Beamer grado 9 (algebra i)

Algebra IPolinomios y sus operaciones

Mr. Jesus Vellojin

Colegio Britanico de Cartagena

January 3, 2013

J. Vellojin (CBC) Algebra I January 3, 2013 1 / 16

Trabajando en algebra


Trabajar en algebra consiste en manejar relaciones numericas en las queuna o mas cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llamanvariables o incognitas y se representan por letras.

Expresion algebraica

Es es producto de una o mas variables y una constante numerica o literal.

Ejemplos:

1 7xy3

2 −2mnp2

3 πr2

4 −3

2y7







Ejemplos:

1 7xy3

2 −2mnp2

3 πr2

4 −3

2y7







Ejemplos:

1 7xy3

2 −2mnp2

3 πr2

4 −3

2y7


En toda expresion algebraica hay:

Signo: Positivo o negativo

Coeficiente: El numero que va al comienzo de la expresion

Parte literal: Las letras y sus exponentes

Grado: Corresponde al mayor exponente dentro de las expresiones

Expresion Signo Coeficiente Parte Literal Grado

2m2n5 Positivo 2 m2n5 5

5a3b6c8 Positivo 5 a3b6c8 8

−1

3zhk5 Negativo −1

3zhk5 5










−1

3zhk5 Negativo −1

3zhk5 5










−1

3zhk5 Negativo −1

3zhk5 5










−1

3zhk5 Negativo −1

3zhk5 5










−1

3zhk5 Negativo −1

3zhk5 5










−1

3zhk5 Negativo −1

3zhk5 5


Clasificacion

Las expresiones algebraicas se clasifican segun su numero de terminos.

Monomio: un solo termino. →3x2

Binomio: suma o resta de dos monomios. →4ab2 − 5b

Trinomio: suma o resta de tres monomios. →ax2 + bx + c

Polinomio:suma o resta de cualquier numero de monomios.

Monomio Binomio Trinomio Polinomio

8x3y4 3a2b3 + 8z a− b9 + a3b6 2

3a2 + bc + a2b4c6 − 2

x2 z5 + 32x3 9a− b2 + c3 x3y2 + 26a− z5y + 1− abc5


Clasificacion







8x3y4 3a2b3 + 8z a− b9 + a3b6 2

3a2 + bc + a2b4c6 − 2

x2 z5 + 32x3 9a− b2 + c3 x3y2 + 26a− z5y + 1− abc5


Clasificacion







8x3y4 3a2b3 + 8z a− b9 + a3b6 2

3a2 + bc + a2b4c6 − 2

x2 z5 + 32x3 9a− b2 + c3 x3y2 + 26a− z5y + 1− abc5


Clasificacion







8x3y4 3a2b3 + 8z a− b9 + a3b6 2

3a2 + bc + a2b4c6 − 2

x2 z5 + 32x3 9a− b2 + c3 x3y2 + 26a− z5y + 1− abc5


Clasificacion







8x3y4 3a2b3 + 8z a− b9 + a3b6 2

3a2 + bc + a2b4c6 − 2

x2 z5 + 32x3 9a− b2 + c3 x3y2 + 26a− z5y + 1− abc5


Clasificacion







8x3y4 3a2b3 + 8z a− b9 + a3b6 2

3a2 + bc + a2b4c6 − 2

x2 z5 + 32x3 9a− b2 + c3 x3y2 + 26a− z5y + 1− abc5


Valor numerico de una expresıon algebraica

El valor numerico de una expresion algebraica, para un determinadovalor, es el numero que se obtiene al sustituir en esta por un valornumerico dado y realizar las operaciones indicadas.Veamos por ejemplo el valor numerico de x3y + 2y2x + 6x − 3y parax = 2, y = 3:

(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.Ejemplo: 2x2y3z es semejante a 5x2y3z .



El valor numerico de una expresion algebraica, para un determinadovalor, es el numero que se obtiene al sustituir en esta por un valornumerico dado y realizar las operaciones indicadas.

Veamos por ejemplo el valor numerico de x3y + 2y2x + 6x − 3y parax = 2, y = 3:

(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes





(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3)

= 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes





(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes





(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes





(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes





(2)3(3) + 2(2)2(3) + 6(2)− 3(3) = 8(3) + 2(4)(3) + 6(2)− 3(3)

= 24 + 24 + 12− 9

= 51

Monomios semejantes



Ejercicios

1.Completa la siguiente tabla

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado

8x2

5ab4c2

x2y

34p

2qr

57


Ejercicios

2. Escribe 5 parejas de monomios semejantes.3. Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En casoafirmativo, indica su grado y coeficiente.

a) 3x3

b) 5x−3

c) 3x + 1

d)√

2x

e) −3

4x4

f) − 3

x6

g) 2√x


Operaciones entre monomios

SUMA. La suma/resta de dos monomios semejantes es otro monomio quetiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de loscoeficientes.

axn + bxn = (a + b)xn

2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z

−3x2 − 2x2 = −5x2

8z3b − 9z3b = −z3

La suma/resta de dos monomios no semejantes no es un monomio y ladejaremos indicada.

3x3 + 5x 4z − 8t2

La suma/resta de monomios semejantes permite a veces ”reducir”expresiones algebraicas operando dentro de ella los monomios que seansemejantes.

3x2 + 5x − 2x2 − 9x = x2 − 4x





2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z

−3x2 − 2x2 = −5x2

8z3b − 9z3b = −z3


3x3 + 5x 4z − 8t2


3x2 + 5x − 2x2 − 9x = x2 − 4x





2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z

−3x2 − 2x2 = −5x2

8z3b − 9z3b = −z3


3x3 + 5x 4z − 8t2


3x2 + 5x − 2x2 − 9x = x2 − 4x





2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z

−3x2 − 2x2 = −5x2

8z3b − 9z3b = −z3


3x3 + 5x 4z − 8t2


3x2 + 5x − 2x2 − 9x = x2 − 4x





2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z

−3x2 − 2x2 = −5x2

8z3b − 9z3b = −z3


3x3 + 5x 4z − 8t2


3x2 + 5x − 2x2 − 9x = x2 − 4x





2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z

−3x2 − 2x2 = −5x2

8z3b − 9z3b = −z3


3x3 + 5x 4z − 8t2


3x2 + 5x − 2x2 − 9x = x2 − 4x


Operaciones entre Monomios y Polinomios

PRODUCTO. El producto entre monomios/polinomios se realiza demanera muy similar al producto usual entre cantidades numericas. Bastaaplicar todas las propiedades aprendidas en las operaciones en R.

Monomio por monomio

Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partesnumericas y sus partes literales. NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lAPOTENCIACION.

Ejemplo. Calculemos el producto de −7x3y5z y 3x4y4.

Solucion.(−7x3y5z)(3x4y4) Planteamos la multiplicacion.= (−7 · 3)(x3x4y5y4z) Asociamos coeficientes y partes literales entre si.= −21x7y9z Multiplicamos coeficientes entre si y aplicamos

la propiedad de potencias de igual base.2�




Monomio por monomio

Para multiplicar dos o mas monomios, multiplicamos sus partesnumericas y sus partes literales.

NO OLVIDE LAS PROPIEDADES DE lAPOTENCIACION.







Monomio por monomio








Monomio por monomio



Solucion.

(−7x3y5z)(3x4y4) Planteamos la multiplicacion.= (−7 · 3)(x3x4y5y4z) Asociamos coeficientes y partes literales entre si.= −21x7y9z Multiplicamos coeficientes entre si y aplicamos





Monomio por monomio



Solucion.(−7x3y5z)(3x4y4) Planteamos la multiplicacion.

= (−7 · 3)(x3x4y5y4z) Asociamos coeficientes y partes literales entre si.= −21x7y9z Multiplicamos coeficientes entre si y aplicamos





Monomio por monomio



Solucion.(−7x3y5z)(3x4y4) Planteamos la multiplicacion.= (−7 · 3)(x3x4y5y4z) Asociamos coeficientes y partes literales entre si.

= −21x7y9z Multiplicamos coeficientes entre si y aplicamosla propiedad de potencias de igual base.2�




Monomio por monomio







Monomio por polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedaddistributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los terminos delpolinomio y efectuando el producto entre monomios.

Ejemplo. Efectuemos la multiplicacion x2(3x2 − y).

Solucion.x2(3x2 − y) Planteamos la multiplicacion.= x2(3x2)− x2(y) Aplicamos la propiedad distributiva.= 3x4 − x2y Multiplicamos los monomios.2�












Solucion.

x2(3x2 − y) Planteamos la multiplicacion.= x2(3x2)− x2(y) Aplicamos la propiedad distributiva.= 3x4 − x2y Multiplicamos los monomios.2�






Solucion.x2(3x2 − y) Planteamos la multiplicacion.

= x2(3x2)− x2(y) Aplicamos la propiedad distributiva.= 3x4 − x2y Multiplicamos los monomios.2�






Solucion.x2(3x2 − y) Planteamos la multiplicacion.= x2(3x2)− x2(y) Aplicamos la propiedad distributiva.

= 3x4 − x2y Multiplicamos los monomios.2�









Multiplicacion entre polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada termino del primerpolinomio por cada uno de los terminos del segundo polinomio (de nuevola propiedad distributiva!!!) y despues, se reducen terminos semejantes.

Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y)Solucion.y(y + 2)(3x + y) Planteamos la multiplicacion.= (y2 + 2y)(3x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.= (y2)(3x) + (y2)(y) + (2y)(3x) + (2y)(y) Propiedad distributiva.= 3y2x + y3 + 6yx + 2y2 Multiplicamos monomios.2�

En este caso en particular no hubo terminos semejantes en el resultado dela multiplicacion, pero eso no es en general como veremos a continuacion.





Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y)

Solucion.y(y + 2)(3x + y) Planteamos la multiplicacion.= (y2 + 2y)(3x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.= (y2)(3x) + (y2)(y) + (2y)(3x) + (2y)(y) Propiedad distributiva.= 3y2x + y3 + 6yx + 2y2 Multiplicamos monomios.2�






Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y)Solucion.

y(y + 2)(3x + y) Planteamos la multiplicacion.= (y2 + 2y)(3x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.= (y2)(3x) + (y2)(y) + (2y)(3x) + (2y)(y) Propiedad distributiva.= 3y2x + y3 + 6yx + 2y2 Multiplicamos monomios.2�






Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y)Solucion.y(y + 2)(3x + y) Planteamos la multiplicacion.

= (y2 + 2y)(3x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.= (y2)(3x) + (y2)(y) + (2y)(3x) + (2y)(y) Propiedad distributiva.= 3y2x + y3 + 6yx + 2y2 Multiplicamos monomios.2�






Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y)Solucion.y(y + 2)(3x + y) Planteamos la multiplicacion.= (y2 + 2y)(3x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.

= (y2)(3x) + (y2)(y) + (2y)(3x) + (2y)(y) Propiedad distributiva.= 3y2x + y3 + 6yx + 2y2 Multiplicamos monomios.2�






Ejemplo 1. Efectuar el producto de y por (y + 2) y (3x + y)Solucion.y(y + 2)(3x + y) Planteamos la multiplicacion.= (y2 + 2y)(3x + y) Aplicamos la propiedad distributiva.= (y2)(3x) + (y2)(y) + (2y)(3x) + (2y)(y) Propiedad distributiva.

= 3y2x + y3 + 6yx + 2y2 Multiplicamos monomios.2�
















Ejemplo 2. Multiplicar3

4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x

)(2x + y) Planteamos el producto.

=

(9

16y2 +

3

4yx

)(2x + y) Propiedad distributiva.

=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3

4yyx Propiedad distributiva.

=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3

4y2x Multiplicamos monomios.

=15

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 Simplificamos terminos semejantes. 2�

Preparense para los ejercicios!!!! ,,,,




4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3






4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3






4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3






4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3






4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3






4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3






4y

(3

4y + x

)(2x + y).

Solucion.

3

4y

(3

4y + x


=

(9

16y2 +

3

4yx


=9

8xy2 +

9

16yy2 +

3

2yxx +

3


=9

8xy2 +

9

16y3 +

3

2yx2 +

3


=15

8xy2 +

9

16y3 +

3




Productos Notables

Productos notables

Los productos notables son multiplicaciones entre expresiones algebraicascuyo resultado se puede calcular por simple inspeccion, sin verificar lamultiplicacion que cumplen ciertas reglas fijas. Esto permite reducir ysistematizar el tiempo empleado en la solucion de muchas multiplicacioneshabituales.

Lo anterior nos dice que solo debemos observar el tipo de producto que senos plantea y luego, al igual que en fısica, solo basta aplicar la formularespectiva!!!,

Vayamos al grano


Productos notables

BINOMIO DE UNA SUMA AL CUADRADO (a + b)2

Un binomio de una suma al cuadrado es igual al cuadrado del primertermino, mas el doble del producto del primero por el segundo, mas elcuadrado del segundo termino. Es decir:

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 Esta es la primera formula!!!

Ejemplos:

1 (x + 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9

2 (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 · (2x)(3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

Recuerde que (a + b)2 es el producto (a + b)(a + b).


Productos notables

BINOMIO DE UNA DIFERENCIA AL CUADRADO (a− b)2

Un binomio de una diferencia al cuadrado es igual al cuadrado delprimer termino, menos el doble del producto del primero por el segundo,mas el cuadrado del segundo termino. Es decir:

(a− b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 Esta es la segunda formula!!!

Ejemplos:

1 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · (2x)(3) + 32 = 4x2 − 12x + 9

2 (3− b)2 = 32 − 2 · (3)(b) + (b)2 = 9− 6b + b2

Recuerde que (a− b)2 es el producto (a− b)(a− b).


Productos notables

SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a− b)

Una suma por diferencia es igual a la diferencia entre suscuadradados. Es decir:

(a + b) · (a− b) = a2 − b2 Esta es la tercera formula!!!

Ejemplos

1 (2x + 5) · (2x − 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25

2 (4a− 5b) · (4a + 5b) = (4a)2 − (5b)2 = 16a2 − 25b2


Education

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