LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY

Bài 1. Tính các tích phân sau :

.

GIẢI

.(ĐHTM-2001)

- Chia tử và mẫu cho . Ta được :

. Đặt

- Đặt :

. ( ĐHTNguyên-98)

- Ta có : .

- Đặt :

- Đặt :

- Từ :

.

Phân tích :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 1

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

Tính J : Phân tích :

Vậy :

Tính K . Phân tích :

Đặt :

Với :

Thay hai kết quả của J và K vào ta tìm ra I Bài 2. Tính các tích phân sau :

GIẢI

Phân tích :

Vậy :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net2

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy :

Đặt :

Vậy : I

Bài 3. Tính các tích phân sau :

Chứng minh rằng : . ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 )

GIẢI

Đặt :

Vậy :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 3

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

2. Chứng minh : .

- Đặt : . Khi đó : - f(x)dx= sin- Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm) Bài 4 . Tính các tích phân sau :

. ( ĐHLâm Nghiệp - 2000)

. Tính . ( ĐHSPI-98)

GIẢI

.

Đặt :

Vậy :

- Tính H :

- Tính J :

- Vậy : I=

b. Ta có :

- Tính : .

- Đặt :

Thay vào (1) ta được : Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net4

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

Vậy :

Bài 5 . Tính các tích phân sau :

. (ĐHYHN-2001)

GIẢI

; f(x)=

Vậy : (1)

Tính : . Sử dụng phương pháp tích phân

từng phần :

Tương tự :

Vậy : .

.

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 5

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

* Nhắc nhở học sinh không được áp dụng cách đặt : ,vì hàm số cosx không xác

định với mọi x thuộc .Mà phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần .

Bài 6. Tính các tích phân sau :

. Áp dụng tính :

. Áp dụng : tính :

GIẢI

Phân tích : . Đặt :

Do đó :

Vậy :

Đặt :

Do đó : . Vì :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net6

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

Cho nên :

Bài 7. Tính các tích phân sau :

. Với : . Áp dụng tính :

. Áp dụng tính :

GIẢI

Đặt :

- Đặt :

- Vậy :

Do đó :

Đặt :

Vậy :

Áp dụng : a=1,b=1 suy ra : c= . Ta có :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 7

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang Bài 8 . Tính các tích phân sau .

GIẢI

Đặt :

Vậy :

Tính :

Do đó : . Thay vào (1) :

Ta có :

Đồng nhất hệ số hai tử số :

Vậy :

Chú ý : Ta có thể sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích :

f(x)=

Bài 9. Tính các tích phân sau .

GIẢI

.

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net8

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số .

Đặt :

Đặt :

Vậy :

Đặt :

Do đó : . Cộng (1) và (2) vế với vế :

Suy ra :

Vậy :

Bài 10. Tính các tích phân sau .

GIẢI

. Áp dụng công thức :

. Ta có :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 9

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

Vậy :

Ta có :

Tương tự :

. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ,ta có :

Vậy :

Bài 11. Tính các tích phân sau :

a. b.

c. Chứng minh : . Từ đó tính : J=

Giải .

a.

Đặt : . Vậy :

b.

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net10

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 Nguyễn Thị Minh Khai Nha Trang

c.

Đặt : . (đpcm)

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net 11