1

Brøk, desimaltall og prosent

Matematikk i uke 40, 2009

Avd. for Lærerutdanning, HVE

2

Å telle

Vi bruker de naturlige tallene 1, 2, 3, … for å telle.

• Antall søsken du har

• Antall sider i ei bok

• Antall CD-plater du eier

3

Men det holder ikke alltid med hele tall.

• Hvor lang tid leste du?

• Hvor mange vafler spiste han?

• Alder, særlig til et lite barn

Vi må kunne telle deler / andeler av en hel.

4

Hanne leste to bøker på tre timer, og brukte like lang tid på begge. Hvor lang tid leste hun på hver bok?

Tre timer skal her deles i to like store deler.

Hver del blir halvannen time.

Vi skriver 1½ timer eller 3/2 timer.

½ time = “én time delt på to” = (1 time) : 2.

5

Et annet eksempel

Vi deler boller inn i pakker med tre. Hvor mange pakker rekker 12 boller til?

Jo, med 12 boller kan vi lage 12:3 = 4 pakker.

“Hvor mange ganger går 3 opp i 12?”

6

Delings- og målingsdivisjon

• Når vi vet hvor mange delmengder vi fordeler på, kalles det delingsdivisjon. Den ukjente er hvor mange i hver delmengde.

• Når vi vet antall i hver delmengde, kalles det målingsdivisjon. Den ukjente er hvor mange delmengder det rekker til.

7

I brøktallet 1/2 kaller vi 1eren for telleren, som står for hvor mange (timer, kaker osv.) vi deler opp.

Vi kaller 2eren for nevneren, som står for hvor mange delmengder vi fordeler på (delingsdivisjon)

eller hvor stor hver delmengde er (målingsdivisjon).

8

Hvor brøk oppstår

Opptelling av størrelser som ikke er hele tall

• Hvor mye av kaken ble spist?

• Hvor gammel er jenta?

• Hvor lang tid gikk du?

9

Sammenligning mellom en del og det hele

• Vi kjørte halvveis til Tromsø.

• Han tilbrakte halvparten av sitt liv i Oslo.

• En nordmann bruker gjennomsnittlig en fjerdedel (eller firedel) av sin lønn på mat.

10

I matematikken, for å utføre divisjon:

Hvor mange ganger går 3 opp i 5?

Det går opp 5 : 3 = 1 2/3 ganger.

M.a.o. én gang, og da er det totredeler igjen.

Et annet eksempel: 351 : 65 = 5 26/65.

11

Ekte brøktall

Eks.: Hvor mye av kaken ble spist?

En brøk hvis telleren er mindre enn nevneren, kalles for en ekte brøk.

F. eks. 3/7, 30/71, 438/949.

En ekte brøk er alltid mindre enn 1.

12

Uekte brøker

Eks.: Hvor mange timer brukte Hanne på hver bok?

En brøk hvis telleren er større enn nevneren, kalles for en uekte brøk.

F. eks. 10/4, 51/16, 95/19.

En uekte brøk er alltid større enn 1.

13

Blandet tall

En uekte brøk kan gjøres om til et blandet tall ved å utføre divisjonsstykket:

10/4 = 10 : 4 = 2 1/2

51/16 = 51 : 16 = 3 3/16

95/19 = 95 : 19 = 5

14

En liten obs

Ofte i matematikken, hvis vi skriver to uttrykk ved siden av hverandre, betyr det at de skal ganges sammen.

F.eks., i algebra skriver vi 2x for “to ganger x” eller x + x.

Men hos et blandet tall, adderes de to bitene: 2½ betyr “to pluss en halv”.

15

Likeverdige/ekvivalente brøker

To brøker som representerer det samme tallet er likeverdige eller ekvivalente. For eksempel,

10/2 = 15/3 = 1025/205 = 5/1 = 5

og

3

12

114

266

3

7

6

14

16

Å forkorte brøker

Av og til kan vi skrive en brøk på en enklere måte enn den det ble oppgitt på:

4/14 = 2/7.

Hvis det finnes et tall som går opp både over og under brøkstreken (m.a.o., hvis telleren og nevneren har en felles faktor) da kan vi “fjerne” det.

17

Andre eksempel:

7

2

87

82

56

16

5

27

135

1327

65

351

18

Obs: Tallet som vi forkorter med, må dele hele telleren og nevneren.

2

52

3

6

12

15

19

Å legge sammen brøker

Hvis to brøktall har samme nevner, kan vi lett legge dem sammen, ved bare å legge sammen tellerne:

8

11

8

9

8

63

8

6

8

3

eller

50

21

50

17

50

4

20

Men hvordan beregner vi 2/5 + 1/2?

Vi må finne et begrep som dekker både femtedeler og halvdeler.

Nøkkelpoeng:

Vi sier at vi utvider 2/5 med 2 og ½ med 5.

Da får vi10

9

10

5

10

4

2

1

5

2

.10

5

52

51

2

1 og

10

4

25

22

5

2

21

Et annet eksempel:

12

53

12

172

12

8

12

92

3

2

4

32

22

Vi kan alltid finne en felles nevner ved å gange sammen nevnerne.

Men det lønner seg å velge den minste felles nevneren, slik at vi slipper å forkorte.

For eksempel:

12

19

24

38

24

20

24

18

6

5

4

3

men det er lettere slik:

.12

19

12

10

12

9

6

5

4

3

23

Subtraksjon med brøk

For å trekke en brøk fra en annen, finner vi felles nevner som ved addisjon, og trekker den ene telleren fra den andre:

45

17

45

1835

45

18

45

35

5

2

9

7

Et annet eksempel:

20

7

60

21

60

5534

60

55

60

34

12

11

30

17

24

Å dele en halv pizza

Andreas, Bent og Christian er litt småsulten, og har kjøpt en halv pizza som de skal dele opp.

Hvor mye av en hel pizza spiser hver av dem?

1/3 av en halv pizza = 1/6 av en hel pizza.

Når det gjelder brøk, betyr ordet “av” egentlig det samme som “ganger” eller “multiplisert med”.

25

Å gange sammen brøktallHva betyr det å gange sammen 2/3 og 9/10?

Det er som å finne to tredeler av 9/10.

Én tredel av 9/10 er 3/10. To tredeler av 9/10 blir to ganger så stor som 3/10. Så får vi 6/10, eller 3/5.

Dette kan vi lettere få til ved å gange sammen tellerne og nevnerne:

5

3

65

63

30

18

10

9

3

2

26

Andre eksempler:

8

5

24

15

46

35

4

3

6

5

70

9

7

3

10

3

27

Å fylle på flasker

Onkel Petter lager hjemmebrent, som han heller opp i 250ml colaflasker.

I år har han laget 15 liter sprit. Hvor mange colaflasker trenger han?

28

Å dele brøktall

Hva betyr det “å dele”?

27 : 3 = 9

betyr “3 går 9 ganger opp i 27”.

og 14 : 5 = 2 4/5

betyr “5 går 2 4/5 ganger opp i 14”.

29

Så, det å dele for eksempel 15 med 1/4, er å spørre “hvor mange ganger går en firedel opp i femten?”

Tilbake til Onkel Petters hjemmebrent: Fra hver liter får vi fire flasker sprit, så til sammen får vi (4 x 15) eller seksti flasker.

Altså 15 : 1/4 = 60.

30

Et annet eksempel: hvor mye er 5 : 2/3?

Jo, 2/3 går sju ganger opp i 4 2/3, og da står vi med 1/3 igjen.

Siden 1/3 er halvparten av 2/3, får vi at 2/3 går til sammen sju og en halv ganger opp i 5.

I symboler: 5 : 2/3 = 7 ½.

31

Vi kan få til dette ved å gange 5 med den inverse av 2/3:

Dette gjelder generelt: for å dele på en brøk, ganger vi med dens inverse.

Et annet eksempel:

2

17

2

152

3532:5

3

10

90

300

910

2512

9

25

10

12

25

9:

10

12

32

Desimaltall

En utvidelse av posisjonssystemet. Et helt tall bygges opp slik:

8874 = 8∙1000 + 8∙100 + 7∙10 + 4

Tallet har et siffer for 1ere, 10ere, 100ere osv. oppover.

Et desimaltall har noe i tillegg: Det har også et siffer for hver av brøkene 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10 000 osv.

55,296 = 5∙10 + 5∙1 + 2∙1/10 + 9∙1/100 + 6∙1/1000 .

33

Noen viktige desimaltall

Byggeklossene hos desimaltall kan være

• 0,1 = 1/10

• 0,01 = 1/100

• 0,001 = 1/1000

• 0,0001 = 1/10 000

og så videre.

34

Å gjøre om fra brøk til desimaltall

Hva er ¾ som desimaltall?

Vi begynner ved å utføre divisjonsstykket.

Fremfor å avslutte når vi får en rest, skal vi fortsette “forbi” kommaet:

3:4 = 0,7500… = 0,75.

35

Fra desimaltall til brøk

Vi skriver et desimaltall som en brøk med en potens av 10 i nevneren.

Da forkorter vi, hvis det er mulig.

Eksempel: 34,56 = 34 56/100 = 34 28/50.

6,035 = 6 35/1000 = 6 7/200.

36

Brøk eller desimaltall?

Noen brøktall kan uttrykkes presist som desimaltall, for eksempel

½ = 5/10 = 0,5

¼ = 25/100 = 0,251/5 = 2/10 = 0,2

1/10 = 0,11/20 = 5/100 = 0,05

1/40 = 25/1000 = 0,025

37

Andre brøktall kan ikke uttrykkes helt presist, da det skulle stå uendelig mange sifre bak kommaet:

1/3 = 0,333 333 …1/6 = 0,166 666 …

1/7 = 0,142 857 142 857 …1/9 = 0,111 111 …

1/11 = 0,090 909 090 909 …

Ofte er det gunstigere å presentere et slikt tall som brøk istedenfor desimaltall.

38

Regning med desimaltall

• Addisjon og subtraksjon: Kommene må stå i samme kolonne.

• Multiplikasjon: Det skal være like mange siffer etter komma i svaret som det er til sammen i tallene vi ganger sammen.

• Divisjon: Utvid tallene med 10ere inn til det vi deler på blir et helt tall.

39

Prosentbegrepet

Vi kjenner godt til tallet 100. Er en brøk angitt som andel av 100, kan vi lett innbilde oss hvor stor den er.

Derfor er begrepet “prosent” innført: Per definisjon,

1/100 = 0,01 = 1% (én av 100).

40

Å gjøre om

• Brøk til prosent: Gang med 100% (= 1!)

½ = ½*100% = 50%

4/25 = (4/25)*100% = 400%/25 = 16%

• Prosent til brøk: Bruk det at 1% = 1/100:

57% = 57/100

41

• Prosent til desimaltall: Bruk det at 1% = 0,01

59,7% = 59,7 x 1% = 59,7 x 0,01 = 0,597

40% = 40 x 0,01 = 0,40 = 0,4

• Desimaltall til prosent: Gang med 100%

0,865 = 0,865*100% = 86,5%

40,97 = 40,97*100% = 4097%

42

Prosentregning

Hvor mye er 34% av 568?

Hvor mange prosent er 71 av 140?

I fjor tjente jeg kr. 16 000,- pr. mnd. Nå tjener jeg kr. 16 750,-. Hva er prosentøkningen i lønnet mitt?

43

En prosentnøtt

Jeg kjøper en jakke med 70% avslag, men får beskjed om at moms à 25% ikke er inkludert i den opprinnelige prisen. Er det gunstigere for meg å betale moms før eller etter avslaget trekkes fra prisen?

44

Nasjonale prøver

En kilde med oppgaver som er aktuelle for elever er de nasjonale prøvene.

Disse kan finnes på www.udir.no

eller ved å Google “nasjonale prøver”.

45