NÚMEROS COMPLEJOS

Son expresiones de la forma , con y la expresión i cumple lo siguiente:

Ejemplo:

1.

2.

3.

4.

5. 4

Igualdad de números complejos:

Ejemplos: Guía 13

Operaciones con números complejos

Suma y Resta con números complejos

Para sumar o Restar números complejos se simplifican términos semejantes.

Ejemplo:

Multiplicación de números complejos:

Se multiplica como el binomio de dos productos cualesquiera y se toma en cuenta

Ejemplo Guía 13

18.

19.

20.

1.

4.

6.

División de Números Complejos:

Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador

conjugado.

Ejercicios

8.

10.

29.

7.

12.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), y números (constantes)

relacionados mediante operaciones algebraicas (Suma, Resta, Multiplicación, División,

Potenciación y Radicación). Ejemplos

27.

22.

33.

1.

2.

3.

4.

Término: los términos son cantidades separadas por signos + o –

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Ecuaciones lineales en una variable o de primer grado: son ecuaciones de la forma

, donde ,

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

Resolución de una ecuación en primer grado

Fundamento:

1.

2.

3.

4.

1. Se realizan las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarla en la forma

2. Se despeja

Ejercicios Guía 14

Determinar si el valor dado es solución de la ecuación

Despejar de la fórmula dada la incógnita indicada

Inecuaciones de primer grado en una variable

Son desigualdades de la forma

Fundamentos

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.

Si satisface la ecuación

3.

Si satisface la ecuación

4.

Si satisface la ecuación

17.

7.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Resolución de inecuaciones de primer grado con una variable

1. Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta dejarle en la forma

2. Se despeja x

Ejemplo:

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Fundamento:

1.

2.

1.

2.

Ejemplo:

Resolver

Ejercicios Guía 15

Resuelva las siguientes inecuaciones lineales

8.

11.

Ejercicios Guía 16

1. Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo

2. Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la raíz cuadrada

3. Resolver la ecuación cuadrática completando el Trinomio Cuadrado Perfecto

3.

6.

3.

14.

17.

20.

4. Resolver la ecuación cuadrática aplicando la fórmula general

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN DOS VARIABLES

Fundamento:

1. Forma de la ecuación

La gráfica siempre es una parábola

2. Si a es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba

21.

3. Si a es negativa la parábola se abre hacia abajo

La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula

Ejercicio Guía 17

1.

3.

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real “a” se representa |a| y se obtiene de la siguiente forma

Ejemplo:

1.

2.

3.

Resuelva la ecuación en valor absoluto o determine si el valor no tiene solución

10.

14.

14.

Nota: el valor absoluto es importante por lo que se debe comprobar su solución

necesariamente

18.

Solución de ecuaciones con valor absoluto:

Resolver:

ECUACIONES RACIONALES

Fundamento:

Se debe excluir de la solución los valores de x que dan divisores para cero.

Inecuaciones Polinomiales: son inecuaciones de la forma:

Donde es un polinomio.

Ejemplo

1.

2.

3.

Solución de una ecuación polinomial

Método Abreviado:

El método abreviado se aplica a inecuaciones Polinomiales comparadas con cero en las que

todas las variables tienen coeficientes positivos.

Procedimiento:

1. Se ubica en la recta numérica todos los valores que hacen cero a cada factor de primer

grado, con lo que la recta numérica queda dividida en intervalos

2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el “+”, “-“

3. Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la

inecuación sea , . Cuando es o se incluyen los extremos de los intervalos.

Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares no influyen en la respuesta y

pueden ser omitidas

Ejercicios

Guía 18

1.

5.

6.

6.

Ejercicios Guía 18

Ejercicios Guía 20

17.

6.

6.

Determine los valores de x para los cuales la función polinomial es:

a.

b.

c.

6.

4.

Ejercicios

Guía 25

a) Divida el número 60 en 2 partes como tales que de la primera más de la segunda

sumen 10.

3.

Datos

Número = 60

Primera parte = x-48

Segunda parte = 60-x

y) El propietario de un edificio de 60 departamentos puede rentarlos todos si cobra 180$

mensuales. A un precio mayor, algunos departamentos permanecerán vacíos, en

promedio, por cada incremento de 5 dólares en el precio un departamento quedará

vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre cuánto se debe cobrar por cada

departamento para obtener un ingreso total de 11475$ y cuántos departamentos

rentará?

Datos

Número de departamentos vacíos =

Número de departamentos =

Precio por cada departamento =

Procedimiento y Resolución

Ejercicios

Guía 30

1.

2.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Línea recta

Ángulo de inclinación de una recta: es el menor ángulo positivo entre la recta y el eje “X”

(sentido antihorario positivo “+”)

Pendiente de una recta: es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y se representa

con la letra “m”

Ejercicios

Guía 31

Hallar la pendiente de la recta que pase por los puntos:

5.

6.

9.

Ecuación de la recta punto y pendiente: se conoce un punto y la pendiente m.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto:

)

Ecuación de la recta dados dos puntos:

Procedimiento:

1. Hallar m

2. Aplicar la fórmula de punto y pendiente

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:

X -2 0 2

Y

)

Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen:

Ejercicios

Guía 31

Determine la pendiente y el corte con el eje “Y” para la recta de la ecuación dada

17.

22. –

Rectas paralelas y perpendiculares:

Paralelas

Perpendiculares

Circunferencia

Están formadas por todos los puntos que se encuentran a una distancia igual a “r” radio del del

centro de la circunferencia.

Hallar la ecuación de la circunferencia de :

Ejercicios

Guía 33

Determinar la distancia entre los puntos

Determinar la distancia ente y

Coordenadas del punto medio

Dado el segmento entre los puntos las coordenadas del punto

medio es están dados por

Hallar el punto medio del segmento

Ecuación de la parábola

Ejercicios

Guía 35

6.

7.

5.

Ejercicios

Guía 36

Eje de Simetría

Determinar el eje de simetría

Escriba la ecuación de la función cuadrática

1.

16.

24.

Función exponencial

La función exponencial f es toda función de la forma donde

Donde

La constante es el valor inicial de f (en valor en ) y es la base.

Ejemplo:

1.

2.

3.

4. 2

5.

6.

CASO “A” Función Creciente

CASO “B” Función Decreciente

Ejercicios

Guía 38

Seleccione la gráfica de la función dada

Función Logística

3.

X 0

Y 1

11.

Función Logarítmica

Es la función inversa de la función exponencial y se define de la siguiente forma:

Ejemplos

Leyes de logaritmos

1.

2.

3.

4.

Cambio de base

Nota:

1. Si la base es 10, se acostumbra a omitir

2. Si la base es entonces el logaritmo se llama logaritmo natural (

1. 2.

3.

1.

2.

2.

Ejercicios

Guía 39

Resuelva la expresión como suma, resta o multiplicación de logaritmos

Ecuaciones exponenciales

Tienen la incógnita como exponente.

Método de Resolución

1. Se igualan bases y exponentes

2. Llevándola a un tipo de ecuación conocida

3. Por logaritmos

Ejercicios de ecuaciones exponenciales

1.

4.

21.

6.

8.

Ejercicios

Guía 40

Ecuaciones Logarítmicas

Tienen la incógnita dentro de un logaritmo.

Resolución de ecuaciones logarítmicas

1. Hallar el dominio (solo hay logaritmos de números positivos)

2. Resolver la ecuación para valores del dominio

13.

1.

17.

21.