UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE

MANABÍ SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y

ADMISION

PROYECTO DE AULA DE MATEMÁTICAINTEGRANTES:

Pinto Rivero José AntonioAlvia Anchundia Luis

DOCENTE:ING. CARLOS ANCHUNDIA BETANCOURT

2014 - 2015

ÁREA:CIENCIAS E INGENIERÍA.CARRERA: PARALELO:INGENIERÍA CIVIL. M-03

TEMA:Ángulos y

sus Medidas

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de las matemáticas que fue desarrollada por astrónomos griegos, quienes consideraban al cielo como el interior de una esfera.Aún cuando su significado etimológico nos indica que se relaciona con la medición de los triángulos, sus aplicaciones son muy diversas ya que estas técnicas son usadas para medir distancias a estrellas próximas, entre puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.

SENTIDO DE GIRO HORARIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

OA : LADO INICIAL

)O

A

B<

)<

θ POSITIVO

)<α NEGATIVOOB : LADO FINALO: VÉRTICE

Son aquellos ángulos trigonométricos que se caracterizan por tener su lado inicial sobre el semieje positivo abscisas, su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas y sus lados final se ubica en cualquier parte del plano cartesiano.

L.F.

L.F

Y L.I :Lado inicial

L.F :Lado final

0 : Vértice

oL.I

Reglas de conversión

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULARSISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

'o 601 = "' 601 = "o 36001 =

1vuelta=o360

EQUIVALENCIAS

LOS ÁNGULOS Y SUS LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDASMEDIDAS

En nuestro entorno siempre que En nuestro entorno siempre que vemos una intersección entre líneas vemos una intersección entre líneas rectas observamos la presencia de rectas observamos la presencia de ángulosángulos

¿Qué es un ángulo?¿Qué es un ángulo?

Ángulo es la parte de un plano Ángulo es la parte de un plano comprendida entre dos semirrectas comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de que tienen el mismo punto de origen.origen.

Ángulo cóncavo

Ángulo convexo

Tipos de ÁngulosTipos de Ángulos

Ángulo convexoÁngulo convexo Ángulo cóncavo Ángulo cóncavo Ángulo nuloÁngulo nulo Ángulo llano.Ángulo llano. Ángulo completo Ángulo completo Ángulo agudo. Ángulo agudo. Ángulo recto Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo obtuso

CONCEPTO Y ELEMENTOS DE

ÁNGULOS

Clasificación

1- Por su medida

Recto

Agudo

Obtuso

Llano

Cóncavo

Convexo

Nulo

Completo

2- Por su posición

AdyacenteConsecutivo

sOpuesto por

el vértice

2- Por la relación de sus

angulosSuplementarioComplementario

O

0º

A

Los rayos OA y OX formaun ángulo de 0º.

X

OBSERVA EL ÁNGULO QUE FORMA EL RAYO OA CON EL EJE X.

O

90º

A

Los rayos OA y OX forman ángulo de 90º.

X

OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.

O

180º A

Los rayos OA y OX forman ángulo de 180º.

X

OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.

O

270º

A

Los rayos OA y OX forman ángulo de 270º.

X

OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.

O 360ºA

OBSERVA LOS ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO EL RAYO OA GIRA HACIA CADA UNO DE LOS EJES.

Los rayos OA y OX forman ángulo de 360º.

X

1. De acuerdo con su medida, pueden ser:

1.1 ÁNGULO CONVEXO

1.2 ÁNGULO CÓNCAVO

Son ángulos que miden entre 0º y 180º.

Son ángulos que miden entre180º y 360º

1.4 Ángulo llano 1.5 Ángulo de una vuelta completa

1.3 Ángulo nulo

Mide 0º

Mide 180º.Mide 360º.

1.6 Ángulo agudo

1.7 Ángulo recto

1.8 Ángulo obtuso

mide entre 0º y 90º

Mide 90º

Mide entre 90º y 180º.

2. De acuerdo con la posición de sus lados:

2.1 Ángulos adyacentes 2.2 Ángulos consecutivos

Son dos ángulos adyacentes porque tienen

el vértice y un lado en común, el lado en común

es intermedio

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.

Son dos o más ángulos adyacentes.

Los ángulos POA, AOB y BOQ son consecutivos.

EJEMPLO:

Observa la gráfica; si el ángulo AOB mide 27º y el ángulo AOC mide 95º, entonces cuánto mide el ángulo BOC.

Solución:

entonces, la suma de las medidas de los ángulos AOB y BOC es 95º. Es decir:

Ángulo AOB + ángulo BOC = 95ºReemplazando el valor del ángulo AOB, tenemos:

27º + ángulo BOC = 95º

Ángulo BOC = 95º - 27º = 68º

El ángulo AOC mide 95º,

95º

Ángulo BOC = 68ºÁngulo BOC = 68º

Dos rectas cruzadas

en un punto en común ( O)

formarán ángulos congruentes:

2.3 Ángulos opuestos por el vértice

O

medida del ángulo a = medida del ángulo c

medida del ángulo b = medida del ángulo d

EJEMPLO:

Observa la gráfica; si el ángulo 1 mide 35º, cuánto mide el ángulo 2 y cuál será el valor de x:

Solución:

Por ángulo opuesto por el vértice :

Medida del ángulo 2 = 35º

Dos rectas cruzadas forman 4 ángulos cuya suma de sus medidas es 360º.

35º + 35º + x + x = 360º

X

medida del ángulo 1 = medida del ángulo 2

El ángulo que mide Xº tiene como ángulo opuesto otro ángulo que mide también Xº , entonces:

2x =360º-70º 2x=290º

X = 145º

Xº

Si el ángulo 1 = 35º entonces:Xº

35º 35º

3. De acuerdo a la suma de sus ángulos:

Los ángulos 1 y 2 son complementarios porque suman 90º.

Son dos ángulos complementarios cuyas medidas suman 90º.

medida ángulo 1 + medida ángulo 2 = 90º

3.1 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Los ángulos 1 y 2 son

suplementarios porque suman

180º.

Son dos ángulos suplementarios cuyas medidas suman 180º.

3.2 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

medida ángulo 1 + medida ángulo 2 = 180º

EJEMPLO:

Observa la gráfica. Indica cuál es el complemento y el suplemento del ángulo BOM.

Solución:

La medida del ángulo BOM = 35ºM

35º

El complemento del ángulo BOM es el ángulo MOC, cuya medida es:ángulo BOM + ángulo MOC = 90º

Observando la gráfica:

ángulo MOC = 90º - ángulo BOM

ángulo MOC = 90º - 35º = 55º

El complemento del ángulo BOM = 35º es el ángulo MOC = 55º

El suplemento del ángulo BOM es el ángulo MOA, cuya medida es:

ángulo BOM + ángulo MOA = 180º ángulo MOA = 180º - ángulo BOM

ángulo MOA = 180º - 35º = 145º

El suplemento del ángulo BOM = 35º es el ángulo MOA = 145º

1. Indica cuál es la medida del ángulo AOB:

a. 27ºa. 27º b. 26ºb. 26º c. 161ºc. 161º d. 158ºd. 158º

B

C

O

2. Indica cuál es la medida del ángulo AOC:

a. 110ºa. 110º b. 70ºb. 70º c. 31ºc. 31º d. 80ºd. 80º

B

C

O

3. Indica cuál es la medida del ángulo DOC:

a. 60ºa. 60º b. 110ºb. 110º c. 50ºc. 50º d. 70ºd. 70º

B

C

O

4. Indica cuál es la medida de los ángulos EOD y EOB respectivamente:

a. 120º y a. 120º y 153º153º

b. 60º y b. 60º y 150º150º

c. 120º y c. 120º y 33º33º

d. 60º y d. 60º y 153º153º

B

C

O

1. Observa los ángulos AOM y MOB respectivamente. Clasifícalos según su medida.

a. Obtuso y a. Obtuso y agudoagudo

b. Recto y agudob. Recto y agudo c. Agudo y c. Agudo y obtusoobtuso

d. Agudo y d. Agudo y cóncavocóncavo

2. Observa los ángulos COB y AOB respectivamente. Clasifícalos según su medida.

a. Obtuso y a. Obtuso y llanollano

b. Convexo y b. Convexo y llanollano

c. Cóncavo y c. Cóncavo y agudoagudo

d. Cóncavo y d. Cóncavo y llanollano

3. Observa los ángulos POQ y AOQ respectivamente. Clasifícalos según su medida.

a. Obtuso y a. Obtuso y llanollano

b. Llano y b. Llano y convexoconvexo

c. Recto y c. Recto y obtusoobtuso

d. Llano y obtusod. Llano y obtuso

4. Observa los ángulos MOS ; MOR y NOR respectivamente. Clasifícalos según su medida.

a. Llano ; a. Llano ; convexo y agudoconvexo y agudo

b. Recto, b. Recto, convexo y agudoconvexo y agudo

c. Recto, c. Recto, cóncavo y agudocóncavo y agudo

d. Recto, obtuso d. Recto, obtuso y nuloy nulo

5. Observa los ángulos POS ; SON y SOR respectivamente. Clasifícalos según su medida.

a. Obtuso , a. Obtuso , agudo y agudoagudo y agudo

b. Convexo, b. Convexo, agudo y rectoagudo y recto

c. Obtuso, recto c. Obtuso, recto y agudoy agudo

d. Cóncavo, d. Cóncavo, recto y agudorecto y agudo