1

Dimensi Tiga(Jarak)

Apriana Sari Ruslan, S.Pd.

Standar KompetensiMenentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Kompetensi DasarMenentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga

2

3

Kita akan membahas jarak antara:

titik ke titik

titik ke garis

titik ke bidang

4

Jarak titik ke titik

Peragaan ini,

menunjukan

jarak titik A ke B,

adalah panjang ruas garis

yang menghubungkan

titik A ke BA

B

Jara

k du

a tit

ik

5

ContohDiketahui

kubus ABCD.EFGHdengan

panjang rusuk a cm.Tentukan jarak

titik A ke C, titik A ke G,

dan jarak titik A ketengah-tengah bidang EFGH

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

P

6

PembahasanPerhatikan

segitiga ABC yangsiku-siku di B, maka

AC = = = = Jadi diagonal sisi AC = cm

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 BCAB 22 aa

2a2

2a

2a

7

Jarak AG = ?Perhatikan

segitiga ACG yangsiku-siku di C, maka

AG = = = = =Jadi diagonal ruang AG = cm

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 CGAC 22 a)2a(

2a3 3a

3a

22 aa2

8

A BCD

HE F

G

a cm

P

Jarak AP = ?Perhatikan

segitiga AEP yangsiku-siku di E, maka

AP =

=

=

= =Jadi jarak A ke P = cm

22 EPAE

2

212 2aa

2212 aa

223 a 6a2

1

6a21

9

Jarak titik ke GarisA

g

Jara

k tit

ik d

an g

aris

Peragaan ini,menunjukanjarak titik A kegaris g adalahpanjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g

10

Contoh 1

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 5 cm.Jarak titik A kerusuk HG adalah….

A BCD

HE F

G

5 cm

5 cm

11

Pembahasan

Jarak titik A kerusuk HG adalahpanjang ruas garisAH, (AH HG)A B

CD

HE F

G

5 cm

5 cm

AH = (AH diagonal sisi)

AH =

Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm

2a

25

12

Contoh 2

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm.Jarak titik B kediagonal AGadalah….

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

13

Pembahasan

Jarak B ke AG =jarak B ke P (BPAG)Diagonal sisi BG =6√2 cmDiagonal ruang AG= 6√3 cmLihat segitiga ABG

A BCD

HE F

G

6√2

cm6 cm

P6√

3 cm

A B

G

P

6√3

6

6√2

?

14

Lihat segitiga ABGSin A = = =

BP =

BP = 2√6

A B

G

P6√

3

6

6√2AG

BGAB

BP

36

26

6

BP

36

)6)(26(

?

Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm

3

66

3

3x

2

15

Contoh 3

Diketahui T.ABCDlimas beraturan.Panjang rusuk alas12 cm, dan panjangrusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah….12 cm

12√2

cm

T

C

A B

D

16

PembahasanJarak A ke TC = APAC = diagonal persegi = 12√2AP = = = = Jadi jarak A ke TC = 6√6 cm

12 cm

12√2

cm

T

C

A B

D

P

12√2

6√2

6√2

22 PCAC 22 )26()212( 108.2)36 144(2

6636.3.2

17

Contoh 4

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm danA B

CD

HE F

G

6 cm6 cm

Titik P pada pertengahan FG.

Jarak titik A dan garis DP adalah….

P

18

A BCD

HE F

G

6 cm6 cm

P Pembahasan

Q

6√2

cm

R

P

AD

G F

6 cm

3 cm

DP =

=

=

22 GPDG 22 3)26(

9972

19

Pembahasan

Q

6√2

cm

R

P

AD

G F

6 cm

3 cmDP =

Luas segitiga ADP

½DP.AQ = ½DA.PR

9.AQ = 6.6√2

AQ = 4√2

Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm

9972

4

20

Garis tegak lurus BidangGaris tegak lurus

sebuah bidangjika garis tersebuttegak lurus duabuah garis berpo-tongan yang ter-dapat pada bidang

V

g

a

bg a, g b,

Jadi g V

21

Jarak titik ke bidangPeragaan inimenunjukan jarakantara titik A kebidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus titik A ke bidang V

A

V

22

Contoh 1

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 10 cmJarak titik A kebidang BDHF adalah….

A BCD

HE F

G

10 cm

P

23

PembahasanJarak titik A kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(APBD)AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2

A BCD

HE F

G

10 cm

P

Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm

24

Contoh 2Diketahui limassegi-4 beraturanT.ABCD.Panjang AB = 8 cmdan TA = 12 cm.Jarak titik T kebidang ABCDadalah….

8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

25

PembahasanJarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP AC diagonal persegiAC = 8√2AP = ½ AC = 4√2

8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

P

26

AP = ½ AC = 4√2 TP = = = = = 4√7 8 cm

T

C

A B

D

12 c

m

P

2 2 AP AT 2 2 )24( 12

32 144 112

Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm

27

Contoh 3

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 9 cm.Jarak titik C kebidang BDGadalah….

A BCD

HE F

G

9 cm

28

PembahasanJarak titik C kebidang BDG = CPyaitu ruas garis yang dibuat melaluititik C dan tegaklurus GT

A BCD

HE F

G

9 cm

PT

CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3

Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm

SELAMAT BELAJAR

29