1

C. Determinan dan Invers Matriks

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat :

� Menentukan determinan dan invers matriks ordo 2x2;

� Menentukan minor, kofaktor, dan adjoin matriks;

� Menentukan determinan dan invers matriks ordor 3x3;

1. Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2x2 berikut ini.

Determinan dari matriks A didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali elemen-elemen pada

diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder.

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau . Berdasarkan definisi determinan, diperoleh determinan dari matriks A sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut.

Jawab :

dan

det

det

2

Contoh Soal 2 Diketahui matriks A dan matriks B berikut. Jika det A = det B, tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Jawab :

Karena det A = det B, maka

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah – 4 dan 4.

2. Determinan Matriks Ordo 3x3

Misalkan, A matriks persegi berordo 3x3 berikut ini.

Determinan dari matriks A adalah

Untuk mencari nilai determinan dari matriks A yang berordo 3x3, digunakan Metode Sarrus.

Adapun langkah-langkah metode Sarrus adalah sebagai berikut :

dan

det

det

det(A) =

3

1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua dari matriks A, kemudian diletakan di sebelah

kanan tanda determinan.

2. Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar

dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah tersebut dengan D1.

D1 = (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h)

3. Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar

dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah tersebut dengan D2.

D2 = (g)(e)(c) + (h)(f)(a) + (i)(d)(b)

4. Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka det A = D1 – D2.

= (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) - (g)(e)(c) - (h)(f)(a) - (i)(d)(b)

= D1 – D2

Berdasarkan nilai diskriminannya suatu matriks dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu matriks singular

dan matriks non singular. Matriks singular adalah matriks yang determinanya nol, sedangkan

matriks non singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.

Contoh Soal 3 Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.

det(A) =

4

Jawab :

Contoh Soal 4

Determinan matriks adalah 5, tentukan nilai x.

Jawab :

Karena

det

det

5

3. Invers Matriks

Pada aljabar bilangan, Anda telah mengenal bahwa jika suatu bilangan dioperasikan dengan invers

perkaliannya maka akan diperoleh unsur identitas. Begitu pula dalam matriks, jika suatu matriks

dikalikan dengan inversnya maka akan diperoleh matriks identitas. Pelajari ilustrasi berikut,

supaya Anda lebih memahami pernyataan di atas.

Karena perkalian antara matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas, maka dapat

disimpulkan bahwa matriks A dan matriks B saling invers. Hal ini berarti matriks B merupakan

matriks invers dari matriks A (ditulis B = A-1). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika A

dan B merupakan dua matriks persegi berordo sama dan memenuhi persamaan AB = BA= I, maka

matriks A adalah matriks invers dari B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

Contoh Soal 5

Diketahui matriks-matriks berikut.

Jawablah pertanyaan berikut ini.

a. Apakah matriks H merupakan matriks invers dari matriks G ? b. Apakah matriks K merupakan matriks invers dari matriks G ?

Jawab :

a. Matriks H merupakan matriks invers dari matriks G jika memenuhi persamaan GH = I.

Karena GH = I, maka matriks H merupakan invers dari matriks G.

b. Matriks K merupakan matriks invers dari matriks G jika memenuhi persamaan GK = I.

Misalkan dan , maka

, dan

6

Karena GK ≠ I, maka matriks K merupakan invers dari matriks G.

Untuk mempelajari tentang invers matriks lebih lanjut, Anda harus memahami bagaimana cara

menentukan invers dari suatu matriks.

a. Adjoin Matriks Ordo 2x2

Adjoin dari matriks ordo 2x2 diperoleh dengan cara menukar elemen pada diagonal utama dan

elemen pada diagonal sekunder dikalikan dengan (- 1).

Contoh Soal 6

Diketahui matriks tentukan adjoin dari matriks A.

Jawab :

Jadi, adjoin matriks A adalah

b. Minor, Kofaktor dan Adjoin Matriks 1) Minor

Misalkan matriks A berordo 3x3 sebagai berikut :

Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan, maka akan diperoleh

matriks baru dengan ordo 2x2, determinan dari matriksnya dinamakan minor.

Karena kita menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2, maka minor tersebut

dilambangkan oleh M12. Sehingga dari matriks A di atas akan diperoleh minor-minor

matriks yaitu :

Misalkan, jika , maka adjoin

, maka adjoin

7

• Minor dari baris ke-1 dan kolom ke-1 adalah M11

• Minor dari baris ke-2 dan kolom ke-1 adalah M21

• Minor dari baris ke-3 dan kolom ke-1 adalah M31

• Minor dari baris ke-1 dan kolom ke-2 adalah M12

• Minor dari baris ke-2 dan kolom ke-2 adalah M22

• Minor dari baris ke-3 dan kolom ke-2 adalah M32

• Minor dari baris ke-1 dan kolom ke-3 adalah M13

• Minor dari baris ke-2 dan kolom ke-3 adalah M23

• Minor dari baris ke-3 dan kolom ke-3 adalah M33

Sehingga diperoleh matriks minor dari matriks A adalah sebagai berikut :

2) Kofaktor

Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor adalah hasil perkalian

elemen minor Mij dengan (- 1) i+j

. Dengan demikian, Kij = (- 1) i+j

Mij. Sehingga

diperoleh matriks kofaktor dari minor-minor di atas adalah.

8

3) Adjoin Matriks

Jika kofaktor dari matriks A tersebut di-transposkan, maka didapat matriks baru yang

disebut sebagai Adjoin A, dan ditulis sebagai berikut :

Contoh Soal 7

Diketahui matriks

Tentukan :

a. minor matriks A

b. kofaktor matriks A

c. adjoin A

Jawab :

a) Menentukan minor matriks A.

Adj

9

Berdasarkan nilai-nilai minor di atas, maka matriks minornya adalah

b) Menentukan matriks kofaktor.

10

Sehingga, matriks kofaktor A adalah

c) Menentukan adjoin A.

c. Invers Matriks Berordo 2x2

Misalkan merupakan matriks yang memiliki invers yaitu matriks yang

memiliki nilai dterminan tidak nol (matriks ini disebut matriks non singular, maka invers

dari A yaitu A-1

yang dinyatakan

Contoh Soal 8

Diketahui matriks , tentukan invers dari matriks A.

Jawab :

Adj

Adjoin A

� det

Adjoin A

11

Jadi, invers dari matriks A adalah

Contoh Soal 9

Diketahui matriks-matriks berikut.

Tentukan invers dari matriks-matriks tersebut jika ada.

Jawab :

Periksa nilai determinan dari matriks P

Karena det P ≠ 0, maka matriks P memiliki invers.

dan

det

Adjoin P

12

Adjoin A

Periksa nilai determinan dari matriks Q

Karena det Q = 0, matriks Q tidak memiliki invers.

d. Invers Matriks Berordo 3x3

Misalkan, merupakan matriks yang memiliki invers, dengan

det A ≠ 0, maka invers dari A, yaitu A-1

yang dinyatakan

Contoh Soal 10

Tentukan invers dari

Jawab :

det

det

13

Berdasarkan contoh soal nomor 7 di atas (halaman 8) diperolah

Dengan demikian

Jadi, invers matriks A adalah

Contoh Soal 11

Diketahui matriks-matriks berikut

Tentukan :

a. R-1

S

b. (RS)-1

Adj

Adjoin A

dan

14

Adjoin (RS)

Jawab :

a. Soal bagian a

b. Soal bagian b

Jadi,

maka Adjoin R