ecuación de víncu-lo, es decir la 4.23. Se trata de tres ecuaciones, dos de ellas diferenciales, la otrauna función algebraica con las cuales se debe encontrarx(t), y(t) y λ(t). Obsér-vese que en en este ejercicio la reacciónλ no es constante.

Una de las razones más importantes para continuar con la búsqueda de una teoríamás práctica para resolver los problemas de mecánica es la dificultad de obtenerlas soluciones de las ecuaciones de Lagrange de primera especie.


Capítulo 5

Las Ecuaciones de Lagrange

Antes de continuar con la parte física de la mecánica analítica es necesario in-troducir elcálculo de variacionespara la comprensión del principio de mínimaacción .

5.1. El Cálculo de Variaciones

Sea una curva, que posea una longitud mínima, pero que pase por dos puntosextremos de la curvafijos se debe encontrar varias integrales donde la incógnitaes unafunción, es decir

∫ x2

x1

√1 + y′2(x)dx (5.1)

debe ser unextremo. Una generalización de la expresión 5.1 se escribe diciendoque la función subintegrando es una funciónconocidade tres variables, a saber,x –la coordenada independiente,y la función que se busca yy′ la derivada de lafunción incógnita. Es decir, en general (para una función incógnitay = y(x))

I(y(x)) =∫ x2

x1

f(x, y, y′)dx (5.2)

Veamos algunos ejemplos matemáticos más adelante, primero deduzcamos el al-goritmo que soluciona el problema enunciado.

70 Las Ecuaciones de Lagrange

5.1.1. La Ecuación de Euler

Se supone que la solución es una funcióny0(x) a la que hacemos variar, esto esy0(x) → y0(x) + δy(x), además la derivaday′0(x) → y′0(x) + δy(x)′ para obtenerla variación de la expresiónI(y(x)) como

δI(y(x)) =∫ x2

x1

[∂

∂yfδy +

∂

∂y′fδy′]dx (5.3)

integrando por partes el segundo término de la subintegral de la expresión 5.3 seobtiene1

δI(y(x)) =∫ x2

x1

∂

∂yfδydx− δy

d

dx ∂

∂y′fdx (5.5)

sacando factor comúnδy ·dx de la subintegral y al serδy una variaciónarbitraria,la integral sólo se hace cero si la expresión de la subintegral que multiplica aδy·dxse anula es decir

∂

∂yf − d

dx ∂

∂y′f = 0 (5.6)

que es la ecuación de Euler buscada. Cuando existen varias funcionesyi(x) comoargumentos de la funciónf al ser las derivadas sumandos de integrales similaresa la expresión 5.3, la ecuación 5.5 se convierte en una sumatoria de integralessimilares a éstas; y, cuando se saca factores comunes para cada integralδyi · dx,al ser cada una de lasδyi independientes entre sí siempre se puede elegir, para uni = j dado todos los demásδyi = 0 parai 6= j. Y se repite el razonamiento demás arriba para la integral que queda, esto es parai = j y comoj es arbitrario setienen tantas ecuaciones como subíndices exista similares a la expresión 5.6. Esesistema de ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones de Euler en matemáticas.

A continuación se exhiben ejemplos de molde –matemáticos, que se pueden en-contrar en cualquier libro. La razón de estos ejercicios es la de ilustrar la técnicadel cálculo de variaciones.

1ya que ∫∂

∂y′fδy′]dx = δy · ∂

∂y′|21 −

∫δy

d

dx ∂

∂y′fdx (5.4)

ya que el primer término del segundo miembro de la expresión se anula debido a que las variacio-nesδy en los extremos son nulos por ser estos fijos.

5.1 El Cálculo de Variaciones 71

23. Ejercicio:

Sea la funciónf(x, y′) que como se ve no depende de la función propiamente dicha. Este ejercicio variacionalse puede enunciar de un modo simple. A saber, dada una curvay(x) que entre dos puntos fijos, esto es,y0 y y1exhibe una longitud mínima.

La ecuación de Euler, 5.6 da para la distancia entre dos puntos

ds =√dx2 + dy2 ds =

√1 + y′2dx f(x, y′) =

√1 + y′2 (5.7)

que integrando

d

dx ∂

∂y′f(x, y′) = 0 − y′√

1 + y′2= C y = cx+ c0 (5.8)

dondeC y c, c0 son constantes arbitrarias que se ajustan para que se cumpla quey0 = y(x0) y y1 = y(x1).

24. Ejercicio: Siguiendo la misma idea del ejercicio anterior, encuentre latrayectoria, sobre la superficie de una esfera de radio conocido, que tiene unalongitud extremaentre dos puntos fijos sobre la superficie esférica. La solu-ción es que se trata de un círculo máximo que pasa por los dos puntos.

25. Ejercicio:

La funciónf no depende de la variable independientex. Este es un caso muy común en la dinámica analítica parasistemas conservativos.

Buscar una superficie de revolución que tenga un área mínima. En la figura?? se ilustra el elemento de longitudds y la superficie de revolución (alrededor del eje de lasx) resultante.

Ahora bien, el área de la superficie de revolución es

A = 2π

∫y

√1 + (

dx

dy)2 · dy (5.9)

Se debe acalarar que la función que se desconoce esx(y), por lo que la función cuyos extremos deseamosencontrar es (ahora la variable independiente esy)

f(y, x′) = 2πy

√1 + (

dx

dy)2 (5.10)

La ecuaciónde Euler se escribe como


ds

x x 1 2

x

y

z

y(x)

Figura 5.1: A la izquierda se muestra el elemento de curvads =√

1 + (dx/dy)2 ·dy, por otro lado, por el teorema de Papus, el área de la curva que subtiende dichoelemento al rotar alrededor del eje de las abscisas es igual a2π × y × ds. A laderecha la superficie de revolución resultante.

d

dy

∂

∂x′f(y, x′) = 0 (5.11)

una integración inmediata, conc una constante se obtiene yx′√1+x′2

= c. Esta ecuación diferencial se puede

separar variables, quedando

dx =cdy√y2 − c2

(5.12)

haciendo un cambio de variabely = c cosh z se obtiene

dy = c sinh(z)dz√y2 − c2 = c sinh z dx = cdz (5.13)

que integrando salez = 1c(x+ C), de donde

y = c coshx+ C

c(5.14)

En la figura 5.2 se ilustra la solución parax = ±a, obteniéndose valores iguales para la variabley(x).

26. Ejercicio: Encuentre la curva sobre la que se desliza un grave de tal modoque el tiempo que transcurra entre el piso y una ordenaday sea mínimo

5.2 El Lagrangiano 73

0.5

1

1.5

−1 0 1

y(x)=cosh(x)−1 0 1 −1

01

−1.5

0

1.5

Figura 5.2: A la izquierda la catenaria, solución del problema investigado, mien-tras que a la derecha la superficie de revolución que supuestamente tiene la super-ficie mínima

5.2. El Lagrangiano

Sea la trayectoria de una curva en el espacio de3n dimensiones, es decir se tienexk(t), yk(t), zk(t), donde el subíndicek varía entre1 y n, de acuerdo al principiode D’Alembert, se escribe

n∑

k

(mkxk −Xk)δxk +n∑

k

(mkyk − Yk)δyk +n∑

k

(mkzk − Zk)δzk = 0 (5.15)

obviamente que todos estos puntos materiales se encuentranvinculadosconNgrados de libertad. Es decir existen3n−f grados de libertad o lo que es lo mismof relaciones de vínculos. Ello quiere decir que las variacionesδx, δy, δz no sonindependientes entre sí.

Tratemos de manipular la expresión 5.15 mediante la siguiente identidad

xkδxk =d

dt(xkδxk)− xk

d

dt(δxk)

d

dt(δxk) = δxk (5.16)

entonces la expresión 5.15 se convierte en

ddt

∑k[mk(xkδxk + ykδyk + zkδzk+)] =

=∑ 1

2mkδ(x

2k + y2

k + z2k+) +

∑(Xkδxk + Ykδyk + Zkδzk+)


esta expresión se puede escribir como

d

dt

∑

k

[mk(xkδxk + ykδyk + zkδzk+)] = δT + δW (5.17)

dondeT es la energía cinética mientras queW es el trabajo ejecutado por las fuer-zas exteriores. Obviamente si se piensa que se trata de untrabajo virtualentonceslas variaciones de la curva en el espacio se realizan en un mismo instante, esto es,tanto la curva real como la variación se realizan simultáneamente.

Se ha visto oportunamente, por ejemplo en la ecuación 1.12 del capítulo 1, o bien,la ecuación 2.52 del capítulo 2, que la función energía potencialV con signocontrario es idéntica al trabajo deW .

Integrando la expresión 5.17 se ve que el primer término se hace cero (ya que losextremos de la curva en el espacio multidimensional la variación de la curva seanula) quedando por lo tanto

∫(δT + δW )dt ≡

∫(δT − δV )dt = 0 (5.18)

de donde se puede ver que la función cuyo extremos se obtiene mediante la ecua-ción de Euler no es otra que la diferencia entre la energía cinética y la energíapotencial, es decir

δ∫

(T − V )dt = δ∫ 1

0Ldt = 0 (5.19)

es sorprendente que el principio variacional valga para un Lagrangiano como seha visto aunque uno podría esperar más bien que el principio variacional deberíaafectar a la energía total del sistema.

Finalmente, se ha previsto que al existir ecuaciones de vínculo se puede haceruso de estas expresiones para escribir el Lagrangiano en función sólo de losNgrados de libertad del sistema. Es decir se puede escribir queL(qk, qk) durantetodo el principio variacional ya que las curvas posibles en el espacio, esta vez deN dimensiones, se mantiene el tiempo fijo para las variacionesδqk y δqk, entonces

∫δL(qk, qk)dt =

∫ ∑

k

∂

∂qkLδqkdt+

∫ ∑

k

∂

∂qkLδqkdt (5.20)

5.2 El Lagrangiano 75

el último sumando del segundo miembro de la expresión 5.20 se obtiene

∫ ∑

k

∂

∂qkLδqkdt =

∫ ∂

∂qkLd

dtδqkdt =

∂

∂qkLδqk|10 −

∫ d

dt

∂

∂qkLδqkdt (5.21)

que, en vista de que los límites de la línea vertical implican cero, se puede escribirla ecuación llamada de Lagrange (de segunda especie)

d

dt

∂

∂qkL(qk, qk)− ∂

∂qkL(qk, qk) = 0 (5.22)

se debe puntualizar que esta ecuación involucra que las fuerzas dependen de unpotencial. Cuando no es el caso se debe modificar estas ecuaciones.


Capítulo 6

Ecuaciones de Lagrange y losPrincipios Variacionales

6.1. Introducción

Una vez conocido los trabajos virtuales, (para estática) y las ecuaciones de La-grange de 1a especie (para la dinámica), introducimos a continuación el puntocentral de la llamada mecánica analítica.

En primer lugar, haciendo uso de las coordenadas generalizadas,qi, encontrare-mos una ecuación diferencial compacta para resolver de un modo “mecánico”cualquier problema holonómico de la mecánica. Como es sabido, cada sistemamecánico puede escribirse como una colección de puntos materiales relacionadosmediantevínculos, es decir mediante funciones que interrelacionan las coordena-das de los puntos materiales.

En efecto, seaN el número total de puntos, ello involucra una colección de3Ncoordenadas. Ya sean Cartesianas o de otra índole. Si, por otro lado, existenSrelaciones de vínculo, entonces se tienenf = 3N − S grados de libertad . Elloinvolucra que existenf coordenadas generalizadas, a saber,qi i = 1, f , que en ge-neral es relativamente facil de definirlos. Sin embargo, no existe una única manerade elegirlos. Cada operador buscará sus propios grados de libertad de acuerdo asus inclinaciones naturales.

Encontrar los grados de libertad del sistema de la figura, 6.1.

78 Lagrange y Hamilton

O

A

B

C

Figura 6.1: A la izquierda, una barra de peso no uniforme y de longitudl, se ubicacomo una cuerda de una circunferencia de radioR. Uno de los extremos de labarra se encuentra solicitado por un resorte dek de coeficiente de restitución. Ala derecha un esquema del sistema mecánico.

Se obtiene un grado de libertad, digamos el ánguloθ = BOD. Se ve claramente que el ánguloα = COB y elánguloβ = BOA se escriben del modo siguiente:

2R cosβ

2= l β = 2 arc cos

R

2l(6.1)

por otro lado, la cuerdaCB = 2R sinπ/2+θ

2. El ánguloα = COB = π/2 + θ, de donde se encuentra las

coordenadas del punto B y A (ver figura 6.1, ilustración de la derecha). En efecto en un sistema de coordenadasCartesianas, colocado en el centro de la circunferencia siendo las abscisas la recta horizontal y las ordenadas lavertical

yB = R sin θ (6.2)

xB = R cos θ (6.3)

yA = R sin(β + θ) (6.4)

xA = R cos(β + θ) (6.5)

las ecuaciones 6.2-6.5 nos proporcionan las coordenadas (en este caso Cartesianas) de los dos puntos materialesde que consta el sistema.

6.2. Las Ecuaciones de Lagrange

Las llamadas ecuaciones de Lagrange (de segunda clase) se deduce mediante elcálculo diferencial del modo siguiente.

6.2 Las Ecuaciones de Lagrange 79

Una vez definidas las coordenadas generalizadas,qi, donde el subíndice varía des-de uno hasta el número de grados de libertad del sistema, estamos en condicionesde determinar la posición del sistema en todo momento. Sin embargo, no sólose deben conocer las coordenadas generalizadas –a no ser que se trate de cono-cer la posición de equilibrio del sistema, sino que también lasderivadasde qicon respecto del tiempo, esto es,qi. Veremos que en ese caso podemos conocercompletamente el estado del sistema mecánico en cualquier tiempo.

En efecto. De acuerdo a lo que se ha explicado es siempre posible encontrar lascoordenadas de cada punto material –digamos en un sistema Cartesiano, aunqueno necesariamente así, es decir

xi = xi(q1, q2, . . .) i = 1, f (6.6)

Si derivamos totalmente con respecto det la expresión 6.6 se convierte en

xi =∑

j

∂xi∂qj

qj (6.7)

es decir una combinación linel –paraqj fijos, de las variablesqj. Si derivamos–partialmente, la expresión 6.7 con respecto aun qk se obtiene

∂xi∂qk

=∂xi∂qk

(6.8)

ésta expresión 6.8 será útil mas adelante.

Hemos visto en los capítulos previos que se puede extender el principio de lostrabajos virtales con un término adicional –sin tomar en cuenta las reaccionescomo en caso de la estática, que se ocupe delmovimientodel sistema. Entonces elprincipio de los trabajos virtuales extendidos será

∑

i

Fi −mixi δxi = 0 (6.9)

En primer lugar encontraremos lafuerza generalizada, a partir de∑Fiδxi. No

olvidemos que los subíndices van desde 1 hasta el número total de coordenadas.Es decir si hay dos partículas habrán 6 coordenadas si las dos partículas estánen un espacio de 3 dimensiones; por otro lado serán 4 coordenadas si se trata departículas en el plano. Si por otro lado hay suficientes ecuaciones de vínculo de


tal modo que los grados de libertad sonf , derivando en cadena la expresión 6.6se puede escribir

δxi =∑

j

∂xi∂qj

δqj (6.10)

y el primer término de la expresión 6.9 se convierte en, donde se han intercambia-do los subíndices

∑

j

∑i

Fi∂xi∂qj

δqj =∑

j

Qj δqj (6.11)

donde la suma enj va desde 1 hastaf . Qj son las “componentes” de la fuerzageneralizada .

Finalmente, para escribir el segundo término de la expresión 6.9 debemos haceruna pequeña digresión y comenzar con la energía cinética de un sistema mecánico. En primer lugar la energía cinéticaT se escribe casi siempre como una combina-ción cuadrática deqj. Por ejemplo, cuando se escribe en coordenadas Cartesianas,se escribe como

T =1

2

∑

i

mix2i (6.12)

Si se trata de coordenadas polares (en el espacio) se tiene, para una partícula(i=1,3)

T =1

2mr2 + r2 sin2 θ φ2 + r2θ2 (6.13)

como se ve, una combinación cuadrática de las derivadas temporales de las coor-denadas generalizadas. En casi todos los casos que trabajaremos muy rara vezencontraremos derivadas de las coordenadas cruzadas ya que casi siempre traba-jamos concoordenadas ortogonales.

Definimos ahora elmomento generalizadopj a la expresión

pj =∂T

∂qj(6.14)

El momento generalizadopθ de la expresión 6.13 se obtiene

6.2 Las Ecuaciones de Lagrange 81

pθ = mr2θ (6.15)

mientras que de la expresión 6.12 se obtienepj = mxj. Obsérvese que en esteúltimo caso es igual a la masa por la velocidad, esto es, dimensiones de momentolineal clásico; mientras que de la expresión 6.15 se ve que se trata de una dimen-sión de la energía.

Ahora bien, trabajando con coordenadas Cartesianas –por sencillez, se puede es-cribir al momento generalizado como

pj ≡ ∂T

∂qj=

∑

i

mixi∂xi∂qj

≡ ∑

i

mixi∂xi∂qj

(6.16)

la última identidad se obtiene gracias a la expresión 6.8.

Derivemos ahora, con respecto del tiempo, la expresión 6.16, para reemplazar enla expresión 6.9. Entonces

pi =∑

j

mjxj∂xj∂qi

+∑

j

mjxjd

dt

∂xj∂qi

(6.17)

la derivada temporal del segundo término de 6.17 se escribe como una doble de-rivada con respecto a dos variables generalizadas, en efecto

pi =∑

j

mjxj∂xj∂qi

+∑

jk

mjxj∂2xj∂qi∂qk

qk (6.18)

donde se ve que el primer término del segundo miembro de 6.18 no es otra cosaque la fuerza generalizadaQi mientras que el segundo término no es otra cosa quela derivada parcial de la energía cinética con respecto a una coordenada generali-zada, en efecto

∂T

∂qi=

∑

j

mjxj∂xj∂qi

=∑

j

mjxj∂

∂qi

∑

k

∂xj∂qk

qk (6.19)

Entonces, la expresión 6.18 se convierte en

pi = Qi +∂T

∂qi(6.20)

Luego, la ecuación de Lagrange se convierte en


d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= −Qi (6.21)

Por otro lado, en los sistemas conservativos, las fuerzas –o las fuerzas generaliza-das , dependen de un potencialV (qi), de tal modo que

Qi = −∂V∂qi

(6.22)

además que los potenciales, en general, no dependen de las derivadas de las coor-denadas generalizadas explícitamente, es decir

d

dt

∂T − V ∂qi

− ∂T − V ∂qi

= 0 (6.23)

entonces, si llamamos aL = T − V , como unLagrangiano, la ecuación deLagrange –de 2a especie, se escribe como

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 (6.24)

6.3. Las Ecuaciones de Hamilton

Hasta ahora, se ha asumido que los sistemas mecánicos (holonómicos) se escribena través de las ecuaciones de Lagrange, 6.24, donde la funciónL = T − V seescribe como una función de las variables independientesqi, qi. Sin embargo, apartir de ahora las variables independientes seránqi, pi, donde la úlitma variablees el impulso generalizado ya definido en la expresión 6.14. Veremos que se debeintroducir una función nueva, se trata de una función llamadaH(pqt) a partir deahora y que en algunos casos se convierte en laenergíadel sistema , es decirH = T + V .1 Aunque, en general, hay que escribir primero la definición de lamisma, es decir

H(p, q) =∑

pkqk − L(q, q(p)) (6.25)

1En efecto, se ve de las expresiones 6.12 y 6.13, así como de toda forma de la energía cinéticaen la que se puede escribir como una combinación bilineal deqi y queqi

∂∂qi

T = 2T ; entonces, deacuerdo a la definición deL = T − V de acuerdo a 6.25H = 2T − (T − V ) = T + V

6.3 Las Ecuaciones de Hamilton 83

donde las variables independientes existentes en la izquierda y derecha de la ex-presión 6.25 son las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados . Apartir de ahora, en los argumentos no se escribirán los subíndices correspondien-tes, a no ser, que haya posibilidades de confusión.

6.3.1. Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir delprincipio variacional

El principio variacional se escribe como

δ∫ t1

t0L dt = 0 (6.26)

Como se sabe la expresión 6.26 implica que hay que buscar las funcionesqi =qi(t), de tal modo que cuando se realice la integración entre dos puntosfijos en eltiempo,t0 y t1, la integral de la expresión de mas arriba de un valorextremo, estoes, ya sea uno mínimo o máximo. Se sobre entiende asimismo que la Lagrangiana2 L puede ser función de las coordenadas generalizadas, de las derivadas tempora-les de las coordenadas generalizadas. También, en los procesos no estacionarios,puede ser función del tiempo. Nótese la diferencia entre la función de Hamilton yla de Lagrange. Las variables en los argumentos de ambas son diferentes entre si.

Al encontrar la variación de cada variable, incluso de las funciones en las que susvariables independientes son por separado diferentes de cada término, el Lagran-giano se transforma, con ayuda de la expresión 6.25, en

−δ∫L dt = δ

∫H(p, q, t) dt− δ

∫ ∑

k

pkqk dt (6.27)

La variación es similar a un diferencial, con sus reglas, por lo que, para sistemasestacionarios se puede escribir 6.27 como

−δ∫Ldt =

∑

k

∫∂H∂qk

δqk +∂H

∂pkδpk − qkδqk − pkδqkdt = 0 (6.28)

2Puede considerarse al sustantivo Lagrangiana, o Lagrangiano; en aquél caso se sobre entiendecomo la función Lagrangiana mientras que en este caso se trata de un substantivo. En España sedice Lagrangiana, mientras que en América se utiliza más bien Lagrangiano


integrando por partes el último término de 6.28, y gracias a la identidadδq =(d/dt)δq

−∫ t1

t0pkδqkdt =

∫ t1

t0pkδqkdt− pkδqk|t1t0 (6.29)

el segundo término de la derecha de 6.29 se anula debido a que las variaciones deδqk en los extremos de la integración se hace cero. Quedando la ecuación 6.28

∑ ∫[∂H∂qk

+ pk]δqk + [∂H

∂pk− qk]δpkdt = 0 (6.30)

Aquí vale la pena indicar que tanto el Goldstein3 como el Landau4 dicen que lasvariacionesδp y δq son independientes entre si, por lo tanto se pueden igualar acero los dos corchetes de la expresión 6.30, lo que da las ecuaciones de Hamilton.Sin embargo, el Sommerfeld5 dice que no se puede asumir dicha discusión ya quep y q están relacionadas por la expresión 6.14. Por lo que derivando la definicióndeH en la expresión 6.25 nos da, paraq =constante, que el segundo corchete de6.29 se anule, por lo que también el primero debe anularse. Es decir

pk = +∂H(p, q)

∂qk(6.31)

qk = −∂H(p, q)

∂pk(6.32)

6.3.2. Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir de lasecuaciones de Lagrange

Una vez definido la expresión para la función de Hamilton , ver ecuación 6.25,diferenciemos tantoH(p, q) como laL(q, q). Dando

dH =∂H

∂tdt+

∑

k

∂H

∂qkdqk +

∑

k

∂H

∂pkdpk (6.33)

3Goldstein H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading Mass, 19594Landau L., Lifshitz E., Physique théorique, Mécanique, 4a Edición, Ediciones Mir, 19885Sommerfeld A., Mechanics, Academic Press, New York, 1952

6.4 Tranformaciones Canónicas 85

dL =∂L

∂tdt+

∑

k

∂L

∂qkdqk +

∑

k

∂L

∂qkdqk (6.34)

reemplazando en la expresión 6.34 la definición del impulso generalizado y apartir de la ecuación de Lagrange se tiene

dL =∂L

∂tdt+

∑

k

pkdqk +∑

k

pkdqk (6.35)

A partir de la ecuación 6.25 diferenciando con respecto a las dos variables tantopara el primer o segundo término de dicha ecuación se tiene

dH =∑

k

qkdpk +∑

k

pkdqk − ∂L

∂tdt−∑

k

pkdqk −∑

k

pkdqk (6.36)

haciendo operaciones queda

dH = −∂L∂tdt−∑

k

pkdqk +∑

qkdpk (6.37)

por lo que se puede escribir

∂H

∂t= −∂L

∂t(6.38)

pk = +∂H(p, q)

∂qk(6.39)

qk = −∂H(p, q)

∂pk(6.40)

que son nuevamente las ecuaciones de Hamilton.

6.4. Tranformaciones Canónicas

Sabemos que las transformaciones llamadas de Punto, esto es,Qk = Qk(q) dejaninvariante a las ecuaciones de Lagrange. Es decir la forma de la ecuación sigue


siendo la misma ya sea escrito en las variables independientesL(q, q) o bien enfunción deL(q(Q), q(Q)). Ya que el nuevoPk se escribe como una combinaciónlineal de lospk. En efecto,

Pk =∂L

∂Qk

=∑

j

∂L

∂qj

∂qj

∂Qk

=∑

aj,kpj (6.41)

En el caso del Hamiltoniano, la invariancia es frente a un grupo mas amplio, asaber las tranformacionescanónicas o de contacto. Es decir a las transformaciones

Qk = Qk(p, q) (6.42)

Pk = Pk(p, q) (6.43)

En efecto, supongamos que se ha podido invertir estas expresiones y encontradouna nueva forma del nuevo Hamiltoniano, a saber

H(p, q) = H(P,Q) (6.44)

Veamos, finalmente, si la nueva expresión∑PQ es igual a su contraparte

∑pq.

En realidad, sólo necsesitamos para nuestro propósito que sean iguales entre si,excepto la derivada temporal de una función arbitrariaF (q,Q).

En efecto, si se escribiera

∑pq =

∑PQ+

d

dtF (q,Q) (6.45)

paracualquierF se puede escribir (en vista de que la variación de los extremosδq = δQ = 0, quedando)

δ∫

[H(P,Q)−∑PkQk] dt = 0 (6.46)

lo que implica

Pk = − ∂H

∂Qk

(6.47)

Qk = +∂H

∂Pk(6.48)

6.5 Variables Canónicamente Conjugadas 87

que no es otra cosa que la invariancia de las ecuaciones de Hamilton, como se havisto en la subsección 6.3.2. El nombre de transformación de contacto para estastransformaciones proviene del hecho de que las derivadas parciales de una funciónson las componentes de la normal en cada punto de esa función (o superficie). Sise cambia de coordenadas, de las minúsculas a las mayúsculas como se ha hechoen 6.43, se obtendrá otra normal, es decir, las derivadas de la función resultanteen función de las variables de su argumento; es posible demostrar que si en cadapunto se conserva las componentes de las normales a la superficie, se dice que esuna transformación de contacto, dicha transformación conserva las ecuaciones deHamilton.

Sea un HamiltonianoH(pqt), diferenciando con respecto al tiempo,t, se tiene

d

dtH =

∂

∂tH +

∑

k

∂

∂qkH qk +

∂

∂pkH pk (6.49)

que, de acuerdo a las ecuaciones de Hamilton la expresión entre llaves se anula,quedando

d

dtH =

∂

∂tH (6.50)

lo que quiere decir que si el HamiltonianoH no dependeexplícitamentedel tiem-po t se encuentra

∂

∂tH = 0 H(pq) = constante (6.51)

que no es otra cosa que la conservación de la energía.

6.5. Variables Canónicamente Conjugadas

Vale la pena hacer una digresión sobre los conceptos de las transformaciones decontacto. Por un lado, gracias a la funciónF (qQ), definida en la expresión 6.45se ha podido escribir que

∑

i

pidqi −H dt =∑

i

PidQi − H dt+ dF (6.52)


definiremos ahora a la funciónF (qQ) como la función generatriz de la trans-formación canónica. Se verá a continuación que no es indispensable que dichafunción posea argumentosqQ. Podrá, en efecto, depender de otros pares de argu-mentos, a saber,qP , pQ ó pP .

Veamos cómo se encuentra dicha función generatriz. En particular para cuandoel argumento seaqP , sea la función en ese casoΦ(qP ). De la expresión 6.52 sepuede escribir

dF =∑

i

pidqi −∑

i

PidQi + (H −H) dt (6.53)

de 6.53 se obtiene

pi = ∂∂qiF

Pi = − ∂∂Qi

F

H = H + ∂∂tF

(6.54)

para el caso que nos ocupa la función generatriz sea designada porΦ, entonces laexpresión similar a la 6.53 será

dΦ =∑

i

pidqi −∑

i

PidQi + (H −H) dt (6.55)

por lo que las expresiones similares a 6.54 se transforman en

pi = ∂∂qi

Φ

Qi = − ∂∂Pi

Φ

H = H + ∂∂t

Φ

(6.56)

Por lo que al parpq se denomina variables canónicamente conjugadas, es decir,desde el punto de vista del Hamitoniano, es indiferente al par de estas variablesque se utiliza, las propiedades del Hamiltoniano restan inmutables.

27. Ejercicio: Demuestre por cálculo directo que la función generatriz F(qQ)que transformaQi = pi y Pi = −qi es la funciónF =

∑i qi Qi

Capítulo 7

La Ecuación de Hamiton-Jacobi

7.1. Introducción

La revolución científica del sigloXX es la introducción de la mecánica que seocupa del mundo atómico y corpuscular. Empiezan a aparecer conceptos talescomo onda o partícula?, órbitas?, energías de sistemas o energías estacionarias desistemas? óptica de ondas o mecánica de partículas?. . .

Ese estado dialéctico merece respuestas simples, a saber,partículas y ondas, me-cánica ondulatoriapara el mundo microscópico, mientras que para el mundo ma-croscópico,real, existe la mecánica clásica del sistema de partículas. El caminonatural de seguir estos conceptos es la mecánica de Hamilton. Las ecuaciones aseguir son las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. El esquema de la óptica de tenerfrentes de ondas paralelos provenientes de la ecuación de las ondas fue reemplaza-do mediante una ecuacióndiferencialen un espacio multidimensional de tal modoque las superficies de las nuevas ondas están relacionadas mediante la expresiónS = constante. ConS la acción del sistema. Las trayectoriasortogonalesde lassuperficies de las ondas se obtienen mediante las ecuaciones

pk =∂S

∂qk(7.1)

que no es otra cosa que la definición de un momento generalizado cuando se tomaS al Lagrangiano.

90 Hamilton-Jacobi

7.2. Sistemas Conservativos

δx =0

1

0 t

t

0

1

A

B

t’

t’t"

t"

δq’

δq"

δx 1 = 0

0 0t

1

t

0

1

A Bδ

δ

q’

q"

E, t"

E, t"−δ t

t’+δ t

E, t’

E,

Figura 7.1: Las trayectoriasA y B de la ilustración de la izquierda son dos po-sibles en el espacio de las variables Cartesianas, un instante dadot0, t1 el móvilse encuentra en los puntos indicados con dichas letras. Se elige la trayectoria queposea un extremo su integral de acción. La ilustración de la derecha, por otro lado,se tiene también dos curvasA y B, aquella la curva real mientras que ésta una va-riación de la curva real. La ilustración de la derecha es utilizado para el principiode Maupertuis

Hemos visto que el hamiltoniano se escribe, para sistemas conservativos,H =T+V . Sea, ver figura 7.1, izquierda, la trayectoria real del móvil, curva A, cuandose ve a dicha trayectoria como las coordenadas cartesianas de la misma en funciónparamétrica del tiempot. De todas las trayectorias posibles, una se diferencia deotra, suponiendo que seaxk(t) la trayectoria curva de la figura, mediante unavariación de cada una de las variablesxk(t) + δxk, sin embargo en untiempo fijot. Eso es posible sólo si estamos en un espacio def−dimensiones, dondef sonlos grados de libertad del sistema.

Por supuesto que existe una variación deδxk a lo largo de esta trayectoria exceptoen los puntos extremos dondeδxk(t0) = δxk(t1) = 0.

7.2 Sistemas Conservativos 91

A continuación, usando coordenadas Cartesianas –sin hablar de las coordenadasgeneralizadas, vamos a mostrar que en los sistemas conservativos debe satisfacer-se el principio variacional con la Lagrangiana de un sistema mecánico como lafunción dentro de la integral.

Hemos visto que la extensión del principio de los trabajos virtuales aplicados a ladinámica se puede escribir como (si se tieneN partículas y sobre cada uno de loscuales se aplicanN fuerzasactivas, esto es no fuerzas de reacción son tomadasen cuenta)

k=N∑

k=1

(mkxk −Xk)δxk + (mkyk − Yk)δyk + (mkzk − Zk)δz) = 0 (7.2)

dondeXk, Yk, Zk son las componentes de las fuerzas activas en coordenadasCartesianas. Pensamos que el sistema mecánico en cuestión poseef grados delibertad. Diremos, no obstante que puede ser criticado por los puristas, que lasδxk pueden verse como lasdxk, en cuyo caso,

xkδxk =d

dtxkδxk − xk

d

dtδxk (7.3)

por otro lado, como quiera que pueden intercambiarseδd = dδ se puede tambiénescribir

d

dtδxk = δxk (7.4)

volviendo a la expresión 7.2 se puede escribir los primeros términos de los parén-tesis como

mxkδxk = md

dtxkδxk −mxkδxk = m

d

dtxkδxk −m

1

2δx2

k (7.5)

entonces la ecuación 7.2 se transforma en

ddt

∑mk(xkδxk + ykδyk + zkδzk) =

=∑ mk

2δ(x2

k + y2k + z2

k) +∑

(Xkδxk + Ykδyk + Zkδzk)(7.6)

Integrando la expresión 7.6 multiplicada pordt entret0 y t1, y teniendo en cuentaque en esos límitesδxk = 0 . . . se escribe como

∫ t1

t0d(. . .) ≡ 0 = δ

∫ t1

t0Tdt+

∫ t1

t0δW (7.7)

92 Hamilton-Jacobi

como quiera que sabemos queδW = −δV , conV la energía potencial para siste-mas conservativos se puede escribir como

δ∫ t1

t0(T − V ) dt = δ

∫ t1

t0L dt = 0 (7.8)

que es elprincipio de Hamilton.

7.3. La Ecuación de Hamilton-Jacobi

Como se ha visto, cuando se habla del principio de Hamilton, hay que asumirque entre dos puntos con desplazamientos “virtuales” en la trayectoria deben sersimultáneos, esto es,δt = 0. Si por otro lado, se decide que las trayectorias comola mostrada en la figura 7.1, izquierda, en vez de comparar los puntos simultáneos,(ver figura 7.1, derecha) se comparan dos puntos con la misma energíaE, entoncespodemos decir que la variación esδE = 0. Es decir estamos en sistemas conconservación de la energía. Es decirE = T + V =constante. de donde

δT + δV = 0 δL = δT − δV ≡ 2δT (7.9)

como se ve, la energía cinéticaT , hace el papel del Lagrangiano, tal como fueintroducido por Leibnitz en 1707 . Por otro lado, Maupertuis, pensó que habia quebuscar otra expresión compacta, como por ejemplo,2Tdt = mv · vdt = mvds,conds un desplazamiento. Como se ve, si la energíaE es constante, todas esasmaneras de ver el principio variacional son equivalentes.

Para hablar del principio de mínima acción tal como lo introdujo Maupertuis, hayque asumir queδE = 0, y que la acción no es otra cosa queδ

∫2Tdt = 0. En

efecto, si ahoraδt 6= 0 debemos cambiar la técnica de ponerδx = d/dt δx ya que

δx =d(x+ δx)

d(t+ δt)− dx

dt(7.10)

con un desarrollo en serie se obtiene

δx =d

dtδx− x

d

dtδt (7.11)

d

dtδx = δx+ x

d

dtδt (7.12)

7.3 Hamilton-Jacobi 93

que reemplazando en la ecuación 7.3 se obtiene,

xkδxk =d

dtxkδxk − xkδxk − x2

k

d

dtδt (7.13)

reemplazando en la ecuación 7.2 se obtiene

d

dt

∑mk(xkδxk + ykδyk + zkδzk) = δT + 2δT

d

dtδt+ δW (7.14)

por otro lado, ya sabemos queδW = −δV = δT en vista de queδE = 0 obte-niéndose

d

dt

∑. . . = 2δT + 2T

dδt

dt(7.15)

Integrando entret1 y t2 se tiene (en los extremos las variaciones de las coordena-das son cero)

2∫ t2

t1δTdt+ 2

∫ t2

t1Tdδt = 2δ

∫ t2

t1Tdt = 0 (7.16)

que es elprincipio de Maupertuis.

7.3.1. Sistemas Conservativos

De la ecuación 7.9 se puede ampliar dicha ecuación colocando explícitamente laenergía, sin darnos cuenta de que es constante en primera aproximación, entonces

δW = −δV = δT − δE (7.17)

reescribiendo la expresión 7.15 con laδE explícitamente, es decir tomando encuentaδE 6= 0, queda

d

dt

∑pkδqk = 2δT + 2T

dδt

dt− δE (7.18)

en la ecuación 7.18 se ha reemplazado en el primer término una suma de productosde los momentos generalizados multiplicado por la variación de las coordenadasgeneralizadas. Integrando, recordando la expresión 7.16, la expresión 7.18 se tiene

94 Hamilton-Jacobi

δS − tδE =∑

pδq −∑p0δq0 (7.19)

Pensemos por un momento que la solución de este algoritmo es una funciónac-ción S, que debe depender de varias “variables”, digamos todas las que poseenunaδ en la expresión 7.19, la misma que escrita en otra forma tiene la forma deuna diferencial en cadena

δS = tδE +∑

pδq −∑p0δq0 (7.20)

lo que implica queS = S(E, q, q0) además que

t =∂S

∂Ep =

∂S

∂qp0 = − ∂S

∂q0(7.21)

Finalmente, si suponemos que los sistemas son conservativos y que la expresiónpara el Hamiltoniano,H(p, q), es conocida además de ser constante, es decir

H(p, q) = E (7.22)

entonces, haciendo uso de una de las expresiones de 7.21 se transforma 7.22 setransforme en una ecuaci’on diferencial a derivadas parciales

H(∂S

∂q, q) = E (7.23)

que es la ecuación deHamilton-Jacobipara sistemas conservativos.

7.4. El Problema de Kepler

Con el presente ejemplo, tratamos de explicar las nuevas rutas que pasa la mecá-nica analítica haciendo uso del problema de dos cuerpos, el llamado movimientoplanetario. A partir de esta ecuación de Hamilton-Jacobi se inicia una mecánicanueva, donde las trayectorias de las “partículas” no poseen un significado corrien-te. Los conceptos de la ecuación de segundo órden del principio de Newton cam-bian. Ahora no hay una ecuación de segundo órden, sino de primero, ya que sóloaparece una derivadaparcial de primer órden, como se ve del Hamiltoniano de laexpresión 7.23. Empero, dicho Hamiltoniano para sistemas conservativos es cua-drático enp, lo que parece complicar dicha ecuación diferencial desde el punto devista matemático.

7.4 El Problema de Kepler 95

La solución brillante que dará Schrödinger a la ecuación de Hamilton-Jacobi enla mecánica ondulatoria nos permitirá encontrar soluciones mas o menos simplesde la ecuación 7.23.

Empezamos con el Lagrangiano del problema de Kepler, dondeM es la masa delsol ym la masa del planeta. Dicho Lagrangiano es

L =m

2[r2 + r2φ2] +G

mM

r(7.24)

Calculando los momentos generalizados se obtien

pr = mr pφ = mr2φ (7.25)

Reemplazando las derivadas de las coordenadas generalizadas en función de lascoordenas generalizadas en la definición del Hamiltoniano se obtiene

H(pq) =1

2m[p2r +

1

r2p2φ]−G

mM

r(7.26)

Por lo tanto, de acuerdo a la expresión 7.23, la ecuación de Hamilton-Jacobi es

(∂S

∂r)2 +

1

r2(∂S

∂φ)2 = 2mE +G

mM

r (7.27)

7.4.1. Solución de la Ecuación de Hamilton-Jacobi por Sepa-ración de Variables

SeaS = R(r) + Φ(φ), que reemplazando en la ecuación 7.27 se obtiene

(dR

dr)2 +

1

r2(dΦ

dφ)2 = 2mE +G

mM

r = f(r) (7.28)

Si suponemos que hay dependencia lineal explícita de la funciónΦ del argumentoφ entonces,dΦ/dφ =constante. Que llamamosC entonces

(dR

dr)2 = f(r)− C2

r2(7.29)

escribiendo la cuadratura, teniendo en cuenta que se ha integrado además la de-pendencia lineal deΦ(φ) = Cφ+constante.

S =∫ r1

r0

√2m(E +G

mM

r)− C2

r2dr + Cφ+ α (7.30)

96 Hamilton-Jacobi

dondeα es una constante.

Recapitulando, se dice entonces queS(q, C,E) dondeC y E son las constantesdefinidas, una de ellas coincide con el momento angular, mientras que el otro esla energía total. Con un análisis similar al de la ecuación 7.21 se puede escribir,

κ =∂S

∂C(7.31)

derivando la ecuación 7.30 se obtiene

κ = −C∫ 1√

2m(E +GmMr

)− C2

r2

dr

r2+ φ (7.32)

Para integrar la integral de la expresión 7.32 se hace el cambio de variablesu =1/r obteniéndose

κ− φ =∫ u1

u0

du√(u− γ)(ν − u)

(7.33)

con las definiciones de las constantes

γν = −2mE

C2(7.34)

γ + ν =2Gm2M

C2(7.35)

llamandoξ de tal modo que

u =γ + ν

2+ν − γ

2ξ (7.36)

obteniéndose

κ− φ =∫ ξ1

ξ0

du

1− u2(7.37)

κ− φ = arc cos ξ (7.38)

ξ = cos(φ− κ) (7.39)

De acuerdo a las cónicas escritas en coordenadas polares, llamandoε la excentri-cidad de la cónica, se obtiene mediante el cambio de variable adecuado

γ =1

a(1 + ε)(7.40)

ν =1

a(1− ε)(7.41)

u =1

a(1 + ε2)+

ε

a(1− ε2)ξ (7.42)

7.5 Mecánica Cuántica 97

para encontrar finalmente,

r =a(1− ε2)

1 + ε cos(φ− κ)(7.43)

que es la elipse buscada. Se puede considerarκ = 0 para que los perihelios yaphelios se encuentren enφ = 0, π.

7.5. Mecánica Cuántica

Todo este esquema, las ecuaciones de Hamilton, la ecuación de Hamilton-Jacobi,parecerían un poco confusas. Sin embargo, a principios de siglo XX, apareceríanproblemas insolubles prácticos como la radiación de un cuerpo negro y teóricoscomo el hecho de que un electrón, en un átomo de H, mientras ejecuta el mo-vimiento Kepleriano alrededor del protón del átomo, debiera emitir y al mismotiempo debiera perder energía por el hecho de que que emite –de acuerdo a lasecuaciones de Maxwell, ondas electromagnéticas. Sin embargo, se sabía que elátomo de H es un átomoestable, por lo que quedaba por explicar dichos comporta-mientos un tanto marginales. El resto de la física no mostraba mayores problemas,no obstante que los problemas no lineales de la física como los de hidrodinámicase trabajaban con mucha intensidad.

Para resolver el problema de las líneas espectrales del átomo de H, se introdujeronmuchas suposiciones “ad-hoc”. Hoy día dichas hipótesis reciben el nombre de losfundamentos de la mecánica cuántica antigua. En dichas hipótesis, juega un papelmuy importante la introducción de losnúmeros cuánticos. Para ello hay que hablarde lasvariables acción, es decir de una combinación similar a la expresión

Jk =∫pkdqk (7.44)

que posee las dimensiones de la acción que estamos acostumbrados en éste ca-pítulo. N. Bohr tuvo la osadía de plantear la hipótesis de que dichavariable–enprocesos estacionarios, debería tener un valorentero multiplicado por una cons-tante dimensionada, la constante de Planckh× 2π, es decir

Jk = nkh× 2π (7.45)

98 Hamilton-Jacobi

dondenk son los números naturales, esto es,0, 1, 2 . . .

Para el caso del átomo de H, es idéntico al problema de Kepler, excepto que hayque reemplazar la energía potencial gravitatoria por la energía Coulombiana, estoes

−GMm

r→ −e

2

r(7.46)

para el caso de la variable acimutal,φ, la expresión 7.44 se convierte en

∫ ∂S

∂φdφ ≡

∫C dφ = nφh× 2π (7.47)

lo que implica queC = nφh. De la expresión 7.27 se obtiene

∂S

∂r=

√2m[E +

e2

r]− C2

r2(7.48)

integrando 7.48 en la variabler se encuentra, sin = nr + nφ, con la integral de laacción igual anrh× 2π dando

E = − me4

2hn2(7.49)

que son los niveles estacionarios de las energías del átomo de H.

Capítulo 8

Mecánica del Rígido

8.1. Introducción

Un sistema de partículas con vínculos rígidos puede considerarse como un cuerpoque llamamos a partir de ahora como un rígido. En primer lugar introduciremosel concepto de mecánica de un sistema de partículas (con o sin vínculos rígidos),dando algunas proposiciones que se demostrarán oportunamente. Por un lado, lafuerza total que actúa sobre un sistema de partículas es igual a lamasa totalde laspartículas multiplicado por la aceleración delcentro de masadel sistema.

Por otro lado, el momento de las fuerzas en el centro de masa del sistema de par-tículas (que no tiene que estar en reposo) es igual a la tasa del momento angularalrededor del centro de masa. Finalmente la energía total de un sistema de partí-culas es igual a la energía del centro de masa de una “partícula” con masa igual alde la masa total de aquellas mas la energía derotación, con respecto al centro demasa del que hablamos, del sistema de partículas original, pero que viajan con lavelocidad del centro de masa del sistema

8.2. La Mecánica de las Partículas

Supongamos que cada partícula se halle identificada con tres componentes Carte-sianas de dicha masa:xi, yi, zi, a la cual se asocia la masa como un escalarmi.Por supuesto que, en forma paralela se puede escribir en forma vectorial para cada

100 Mecánica del Rígido

m m

m

m

m

M

1 2

3

4

5

m

m

f

f

ff

O

r

r

i

i

i

j

j

j

ij

ji

Figura 8.1: Sistema de Partículas, a la izquierda, el centro de masa se encuentraenM . A la derecha se ilustra las fuerzas activas sobre dos partículas cualesquiera,i y j, así como sus fuerzas activas y las fuerzas interiores

partícula como al valorr i de un vector cuyo origen se halla en el punto de aplica-ción común a todos estos vectores y cuyo vector apunta a cada masa en cuestión.Además las derivadas con respecto del tiempo para cada una de estas variablesserán, respectivamente,xi, yi, . . . , ri, . . .

Vale la pena analizar con un poco mas de detalle la nomenclatura de las fuerzasque actúan en un sistema, ver figura 8.1. Por un lado, las fuerzas que son denomi-nadasactivas, o exteriores, como peculiaridad del origen del movimiento de laspartículas y como discriminación a las otras fuerzas que aparecen, como genera-ción espontánea en el sistema, denominadas éstas fuerzas devínculo, o reacciones,dependiendo del caso.

Las fuerzas activas poseen la identidad de una letra en negrita con su subíndicecorrespondiente (por supuesto que en cada partícula pueden estar actuando variasfuerzas “exteriores”, empero, por razones de método, sólo nos referiremos a suresultantecomo a la fuerza exterior por cada masa), a saberf1, f2, . . . fi, . . .

Las fuerzas de vínculo , ellas tienen derecho a dos subíndices, uno para indicarla masa en cuestión, y el otro para mostrar que proviene de la otra masa queactúa sobre la partícula que estamos estudiando. Esta manera de escribir, a saber,f12, f13, . . . fij, . . ., tiene una ulterior ventaja. En primer lugar no pueden existirdos índices idénticos, ya que una fuerza de vínculo no puede existir una fuerzaque se genere por una partícula contra sí mismas. En segundo lugar las fuerzas de

8.2 La Mecánica de las Partículas 101

vínculo son iguales en intensidad, aunque no en sentido, cuando dos subíndicesse hallan permutados. Ello no es otra cosa que el tercer principio de Newton.Cada acción (fuerza) le corresponde una reacción (también una fuerza opuesta ala anterior):fij = −fji. Aqui vale la pena enfatizar que las reacciones de vínculono son constantes, excepto claro está en condiciones estáticas. Dinámicamente, lasreacciones de vínculo son variables aunque, a diferencia de las fuerzas llamadasexternas, juegan una segunda batuta a éstas: si las fuerzas exteriores cambian, porejemplo en el tiempo, como consecuencia las reacciones también lo hacen. Lasreacciones no son otra cosa que las consecuencias del tercer principio de acción yreacción.

8.2.1. Fuerza y Movimiento del Centro de Masa

Cada partícula se la puede ver por separado, y la ley de Newton se puede expresarcomo

mid2ridt2

= fi +∑

j 6=ifij (8.1)

aprovechando la discusión sobre las fuerzas con doble subíndice, se puede sumarsobre todos losi de la expresión 8.1 se reescribe como

d2

dt2∑

i

miri =∑

i

fi + (∑

i

∑

j 6=ifij ≡ 0) (8.2)

las fuerzas de vínculo sumadas sobre todos los elementos del sistema se anula porel principio de acción y reacción como ya dijimos. Por otro lado, si se tiene lasuma de las posiciones de cada partícula multiplicada por la masa de cada unade ellas, es posible identificarlo con el producto de la masa total de las mismasmultiplicada por una posición especial, llamada “el centro de masa” del sistema.

Ejemplo 1.Dado tres partículas idénticas que se hallan equidistantes entre si de una distanciaa, encuentre el centro de masadel sistema.

La fórmula a utilizar es:M × xcm = Σmixi, . . . Si las coordenadas de las tres masas son0, 0; 0, 4; 2, 2√

3.De donde se obtiene las coordenadas del centro de masa2,

√3. Ver figura 8.2

Ejemplo 2.Encontrar el centro de masa de un cuerpo formado por un plano de forma parabólica. Hay que suponer quelas partículas están uno al lado de otro y su número es infinito. (Se puede incluso asumir que la “densidad” departículas no es constante a lo largo y ancho de la superficie).


mm

M

m

Figura 8.2: Tres masas idénticas,M es el centro de masa.

0

a*a

0 a-a

dA=dxdy

Figura 8.3: El elemento de superficie por unidad de densidad de masa

Se supone, ver figura 8.3, que el elemento de área,dA, puede ser un “elemento” de masadm. La relación entreambas diferenciales recibe el nombre dedensidadsuperficial en las dimensiones de masa por unidad de superficie.La masa total de la superficie parabólica, se obtiene, como

∫dx dy. Esa integral doble se calcula inmediátamente,

da4/3 a3. Otra manera de ver este resultado es diciendo que el área de una tal superficie se obtiene como2/3 elárea del rectángulo que subtiende a la superficie parabólica. El área del rectángulo es2a× y(a) ≡ 2a3.

Entonces la integral buscada y a calcular es

ycm × 4

3a3 =

∫ a2

0

y dy

∫ +x

−x

dx (8.3)

La integración doble es inmediata:4/5 a5. De donde, se obtiene como centro de masaycm = 3/5 a2 ≡3/5 y(a). Dada la simetría de la superficie,xcm = 0.

Si, la densidad superficial no fuera constante, como en la expresión 8.2, podemos suponer que la densidad super-ficial puede ser una función ya sea de cada una de las variables o de ambas. Digamos

dm

dA≡ σ(x, y) (8.4)

8.3 Angulos de Euler 103

y las integrales a calcular son ahora

∫ a2

0

dy y

∫ +y

−x

σ(x, y) dx ≡M × ycm (8.5)

además que hay que calcular la masa total de la superficie

M =

∫ a2

0

dy

∫ +y

−x

σ(x, y) dx (8.6)

8.3. Angulos de Euler

z

θ

θ

φx

y

x"

y"z"

α ψ

Α

Β

C

b

a

c

Figura 8.4: En la ilustración de la izquierda se muestran dos ternas, una con eti-quetasx, y, z y otra con etiquetasx′′, y′′, z′′. Los ejes puntuados en la mismailustración corresponden a una terna intermedia etiquetada con primas. Los ángu-los de Euler se hallan identificados en la misma ilustración mediante los símbolosφ, θ, ψ. A la derecha se ilustra un triángulo esférico donde sus vértices se hallanindicadas con letras mayúsculas y sus “lados” opuestos a dichos vértices se hallanindicadas con letras minúsculas. Los vértices no sólo son tales sino que a su vezdesignan los ángulos diedros del triángulo esférico. Los “lados” del triángulo es-férico se forman con la intersección de un plano que pasa por el origen del sistemay que pasa por dos vértices adyacentes con la esfera, cuyo radio tradicionalmentees la unidad.


Se ha mencionado antes que un rígido libre o en presencia de potenciales posee 6grados de libertad. En vista de la existencia de un centro de masa, existe en dichocuerpo, un punto especial. Si tomamos ese punto como aquel que se asimila comoun punto material con una masa equivalente a la masa total del sistema, podremosdefinir tres grados de libertad asociado a dicho punto. La energía de translaciónestá de algún modo asociado a dicho centro de masa. Sin embargo, quedan aúntres otros grados de libertad. Pensamos que la rotación, alrededor del centro demasa, pueden definir los otros tres grados de libertad. En todo caso, si bien nopuede ser el centro de masa un punto demasiado privilegiado, en el sentido queun cuerpo rígido puede rotar físicamente alrededor de cualquier otro punto decualquier cuerpo rígido, la rotación elemental, o bien, simple, debe verse comouna rotación alrededor del centro de masa. Euler, ha definido cinemáticamentetres ángulos que son a su vez las tres coordenadas generalizadas que faltaban paradefinir a todo cuerpo rígido.

En la figura 8.4 se ilustran, a la izquierda, los tres ángulos de Euler. Al rígidohay que verlo como adosado al sistema de referencia con doble primas, que puedemoverse “rígidamente” sobre el pivote del origen de coordenadas Cartesianas dela figura. El observador se halla en el sistema de referencia sin primas.

A continuación se reproduce, con el lenguaje matricial, tres rotaciones sucesivassobre, primero el eje de0z, luego alrededor del eje0x′. Este último eje es el quefuera rotado mediante el primer ángulo de Eulerφ durante la primera rotación.La rotación alrededor del eje0x′ se la efectúa gracias al segundo ángulo de Euler,a saber,θ. Finalmente, esta vez en el sistema primas (que sólo esta representadoesquemáticamente con líneas punteadas en la figura 8.4, izquierda) se rota el tercerángulo de Euler, esto es,ψ, alrededor del eje0z′ que ahora se denomina0z′′.

Ese proceso secuencial se escribe matricialmente a través de las tres matrices derotación en tres dimensiones como se indica en la ecuación 8.7.

M =

(cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

)(1 0 00 cos θ sin θ0 − sin θ cos θ

)(cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

)(8.7)

La matrizM se obtiene de hacer las tres operaciones matriciales. Una vez efec-tuado las operaciones la única matriz que resulta está expresada en la ecuación8.8

(cosφ cosψ − sinφ sinψ cos θ +sinφ cosψ + cosφ sinψ cos θ − sin θ sinψ− cosφ sinψ − sinφ cosψ cos θ − sinφ sinψ + cosφ cosψ cos θ +sin θ cosψ

+sin θ sinφ − sin θ cosφ cos θ

)(8.8)


Una característica importante es que el determinante de las matrices de rotaciónen dos y tres dimensiones tienen un valor de1. La otra característica importante esque este tipo de operadores son un caso especial de los operadores en la física: setrata deoperadores unitarios, lo que quiere decir que el inverso de esos operadoresse obtienen a partir de la transpuesta del operador y conjugada siempre que se tratede elementos de matriz complejos, que no es el caso en el presente caso.

En general, sin embargo estas expresiones, 8.7 y 8.8, son relativamente difícilesde recordar. Aparentemente no existe un método más o menos sencillo de buscarun método mnemotécnico de re-escribir dichas matrices. Para ello hay que haceruso de un método alternativo para utilizar los elementos de matriz de la expresión8.8.

Para ello basta utilizar las fórmulas de la geometría esférica, a saber, sea un trián-gulo esférico como el que se muestra en la figura 8.4, derecha. El triángulo esfé-rico ABC con sus ladosabc satisfacen las ecuaciones del teorema del coseno , asaber,

cos a = cos b cos c+ sin b sin c cosA (8.9)

y otras expresiones similares para cada lado del triángulo. Si se desea por ejemplosacar la proyección del eje0x sobre el eje rotado0x′′, ver figura 8.4, izquierda, hayque construir un triángulo esférico donde los (ángulos) lados con letras minúsculasson conocidos, en este casoφ, ψ, de tal modo que el ángulo que forman los dosejes0x y 0x′′ forman un ángulo desconocido que llamaremosx − x′′ = α, en lafigura 8.4, izquierda, entonces con ayuda de la expresión 8.9 se escribe

cosα ≡ cos(x− x′′) = cosφ cosψ + sinφ sinψ cos(π − θ) (8.10)

que resulta ser exactamente el elemento de matrizM11 de más arriba.

28. Ejercicio: Haga rotar un paralelepípedo los tres ángulos de Euler. Mues-tre el programa que reproduce las rotaciones así como las figuras resultantes

En efecto, en la figura 8.5 se dan los gráficos correspondientes. A la izquierda la rotación sobre el ánguloφ, sobre unaarista vertical del paralelepípedo cuyas aristas son paralelas al sistema Cartesiano original. En la parte central dos rotacionessucesivas, primero alrededor el ánguloφ luego alrededor otra arista (la que es paralela al eje de las abscisas) un ánguloθ.Y, finalmente a la derecha, la rotación de los tres ángulos de Euler, que para el presente caso se han tomado45, 30 y30 respectivamente.


Figura 8.5: La rotación desde la izquierda hacia la derecha primero el ánguloφ,luegoφ, θ y finalmenteφ, θ, ψ en ese orden. El observador se halla solidario conel paralelepípedo con aristas paralelas al primer eje de referencia Cartesiano.

El programa en C

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define L1 (double)2



#define PI (double)(4*atan(1.))

#define PHI (double)45*PI/180.

#define PSI (double)30*PI/180.

#define THETA (double)30*PI/180.

double r[3][3];

double vec[8][3]=0,0,L3,0,L2,L3,

L1,L2,L3,L1,0,L3,

0,L2,0,L1,0,0,

L1,L2,0,0,0,0;

double vec0[12][3]=0,0,0,0,L2,0,

L1,L2,0,L1,0,0,

0,0,0,0,0,0,

0,L2,0,L1,0,0,

0,0,L3,0,0,L3,

0,L2,L3,L1,0,L3;

double vec1[12][3]=0,0,L3,0,L2,L3,

L1,L2,L3,L1,0,L3,

0,L2,0,L1,0,0,

L1,L2,0,L1,L2,0,

0,L2,L3,L1,0,L3,

L1,L2,L3,L1,L2,L3;

FILE *fp;

void matrix(void)

r[0][0]=cos(PHI)*cos(PSI)-

sin(PHI)*sin(PSI)*cos(THETA);

r[0][1]=-cos(PHI)*sin(PSI)-

sin(PHI)*cos(PSI)*cos(THETA);

r[0][2]=sin(THETA)*sin(PHI);

r[1][0]=sin(PHI)*cos(PSI)+

cos(PHI)*sin(PSI)*cos(THETA);

r[1][1]=-sin(PHI)*sin(PSI)+

cos(PHI)*cos(PSI)*cos(THETA);

r[1][2]=-sin(THETA)*cos(PHI);

r[2][0]=-sin(THETA)*sin(PSI);

r[2][1]=sin(THETA)*cos(PSI);

r[2][2]=cos(THETA);

int rotation(double x[],double xp[])


int i,j;

for(i=0;i<3;i++)xp[i]=0;

for(i=0;i<3;i++)

for(j=0;j<3;j++)

xp[i] += r[i][j] * x[j];

return(0);

int main()

int i,j,k;

double x[3],xp[3];

void matrix(void);

int rotation(double x[],double xp[]);

matrix();

for(i=0;i<8;i++)

for(j=0;j<3;j++)

x[j]=vec[i][j];

rotation(x,xp);

for(j=0;j<3;j++)

j!=2?printf(" %f %f ",

xp[j],x[j]):printf(" %f

%f \n",xp[j],x[j]);

fp=fopen("arrphithe","w+");

fprintf(fp,"set linestyle 3 lt 3\n");

for(i=0;i<12;i++)

fprintf(fp,"set arrow %d from ",i+21);

for(j=0;j<3;j++)

j!=2?fprintf(fp," %f,",vec0[i][j]):

fprintf(fp," %f ",vec0[i][j]);

fprintf(fp,"to ");

for(j=0;j<3;j++)

j!=2?fprintf(fp," %f,",vec1[i][j]):

fprintf(fp," %f ",vec1[i][j]);

fprintf(fp,"nohead\n");

for(i=0;i<12;i++)

fprintf(fp,"set arrow %d from ",i+1);

for(j=0;j<3;j++)

if(j==0)

for(k=0;k<3;k++)

x[k]=vec0[i][k];

rotation(x,xp);

j!=2?fprintf(fp," %f,",xp[j]):

fprintf(fp," %f ",xp[j]);

fprintf(fp,"to ");

for(j=0;j<3;j++)

if(j==0)

for(k=0;k<3;k++)

x[k]=vec1[i][k];

rotation(x,xp);

j!=2?fprintf(fp," %f,",xp[j]):

fprintf(fp," %f ",xp[j]);

fprintf(fp,"nohead ls 3 \n");

fclose(fp);

return(0);


ψ=0°

φ=30°θ=45°

ψ=0°

θ=45°φ=30°

Figura 8.6: Dos rotaciones secuenciales de acuerdo a los ángulosφ y θ, en unorden y en orden inverso. El paralelepípedo en línea delgada puede considerarsecomo el sistema de referencia del observador, mientras que el de línea gruesa esel que rota.

El script

Una vez corrido el programa de más arriba, se obtiene un archivo,<arrphithe> en este caso. Además se obtiene una salidaen la pantalla que se puede canalizar mediante unpipe, en este caso se denomina<rotaphithe>. Los dibujos se ejecutanmediante el siguientescript.

set nokey

switch=1 # 0 or 1

if(switch==1)set t post eps color solid

if(switch==1)set o "rotaphithe.eps"

if(switch==1)set size 0.3,0.3

set noborder

set noxtics

set noytics

set noztics

load "arrphithe"

splot "rotaphithe" u 1:3:5 w d,\

"rotaphithe" u 2:4:6 w d

if(switch==0)pause -1

exit

29. Ejercicio: Haciendo uso del programa anterior, dibuje dos rotaciones con-secutivas de los ángulos de Euler de tal modo que se muestre ópticamente quelas rotaciones no son conmutativas

En la figura 8.6 se ilustra para dos angulos consecutivos en un orden y luego enorden inverso.

30. Ejercicio: Encuentre la matriz de rotación en tres dimensiones cuando seejecuta tres rotaciones en forma secuencial, a saber, primero al rededor del


eje z, luego alrededordel eje y, para finalmente hacer una rotación nueva-mente a lo largo del eje de lasz

1

23

φ

ψ

θ

Rotacion directa

−θ

−ψ

−φ

1

2

3Rotacion inversa

Figura 8.7: A la izquierda la rotación en forma secuencial primero sobre el ejede lasz, luego sobre el eje de lasy y finalmente sobre el eje de lasz′′. En estailustración, la terna intermedia se ha dibujado en línea punteada. A la derecha larotación inversa. Los números arábigos muestra el orden de la secuencia de lasrotaciones.

En efecto, el producto de las tres rotaciones se escribe como, ver ecuación 8.11:

M =

(cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

)(cos θ 0 sin θ

0 1 0− sin θ 0 cos θ

)(cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0

0 0 1

)(8.11)

La nueva matrizM se obtiene de hacer las tres operaciones matriciales. Una vezefectuado las operaciones la única matriz que resulta está expresada en la ecuación8.12

(− sinφ sinψ + cosφ cosψ cos θ +cosφ sinψ + sinφ cosψ cos θ − sin θ cosψ− sinφ cosψ − cosφ sinψ cos θ +cosφ cosψ − sinφ sinψ cos θ +sin θ sinψ

+sin θ cosφ +sin θ sinφ cos θ

)(8.12)

Hay que hacer notar varios puntos en la nueva matriz de rotación, a saber, que larotación alrededor del eje de lasy tiene un sentido contrario al de las rotacionessobre los otros ejes y que las matrices en cuestión, al ser un tipo de matriz unitaria,la matriz inversa es igual la simétrica.


8.4. Cinemática del Rígido

La primera parte de este capítulo está relacionada con los ángulos de Euler. Lasegunda con los parámetros de Klein-Cayley , o las díadas. Del mismo modo quelos números complejos sirven para utilizar transformaciones en dos dimensiones,es útil utilizar transformaciones en tres dimensiones haciendo uso de objetos geo-métricos similares al de los números complejos. Desgraciadamente no es posibleutilizar objetos geométricos simples sin la ayuda de matrices. A continuación sehablará dedíadas, rotaciones, números complejos con el objeto de que las rota-ciones de los rígidos en tres dimensiones se puedan parametrizar del modo massimple posible.

31. Ejercicio: Haciendo uso de los números complejos encontrar las rota-ciones en dos dimensiones. Mostrar que es isomorfo a las rotaciones con lasmatrices reales de rango 2.

8.5. Los Parámetros de Klein-Cayley

Si utilizamos vectores bi-dimensionales en el espacio complejo, una transforma-ción lineal entre los ejesu, v y los transformadosu′, v′ mediante la siguiente ex-presión

u′ = αu+ βv (8.13)

v′ = γu+ δv (8.14)

en forma matricial se escribe como

R =

(α βγ δ

)

Hay que ver la expresión 8.14 como unarotacióndel vector con componentesu, vpara convertirse enu′, v′. Infelizmente no estamos en condiciones de dibujar dihosvectores ya que una componente compleja necesita un plano y al tratarse de doscomponentes necesitariamos un espacio de dimensión 4 lo cual no es automático.

8.5 Los Parámetros de Klein-Cayley 111

Todas las transformaciones que poseen un determinante igual a1 se denominanunitarias. En lo que sigue sólo nos ocuparemos de dichas transformaciones queson homomorfas a las matrices de rotación de tres dimensiones reales como lamatriz de Euler, es decir las matrices 8.8 y 8.12. Vale la pena además decir quecasi todas las matrices de la mecánica que representan lasvariables dinámicas(por ejemplo, el tensor de tensiones, el de deformaciones en la mecánica clásicay los operadores que representan las variables dinámicas en la mecánica cuántica)serán casi siempre Hermíticas o autoadjuntas, esto es que poseen la propiedadde que cuando se cambian filas por columnas y que se conjuga cada uno de loselementos de la matriz, se encuentra la misma matriz original. Para aclarar un pocoel panorama diremos que en las matrices reales de la mecánica, que representan aoperadores lineales, se encuentra que no todas ellas son matrices simétricas, estoes, que cuando se intercambian filas por columnas se obtiene la matriz original.Sólo se debe suponer que cuando se cambian filas por columnas se encuentra lamatriz inversa.

Las matrices que transforman (rotan) a los “vectores” del espacio complejo sonlas llamadas matrices unitarias, esto es que los inversos de éstas son a su vez Her-míticas de esas matrices. Las comillas en “vectores” se debe a que dichos vectoresno tienen el aspecto de flechas como es habitual en la nomenclatura clásica de lostextos de mecánica, se verá más adelante que se tratan de matrices Hermíticas.Volviendo al sujeto, en otras palabras las rotaciones inversas se obtienen cam-biando filas por columnas en los espacios reales, mientras que habrá no sólo quecambiar filas por columnas sino que además hay que conjugar los elementos dematrices cuando éstas son complejas.

Se escribe pues,

RR† =

(α βγ δ

) (α∗ γ∗

β∗ δ∗

)=

(αα∗ + ββ∗ γγ∗ + δδ∗

α∗γ + β∗δ γγ∗ + δδ∗

)=

(1 00 1

)

los cuatro términos (dos de los cuales son complejos, y dos son reales) de la matrizRR† = R†R son iguales a cuatro ecuaciones a saber,

αα∗ + ββ∗ = 1 (8.15)

γγ∗ + δδ∗ = 1 (8.16)

Real[γγ∗ + δδ∗] = 0 (8.17)

Imag[γγ∗ + δδ∗] = 0 (8.18)


Se puede comprobar rápidamente con ayuda de estas cuatro ecuaciones que lamatriz bidimensional sólo depende de dos constantes complejas, digamosα y β,por ejemplo

R =

(α β−β∗ α∗

)

La condición sobre el determinante de la rotación, queda

αα∗ + ββ∗ = 1 (8.19)

8.6. Las matrices de variables dinámicas

Sea una matriz-operador a una nueva forma de escribir el vectortridimensionalr ,con componentes cartesianasx, y, z

P =

(z x− iy

x+ iy −z)

que es un operador bidemensional en el campo complejo y autohermítico o au-toadjunto: es decir, si se cambian filas por columnas y se toma el complejo conju-gado se reproduce el operador original.

Una rotación en el espacio bidimensional complejo actúa sobre esos operadoresdel modo que ese operador se convierte en otro haciendo uso de una transforma-ción desemejanza. Luego de la rotaciónR convierte al operadorP enRPR†. Noolvidar queR es un operador unitario. Haciendo uso del algebra matricial se tiene

P ′ =

(z′ x′ − iy′

x′ + iy′ −z′)

=

(α β−β∗ α∗

) (z x− iy

x+ iy −z) (

α∗ −ββ∗ α

)

finalmente es sabido que el determinante de una transformación de semejanzapuede hacerse una conmutación circular entre las matrices del segundo miembro,lo que implica que tanto el determinante deP como deP ′ son idénticos, es decir,

−x2 − y2 − z2 = −x′2 − y′2 − z′2 (8.20)

que no es otra cosa que una invariancia del módulo del vectorr ante la transfor-mación unitariaR. Ello es equivalente a decir que una transformación unitaria en

8.7 Klein-Cayley y los ángulos de Euler 113

un espacio complejo bidimensional es idéntica a una rotaciónfísicade un cuerporígido siguiendo las transformaciones de los ángulos de Euler.Multiplicamos las tres matrices de más arriba se tiene

P ′ =

((αα∗ − ββ∗)z + αβ∗(x− iy) + βα∗(x+ iy) −2αβz + α2(x− iy)− β2(x+ iy)−2α∗β∗z − β∗2(x− iy) + α∗2(x+ iy) −(αα∗ − ββ∗)z − αβ∗(x− iy)− βα∗(x+ iy)

)

idendificando término a término las matricesP y P ′ se obtiene

x′ =1

2[α2 − α∗2 + α∗2 − β2]x+

i

2[β∗2 − α2 + α∗2 − β2]y + (−α∗β∗ − αβ)z (8.21)

y′ =i

2[α2 + β∗2 − β2 − α∗2]x+

1

2[α2 + β2 + β∗2 + α∗2]y − i(αβ − α∗β∗)z (8.22)

z′ = (βα∗ + αβ∗)x+ i(−αβ∗ + βα∗)y + (αα∗ − ββ∗)z (8.23)

que no es otra cosa que una transformación ortogonal al estilo de las matrices conlos ángulos de Euler.

Veamos cómo se realiza dos rotaciones sucesivas. Para ello necesitamos una ma-triz bidimensionalR1, a continuación se obtiene sucesivamente otra rotación,R2.La matriz resultante esRT = R2R1, a saber

RT =

(α2 β2

γ2 δ2

) (α1 β1

γ1 δ1

)=

(α1α2 + γ1β2 β1α2 + δ1β2

α1γ2 + γ1δ2 β1γ2 + δ1δ2

)

8.7. Klein-Cayley y los ángulos de Euler

Si buscamos rotaciones sucesivas entre dos sistemas de referencia, siguiendo ellibreto de los ángulos de Euler, podemos definir los parámetros de Klein-Cayleyen función de dichos ángulos. Empezamos con la rotación alrededor del ejez = z′.El ángulo de Euler correspondiente esφ.

Ya hemos visto quex′ = x cosφ + y sinφ, y′ = −x sinφ + y cosφ. Ello implicaque se puede escribir la transformación del número complejox ± iy, del modosiguiente

x′ + iy′ = e−iφ(x+ iy) (8.24)

x′ − iy′ = eiφ(x− iy) (8.25)

es rápido darse cuenta que una transformación como la precedente necesita lamatriz

Rφ =

(eiφ/2 0

0 e−iφ/2

)


es también sorprendente la aparición de ángulos mitades para una rotación dada.La siguiente rotación es un poco mas difícil de definirla como una matriz2 × 2.Haciendo un álgebra un poco tediosa se obtiene, teniendo en cuenta de que elánguloθ debe rotar a lo largo del ejex

Rθ =

(cos θ

2i sin θ

2

i sin θ2

cos θ2

)

para terminar con la tercera rotación, nuevamente a lo largo del nuevo eje de laszesta vez un ánguloψ, que, análogamente a la rotación enφ da

Rψ =

(eiψ/2 0

0 e−iψ/2

)

Multiplicando dos a dos estas rotaciones de acuerdo a las expresiones de masarriba, se obtiene

R =

(ei(ψ+φ)/2 cos θ

2iei(ψ−φ)/2 sin θ

2

ie−i(ψ−φ)/2 sin θ2

e−i(ψ+φ)/2 cos θ2

)

8.8. Las Matrices de Pauli

Se puede dar una representación mas “visual” de un vector que rota en el espaciode tres dimensiones haciendo uso de las llamadas matrices de Pauli, a saber

σx =

(0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)

Entonces la matriz autoadjuntaP se puede escribir formalmente como si se tratarade un “vector” tridimensional

P = xσx + yσy + zσz (8.26)

Entre paréntesis, las tres matrices de Pauli y la matriz unidadδij se forma unespacio vectorial de cuatro dimensiones. Es decir cualquier matriz2× 2 se puedeescribir como una combinación lineal de estas cuatro matrices que se acaba deintroducir.

8.8 Las Matrices de Pauli 115

En particular la matriz de rotaciónRθ se escribe ahora como

Rθ = 1 · cosθ

2+ iσx sin

θ

2(8.27)

Rφ = 1 · cosφ

2+ iσz sin

φ

2(8.28)

en forma análoga para el ánguloψ a la expresión 8.28.


Capítulo 9

Mecánica del Rígido II

9.1. Introducción

Ya hemos visto que los grados de libertad del rígido alcanza a 6. Hemos visto asi-mismo que si un rígido posee un punto fijo, sólo le quedan tres grados de libertad.Los mismos que es fácil de encontrarlos, a saber, se asume que una barra se ha-lla fija dentro del rígido, entonces no sólo la barra tendrá una longitud constante,sino que la distancia de los extremos de la barra al centro de giro también seránconstantes. Ello involucra,3 × 2 coordenadas lo que hace 6. Hay que restar lasrelaciones de vínculo que son las distancias tanto de la barra como desde los ex-tremos al centro de coordenadas –que coincide con el punto fijo del rígido, lo queda 3 relaciones de vínculo. La resta de las coordenadas y las relaciones de vínculoes 3. Es habitual tomar estos tres grados de libertad los ángulos de Euler.

Como se ve de la figura 9.1 la velocidad tangencial en la curva circular plana seescribe como

v = ω × r (9.1)

Si el eje de rotaciónω se mantiene fijo, entonces, dos rotaciones sucesivas implicauna “suma” de los vectoresω como si fueran vectores paralelos. Lo que implicaque las rotaciones en estos casos son conmutativas.

Empero, cuando las rotaciones puden variar no solo el ángulo de rotación sinoque el eje de rotación también cambia, hay que sumar las rotaciones del modo

118 Mecánica del Rígido II

O’

O

A

r

vdα

ω

φ

Figura 9.1: Una rotación definida por un elemento de ángulodα que provienede hacer un giro infinitesimal/indexgiro infinitesimal en función de la velocidadangular,ω, define una velocidadv tal quev = ω × r. El módulo de la velocidadse escribe comov = ω sinφ · r. El ánguloφ se escribe comoφ = arcsin(O′A/r).

como se suman las matrices de rotación en el espacio físico de tres dimensioneso bien como lo hacen las matrices complejas en el espacio de dos dimensionescomplejas. En esos casos, lo más importante es reconocer que las rotaciones noson conmutativas.

Finalmente, no sólo puede rotar un cuerpo rígido en un punto fijo, sinó que tam-bién este punto pivote puede tener un movimiento en el espacio, digamos convelocidadu, entonces la velocidadv de un punto fijo del rígido se escribe como

v = u + ω × r (9.2)

El punto pivote,O, es cualquiera, aunque es conveniente por razones de la se-paración de las energías cinéticas de translación y de rotación de un sistema departículas, elegir el centro de masa del rígido.

9.2 Momentos de Inercia 119

9.2. Momentos de Inercia

Si existe un punto fijo, alrededor del cual rota el rígido, la energía de rotación esidéntico con la energía cinética del cuerpo que se escribe como

T =1

2

∫dm · v2 =

1

2

∫dm · (ω × r)2 (9.3)

Desarrollando el producto vectorial, con un poco de álgebra la energía cinética seconvierte en

T =1

2Iijωiωj (9.4)

Si se desarrolla la contracción del tensorIij de la expresión 9.4 aparece un signomenos en cada sumando del tensor cuando éste posee índices cruzados, de talmodo que hay que ver al tensor como

Iik =

Ixx −Ixy −Ixz−Iyx Iyy −Iyz−Izx −Izy Izz

donde, por ejemplo

I11 =∫dm(y2 + z2) (9.5)

I12 =∫dmxy (9.6)

. . .

donde la integración se ha hace a lo largo del cuerpo. El tensor de inercia es untensor simétrico, como casi todos las magnitudes tensoriales en física.

32. Ejercicio: Encontrar el momento de inercia de una barra homogénea de longitud L, ver la figura 9.2,izquierda

De acuerdo a la expresión 9.5 se escribe

Iyy =

∫ L

0

dxx2 =x3

3|L0 =

L3

3(9.7)


y

x

dx

Figura 9.2: A la izquierda una barra, perpendicular al eje de cuyo momento se de-sea encontrar, mientras que a la derecha una esfera maciza a la que hay suminstrarlos momentos de inercia con respecto a un eje que pase por el origen

si el eje es paralelo al anterior y pasa por el centro de la barra (línea punteada) queda

I′yy =

∫ +L/2

−L/2

dxx2 =x3

3=L3

12(9.8)

no olvidar que la densidad, en este caso, considerándola igual a1 kg/m, la masa total es igual aM = 1×L kg.Por lo que las dos expresiones de arriba se encuentra comoIyy = ML2/3 y I′yy = ML2/12 respectivamente.

33. Ejercicio: Encuentre el momento de inercia de una esfera homogénea de radio R con respecto a un ejeque pasa por el centro de la misma, ver figura 9.2, derecha

Como quiera que todos los momentos de inercia son equivamentes, encontremos la suma de los tres momentosde inercia quedando para cada eje

Ij =

∫ ∫ ∫dr r2 dΩ (x2

i + x2k) (9.9)

sumando tres de las expresiones 9.9 y dividiento entre 3 se obtiene el momento de inercia pedido, empero, en laintegral triple resultande se obtien dos vecesr2, quedando

I =1

3

∫ ∫ ∫2r2r2 dr dΩ =

1

34π

∫ R

0

2dr r4 =8

15r5|R0 =

8

15π R5 =

2

5MR2 (9.10)

34. Ejercicio: encuentre el momento de inercia con respecto a un eje que pasa a lo largo de un cilindrohomogéneo de radio R y longitud L


L

R

Figura 9.3: un cilindro homogéneo, de “altura” L y de radio R. El eje es el eje geo-métrico del cilindro. La fórmula es

∫dmρ2, dondeρ es la distancia perpendicular

al eje.

El elemento de masadm se escribe como (si la densidad es1kg/m3)

dm = dV = ρdρdθdz (9.11)

dondez es la variable del eje del cilindro. El ángulo acimutal en el plano de la base del cilindro esθ. El radiovector paralelo al plano de la base esρ. El momento de inercia es entonces

I =

∫ ∫ ∫ρdρρ2dθdz =

1

2MR2 (9.12)

Las seis cantidadesIij reciben el nombre detensor.

Es interesante darse cuenta de que los cálculos descritos se los realiza en el siste-ma de referencia del rígido. Es decir el sistema de referencia y el rígido se muevenconjuntamente. Por lo tanto, esta sección se puede considerar una especie de ci-nemática del rígido.

9.2.1. Transformaciones de un tensor

El objeto geométrico que se denomina tensor, como el de inercia, posee propieda-des muy definidas. Las mismas que son útiles para definirlas con precisión. Sobretodo en vista de que no es posible dar una imagen simple del mismo, como es elcaso para un vector. Es posible dibujar una flecha como la interpretación del vec-tor sin necesidad de insistir en sus propiedades de transformación, que óbviamenteexisten y que de todos modos es bueno re-definirlas en vez de la imagen fácil y


simple de la flecha. Es decir, un vector, que ahora indicamos por sus componentescartesianas, se representa como una terna de números, a saber,xi i = 1, 3 poseela propiedad de que ante una rotación del sistema de referencia los tres númerosse transforman en otros tres números (en el nuevo sistema rotado de referencia)que están relacionados linealmente con los anteriores a traves de las siguientesrelaciones

x1

x2

x3

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

x1

x2

x3

35. Ejercicio: Sea un vector de componentes (3,6); encuentre –en dos dimensiones, las componentes delmismo vector en un sistema rotado con respecto al inicial. Datos el ángulo de rotaciónα = π/6La matriz de rotación es

R =

(cosα sinα− sinα cosα

)

Aplicando a la matriz columna (3,6), se obtiene(√

3/2 × 3 + 1/2 × 6,−1/2 × 3 +√

3/2 × 6), es decir

(5.598,3.696).

En forma tensorial, la tranformación buscada se obtiene como

xi = rijxj (9.13)

donde se ha colocado la convención de la suma de Einstein que cuando dos índicesson repetidos deben sumarse implícitamente. Cuando se trata de tres dimensiones,la matriz de rotación puede ser la escrita con los ángulos de Euler, por ejemplo.

Para el tensor, de acuerdo a la definición existente la transformación de coordena-das tiene la siguiente forma

Iij = rikrjl Ikl (9.14)

donde la matriz‖ rij ‖ de la ecuación 9.14 es la misma que la de la ecuación 9.13.

Ahora bien, una vez que se calcula los elementos del tensor de InerciaIij es talvez más inteligente el buscar un sistema de referencia apropiado de tal modo quela matriz de Inercia sólo tenga valores en la diagonal principal y cero fuera de la


x

x’y

y’

a

Figura 9.4: Encontrar los ejes principales de inercia del cuadrado de ladoa queoriginalmente está dado en el sistemax, y. El sistema de ejes que diagonaliza altensor de inercia es elx′, y′.

diagonal. Esto es posible en vista de la forma simétrica del tensor. Ello involucraraíces reales para la ecuación característica que sirve para sacar los autovalores dela matriz.

Hemos visto que el doble de la energía cinética de rotación no es otra cosa queuna combinación cuadrática de las tres componentes de la velocidad angularω:ωi. Llamandoξ, η, ζ a los cocientes de cada componente dividido por el doble dela energía cinética de rotación se escribe como

1 = Ixxξ2 + Iyyη

2 + Izzζ2 − 2Ixyξη − 2Ixzξζ − 2Iyzηζ (9.15)

que no es otra cosa que la ecuación de un elipsoide, llamado elelipsoide de mo-mentos. Como quiera que la ecuación 9.15 es la de una cónica, se puede cambiarde sistema de referencia y convertir la ecuación de la cónica en su formadiagonal,es decir

1 = I1ξ2 + I2η

2 + I3ζ2 (9.16)


Los coeficientesIi recibe el nombre demomentos principales de inercia. En estesistema de referencia los momentoscruzadosse anulan. Cuando estos momentoscruzados –llamados también centrífigos, se anulan, entonces se puede decir queen ese sistema el tensor de inercia es diagonal.

Para obtener –en dos dimensiones para que el álgebra no sea muy larga, el pasode la ecuación 9.15 a la ecuación 9.16 se lo realiza del modo siguiente. La matrizde rotación‖ rij ‖ que se escribe en función del ángulo de rotaciónα, se obtieneotra ecuación similar a la ecuación 9.15 excepto las componentes del tensor deinercia poseen una barra encima de sus símbolos así como las variablesξ, η, ζposeen una barra sobre esos símbolos. En ese caso, los momentos de inercia barrase convierte en

Ixx = Ixx cos2 α− 2Ixy sinα cosα + Iyy sin2 α (9.17)

Ixy = Ixy(cos2 α− sin2 α) + (Ixx − Iyy) sinα cosα (9.18)

Iyy = Ixx sin2 α− 2Ixy sinα cosα + Iyy cos2 α (9.19)

36. Ejercicio: Dada un cuadrado de ladoa, en el sistema de la figura 9.4, encuentre los ejes principales deinercia, así como los valores (diagonales) del tensor en ese sistema

Se encuentra los tres momentos de inercia, en el sistemax, y que se obtiene, (colocamos a=1[ ])

Ixx = Iyy = M1

3Ixy = Iyx = M

1

4(9.20)

dondeM es la masa del cuadrado. La ecuación característica es

M det

(13− λ − 1

4− 1

413− λ

)= 0

se obtiene como ríces paraλ

λ′ =1

3− 1

4=

1

12(9.21)

λ′′ =1

3+

1

4=

7

12(9.22)

haciendo la expresión 9.18 igual a cero se obtiene

tan(2α) =2Ixy

Iyy − Ixx= ∞ (9.23)

de donde se obtieneα = π/4. Se puede encontrar el nuevo sistema de referencia rotando el antiguo en un ángulo

π/4, como se puede ver en la figura 9.4. Se puede comprobar que el nuevoIxx = 1/12 ya sea por sentido común

o bien reemplazando en la expresión 9.17.

Como regla general, hay que intentar desde el comienzo a encontar ejes de sime-tría en el cuerpo para atrapar los ejes principales de inercia.


9.2.2. El Momento Angular

Para comenzar, definamos el momento “total” de un cuerpo que pivota sobre unpunto O. Haciendo uso de las integraciones múltiples se define como

p =∫dp =

∫vdm (9.24)

Como definición de momento angularL

L =∫

r× dp =∫dm r× v =

∫dm r× (ω × r) (9.25)

por otro lado, de acuerdo a las identidades vectoriales

r× (ω × r) = ω r2 − r(ω · r) (9.26)

entonces la ecuación 9.25–su componentex, digamos, se escribe como

Lx = ωx

∫(x2 +y2 +z2) dm−ωx

∫x2 dm−ωy

∫xy dm−ωx

∫xz dm (9.27)

escribiendo en función de los momentos de inerciaIij, ver ecuación 9.4, es decirse escribe las tres componentes del momento angular del rígido como

Lx = Ixx ωx − Ixy ωy − Ixz ωz (9.28)

Ly = Iyy ωy − Iyx ωx − Iyz ωz (9.29)

Lz = Izz ωx − Izx ωx − Izy ωy (9.30)

una vez que la energía de rotación es una combinación bilineal de las componentesde la velociad angular es fácil encontrar la identidad

Li =∂T

∂ωi(9.31)

Sea un cuerpo esférico, en cuyo caso los ejes principales de inercia son en tres di-recciones perpendiculares entres sí. Los tres momentos principales de inercia son


w

L

w

L

Figura 9.5: Construcción de Poinsot, donde se muestra las posiciones de la velo-cidad angularω, del eje de simetría y del momento angularL para un cuerpo consimetría de revolución

iguales e iguales a, digamos,I. Por lo tanto el momento angularL es proporcionalal momento angularω, es decir

L = I · ω (9.32)

en cuyo caso el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angu-lar. En general estas direcciones no coinciden.

La construcción de Poinsot, ver figura 9.5, nos ayuda a construir los dos vectoresL y ω. Desde el centro del elipsoide se puede identificar al eje instantáneo de ro-tación. Una vez encontrado el punto donde este eje corta al elipsoide, donde, seconstruye una tangente en ese mismo punto. Entonces a partir del centro del elip-soide se dibuja un vector perpendicular a la tangente antes construida, que poseela dirección del momento angularL . En la figura 9.5 se presentan tres vectores,por un lado el eje de simetría: tanto este eje como los vectoresω y L son coplana-res. En el elipsoide prolate (“cigarro”) la velocidad angular se encuentra entre eleje de simetría y el momento angular. En elcaso del elipsoide oblate (“plato”) es elmomento angular que se encuentra entre el eje de simetría y la velocidad angular.

37. Ejercicio: Encuentre el elipsoide de Inercia para un rectángulo de lados1, 2 respectivamente. Dibuje la elipsede inercia así como sus ejes principales de inercia

9.3 Las Ecuaciones de Euler 127

De acuerdo a la expresión 9.15

1 =2

3ξ2 +

8

3η2 − 2

2

3ξη (9.33)

Los coeficientes de la forma bilineal 9.33 son los momentos de inercia en el sistema dado por la figura 9.6, izquierda,mientras que, en un sistema Cartesianoξ, η la elipse de inercia se muestra en la figura 9.6, derecha.

Un cálculo inmediato suministra a través de la ecuación característica los autovalores52±√

132

.

El script

switch=1

set nokey

if(switch==1)set encodingiso88591

if(switch==1)set t post eps enhanced color solid

if(switch==1)set o "fig10− 2.eps"

if(switch==1)set xlabel/Symbol /150"

if(switch==1)set ylabel/Symbol /170"

I11=2./3

I22=8./3

I12=2./3

#los autovalores

Ixx=2.5+sqrt(13)/2.

Iyy=2.5-sqrt(13)/2.

set para

a=sqrt(1./Ixx)

b=sqrt(1./Iyy)

x(t)=a*cos(t)

y(t)=b*sin(t)

set zeroaxis

#calculo de la inclinacion del eje

tng2alpha=2*I12/(I22 − Ixx)

alpha=0.5*atan(tng2alpha)

xx(t)=cos(alpha)*x(t)+sin(alpha)*y(t)

yy(t)=-sin(alpha)*x(t)+cos(alpha)*y(t)

if(switch==1)set size .4,.3

set yrange[-0.8:0.8]

set xrange[-1.5:1.5]

set size ratio -1

set xtics 1

set ytics 0.5

plot y(t),x(t),yy(t),xx(t) w l 1

show var

if(switch==0)pause -1

exit

9.3. Las Ecuaciones de Euler

Para parametrizar el movimiento de un rígido desde el punto de vista de los gradosde libertad basta utilizar los ángulos de Euler. En efecto, basta para ello colocarseen un punto “fijo”. Es decir ya sea uno si existe o bien es mejor utilizar el centrode masa del rígido.


y1

2

x

−0.5

0

0.5

−1 0 1

ξ

η

Figura 9.6: A la izquierda el rectángulo de base2 y altura1 en unidades arbitrarias.A la derecha las dos elipses de inercia, la centrada que corresponde a los ejesprincipales de inercia, mientras que la inclinada corresponde a los ejes definidosen la figura de la izquierda. El ángulo de rotación puede verse en la solución delproblema bajo la variablealpha.

Una vez definida la velocidad angularω como magnitud vectorial. Las rotacionesfísicas, ver figura 8.4 del capítulo 8, donde los ángulos positivos se orientan deacuerdo a las reglas eurísticas de la mano derecha (a veces se llama también deltirabuzón o bien contrario a las agujas del reloj, aunque ésta última imagen dejade ser actual al no existir más relojes analógicos en los mercados). Como quieraque hay dos ternas, entonces, los ángulosφ y ψ varían entre0 y 2π, mientras queel ánguloθ lo hace entre0 y π sólamente.

Ahora se trata de descomponer la velocidad angular en los ejesx′′, y′′, z′′ de lafigura 8.4, ejes solidarios al cuerpo rígido. Las componentes serán óbviamentedenominados comoθ, ψ, φ, empero, dos de estas magnitudes circulares se hallandefinidas en el sistemax, y, z, a saberθ, φ; la restante a lo largo del ejez′′ fijoen el cuerpo.

Ello involucra entonces

ω1 = φ sin θ sinψ + θ cosψ

ω2 = φ sin θ cosψ − θ sinψ

ω3 = φ cos θ + ψ

(9.34)

Si, como es deseable, se hace coincidir los ejes principales de inercia con los tresejes solidarios al cuerpo – en el caso de la ilustración 9.7 los ejes con doblesprimas, y para no complicar más las ecuaciones se supone que se trata de un


ω

x"y"z"

θ

φψ

..

.

θ

ψ

π/2+ψ

π/2+θ

Figura 9.7: A la izquierda, una ilustración de las componentes del eje instantá-neo de rotaciónω, así como de los tres ejes sucesivos de rotación física, a saber,θ, ψ, φ. A la derecha por otro lado, se muestran los ángulos que definen las com-ponentes en los tres ejesx′′, y′′, z′′. La proyección deφ en el planox′′, y′′ poseeángulosπ

2− ψ y π

2+ ψ con respecto al ejex′′ ey′′ respectivamente

cuerpo condos momentos de inercia iguales, digamosI1 = I2, entonces la energíade rotación del cuerpo se puede escribir como

T =1

2I1φ

2 sin2 θ + θ2 +1

2I3(φ cos θ + ψ)2 (9.35)

En la figura 9.7 se ilustra a la izquierda el eje instantáneo de rotaciónω con sustres proyecciones en los ejes rotadosx′′, y′′, z′′, que deberán escribirse en fun-ción de las rotaciones físicasθ, ψ, φ. A la derecha de la misma ilustración, semuestran los ángulos que deben multiplicar cada una de las direcciones de rota-ción secuencial, a saber, el ánguloφ y φ + π

2que son los dos ángulos que forma

el ejeψ para encontrar sus proyecciones sobre los ejesx′′ e y′′ respectivamente.Asimismo se ilustra el ánguloπ

2− θ que forma el viejo ejez con el planox′′− y′′.

Empero, se puede aún simplificar más. En efecto, en vista de que existe la identi-dad entre dos momentos de inercia, entonces la elección del valor deψ puede sercualquiera, en particular el valor nulo, entonces la expresión 9.34 se convierte en


ω1 = θ

ω2 = φ sin θ

ω3 = φ cos θ + ψ

(9.36)

Se vuelve más adelante sobre este problema, por el momento se continúa la dis-cusión sobre la rotación del rígido en ausencia de fuerzas.

Para entender el movimiento de un rígido, desde el punto de vista de dos sistemasde referencia: uno fijo en el espacio y otro fijo en el cuerpo, que por el momentoimaginamos posee un eje de rotación fijo, sobre el que se encuentra el punto fijo,llamado el pivote sobre el cual puede rotar el cuerpo, es necesario entender cómose visualiza las velocidades de cada punto del cuerpo desde ambos sistemas.

Para el observador que está fijo en el espacio, o mejor, que está observando aleje de rotación en reposo –aunque no los puntos que se encuentran fuera del eje,la velocidad de cada punto se puede escribir como (sólo hace falta la velocidadangularω)

dr

dt)e = ω × r (9.37)

donde el subíndice “e” implica la palabra en el espacio. Si, por otro lado, se deseaver desde el sistema de referencia en el cuerpo, es decir en un sistema de referen-cia que ve al mismo punto fijo en el espacio, la velocidad de este punto (que escualquiera) será

dr

dt)c = r× ω (9.38)

el subíndice “c” quiere decir en el cuerpo. No olvidar que en la ecuación 9.37 cadauno de los puntos se hallan en el cuerpo, mientras qn en la ecuación 9.38 se tratade los mismos puntos, pero, fijos en el espacio. En este último caso, el observadorfijo en el cuerpo, ve al eje y vector volocidad angularω como moviéndose ensupropio sistema, aunque, como es lógico, con un sentido (a lo largo del eje) opuestoal que lo ve el observador del espacio.

En general, se puede escribir en forma automática que la velocidad (en el sentidode derivada temporal de “algo”) de una magnitud física vectorial visto desde elespacio como el producto vectorial del momento angular visto desde ese sistema


de referencia por esa magnitud vectorial. Así si se trata del momento angularL sepuede ver su tasa de variación comoω × L. Recíprocamente, si se encuentra unoel el cuerpo, donde por otro lado uno está calculando los momentos de inercia porejemplo, la tasa de variación del momento anguloarL será

dL

dt)c = L× ω (9.39)

sin olvidar que el cambio de signo deω ya fue tomado en cuenta. La ecuación9.39 recibe el nombre de la ecuación de Euler. Escribiendo en componentes laecuación 9.39 se tiene

d

dtLx = Lyωz − Lzωy (9.40)

d

dtLy = Lzωx − Lxωz (9.41)

d

dtLz = Lxωy − Lyωz (9.42)

El momento angular, como se vio en las ecuaciónes 9.28-9.30, se escribe en elpeor de los casos como una combinación lineal de las componentes de la velocidadangularω. Si utilizamos un sistema de referencia apropiado que sean los ejesprincipales de los momentos de inercia, entonces esa combinación linealse hacemás simple. A saber

Lx = Ixωx Ly = Iyωy Lz = Izωz (9.43)

donde los momentos de inercia sólo necesitan un subíndice, al ser los momentoscentrífugos nulos. En este caso las ecuaciones de Euler 9.39 toman una forma másordenada y fácil de reconocer mnemotécnicamente. Esta siguiente forma es la queuno piensa cuando se dice lasecuaciones de Euler

Ixd

dtωx = (Iy − Iz)ωyωz (9.44)

Iyd

dtωy = (Iz − Ix)ωzωx (9.45)

Izd

dtωz = (Ix − Iy)ωxωy (9.46)


mgc.m.

O

θ

φ

ω

θ

Figura 9.8: Izquierda: Un trompo simétrico(Ix = Iy) con un momento de fuerzasexteriores. El punto fijo es el lugar inferior del trompo. Derecha: La rotación condos ángulos de Euler. El eje del trompo se halla a lo largo del eje de lasz quees perpendicular al plano que se halla con un ánguloθ con respecto del planohorizontal.

estas ecuaciones no comprenden la existencia de torques, o sea, momentos defuerzas que actúen en el rígido. Si llamamosN =

∫r× F dm a dicho torque, el

momento angular –visto desde el espacio, no será constante. El efecto del torque,pasa al sistema del cuerpo de tal modo que

d

dtL = L× ω + N (9.47)

siempre en el sistema del cuerpo. La ecuación 9.47 es la ecuación de Euler delrígido con un punto fijo.

38. Ejercicio: Encontrar las ecuaciones de Euler para un giróscopo pesado que posee un punto fijo, dondeN se halla a lo largo del eje de los nodos

Se ve de la figura 9.8, derecha, cuando se colocan los ángulos de Euler comoφ, θ, deseamos por simplicidadque el momento de las fuerzas exteriores (el peso del trompo) pase por la dirección de la línea de los nodos. Enese caso, las componentes del momento de las fuerzasN posee las siguientes tres componentes en el sistema delcuerpo (es cero en la dirección del eje del trompo debido a que la componente de un vector a lo largo de los nodoses cero)

mgs sin θ cosφ −mgs sin θ sinφ 0 (9.48)

Dondes es la distancia del centro de masa al punto de pivote y haciendo uso de la expresión 9.47 se encuentra


Ixd

dtωx = (Ix − Iz)ωyωz +mgs sin θ cosφ (9.49)

Ixd

dtωy = (Iz − Ix)ωzωx −mgs sin θ sinφ (9.50)

Izd

dtωz = 0 (9.51)

dondes es la distancia desde el piso a lo largo del eje del trompo entre el piso y el centro de masa. De la expresión9.51 se obtiene

Izωz = Nz = constante (9.52)

que de todos modos ya sabíamos. Sin embargo repetimos que para poder escribir las ecuaciones de Euler unodebe tener en cuenta que el momento del peso debe estar escrito a lo largo del eje de los nodos.

39. Ejercicio: Sea un trompo simétrico y fijo en el punto del centro de masa. Encuentre el movimiento delmismo sin fuerzas exteriores

De la tercera ecuación, similar a la 9.51, se encuentra queωz = constante. Las otras dos ecuaciones se con-vierten en

Ixd

dtωx = (Ix − Iz)ωyωz (9.53)

Ixd

dtωy = (Iz − Ix)ωzωx (9.54)

reemplazando las variables reales por una compleja, del modo siguiente,ξ = ωx + iωy las dos ecuacionesanteriores se convierten en

Ixd

dtξ = i(Iz − Ix)ξωz (9.55)

que se puede integrar inmediatamente como

ξ = ξ0 exp(iαt) (9.56)

dondeξ0 es una constante de integración y

α =Iz − Ix

Ixωz (9.57)

Colocando en la ecuación 9.57 los valores aproximados de los momentos de inerciaIz y Ix de nuestro oblatoesférico que es la tierra

Iz − Ix

Ix∼ 1

300(9.58)

se obtiene (tomandoωz = 2π/(24 hr) se obtiene un período de precesión de aproximadamente 10 meses. Esta“precesión” ha sido naturalmente encontrado en los polos de la tierra, aunque, por razones astronómicas, no es de10 meses sino de aproximadamente 14 meses.


9.3.1. Trompo Pesado y Simétrico

Suponemos que el punto fijo del trompo es el punto de contacto con la superficieque es horizontal. Como es habitual, se denomina comoθ al ángulo entre dossistemas de referencia rotados entre si y que el ángulo entre los ejesz es elθ. Porotro lado, el ánguloφ es el ángulo entre el eje de las abscisas y la línea de losnodos. A partir de la línea de los nodos en el plano perpendicular al nuevo sistemade referencia (el rotado frente al antiguo) es el ánguloψ. Todos los ángulos deEuler son considerados positivos si se siguen con los dedos de la mano derechacomo es habitual.

Se denominaψ a la velocidad angular en el eje de simetría del trompo. La veloci-dad angular a lo largo del eje vertical se denominaφ. Mientras que se denominaθla velocidad angular a lo largo de la línea de los nodos.

Es automático el encontrar las componentes deω en el sistema que está en reposocon respecto al rígido. Entonces

ωx = + cosψ θ + sin θ sinψ φ

ωy = − sinψ θ + sin θ cosψ φ

ωz = +ψ + cos θ φ

(9.59)

Para el caso de un trompo simétrico,Ix = Iy, se puede escribir la energía cinéticade rotación en el sistema de ejes principales de inercia

T =1

2Ix(θ

2 + sin2 θ φ2) +1

2Iz(ψ + cos θ φ)2 (9.60)

Encontrando el Lagrangiano se tiene

L = T − V =1

2Ix(θ

2 + sin2 θ φ2) +1

2Iz(ψ + cos θ φ)2 −mgs cos θ (9.61)

como quiera que el Lagrangiano no depende de las variablesφ, ψ entonces sedice que el Lagrangiano es cíclico en esas variables, es decir, los momentos gene-ralizados de esas variables son constantes. Si llamamos a dichas constantes

pφ = L′ pψ = L′′ (9.62)


entonces

pψ ≡ L′′ = Iz(ψ + cos θ φ)

pφ ≡ L′ = Ix sin2 θ φ+ Iz cos θ(ψ + cos θ φ)(9.63)

entonces las ecuaciones de Lagrange se puede encontrar eliminando las expresio-nes paraφ y ψ de las expresiones 9.63 se obtiene

Ixθ =1

Ix sin3 θ(L′ − L′′ cos θ)(L′ cos θ − L′′) +mgs sin θ (9.64)

que hay que resolverlo para poder encontrar las libraciones o “precesiones”.

La ecuación 9.64 se parece a una ecuación generalizada del péndulo. Nosotrostrataremos de atacar este problema haciendo uso de la ecuación de la energía. Laenergía totalE que debe ser constante, tiene que resultar de integrar una vez laecuación 9.64. Volvamos pues a la ecuación de la energía cinética, 9.60, dondese ha reemplazado todas las magnitudesψ y φ gracias a las expresiones 9.63. Esdecir,

ψ + cos θ φ = L′′I3

Iz cos θ ψ + (Ix sin2 θ + Iz cos2 θ) φ = L′(9.65)

utilizando el método de Kramer se obtiene lo buscado. La conservación de laenergía se convierte en

1

2Ixθ2 + (

L′ − L′′ cos θ

Ix sin θ)2+

1

2

L′′2

Iz+mgs cos θ = E (9.66)

eso quiere decir que las tres constantesL′, L′′, E son las que se necesitan pararebajar en un orden las soluciones. Sólo queda el reemplazar el siguiente cambiode variables

u = cos θ − u = θ sin θ (9.67)

quedando la expresión 9.66


du

dt=

√2E

Ix− L′′

IxIz− 2mgs

Ixu(1− u2)− L

′ − L′′uIx

2 (9.68)

entonces se puede despejar el tiempo, obteniéndose una integral elíptica de primerorden. Es decir

t =∫ u du√

...(9.69)

combinando las ecuaciones 9.63, se obtiene

ψ + cos θφ =L′′

Iz(9.70)

Ix sin2 θ φ = L′ − L′′ cos θ (9.71)

por lo que se puede también integrar la expresión paraφ

φ =∫ u L′ − L′′u

Ix(1− u2)

du√..

(9.72)

que integrando, se logra hacer “cabecear” al trompo. Ver la siguiente subsecciónpara encontrar dicha solución.

9.3.2. El Péndulo Esférico

Un grave de masam se halla al extremo de una cuerda sin peso de longitudl. cuan-do el cuerpo puede moverse en el espacio, siempre con el vínculo de la cuerda, sedenomina un péndulo esférico. Entonces, pasando a coordenadas cartesianas, setiene

x = l cosφ sin θ (9.73)

y = l sinφ sin θ (9.74)

x = l cos θ (9.75)

evitamos utilizar la ecuación de Lagrange ya que el resultado de la misma es unaecuación de segundo orden en las variables generalizadas, que en nuestro caso


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

u

u2 u1

Figura 9.9: La curvadu/dt en funcin deu; como debe ser positivo, ya que es laraiz cuadrada de una función cúbica, la que se presenta en la figura. Sólo puedeexistir cuando el valor deu se encuentre entreu2 y u1. Nótese que al ser el rangonegativo, se trata de valores en el hemisferio inferior, como debe ser.

pueden ser dos the los ángulosφ y θ. Empero, es tal vez mejor tratar de buscaruna ecuaciónd de primer orden haciendo uso de la conservación de la energía.Derivando las anteriores ecuaciones se tiene

x = lθ cosφ cos θ − lφ sinφ sin θ (9.76)

y = lθ sinφ cos θ + lφ cosφ sin θ (9.77)

z = −lθ sin θ (9.78)

Por un lado se tiene la conservación del momento angular, a cuya amplitud llama-mosC. La velociadad aerolar (multiplicado por 2) da

2dS

dt= xy − yx = l2 sin2 θ · φ (9.79)

La conservación de la energía, como ya lo habíamos anunciado da

1

2ml2(θ2 + sin2 θ · φ2) +mgl cos θ = E (9.80)


Haciendo el mismo cambio de variables que el trompo pesado se tiene

u = cos θ θ = − 1√1− u2

du

dt(9.81)

con ayuda de la velocidad aerolar, la ecuación de la energía se transforma en

du

dt=

√2

ml2(E −mglu)(1− u2)− C2

l4(9.82)

de donde se obtiene

t =∫ u du√

...(9.83)

Sin embargo, con ayuda de la constante de la velocidad aerolarC se obtiene

dφ

du= φ · dt

du=

C

l2(1− u2)

1√...

(9.84)

obteniéndose finalmente

φ =C

l2

∫ u du

1− u2· 1√

...(9.85)

como se ve, la raiz es una función de tercer grado enu. De acuerdo a las funcioneselíticas, el movimiento de planta del péndulo se parece a la precesión de las órbitasde los planetas, como el de mercurio. El dibujo, que se conoce con el nombrede ojo de ave, define la trayectoria entre los valores deθ1 = arc cos u1 y θ2 =arc cos u2. Las órbitas quasi-elípticas “precesionan” un poco más lentamente quelos movimientos del péndulo en su órbita. Tanto el período de la “órbita” así comoel ángulo de precesión se encuentran con las integrales 9.69 y 9.72

Capítulo 10

Las Oscilaciones Forzadas

Cuando un sistema de un grado de libertad formado por un movimiento linealatraido por un resorte de coeficiente de restituciónk, define un movimiento lla-mado movimiento armónico simple. Se denominaamplitud de la oscilación alcoeficiente de la función periódica:cos(ωt − α), mientras que el valor deα sedenomina lafasedel movimento.ω es la pulsación del movimento. Como ya seha visto antes, este resorte puede ser reemplazado por un potencialelásticoque esproporcional a la variable generalizada al cuadrado.

La horaria del movimiento es

x = a cos(ωt− α) (10.1)

La energía total del sistema se escribe como

E =1

2m [x2 + ω2x2] (10.2)

que reemplazando 10.1 en 10.2 se obtiene

E =1

2m ω2 a2 (10.3)

10.1. oscilaciones forzadas sin amortiguamientos

La ecuación diferencial de este tipo de oscilaciones se escribe como

mx+ kx = c cos(ωt− δ0) (10.4)

140 Las Oscilaciones Forzadas

0ω0

|C|

ωω0

δ

ω

δ0

δ0−π

Figura 10.1: A la izquierda, el módulo del coeficienteC de la ecuación 10.6 enfunción de la pulsaciónω. A la derecha, la faseδ0 que cambia bruscamente dedicho valor a otro disminuido porπ

donde la oscilación forzada está dada porω. La solución de la ecuación inhomo-génea 10.4 se escribe como la solución de la misma ecuación, empero homogénea,esto es con el segundo término igual a cero. La solución de esta equación homo-génea esx = A cosω0 t+B sinω0 t, conω2

0 = km

.

A continuación se encuentra una soluciónparticular de la ecuación inhomogénea,que se puede considerar como

xp = C cos(ω t− δ0) (10.5)

reemplazando esta ecuación en la 10.4 se tiene, paraα = δ0

C(k −mω2) = c (10.6)

de donde se puede obtener la “constante”C. En la figura 10.1 se ilustra tanto laamplitud de la oscilación resultante así como de la fase. Obsérvese que hay uncambio de signo en la amplitud deC mientras que hay una discontinuidad en lafase para la pulsaciónω0 en función deω para la solución particularxp.

El fenómeno por el cual la amplitud de la solución particular tiende a infinito seconoce con el nombre deresonanciaentre las oscilaciones forzadas y las libres.Hay que prestar atención al denominador de la amplitudC. La solución generalde la ecuación diferencial 10.4 se escribe sumando la solución general mas lasolución particular. La solución general de la ecuación inhomogénea se puedeescribir comoa cos(ω0t−δ0), si, además se puede definir las condiciones inicialesdel problema tal que

x = a cos δ0, x = 0 → t = 0 (10.7)

10.2 Las oscilaciones atenuadas libres 141

0

0 2π 4π

x(t)

t

Figura 10.2: Las oscilaciones de resonancia entre las oscilaciones libres y las for-zadas, cuando la frecuencia de oscilación de unas y otras tienden entre si

de donde se pude encontrar la solución general

x = C[cos(ωt− δ0)− ω

ω0

cos(ω0t− δ0)] (10.8)

si las dos frecuencias se hacen iguales, es decirω = ω0 la expresión 10.8 no estácompletamente definida, para ello aproximemosω = ω0 + ∆ω, es decir

x = C∆ω[t sin(ω0t− δ0)− 1

ω0

cos(ω0t− δ0)] (10.9)

reemplazando en 10.6 se encuentra

x =c

2mω20

[cos(ω0t− δ0)− ω0t sin(ω0t− δ0)] (10.10)

cuya representación pictorial se encuentra en la figura 10.2 .

10.2. Las oscilaciones atenuadas libres

Cuando no existen oscilaciones forzadas las ecuaciones de movimiento se puedenescribir como

mx+ kx+ wx = 0 (10.11)

el término de la fricción se ha colocado proporcianal al de la velocidad. Comoquiera que se trata de una ecuación diferencial homogénea haciendo el cambio devariable k

m= ω y w

m= 2p se escribe la expresión 10.11 como

x+ 2px+ ω2x = 0 (10.12)


obteniéndose entonces laecuación característica, a la siguiente ecuación alge-braica

ρ2 + 2pρ+ ω2 = 0 (10.13)

cuyas soluciones sonρ1

ρ2= −p±

√−ω2 + p2 (10.14)

Se pueden distinguir dos casos,

1. Cuandop < ωρ1

ρ2= −p± i

√ω2 − p2 (10.15)

que para algunas condiciones de borde se puede escribir la solución como

x ∼ e−pt sin√ω2 − p2t (10.16)

de donde se puede encontrar el período libre de oscilación como

T = 2π1√

ω2 − p2(10.17)

2. Cuandoω < p, al existir dos raíces reales las soluciones se pueden escribir,siempre para algunas condiciones de borde sencillas como

x ∼ e−pt sinh√ω2 − p2t (10.18)

10.3. Oscilaciones forzadas con atenuación

En este caso se escribe la ecuación diferencial del movimiento como

x+ 2px+ ω2x =c

mcosω1t (10.19)

Con la identidad de Euler para las funciones circulates se tiene

x+ 2px+ ω2x =c

2m[eiω1t + e−iω1t] (10.20)

10.3 Oscilaciones forzadas con atenuación 143

que, para la solución particular de la inhomogénea se tiene

xp =| C | cos(ω1t− δ) =| C |

2[eiω1t−δ + e−iω1t+δ] (10.21)

igualando término a término una vez transformado la función circular mediante lafórmula de Euler

| C | (−ω21 + 2ipω1 + ω2)e−iδ = c

m

| C | (−ω21 − 2ipω1 + ω2)e+iδ = c

m

(10.22)

depejando| C | entre ambas expresiones se obtiene (es decir multiplicando entresi y dividiendo entre si)

| C |2= [c

m]2

1

(ω2 − ω21)

2 + 4p2ω21

(10.23)

del mismo modo despejando la faseδ se obtiene

e2iδ =ω2 − ω2

1 − 2ipω

ω2 − ω21 + 2ipω

(10.24)

de esta última expresión 10.24 se puede escribir (ya que el cociente entre un núme-ro complejo dividido por su complejo conjugado no es otra cosa que un exponentecon argumento imaginario e igual a2iδ conδ la fase del numerador)

1

i

e2iδ − 1

e2iδ + 1≡ tan δ = − 2pω1

ω2 − ω21

(10.25)

En la figura 10.3 se observa tanto la atenuación de la amplitud de la soluciónparticular de la ecuación dinámica como la fase de la misma. Obsérvese que setrata de curvas atenuadas con respecto a las de la figura 10.1.

Obsérvese asimismo que el máximo de la resonancia en la figura 10.3 no coincidecon la pulsación de las oscilaciones propias del sistema. El máximo se encuentraun poco antes de aquellas. Además que no es simétrica la resonancia con respectoal máximo de la misma en las direcciones de la variableω1.


0ω

|C|

ω1

a

b

c

0

ω

δ

ω1

a

b

c c

b

a

Figura 10.3: En la parte superior, el módulo del coeficienteC de la ecuación 10.23en función de la pulsación forzadaω1. En la parte inferior, la faseδ que cambiasuavemente del valor0 a otro disminuido porπ

Apéndice A

Las Ecuaciones de Lagrange de 1aEspecie

Para el caso de la llamada estática se puede hacer uso de las ecuaciones de La-grange de primera especie siempre que se considere en dichas ecuaciones, a saber,

mkxk = Xk +i∑

i=1

λi∂

∂xkφi (A.1)

colocar las derivadas segundas igual a cero, es decir

0 = Xk +i∑

i=1

λi∂

∂xkφi (A.2)

dondeφi son las condiciones de vínculo.

A.1. Ejercicio resuelto

En las ilustraciones de la figura A.1 se exhibe la solución clásica de los triángulosde fuerza de una barra no homogénea que se apoya en una esquina y una paredvertical.

Si se denominax1, y1 a las coordenadas Cartesianas (con el eje de las abscisasa lo largo de la horizontal y que pase por el punto de contacto de la esquina,

146 Las Ecuaciones de Lagrange de 1a Especie

l

l

m

m

mg

R

R φ

2

1

1

2

b

p

T

Tm g

R

Rmg

R

p

p

b

1

φ

φ

Figura A.1: Una barra no homogénea que se apoya en la pared vertical y la es-quina. La barra se puede considerar sin peso pero en los extremos se colocan dospuntos materiales con masasm1 = m l2

l, dondem es la masa total de la barra yli

se ilustra en la figura

mientras que los ejes de las ordenadas que pasen paralelo a la pared vertical) dela masa que se halla en contacto con la pared vertical, mientras que se denominaa las coordenadas de la otra masam2 comox2, y2, se puede escribir en funciónde la única coordenada generalizada que se ha elegido como el ánguloφ ilustradoen la figura.

Es automático ilustrar que

y1 = a cotφ; y2 = l cosφ− a cotφ (A.3)

de donde se puede sacar rapidamente

δy1 = −a csc2 φ · δφ; δy2 = −l sinφ+ a csc2 φ (A.4)

utilizando los trabajos virtuales se tiene, conm1 = m l2l, . . . ,

φ = arcsin

(a(l1 − l2)

l1l

) 13

(A.5)

por otro lado, de los triángulos de fuerzas de la derecha de la figura A.1 se obtienefácilmente las reacciones, a saber

Rb = mg cscφ; Rp = mg secφ (A.6)

A.1 Ejercicio resuelto 147

Asimismo es inmediato el encontrar la tensión de la barra, saliendo

T = ml2lg secφ

A continuación se utiliza las ecuaciones de acuerdo a la forma de las ecuacionesde Lagrange de 1a especie, a saber, la ecuación A.2. Se escribe a continuación lastres ecuaciones devínculo:

φ1 = x1

φ2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 − l2

φ3 = a(y1 − y2) + (x1y2 − x2y1)(A.7)

La última expresión proviene de pensar que la barra esrecta. Es decir de encontrarun algoritmo en que los extremos de la barra y el punto de apoyo estén en unarecta, esto se escribe del modo siguiente

φ3 =

∣∣∣∣∣∣∣

a 0 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣∣(A.8)

A continuación se escribe las derivadas de cada una de las funcionesφi = 0, asaber

∂∂x1

φ1 = 1 ∂∂y1

φ1 = 0 ∂∂x2

φ1 = 0 ∂∂y2

φ1 = 0∂

∂x1φ2 = −2(x2 − x1) ∂

∂y1φ2 = −2(y2 − y1) ∂

∂x2φ2 = 2(x2 − x1) ∂

∂y2φ2 = 2(y2 − y1)

∂∂x1

φ3 = y2∂

∂y1φ3 = a− x2

∂∂x2

φ3 = −y1 ∂∂y2

φ3 = −a+ x1

(A.9)

Haciendo uso de la ecuación A.2 se obtiene las siguientes 4 ecuaciones

0 = λ1 − 2λ2(x2 − x1) + λ3y2 (A.10)

m1g = −2λ2(y2 − y1) + λ3(a− x2) (A.11)

0 = 2λ2(x2 − x1)− λ3y1 (A.12)

m2g = 2λ2(y2 − y1) + λ3(x1 − a) (A.13)

Se debe aclarar que todos losλi son constantes, y además, sólo elλ1 tiene di-mensiones de fuerza, mientras que los otros coeficientes de Lagrange tienen di-mensiones de fuerza por longitud. Sea como fuere todos estos coeficientes sonconstantes.

148 Las Ecuaciones de Lagrange de 1a Especie

x, y

φ

m

xy

0

Figura A.2: Punto material con un hilo de longitudl donde pende la masam. Seobserva el ánguloφ que puede considerarse como una coordenada generalizada

Sin embargo, todos los 4 coordenadas son incógnitas, además de los coeficientesde Lagrangeλi que son tres. Ello involucra que se tiene necesidad de otras rela-ciones, en número 3, y que son las funciones de vínculoφi = 0. Es relativamentefácil el identificar estos coeficientes de Lagrange con las reacciones de más arriba.

Si se desea encontrar la dinámica de este problema se encuentra uno con desafíosalgebraicos un tanto árduos. Por lo que se monstrará la dinámica con la ecuaciónde Lagrange de 1a especie, sólo el problema del péndulo matemático.

A.2. Dinámica del Péndulo Matemático

A continuación se presenta las ecuaciones del péndulo matemático, ver figura A.2haciendo uso de las ecuaciones de Lagrance de 1a especie.

Las ecuaciones de Lagrange de primera especie para un punto material con unaecuación de vínculo

φ(x, y) = x2 + y2 − l2 (A.14)

dichas ecuaciones sonx = 2λyy = −g + 2λx

(A.15)

A.2 Dinámica del Péndulo Matemático 149

dondeλ es una constante dividada porm. Derivando una vez la ecuación A.14 seobtiene

x

y= −y

x(A.16)

derivando otra vez se tiene

yx2x− x2xy = yxy2 − xy3 (A.17)

de la primera ecuación de A.15 se obtiene

2λ =x

y(A.18)

reemplazando en la segunda ecuación A.15 se tiene dos ecuaciones con dos in-cógnitas

yy − xx = −gy−x2xy + yx2x = yxy2 − xy3 (A.19)

de donde se puede encontrar un sistema de ecuaciones diferenciales. Que se puedeencontrar numéricamnte.

Índice alfabético

álgebra vectorial, 23ángulos de Euler, 105, 110

geometría esférica, 107rotaciones sucesivas, 106

átomo de hidrógeno, 98

acción, 18, 94aceleración, 6aceleración normal, 28aceleración tangencial, 28, 29análisis numérico, 12aphelio, 40

cálculo de variaciones, 67caída libre, 9, 10, 14, 15cantidad de movimiento, 5, 7, 18catenaria, 71centro de masa, 103cinemática, 23coeficiente de torsión, 25conservación de la energía, 15–17, 39constantes arbitrarias, 9coordenadas generalizadas, 49, 50, 54, 59Copérnico, 5, 42curvatura, 25, 28, 29

díadas, 112desplazamiento virtual, 54, 59desplazamientos virtuales, 62dinámica del punto, 27

eclíptica, 37ecuación características, 125ecuación de Euler, 68, 72ecuación de Hamilton, 83

a partir de Lagrange, 82sistemas estacionarios, 81

ecuación de Hamilton-Jacobi, 89, 92, 94problema de Kepler, 95separación de variables, 96

ecuación de Lagrange, 79ecuacion de Hamilton-Jacobi, 97ecuaciones de Euler, 130, 134ecuaciones de Hamilton, 80, 97

principio variacional, 81

ecuaciones de Lagrange, 61, 62, 67, 80eje de rotación, 119ejes principales de inercia, 125elipsoide de momentos, 125

forma diagonal, 125energía, 6, 32, 33energía cinética, 13, 39, 72

sistema mecánico, 78energía del sistema, 80energía potencial, 13, 31–33, 54, 55, 72excentricidad, 40

fórmulas de Fresnet, 23, 26, 28fortran, 11frecuencia, 16fricción, 14fuerza, 5fuerza acción, 51fuerza activa, 8fuerza constante, 7fuerza de inercia, 59fuerza de restitución, 8fuerza de D’Alembert, 59fuerza generalizada

definición, 78Q, 79

fuerza normal, 28fuerza variable, 7fuerzas activas, 61fuerzas gravitacionales, 5fuerzas centrales, 37, 39fuerzas generalizadas

potenciales, 80fuerzas reacción, 51función de Hamilton, 82función generatriz, 86función potencial, 13

Galileo, 5, 42geometría diferencial, 23giróscopo pesado, 135gradiente, 13, 53grados de libertad, 45–49, 54, 59, 61gravedad, 6gravitación universal, 16, 17, 34, 36, 37

ÍNDICE ALFABÉTICO 151

hélice, 26Hamiltoniano, 84

coordenadas y momentos generalizados, 81hodógrafa, 10, 33holonómicos, 49horaria, 10, 13, 15, 28

integral curvilínea, 32integral de la energía, 12

Kepler, 5, 42

la función de Hamilton, 81Lagrangiana, 81Lagrangiano, 72, 80, 81Leibnitz, 92ley de Hooke, 8leyes de Kepler, 35, 38leyes de Newton, 18

masa, 6, 7masa en reposo, 7matrices de Pauli, 117matrices Hermíticas, 113matriz de rotación, 110mecánica cuántica, 6mecánica relativista, 6mecánica analítica

conservación de la energía, 85coordenadas ortogonales, 78ecuaciones de Lagrange, 76el problema de Kepler, 95energía cinética, 79fuerza generalizada, 77fuerzas activas, 91grados de libertad, 75principios variacionales, 75trabajos virtuales, 77vínculos, 75

mecánica cuántica, 97mecánica del rígido, 101mecánica ondulatoria, 89, 95momento lineal, 6momento angular, 6, 30, 31, 37momento de inercia, 121

barra uniforme, 121cilindro homogéneo, 123esfera homogénea, 122

momento generalizadoCartesiano, 79definición, 78polar, 78

momentos centrífugos, 126momentos principales de inercia, 126movimiento parabólico, 28, 33movimiento planetario, 34

Newton, 5, 14, 42

odógrafa, 10, 13, 28operadores autoadjuntos, 113operadores unitarios, 107, 113oscilaciones forzadas, 143

atenuadas, 146resonancia, 144sin amortiguamiento, 143

oscilaciones libres, 8atenuadas, 145

oscilador armónico, 15, 34

péndulo esférico, 139péndulo simple, 59parámetros de Klein-Cayley, 111, 112período de oscilación, 16perihelio, 40potenciales centrales, 34potenciales conservativos, 33principio variacional, 72principio de D’Alembert, 57principio de Hamilton, 92principio de mínima acción, 67, 92principio de Maupertuis, 90, 93principio variacional

definición, 81producto vectorial, 30puntos materiales, 46

rígidoenergía de rotación, 120energía de translación, 120momento angular, 127

reacción, 18, 52relatividad, 6resistencia, 14rozamiento, 9Runge-Kutta, 12

segunda ley de Newton, 7, 27sistema de partículas, 101

fuerzas de vínculo, 102sistema mecánico, 46sistemas conservativos, 31

tensión interna, 56tensor de inercia, 125teorema de Stockes, 32teorema del coseno, 107torsión, 29trabajo, 32trabajo virtual, 72trabajos virtuales, 45, 51, 52, 54, 55transformación de semejanza, 115transformaciones canónicas, 84transformaciones de un tensor, 123

152 ÍNDICE ALFABÉTICO

triángulo esférico, 106, 107trompo pesado simétrico, 135, 136

vínculos, 45–47, 49, 53, 61variables canónicamente conjugadas, 86variables dinámicas, 6variables generalizadas, 48vector binormal, 25, 29vector normal, 25, 27vector tangente, 27, 29velocidad, 6velocidad aerolar, 37velocidad angular, 26, 125velocidad de la luz, 7

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