HÀM SỐ MŨ & LOGARIT

GIẢI TÍCH 12

GV: PHAN NHẬT NAM

HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARIT


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT

A. Công thức biến đổi :

1. Công thức biến đổi của hàm số mũ :

am.a

n = a

m + n (a

m)

n = (a

n)

m = a

m.n (a.b)

n = a

n.b

n a

0 = 1

nm

n

m

aa

a n

nn

b

a

b

a

n mn

m

aa với 2; nNn

Tính chất bất đẳng thức :

Nếu a > 1: x1, x2 > 0 và x1 < x2 1x

a < 2x

a

Nếu 0 < a < 1: x1, x2 > 0 và x1 < x2 1x

a > 1x

a

Nếu 0 < a 1: x1, x2 > 0 và x1 = x2 1x

a = 1x

a

2. Công thức biến đổi logarit :

Cho a,b,c, R, và 0 < a,b,c 1. ta có :

ĐN : = balog ba

TC : 01log a 1log aa

bab

a log ; Rb baba

log;

Rb

cbcb aaa loglog).(log cbc

baaa logloglog

bb aa loglog bb aalog

1log

b

cc

a

a

blog

loglog

ab

b

alog

1log

Tính chất bất đẳng thức :

Nếu a > 1: x1, x2 > 0 và x1 < x2 logax1 < logax2

Nếu 0 < a < 1: x1, x2 > 0 và x1 < x2 logax1 > logax2

Nếu 0 < a 1: x1, x2 > 0 và x1 = x2 logax1 = logax2

http://www.toanhocdanang.com/



Cơ số Nê-Pe : e =

x

x x

11lim 2,7183

Logarit Nê-Pe : ln a = loge a

B. Hàm số mũ :

ĐN : Cho 10 a . Khi đó hàm số : y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

TC : Xét hàm số y = ax , 10 a ta có các tính chất :

1. Miền xác định : D = R

2. Miền giá trị : T = (0 , ) {đồ thị hàm số luôn nằm trên trục Ox}

3. Đạo hàm : y’ = (ax)’ = a

x.lna. {hàm hợp: (a

u)’ = u’.a

u.lna}

4. Hàm số y = ax liên tục trên R.

5. Sự biến thiên: Hàm số y = ax đơn điệu Rx

Với a > 1 y = ax đồng biến Rx

Với 0< a< 1 y = ax nghịch biến Rx

6. Bảng biến thiên và đồ thị :

Với a > 1

Với 0 < a < 1

7. Đồ thị hàm số y = ax cắt Oy tại A(0,1)và có tiệm cận ngang là trục Ox

O

1

1 0

y

y’ x

a y = ax, a > 1

x

a 1

y

1

+

O

1

1 0

y

y’ x

a y = ax, 0< a< 1

x

a

1

y

1

-




C. Hàm số logarit :

ĐN : Cho a > 0.Khi đó hàm số: y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

TC : Xét hàm số y = logax, a > 0 ta có các tính chất :

1. Miền xác định : D = (0 , ) {đồ thị luôn nằm bên phải trục Oy}

2. Miền giá trị : T = R

3. Đạo hàm : y’= (logax)’=ax ln.

1 {hàm hợp: (logau)’ =

au

u

ln.

'}

4. Hàm số y = logax liên tục trên R+.

5. Sự biến thiên: Hàm số y = logax đơn điệu Rx

Với a > 1 y = logax đồng biến Rx

Với 0 < a < 1 y = logax nghịch biến Rx

6. Bảng biến thiên và đồ thị :

Với a > 1

Với 0 < a < 1

7. Đồ thị hàm số y = ax cắt Ox tại A(1,0)và có tiệm cận đứng là trục Oy

O

0

a 1 0

y

y’ x

1

y = logax, a > 1

x a

1

y

1

+

O

1

1

0

0

y

y’ x

a y = logax , 0< a< 1

x a 1

y

1

-




D. Bài tập áp dụng :

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a. 24 3.x x c. 5 3b b

a a e. 5 32 2 2

b. 3 32 2 2

3 3 3 d. 4 3 8a f.

25

3

b b

b b

Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau:

a.

1 1 1 1 3 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2x y x y x y yA

x y x yxy x y xy x y

e.

11 2 2 22

11. 1 ( )

2

a b c b c aE a b c

bca b c

b.

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

21 1

2 2

3 3.

2

x y x y x yB

x yx y

f.

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

2 2 1

12 1

a a aF

aa a a

c.

4 11

23 333

2 2

33 3

8. 1 2

2 4

a a b bC a

aa ab b

g.

1 1 1 1

3 3 3 3

1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3

8 2

62 4 2

b a a b a bG

a b a a b b

d.

3 32 2

3 3 3 32 2 2 236

6 6

2

a x ax a x

a x a ax xD x

a x

h.

3

3 34 4

4 4

1 1

1 1

x x xH

x xx x

x x

Bài 3:

a. Không dùng máy tính và bảng số hãy tính 3 3847 847

6 627 27

b. Chứng minh rằng: 8 48 4

88

13 2 3 2 3 2

3 2

Bài 4: So sánh các cặp số sau:

a. 3 530 20 b. 34 5 7 c. 317 28

d. 54 13 23 e. 3 2

1 1

3 3

f. 5 74 4




Bài 5: So sánh các cặp số sau:

a. 1,7 0,82 2 b. 1,7 0,8

1 1

2 2

c.

1,2 2

3 3

2 2

d.

5

251

7

e.

2,5

12 12

2

f. 5 1

6 30,7 0,7

Bài 6: Chứng minh: 20 302 3 2

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:

a. 3 x xy b. 2sin

0,5x

y c. 2 2x xy

d. 1 32 2x xy e. 2 2sin os5 5x c xy f.

21

x

xy e

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau :

9

125 7

1 1log 4

log 8 log 24 281 25 .49A

2 5

4

1log 3 3log 5

1 log 5 216 4B

7 75

1log 9 log 6 log 4

272 49 5C

9 9 9log 15 log 18 log 10D 6 9log 5 log 361 lg236 10 3E 10 10log tan 4 log cot 4F

36 1

6

1log 2 log 3

2G 1 3 2

4

log log 4.log 3H 2 2log 2sin log os

12 12I c

33 3 3 3

4 4log 7 3 log 49 21 9K 3

1 1 1

3 3 3

12log 6 log 400 3log 45

2L

4 4 4 4

1log log 216 2log 10 4log 3

3M x

Bài 9: Tính theo , , ,a b c x các logarit được chỉ ra:

a. . 6log 16A . Biết : 12log 27 x b. 125log 30B . Biết : log3 ;log 2a b

c. 3log 135C . Biết: 2 2log 5 ;log 3a b d. 6log 35D . Biết: 27 8 2log 5 ;log 7 ;log 3a b c

e. 49log 32E . Biết : 2log 14 a f. 3 5

49log

8F . Biết: 25 2log 7 ; log 5a b

g. 30log 1350G . Biết: 30 30log 3 ; log 5a b h. 35log 28H Biết: 14 14log 7 ; log 5a b




i. 140log 63I Biết: 2 3 7log 3 ; log 5 ; log 2a b c

Bài 10: Rút gọn biểu thức sau:

a. log log 2 log log log 1a b a ab bA b a b b a

b. 2log log 12 2 4

2 2 2

1log 2 log log

2x x

B x x x x

c. log log 2 log log loga p a ap aC p a p p p

Bài 11: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh:

a. 0,4 0,2log 2 log 0,34 b.

5 3

3 4

3 2log log

4 5 c.

55

1log

log 3 22 3

d. 3 2log 2 log 3 e. 2 3log 3 log 11 f. 2 1

2

2log 5 log 9

2 8

g. 2 4

5log 3 log

114 18

h. 3 1

9

8log 2 log

99 5

k. 6 6

1log 2 log 5

23118

6


a. 2 5log 10 log 30 b. 3 7log 5 log 4 c. 3 12ln 8 lne

e

Bài 13: Hãy chứng minh:

a. 1 3

2

1log 3 log 2

2 b. 5 5log 7 log 4

4 7 c. 3 7log 7 log 3 2 d. 2 2log 5 log 33 5


a. 3 3

6 5log log

5 6 b. 1 1

3 3

log 9 log 17 c. 1 1

2 2

log loge d. 2 2

5 3log log

2 2

e. 1

log3 log19 log 22 f.

5 7 log5 log 7log

2 2

Bài 15: Cho 0 1a . Chứng minh: 1log ( 1) log ( 2)a aa a

HD: 2

1 1 1 1 11 1

log ( 2) log log ( 2) log ( 2) log ( 1)log log ( 2) 1

log ( 1) 2 2 2

a a a a aa a

a

a a a a a aa a

a




Bài 16: Chứng minh các dẳng thức sau (với giả thuyết các biểu thức đó đã có nghĩa)

a. log loga ac bb c b.

log loglog ( )

1 log

a aax

a

b xbx

x

c.

log1 log

log

aa

ab

cb

c

d. 1

log (log log )3 2

c c c

a ba b

với 2 2 7a b ab

e. 1

log ( 2 ) 2log 2 (log log )2

a a a ax y x y với 2 24 12x y xy

f. log log 2log logb c c b b c c ba a a a với 2 2 2a b c

g. 2 3 4

1 1 1 1 1 ( 1)...

log log log log log 2logna aa a a a

n n

x x x x x x

h. log log log

log log log log log loglog

a b ca b b c c a

abc

N N NN N N N N N

N

i. Nếu ta có 1

1 lg10 xy và 1

1 lg10 yz thì 1

1 lg10 zx

k. 2 3 4 2016 2016!

1 1 1 1 1...

log log log log logN N N N N

l. log log log

log log log

a b a

b c c

N N N

N N N

với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

Bài 17: Tính các giới hạn sau:




Bài 18: Chứng minh hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức được chỉ ra:

Bài 19: Chứng minh hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức được chỉ ra:

Bài 20: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:




Bài 11 : Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số sau đây :

a. y = (x2 – 2x – 2)e

x b. y = 2

x –

xe c. y = (sinx - cosx)e2x

d. )43(log 2

8 xxy e.

4

4log

3

1x

xy f. )1ln( 2xxy

g. )1ln( 22 xxy h. )93(log 1

3 xy i. 2

1 5

5

1log log

3

xy

x

k. 2

1 2

2

1log log 6

1

xy x x

x

l. 2

2

1lg 3 4

6y x x

x x

Bài 12 : khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau :

a. y = 3x b.

x

y

3

1 c.

xy 3

d.

x

y

3

1 e.

23 xy

Bài 13 : khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau :

a. xy 4log b. xy4

1log c. xy 4log

d. xy 4log e. )1(log 4 xy f. 2log 4 xy




PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT

A. Phương trình mũ :

I. Các phương pháp thường giải gặp trong phương trình mũ :

1. Phương pháp biến đổi tương đương :

)()(

10

1)()(

xgxf

a

a

aa xgxf

hoặc

0)()()1(

0

xgxfa

a

2. Phương pháp logarit hóa :

Dạng 1:

bxf

baoba

a

xf

log)(

0,1)(

Dạng 2: bxgxfbaba a

xg

a

xf

a

xgxf log).()(loglog )()()()(

Hoặc )(log).(loglog )()( xgaxfba b

xg

b

xf

b

Dạng 3: )()()()()()( .loglog. xhxg

a

xf

a

xhxgxf cbacba

)(.log)(.log)( xhcxgbxf aa

Chú ý :

Cần rút gọn phương trình trước khi logarit hóa

Sau khi đưa về phương trình đa thức ta chỉ để ý đến biến x còn: logab, logac

thì xem như các số thực bình thường

3. Phương pháp đặt ẩn phụ :

Dạng 1: f(ag(x)

) = 0 Đặt t = ag(x)

Đk(hẹp): t > 0

Lưu ý : ak.g(x)

= tk và a

-g(x) =

t

1




Dạng 2: 1 af(x)

+ 2 bf(x)

+ 3 = 0 (với a.b = 1)

Đặt t = af(x)

bf(x)

= t

1 (hoặc a

g(x) =

t

1) Đk(hẹp): t > 0

Pt 1 t + 2t

1+ 3 = 0 1 t

2 + 3 t + 2 = 0

Mở rộng : Phương pháp trên có thể sử dụng cho các dạng sau :

1 af(x)

+ 2 ag(x)

+ 3 = 0 (với f(x) + g(x) = 0, Rx )

Đặt t = af(x)

ag(x)

= t

1 Đk(hẹp): t > 0

1 af(x)

+ 2 bf(x)

+ 3 cf(x)

= 0 (với 1.2

c

ba)

Chia 2 vế pt cho cf(x)

. Đặt t =

)(xf

c

a

)( xf

c

b

=

t

1

Dạng 3: 1 a2.f(x)

+ 2 (a.b)f(x)

+ 3 b2.f(x)

= 0

Chia 2 vế pt cho b2.f(x)

. pt 1)(.2 xf

b

a

+ 2

)(xf

b

a

+ 3 = 0

Đặt : t =

)(xf

b

a

Đk(hẹp): t > 0 . pt 1 t

2 + 2 t + 3 = 0

Mở rộng : Phương pháp trên có thể sử dụng cho các dạng sau :

1 af(x)

+ 2 ag(x)

+ 3 ah(x)

= 0 (với : h(x) + f(x) = 2g(x), Rx )

Dạng 4: f(ag(x)

) = 0 (chứa: )(22 xfab ,

)(22 xfab …) nếu không thể

giải theo dạng 1 ta có thể đưa về pt lượng giác bằng cách :

nếu pt chứa : )(22 xfab Đặt :

b

a xf )(

= sin(t) (hoặc cost))

Nếu pt chứa : )(22 xfab Đặt :

b

a xf )(

= tan(t) (hoặc cot(t))




Dạng 5: A(x).[f(ag(x)

)]2 + B(x). f(a

g(x)) + C(x) = 0

(Với A,B,C là các biểu thức chứa x thỏa B2 – 4AC = [g(x)]

2)

Đặt : t = f(ag(x)

)

pt A(x).t2 + B(x). t + C(x) = 0

Giải pt theo t xem x là tham số (hoặc giải theo x còn t là tham số)

Dạng 6: Nếu pt chứa 2 hàm mũ không thể đưa về 1 trên 5 dạng trên

ta có thể đặt 2 ẩn phụ cho hai hàm mũ trên sau đó khéo léo chuyển

phương trình về một trong hai hướng :

Phương trình tích .

Hệ phương trình theo ẩn phụ.

4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :

Dang 1: f(x) = k

Đoạn xo là nghiệm của phương trình .

Xét hàm số y = f(x) . Chứng minh hàm số đơn điệu trên TXĐ.

Lý luận nghiệm xo là duy nhất.(nếu f(x) đồng biến)

Với x = xo f(x) = f(xo) = k, do đó xo là nghiệm của pt

Với x < xo f(x) < f(xo) = k do đó pt vô nghiệm

Với x > xo f(x) > f(xo) = k do đó pt vô nghiệm

Vậy xo là nghiệm duy nhất (tương tự cho TH f(x) nghịch biến)

Dạng 2: f(u) = f(v)


Khi đó ta có : f(u) = f(v) u = v (*)

u,v D_txđ

Chú ý : trong dạng này hay gặp phép biến đổi :

A.af(x)

+ B.bf(x)

= C.cf(x)

Cc

bB

c

aA

xfxf

)()(

.

f, g : ĐB thì – f : NB và f + g : ĐB (tương tự cho trường hợp NB)




5. Phương pháp sử dụng tính lồi , lõm của hàm số :

f(x) = k

tính f’’(x)

chứng minh f’’(x) không đổi dấu với mọi x đồ thị của y = f(x) luôn lồi hoặc

luôn lõm f(x) = k có tối đa 2 nghiệm

đoán 2 nghiệm của pt và kết luận phương trình chỉ có 2 nghiệm đó

II. Bài tập áp dụng :

Bài 1: Giải các phương trình :

a. 8

12 152 2

xx

b. 4

73

2

1

2

12

2.25,016

x

x

xx c.

3

17

7

5

128.25,032

x

x

x

x

Bài 2: Giải phương trình :

a. 63232 22

)2()2( xxxx xx b. xx xxxx cos12sin32 )23()23(

c. 44 xx xx d. 1)2( 3 xx

e. )35(235 211 2222 xxxx f.

x

xxx

1

51

1

5242

1

g. 12242 22

95

35.)6,0(

x

x

xx h. 3 292 2222

2

xxxxx

Bài 3: Giải phương trình : xx xxxx

x

14312

312

Bài 4: Cho phương trình : 2232 223

48 xmxxxmx

c. Giải phương trình với m = 1

d. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt


a. 132

2 xx b.

xx

x

42 3.48

c. 2457.5.3 12 xxx d. 125.32 21 xxx




e. 68.3 2 x

x

x f. 5008.5

1

x

x

x

g. 8444)24(2 22

1

xxxxx

h. 42.5 1

3

2 x

x

x i. 1

11

2525

x

xx

j. 2232232

x

k.

l. 1444 7325623 222

xxxxxx


a. xxx 6242.33.8 b. 553.515 xxx

c. 1224222 )1(1 xxxx

d. 0422.42 222

xxxxx


a. 7)7,0.(6100

7 2

x

x

x

b. 524

28

x

xx

c. 123.33

11

1

2

x

x

b. 222422 cossin xx

e. 12222 4212.32.4 xxxx

f. 632347 xx

g. 245522 11 xx

h. 12.1222.62 )1(33 xxxx i. 64)55(275.95 33 xxxx

j. k. 042.82.3 2

1

1

1

x

x

x

l. 02028

332

x

x

x

Bài 8: Cho phương trình : 0222 312 mxx

a. Giải phương trình khi m = 32

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.





a. 4347347sinsin

xx

b. 10625625tantan

xx

c. 32.43234732 xx

d. 225353

xxx

e. xxx

2.8537.12537 f. 25x + 10

x = 2

2x + 1

g. 4x – 2.6

x = 3.9

x h. 3.8

x + 4.12

x – 18

x – 2.27

x = 0

i. 022.92 2212 22

xxxx j.

12122 222

10.50425 xxxxxx

k. xxx 2.2121211 22 l. xxx 9133.4 13

m. 12

12

2

12.62

)1(3

3 xx

xx

Bài 10: Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm :

a. (m – 1).32x

+ 2(m – 3).3x + m + 3 = 0

b. (m – 4).4x – 2(m – 2).2

x + m – 1 = 0

c. 121 222

96.4.2 xxx m

d. xxm 211)22(

Bài 11: Cho phương trình : mxx

tantan

223223

a. Giải phương trình khi m = 6.

b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng

2,

2


a. 276 xx b. 4)13(8 xx

c. 9425

4 2

xx

x

d. 032)103(4.3 2 xxx

e. 0)23()2(5.225 55 xxxx

f. 02)73(33 112 xxxx




Bài 13: Giải phương trình (Các bài toán đưa về phương trình tích):

a. 2632 1 xxx b. 335.315 xxx

c.22 )1(133 2222 xxxx d.

75234 3933 xxx

e. 122 22..61262. xxx xxxx f. 777)7( 421 22

xxxx


a. 132 2

x

x b.

2543

x

x c. 3453 11 xx

d. xxx 543 e. 2

x = 3

x – 5 f. 2007

x + 2008

x = 2.2006

x

g. x

xx

10625622

h. x

xx

23232

l. 233 3.25353

x

xx





a. x2 + (2

x – 3)x + 2.(1 – 2

x) = 0 b. 2

2x–1 + 3

2x + 5

2x+1 = 2

x + 3

x+1 + 5

x+2

c. x3 + 2

3x + 3x.2

2x + (1 + 3x

2).2

x + x – 2 = 0

d. 21 )1(22

2

xxxx e.

1

1

52

1152

xxee

xx

f. 1)22434()21217()246( xxx

g. x

xx 5)23()23(

h. 177526

1

3

1

2

12345 23 xxx

xxx

xxxx

i. 12222 298789878

x

xx

xxxxxxxx

j. 2

3

24

1

1

4

14

2

xxx

x

x

x

a k.

xxx 22164 2

l. 02723.53 535

325

x

x

m. 33.23 1 xx x n. xxx cos23 sincos

p. xxxxxx

222

7.2122 q. xxx sinsin 4.3)42)(sin1(




B. Phương trình logarit :

I. Các phương pháp thường giải gặp trong phương trình logarit :


Dạng 1:

baaxf

abxf

)(

10)(log

Dạng 2:

0)()(

10)(log)(log

xgxf

axgxf aa


Dạng 1: - Biến đổi phương trình về cùng cơ số : f(logau(x)) = 0

- Đặt : logau(x) = t kk

a txu )(log (ĐK : u(x) > 0)

Chú ý : công thức cần nhớ : ac bb ca

loglog




Dạng 2: 0)()(log).()(log).( 2 xCxfxBxfxA aa

(A(x),B(x),C(x): là biểu thức có thể chứa x thỏa: B2 – 4AC = [g(x)]

2)

- Đặt : logaf(x) = t (ĐK : f(x) > 0)

- Xác định điều kiện t theo điều kiện của x ở bước trên.

- Giải phương trình bậc hai theo t và xem x như một tham số.

3. Phương pháp biến đổi về phương trình tích : (thường gặp)

Biến đổi phương trình về dạng : f(x).g(x) = 0

0)(

0)(

xg

xf


Dang 1: f(x) = k

Đoạn xo là nghiệm của phương trình .


Lý luận nghiệm xo là duy nhất.(nếu f(x) đồng biến)

Với x = xo f(x) = f(xo) = k, do đó xo là nghiệm của pt

Với x < xo f(x) < f(xo) = k do đó pt vô nghiệm

Với x > xo f(x) > f(xo) = k do đó pt vô nghiệm

Vậy xo là nghiệm duy nhất (tương tự cho TH f(x) nghịch biến)

Dạng 2: f(u) = f(v)



u,v D_txđ



a. logx(x + 6) = 3 b. log2(x – 1)2 = 2.log2(x

3 + x + 1)

c. log2(x2 + x + 1) + log2(x

2 – x + 1) = log2(x

4 + x

2 + 1) + log2(x

4 – x

2 + 1)

d. 12log.4log 2coscos xx e. 12

32log3

x

x

f. log2(x2 + 3x + 2) + log2(x

2 + 7x + 12) = 3 + log23

g. log2x + log3x + log4x = log10x h. x + lg(1 + 2x) = x.lg5 + lg6




i. )93.11(log)33(log3log)3( 5

1

55 xxx

j. 3

82

2

4 )4(log4log2)1(log xxx

k. )62(log)14(log 3

22 xx x l. xxxx 273 log42log3

m. 2)1lg(1

2

)1(lg1

)1lg(12

xx

x n. 6)12lg()15(lg xx

Bài 2: Cho phương trình : log2–m(x2 + mx) = log2–m(x + m – 1)


b. Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 3: Cho phương trình : logm[x2 – (6m – 1)x + 9m

2 – 2m – 1) = logm(x – 3)


b. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 4: Cho phương trình : 2log

1

2log

log

2log

)2(log

12

mm

m

x

x xxm


b. Xác định m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình :

0)224(log)4228(log2 22

2

1

22

2 mmxxmmxx

a. Giải phương trình với m = 0

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa :4

12

2

2

1 xx


a. log2(3x – 1).log2(2.3

x – 2) = 2 b. log2(5

x – 1).log2(2.5

x – 2) = 2

c. 12log).2(log 22

2 xx d. 1log5

log 2

55 xx

x

e. 34log2log 22 xx

f. 633loglog 22 x

x




g. )243(log1)243(log 2

3

2

9 xxxx

h. 3)1(4log

)1(4)1( 2

xxx

i.3)1(4log

)1(8)1( 2

xxx

j. )1(log)1(log)1(log 2

6

2

3

2

2 xxxxxx

k. 4)21236(log)9124(log 2

32

2

73 xxxx xx

l. xx 2332 loglogloglog m. xxxxxx 753753 loglogloglogloglog

Bài 7: Cho phương trình : 3)2(4log

)2(2)2( 2

xx mx


b. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn : 4,2

521 xx


a. 05)1lg()5()1(lg 22222 xxxx

b. 062)1(log)5()1(log 3

2

3 xxxx

c. 016)2(log)4(4)2(log)3( 3

2

3 xxxx

d. 016)1(log)1(4)1(log)2( 3

2

3 xxxx

f. 03log)4(log 2

2

2 xxxx


a. 0log.loglogloglog 3232

2

2 xxxxx

b. 2loglog

1)22.()22( 22 xxxx

c. 2)1(log.3)1(log 2

2

2

2 xxxx

d. 6)54(log52)54(log3 2

2

2

2 xxxx




e. 1lg1lg23 xx f. 11loglog 2

2

2 xx

g. 1)56(log67 7

1 xx h. 5lg4lg1lg 2 xxx

i. 33

3

2 2log332log xx j. 6x = log6(5x+1) + 2x + 1

Bài 10: Cho phương trình :

02)32(log2log)32(log.log 2

22

2

22 mxxxmxxx


b. Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 11: Xác định m để phương trình sau có nghiệm :

a. mxx 33 log4log b. mxx 32

32 log2log1


a. 4)2lg()6lg( 2 xxxx b. 222log 2 xx

c. 062log)5(log 2

2

2 xxxx d. 1log12

3

2

xx

e. )22(log)22(log 2

32

2

322

xxxx

f. )1(loglog 23 xx g. xx 73

2 log)1(log

h. xxx 484

6 log)(log.2 i. xx

)3(log52

j. 2

1)123(log 2

3 xxx

Bài 13: Giải biện luận phương trình:

23)(log23log 2

2

1

2

2 xxmxmxxx




BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT

A. Bất phương trình mũ :

I. Các phương pháp thường giải gặp trong bất phương trình mũ :


Dạng 1:

)()(

10

)()(

1

)()(

xgxf

a

xgxf

a

aa xgxf

hoặc

0)]()()[1(

0

xgxfa

a

Dạng 2:

)()(

10

1

)()(

1

)()(

xgxf

a

a

xgxf

a

aa xgxf

hoặc

0)]()()[1(

0

xgxfa

a

2. Phương pháp lôgarit hóa và đưa về cùng cơ số :

Dạng 1:

bxf

a

bxf

a

ba

a

axf

log)(

10

log)(

1

)(

(với b > 0)




Dạng 2:

bxf

a

bxf

a

b

ainghcóxf

b

ba

a

a

xf

log)(

10

log)(

1

0

~)(

0

)(

Dạng 3:

bxgaxfbaba xgxfxgxf ln).(ln).(lnln )()()()(

Hoặc có thể lấy logarit cơ số a hay b

3. Phương pháp đặt ẩn phụ : Hoàn toàn tương tự như phương trình mũ.


Dang 1: f(x) > k

Đoạn xo là nghiệm của phương trình f(x) = k.


Lý luận nghiệm. (trong trường hợp f(x) đồng biến)

Với x xo f(x) f(xo) = k do đó bpt vô nghiệm

Với x > xo f(x) > f(xo) = k do đó bpt đúng

Vậy x > xo là nghiệm (tương tự cho TH f(x) nghịch biến)

Dạng 2: f(u) < f(v)


Trường hợp f(x) đồng biến: f(u) < f(v) u < v u,v D_txđ

Trường hợp f(x) nghịch biến: f(u) < f(v) u > v u,v D_txđ






a. 1312 2

1

2

1

xx b. 1)12( 1

1

2

x

x

xx

c. 8

222 3)3(2

xx xx d.

3222 1)1(

2

xx xx

e. 1

22

2

12

x

xx f.

x

x

x

x

3

1

1

3

)310()310(

Bài 2: Cho bất phương trình :

mxx

31

23232


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 2,0x


3)1(23)1(

12322

xmmxm


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x.


a. 2x.3

x – 1.5

x – 2 > 12 b. 9

x + 9

x+1 + 9

x+2 < 4

x + 4

x+1 + 4

x+2

c. 62x +3

< 2x +7

.33x – 1

d. 7.3x +1

+ 5x +3

3x +4

+ 5x +2


a. 221212222 xxx

b. 1232625221139 xxx

c. 5log22215215

x

xx




d. xxxx 22.152 53632

e. 13

2313 2

x

x

x

f. 09.93.83 442 xxxx g.

12

35

12

22

x

xx

h. xxxx 993.8

44 1 i.

222 22121 15.34925 xxxxxx

Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi số thực x:

9x – 2(m + 1).3

x – 2m – 3 > 0

Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng 1,0x

m.9x – (2m + 1).6

x + m.4

x 0

Bài 8: Với m > 0 giải biện luận bất phương trình: aa xx 42 2


a. 9x + 2(x – 2).3

x + 2x – 5 > 0 b. 4

x – (x + 3).3

x + 2(x + 1) 0

c. 013.43.4 212

xxx d. 02.22)3(4 22 22

xx xx

e. 111 2222

22 xxxx f. 03339 22 22

xxxxx

g. xxx 31313 2.5428

h. 165.253515 12log2 5 xxxx


a. 2x + 3

x + 1 > 6

x b. 8215.7215

xx

c. 0123

12

xx

x

d. 3433 21)1(2

xxxx




B. Bất phương trình logarit :

I. Các phương pháp thường giải gặp trong bất phương trình logarit :


Dạng 1:

0)()(

10

)()(0

1

)(log)(log

xgxf

a

xgxf

a

xgxf aa hoặc

0)]()()[1(

0)(

0)(

01

xgxfa

xg

xf

a

Dạng 2:

b

b

a

axf

a

axf

a

bxf

)(

10

)(0

1

)(log

Dạng 3:

b

b

a

axf

a

axf

a

bxf

)(0

10

)(

1

)(log


Dựa trên ý tưởng đặt ẩn phụ trong phương trình lôgarit


Tương tự như bất phương trình mũ.





Bài 1: Giải các bất phương trình :

a. )22(log1log 2

2

2 xx b. 0)4(log2)86(log 5

2

5

1 xxx

c. 03loglog 3

3

2 x d. 0)5(loglog 2

4

2

1 x

e. 11

32log 3

x

x f. 1

1

)13(log 3

x

x

g. 15

2log3

x

x

h.

)12(log

log

5,0

5,0

2

2508,0

x

x

x

x

i.

)12(log

log

1

1

3

3512,0

x

x

x

x


a.

63 32

3 loglog

xxx b. 3

2

1

2

1 21log)1(log2

1 xx

c. xx 53 loglog d.

axaxx aa 2

loglog2


a. 032log2)25(log252

x

x b.

2

533log)14(log

143 x

x

c. 03.183

1log

log 323 xx

x d. 2

52 2

12

2

1 loglog

xx

x

e. xx 22 loglog2

f. xx

xx 2

2

122

32

2

1

4

2 log432

log98

loglog





02log)1(2log 2

2

2

2 mmxmx


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng 2,1x

Bài 5: Cho bất phương trình : 032log2)22(log222

xmx

a. Giải phương trình khi m = – 2.

b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng 1x

Bài 6: Giải biện luận bất phương trình :

1log1

2

log5

1

xx mm


a. 062

)(log1 5,0

x

x b. 0

1)4(log

5

2

x

x

c. 0)3lg(

)8lg(7lg 2

x

xx d. 2)22(log).12(log 1

5,02 xx

e. 12

218log).218(log 24

xx

f. 25,0loglog.7loglog 2337 xx

g. 010

)4(log)83(log 2

7

1

7

1

x

xx

h. 1)9(loglogloglog2 33

3

133 xx

i. 1)5(log)1(log)1(log3

3

1

3

1 xxx

j. 0

3

2log)3(log

9

4

3

4 xx

k. x

x

x

x

2

32

2

8

log

21log

)21(log

log

l. 1

8

35log).35(log 24

xx

m.

)44(log

)103(log

25,0

22

3

225,2

xx

xx





a. 0loglog).8(loglog 3

232

2

3 xxxx

b. 0)1(9log)10(log 3

2

3 xxxx

c. 022log)1(log 2

2

2 xxxx

d. 0loglog).9(loglog 2

323

2

2 xxxx

e. 01log)2(log 3

2

3 xxxx

f. 01log)1(log2 3

2

3 xxxx

g. 9

logloglog.log 3

2

223

xxxx

h. 5log5log2log5log.2log 2

xxxxx


2

3223 loglog2log.log xxmxx m


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm chứa khoảng ,2


xmxxxmx 2233

2

3 loglog.logloglog


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm chứa khoảng 9,1

Bài 11: Tìm m để BPT sau có nghiệm : mxx

xx

tan

cos

1logtan

cos

1log 22

Bài 12: Cho bất phương trình : xmx 2

3

2 loglog


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn 2,1

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là 8,2





a. 4log 3 xx b. 3log2 2

2 xxx

c. 2log2 2 xx d. 19log1log 32 xx

e. 03log)2(log 22

2 xxxx

f. 1277

12log 2

2

3

xxx

x

xx


xxmmxmx 3

2 log)(4)4(


b. Giải biện luận bất phương trình trên theo tham số m


41lg)2lg(22 224)1( 2

xmmmmmxm


b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là 1,0

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT

I. Các phương pháp thường gặp trong giải hệ phương trình mũ & logarit :

1. Phương pháp 1: (biến đổi tương đương)

Dùng công thức biến đổi để khử mũ , logarit đưa về hệ phương trình không

chứa mũ và logarit

2. Phương pháp 2: (phương pháp thế)

Biến đổi và rút ẩn từ một phương trình này để thế vào phương trình kia.Khi

đó ta giải phương trình mũ , logarit theo một ẩn vừa thu được.




3. Phương pháp 3: (phương pháp đặt ẩn phụ)

Biến đổi các biểu thức mũ, logarit đưa về cùng cơ số rồi đặt ẩn phụ.Khi đó ta giải hệ

phương trình theo ẩn phụ không chứa mũ và logarit.

4. Phương pháp 4: (phương pháp đánh giá)

Nhận xét các vế trong từng phương trình của hệ kết hợp với các bất đẳng thức (có thể

sử dụng tính đơn điệu của hàm số) để đưa về hệ phương trình đơn giản hơn.

Chú ý : Dùng các cách biến đổi

5. Phương pháp 5: (sử dụng tính đơn điệu của hàm số)

Biến đổi hệ (cộng đại số) về dạng f(u) = f(v)(1)

{đôi lúc 1 trong 2 phương trình của hệ đã có dạng (1)}



u,v D_txđ

Từ (*) rút x theo y rồi thay vào một trong 2 phương trình của hệ



a.

12 yx

yx yxyx

b.

13

)3

(54

yx

yx

xy

xy

c.

222

1

yx

yx d.

164.32

14242

22

222

222

yxy

yyxx

e.

2232

22.32

22

212

x

xx

y

y f.

1)1()1(

)(239

22

3log)(log 22

yx

xyxy

g.

423

93

9 2

y

x

x

yx

y

xx

h.

723

7723

22

2

2

yx

yx




Bài 2: Cho hệ phương trình :

my

myy

xx

x

112

1

221

112

a. Giải hệ phương trình khi m = 0

b. Tìm m để phương trình có nghiệm.

c. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 3: Giải biện luận hệ phương trình :

xx

xxx

myyy

ymy

22.

2.2.2

12

12


022

2.42 )2(4 22

mymx

yxmyx

a. Giải hệ phương trình khi m = 2

1 .

b. Tìm m để hệ phương trình có 2 cặp nghiệm phân biệt (x1, y1) và (x2, y2) thỏa :

5

322

21

2

21 yyxx


a.

12

33

22 yxyx

xyyx

b.

2

)2)((22

22 yx

xyxyyx

c.

xy

yx

y

x

322

322 d.

2

12

2 yx

yxyx

e.

2

)cos(3

2

)( 2

yx

yxyx

e.

1)(2

12

22

)cos(

yx

yx


myx

mxyxyyx

22

))((33

a. Giải hệ phương trình với m = 8.

b. Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm


mymxx

xyyx

342

22

22




a. Giải hệ phương trình với m = –1.

b. Tìm m để hệ phương trình trên có hai cặp nghiệm phân biệt


xmy

ymx

y

x

33

33

a. Giải hệ phương trình với m = 1.

b. Tìm m để hệ phương trình trên vô nghiệm


a.

yyy

yx

x 813).122(

3log

2

3

b.

33

2

14

9log

1

yx

y

x

c.

3

2loglog12log

2

3loglog3log

333

222

yyxx

xyyx

d.

1loglog

4

44

loglog 88

yx

yxxy

e.

1log)4224(log)1(log

)3(log1)2(log)(log

4

2

44

44

22

4

y

xxyyxy

yxxyx


a.

1lg6

3lg2

yx

yx b.

3lg4lg

lglg

)3()4(

43

yx

yx

c.

4)53(log).53(log

4)53(log)53(log

xyyx

xyyx

yx

yx

d.

)(log1)(log

324

33 yxyx

x

y

y

x

e.

4)21(log)21(log

4)21(log)21(log

11

2

1

2

1

xy

xxyy

yx

yx

f.

1

)1)(log(log

22

22

yx

xyxyee yx

g.

1)1(log

1)(log

2

2

yxxy

yxyx

yx

h.

16

)2)(log(log

33

22

yx

xyxyyx i.

)cos3(log3coslog

)cos3(log3sinlog

32

32

xy

yx





my

x

yx

lg

1lglg 22


b. Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.


a.

xy

yx

32

32

log13log

log13log b.

xy

yx

2

2

log

1)1(log

Bài 13: Cho hệ phương trình

)224(log)4228(log

1)3(log

22

2

22

2

3

22 mmxymmyx

yxyx

yx


b. Xác định m để hệ có 2 nghiệm phân biệt (x1, y1) và (x2, y2) thỏa :

133 2

2

2

1

2

2

2

1 yyxx


02)2(

lnln

2 yxmx

xyyx


b. Xác định m để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt

Bài 15: Giải hệ phương trình :

2)21(log)21(log

4)21(log)21(log

11

2

1

2

1

xy

xxyy

yx

yx (ĐH Quốc gia TPHCM năm 1997)


)(log1)(log

324

33 yxyx

x

y

y

x

(Học viện công nghệ bưu chính viễn thông 1999)


16

)2)(log(log

33

22

yx

xyxyyx (ĐH ngoại thương 1999)

Bài 18: B – 2002 : Giải bất phương trình: 3log log 9 72 1x

x

Bài 19: A - 2006 Giải phương trình: 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x

Bài 20: B – 2006 : Giải bất phương trình: 2

5 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1x x




Bài 21: D – 2006: Giải phương trình: 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x

Bài 22: A – 2007 : Giải bất phương trình: 3 1

3

2log 4 3 log 2 3 2x x

Bài 23: D – 2007: Giải phương trình: 2 2

1log 4 15.2 27 2log 0

4.2 3

x x

x

Bài 24: B – 2008 : Giải bất phương trình: 2

0,7 6log log 04

x x

x

Bài 25: B – 2007: Giải phương trình: 2 1 2 1 2 2 0x x

Bài 26: A – 2008: Giải phương trình: 2 2

2 1 1log (2 1) log (2 1) 4x xx x x

Bài 27: D – 2008: Giải bất phương trình: 2

1

2

3 2log 0

x x

x

Bài 28: A – 2010: Giải hệ phương trình: 2 2

2 2

2 2log ( ) 1 log ( )

3 81x xy y

x y xy

Bài 29: B – 2010: Giải hệ phương trình: 2

2

log (3 1)

4 2 3x x

y x

y

Bài 30: D – 2010: Giải hệ phương trình:

2

2 2

4 2 0

2log 2 log 0

x x y

x y

Bài 31: D - 2011 : Giải phương trình: 2

2 1

2

log (8 ) log 1 1 2 0x x x

Bài 32: B – 2013: Giải hệ phương trình: 2

3 3

2 4 1

2log ( 1) log ( 1) 0

x y x

x y

Bài 33: D – 2013: Giải phương trình: 2 1 2

2

12log log 1 log 2 2

2x x x x

Bài 34: D – 2014: Giải phương trình: 2 4log ( 1) 2log (3 2) 2 0x x

Bài 35: THPTQG - 2015: Giải phương trình: 2

2log ( 2) 3x x


Education

HÀM SỐ MŨ & LOGARIT