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Incerteza das Epidemias
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Por que as Epidemias são tão imprevisíveis?
Ecologia de Populações Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
Uma Pergunta Obvia Quando um surto de uma doença infecciosa é
constatado (SARS, Influenza Aviaria, Influenza Suína, Ebola, e outras.), uma das perguntas mais importantes é: “Qual tamanho alcançará”?
Podemos também fazer uma uma pergunta
análoga para as epidemias existentes (HIV, TB, Malaria)
Porém, a epidemiologia matemática ainda não
tem meios de responder essas perguntas
A Epidemiologia Matemática Começou com a análise da epidemia de varíola
de 1760 de Daniel Bernoulli Se desenvolveu extensivamente desde 1920
(Kermack e McKendrick) Atualmente centenas de modelos lidam com
variações de doenças humanas, animais e vegetais
Diversidade inacreditável dos modelos, que
podem ser muito complexos, mas a maioria são variantes do original
O Modelo Padrão (SIR) (1) Os indivíduos passam entre três estados: Susceptíveis, Infectados, e Recuperados
(2) Mistura e uniformemente aleatória
Perda de
imunidade
Recuperação
(ou morte)
Infecção
Número Reprodutivo Básico R0
A premissa de mistura uniforme implica que as epidemias dependem somente do número total de infecciosos (I) e susceptíveis (S)
Condição para uma epidemia é simples: R0 >1 R0 e o “Número Reprodutivo Básico”
– Número médio de indivíduos infecciosas gerados por um único indivíduo infectado numa população susceptível
R0 depende de – Grau de infecção da doença – Período de latência da infecção – Densidade de indivíduos susceptíveis próximo ao surto
Prevenção de uma epidemia implica manter R0<1
Número Reprodutivo Básico
R0=lp
l= freqüência de contatos por dia (“lambda”)
p= probabilidade de transmitindo uma infecção após contato
Os modelos padrão implicam que os surtos são bi-modais
Quando R0 < 1 as epidemias nunca acontecem Quando R0 > 1, somente existem dois resultados possíveis: – O surto não chega a ser
uma “epidemia” (pico a esquerdo)
– O surto vira uma epidemia, infectando uma fração significante da população intera (pico a direto)
O tamanho da epidemia deve ser previsível
Juntos, R0 e N (tamanho populacional) determinam completamente o número esperado de casos F
raçã
o da p
opulaçã
o infe
ctada
no
est
ágio
fina
l
Taxa reprodutiva
Também, as epidemias devem ter somente um “pico”
Uma vez que decola uma epidemia, segue a “curva logística” clássica (novos casos por dia)
Núm
ero
de c
aso
s no
vos
Diferem dramaticamente em tamanho
– 1918-19 “Gripe Espanhola” – 1957-58 “Gripe Asiática” – 1968-69 “Gripe de Hong Kong” – 2003 SARS Epidemia
Todas essas doenças tem valores quase iguais de R0!
Quanto diferencia em tamanhos as epidemias de tamanho parecido têm?
Desafortunadamente, os dados históricos sobre epidemias grandes são difíceis coletar.. Por isso, as distribuições verdadeiras do tamanho são desconhecidas
As epidemias reais, porém…
As Epidemias Aparentem Ser “multi-modais”
Distribuição de tamanhos das epidemias de (A) sarampo e (B) pertusa na Islândia, 1888-1990
As Epidemias Reais também são “Resurgentes”
Casos Diários Globais para a Epidemia de SARS em 2003: a epidemia tinha vários picos, separados por incidências baixas
Data do começo
Núm
ero
de c
aso
s no
vos
Resultado é imprevisível
As distribuições multi-modais de tamanho implicam qualquer surto da mesma doença pode ter restados dramaticamente distintos
O reaparecimento implica que ainda para epidemias que aparente estão se apagando podem se regenerar ao invadir populações novas
O que torna imprevisível as epidemias?
Insight chave da literatura sobre redes sociais: populações exibem estrutura
Que tipo de estrutura? – A distribuição não homogênea da população – Redes de transporte e infra-estrutura – Redes sociais, organizacionais, e sexuais
Resultado é
– A mistura uniforme ocorre somente em contextos pequenos e relativamente confinados (onde o modelo padrão se aplica)
– As epidemias grandes não são eventos únicos: são resultados de várias epidemias pequenas
Pandemia de Influenza de 1957
O entendimento das epidemias grandes requer a modelagem da estrutura populacional global
Presume que o modelo padrão se aplica aos “contextos locais” (escolas, hospitais, prédios de apartamentos, povoados, ...)
Porém, esses contextos locais são embutidos numa serie de contextos sucessivamente maiores (vizinhanças, cidades, regiões, estados, países, continentes…)
As populações globais são “aninhadas” Os indivíduos podem “escapar” o contexto local atual
e se mudar a outro A facilidade de mudar dos contextos “distantes”
versus “próximos” depende da tecnologia
Um modelo aninhado simples de população
As populações aninhadas geram distribuições “chatas”de tamanhos
de epidemias Resultados muito diferentes possíveis para o mesmo valor de R0 Distribuições similares para valores diferentes de R0
A mesma doença pode ter trajetórias diferentes Resurgência pode ser causada por “eventos raros”
Núm
ero
de c
aso
s no
vos
O tamanho da epidemia depende da freqüência e amplitude de
viagens
O tamanho médio da epidemia versus P0 (o número esperado de infecciosos “escapando” o contexto local)
O tamanho médio da epidemia versus x (“distancia típica viajada)
Importância de Redes
As populações grandes exibem estruturas de redes – Social, sexual, infra-estrutura, transporte
As epidemias grandes precisam ser compreendidas como várias epidemias pequenas ligadas por redes
Incorporando uma estrutura “multi-escala” do mundo em modelos de epidemias pode explicar a multi-modalidade e a resurgencia das epidemias
Conhecimento de uma doença (R0) não ajuda prever o tamanho ou duração de uma epidemia
Razão é que os “eventos raros” (como uma pessoa num avião) podem ter conseqüências imensas
A estrutura populacional pode ser usada como medida de controle (como fechamento de escolas)
A Equação Demográfica
Exemplos da Demografia em Ambientes Constantes
Crescimento limitado assintomaticamente
A equação demográfica (1) com taxa constante Λ com a condição inicial de N(0) leva a solução seguinte
N(t+1)= N(t)+Λ, N(0)=N0 Porque N(1)= N0 +Λ, N(2)=2 N0 +(+1) Λ, N(3)=3 N0 +(2 ++1) Λ, ..., N(t)=t N0 +(t-1+t-2+...++1) Λ
Crescimento Limitado num Ambiente Constante
N(t)
1,0 Porque
.1 se
11
1, se
)(
. t como 1
0
0
Nt
tN
tN
Crescimento Geométrico (ambiente constante)
Se recrutas novas chegam a uma taxa per capita positiva por geração, ou seja ,se f(N(t))=N(t) então
N(t+1)=( + )N(t). Ou seja, N(t)= ( +)t N(0). O número reprodutivo básico demográfico é
Rd=/(1-)
Mas R estima o número médio de descendentes produzidos por uma população colonizador pequena (N(0)) durante sua vida.
Rd>1 implica que a população invada a uma taxa geométrica. Rd<1 leva a extinção.
Taxa de Crescimento Dependente da Densidade
Se f(N(t))=N(t)g(N(t)), então
Ou seja, N(t+1)=N(t)(g(N(t))+).
O número reprodutivo básico demográfico é
Ro=g(0)/(1-)
O Modelo de Beverton-Holt: Dinâmica Compensatória
O Modelo de Beverton e Holt: Dinâmica Compensatória
estável
estável
Equilíbrio estável
Modelo de Beverton e Holt com o Efeito de Allee
O efeito de Allee, um fenômeno biológico nomeado em homenagem a W. C. Allee, descreve uma relação positiva entre a densidade populacional e a taxa per capita de crescimento.
Efeito de Allee sobre estoques explorados
O Modelo de Ricker: Dinâmica de Sobre-compensação g(N)=exp(p-N)
O Modelo de Ricker: Dinâmica de Sobre-compensação
Os ciclos populacionais são estáveis globalmente?
Em ambientes constantes, os ciclos populacionais não são estáveis globalmente (Elaydi-Yakubu, 2002).
Constant Recruitment In
Periodic Environments
Constant Recruitment In
Periodic Environment
Periodic Beverton-Holt
Recruitment Function
Geometric Growth In
Periodic Environment
SIS Epidemic Model
Disease Persistence Versus
Extinction
Asymptotically Cyclic
Epidemics
Exemplo Premissa de processo Poisson para modelar infecções.
E
Deixe
Com
Example
Epidemias e Demografia Geométrica
Persistence and Geometric
Demographics
Cyclic Attractors and
Geometric Demographics
Multiple Attractors
Question
Are disease dynamics driven
by demographic dynamics?
S-Dynamics Versus I-Dynamics
(Constant Environment)
SIS Models
In
Constant Environments
In constant environments, the
demographic dynamics drive both the
susceptible and infective dynamics
whenever the disease is not fatal.
Periodic Constant
Demographics Generate
Chaotic Disease Dynamics
Periodic Beverton-Holt
Demographics Generate
Chaotic Disease Dynamics
Periodic Geometric
Demographics Generate
Chaotic Disease Dynamics
Conclusion
• We analyzed a periodically forced discrete-time SIS model via
the epidemic threshold parameter R0
• We also investigated the relationship between pre-disease invasion
population dynamics and disease dynamics
• Presence of the Allee effect in total population implies its presence
in the infective population.
• With or without the infection of newborns, in constant environments
the demographic dynamics drive the disease dynamics
•Periodically forced SIS models support multiple attractors
• Disease dynamics can be chaotic where demographic dynamics are
non-chaotic
S-E-I-S MODEL
Doenças de Animais
Doenças em populações de peixes, camarões e outros
Malaria em mosquitos
Doenças em vacas, ovelhas, frangos, camelos, antas e outros.