Krzywe Parametryczne

Grafika wektorowa

Spis treści

• Przekształcenia geometryczne• Przesunięcie• Skalowanie• Obrót• Przekształcenia 3D

• Krzywe• Krzywe specjalne• Krzywe parametryczne 3. stopnia• Krzywe Hermite’a• Krzywe Beziera • Krzywe sklejane• Inne

PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

Przekształcenia

Przesunięcie

Punktu A do punktu B

• Przesunięcie oznacza dodanie składowych wektora przesunięcia T (dx, dy) do współrzędnych punktu A (ax, ay).

• Wektor T nazywamy wektorem translacji.

Metematycznie

Przesunięcie

Skalowanie

A(ax, ay) względem osi 0X / 0Y

• Skalowanie oznacza pomnożenie współrzędnych punktu A(ax, ay) przez odpowieni współczynnik skalowania S.

Matematycznie:

Skalowanie

Obrót

A(ax, ay) o kąt α

• Obrót punktu A o kąt α względem początku układu współrzędnych.

Matematycznie:

Obrót

Przekształcenia 3D

Przesunięcie 3D

Skalowanie 3D

Obrót 3D wokół osi X o kąt α

Obrót 3D wokół osi Y o kąt α

Obrót 3D wokół osi Z o kąt α

KRZYWE

KRZYWE SPECJALNE

Elipsa

Równanie parametryczneIlustracja graficzna

Cykloida


Cykloida skrócona


Cykloida wydłużona


Kardioida


Asteroida


KRZYWE PARAMETRYCZNE 3. STOPNIA

Tak to się zaczęło…

Sprawa kaczek

• Kreślarz wytyczając krzywą używał tzw. kaczek (duck) i drewnianej, giętkiej listewki (spline).

Reprezentacja krzywej

1. Poprzez zbiór punktów• odcinkami liniowa – nie oddaje gładkiej krzywej

• kosztowne – każdorazowo należy wyznaczać wszystkie punkty

• uciążliwa – potrzeba dużo punktów

2. Poprzez wielomiany• segmenty krzywej opisywane są wielomianami• x=x(t), y=y(t), z=z(t)

• dobre odwzorowanie krzywej

Jak wyznaczę krzywą?

1. Ustalam punkty kontrolne/węzły. • Zbiór punktów decydujących o kształcie krzywej.

2. Przeprowadzam interpolację.• Krzywa przechodząca przez punkty kontrolne.

3. Przeprowadzam aproksymację.• Wygładzona krzywa – punkty kontrolne wpływają

na kształt krzywej, jednak nie musza na niej leżeć.

Aproksymacja krzywej

Krzywe parametryczne

• elastyczne.

• Nie muszą być funkcją.

To nie jest funkcja!

To nie jest funkcja!

Wielomian 3. stopnia

•x(t)=axt3+bxt2+cxt+dx

•y(t)=ayt3+byt2+cyt+dy

•z(t)=azt3+bzt2+czt+dz

Krzywe parametryczne 3. stopnia

Zapis macierzowy Q(t)=T*C

• Q(t)= t3 t2 t

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

dx dy dz

Macierz współczynników C

Styczna do krzywej f(x) w punkcie x0

•S(x0)= f’(x)*(x-x0)+f(x0)• Np.

f(x)=x2-4, x0=3S(x0=3)=2x*(x-3)+4=2x2-6x+4

Styczna do krzywej macierzowo

• Pochodna Q(t) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej w t

d/dt Q(t)=Q’(t)

Q’(t)=d/dt T * C

Q’(t)=[3t2 2t 1 0] * C

KRZYWE HERMITE’A

Krzywe Hermite’a

• Segment krzywej określony jest przez: • dwa punkty końcowe A i B,

• oraz wektory Q i R styczne w tych punktach.

Krzywe Hermite’a

KRZYWE BEZIERA

Krzywe Beziera

• Krzywa przechodzi przez punkty końcowe,ale nie przechodzi przez pozostałe punkty kontrolne.

• Segment krzywej definiowany jest przez • dwa punkty końcowe P0 i Pn,

• oraz n-1 punktów pośrednich.

Krzywe Beziera

Stopień wielomianu zależy od ilości punktów kontrolnych.

Krzywe Beziera

Krzywe Beziera

• Wzór tych krzywych został opracowany niezaleznie przez dwóch inzynierów:• Pierre'a Béziera (Renault),

• oraz Paula de Casteljau (Citroën).

Ciekawostka

KRZYWE SKLEJANE

Krzywa sklejana

• Powstaje z połączenia wielu segmentów.

• Uwaga!Należy zachować ciągłość krzywej w punktach łączenia segmentów!

Krzywa sklejana

Inne krzywe

• B-SPLINE jednorodne

• B-SPLINE niejednorodne

• Stożkowe

• NURBS

• …

Więcej informacji o modelowaniu krzywych i powierzchni znajdziesz m.in. w książce „Modelowanie geometrii elementów maszyn i urządzeń w systemach CAD 3D” autorstwa prof. Edwarda Lisowskiego

koniec

Education

Krzywe Parametryczne