TRIGONOMETRIA

La Trigonometría constituye el quinto y último nivel de Matemáticas en los estudios secundarios; su objeto es la medición de los ángulos y lados de un triángulo rectángulo inscrito o circunscrito en una circunferencia en cuyo centro se ha construido un sistema de coordenadas cartesianas, con el propósito de establecer las funciones trigonométricas en base a las relaciones entre lados y ángulos del triángulo rectángulo en c/u de los cuadrantes, cuya aplicación representa uno de los avances más notables del pensamiento matemático.

A continuación veremos: - EL ANGULO TRIGONOMÉTRICO - SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES - PRACTICA CALIFICADA

Prof. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTOAREA MATEMÁTICA

INTRODUCCIONSe aplica para medir los desniveles de los terrenos y con la ayuda de la TOPOGRAFIA se encuentran los ángulos, para hacer planos horizontales para la Construcción civil. Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo de salida para llegar al destino, los ingenieros hacen los cálculos necesarios para encontrar el ángulo adecuado. También se usa en la recreación, en el deporte como el Windsurfing, etc.

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

• EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN.

SENTIDO DE GIRO HORARIO

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

OA : LADO INICIAL

)O

A

B

<

)<

POSITIVO

)<

NEGATIVO

OB : LADO FINALO: VÉRTICE

MEDICION DE ANGULOSLos ángulos pueden ser medidos con un instrumento llamado TRANSPORTADOR.

ANGULO DE UNA VUELTASe genera por la rotación completa de un rayo; es decir que el Lado Inicial coincide con el Lado Final.Así: < AOB = 360º

Lado Final B

Ejercicios Graficar ángulos utilizando el transportador:a) < PQR = 65º b) < A = - 125º c) < M = 400º d) < T = ½ vueltad) < D = - 1 130 e) < C = ¾ vuelta f) < S = 155º g) < B = 105º

Los sistemas de medición fueron inventados para medir con exactitud y precisión los ángulos, recogiendo los datos, para calcular y procesar la información tomada de los hechos. Los sistemas más conocidos son tres:1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLES): S2.- SISTEMA CENTESIMAL ( FRANCES). C3.- SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL): RSiendo el primer sistema mas utilizado, por su aplicación en la Ingeniería, topografía y navegación.

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)

o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

'o 601 "' 601 "o 36001

1vuelta=o360

EQUIVALENCIAS

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos

oA B' C'' oA B ' C '' Los números B y C deben ser menores de 60

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 60 x 60

x 3600

: 60 : 60

: 3600

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60

Para convertir de minutos a grados se divide entre 60

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600

Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600

EJEMPLO :o20 36 ' 45 ''

EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESo ' ''20 36 45

o oo 36 45

2060 3600

o o

o 3 120

5 80

o164980

CONCLUSIÓN:

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = SNÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60SNÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S

Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600

EJEMPLO

Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.

SOLUCIÓN

Sea S = número de grados sexagesimalesEntonces el número de minutos sexagesimales = 60S

Dato :

155 5(31)S

62 2(31)

60S 2S 155 62S 155

5S

2

El ángulo mide : 5º 4º60 '

22 2

º30 '

¿ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR2.- SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)

g1 GRADO : MINUTO : m1 SEGUNDO :

s1

g m1 100 m s1 100 g s1 10000

1vuelta=g400

EQUIVALENCIAS

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto

En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos

g m sA B C g m sA B C Los números B y C deben ser menores de 100

RELACIONES DE CONVERSIÓN

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 100 x 100

x 10 000

: 100 : 100

: 10 000

< <

<<

<

<

<

<<<

< <

Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100

Para convertir de minutos a grados se divide entre 100

Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100

Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100

Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000

Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y SEGUNDOS

NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = CNÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C

NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL

gO 109 m' 5027 s" 25081

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

109CS

5027nm

25081

qp

SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

g180º 200

g9º 10

SABES QUE :

g9(1º) 10(1 )' m9(60 ) 10(100 )

g9º 10

' m27 50

SABES QUE : g9º 10g9(1º) 10(1 )

'' S9(3600 ) 10(10000 )'' s81 250

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

3.- SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)

UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.

.. 1rad

1vuelta 2 rad o ' ''1rad 57 17 45

R

R

R)

EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.

RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS

0 g180 200 rad ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO.

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES

0A) 54 O54

o

rad180

3

rad10

gB) 125

g

rad200

5rad

8g125

EJEMPLOS

SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE :

SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :

g360º 400 2 rad

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL

A)2

rad3

...........o2(180 )

3 o120

gB)70 ................. g70o

g

910

o63

EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL

A)3

rad4

...........g3(200 )

4 g150

oB)27 ................ o27g

o

109

g30

FACTORES DE CONVERSIÓN

DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES

DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES

DE GRADOS CENTESIMALES A RADIANES

DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES

DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES

o

rad180

g

o

109

g

rad200

o

g

910

orad 180

grad 200

ESTAN ENTENDIENDO ?

NO REPITE POR FAVOR

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

S180

C200

R

S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES

C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALESR : NÚMERO DE RADIANESEJEMPLO

CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:

8R3S 2C 37

EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN

SOLUCIÓN

S C R180 200

KS k180C k200

R k

SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA

8( k)3(180k) 2(200k) 37

,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE

148k 37 1k

4

FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R 14

4

S k9C k10

R0

k2

NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

S9

C10

20R

OTRAS RELACIONES IMPORTANTES

* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : o g90 100 rad2

* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :O g180 200 rad

* EQUIVALENCIAS USUALES:

orad 603

orad 306

orad 454

SISTEMA

SEXAGESIMAL

CENTESIMAL

RADIAL

COMPLEMENTO SUPLEMENTO

S

C

R

90 - S 180 - S

100 - C 200 - C

R2

R

EJERCICIOS

1. CALCULAR :

g

45º rad12E

50 33º

SOLUCIÓN

Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL

rad12

180º12

15º g50; 45º

Reemplazamos en E

45º 15ºE

45º 33º

60º12º

5

g

9º( )10

2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes

SOLUCIÓN

Sea S = número de grados sexagesimalesC = número de grados centesimales

Sabes que : S C9 10

= K y

Dato : S + 3C = 78

S = 9K C = 10K

9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2

El número de radianes es :k

R20

2

R20

10

3. Determinar si es verdadero o falso

A ) rad 180 B ) El complemento de es

g30 g70

C )g g

24º 2º36 3

D )rad

Los ángulos interiores de un triángulo suman

E ) 180º

F ) g1º 1

G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales

PRACTICA CALIFICADA Nº 01

http://www.slideshare.net/leninlewis/sistema-de-medidas-angulares

1.- Convertir agrados centesimales: a) 225° b) 549° c) 3 π rad d) ¾ π rad

2.- Convertir a radianes: a) 15° b) 120° c) 756° d) 210g e) 1200g

3.- Convertir a grados sexagesimales: a) 200g b) 40g c) 5/7 πrad d) 3/5 πrad

4.- Convertir 82° 240’ 1800” a grados sexagesimales5.- Convertir 305, 81° a grados, minutos y segundos sexagesimales6.- Convertir 12g 43m 12s solo en minutos Centesimales.7.- Los ángulos A y B de un triángulo ABC mide π/6 rad y 80°, respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo C?8.- El radio de una circunferencia mide 23 cm. ¿Cuál es la longitud del arco L, si el ángulo central mide 60° ?

9.- Hallar el valor de R en:

10.- Simplificar la expresión

Prof. Luis R. Pacheco Huarotto.

TRIGONOMETRIA

¡ MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION !

PROF. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO