Upload
radar-radius
View
172
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Determinan
Determinan
Yang dimaksud dengan determinan atau disingkat D adalah suatu bentuk susunan elemen elemen a ij yang disusun menurut jejeran baris-baris dan jejeran kolom-kolom sedangkan banyaknya jejeran baris haruslah sama dengan banyaknya jejeran kolom. Matriks adalah susunan unsur-unsur / bilangan yang berbentuk baris dan kolom. Banyaknya baris dan banyaknya kolom dari sebuah matriks disebut ordo matriks.
det A=|a11 a12 a13 ⋯ a1 i a1 j ⋯ a1n
a21 a22 a23 ⋯ a2 i a2 j ⋯ a2n
a31 a32 a33 ⋯ a3 i a3 j ⋯ a3n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ai1 ai2 ai3 ⋯ aii aij ⋯ a¿
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯an1 an2 an3 ⋯ a¿ anj ⋯ ann
|……. (1)Atau disingkat :
det A=|aij|, (i=1 ,2 ,3 ,…n ) ,( j=1 ,2,3 ,…n)
a) Transpose matriks
Transpose dari matriks a, ditulis At adalah dengan merubah baris dari matriks semula menjadi kolom atau merubah baris dari matriks semula menjadi kolom atau merubah kolom dari matriks semula menjadi baris
Contoh:matriks A=|1 2 34 −1 5|,maka A t=|1 4
2 −13 5 |
Sehingga apabila ordo dari matriks adalah m x n, maka ordo dari transposenya n x m
b) Penjumlahan dan pengurangan matriksDua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau bisa dikurangi apabila ordo dari matriks tersebut sama. Adapun cara menjumlahkan dan menguranginya adalah unsur unsur yang seletaknya dijumlahkan dan dikurangi
A=|a1 a2
a3 a4|,B=|b1 b2
b3 b4|A±B=|a1 a2
a3 a4|±|b1 b2
b3 b4|=|a1±b1 a3±b3
a2±b2 a4±b4|c) Perkalian matriks pada skalar
Untuk menetukan hasil perkalian sebuah matriks dengan skalar k adalah dengan cara mengalikan skalar k tersebut dengan semua unsur yang ada pada matriks tersebut
A=|a1 a2
a3 a4|k . A=k|a1 a2
a3 a4|=|k a1 k a2
ka3 k a4|Jika h dan k adalah bilangan real, A dan B adalah matriks matriks berordo m x n,
maka berlaku sifat sifat:(1) (h + k) A = hA + kA (4) I A = A(2) k (A + B) = kA + kB (5) (-1) A = -A(3) h (kA) = (hk) Ad) Dua buah matriks dikatakan sama apabila ordo dari kedua matriks tersebut sama dan
unsur unsur yang seletaknya samae) Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriks yang sebelah kiri sama dengan banyaknya baris dari matriks yang sebelah kanan, dan tidak berlaku sifat komutatif A x B ≠ B x AMisalnya:
diketahui A=|a1 a2
a3 a4|, B=|b1 b3
b2 b4|A x B=|a1 a2
a3 a4||b1 b3
b2 b4|=|a1b1+a2b2 a1b3+a2b4
a3b1+a4b2 a3b3+a4b4|Berdasarkan hasil yang diperoleh, disimpulkan:
Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif AB ≠ BA Perkalian matriks bersifat asosiatif, (AB) C = A (BC) Jika I adalah matriks identitas maka A.I = I.A = A
f) Pemangkatan matriks persegiJika A adalah sebuah matriks m x m, maka perkalian (A.A...A) = k faktor dapat dinyatakan dengan Ak, jadi jika k sebuah bilangan bulat positif, maka Ak = A.A...AA.A = A²A.A.A = A. A² = A³A.A.A....A = Aⁿ
g) Invers dari matriks ordo 2 x 2
Jika diketahui matriks A=|a bc d| maka balikan dari matriks A atau invers dari matriks
A ditulis A−1= 1ad−bc ( d −b
−c a )h) Determinan matriks derajat dua
Jika diketahui A=|a bc d| maka besarnya matriks A / determinan matriks A / det A
ditulis |A|=ad−bc i) Invers matriks ordo 3 x 3
Langkah langkah mencarinya:1) Cari kofaktor (M) dari matriks tersebut
| M 11 −M 12 M 13
−M 21 M 22 −M 23
M 31 −M 32 M 33|M11 maksudnya cari determinannya dengan mencoret baris
ke 1 dan kolom ke 12) Cari adjointnya yaitu transpose dari ke faktor diatas3) Cari determinannya
4) Cari inversnya dengan rumus A−1= 1det A
x adjointnya A
Misalnya:
Tentukan invers dari B=| 2 −1 14 3 −2
−3 1 −1|1) Cari determinan B = |B|=12) Cari kofaktor B
M11 = 3(-1)- (-2)1= -1M12 = 4 (-1) – (-2)(-3) = -10M13 = 4(1) – 3(-3) = 13M21 = -1(-1) – 1(1) = 0M22 = 2(-1) – 1(-3) = 1M23 = 2(1) – (-1)(-3) = -1M31 = -1(-2) – 1(3) = -1M32 = 2(-2) – 1(4) = -8M33 = 2(3) – (-1)(4) = 10
3) Adjoint B=|−1 0 −1−10 1 −813 −1 10|
4) Invers B=B−1= 1det B
xadjoint B
¿11|−1 0 −1
−10 1 −813 −1 10|
B−1=|−1 0 −1−10 1 −813 −1 10|
j) Dua matriks saling inversJika A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama sehingga AB = BA = I,Maka B merupakan invers dari A dan A merupakan invers dari B. perhatikan!
A=|1 11 2|, B=| 2 −1
−1 1 |,makaAB=|1 1
1 2|| 2 −1−1 1 |=|1 0
0 1|=IBA=| 2 −1
−1 1 ||1 11 2|=|1 0
0 1|=I
Terlihat bahwa AB = BA = I. Invers dari matriks A dituliskan A-1, sehingga:A . A−1=A−1 A=I
k) Membuktikan Rumus matriks berordo 2Untuk menujukkan bahwa A-1 adalah inver dari matriks A maka kita harus membuktikan bahwa A.A-1 = I
Misalnya: diket A=|a bc d|
A−1= 1ad−bc | d −b
−c a | akan dibuktikan bahwa A.A-1 = I
bukti A . A−1=IKita uraikan ruas kirinya
|a bc d|. 1
ad−bc | d −b−c a |=|a b
c d|| dad−bc
−bad−bc
−cad−bc
aad−bc
|| adad−bc
+ b(−c)ad−bc
a(−b)ad−bc
+ b (a)ad−bc
cdad−bc +
d (−c )ad−bc
c (−b)ad−bc +
d (a)ad−bc
|terbukti!| ad−bcad−bc
−ab+abad−bc
cd−ccdad−bc
ad−bcad−bc
|=|1 00 1|terbukti!
(i) Harga suatu determinan derajat dua atau tigaa) Definisi: harga suatu determinan derajat dua ditentukan dengan aturan sebagai berikut:
A2=|a11 a12
a21 a22|=a11 a22−a12 a21……(2)
b) Definisi: harga suatu determinan derajat tigaUntuk menentukan harga suatu determinan derajat tiga, ditentukan dengan suatu aturan yang dinamakan ekspansi/ babaran menurut suatu baris atau menurut suatu kolom dari determinan tersebut sebagai contoh:
A1=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|=a11|a22 a23
a32 a33|−a12|a21 a23
a31 a33|−a13|a21 a22
a31 a32|…… (3)
Merupakan det A3 yang dibabarkan menurut baris pertama dari (2) diperoleh harga :A3=a11 (a22a33−a23 a32)−a12 (a21 a33−a23a31 )+a13 (a21a32−a22a31)
¿a11 a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23 a31+a13 a21a32−a13 a22a31
atau¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33…….(3 ')
Bila det A3 dibabarkan menurut kolom kedua maka harga determinan adalah sebagai berikut:
A2=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|=−a12|a21 a23
a31 a33|+a22|a11 a13
a31 a33|−a32|a11 a13
a21 a23|…… ( 4 )
Dari (2) diperoleh harga:A3=−a12 (a21a33−a23 a31 )+a22 (a11 a33−a13 a31 )−a32 (a11a23−a13a21)¿−a12a21 a33+a12 a23 a31+a11a22 a33−a13a22a31−a11a23 a32+a13a21a32
¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33…….(4 ' )Ternyata bahwa dari (3) dan (4) diperoleh hasil yang sama ialah (3’) = (4’)
(ii) MinorDalam bentuk (3) pada (i) diatas secara berurutan determinan determinan:
|a22 a23
a32 a33|,|a21 a23
a31 a33|,dan|a21 a22
a31 a33| masing masing disebut minor dari elemen elemen a11 ,
a12 , a13 dalam det A3 tersebutDemikian juga dalam bentuk (4) determinan determinan:
|a21 a23
a31 a33|,|a11 a13
a31 a33|,dan|a11 a13
a21 a23| masing masing adalah minor dari elemen elemen a12 ,
a22 , a32 dalam det A3 tersebutDengan demikian bila dalam determinan:
A3=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
minor elemena ijdisebut M ij , dimana i , j=1 ,2 ,3 ,maka harga determinan dapat diperoleh sebagai berikut:
A3=a11M 11−a12M 12+a13M 13………. (5 )atau
¿−a21M 21+M 22−a23M23………. (6 )atau
¿a31M31−a32M 32+a33M 33………. (7 )
atau
¿a11M 11−a21M 21+a31M31………. (8 )
atau
¿−a12M 12+a22M22−a32M 32………. (9 )
atau
¿a13M 13−a23M 23+a33M 33………. (10 )
Bentuk (5), (6), dan (7) adalah harga det A yang masing masing dibabarkan menurut baris pertama, kedua dan ketiga sedangkan bentuk (8), (9) dan (10) adalah harga det A yang
masing masing dibabarkan menurut kolom pertama,kedua dan ketiga, dimana harga (5) = (6) = (7) = (8) = (9) = (10)
Tanda positif atau negatif dari suatu minor ditentukan oleh letak elemen yang membentuk minor tersebut yaitu sebagai berikut
Bila Mij adalah minor dari elemen aij dalam suatu determinan maka tanda Mij ditentukan dengan harga:
(-1)i+j ..............................(11)
Yang berarti bahwa:
Bentuk (11) berharga positif (+) bila i+j adalah genap dan berharga negatif (-) bila i+j adalah ganjil
Dengan menggunakan ketentuan (11) maka harga det A dapat diperoleh seperti yang diberikan dalam bentuk (5) sampai dengan (10) misalnya bentuk (5) dan (9) seperti berikut:
A3=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
¿(−1)1+1a11M 11+(−1)1+2a12M 12+(−1)1+3a13M 13
¿a11M 11−a12M 12+a13M13 seperti pada (5 )
Atau
¿(−1)1+2a12M12+(−1)2+2a22M 22+(−1)3+2a32M 32
¿−a12M 12+a22M22−a32M 32 seperti pada (9 )
(iii) Harga determinan derajat tiga dengan metode diagonalHarga determinan derajat tiga yang telah disajikan dalam (i) bagian (b) dengan rumus (3’) atau (4’) dapat diperoleh sebagai berikut:Letakkan dua kolom pertama (dari deterinan ) pada sebelah kanan determinan, sehingga seolah-olah merupakan kolom keempat dan kelima.Maka harga determinan A3 sama dengan jumlah dari hasil pergandaan elemen elemen yang terletak pada diagonal pokok dan elemen elemen yang terletak menurut arah garis yang sejajar dengan diagonal pokok tersebut, selanjutnya dikurangi (minus) hasil pergandaan elemen elemen menurut arah diagonal yang lain seperti terbaca pada skema dibawah ini:
|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|a11 a12
a21 a22
a31 a32
jadi A3=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
¿a11 a22a33+a12a23 a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33
Seperti terbaca pada (3’) atau (4’) di muka
Perhatikan cara (iii) ini hanya berlaku untuk determinan derajat tiga
(iv) Harga determinan derajat empat atau lebih Menghitung harga determinan derajat empat atau lebih dapat dilakukan dengan cara babaran menurut suatu baris atau kolom seperti diuraikan dalam (ii) diatas sehingga diperoleh bentuk bentuk determinan yang berderajat satu atau lebih kecil dari derajat determinan semula. Proses babaran diteruskan, sehingga pada langkah terakhir diperoleh bentuk-bentuk determinan derajat dua atau tiga yang selanjutnya dapat diselesaikan dengan (i) atau (ii) di mukaBila An adalah determinan yang berderajatr n dengan bentuk seperti berikut:
An=| a11 a12 a13 ¿a1 j ¿a1n
a21 a22 a23 ¿a2 j ¿a2n
¿ai1 ai2 a i3 ¿a ij ¿a¿
¿an1 an2 an3 ¿anj ¿ ann|
Dan bila An dibabarkan menurut baris ke i, maka harga determinan adalah sebagai berikut:
An=|a11 a12 a13 ¿a1 j ¿a1n
a21 a22 a23 ¿a2 j ¿a2n
a31 a32 a33 ¿a3 j ¿a3n
¿ai1 ai2 a i3 ¿a ij ¿a¿
¿an1 an2 an3 ¿anj ¿ ann|
¿(−1)i+1a i1M i1+(−1)i+2ai2M i2+(−1)i+3ai3M i3+…+(−1)i+ jaijM ij+…+(−1)i+na¿M ¿…….(12)Mij adalah minor elemenaij dan Mij merupakan determinan yang berderajat (n-1) atau satu lebih kecil dari derajat An sedangkan elemen elemen Mij diambil dari (terdiri dari) elemen elemen An yang telah dibuang / dihapus baris ke i dan kolom ke j nya berarti derajat Mij adalah (n-1) Bentuk (12) di muka dapat ditulis menjadi
An=ai1 A i1+ai2 Ai2+ai3 A i3+…+aij Aij+…+a¿A ¿……. (13 )
Ai1, Ai2 , Ai3, ... Aij, ..... , Ain masing masing dinamakan kofaktor dari elemen elemen Ai1, ai2
, ai3, ... aij, ..... , ain dalam determinan An dan Aij=(−1)i+ jM ij……….(13' )
Bentuk rumus (13) berarti bahwa harga det An sama dengan jumlah hasil pergandaan
elemen elemen baris ke i dan kofaktor - kofaktor yang bersesuaian dari masing masing
elemen tersebut
Secara umum diperoleh:
Harga suatu determinan sama dengan jumlah hasil pergandaan elemen elemen menurut
suatu baris (kolom) dan kofaktor- kofaktor yang bersesuaian dari masing- masing elemen
tersebut.
Misalkan n = 4 maka diperoleh determinan berderajat empat dengan bentuk dan harganya
sebagai berikut:
A3=|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|
Dan bila dibabarkan menurut baris ketiga, maka:
A3=a31|a12 a13 a14
a22 a23 a24
a42 a43 a44|−a32|a11 a13 a14
a21 a23 a24
a41 a43 a44|+a33|a11 a12 a14
a21 a22 a24
a41 a42 a44|−a34|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a41 a42 a43|
Dari contoh diatas, bila suatu determinan berderajat empat dikembangkan menurut suatu
baris atau kolom, maka diperoleh empat macam / bentuk determinan derajat tiga. Demikian
juga dapat diperoleh:
Bila suatu determinan berderajat lima dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka akan
diperoleh lima macam / bentuk determinan berderajat empat
A4=|a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
|¿a11M 11+a21M 21+a31M 31+a41M 41+a51M 51
¿(−1)1+1a11M 11+(−1)2+1a21M 21+(−1)3+1a31M 31+(−1)4+1a41M 41+(−1)5+1a51M 51
¿a11M 11−a21M 21+a31M 31−a41M 41+a51M 51
¿a11|a22 a23 a24 a25
a32 a33 a34 a35
a42 a43 a44 a45
a52 a53 a54 a55|−a21|a12 a13 a14 a15
a32 a33 a34 a35
a42 a43 a44 a45
a52 a53 a54 a55|+a31|a12 a13 a14 a15
a22 a23 a24 a25
a42 a43 a44 a45
a52 a53 a54 a55|−a41|a12 a13 a14 a15
a22 a23 a24 a25
a32 a33 a34 a35
a52 a53 a54 a55|+a51|a12 a13 a14 a15
a22 a23 a24 a25
a32 a33 a34 a35
a42 a43 a44 a45|……… ..(5)
Selanjutnya, karena M11, M21, M31, M41, dan M51 merupakan determinan 4 x 4, maka kita
uraikan lagi dengan menggunakan kofaktor. Ambil i = 1, 2, 3, 4, 5 dan j = 1, maka dengan
metode sarrus, yang pertama didapatkan:
|a22 a23 a24 a25
a32 a33 a34 a35
a42 a43 a44 a45
a52 a53 a54 a55|=a22|a33 a34 a35
a43 a44 a45
a53 a54 a55|−a32|a23 a24 a25
a43 a44 a45
a53 a54 a55|+a42|a23 a24 a25
a33 a34 a35
a53 a54 a55|−a52|a23 a24 a25
a33 a34 a35
a43 a44 a45|=a
Yang kedua yaitu:
|a12 a13 a14 a15
a32 a33 a34 a35
a42 a43 a44 a45
a52 a53 a54 a55|=a12|a33 a34 a35
a43 a44 a45
a53 a54 a55|−a32|a13 a14 a15
a43 a44 a45
a53 a54 a55|+a42|a13 a14 a15
a33 a34 a35
a53 a54 a55|−a52|a13 a14 a15
a33 a34 a35
a43 a44 a45|=b
Yang ketiga yaitu:
|a12 a13 a14 a15
a22 a23 a24 a25
a42 a43 a44 a45
a52 a53 a54 a55|=a12|a23 a24 a25
a43 a44 a45
a53 a54 a55|−a22|a13 a14 a15
a43 a44 a45
a53 a54 a55|+a42|a13 a14 a15
a23 a24 a25
a53 a54 a55|−a52|a13 a14 a15
a23 a24 a25
a43 a44 a45|=c
Yang ke empat yaitu:
|a12 a13 a14 a15
a22 a23 a24 a25
a32 a33 a34 a35
a52 a53 a54 a55|=a12|a23 a24 a25
a33 a34 a35
a53 a54 a55|−a22|a13 a14 a15
a33 a34 a35
a53 a54 a55|+a32|a13 a14 a15
a23 a24 a25
a53 a54 a55|−a52|a13 a14 a15
a23 a24 a25
a33 a34 a35|=d
Yang kelima yaitu:
|a12 a13 a14 a15
a22 a23 a24 a25
a32 a33 a34 a35
a42 a43 a44 a45|=a12|a23 a24 a25
a33 a34 a35
a43 a44 a45|−a22|a13 a14 a15
a33 a34 a35
a43 a44 a45|+a32|a13 a14 a15
a23 a24 a25
a43 a44 a45|−a42|a13 a14 a15
a23 a24 a25
a33 a34 a35|=e
Persamaan yang a, b, c, d, dan e dimasukkan kedalam persamaan (5)
Bila suatu determinan berderajat enam dibabarkan menurut suatu baris atau kolom, maka
akan diperoleh enam macam / bentuk determinan berderajat lima
Jadi, untuk menghitung harga suatu determinan berderajat enam dengan cara babaran akan
menghasilkan:
6 x5 x 4=6 !3! macam/bentuk determinan berderajat tiga (yang selanjutnya dapat diselesaikan)
Bila suatu determinan berderajat n dibabarkan , maka dapat diperoleh n !3! macam / bentuk
determinan berderajat tiga
(v) Sifat sifat detrminan
Untuk pembuktian sifat sifat berikut ini lebih banyak disajikan dalam betuk contoh,
langkah ini diambil untuk mudah dipahami oleh para pemakai yang selanjutnya sifat sifat
tersebut dapat diperluas berlaku umum:
(a) Babaran suatu determinan berderajat n, menghasilkan/ memuat n! suku
Bukti! Seperti yang telah diuraikan pada (iv) di muka. Maka bila suatu determinan
berderajat n dibabarkan dapat diperoleh n !3! bentuk determinan derajat 3
Pada determinan derajat tiga bila dibabarkan akan memuat / menghasilkan 3 bentuk
determinan derajat dua yang masing masing menghasilkan dua suku, sehingga bila suatu
determinan berderajat n dibabarkan maka diperoleh:
( n !3 !x 3x 2) suku atau n! suku
catatan: setiap suku tersebut merupakan hasil pergandaan elemen elemen yang diambil
satu dan hanya satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom
(b) Harga suatu determinan tidak berubah, bila baris-baris dan kolom-kolom yang
bersesuaian / berkorespondensi ditukar tempatnya
Bukti: untuk bukti diambil contoh determinan derajat tiga yang selanjutnya dapat
diperluas untuk determinan dengan derajat lebih dari tiga
Misalnya: A=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
¿a11 a22a23+a12a23a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33
Bila pada determinan A tersebut diatas ini:
Baris pertama ditukar dengan kolom pertama
Baris kedua ditukar dengan kolom kedua
Baris ketiga ditukar dengan kolom ketiga
Maka diperoleh det B=|a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33|
¿a11 a22a33+a21a32 a13+a31 a12 a23−a31 a22 a13−a11 a32a23−a21 a12a33
¿a11 a22a23+a12a23a31+a13 a21 a32−a13 a22 a31−a11 a23a32−a12 a21a33
Yang ternyata merupakan harga det A
(c) Bila dalam suatu determinan terdapat suatu baris atau suatu kolom semua elemenya
adalah nol. Maka harga determinan tersebut sama dengan nol
Bukti: sebagai akibat dari catatan sifat (a) di muka.
(d) Bila dua baris atau dua kolom yang berurutan dalam suatu determinan ditukar tempatnya,
maka harga determinan hanya berubah dalam tanda
Bukti: diambil contoh pada determinan derajat tiga
A=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|=a11a22a23+a12a23 a31+a13a21a32−a13 a22a31−a11a23a32−a12a21a33
Bila kolom kedua dan ketiga ditukar maka diperoleh determinan
A=|a11 a13 a12
a21 a23 a22
a31 a33 a32|=a11a23a32+a13 a22 a31+a12a21a33−a12 a23a31−a11a22a33−a13a21a32
¿a11 a23a32+a13a22a31+a12a21a33−(a12a23 a31+a11a22a33+a13 a21 a32 )
¿−(a11 a22a33+a12a23 a31+a13a21 a32)+a13 a22a31+a11a23a32+a12a21a23
¿−A
(e) Bila dua baris atau dua kolom dari suatu determinan adalah identik, maka harga
determian tersebut sama dengan nol
Bukti: misalkan baris kedua dan ketiga dari determinan A adalah identik dan bila kedua
baris tersebut ditukar tempatnya satu dengan yang lain, maka dari sifat (d) diperoleh:
A = -A atau 2A=0 → A =0
Jadi harga determinan A = 0
(e2) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom dari suatu determinan digandakan
dengan suatu besaran k, maka harga determinan yang terjadi(baru) sama dengan hasil
ganda k dengan determinan semula.
Bukti: determinan dibabarkan menurut baris atau kolom yang elemen elemennya telah
digandakan k, maka akan diperoleh bentuk babaran determinan semula menurut baris
atau kolom tersebut dengan setiap sukunya digandakan k.
Misalnya determinan semula adalah A berderajat empat atau ditulis:
A3=|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|
baris ketiga digandakan k dan determinan yang baru dsinamakan b, maka
B=| a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
ka31 k a32 k a33 k a34
a41 a42 a43 a44|
dibabarkan menurut baris ketiga, maka diperoleh harga determinan B
B=ka31|a12 a13 a14
a22 a23 a24
a42 a43 a44|−ka32|a11 a13 a14
a21 a23 a24
a41 a43 a44|+ka33|a11 a12 a14
a21 a22 a24
a41 a42 a44|−ka34|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a41 a42 a43|yang
berarti bahwa ruas kanan adalah hasil ganda besaran k dengan determinan A (yang
dibabarkan menurut baris ketiga)
jadi| a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
ka31 k a32 k a33 k a34
a41 a42 a43 a44|=k|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|
(e3) bila elemen elemen yang bersesuaian / berkorespondensi dari dua baris atau dua kolom
dalam suatu determinan adalah sebanding, maka harga determinan sama dengan nol
Bukti: misalnya pada determinan derajat empat elemen elemen yang dimaksud adalah
elemen elemen dalam kolom ke dua dan ketiga yang bersesuaikan adalah sebanding,
yang berarti:
a12
a13=a22
a23=a32
a33=a42
a43=c, maka
|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|=|a11 a13 a13 a14
a21 a23 a23 a24
a31 a33 a33 a34
a41 a43 a43 a44|=c|a11 a13 a13 a14
a21 a23 a23 a24
a31 a33 a33 a34
a41 a43 a43 a44|…dari (e2 )
¿c .0=0…………………..dari(e1)
(f) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom tertentu dalam suatu determian
merupakan penjumlahan dua suku, maka bentuk determian semula dapat disajikan dalam
bentuk penjumlahan dua determinan yang elemen elemennya merupakan pemisahan dari
dua suku pada baris atau kolom yang lain adalah sama seperti pada determinan semula.
Atau lebih jelasnya sebagai berikut, pada determinan A berderajat tiga, setiap elemen
dalam baris kedua merupakan penjumlahan dua suku, maka
A=| a11 a12 a13
(a21+a'21) (a22+a
'22) ¿
a32¿a33¿|¿|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|+|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
Bukti: untuk pembuktian disini diambil determinan A tersebut diatas dan dibabarkan
menurut baris kedua, maka:
A=| a11 a12 a13
(a21+a'21) (a22+a
'22) ¿
a32¿a33¿|¿−(a21+a
'21 )|a12 a13
a32 a33|+(a22+a'22)|a11 a13
a31 a33|−(a23+a'23)|a11 a12
a31 a32|
¿−a21|a12 a13
a32 a33|+a22|a11 a13
a31 a33|−a23|a11 a12
a31 a32|−a'21|a12 a13
a32 a33|+a'22|a11 a13
a31 a33|−a'23|a11 a12
a31 a32|Jadi dari (ii) pada (b) diperoleh:
A=| a11 a12 a13
(a21+a'21) (a22+a
'22) ¿
a32¿a33¿|
|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|+|a11 a12 a13
a '21 a' 22 a '23
a31 a32 a33|
(g) Bila setiap elemen dari suatu baris atau suatu kolom setelah digandakan dengan suatu
besaran k, kemudian ditambahkan pada setiap elemen yang bersesuaian dari baris atau
kolom yang lain dalam suatu determinan, maka harga determinan tersebut tidak berubah.
Bukti: diambil determinan A berderajat empat
A=|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|
bila setiap elemen dari kolom ketiga digandakan dengan k, kemudian ditambahkan pada
setiap elemen yang bersesuaian dari kolom kedua, maka diperoleh:
|a11 (a12+ka13 ) a13 a14
a21 (a22+ka23 ) a23 a24
a31 (a32+ka33 ) a33 a34
a41 (a42+ka43 ) a43 a44|=|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|+|a11 ka13 a13 a14
a21 ka23 a23 a24
a31 ka33 a33 a34
a41 ka43 a43 a44|……dari (f )jadi
dari (e3) diperoleh:
|a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44|=|a11 (a12+ka13) a13 a14
a21 (a22+ka23) a23 a24
a31 (a32+ka33) a33 a34
a41 (a42+ka43 ) a43 a44|
Sumber: kalkulus, karya H. M hasyim baisuni, editor: Dr. SM Nababan