PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC - NGUYỄN PHÚ KHÁNH

8/9/2019 PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PH…

1/320

NGUYEN PHÚ KHÁNH

PHÂN DẠNG VÀ PHƯdNG PHÂP GIẢI

CÁ C CHUYÊN ĐỂ

GIẢI TÍCH 12- BIỄN SOẠN THEO CHƯỜNG TRÌNH MỚI

- LUYỆN THI CÁC KỶ THI ouửc GIA

o T Ậ P 2: HÀM SỐ MŨ - LOGARITTÍCH PHÂN - SỐ PHỨC

;•••[ THỰ VIỆN BÌNHẼĨNK ị

1 'PMỒỸ^y- M Ư Ơ N I !

i. V V . ...

NHÀ XUẤT BẰN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/320

NHÒ XUấT SỒN ĐỌI HỌC QUỐC GIA HÒ NỘI

16 Hàn g Chuối - Hai Bà T Irưng - Hà Nội

Điên thoai: Biên tâp-C hế bản: (04) 39714896:

Hành chinh: (04V 39714899: Tổng b iên tập: (04) 397148 97

Fax: (04) 39714899

Chịu trá ch nhiệm, xu ất bản

Giám dốc: PHÙNG Quốc BẢO

Tổng biên tập: PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: NGỌC LẨM

Trình bày bìa: VÕ THỊ THỪA

Đổi tác liên kết xuất bản:

NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

SÁCH LIÊN KẾT

PHẦNỊ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỂ GIẢI TÍCH 12 - TẬP 2

Mã số; 1L-107ĐH2012

In 2.0Ó0 cuốn, Khổ 17 X 24cm tại Công ti Cổ phần Văn hóa Văn Lang.

Số xuạt bản: 377-2012/CXB/04-58/ĐHQGHN, ngày 30/3/201.2,Quy ết Ịdịnh xuất b àn số: 11 1LK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN.In xong vả nộp lưu chiểu quý II năm 2012.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/320

ỉ M ỏ i Ỡ ÍỈÙ

Các em học sinh thần mên!

Trong chựơng trình môn toán lớp 12, nội dung kiên thức chiêm một ti trọng

rất lớn trong đề thi. Để giúp các em học sinh nắm đưọc các phần kiến thức trọng tâm, các dạng toán từ cơ bản đên nâng cao. Tác giả bịên soạn bộ sách tham khảo

Phân dạng vặ phương pháp giải các chuyên đề lớp 12 gồm Hình học 12 "1 tập" và Giải

tích 12 "2 tập".

Bộ sách này được biên soạn theo nội dung chuẩn kiến thức, kĩ năng. Trong

sách được trình bày từng vân đề, tương ứng từng chương, bài gần giôítg sách giáo

khoa và cẩu trúc đẽ thi của Bộ ỊỊÌắo đục và Đào tạo để bạn đọc tiện tham khảo. Mỗi

vân để sẽ có:

Tóm tắt các kiên thức lí thuyết cơ bản.

Lời giải chi tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa.

- Các bài tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn chi tiết hoặc đáp sô'.

Tác giả chủ trương tránh đưa vào sách những phần lý thuyết nặng nề và ít sử

dụng. Mỗi ví dụ, lời giải lại cỏ nhận định sâu sắc, kèm theo lời bình khiến người

đọc tậm đắc và sẽ có tư duy sảng tạo riêng của mình khi gặp những câu hòi khó,

bài toán khó lạ khác.

Phần hoạt động được tác giả biên soạn tấ t công phu và tập hợp nhiều dạng

toán háy, mới mẻ. Giúp người học không chi có thể thử sức những bài toán rèn

luyện tư duy, mà còn giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa, tường chừng

không thệ nào giải nổi. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải được dựa trên ’

nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản. Tác giả hi vọng, khi gặp một đề thi khó, lạ

người học sẽ không còn rigại ngùng trong việc đưa ra lời giải cho mỗi bài toán.

Cuối mỗi b.àí học là phẩn bài tập tự luyện, đa sô' là những bài toán đã xuầ't

hiện trong kì thi Đại học và kì thi học sinh giỏi. Cuôn sách là sự kế thừa những

hiểu biết chuyên môn vâ kinh nghiệm của chính tác giả trong quá trình trực tiếp

đựng lớp bổi dưỡng.Tác giả hi vọng, người học cẩn phải nắm kĩ kiên thức căn

bản trựớc khi tham gia bài tập tự luyện.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/320

em học sinh sẽ vững tín bước vào kỳ thi Đại học sắp tơi. Sinh viên sư phạm và

Thầỹ cô sẽ có thêm nhiều đề tài để tham khảo. I

PHAN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12

chia thành hai tập:Tập 1: ỨNG DỰNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

Tệp 2: HÀM SỐ MŨ - LOGARIT - TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC.

Tập 2: Sách chia làm 11 phẩn :

1. Lũy thừa, logarit.

2. Hàm SỐ lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. !

3. Phương trình, bâ't phương trình mũ.

4. Phương trình, bất phương trình logarit.

5. Hệ phương trình, bâ't phưcmg trình mũ, logarit.

6. Nguyên hàm.

7. Tích phân.

8. ứng dụng tích phân.

9. Sô' phức.

1 10. Căn bậc hai cùa sô' phức và phương trình bậc hai.

11. Dạng lượng giác của sô' phức và ứng dụng.

Trong sách, tác giả không chỉ đề cập phần khảp sát - vẽ đồ thị hàm sô' và vân

đề liên quan hàm số, mà còn T ấ t chú trọng đên ứng dụng đạo hàm trong việc giải

phương trình, hệ phương trình, bâ't phưcmg trình, hệ bất phương trình và những

bài toán khó như: tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhâ't, chứng minh bâìt đẳng thức. Đây

là điểm nhấn mà các sách tham khảo cùng loại chưa đề cập nhiều. Tác giả cũng

trích những dạng toán thường gặp qua các kì kiểm tra của trường THPT và đề thi

Đại học những hăm vừa qua để bạn đọc tham khảo.

Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuôh sách, song sự sai sót là điều

khó tránh khỏi. Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu

của quý độc giả để những lẩn tái bản sau cuôln sách được hoàn thiện hơn.

Tác giả

NGUYỄN PHÚ KHÁNH



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/320

CHUYÊN ĐỂ IIHÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ

VÀ HÀM SỐ LOGARIT.

Trong chuyên đề này cung câ'p kiên thức cơ bản về hàm sô' mũ và logarit.

Giúp học sinh nắm được phép tính lũy thừa, logarit, tính chất của hàm số lũy

thừa, hàm sô' mũ và hàm số logarit. Tác giả chú trọng phương pháp giải phương

trình mũ, phương trình logạrit, giải hệ phương trình, bất phương trình mũ và

logarit. Tác giả chú trọng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương

trình mũ và logarit.

Một số lun ý khi sử dụng chuyên đề:

1. Không xét các phương trình và bất phương trình chứa tham số.

2. Không xẹt các phương trình và bất phương trình mũ màẩn có mặt đổngthời cả cơ số lẫn sô' mũ.

3. Không xét các phương trình và bâỊt phương trình logarit mà ẩn có mặt

đổng thời cả cơ sô' lẫn trọng biểu thức lây logarit.

Nội dung của chuyên đề gổm:

1. Lũy thừa, logarit.

2. Hàm sô' lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.

3. Phương trình, bất phương trình mũ.4. Phương trình, bâ't phương trinh logarit.

5. Hệ phương trình, hệ bất phương trinh mũ và logarit.

A. CHUẨN KIẾN THỨC, k ĩ NĂNG CẦN ĐẠT.

1. Kiến thức:- Nắm được lũy thừa từ một sô' từ số, mũ nguyên dương đêh sô' mũ nguyên

và số mũ hữu tỉ thong qua căn số.

- Nắm được Iogarit theo cơ số dương khác phép toán nâng lên lũy thừa và đổi cơ số của Iogarit . ■ ■ ■ ■ ■ .

2. Kĩ năng:

- Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính châ't của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

LŨY THỪA - LOGARIT

5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/320

B. Lí THUYẾT GIÁO KHOA.1. Lũy thừa với số mũ nguyên:

a. Bịnh nghĩa: c ho n là số nguyên dưong và số thực a . Khi đó:

* a"=a.a...a (tíchn sô a).

* a° = 1 với mọi a & 0 .1

* a " = —— vói mọi a ^ O .an

Gfei cfeú:

* Với n < 0 thì an có nghĩa • » a 0

* Với Va?*0 thì an =-— a 'n

b. Các tính chất v ề đằng thức:

Với hai sô'thực a ,b * 0 và m,n là các số nguyên ta luôn có:

1. a”a” =a ”*" 2. — =a ”-" 3, (a” )"=a™

4. (ab)” =a"b" ị ? ị ’ . ỉ ' l b - 0 )

c. Các tính chất vẽbất dẳng thức

* Cho m,n là các sô' nguyên dương, ta có:

+ Với a > l thì am> an o m > n

+ V ớ i O < a < l thì am> a n « m < n

Nhận xét: Với a > 0 thì am= a" o m = n

* Cho 0


7/320

3. ̂ = ( $ ĩ )p 4 .

5. N êu P = í t h ì ^ = ̂ ( a > 0 ) n m

3. Lũy thừa với sọ mũ hữii t i.

a. Định nghĩa: Cho sô'thực a > 0 và sô'hữu tì r = — (m ,n là hai số nguyên

’ n — I — :■

n> 0 ) .Khiđó a r= a n = ự a m.

Chú ý : Lũy thừa sô' mũ hữu tỉ chi được định nghĩa cho sô' thực dương.b. Tính chãi: Lủy thừa với số mũ hữu ti cỏ đầy đủ các tính châ't như lũy thừa

với số mũ nguyên.4. Lũy thừạ với số mũ thực

à. Định nghĩa: Cho sô' thực dương a và a là số vô tỉ. Khi đó tổn tại dãy số

hữu ti (rn) có giới hạn á và aa = lim a1” .n-»-K»

b. Tính chãt: Lũy thừa với số mũ thực có đây đủ các tính châ't như lũy thừa với sô' mũ nguyên. Lưu ý:

• Lũy thừa với sô' mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không• Lũy thừa với số mũ hữu ti và số thực thì cơ sô' dương.

5. Logarit.

a) Định nghĩa: Cho a > 0,a * l,b > 0 thì loga b = a o a“ = b .

Đặc biệt: loga b = a o aa = b lgb = a o l O a = b lnb = a o e “ = b

b) Tính chất:.

• logal = 0 logaa = l atogatt= a lóga

• Iogab° = a lo g ab Ỉ0ga(x1x2) = l0gaxi + l0gax2

• logaab = - lo g ab loga^ = Iogax1- log ax2

■ , i' ■ ■ •'■ XzĐặc biệt:

lo g a -^ lo g ^ - lo g - .b ỉoga >/b = —loga b loga b = ^ ^ b i ị n logca

• a > 1 => loga b > loga c o b > c > 0

• 0 < a lo gab > logac o f l < b < c .

G. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỂ .1. Tính giá trị biểu thức, rút gọn.2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




8/320

o C H Ủ Đ Ề 1TÍNH GIÁ TRỊ BlỂ ư THỨC-RÚT GỌN.

□ Các ví dụ minh ho ạ:Ví dụ 1.1.1 Rút gọn biểu thức sau:

-s/ã -V b Va + %/abA =

yfa-yfb t fa+tfb

Lời g iả i.

tí ã - tỉ b yíã + yỊb

B = ( ^ / ? - & b + Vbĩ - & b ) : ( ^ - 3 / b ) 2 ' l j :

B = Ị ^ ĩ - 2 ^ b + Vbĩ ) : ( ^ - l / b ) 2 = ( ^ - ^ ) 2 : (^ - ^ / b ) 2=;l.

Ví dụ 2.1.1 Tính giá trị của biểu thức :

A = ̂ i Ị 3^ _ loggS B = logi (log38.1.og23) - iog 2510 + i o g ỉ ~ logls3 log405 5 + v2f 2

Lời giả i.

A = toga.135 _ Ị ° ẵ l L = iog3135.]0g315 _ ]0g3 5,iogs 405

logls 3 log405 5Á = log3 (5 .27).log315 - log3 5.1og3 (27.15)

= (log3 5 + 3) log315 - log3 5(3 + log315)

A = 3(log315 - log3 5) = 3.1og3 Y = 3

B = logr 2 (31og3 2.1og23 )-l o g 5210 + ìl o g ^ ! I

2 2

5

= ” log33 - ^ logs 10 + logs^ = 2 2 *°8s ^ ‘ 21 1, 3

Ví dụ 3.1.1

1. Tính log36 24, biết log12 27 = a .

2. Tính log2415 theo a,b , biết log25 = a, logs 3 = b.

3. Tính log2S24 theo a,b,biết log615 = a, log121 8 - b .

4 .Tính log126150 theo a,b,c,biê't log23 = a, log35 = b, logs 7 = c.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/320

1. a = log1227 = 31og123 =

3 —aSuy ra log32 = —— và log23 = -

2a ~

Lời giải.3 3 3

log31 2 _ log3(22.3) ~ 21og32 + l

, , _ 2a■og23 = ,

3 - a

Ta CÓ: log36 24 = log36 (23.3) - 31og362+ log36 3

________ . . . , i o _ 1 _ 1 1 3 _ a ÌHơn nữa logo,; 2 = —— ——= --------- — ------------------------- — = -- — valog236 21og26 2 (l+ lo g 23) 6 + 2a

, 1 1 1 2a

log336 2 Iog3 0 2 (l + log32) 6 + 2a

Vậy, log36 24 = 3 log36 2 + log36 3 =6 + 2a

1 12 .lo g 2415 = log24 3 + log24 5 = — ~ -

log324 logs 24

1 1 — —------ ------- h — ------ ——............■

31og32 + l 31og52 + log53

1 1 1Hơn nữa log3 2 = log3s.logg 2 = —— .7- ^ - = -7 ;

logs3 log25 ab

a (l + b)

Vậy, log2415 = - — ■£ ■3 + ab

3. log25 24 = ^ (3 log5 2 + log5 3) = ỉ( 3 x + y ) với x = logs 2, y = 1°g s 3

a = log615 = log63 + logé 5 =

b = log1218 = log12 2 + 21og12 3 =

1 1 y + 1

1 + 1 ^ 5 2 + logs2 + log53 _ X+ y

logs 3

1 1 _ x + 2y

2 + l o g s 3 + i I 2 l 0 g s 2 ~ 2 x + yl o g s 2 l o S s 3

b - 2 1—2bSuy ra X = ------------------. y = - — -------- -----

2 b - a - a b - l 2 b - a - a b - l

Vây, log25 24 = -------- — ^ ------.&25 4 b -2 a -2 a b -2

4. log126150 = log126 2 + log126 3 + log126 5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/320

1 1 1 1= .. —- — ----- ị-------------------1--------as ■ ...... ■ ’■ ' +

log2126 log3126 logs 126 log22 + 2log23 + log27

1 1+ ......... . _ + — ............. .. Iog3 2 + 21og33 + log3 7 log52 + 21og53 + Iog57

1 1Từ giả thiết suy ra: log32 = ——— = —, logz7 = log23.1og35.1ogs7 = abc .

log23 a

1 1 1lữg3 7 = log3 5.1ogs 7 = be, logs3 = 7 e = u '■loê s 2 = loểs 3-logs 2 =

5 b ■ 3D

1 - rn 1 + a+ ab Vậy- logi26150=7-r

1 + 2a + abc

o C H Ủ Đ Ề 2 ____ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC - BẤT ĐẢn G t h ứ c .

□ Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1.2.1 So sánh:

1 . , 2 1- l o S 3 ^ v à l o § 2 | - 2. log2 3 và log3 4

Lời giả i.

1 1 . 1 . 1 1

- ĩ 1 2M , = > l '> g 3 - p > l0 g ! Ì1 2 2 1 1 V2 3

> - => log2 - < log2 —j= = log, 2 2 = - i 4 Ĩ 3 2 3 62 V2 2 2

2. A/]og32.1og34 < i( lo g 3 2 + log3 4) = ìl o g 3 8 < ỉ lo g 3 9 = 1 ( theo Cô Si)

=> log3 2.Iog3 4 < 1 log3 4 < —Ị — = log2 3 ________ Iog32

Ví dụi 2.2.1 Chứng minh rằng:

1. Với x2 + 4 y 2 =12 xy ta luôn có: ln(x + 2 y )-2 In 2 = —(lnx + ln y ).

2. Với mọi sô' thực X, ta có: logj2

1 1• + '

2 X — 2l-x

m



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/320


12/320

=> MinF = 8 a = b = c = d = — 2

Các hoạt động cơ bản :□ Hoạt động ỉ: Rút gọn biểu thức sau:

A = W b ± yã +slb

c = ] j ị x n + y n j 2 - ị ^ x y )

B =

D =

23.2_1 +5-3.5410"3:10“2 -(0,25)°

l í 4 l ia3la 3 +a3 j

E=

I 7 _ ỉ 5

X3 -X 3 X 3 -^x31 4 2 - 1

x 3 _ x 3 x 3 + x 3

F = | ^ ( x 2- l ) ( x + l ) 3X + 3x+ 2

yỊx2 + 2x + l

G =

11-«-—( 2 X - 2 ~ x ) 2 - 1

l + i ( 2 x -2 " x)z + l

□ Hoạt động 2: Thực hiện các phép tính sau:

^ . \-0 ,2S / . 4A __ í ì í I

A = (32) - — + —-v ' 1,64 J \2 7 J

, 2 x(75+2 )^ -2 )4 / 25.ỵ i | / 2 n8 ì 2

B = U J ~ u J + U J

_1 _ 2 ■2

c = 0,001 ? -(-2 ) 2.643 -8 3 +(9°)

D = [ - - ] -625°'25-Ị^2-j Ì + 19(-3)'3

□ Hoạt động 3: Tính giá trị của biểu thức:

A = Ụ ĩ )l0g79 - logg 270 + log9 10 B = log (0 ,2) + lo 1"’83 - 3

c = alga + a2log ,10 — --------- — lga loga 10

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/320

D =lg (5 -2 V ẽ) 20 +lg(V4 9 + 20V6 j

41nVe + 51n(e3Js/e)

C_I 1 , , 128~ 3̂ 27 27 ^ 3̂ 2 ;

25logs6 + 49log?8 - 3G = gl+ log94 +/98

^ 4 log2 3 4- 4 9 * ° B 7 4D =31og2(]og416) + logi 2

F= log2 - Zlog, 2 7 « + ^ ’l5

2

G = 8 1 logs3 + 27 log3&+ 33l°889 - e ln2 + Ị03lg2r — 42+log23

H = log2 4 ^ 1 6 - 2 ^ ! 27^/3 +

1=

&2 & 1 log92- log i 5

3 3 2

71n(3 + 2V2)-641n(>/2 + l)- 5 0 1 n (V 2 -l) + 2

Igl2 5'1-lg0.8 + 61g^04+41g50



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/320

□ Hoạt động 5:

2Ĩã1 . Tính ]ogab , biết Iogaba = 4.

2. Tính log 2 3 biết loga (a2b3) = 1.a âb v '

3. Tính log301350 theo a,b . Biết log303 = a,log305 = b .■ 4 V

4 .Tính log5-y=== thẹo a ,b.Biết logs 2 = a,log s 3 = b.

5. Biết log6 15 = a; log1218 = b. Tính log2S24 theo a,b

6. Biết a = log23; b = log37.Tính log2414 theo a,b.


1. Đặt a = log2 5; b = log3 5, Tứih theo a ,b , biết:

A = lo g13, 8 1 - 3 1 o g ” J L ử ẫ vĩõõ 125 log8 27 i

2. Đặt Iog2 a = m,log2 b = n. Tính giá trị các biểu thừcsạu theo m,n:

3. Tìm m,n để các biêu thức sau không phụ thuộc vàọ a,b > 0

4. Với giá trị nào của x,y thì các biểu thức sau không đổi với a,b > 0.

A = 2xlog2( ^ . ự ^ ) - 3 y l o g 32- Ì IL - l o g 2a

Bị=y Iog3̂ (a>/b^)- 4xlog27 (81/\/ãb* )-61og3 Vãb ..

□ Hoạt động 7: So sánh

1. logr l 2 + log2| + 4 và log37 + log73 ị

A = ]o g V ỗ ^ b ĩ - 4 1 o g 0.125^ £ =

\í aáb

í h2 VB = m log7 Ị 49a6.\/b Ị ~ 3n log7 ỹ̂ —- - +log7yỉãb



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




15/320

2. logn+1(n + 2) và logn(n + l ) , n > 2 .


1. Cho a = yjx2 + ̂ /xỹ^ + yịy2 +y j y4x2 . Chứng minh rằng:

2. Chó các số thực a,b,c > 2. Chứng minh bâ't đẳng thức:

log^c a2 + Iogc+a b2 + loga+b c2 > 3

□ Hoạt động 9:1. Gọi c là cạnh huyên, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông,

trọng đó c ± b # 1, a 9* 1. Chứng minh rằng:

logc+b a + logc_b a = 21ogc+b a.logc_b a .

2. Cho a,b > 0 thỏa mãri a2 + b2 = 7 ab . Chứng mữiỊ\ rằng:

log2012 = 2 0°g2012 a + loỗ2012 b) •

3. Cho logabc20 12 = loga 2Q12 + logb2012+lo gc201 2. Chứng minh rằng: trong

ba sô' a,b ,c luôn tổn tại một sốnhỏ hcm 1.

4. Cho a,b > 0 thỏa mãn a2 + b2 = 14 ab. Chứng minh rằng:

*°S2012 4 = 2 0 O&2012 a + ^°S2012 b) •


Cho các sô' thực X, y thaỵ đổi. Tìm giá trị nhỏ nhâ't của biểu thức:

8X+ 8y + 7(2x+2y +

V4x+Zy + 4 y+Zx

HƯỚNG DẪN GIẢI CẨC HOẠT ĐỘNG.■ ________ ■ Hoạt động 1:

c = ■J\2n + y 2n + 2x"yn- 4 x ny n = y]x2* + y z* -2 x 'ty* = Ậ x * - y nf = Ịx* - y"I

4 1 4 2

_ _ a3.a 3 + a 3.a^ _ a 1 + ạ 2 _ a (a + l ) _

" - - - ỉ a + 1 a + 1a4 .a4 + a 4.a 4

Hoạt động 3:1 2

A = 72l0S73 - (log 9 270 - log910) = 7log73 - log32 33 = 3 - 1 = I



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/320

B = log 15 '1 + - ^ j - - . 5 ' logs3 = - 2 + — - - 3*1 = — ị 10lg3 5 3 5 15 ■i.

c = alga + -^— - ^ - - a l g a = 0 ! ;lga lga I

lg(5 -2v/6 )20 +lg(5 + 2V6)20 lg [ ( 5 - 2 ^ ) ( 5 + 2>/6)]20 lg lD= J — = ■— 2 + 16 ~ ~ ~ = 18

4Ine2+51ne 5

E4 ( _ 3 ) - 2 . i . S U - Z ” .8 ' 3 3 72Iog72 | logn 3

_ log7 6 logn 6 2(log6 2 + log6 3) 21og6 6 2

3, _ ■ , ~ 3 3 3 '~lo g2 3.1og32

Hoạt động 5:

2 . 7 6 15

)ể ý : 13 50 = 32.5.30

log301350 = log30 32.5.30 = log30 32 + log30 5 + log30 30 = 2a + b + 1 .

4 R ( ỉ -I M5 J 1

0 g s V Ĩ 5 0 g s 2 ị3 * '5_ i f l 0 g s 2 i + l 0 g s 3 "2 + l 0 g s 5 5

5 1, 1 5 a - b - l= - a - - b - - = ------ — .

2 2 2 2, ^ lo g ,24 3 + log235. Ta CÓ: log25 24 = —— — = ----------------------------------------— -------

625 log225 21og25

flog215 = alog26 [(l - a )log2 3 + log2 5 = aTừ giả thiet ■=> < ,

6 [log218 = blog212 (( 2 -b )lo g23 + l = 2b

Í, o 2 b -1

log23 = - e —1 r _ u2 b =>log 24 = ____ J 5 a b + a - 2 b - fl 25 2 ( a b + a - 2 b + l )

gz - 2 -b

=>

6 .T a c ó :l o g 241 4 = Ị H ẵ ỉ 2 i = Ì i M Zlog2 24 3 + log23

Mặt khác: ab = log2 3.1og3 7 = log2 7 => log2414 = 1 ^-ab3 + a

16



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/320

Hoạt động 6:

3. A = 3m(logsa5 + log5b*) + ̂ ( ĩo g 5a-10 - log5b*)+ logsa " ỉo8sb

= 3m( f logs a + f loSs b j + Y -101og5 a - | l o g 5bj + logs a - log5 b

_ ( 9m . A f3m 12n A ,= | ^ i _ 4 n + lJlog5a + ̂ i - ^ - l J l o g 5b

-4 n + l = 0 m = — => A không phụ thuộc vậo a,b't> '| _■* . _ » • ^

2 ) V5

=> B không phụ thuộc vào a,b o

Hoạt động 8:

6m + 12n+—= 0 m = —2

m 1 — - 4n + —= 0 n = -

5 2

3329

264 D i.Hoạt động 8:

2. Bẩt đẳng thức đã cho trở thành: —--°^2 3— + —Ì2ẵ2-k— + —-°^ 2 c— _ > 3 (* \log2(b + c) log2(c + a) Iog2(a + b)

1 1Vì a,b,c>2 nên —+ —3 ; x, y, z> l . y+z Z+X x+y

Thật vậy, - - - - + +.— z - > 3 o ( 2 x + 2y + 2z)y + z z + x X+y

1 1 1

x + y y + z Z + X> 9 .

THƯ VIỆN BÌNH ĐỊNH



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/320

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho v ế trái, ta được điều phải chứng minh.

f x , y , z ằ lĐăng thức xảy ra khi í tức a = b = c = 2.

[x = y = 2 Hoạt động 9:

I. Từ giả thiết, ta có : a2 + b2 = c2 a2 = (c + b )( c -b )

=> loga a2 = loga (c + b)(c - b) 2 = loga (c + b) + Ioga (c - b)1 1

=>2 = -— - — - + -— ----- 0 , b > 0 )

^ l°g20i2 ̂ = >og20iz >/ãb = |( lo g 20i2 a + log20i2 b)3. Giả sử cả ba số đều lónhơn 1=> log2012a,log2012b,log2012C>0

1 1 1 9=>logabc201 2 = — --------+ —— -̂-- + — ----- > —— - — ■-

Ôê 2012a ^°§2012 ̂ ÔỄ2012C ^82012 a *̂c^ l o g abc201 2>91ogabc2012Ịogabc2 0 1 2 < 0 = > a b c < l vô lí.

4 .T a c ó : Ị^ ~ = a b ^ lo g 2012̂ p = ỉ( lo g 2012a + log2012b).

Hoạt động 10:a3 + b3 +7(ab2 + ba2)

Đặt a =2 *,b = 2y với a > 0 ,b > 0 . Khi đ ó : p = ----- ------ T=L==----- í-abva + b

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cả tử và mẫu

a3 +b3 + 7^ab2 -t-ba2Ị = (a + b)Z a + b + - ^ - j > 4 ( a + b)2>/ãb.

ab V ^T b5"= ̂ y ^ 2 a b (a 2 + b2) <

Suy ra p > 8^ 2 . Vậy, min p = 8^ 2 , khi a = b tức X = y .

D. BÀI TẬP T ự LUYỆN.Bài tập 1:

1. Gho a,b,x>0; b ,x * l thỏa mãn: lòg„ — = logv Vã + — -—- .Ị . 3 logbx2

18



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/320

„ 2a2 +3a b+ b2 ,Tính giá trị của biểu thức: p = ------- --- — ì — khi a > b.

(a + 2b)

Bài tập 2:

1. Tìm các sô' thực a,b thỏa mãn đổng thời hai điều kiện sau:

Í2a+3b = 21 Í2az +5ab +2b2 —3 = 0

a‘ [2 1 g (a -3 b )-lg 4 = lga + lgb ■|lo g 3(a + 2b) + 21og3(b+ 2a ) = 5

Bài tập 3:

Chứng minh các đẳng thức sau vói điều kiện các biểu thức luôn tổn tại.

1. (log£ a ị 2 log* a + logb a )( loga b - logab b) - logb a = 1

„ 21og2 2az + 2log2̂ log2Zil̂ .lo g 2 a + log* a* - 2 6 a

Iog2 2a 2

, 1 1 1 /3. ----------4--————K..H----- ---- = 1,log2 n! log3n! log„n!

„ , \ logab + log X4. log (bx) = - ; a - 63

l + logaX

, , ■> . „ n (n - l )5. logjja + log a +... + log an ^ — L

21ogax

Bài tập4: Chứng minh rằng:

1. Vói a,b,c > 0,abc * 0 luôn có :

log a d .Iog b d + log b d . lo gc d + lpgc d loga d .= -° g-? d-l0gfr dj logc dỉogabcd

2. Với 0 < x1>x2,...xn 5* 1 luôn có :

a. logXl x2 logX2 x3 logX3x4....logXn l xn logXn Xj = 1

b - l ° S x 1X2~xn a - Ị ~ J l

l°gxaa ỉogX2a “ logXna

Bài tập 5:

1. Cho a,b ,c > 0 theo thứ tự là ba số hạng liên tiêp của một câp số nhân. Chứng

minh rằng: 31 og2 a + 2 log^- c = l o g b3.

2. Cho a, b, c ,x > 0 ; x * l . Chứng minh rằng: logx a, logx b, logxc theo thứ tự lập

thành cấp SỐ cộng khi và chỉ khi a,b,c theo thứ tự là cap số nhân.

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/320

3. Chứng minh rằng: nếu logx a.logy b,logz c theo thứ tự lập thành cấp sô' nhân,

ta luôn có: iogb y = 2lQgạx-lo8ẹz_ 0 < a .b ,c ,x ,y ,z * l. b logax + logcz

4. Chứng minh rằng: nêìi 0 < N * 1 và a,b,c theo thứ tự lập thành cấp sp nhân,

log, N lo g ,N -lo g hN „ ,ta luôn có : 7 - " - = 7 " 7 V M’ 0 < a .b. c * l .logcN logbN-logcN

5. Gho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác AABC với 0 < c - b * l và c + b ^ l .

Chứng minh logc+b.a + logc_ba = 21ogc+balogc_ba AABC vuông tại c .

Bài tập 6: Cho các số thực à,b > 1 . Chứng minh rằng:

1. V t a l+ V t a b ^ ln — 2. alogbC+ blt>8ca + cl08ab > 3\/ãbc

- r.------- n-----r [, a + b3. > g 2 a + > g 2 b < 2 J log

E. HƯỚNG DẪN GIẢI. Bài tập 1:

a + 2ba + 2b . /—r~ r a "*■ _ ul- lo g x- ^ = l o g xV a b o | ^ p =ab

az -5ab +4 bz = 0 o a = 4 b (dọ a> b) =>p =29

36'

Bài tập 2:1.a. a> 3b >0 . Ta có:

2 lg (a -3 b )- lg 4 = lga +log blg(a -3b) 2 = lg(4ab) (a -3 b)2 = 4ab

Í2a + 3b = 21 Í2a+3b = 21 Ja = 9

ẹ : | a 2 - lOab+ 9b2 = 0 ° Ị ( a - b ) (a - 9 b )= 0 ^ \ b ==1'

4373

Ta có hệ

a + 2b - 3b. r o2a + b = 3

a =

b = -

812185

81ii tập 3:

(log* a + 21ogba + l ) ( l - l o g ba.logabb) -lo g ba' ,

^ 1 'ì 2- logba=( logba+l )=(logba + l ) 1 -

!ogaab,1 —

l + logab-logba

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/320

= (logb a + 1)2.[ 1 - - i 0i .ba- i - logb a = logb a +1 - logb a =1^ logba + i; I

2 2i 41ogza + 2(1liggzg jjggi.a + 41o§2a - 2 = 6 j alog’ 2a ■" g2 Ỉ

3. Iogn! 2 + Iogn! 3 +... + Iogn! n - logn! (2.3...n) = 1

4.logaax l + logax

5. logx a + Iogx a2 +... + logx an

1 2 n1 + 2 + .., + n n(n 1)= ---------+ ---- + ---------- ----- = -----:----— ------- = — ---------

logax logax logax logax 21ogax

Bài tập 5:

1.Ta có:31og2a + 21og^c = log^b3

Iog2 a3 + log2 c3 = log2 b6 c> a3c3 = b6 •» ac = b2.

2. logx a + logx c = 21ogx b logx ac = logx b2 ac = b2.

5. iogc+b a + logc_b a =2 iogc+b a logc_b a

1 1 2 ___________

loga(b + c) loga(c-b )~ log ,(c+ b ).lo g a(c -b )

o lga (b + c) + loga ( c -b ) = 2 0 log, (c2 - b2 ) = 2o c2 - b2 = a2 o c2 = a2 + b2 o AABC vuông tại c .

Bài tập 6:

1. + > / ĩ^ á • y /Ì Ợ n ã ĩĩ ĩ^ = >/ 2Ĩ r ^< j = 21j ì r ĩ ^

Đẳng thức xảy ra o a - b .

2. Ta có: alogbC= clogba =>a‘°8bC+ clogab = clogba + clogab > 2Vclogba+,ogab > 2c

Tương tự: alogbC+ bIogca > 2a; blogca + clogab > 2b

Cộng ba BĐT trên lại với nhau, ta có:

alogbC+ blogca + cloga b >a + b + c > 3 ^ . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/320

HÀM số LŨY THỪA - HÀM số MŨ

§ 2- - HÀM SỔ LOGARITA. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẨN ĐẠT.

1! Kiến thức:

- Nắm được tính châ't của hàm số mũ, hàm số logarit, công thức đạo hàm củahai hàm số trên.2. Kĩ năng:

- Vận dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit.Bí LÝ THUYET GIÁO KHOA.

1. Hàm số lũy thừa

a j Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y = xa , a e ®

b. Tính chất:

I* Tập xác định:• Nếu a là số nguyên dương thì tập xác định là M

• Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định là R \ {o}

• Nếu a không là sô'nguyên thì tập xác định là (0;+oo)

* Đạo hàm : Ịx“ j' = a.x a_1 từ đó suy ra:Ị(u(x))a j' = au '(x ). (u (x ))a 1

Đặc biệt:(\ZxV = —- i = và (í /u(x )\ ' = — J x=::r - .1 ’ n . ^ [SI K n - ^ Õ Õ

* Tứih đơn điệu: Hàm đổng biên trên (0;+oo) nếu a > 0 và nghịch biên trên

(Oi+oo) nếu a 0 gọi là cơ số.

b. Tính chất:* Tập xác định: K * Giới hạn - đạo hàm

f l Ỵ ex - 1* Giới hạn: lim 1 + — = e và lim----- — = 1.*->0̂ X ) x->0 X

® Đạohàm: Ịax)' = ax ln a . Từ đó suy ra: (a uỊ'=-u'aulna

Đặc biệt: (exỊ' = ex và ^euj’ = u'.eu.

* ỊTính đơn điệu: a > 1 thi hàm đổng biên, nếu 0


23/320

3. Hẩm số ỉogarit

a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y = loga X, trong đó 0 < a * 1.

b. Tính chất:

* Tập xác định là tập (0;+co)

* Giói hạn-Đ ạo hàm:

, ln (l + x)* G i ới h ạ n : l im — -— —^ = 1■ . x-»0 X

i u ** Đao hàm: (log, x)' = —- — . Từ đó, suy ra: (logau)' = —- —

' xln a 7 ulna

Đặcbiệt: (lnx)' = — vậ (lnu)' = — .■ X u

* Tính đơn điệu: Hàm đổng biên khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.

c. CÁC DẠNG BÀI TẬPTHEÒ CHỦ ĐỀ.1. Tập xác định của hàm số.

2. Tính giới hạn và đạo hậm.

3. ứng dụng, chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức.

o CH Ủ Đ Ể 1 --- — - - — ---- ---------- -----------------------

TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA *ÀM s ố□ Phương pháp:

* Hàm số y = loga f(x) xác định

* Hàm số y = logg(x) f (x ) xác định o

* Hàm số y = (f(x) ) ĝ xác định o f ( x ) > 0 .

□ Các ví dụ minh ho ạ:

Ví dụ: Tìm tập xác định các hàm sô' sau:

t y = vỊog2 loga

- {-''.'ĩ-

( 2 .VX +1 V x - 1

U 2+3J. ln (-2 x + V x + 3 j - ln3

f (x )> 0

0 < g ( x ) * l '

23



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/320

Lờigiải.

1. Hàm số xác định khi và chi kh i:

log2

Vậy: D = [ - l ; l ] .2. Hàm sô' xác định khi và chi khi:

io g 1 ( 4 ± f | > 0 o l o g !

i u + 3 J_ 2 V

x2 + l

x2+s;>1=>0<

x>0 x>0

-2 x + V x+ 3>0 • j —s/x - 3 < ọ •

ln (-2 x + Vx + 3 j ^ ln3 * 0

X +1-.-1 _ I I ...- r ~ - < - < = > X D = ỉ4;4 ,

o CHỦ ĐỂ 2□ Phương pháp:

5 __ _____________ _ . _ _ ■"■■■ .

TÍNH GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM.

* Sử dụng các giói hạn đặc biệt: lim—-——- = 1 yằ lim——- = 1.x-*0 X x->0 X.

eu(x)- i ln (l + u(x))Hệquả: lim u(x) = 0=> l im — J—7— = lim - — - : — = 1.

x-»x0 v ' x-»x0 u(x) x->x0 u(x)

* Sử dụng các công thức đạo hàm

Lưu ý: Để tính đạo hàm hàm sô' y —Ịf (x )]8-*̂ ta lây loganepe hai về rồi lây đạo

hàm. Cụ thể: lny = g(x).lnf(x)= > — = [g (x ).ln f(x )]\

□ Các vi dụ minh hoạ : _____ _ Ví dụ 1.2.2 Tìm các giới hạn sau :

A = limx->0

e V 2x +l-l _ e ^ l - 3 x - l ln(>/3x+l +l)-ln (V x + l + l) B= lim— ---------- — ' - ' V- — ■-

x->0 ____________ X _ _ _

24



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




25/320

-V2X+1-1 Lời giải.

e * V2X + 1 - 1 , . _ J / l - 3 x - lA = Lim—J====—-.lim —7—4— ----- lim~, ■ .lim-

V2x + 1 - 1 x-*õ X

, , „ _ S Ĩ Mà lim—;'— -—- = lim - --- - -------= l;lim - —

m 0V 2X + 1 - 1 x->o 3/i _ 3 x _1 x-io X

Và lim— — *— ■= -1 ■Nên A = 1 + 1 - 2 ■x-*0 X

ln(^/3x+ĩ + lỊ- lníV x + l + l )B = lim—— ------------ ,/* — ----------

x->0 X

ln(l + ̂ / l+3x)- ln2 ln(l +V Ĩ+x V ln2= lim > ] ------- lim— ------- — ì -------

x-»0 X x-*0 X

ln í l + ì ( ^ l + 3 x - l ) ' ln ílH-—(V ĩ+ lc - l ) ì = lim—-— — —— ■ -/ -lim — -----------------------^ = 1

x -*0 X x-»0 X

In íl + - f^ / l + 3 x - lử iA I 2 ' > ) v l+ 3 x - 1 1 „ , 1Mà 1= —lim — -̂z -------- — — ------- —.-----------------------------— ------ = 3.1.1 = ̂ -.

2"° i( ỉ/ĩĩ 3 x -i ) x 2 2

. ln [l + i ( J Ĩ + ĩ - l ) V c —

2“ “ i(T ĩĩx -l) * 2 4

1 1 1Vậy B = - - - = - .

7 2 4 4

"->0 l / i - 3 x - 1 x-i.0

V2X + 1 - 1= 1

Ví dụ 2.2.2

í(x + l ) e “x khi X>01. Tìm a đê’hàm số y =

ị -x 2-ax + l khi x _ ~ (y/l + ax- y/c osx /X 0

Lời giải.

,ín+\ y ( x ) - y ( 0 ) (x + l ) e ' x - l. y (0 )= lim ± ì - L - ỉ ± - L = -ịim* — — ------- = lim

v ' x->0+ X x_>0+ X x->0+e x -

e_x - 1

- X

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/320

,r~-\ y (x )-y (0 ) -x 2 - a x + l - l / X 'y (0 )= lim — — = l im -----------— ------- - lim ( - x - a ) = - a

' x-»0_ X x->0~ X x-»0“

Hàm số có đạo hàm tại x = 0 « y ' Ị o +Ị = y'Ị(r)a = 0 .

2. Hàm sô' có đạo hàm tại X= 0 khi nó liên tục tại X = 0 .

K híđỏ lim y ( x ) = lim y ( x ) = y ( 0 ) o b = l

x->0_ x-»0+,, , ,(n- \ .. >/1+aAx- ự c õ s Ãx _ a , ■Măt khác : V (0 = l i m ------------— -------- — = - và

v J x-»0~ Ax 3

y ( 0 - ] =' ’ x“ó+ Ax

Hàm số có đạo hàm tại x = 0y'Ịo_ j = y 'Ịo+ j o a =6

Vậy a = 6,b = l thoả yêu cầu bài toán.

o CH Ủ Đ Ể 3 __ _______ _ ________ - _________

ỨNG DỤNG - CHỨNG MINH ĐANG THỨC - BẤT

ĐANG t h ứ c .□ Các ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1.3.2 Chứng minh rằng hàm số :

'l.y = ln—-— thỏa mãn phương trình: y ' ( l - x ) 2.ey = 1 , V x e ( 0 ; l ) .1 *“ X

2.y = x[3 co s(ln x) + 4sin (ln x) ] thỏa mãn: x2y" -x y'+ 2y = 0

Lời giả i.

I

1. V x e (0 ;l ), ta c ó = = — -—?•—■-— = : •^ } _JL (1 -x )2 X x ( l - x )

1 —X

./1 \2 V 1 -x lnirr 1 -x X .Suy ra y (1 —X) ey = ------ e 1-x .= -------- .--------= 1.. v ' X X 1 —X

r 3 42, Ta có: y' = 3cos(lnx) + 4sin(Inx)+x -- s in (ln x )+ —cos(lnx)

X X

7 1 j y' = 7cos(lnx) + sin(lnx) =>y"=—-sin(lnx) + — cos(lnx)

X X

2f3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/320

Dođó: x2y" -xy'+2y = x2 sin( lnx )+ỉc os{ lnx )L X X ' .

-x[7 cò s(ln x) + sin(lnx)] + 2x[3cos(Inx) + 4sin(lnx)]

= -7xs in( lnx)+x cos ( ]nx) -7xco s ( lnx ) -xs in(Inx) +

+6x cos(lnx)+8 xsin(Ịnx) = 0.

Ví dụ 2.3.2

1. y =xỊogx 2 (x >0,x * l) .Giải bấtphương trình: y ‘ < 0.

2. y = é"*2+ x. Giải phương trình: y ”+y'+2y = 0.

3. y = lnỊx + >/x2 + l j . Giải phương trình: 2x y '-l = 0.

Lời giải.1. X>0,X*1

Ta'có: ý = xlò gx2 = x .-^ - '= =>y ' = ln 2.r——V——1lnx lnx ^ In X )

y '< ọ = > ln2. ^ Ị < 0 l n x - 1 < 0 o l n x < 1 « • 0 < x < e . V In X )

Vậy bât phương trình cò nghiệm : 0 < x ^ e v à x & l .

2. y'= (~ 2 x+ i)e "x2+x, y ”= [ a x * -4 x - l )e"xỉ+x

y ”+ y '+2y = 0 » (4x2- 6x + 2)e~*2+x = 0 2x2- 3x + 1 = 0 » X=—,x = 1

(x + Vx2 + l j ’ 1

x+ V x2 + l

2x = ỵjl + xz •

3 .y ' =>/x2 + l

f x >0

Khi đó: 2 x . y 1 = 0 o

X>U 17 : 7 ̂ X= 7=r .

4x = l + x V3

Ví dụ 3.3,2 Xét tính đơn điệu của hàm số : y = ln (-x 4 - 3x2 + 4 j

Lời giả i.

Hàm số đã cho xác định khi và chi kh i: -X4 - 3x2 + 4 > 0 « - 1 < x < 1 .

^ -4x3 -6 x _ 2 x (2x 2+3)Ta có : y = — —- — r— - = -y- — 5 — -

-X -3 x +4 X +3x - 4

27



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




28/320

Trên khoảng ( - l ; l ) : y ' = 0x = 0

Lập bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đổng biên trến khoảng! (—1;0) và nghịc

biên trên khoảng (0 ; l ) .

Ví dụ 4.3.2 Chứng minh rằng:

1. Phương trình In(x + l) —In(x + 2)n— - — —0 không có nghiệm thực.

2. Với mọi số thực X ta luôn có: ln Ị l + Vl + e2x Ị< e~x + X .

Lời giải.

1. Xét hàm sô': f(x ) = ln(x + l ) - ln ( x + 2) + ———, xác định và liên tục trên khoản

(-l;+oo).

rr- ' c ư \ 1 1 1 1 1 n \_ , .Ta có f (x) = — ------- ----- ---- — T= 7 W------- r-------- —T5->0,VX+ 1 x + 2 (x + 2)(x + l)( x + 2) (x + 2)2

=> f(x ) liên tục và đổng biên trên khoảng (—l;+oo) yà lim f (x ) —— 00,x -+ -i+ : ■

lim y( x)= lím (ln(x + l) - ln (x + 2))= lim ln ^ -i i = ln—+°0 ' ' x->+«0 x->+eo X + 2 2

suy ra f (x )< 0 ,V x > -l .

Vậy phương trình cho không có nghiệm thực

2. Đặt t = ex bài toán trở thành " Chứng minh rằng Vt > 0 luôn có

lnỊ l + Vl + t2 j < ì + lnt".

Xét hàm số f( t) = lnỊl + Vl + t2 j - —-ln t với Vt >0

_ , rtf \ 2t 1 1 Vl + t2 - t „

Tacó f s u y (t

đổng biên trên khoảng (0;+oo)

I- l + Vl + t2 . .. . l + V l + t2 nMặt khác l im — — ---------= 1=> lim ln ----- — — = 0

t-»+co t t J

lim —=0 điều này chứng tỏ hàm số y = f( t)Suy ra lim ln1 + V ĩ + t

nhận Ox làm một tiệm cận ngang

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/320

Ta thây y = f( t) đổng biêh trên (0;+oo) và hàm sô'có tiệm cận ngang là ý = 0

khi t ->+00 nên f ( t )< 0 Vt >0 ị

Ví dụ 5.3.2 Cho các số thực không âm x,y ,z thỏa mãn X + y + z = 3 . Tìm giá trị

nhỏ nhất của: p = ---- y --------- r ---- + —■ y ■——+ ----------7----- r—- I4 + 21n(l + x ) - y 4 + 21n(l + y )- z 4 + 21n(l + z )- x

tờ i giải.Giả thiết 0 < x,y,z ẩ 3

Suy ra 4 + 21n(l + x ) - y >0, 4 + 21n(l + y ) - z > 0 và 4 + 21n(l + z )-x > '0 .

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có:

4 + 21n(l + x ) - y + 4 + 21n(l + y ) - z - 4 + 2 1 n ( l + z ) - x ' bieu thưc CO

dạn8: P ì12 + f ( x H < y) + f Ị »

Xéthàm Số f( t) = 21n(l + t ) - t , t e[0;3], CÓ f'(t) =

Lập bảng biến thiên hàm f ( t ) , với t e [0; 3] suy ra 0 < f ( t ) < 2 1 n 2 - l . Ị

Do đó P ì 1 2 + f (x )+9f (y )* f (z) a 3 + 21n 2 ■

VS>'m inP= 3 Ĩ2 ĨS 2 -khi X=J,“ 2 = 1 -

Các hoạt động cơ bản :□ Hoạt động 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:

= 2. y = ̂ lnỊx + Vx2- 4 j

_____ \l3x-2 , ' f Ạ.

3 .y = ( > / 7 T Ĩ - 2 V " H 4. y - » - Ị - ỴV / VX +6x + 8y

5. y = log2(4x- l ) - lo g i ( 4 - 4 x) 6.y = V 4-x2 + log2^ ỉ*5 . X 4* i1 I

7. y = Vx2- 4 x + 3 -l o g x(x- - 4) 8. y = l n ị ' J x * + ĩ - x j Ặ o g 2^ ~

9. y = (x2 + 2f 0gxH Jx +2x 3)) 10. y = >/5x-2x2 - 2 + ln— 2̂ — v ' X -1

29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/320

11. y = a/x2 - 4x+3 log2( 2 5 - 4x2 j

12. y = log2x+i (3x + 1 ) - 21og3x+1 (2x + 1 )

; 1 3 . y = l o g ^ ( l - V l ^ 4 7 )

□ Hoạt động 2: Tim m để hàm số sau xác định ýới Vx e K

'^x2-m x + l 2a ^ ^ ~ ~ T, I A1. ỵ = ln -~2X —X+ 1 3

3 x 2 - m x + l

v2 x2 - x + l

2. y~ lo g z(2x2 +3x + 2 m - l ) 3. y = log3

□ Hoạt động 3: Tìm các giới hạn sau:

ln (l + x3ì1A = l im -74 = —

X-*0 v x +1 - 1

B = limx-*0

'V Ẵ + l — 1

f e 3 lỉ_ e 2x e 4- 3* . - ^

^ V x + 4 - 2 ĩ Ị x - 2 7 + 3

4 “ s in 3 xc = l im ------7 — --------- -Y - x~*° ln(x -X + 1]

D = limx->0

g2x+l _g3x+l

E = Iimx->0

e^ ĩ ĩ _ j ỉ ĩ = ĩ í

n , :„ e 2x2- x - í ^ mF = l im —~ị—ị= = = — r

x̂ ° ln|v3x + 4 - l j

M = limx-»0

2X+1

V - X + l V 3*

^X2 +X + l J


1. Tính đạo hàm của hàm số tại X= 0

1 với X = 0

a - y H 1 - c o s xvới X * 0

xz + 2m x+m +2

x2+3

e3* _ ebxG = I i m - - -

x-*0 X

H = limex -1

*“ Ò V x + ĩ - l

I = lirrif — — 1 ì l n í l + ta n 2 x ìx-*°\sin X ) ' '

J = i i m ^ X£ - ~-1 , (a>Q)x->0 X

a x - x a K = lim ----- — x-»a x - a

_ 2/ ^\C0t XL=lim(l+X )

X-VÕV /

b. y =ln(cosx)

với x*0

với x = 0

3 0 1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/320

c. y =

X2 X2 — In x -— nếu x>0

2 40 nếu x - 0

fex khi x > 02. Tim a đê ham so y = < cóđạ o hàm tại,x = 0 .

(X + ax +1 khỉ x/e2x+1- e x + 3

Ị. y = log2^2x2+ 3j+log 37x +1

m. y = ̂ /ln(x+ 1 )+ logx ( x +3)

c. y = sysmáx

_ 2X- 1

i y ?

e. y = log3 (3x2 + 2x + lj

f- y =21n\ Ễ ^ ặ, _ o ì (X -2 x + 3 Xf. y = 21nJ-^— ——— o . y = 3 — ~

V X + 2 x + 3 * V x - 1

g .y = e ^ x+33x-1 p. y = (x + l ) x+z

h. y -^In (2x3) - l

□ Hoạt động 5: Chứng minh rằng:

1. Nếu y = esi"x thì y'cosx -y .s in x -y " = 0.

2.Nêu y = ln(cosx) thì y 'ta n x -y " -l = 0.

3. Nếu y = xex thì y 2 y ’+ y = 0.

4.Nêu y = exsinx thì y" -2y '+2 y = 0.

5. Nêu y = xlnx thì x2y " -x y'+ y = 0.

6. Nêu y = e x cosx thì + 4y = 0

7. Nếu y =e 2xsin5x thì y " -4 y ’+2 9y =08. Nếu y = X.e“x thì x y ( l - x )y = 0; y + y y y " > 0, Vx e R .

9 . Nêu y = — 1------ thì xy ’ = y ( y ln x - l )1 + x + l n x 3 u }

10. Nêu y = — + —x\!xz + l + ìn'Jx + yjx2 + 1 thì 2y = xy '+ Iny ’



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




32/320

11. Nêu y = (x2 + l ) ( e x + 2 0 1 2 ) thì y ' = 4 ^ - + ex (x2 + 1 )

12. Nếu y = l * 7 ^ -7 thì 2x2y ' = x2y 2+ 112 . Nếu y = “ 7 ~r~~T thì 2x2y' =3 x ( l - l n x )


1 . Cho hàm số y = ln£ex ị x2 + 1 ) j .

a. Giải phương trình y '+ íx 2 + l. Giải phương trình y'+ Ịx 2 + lỊy" = 0.

b. Tìm giá trị lớn nhật và giá trị nhỏ nhât của y '.

2. Cho hàm số y = In2 X. Giải bâ't phương trình y + x y x 2y " < 3:

3. Gho hàm số y = e~x (x + 1)2 . Tìm các giá trị của X sao cho:

2y+y,+y"+y' - 1 = 0 ’

4. Qio hàm số y = ln(x + 1 ). Túih đạp hàm câp; n cua hăm số.

5. Cho f(x) = — + —xyl X2 +1 + —lnỊx + Vx2 +1 j . Đặt g (x} =ln |f(x)|

Chứng minh rằng: g (x ) = - -----xf(x)


1. Xác định a để hàm số y = log/ 3 2 \ X đổng biến trên khoảng (0;+co123 +3a —2a—2ị

2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a. y = 2 x - - l n ( l + x2) b. y = 5xỊVx2 + l - x j

c. y = x + ln ( l -2 x ) d. y - e3*2-2*-1


_ , ì lnx 11. Cho 0 < X 1. Chứng minh răng: ———


33/320


91 . Cho hàm sô': y = —

4

5X+ 5~x - 2

V5X+5“x + 2 ,

15 5X- 1

5X+ 1+ 6. Tìm giá trị lớn nhâ'tỊ và nhỏ

nhâ't của hàm số trên đoạn [ - l ; l j .

2. Chohàmsô': y = ̂ 2 + \/ 3 j + Ị2 - V 3 Ị —8 Ị2 + V3 j + 2̂ —-s/3 ^ .Tìmgiátrị

nhỏ nhất của hàm số. Ị

3.Chohàmsõ': y.= Ịog 2 ^7 -2 x2j + log 2 (2x2-. 1 ) Tìm các giá trị của X

đểhàm số đã cho đạỉ giá trị nhỏ nhâ't.

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ĐỘNG.. * _ ____ _________ - _______ • ____ ___ ______ _______ ; _______ m _________■___________1 Hoạt động 1:

ln— >0X—1 .

x - 1 >0

X—1 c=> 1 D = (l;2]XX > i

2. lnỊx + V x ^ -4 j> 0 X+ Vx2- 4 > Ị o

7 x 2 + 1 - 2 > 0

3 x - 2 > 0 «- x> >/3 => D = £-\/3;+co).

X2 - 1 > 0

x > 2

Jx2.2 - - '2| x 2 - 4 > ( l - x )

f -2x2 + 5 x -2 > 0 10. o

X2-1 > 0

—< x < 22

„ « l < x < 2 = > D = (l;2l.X < —1 v J

X>1

x2-4 x + 3>0 11. ị o

25-4 x 2 >0

x > 3

X - 1 o - - < x < l = > D =5 5 2

——< X< — 2 2

■f:1

12.Í 0 < 2 x + l * l

[ o < 3 x + l * l

[ x > - i 1 "l3 =>D = -±;+00

x * 0 . 3 )

33



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




34/320

Í00

2X > - —

31

x * ~ ; X 5* 03

D =

Hoạt động 2:

1. Hàm sô' xảc định với Vx e M

X - m x + 1 2 . ..(!)X —X + 1 3

r ,,:!C - 1 i í ( 2 )

Vxe M.

<

Hoạt động 3 :

H = lim

- X2 - X+ 1 2

[ X2 - (3m - 2)x +1 > 0 ÍA, = 9m2-1 2 m < 0, VxeR j 1 '

[x + ( 2 m - 3 ) x + l > 0 [a 2 =4m 2-1 2m + 5< 0

4 "

0 °Vx + l - l - 0 ( V x + 1 _ ij Ị V x + 1 + 1 j V >

H = lim -— -lim(V x + l + l ) = 1.2 = 2. Vì lim- — - = 1X—>0 X x->0V / x-»0 X

I = lim í —\ --- 1 )ln ( l + tan? x ì = lim cot2 XIn f 1 + tan2 x ìx-^vsinX / ' x->0 ' '

ln (l + tan2x) ln (l + u(x))I = li m— -—— ----- £ = 1 .VÌ l im - -i- - ị = 1.

x-*° tan X x-»x0 u(x)

* (1 + x)“ - 1 = ealn(1̂ - 1 - (1 + x)a ~ 1 _„ealn(Ux)- l a l n ( l + x)X a l n ( l + x) ’ X

ealn(l+x )_ 1 a l n (1 + x)J= ]im

x->0 a l n ( l + x ) X

* ạ x - x a = a a(ax' a- l ) - a 3

= a .

.. x _ a I1 + - — I - 1

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/320

a x - x a- = aa a „ a - l- - a

+x - a \ a

- 1

x - a x - a x - a

K = aa lim--------- - aa_1 lim

/ \ a

l + í z i - 1

Ji->a x - a x-»a X—a- = a3 l n a - a a 1a = aa In-

a

Hoai động 4 :3 a ; (2x3+ i ) ’ 6x2

5.^(2x 3 + i )4 5.^(2x 3 + i )4 '

~ 3 x ẩ Õ ™ f 3cos3x

lO.v^siĩv^Ix

d . y = | j1

v5y^ y ' = -

1 1 _ ln2

XỊn;2 xln5 - xl n5 (l n2 -ln 5)

5

(3x2 + 2x + l) ' ^ 6x + 2

^3xz + 2x + lj ln 3 (3x2 + 2x + l) ln 3

f. y = ln -̂ 2 — — —ì = ln(x2 -2 x + 3 )- ln Ịx 2+2x+3^X "I"2x "t"3 J

2 x -2 2x + 2 4x 2-12

^ ~ x 2- 2 x + 3 X2+2x + 3 ~ X4 +2x2 +9

g. y' = Ịựx2+ l - x j +33x'1(3x- l ) ' ln3

. 2x i ì + 3 3x l n 3 _

3^/(x2 + l)

Hoạt động 5:

1. Ta có y' = cosx.esinx =>y" = -sinx .e sinx +cos2x e sinx

=> y " = - s in x.y + cosx.y' =í> y ' COS X- y.s in X- y "= 0 (đpcm).

35



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




36/320

2. Ta có: y' = —tanx=>y " = —1 —tan X = - l + y'.tanx

=>y ' . tanx-y" - l = 0 .

Hoạt động 7 :

1. Hàm sô' đồng biên trên khoảng (0;+oo) 2a3 + 3a2 - 2a - 2 > 1

« (a - l ) (2a 2 + 5a + 3 ) > 0 (a - l ) (a + l)(2 a + 3 ) > 0

o -T < a < -1 hoặc a > 1, 2

, „ 5x 2x - 5 x + 2 , r,2a. y = 2 - - j —- = ..- 2 ; - ^ y ' = 0 o

X +1 X +1

x = 2

1 •X = —

Lập bảng biên thiên, ta có được :

Hàm đổng biện trên mỗi khoảng

Hàm nghịch biên trên khoảng

2b. y' = 5x]n5ỊVx2+ l - x j + 5

V và (2;+00)

\

Ta có:

= - 1 V’vX̂ +1 7

> / x 2 + l - x > V x ^ - x > 0

1

=5XỤ x 2 +1 - x j ln5-7 7 + 1

ln5 > 1 > ■ln5-X +1

1 _ => y ' > 0 Vx e M= = > 0x ̂+ 1

Vậy hàm sô' đổng biên trên M .

Hoạt động 8 :

1. X > 1, bất phương trình cho tương đương lnx <

Xéthàmsô'f(x) = Inx-----pí: v ợ i x > l .

■■Vx

Ta có+ 2V Ĩ - 2VĨ n ,

: f (xj = -------------- — - < — -— j = — =0 (do cô si) khi X > 1.2XVX 2XVX

f(x) nghịch biến trên khoảng (l;+oo), suy ra f ( x ) < f ( l ) = 0 khi X> 1,

đẳng thức đã cho đúng.X —1

0 < X< 1, bâ't phương trình cho tương đương In X > — J = - .VX

3fì



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




37/320

Xét hàm số f( x) = I n x - " với 0 < X < 1. Tưang tự trên, hàm số f Ị(x) nghịchV X

biên trên khoảng (0 ;l), suy ra f (x ) > f ( l ) = 0, bất đằng thức đã cho đúng.

Hoạt động 9 :

1. miny = y ( - l) = 2, maxy = y (l ) = 12

2. miny = y (± l) = -1 8

D. BÀI TẬP Tự LUYỆN.

Bài tập 1:Chứng minh rằng:

1 .a^ . d * > a Ì . c ‘ .b -v ớ iỊ“ ^ S C íd(bc . —■ với X>0 và y > Ọ.I X / . 2x +y

3. a2lnb-b2lna>lna- lnb với 0 l + x, VxeM 3. ln ( l + x ) > x - - x 2 Vx>0

Y2 X2 2x32. ex > l + x + — ,Vx >0. 4. ln(l + x ) < x ~ — + ——,Vx>0

Bài tập 3:1. Cho 0 < k < 1 và a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng :

f a k+b k K ư' +c" K r + a " 1K _ ,“— + — ;— + — :—- 0 thỏa a + b = 1 và 1 < k < 2. chứng irunh rằng: akbk(ak+bk) 0

4. Chứngmữứirằng : - x < ln (l + x ) < X, V x> 0

r b k + c k A ( „k , „k '

37



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




38/320

t \x+b / \b

5. Cho x,a,b > 0,a b . Chứng minh rằng: Ị ——g I > I -g

6. Chứng minh rằng: ị2x + 3XỊ y > 0 .

D. HƯỚNG DẪN GIẢI.

Bài tập 1:

L ab.bc.cd.da > ad.dc.cb.ba « l n ( a b.bc.cd.da) > ln (a đ.dc.cb.ba)

blna + clnb + d In c+aln d > d In a + c In d + b In e + a In b

o ( d - b ) ( l n c - l n a ) > ( c - a ) ( l n d - l n b ) ( l )

Nêu c = a hoặc b = d Thì bất đẳng thức luôn đúng

Xét c*a và b*dX é t c ^ a v à b ^ d

. c . d ìnc - ìna ̂ ] n d - ]n b n a - n b

rt~ b a ': - l b d ỉ Iva ) )

> ~ rí \ lnx . A /, N , ri/ 'v x - l - x l n xXét hàm số: f(x ) = ———trên (ỉ;+oo) tacó:f (x) = --------- 2

. x - l x ( x - l )

Đặt:g(x) = x - l - x ln x = > g '( x ) = - l n x< 0, V x> l= >g (x ) nghịch biến t

( l ; + o o ) ^ g ( x ) < g ( l ) = 0 .

f' (x )f (x ) nghịch biêh trên (l;+°o)

, c , d

=*f f c> > f f d>í c

1 < -,t>,

vi{ a

. c . d In- In—

_ a_ > _ u£ - 1 L - 1a b

d \ đpbi ị - 1

2.Đặt: t = tx = x + y y = x ( t - l )

- ' ■X V. X . ■ ■2 y 2 x ( t - l ) t - 1

Do đó: —- — = ------- — -̂r = 2— - .2x + y 2x + x ( t - l ) t + 1

t - 1Bài toán trở thành chứng minh: In t > 2 -——với mọi t > 1.

Xét hàm sô': f ( t ) = ln t ---- -------t > lw t + 1

38



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




39/320

I f ( t ) = —- — i - T = - Í L _ l l_ ằ o v t > it ( t+1 ) t (t+ 1 ) ■

=> f (t) > f ( l ) = 0 Vt > 1 hay In t > 2-—- với Vt > 1 đpcm.

- 4 _ , , » , , . , lnb lna3. Bat dang thức can chứng minh —— r- > ———

1+b 1+a

Xét hậm sô' f (t) = —— 2~, 0 < t < 1t ) = J s ĩ - , o < t < il + tz

Tn.- ': f-rti 7 (1 + t2)_ 2 tln t l + t2-2 t2lnt Tac0: f (t)= r n\2 - t \2

( l + t 2 ) t ( l + t 2 )

Do 0 < t < l = > l n t < 0 = > f ' ( t ) > 0 V t e (0 ; l)

=> f (t ) la hàm đổng biên trên (0;l ) nên vời 1 > b > a > 0 thì ta có

ct \ ỉnb lna . 'f(b) > f ( a ) - — > — — — (đpcm).w w 1 + b 1 + a

4..Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

*+ểj Kẳ'+Ặ)~ ( 4* +1 ) ' s (4 '’ +1 )‘/ \ t u \ ln Í4a + l ) ln Í4b + l )

blnỊ4a + l jb>0:=>f(a)(l)đúng.

ã b Bài tập 2:

l.Xét hàm sô'y(x) = ex- X-1 . Ta có: f' (x) = ex - 1 => f' (x) = 0 X= 0.

Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x ) > f(o) = 0 Vx 6 K . )

39



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




40/320

X22. Xét hàm số f(x ) = ex - 1 - X - — vớ ix >0 , tac ó :

- X> 0 Vx e M (theo kết quả câu 1) =>f (x ) > f (o) = 0 Vx > 0 đ

3. Xét hàm số f(x) = ln (l + x ) - x + - x 2 với x > 0

1X2

Có f'( x) = — -------1 + X = ——— > 0 Vx>0 = > f (x )>f (0 ) = 0 Vx >0 => đpcm.

Bài tập 3 :

1. Trước hết, tạ chựng minh: x“ > a x —a +1 với Vx > 0. Thật vậy:

Xét hàm số y(x) = x“ - ax + a - 1

Ta cỏ f(x) là hàm liên tục trên D = (0;+oo) và

f ,( x) = a .x ot' 1 - a = a Ị x “_1- l j , V x > 0 = > f ( x ) = 0 o x = l .

Vì f (x ) đổi dâu từ - sang + khi X qua X = 1 nên f ( x ) > f ( l ) = 0 Vx >0Hay xa > (XX- a +1, Vx > 0. Đẳng thức xảy ra o X= 1.

Tiếp theo, ta chứng m inh:v + b k

ỉa + b , V

(*)

E}ặt m =a k + b k > a b .k k 2ak 2bk ---- ----- ,x = — ,y = — =>xK+ y = , 7-4- , ■ = 2

2 ) m m a + b a +b

(*) trở thành: x + y > 2 .I 1

Ta có: x = Ịxk)k >1 + — ( x k - l ) ( l )

y = ( y k ) è a l + ỉ ( y k - l ) ( 2 )

Cọng ( l ) và (2) theo vế ta đước X+ y > 2 suy ra (*) được chứng minh

Áp dụng (*) ta được :

í a k+bk> fb k + ck> fc k+ak> a + b b +I ------- — + ------------- -ị- ------------- < -----------1— _

{ 2 ) { 2 ) { 2 J 2 2

2. Ta có: akbk(ak +b k) = a k ( l - a ) k [ a k + ( l - a ) k ] = f(a)

Xéthàmsố: f(a) = ak( l - a ) kị~ak+ ( l - a ) kJ, a e(0 ; l )

ỉ

a+ b b + c c+ a , — =a + b+c .

40



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




41/320

f' (a) = kak 1 ( l - a ) k[ ak + ( l - a ) k] - k a k( l - a ) k 1 [ak + ( l - a ) k]

+ak ( l - a ) k [kak_1 - k ( l - a ) k-1]

f' (a) = 0 f (x )< 0, V x> 0.

x-»+co X XV ... . . / . ■■■•■ .

4. Xét hai hậm SỐ f( x) = l n ( Ị + x ) - x và g( x) = ln (l + x ) ~ -X với x > 0X 4" 1

/ \x+b \V- , ì_ ~ ci \ í x + ạ ) , r/ \ / T_\„JX + a )

f '( x )_ fx + a ^ b - a —~ = ln — — + ------

f(x ) vx + by x + a

Đặt g( x) = ln/ _ \ »_ ' x + a ] b - a

vx + by x + a

■f(x) =

> g ' « = -

]n"x+a^

• I ( ữ I

_ a

ị

u + b, I x + af (x) .

( b - a ) 2

(x + a) (x + b)- g(x ) > 0, Vx > 0 => f '(x) > 0.

6. Ta có: (2X+3 XỴ


42/320

a ^ n a ^ Ị l + a ^ l n Ị l + a*}0

Vậy f (t ) nghịch biến trên (0;+oo)mà X > y >0=>f(x) a gW (1)

• Nêu a>lthì ( l )f(x)>g(x)

• Nếu 0 < a < l thì ( l )f(x)0 ,VxeIR

* b >0 : phương trình đã cho có nghiệm X= loga b (00)

Nội dung của chuyên đề gồm:1. Phương pháp 1: biên đô’i, quy về cùng cơ số.2. Phương pháp 2: đặt ẩn phụ.3. Phương pháp 3: logarit hóa.

4. Phương pháp 4: biến đổi phương trình về dạng tích f (x) .g(x) .

5. Phương pháp 5: phương pháp đổ thị.6. Phương pháp 6: sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.

42



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




43/320

7. Phương pháp 7: phương pháp lượng giác hóa.8. Phương pháp 8: tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I.9. Phương pháp 9: bất phương trình mũ.

o C

Documents

PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC - NGUYỄN PHÚ KHÁNH