EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

• Escribe la cantidad de triángulos que aparece en cada figura

El matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), creó varios objetos fractales, entre ellos, el conocido triángulo de Sierpinski. La construcción se deriva a partir de un triángulo rectángulo inicial con lados de longitud 1 (objeto iniciador), se unen los puntos medios de cada lado y se extrae el triángulo central interno (proceso generador). Así se obtienen tres triángulos iguales. Con estos tres triángulos, se aplica el mismo proceso generador en cada uno de ellos, para así obtener tres nuevos triángulos por cada uno, lo cual produce finalmente 9 triángulos equiláteros. Se continúa el proceso.

Actividad: Sobre los puntos dibuja el triángulo de Sierpinski

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• Constrúyelo en casa con pitillos. Intenta hacerlo en tres dimensiones.

LAS CARPETAS DE SIERPINSKI

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

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Las carpetas son un ejemplo de fractal que se construye siguiendo el patrón con el que se generó el triángulo de Sierpinski. Las carpetas parten de un cuadrado (objeto iniciador), que se subdivide en nueve pequeños cuadrados para extraer el cuadrado central y en cada uno de los ocho restantes se vuelve a efectuar este proceso, hasta obtener al final la llamada carpeta de Sierpinski.

Actividad: Sobre la cuadrícula dibuja la carpeta de Sierpinski.

Inténtalo también sobre los puntos

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• Constrúyela la carpeta en casa con cartulina negra, sobreponiendo hojas blancas y negras.

ESPONJA DE MENGER (Cubo Magritte)

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

La esponja de Karl Menger se construye bajo el mismo principio que el triángulo de Sierpinski, pero no con un triángulo sino con un cubo en 3 dimensiones. La Esponja de Menger se crea con unas pocas iteraciones:

1. Crear un cubo normal y corriente.2. Dividir cada cara en forma de cuadricula 3×3.3. Hundir el cuadrado central hasta formar un cubo.4. Repetir 2 con cada una de las nuevas cuadriculas.

Otra forma de entender la esponja de Menger es partiendo de alfombra de Sierpinski, pero en el plano tridimensional.

Actividad: Sobre el siguiente cubo, dibuja la esponja de Menger

• Constrúyela en casa en 3D.

LA CURVA DE KOCH

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

La curva de Koch o el Copo de Nieve de Koch fue descrita por Koch en 1906, es una de las figuras fractales más conocidas debido a sus curiosa forma, que recuerda a un copo de nieve. Tiene la peculiaridad de que se trata de una curva de longitud infinita que encierra una superficie finita. Se construye de la siguiente forma: Paso 1: Un triángulo equilátero inscrito en un círculo (no mostrado) es la primera iteración de este patrón. El largo de cada lado es 1, el perímetro = 3.Paso 2: Divida cada lado del triángulo en 3 partes iguales y dibuje otro triángulo equilátero en el segmento central. Así resulta una estrella de seis esquinas como segunda iteración. Su perímetro = 3 x 4/3Paso 3: En la tercera iteración del patrón, P = 3 x 4/3 x 4/3.Teóricamente usted puede repetir los pasos, dibujando triángulos equiláteros infinitamente. Siga calculando el perímetro. Lo interesante es notar que el perímetro sigue creciendo, conforme el copo crece, mientras que el área no sobrepasa la del círculo exterior.

Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Koch. A continuación aparece la curva de Koch exterior, que parte originalmente de un hexágono, en vez de un triángulo equilátero:

Luego, se observan dos versiones más que parten de un cuadrado. Se denominan fractales de Cesaro.

Actividad: En la siguiente cuadrícula dibuja cualquiera de los anteriores fractales

• Constrúyela en casa en 3D usando palillos.

Actividad: Dibuja el copo de nieve de Koch en el siguiente geoplano:

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EL ÁRBOL PITAGÓRICO

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

0 1 2 4

Actividad: Sobre la siguiente cuadrícula dibuja un árbol pitagórico

Se genera a partir de un cuadrado dibujando un triángulo rectángulo e isósceles (isorrectángulo) de forma que la hipotenusa esté sobre uno de los lados del cuadrado. Sobre cada cateto del triángulo se dibuja un cuadrado y se repite el proceso para cada cuadrado que se genere en la etapa anterior.La construcción del árbol de Pitágoras se hace a partir de un objeto inicial, conocido como el iniciador, éste es un cuadrado. Sobre este cuadrado son construidos dos demás cuadrados, cada uno más pequeño de un factor ½√2, tales que los rincones de los cuadrados sean en contacto. El procedimiento es aplicado recurrentemente a cada cuadrado, hasta el infinito. La ilustración aquí-debajo ilustra las primeras iteraciones de la construcción.

• Constrúyela en casa en 3D usando palitos de paleta.

E

Ilustración de fractal pitagóricos, que da una idea

básica de la generación de fractales mediante el proceso iterativo.

El Triángulo de Sierpinski

VERSIONES DE LA CURVA DE KOCH: LA COSTA

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

• Colorea la costa

Actividad: Sobre la siguiente cuadricula dibuja la imagen de la costa y coloréala.

• Constrúyela en casa en 3D con palillos.

LA CAJA FRACTAL

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

La caja fractal es otro de los fractales clásicos. Fue inventada por Thamas Viscek, un matemático dedicado en la actualidad a la investigación en el área de geométrica fractal y los sistemas dinámicos. Este fractal se basa en un proceso de construcción muy sencillo cuyo resultado una figura realmente bella. Es una figura sorprendente por el carácter paradójico que posee; pues su superficie tiene un área cero, mientras que por otro, su perímetro es infinito. Una figura de longitud infinita y perímetro cero no es usual encontrar, sobre todo cuando esta se forma a partir de una superficie. Este fractal surge de un objeto iniciador, un cuadrado, a partir del cual se inicia la iteración.

Actividad: Sobre el siguiente geoplano dibuja

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LA CURVA DE PEANO

Óscar Leonardo Cárdenas ForeroDocente

En las siguientes figuras, se muestra las primeras etapas en la generación de la curva de Peano

Recibe su nombre del matemático italiano Giuseppe Peano. Es una curva que, en su límite, recubre todo el plano. Tiene propiedades muy curiosas: Nunca pasa dos veces por el mismo punto. Es continua y converge uniformemente. La función que define la curva es inyectiva y es homeomorfa a un intervalo, sin embargo, su límite es de una dimensión superior.

La Curva de Peano parte de un segmento, lo dividimos en tres partes y en la parte central se dibuja a cada lado un cuadrado de longitud igual a la división realizada y así sucesivamente.

Veamos otro ejemplo:

Actividad: Sobre el siguiente geoplano dibuja y colorea la curva de Peano

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LA CURVA DE HILBERTÓscar Leonardo Cárdenas Forero

Docente

En 1890, Giuseppe Peano dio la construcción de una curva que rellenaba todo el cuadrado unidad. Su construcción sigue el mismo mecanismo que la de la curva de Koch. Comenzando con un intervalo de longitud 1, éste se sustituye por una curva poligonal autointersecante formada por 9 segmentos iguales. Esta construcción se repite en cada uno de estos nueve segmentos continuando el proceso indefinidamente. Un año después que Peano, David Hilbert daría una versión más sencilla de una curva que también rellena todo el intervalo unidad. Para construirla consideramos la siguiente curva generadora:

y la vamos reemplazando por cuatro copias de la misma, situadas como se ve en la figura y unidas por segmentos en los puntos que se indican:

La curva de Hilbert es el límite de iterar este proceso indefinidamente. Las siguientes curvas son sucesivas aproximaciones de la curva de Hilbert.

Actividad: En el siguiente geoplano dibuja la curva de Hilbert

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividad: Con palillos inténtala construir.

EL DRAGÓN DE HIGHWAY·LÉVY

Esta curva, que es el borde de la imagen, fue construida alrededor de 1967 por el físico de la N.A.S.A. John E. Heighway. Heighway ilustró la construcción mediante el doblado conveniente de una hoja de papel. Su dimensión topológica es 1.Se origina partiendo de un segmento que se repite, gira 90º y se añade a un extremo del anterior, la imagen formada se repite, gira 90º y se añade al extremo de la anterior, y así sucesivamente.

La curva del dragón es un fractal que puede construirse así:

• A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles, como lo muestra las dos primeras figuras. Luego se borra el segmento inicial.

• Se repite un sinfín de veces el proceso de remplazar un segmento por otros dos para cada línea de la curva, alternando siempre la orientación de los triángulos.

La figura siguiente muestra los trece primeros pasos:

Agrandando la imagen y después de una veintena de iteraciones, se obtiene la curva del

dragón:

LA BANDA DE MOEBIUS