Pokok Bahasan Dimensi

Tiga

Kedudukan titik, garis,

dan bidang dalam ruang

Menggambar Bangun Ruang

Jarak Pada Bangun Ruang

Besar Sudut Pada Bangun Ruang

Contoh SOAL

Contoh SOAL

Contoh SOAL

Contoh SOAL

SMA NEGERI 2 LAMONGANSMA NEGERI 2 LAMONGAN

1. Unsur-Unsur Ruanga. TitikTitik merupakan unsur paling sederhana. Suatu titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai besaran. Sebuah titik dilukiskan dengan noktah dan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagaainya.

b. Garis ∝Suatu garis merupakan himpunan titik-titik tidak terbatas banyaknya. Garis dikatakan berdimensi satu karena hanya memiliki satu ukuran saja. Syatu garis biasanya dilukiskan terbatas dan disebut juga dengan segmen garis (ruas garis) dan dinotasikan dengan huruf kecil. Ruas garis itu sendiri dinotasikan dengan menyebut titik pangkal dan titik ujung garis tersebut, sebagai contoh garis g, h, l atau ruas garis AB, PQ.

c. BidangBidang merupakan himpunan titik-titik yang memiliki panjang dan luas, oleh karena itu bidang dikatakan berdimensi dua. Penotasian suatu bidang diwakili oleh

,β,γ∝ atau titik-titik sudut bidang itu.

Home

exit

titik A titik B

A B

ruas garis g

garis ABA B

a

βc

d

bBidang βBidang abcd

2. Aksioma Tentang Garis dan BidangAksioma adalah pernyataan yang dapat diterima langsung nilai kebenarannya tanpa perlu dibuktikan

Aksioma 1 :Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Aksioma 2 :Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang

Aksioma 3 :Jika dua buah titik berada pada satu bidang, maka garis yang melaluinya berada pada bidang tersebut.

Aksioma 4 :Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat garis yang sejajar dengan garis tertentu.

Home

exit

3. Kedudukan Titik Terhadap GarisAntara suatu titik dan suatu garis terdapat dua kemungkinan yaitu:

Titik Terletak pada GarisJika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A dikatakan terletak pada garis g.

Titik Terletak di Luar Garisjika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B dikatakan berada diluar garis h.

4. Kedudukan Titik Terhadap Bidang Antara suatu titik dan suatu bidang terdapat dua kemungkinan yaitu:

Titik terletak pada bidangJika titik A dapat dilalui oleh bidang W, maka titik A dikatakan terletak pada bidang W.

Titik terletak di luar bidangJika titik B tidak dapat dilalui oleh bidang V, maka titik B dikatakan berada diluar bidang V.

Hom

exitA

A

g

g

A

A

w

w

5. Kedudukan Garis Terhadap Garis

a) dua garis berpotongan

6. Kedudukan Garis Terhadap Bidang

a) Garis terletak pada bidang

Home

exit

b) dua garis bersilangan c) dua garis sejajar

c) Garis menembus atau memotong bidang

b) Garis sejajar bidang

v

v v v

vg

g

g

g

g

hh h

g

p

p

7. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang

1. Kedua bidang berhimpit, (bidang U dan V dikatakan berhimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang U juga terletak pada bidang V atau setiaptitik yang terletak pada bidang V juga terletak pada bidang U).

2. Kedua bidang sejajar, (bidang U dan bidang V dikatakan sejajarjika kedua bidang itu tidak mempunyai satupun titik persekutuan).

3. Kedua bidang berpotongan, (bidang U dan bidang V dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu tepat memiliki sebuah garis persekutuan).

Home

exitAntara suatu bidang dan suatu bidang yang lain terdapat tiga kemungkinan yaitu:

v

v

w

w

wv (v,w)

Contoh SOAL1. Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini, tentukanlah kedudukan:

a. titik A terhadap rusuk AB, AD, dan AEb. titik C terhadap diagonal AC, AH, dan CHc. titik F terhadap bidang ABFE, CDHG, dan BDHFd. titik H terhadap bidang ABCD, BCHE, dan ACGE

Jawaba. titik A terletak pada AB, AD, dan AEb. titik C terletak pada diagonal AC, CH dan terletak di luar diagonal AH c. titik F terletak pada bidang ABFE, BDHF dan terletak di luar bidang CDHGd. titik H terletak pada bidang BCHE dan terletak diluar bidang ABCD, ACGE

Home

exit

2. Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini, Tentukan kedudukan garis AB terhadap:

a. Garis AC

b. Garis AD

c. Garis EF

d. Garis EG

e. Garis EH

Jawab

a. Garis AB dan garis AC berpotongan di titik A.

b. Garis AB dan garis AD berpotongan tegak lurus di titik A

c. Garis AB dan garis EF sejajar

d. Garis AB dan garis EG bersilangan

e. Garis AB dan garis EH bersilangan tegak lurus

Home

exit

3. Lihat gambar kubus ABCD. EFGH.Tentukan !

a. Hubungan garis FG dengan EH

b. Hubungan garis EC dengan AB

Jawab :

a. Sejajar

b. Bersilangan

Home

exit

3. Garis Frontal

Bidang gambar adalah bidang atau suatu tempat permukaan untuk menggambar atau melukis bangun ruang. Biasa di notasikan dengan

serta mempunyai kekhususan selalu menghadap muka pengamat. Misalnya dalam kehidupan nyata dicontohkan dengan papan tulis, buku tulis, kain kanvas, dll.

Bidang frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Kekhususan dari bidang frontal adalah ukurannya sama dengan ukuran sebenarnya

Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal. Berdasarkan arahnya garis frontal dibedakan menjadi garis frontal horizontal dan garis frontal vertical

1. Bidang Gambar

2. Bidang Frontal Bidang frontal kubus diatas adalah ABFE

Garis frontal kubus diatas adalah AE, FB, AB, EF

Home

exit

4. Bidang Orthogonal

Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus pada bidang frontal ke arah depan atau ke arah belakang secara horizontal dan vertical

5. Garis Orthogonal

Sudut surut adalah sudut yang dibentuk oleh garis frontal

horizontal ke kanan dengan garis orthogonal ke belakang.

Bidang ortogonal kubus diatas adalah ADHE, BCGF, ABCD, EFGH

Garis ortogonal kubus diatas adalah AD, BC, FG, EH

6. Sudut Surut

Garis orthogonal adalah garis yang tegak

lurus pada bidang frontal.

Home

exit

Perbandingan Proyeksi =

7. Perbandingan Proyeksi

Perbandingan proyeksi adalah perbandingan antara panjang suatu ruas garis orthogonal pada gambar dengan panjang sebenarnya.

Misal, panjang AD yang digambar 3 cm sedangkan panjang AD yang

sebenarnya 6 cm maka :

Perbandingan Proyeksi 12

¿¿ 63

Home

exit

8. Irisan antara bidang dan bangun ruang

Irisan antara bidang dan bangun ruang merupakan bangun datar

yang dibatasi oleh garis - garis potong antara bidang itu dengan

bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan serta membagi

dua bangun ruang itu.

Ada 2 cara untuk menggambar bangun ruang yaitu :

A. Sumbu afinitas

B. Titik potong diagonal irisan

Home

exit

CONTOH SOAL1. Gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, bidang

diagonal ACGE frontal dan AC horizontal, sudut surut 60o dan perbandingan

ortogonal 1 : 2 !

Penyelesaian :

Gambar bidang diagonal ACGE frontal dan AC horizontal. Ingat! AC diagonal bidang alas ABCD. Maka AC =

Gambar bidang alas ABCD yang terletak pada bidang horizontal. Gambarlah garis BD melalui titik O (titik tengah AC) dengan besar sudut 60o

Hubungkan titik-titik A, B, C, D sehingga diperoleh bidang alas ABCD

Gambar garis-garis BF dan DH yang sama dan sejajar dengan garis AE. Hubungkan titik-titik E, F, G, H sehingga diperoleh kubus ABCD.EFGH seperti yang diminta.

Home

exit

Hasil Gambar

Home

exit

2. Sebuah kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 4 cm. gambarlah kubus tersebut jika PRVT bidang frontal, PR garis frontal horizontal, sudut surut 300 dan perbandingan orthogonalnya 1 : 2. !

Penyelesaian :Diketahui : r = 4 cm PRVT bidang frontal PR garis frontal horizontalSudut surut = 300Perbandingan orthogonal 1 : 2 Ditanya : gambar kubus PQRS.TUVW ?

Jawab :a. Panjang rusuk 4 cm. Maka berapa panjang diagonal PR? Gunakan teorema phitagorasb. Gambar bidang frontal PRVT, berapa panjang PR ? (pada langkah diatas) dan RV = 4 cm. c. Buatlah titik tengah garis PR, dinamakan dengan titik O. d. Buatlah sudut surut sebesar 300 pada titik O terhadap garis OR. e. Menentukan panjang OS, panjang OS = OQ f. Buat bidang PQRS. g. Kemudian buat rusuk kubus lainnya.

Home

exit

Hasil Gambar

Home

exit

3. Bidang ABFE frontal, AB horizontal, sudut 1500, dan perbandingan proyeksi 2 : 3 Penyelesaian :a. Buatlah ruas garis AB = 4 cm

b. Buatlah ruas garis yang membentuk sudut dengan garis AB yang berpusat di titik A dengan besar sudut 1500 (sudut surut) dan memiliki panjang 2/3 (4cm) =2,4 cm (perbandinganproyeksi untuk garis horizontal)

c. Buatlah bidang persegi ABCD sebagai bidang frontal

d. Lengkapi rusuk-rusuk kubus yang lainya, sehingga terlukis kubus ABCD, EFGH

Home

exit

Hasil Gambar

Home

exit

1. Jarak Titik Terhadap Titik

Jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang dapat digambarkan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Untuk mengukur jarak titik A dan titik B dilakukan dengan menarik garis lurus dari A menuju B. panjang ruas garis AB merupakan jarak antara titk A ke titik B. Panjang ruas garis AB bisa diselesaikan dengan dalil Pythagoras.

BX

A

Y

Home

exit

2. Jarak Titik Terhadap Garis

Jika sebuah titik berada diluar garis, maka ada jarak antara titik ke garis itu. Jarak titik A ke garis g (titik A berada diluar garis g) dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Melalui titik A dan garis g dengan membuat garis P tegak lurus terhadap garis g.

b. Ruas garis P merupakan jarak antara titik P dan garis g yang diminta.

c. Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tegak lurus garis.

𝐴

𝑔

Home

exit

𝑝

3. Jarak Titik Terhadap Bidang

Jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.

𝑃

H

Perhatikan gambar diatas!

Q adalah proyeksi titik P pada bidang H. Jadi, PQ adalah jarak dari titik P ke bidang H

Home

exit

q

4. Jarak Dua Garis Yang Sejajar

Jika garis k dan l sejajar, maka dapat dibuat garis h yang memotong garis k tegak lurus di titik P dan memotong garis l tegak lurus di titik Q. Panjang PQ merupakan jarak antara garis k dan l.

Home

exit

P q

5. Jarak Dua Garis Bersilangan

Misalkan garis g dan garis h bersilangan. Jarak antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat digambarkan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Buatlah garis g’ sejajar garis g sehingga memotong garis h. Garis g’ dan h membentuk bidang V.

Home

exitg’g

V

6. Jarak Dua Garis dan Bidang Yang Sejajar

Ambillah garis g // Bidang V. Melalui garis dibuat bidang W yang memotong bidang V tegak lurus di garis h, maka garis h adalah hasil proyeksi garis g. Jarak antara garis g dan garis h merupakan jarak antara garis g dan bidang V.

Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang masing-masing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut.

Home

exit

7. Jarak Antara Dua Bidang Yang Sejajar

Ambillah bidang V // bidang W. Bila dibuat garis g yang tegak lurus bidang V di titik P , maka garis g pasti menenmbus bidang W di titik Q secara tegak lurus pula. Panjang PQ merupakan jarak antara bidang V dan bidang W.

Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut.

Home

exit

Contoh SOAL1. Diketahui kubus ABCD. EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm.

misalkan P merupakan perpotongan diagonal bidang ADEH. Hitung jarak titik P dan titik B !

Penyelesaian :

Perhatikan Kubus ABCD.EFGH !

Home

exit

2. Diketahui Kubus ABCD. EFGH denganpanjang rusuk 5 cm . Titik O adalah pertengahan FH. Hitunglah jarak titik C ke garis FH.

Penyelesaian :

Home

exit

3. Diketahui balok ABCD-EFGH dengan AB= 10 cm, AD= 8 cm, dan AE= 6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas AD dan BD.

Hitunglah jarak titik O ke bidang BCGF dan ke bidang EFGH !Penyelesaian :

Perhatikan Balok ABCD .EFGH disamping !

Home

exit

4. Diketahui balok ABCD.EFGH memiliki panjang 8 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 6 cm. Hitung jarak antara garis CD dan garis EF !

Penyelesaian :Perhatikan Balok ABCD.EFGH !Garis CD// Garis EFJarak CD dan EF = Panjang CF

Home

exit

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak garis AEdan garis CG !

Penyelesaian : Perhatikan cara menentukan jarak garis AE dan CG !Garis AE dan garis CG juga merupakan dua garis yang sejajar. Jarak antara garis AE dan CG dapat digambarkan sebagai berikut :

Home

exit

6. Balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan bidang BCGF!

Penyelesaian :Garis AE dan bidang BCGF merupakan garis dan bidang yang sejajar. Jarakantara garis AE dan bidang BCGF ditentukan oleh panjang ruas garis AB, sebab AB tegak lurus garis AE dan juga tegak lurus bidang BCGF.Jadi, jarak anatar garis AE dan bidang BCGF yang sejajar itu sama dengan panjang rusuk AB = 5 cm

Home

exit

7. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB= 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Tentukan jarak bidang ABCD dan bidang EFGH !

Penyelesaian :Bidang ABCD dan bidang EFGH merupakan dua bidang yang sejajar. Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH ditentukan oleh panjang ruas garis AE atau BF atau CG atau DH, sebab AE tegak lurus pada bidang ABCD dan juga bidang EFGH.

Perhatikan gambar disamping !

Jadi, jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH sama dengan panjang rusuk AE = 3 cm.

Home

exit

1. Sudut Antara Garis dengan Garis

Sifat dua buah sudut yang sama besar dalam geometri bidang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua garis berpotongan maupun bersilangan pada sebidang ruang.

a. Sudut antara Dua Garis Berpotongan

Jika garis g dan garis h berpotongan, maka sudut antara garis g dan h adalah lancipnya, α.

α

𝑃h

𝑔

Home

exit

b. Sudut antara Dua Garis BersilanganJika g dan garis h berselingan, maka sudut antara keduanya dapat ditentukan sebagai berikut :a) Tetapkan sembarang titik A pada garis g.b) Buat garis h’ yang melalui A dan sejajar garis h.c) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dan h’ adalah besar sudut antara garis g dan h yang diminta dan dinotasikan Ð (g, h) = Ð (g, h’)

Atau(1) Buat garis g’ yang sejajar g(2) Buat garis h´ yang berpotongan dengan g’ dan sejajar h.(3) Besar sudut yang dibentuk oleh garis g’ dan h´ adalah besar sudut antara garis g dan h yang bersilangan dan dinotasikan Ð (g, h) = Ð (g’, h’) = α

α

𝑔

𝐴

h

h ′ α

𝑔 ′𝑔

h ′

h

Home

exit

2. Sudut Antara Garis dan Bidang

Misalnya diberikan garis l dan bidang V. Untuk mencari besar sudut antara garis l dan bidang V tersebut dapat dilakukan dengan cara berikut. Garis l diperpanjang sedemikian sehingga memotong (menembus) bidang V di titik P. Kemudian proyeksikan garis l pada bidang V sedemikian sehingga diperoleh garis l’. Sudut antara haris l dengan bidang V adalah sudut yang terbentuk antara (perpanjangan) garis l dengan garis l’, yaitu α.

Home

exit

l’

V

α

l

p

3. Sudut Antara Bidang dan BidangSudut antara Dua Bidang yang Berimpit atau Sejajar

Jika dua buah bidang V dan W berimpit atau sejajar, maka sudut antara kedua bidang tersebut adalah (V,W) = 00.

Sudut antara Dua Bidang yang Berpotongan atau Bersilangan

Jika dua buah bidang V dan W berpotongan di garis (V,W), maka sudut antara bidang V dan W dapat ditentukan sebagai berikut.

a. Tentukan titik P pada garis (V,W).

b. Buat garis g pada bidang V melalui P dan tegak lurus garis (V,W).

c. Buat garis h pada bidang W melalui P dan tegak lurus gari (V,W).

d. Terbentuk sudut antara bidang V dan W yaitu α.

Perhatikanlah bahwa sudut yang terbentuk merupakan sudut antara garis g dan garis h yaitu α. Dengan demikian, sudut antar dua bidang dapat ditentukan oleh dua garis pada bidang tersebut yang saling tegak lurus pada garis potong dua bidang tersebut.

Home

exit

Contoh SOAL

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Besar sudut antara garis-garis:

a. AB dengan BG

b. AH dengan AF

c. BE dengan DF

Pembahasan :

Besar sudut antara garis-garis:

a.AB dengan BG = 90 derajat

b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH)

c. BE dengan DF = 900 (BE ^ DF)

Home

exit

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. Gambarlah sudut antara garis BG dengan ACGE, kemudian hitung besar sudutnya

Pembahasan:

Proyeksi garis BG pada bidang ACGE adalah garis KG

(K = titik potong AC dan BD)

Jadi <(BG,ACGE) = <(BG,KG)

<BGK

Home

exit

3. Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD !

Pembahasan :a. <(BDG,ABCD)• garis potong BDG dan ABCD ® BD• garis pada ABCD yang ^ BD ® AC• garis pada BDG yang ^ BD ® GPJadi <(BDG,ABCD) = <(GP,PC) = <GPC

b. sin<(BDG,ABCD) = sin <GPC

Jadi, sin<(BDG,ABCD)

Home

exit

Nama Kelompok :

1. Bella Suci Nur L. U. (09)

2. Diah Ayu Sugiharti(10)

3. Diya ‘Ulhaq(11)

4. Fanny Rohmatus S.(12)

5. Freygieon Ogiek R. S.(13)

6. Galuh Putri Pasicakti(14)

7. Hafizhil Uzhma A.(15)

8. Hanna Qoifathul F. U. (16)

Home

exit