Embed Size (px)
Citation preview
บทที่ 2ทฤษฎีกราฟเบื้องตน
(18 ชั่วโมง)
กราฟเปนแบบจําลองทางคณิตศาสตร ซึ่งใชสําหรับจําลองปญหาบางอยางดวยแผนภาพที่ประกอบดวยจุด และเสนที่เชื่อมระหวางจุด 2 จุด ตัวอยางเชน แผนภาพที่แสดงเสนทางของรถไฟฟา BTS แผนภาพที่แสดงถนนที่เชื่อมเมืองตาง ๆ แผนภาพแสดงโครงสรางทางเคมีของสารประกอบไฮโดรคารบอน วงจรไฟฟา เปนตน วิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับสมบัติตาง ๆของกราฟ เรียกวา ทฤษฎีกราฟ(Graph Theory) ปจจุบันทฤษฎีกราฟมีการประยกุตใชอยางกวางขวางในศาสตรแขนงตาง ๆ เชน วิทยาศาสตร สงัคมศกึษา เศรษฐศาสตร เปนตนแตสําหรับในบทเรียนนี้จะกลาวถึงเนื้อหาเพียงบางสวนซึ่งอยูในทฤษฎีกราฟเทานั้นซึ่งจะประกอบดวย หัวขอตาง ๆ ดังนี้ กราฟ ดีกรีของจุดยอด แนวเดิน กราฟออยเลอร และการประยุกตของกราฟ
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง1. เขียนกราฟเมื่อกําหนดจุดยอด(vertex) และเสนเชื่อม (edge) ให และระบุไดวากราฟ
ที่กําหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรือไม2. นําความรูเรื่องกราฟไปใชแกปญหาบางประการได
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเริ่มสรางสรรคนอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบมีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง
75
ในการเรียนการสอนแตละสาระการเรียนรูของวิชาคณิตศาสตรนั้น ผูสอนควรแสดงหรือยกตัวอยางใหผูเรียนเห็นถึงประโยชนและการนําคณิตศาสตรไปใช เพื่อใหผูเรียนตระหนักถึงคุณคาอันเกิดจากการศึกษาวิชาคณิตศาสตร ซึ่งจะนําไปสูเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร
ในการจัดกิจกรรมการเรียนรูสําหรับบทเรียนนี้ ผูสอนควรใหผูเรียนไดทดลอง และคนควาหาขอสรุปดวยตนเอง
ขอเสนอแนะ1. เรื่องกราฟเปนเนื้อหาใหมซึ่งผูเรียนไมเคยเรียนมากอน ดังนั้นในการเริ่มตนผูสอน
ควรกลาวถึงประวัติความเปนมาใหผูเรียนทราบ ดังนี้ ทฤษฎีกราฟ เกิดขึ้นจากความพยายามในการตอบปญหาตาง ๆ ปญหาหนึ่งที่รูจัก
กันดีก็คือปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก “Konigsberg Bridge Problem” ปญหามีอยูวามีเกาะ 2เกาะ อยูกลางแมน้ําพรีเกล(Pregel) ในเมืองเคอนิกสเบอรกและมีสะพาน 7 สะพาน เชื่อมระหวางเกาะกับแผนดิน ดังรูป
ชาวเมอืงตางพากนัสงสยัวาจะสามารถเดนิขามสะพานทัง้ 7 สะพานแตละสะพานเพยีงครัง้เดียวโดยไมซ้ํากันและกลับมาที่จุดเริ่มตนใหมไดหรือไม
นกัคณติศาสตรหลายคนไดพยายามแกปญหานี ้ โดยทดลองจนไดคําตอบวาเปนไปไมไดแตไมมใีครสามารถแสดงขอพิสจูนได จนกระทัง่ป ค.ศ. 1736 มนีกัคณติศาสตรชาวสวสิเซอรแลนดชื่อ เลออนฮารด ออยเลอร(Leonhard Euler) ไดไขปริศนานี้โดยแปลงปญหาดังกลาวเปนกราฟโดยใหพ้ืนดินแทนจุดยอด และสะพานแทนดวยเสนเชื่อมดังรูป
76
ออยเลอรไดตอบปญหานี้วา เปนไปไมไดที่จะหาเสนทางดังกลาวไดผูสอนใหผูเรียนลองหาคําตอบของปญหานี้ โดยใชคําถามนําเพื่อใหผูเรียนสามารถหา
คําตอบได เชน1) จากรูปกราฟที่ใชแทนปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก ผูเรียนสามารถใชดินสอ
เขยีนกราฟดงักลาวโดยมเีงือ่นไขวาตองไมลากซ้าํเสนทีล่ากแลว และกลบัมาทีจุ่ดเริม่ตนดงัเดิมโดยไมยกดินสอ ไดหรือไม
2) คําตอบในขอ 1 สามารถนําผลของคําตอบมาตอบปญหาสะพานเคอนิกสเบอรกไดหรือไม
จากนั้นจึงอธิบายแนวทางการตอบปญหาของออยเลอร คือการดูจากกราฟขางตนจะพบวาเมื่อเริ่มตนเดินจากจุดยอดใด ๆ จะตองเดินผานทุกเสนเชื่อมเพียงครั้งเดียว แลวกลับมาที่จุดเริ่มตนนั้นเปนไปไมได เนื่องจากไมวาจะเริ่มตนออกจากจุดยอดใดก็ตามเพื่อใหกลับมายังจุดเริ่มตนใหม จะตองมีการเดินเขาจุดยอดนั้นเสมอโดยเสนเชื่อมที่ตางกัน ดังนั้นจํานวนเสนเชื่อมที่ออกจากจุดยอดแตละจดุในกราฟตองเปนจํานวนคู ซึ่งจากกราฟขางตนจะพบวาไมมีจุดยอดใดเลยที่มีเสนเชื่อมออกจากจุดเปนจํานวนคู
เมื่อผูเรียนทราบประวัติความเปนมาของทฤษฎีกราฟแลว ผูสอนจึงเริ่มตนตามลาํดบัหัวขอตางๆ เนือ่งจากทฤษฎกีราฟเบือ้งตนมคํีาศพัททีผู่เรยีนตองรูจักเพิม่ขึน้มากมายผูสอนจึงควรยกตัวอยางใหผูเรียนทราบถึงความหมายของคําศัพทแตละคํา
2. เสนเชือ่ม e แทนดวยสญัลกัษณ AB หรอื BA หมายถงึ เสนที่เชื่อมระหวางจุดยอดA และ จุดยอด B
3. ในการเขียนแผนภาพของกราฟนั้น จะกําหนดตําแหนงของจุดยอด ณ ตําแหนงใดก็ได และจะลากเสนเชื่อมของกราฟเปนเสนตรงหรือเสนโคงที่มีความยาวเปนเทาใดก็ได เชนกําหนด เสนเชื่อม ab ดังรูป (1) เราอาจเขียนเสนเชื่อม ab เปนเสนโคง ดังรูป (2) ได
a
b a b
รูป (1) รูป (2)
77
เสนเชื่อมสองเสนของกราฟ อาจลากตัดกันไดโดยที่จุดตัดของเสนเชื่อมทั้งสองไมถือวาเปนจุดยอดของกราฟ เชน กําหนดกราฟ ดังรูป
สามารถเขียนแผนภาพของกราฟไดหลายแบบ เชนกําหนดกราฟ G เมื่อ V(G) = {a, b, c} E(G) = {ab, ac, bc} สามารถเขียน
แผนภาพของกราฟ G ไดดังรูป (1), (2) หรือ (3)
4. ผูสอนใหขอตกลงเกีย่วกบัดกีรขีองจดุยอดทีม่วีงวน และดกีรขีองจดุยอดทีไ่มมเีสนเชื่อมดังนี้
1) เสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอด a ดังรูป ใหถือวาเปน 1 เสน
จะไดวาดีกรีของจุดยอด a เทากับ 2 ดังนั้นวงวนแตละวงวนจะมีดีกรี เทากับ 2
2) จุดยอดที่ไมมีเสนเชื่อม ใหถือวา ดีกรีของจุดยอดเปนศูนย
5. ผูสอนควรยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยางเพื่อใหผูเรียนหาดีกรีของจุดยอดแตละจุดของกราฟที่กําหนดใหได อาจยกตัวอยางโดยกําหนดดีกรีของจุดยอดแตละจุดของกราฟ แลวใหผูเรียนเขียนแผนภาพของกราฟ เชน
จงเขียนแผนภาพของกราฟตอไปนี้1) กราฟ G1 เมื่อ V(G1) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7} และ deg v1 = 7 deg v2 = 6 deg v3 = 3 deg v4 = 2 deg v5 = 2
deg v6 = 0 deg v7 = 0
a
b c
d ไมเปนจุดยอดของกราฟ
a
a
b c
รูป (1)a b c
รูป (2)
a b
cรูป (3)
78
2) กราฟ G2 เมื่อ V(G2) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} และ deg v1 = 5 deg v2 = 4 deg v3 = 3 deg v4 = 3 deg v5 = 4
deg v6 = 3จะไดตัวอยางแผนภาพของกราฟ G1 และ G2 ดังรูป
6. ผูสอนอาจยกตัวอยางกราฟเพื่อใหผูเรียนหาขอสรุปใหไดวา “ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเทากับสองเทาของจํานวนเสนเชื่อมในกราฟ” ดังนี้
จงพจิารณาผลบวกของดกีรขีองจดุยอดทกุจดุในกราฟ วามคีวามสมัพนัธกบัจาํนวนเสนเชือ่มในกราฟอยางไร เมื่อกําหนดกราฟ G1, G2, G3 และ G4 ดังรูป
จากกราฟขางตนสามารถเขียนตารางแสดงความสัมพันธของผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ และจํานวนเสนเชื่อมในกราฟ ไดดังนี้
กราฟ จํานวนเสนเชื่อม
ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดของกราฟ
จํานวนจุดยอดคี่
จํานวนจุดยอดคู
G1 0 0 0 1G2 1 2 2 0G3 8 16 2 3G4 10 20 4 2
G1 :a
a bG2 : G3 : a G4 :
a b c d
e f
b
c d
e
v1
v2v3 v4
v5
v6
G2 :v1
v2
v3
v4 v5
v6
v7G1 :
79
ผูสอนอาจตั้งคําถามดังนี้1) จากตารางขางตนสามารถบอกไดหรือไมวา ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุด
ของกราฟเทากับสองเทาของจํานวนเสนเชื่อม2) จากตารางขางตนสามารถบอกไดหรอืไมวา จุดยอดคีข่องกราฟตองมเีปนจาํนวนคู
ผูสอนใหทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 พรอมพิสูจน และควรเนนใหผูเรียนเขาใจในทฤษฎีบท 1 และ ทฤษฎีบท 2 เพราะทฤษฎีบททั้งสองสามารถนําไปใชในการตัดสินใจเพื่อแกปญหาบางปญหาในชีวิตประจําวันได เชน
ตัวอยางที่ 1 ผลการสํารวจขอมูลการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานในบริษัทแหงหนึ่งซึ่งมีพนักงาน 20 คน ในเดือนที่ผานมาพบวา มีพนักงาน 15 คน แตละคนคุยโทรศัพทมือถือกับเพื่อนในบริษัท 5 ครั้ง มีพนักงาน 5 คน แตละคนคุยโทรศัพทมือถือกับเพื่อนในบริษัท 3 ครั้ง จงหาจํานวนการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานบริษัทนี้
วธิทํีา แปลงปญหาเปนกราฟ โดยให จุดยอด แทนพนักงาน เสนเชื่อม แทนการคุยโทรศัพทมือถือของพนักงานจะไดวา กราฟมจุีดยอดทีม่ดีกีรเีทากบั 5 มจํีานวน 15 จุด และจดุยอดทีม่ดีกีรีเทากบั 3 มจํีานวน 5 จุด จํานวนการใชโทรศพัทมอืถอืของพนกังานในบรษิทั กคื็อจํานวนเสนทัง้หมดของกราฟสมมติวากราฟมีเสนเชื่อม n เสน จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเทากับสองเทาของจํานวนเสนเชื่อมในกราฟดังนั้น 5(15) + 3(5) = 2n
75 + 15 = 2n n = 45
ดังนั้นจํานวนการใชโทรศัพทมือถือของพนักงานบริษัทแหงนี้ คือ 45 ครั้ง
ตัวอยางที่ 2 จังหวัดหนึ่งมีอําเภออยู 17 อําเภอ ตองการสรางถนนเชื่อมอําเภอเหลานี้ โดยใหแตละอาํเภอมถีนนเชือ่มกบัอาํเภออืน่อกี 3 สายพอด ี จงหาวาสามารถสรางถนนตามเงือ่นไขดงักลาวไดหรอืไม
วิธีทํา แปลงปญหาเปนกราฟ โดยให จุดยอด แทน อําเภอ เสนเชื่อม แทน ถนน
80
กราฟมีจุดยอด 17 จุด และแตละจุดยอดมีดีกรีเทากับ 3จะไดวา กราฟมีจุดยอดคี่ จํานวน 17 จุดขัดแยงกบัทฤษฎบีท 2 นัน่คอืการสรางถนนตามเงือ่นไขดงักลาวไมสามารถแปลงเปนกราฟไดดังนั้นการสรางถนนตามเงื่อนไขโจทยจึงเปนไปไมได
หมายเหตุ ในการสอนตัวอยางที่ 1 และ 2 ผูสอนควรใชคําถามนาํเพือ่ใหผูเรยีนสามารถหาคําตอบไดดวยตนเอง โดยอาจตั้งคําถามดังนี้
1) ปญหาของโจทยสามารถใชความรูเกี่ยวกับกราฟแกปญหาไดหรือไม2) จากขอ 1 ถาได จะกําหนดใหสิ่งใดแทนจุดยอด สิ่งใดแทนเสนเชื่อม และ
สิ่งใดคือดีกรีของจุดยอด3) คําตอบของปญหาคือสวนใดในกราฟ
กิจกรรมเสนอแนะดีกรีของจุดยอด
เมือ่ผูสอนใหทฤษฎบีท 1 และทฤษฎบีท 2 พรอมพสิจูนแลวอาจยกตวัอยางเหตกุารณเพื่อใหผูเรียนเขาใจทฤษฎีบท และสามารถนําทฤษฎีบทไปใชแกปญหาบางปญหาได เชน
ตัวอยางที่ 1 อาจารยวันดีใหผูเรียนสงตัวแทนออกมาหนาชั้นเรียน 2 กลุมๆ ละ 5 คน แลวใหผูเรียนภายในกลุมจับมือกัน ดังนี้
กลุมที่ 1 นิตยา นิพนธ นิภา นิมิต และ นิยม แตละคนจับมือกับเพื่อนในกลุมเปนจํานวน 4, 3, 2, 2 และ 1 ครั้ง ตามลําดับ
กลุมที่ 2 อรจิต อรทัย อรนุช อรพรรณ และ อรพิน แตละคนจับมือกับเพื่อนในกลุมเปนจํานวน 4, 3, 2, 1 และ 1 ครั้ง ตามลําดับจงพิจารณาวาผูเรียนทั้งสองกลุมสามารถทําตามคําบอกของอาจารยวันดีไดหรือไม
วิธีทํา พิจารณากลุมที่ 1 สมมติวาแปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดโดยให จุดยอด แทน ผูเรียน เสนเชื่อม แทน การจับมือของผูเรียนในกลุมกราฟมีจุดยอด 5 จุด และดีกรีของจุดยอด 4, 3, 2, 2 และ 1จะไดวากราฟมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคู สอดคลองกับทฤษฎีบท 2 นั่นคือ สามารถ
81
แปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดดังนั้น ผูเรียนกลุมที่ 1 สามารถทําตามคําบอกของอาจารยวันดีไดพิจารณากลุมที่ 2 สมมติวาแปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดโดยให จุดยอด แทน ผูเรียน เสนเชื่อม แทน การจับมือของผูเรียนในกลุมกราฟมีจุดยอด 5 จุด และดีกรีของจุดยอดเทากับ 4, 3, 2, 1 และ 1จะไดวากราฟมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคี่ ขัดแยงกับทฤษฎีบท 2 นั่นคือ ไมสามารถแปลงปญหาขางตนเปนกราฟไดดังนั้น ผูเรียนกลุมที่ 2 ไมสามารถทําตามคําบอกของอาจารยวันดีไดจากคําตอบขางตนจงหาจํานวนครั้งของการจับมือกันในกลุมของผูเรียนกลุมที่ 1
วิธีทํา จํานวนครั้งของการจับมือกันในกลุม คือ จํานวนเสนในกราฟสมมติวากราฟมีเสนเชื่อม n เสนจากทฤษฎบีท 1 ผลรวมของดกีรขีองจุดยอดทกุจดุในกราฟ เทากบัสองเทาของจาํนวนเสนเชื่อมในกราฟดังนั้น 4 + 3 + 2 + 2 + 1 = 2n
12 = 2n n = 6
ดังนั้น ผูเรียนกลุมที่ 1 มีการจับมือกันในกลุม 6 ครั้งผูสอนอาจนําตัวอยางขางตนมาจัดเปนกิจกรรมหนาชั้นเรียนแลวใหผูเรียนทดลองใหเห็นจริงดวยตนเอง
ตัวอยางที่ 2 การแขงขันฟุตบอลมีทีมสมัครแขงขัน 10 ทีม ในการจัดแขงขันครั้งนี้จะจัดการแขงขันเปนแบบพบกันหมด จงหาจํานวนครั้งที่จัดการแขงขัน
วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟโดยให จุดยอด แทน ทมีฟตุบอล เสนเชือ่ม แทน การแขงขนัทีมฟุตบอล 10 ทีม จัดแขงขันเปนแบบพบกันหมด แสดงวาแตละทีมตองแขงขันกับทีมอื่น ๆ อีก 9 ทีม นั่นคือแตละจุดยอดของกราฟมีดีกรีเทากับ 9จํานวนครั้งที่จัดการแขงขัน คือ จํานวนเสนเชื่อมในกราฟสมมติวากราฟมีเสนเชื่อม n เสน
82
ดังนั้น 9(10) = 2n 90 = 2n
n = 45ดังนั้น ตองจัดการแขงขันฟุตบอล 45 ครั้ง หรือ 45 คูกราฟแทนปญหา แสดงดังรูป
ตัวอยางขางตนผูสอนอาจใหผูเรียนหาคําตอบของปญหาโดยการนับจํานวนเสนเชื่อมในกราฟจากการเขยีนแผนภาพของกราฟกอน แลวจึงนาํทฤษฎบีท 1 มาใชแกปญหา เพือ่ใหผูเรยีนมองเห็นคุณคาของวิชาคณิตศาสตร
แนวเดินผูสอนนําเขาสูบทเรียนโดยนําสนทนากับผูเรียนเรื่องเสนทางการเดินทางจากบานมา
โรงเรียน แลวยกตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน เชนในอาํเภอหนึง่มตีาํบลอยู 5 ตาํบล ไดแก ตาํบล A, B, C, D และ E ระหวางตาํบลตาง ๆ
จะมีถนนเชื่อมระหวางตําบล ซึ่งแสดงแผนผังดวยกราฟโดยให จุดยอด แทน ตําบล เสนเชื่อมแทน ถนน ดังรูป
กําหนดเสนทาง ดังนี้เสนทางที่ 1 ตําบล A ตําบล B ตําบล A ตําบล D ตําบล C
ตําบล D ตําบล Cเสนทางที่ 2 ตําบล A ตําบล D ตําบล B
ทีมที่ 1ทีมที่ 2
ทีมที่ 3
ทีมที่ 4ทีมที่ 5ทีมที่ 6
ทีมที่ 7
ทีมที่ 8
ทีมที่ 9ทีมที่ 10
สาย 1 สาย 1 สาย 2 สาย 5 สาย 5สาย 5
สาย 2 สาย 3
A
CB
DE
83
ผูสอนบอกผูเรียนวาเสนทางดังกลาวเราสามารถเขียนใหอยูในรูปลําดับของจุดยอดและเสนเชื่อมสลับกันได ดังนี้เสนทางที่ 1 มีลําดับคือ A, AB, B, BA, A, AD, D, DC, C, CD, D, DC, Cเสนทางที่ 2 มีลําดับคือ A, AD, D, DB, B
ผูสอนใหบทนยิามของแนวเดนิ ซึง่นกัเรยีนควรบอกไดวาเสนทางที ่1 และ2 เปนแนวเดินในกราฟ ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาแนวเดินคือลําดับของจุดยอดและเสนเชื่อมสลับกันและเสนเชื่อมแตละเสนจะเกิดกับจุดยอดที่อยูกอนหนาและจุดยอดที่อยูหลังเสนเชื่อมนั้น ซึ่งจุดยอด และเสนเชื่อมในลําดับอาจเกิดขึ้นซ้ํากันได
กราฟเชื่อมโยงผูสอนนาํเขาสูบทเรยีนโดยทบทวนบทนยิามของแนวเดนิ แลวยกตวัอยางเหตกุารณ เชน
ตัวอยางที่ 1 กําหนดแผนผังของสวนสาธารณะ 2 แหง ดังรูป จงพิจารณาวาสวนสาธารณะแหงใดสามารถเดินเที่ยวชมบริเวณสวนสาธารณะไดทุกบริเวณ
ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้สวนสาธารณะแหงที ่1 สามารถเดนิเทีย่วชมบรเิวณสวนสาธารณะไดทกุบรเิวณ เพราะสามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ B ได สามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ C ไดสามารถเดินจากฝง A ไปฝง D ได สามารถเดินจากเกาะ B ไปเกาะ C ไดสามารถเดินจากเกาะ B ไปฝง D ได สามารถเดินจากเกาะ C ไปฝง D ไดสวนสาธารณะแหงที่ 2 ไมสามารถเดินเที่ยวชมบริเวณสวนธารณะไดทุกบริเวณเพราะสามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ B ได ไมสามารถเดินจากฝง A ไปเกาะ C ไดสามารถเดินจากฝง A ไปฝง D ได ไมสามารถเดินจากเกาะ B ไปเกาะ C ได
A
B C
D
แหงที่ 1
A
B C
D
แหงที่ 2
84
สามารถเดินจากเกาะ B ไปฝง D ได ไมสามารถเดินจากเกาะ C ไปฝง D ได
จากนั้นใหบทนิยามของกราฟเชื่อมโยง แลวใชตัวอยางเหตุการณขางตนอธิบายบทนิยามของกราฟเชื่อมโยง โดยใหผูเรยีนเขยีนแผนภาพของกราฟ G1 และ G2 แทนแผนผงัของสวนสาธารณะแหงที ่1 และแหงที ่2 โดยให จุดยอด แทน เกาะ หรอื ฝง เสนเชือ่ม แทน สะพานตามลําดับ จะไดกราฟ ดังรูป
ใหผูเรียนหาคําตอบไดดวยตนเองวากราฟ G1 เปนกราฟเชื่อมโยงโดยอาศัยการใหเหตุผลประกอบคําตอบจากตัวอยางเหตุการณขางตน
ผูเรียนตองบอกไดวากราฟ G1 เปนกราฟเชื่อมโยง เพราะ มีแนวเดิน A - B มีแนวเดิน A - C
มีแนวเดิน A - D มีแนวเดิน B - C มีแนวเดิน B - D มีแนวเดิน C - D
กราฟ G2 ไมเปนกราฟเชื่อมโยงเพราะ ไมมีแนวเดิน A – C
ไมมีแนวเดิน B - Cไมมีแนวเดิน C – D
ตัวอยางที ่2 กาํหนดขายงานการเชือ่มโยงระหวางเสาโทรศพัท และสายโทรศัพท ดังรูปถาเกิดเหตุการณเสาโทรศัพทตนหนึ่งลมแลว จงหาวาเสาโทรศัพทตนใดเมื่อลมแลวจะทําใหการเชื่อมโยงของขายงานเสียหายมากที่สุด
A
BD
C
A
BD
C
G1 G2
1
2
3 4
5
6
85
วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟโดยใหจุดยอด แทน เสาโทรศัพท เสนเชื่อม แทน สายโทรศัพท ดังรูป
จากกราฟ จะพบวา ถาลบจุดยอด 3 ออก เสนที่เกิดกับจุดยอด 3 จะถูกลบออกดวยดังนั้น กราฟที่เกิดจากการลบจุดยอด 3 ออกจะไมเปนกราฟเชื่อมโยง ดังรูป
ถาลบจุดยอดแตละจุด เชน 1 หรือ 2 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6 ออกจากกราฟ กราฟที่เกิดจากการลบจุดยอดดังกลาวยังคงเปนกราฟเชือ่มโยง ดงันัน้เสา 3 จึงเปนเสาโทรศพัททีส่าํคญัที่สดุเพราะถาเสา 3 ลมจะทาํความเสยีหายมากกวาเสาโทรศพัทตนอืน่
กราฟออยเลอร1. ผูสอนแนะนํากราฟออยเลอร โดยอาจใหผูเรียนเลนเกมวาดรูปไดหรือไม ดังนี้
จงหาวารูปใดสามารถใชดินสอวาดรูปโดยไมลากซ้ําเสนเดิม แลวกลับมาที่จุดเริ่มตนโดยไมยกดินสอได เมื่อกําหนดรูป ดังนี้
จะพบวารปู (1) สามารถวาดรูปไดตามเงื่อนไขดังกลาว
6
13
4
52
1 4
6
52
รูป (1) รูป (2) รูป (3)
86
จากนั้นผูสอนสุมผูเรียนออกมา 5 คน วาดรูป (1) บนกระดานดํา แลวชี้ใหผูเรียนเห็นวา แตละคนจะมีวิธีการวาดรูปเหมือนกันหรือตางกันได
2. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามของวงจร เชนกําหนดกราฟ G ดังรูป
จงหาวาแนวเดินในขอใดเปนแนวเดินที่มีเสนเชื่อมแตกตางกัน โดยมีจุดเริ่มตนและจุดสุดทายเปนจุดยอดเดียวกัน
1) v5, e6, v4, e3, v3, e2, v2, e5, v5, e5, v2
2) v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e6, v4, e4, v2
3) v1, e7, v5, e6, v4, e4, v2, e1, v1, e7, v5, e8, v1
4) v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v1
5) v1, e1, v2, e2, v3, e3, v4, e4, v2, e5, v5, e8, v1, e9, v4 , e6, v5, e7, v1
ผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 1) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะในแนวเดินมีเสนเชื่อม e5 ซ้ํากัน
โดยมีจุดเริ่มตนและจุดสุดทายเปนจุดยอดที่ตางกันแนวเดนิในขอ 2) และ 3) ไมเปนไปตามเงือ่นไขโจทย เพราะในแนวเดนิมเีสนเชือ่ม e4
และ e7 ซ้าํกนัตามลําดับแนวเดินในขอ 4) และ 5) เปนไปตามเงื่อนไขโจทยผูสอนใหบทนยิามวงจร ผูเรยีนควรบอกไดวา แนวเดนิในขอ 4) และ 5) เปนวงจร
จากนัน้ผูสอนอาจถามตอวาวงจรในขอใดของขอ 2 ทีเ่ปนวงจรทีผ่านจดุยอดทุกจุดและเสนเชื่อมทุกเสนของกราฟ G ผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 5) เปนวงจรตามเงื่อนไขดังกลาวผูสอนจึงใหบทนิยามของวงจรออยเลอร แลวผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 5) เปนวงจรออยเลอรในกราฟ G เพราะเปนวงจรทีป่ระกอบดวยจุดยอดทกุจดุ และเสนเชื่อมทุกเสนของกราฟ
v1 v2v3
v4v5
e1 e2
e3e4
e5
e6 e7
e8 e9
87
3. ผูสอนทบทวนการหาวงจรในกราฟ แลวยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามของกราฟออยเลอร เชน
ตัวอยางที ่1 กาํหนดกราฟ G1 ถงึ G5 ดงัรปู จงหาวงจรทีป่ระกอบดวยเสนเชือ่มทัง้หมดของกราฟแตละกราฟ
ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้กราฟ G1 สามารถหาวงจรทีป่ระกอบดวยเสนเชือ่มทัง้หมดของกราฟได วงจรหนึง่ที่
เปนไปได มลีาํดบัคอื v1, e1, v2, e2, v3, e3, v1 กราฟ G2 ไมสามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได เพราะมี
เสนเชือ่ม e1 ซ้าํกนักราฟ G3 สามารถหาวงจรทีป่ระกอบดวยเสนเชือ่มทัง้หมดของกราฟได วงจรหนึง่ที่
เปนไปได มลีาํดบัคอื v1, e1, v2, e2, v1
กราฟ G4 ไมสามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟได เพราะมีเสนเชือ่มเสนใดเสนหนึง่ในกราฟซ้าํกนั
กราฟ G5 สามารถหาวงจรทีป่ระกอบดวยเสนเชือ่มทัง้หมดของกราฟได วงจรหนึง่ที่เปนไปได มีลําดับคือ v1, e1, v5, e2, v2, e3, v3, e4, v5, e5, v4, e6, v1
ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาในการหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟG1 , G3 และ G5 อาจหาวงจรดงักลาวไดมากกวาหนึง่แบบ จากนัน้จงึใหบทนยิามของกราฟออยเลอรแลวผูเรียนควรบอกไดวากราฟ G3 และ กราฟ G5 เปนกราฟออยเลอร เพราะสามารถหาวงจรออยเลอรได แตกราฟ G1 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะไมสามารถหาวงจรออยเลอรได ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นวาการที่กราฟ G1 สามารถหาวงจรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทั้งหมดของกราฟแตไมครบทุกจุดยอดของกราฟไดนั้นเนื่องมาจากกราฟ G1 ไมเปนกราฟเชื่อมโยง
v2
e1
G1
v1
v3
v4
e2
e3
v1
v2
e1
G2
v1
v2
e1 e2
G3
v1 v2
v3v4
e1
e2
e3
e4 e5
G4
v1 v2
v3v4
v5 e1 e2
e3 e4 e5
e6
G5
88
ผูเรยีนควรบอกลกัษณะเฉพาะของกราฟออยเลอรไดวา กราฟ G จะเปนกราฟออยเลอรก็ตอเมื่อ กราฟ G เปนกราฟเชื่อมโยง และ จุดยอดทุกจุดของกราฟ G เปนจุดยอดคู โดยดูจากกราฟ G3 และ G5 ในตัวอยางขางตน หรือชี้ใหผูเรียนเห็นวาการหาวงจรออยเลอรที่ประกอบดวยเสนเชื่อมทัง้หมดของกราฟเชือ่มโยง เปนปญหาเชนเดยีวกบัการลากเสนไปตามแผนภาพของกราฟเชือ่มโยง โดยไมซ้ําเสนเชื่อมเดิม แลวตองกลับมา ณ จุดเริ่มตนดังเดิม โดยไมยกดินสอซึ่งจะเห็นวาเมื่อเริ่มตนออกจากจุดยอดใด ๆ จะตองมีการเดินเขาจุดยอดนั้นเสมอโดยเสนเชื่อมที่ตางกัน ดังนั้นจํานวนเสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดแตละจุดของกราฟตองเปนจํานวนคู นั่นคือจุดยอดทุกจุดของกราฟตองเปนจุดยอดคู จากนั้นจึงใหทฤษฎีบท 3
ผูสอนอาจยกตัวอยางการหาวงจรออยเลอรของกราฟโดยใชการพิสูจนทฤษฎีบท 3โดยยกตวัอยางเหตกุารณที่เกิดขึ้นในชีวิตประจําวัน เชน
ตัวอยางที่ 2 กําหนดกราฟแสดงเสนทาง ที่ตํารวจสายตรวจคนหนึ่งตองขับรถตรวจดูความเรียบรอยบนถนนทุกสาย โดยให จุดยอด แทน แยกของถนน เสนเชื่อม แทน ถนนดังรูป จงหาเสนทางที่ตํารวจคนนี้ขับรถผานถนนทกุสายเพยีงครัง้เดยีว แลวกลบัมาณ จุดเริม่ตนดงัเดมิ เมือ่กาํหนดใหตาํรวจคนนีเ้ริม่ตนทีจุ่ด A
วิธีทํา การหาเสนทางที่ตํารวจคนนี้ขับรถผานถนนทุกสายเพียงครั้งเดียว แลวกลับมา ณจุดเริ่มตนดังเดิม คือการหาวงจรออยเลอรของกราฟพิจารณากราฟจากโจทยเปนกราฟเชือ่มโยง และจดุยอดทกุจดุของกราฟเปนจดุยอดคูจึงเปนกราฟออยเลอร นั่นคือสามารถหาวงจรออยเลอรของกราฟไดในการหาวงจรออยเลอรเราจะใชวิธีที่ปรากฏในการพิสูจนทฤษฎีบท 3 ดังนี้โจทยกําหนดใหเริ่มตนที่จุดยอด A สรางวงจรที่มีจุดเริ่มตน และจุดสุดทายที่จุดยอด Aจะได วงจร C1 : A, e1, B, e6, F, e7, E, e8, A ดังรูป 1 (แสดงวงจร C1 ดวยเสนทึบ)
A
B C
D E
Fe1
e2
e3
e4
e5 e7
e6
e8
89
วงจร C1 ยังผานไมครบทุกเสนเชื่อมของกราฟ เลือกจุดยอดบนวงจร C1 ที่มีเสนเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดนั้นซึ่งไมอยูบนวงจร C1 ซึ่งมีจุดยอด B และ E สมมติเลือกจุดยอด Bสรางวงจรในกราฟที่เหลือ โดยมีจุดเริ่มตน และจุดสุดทายที่จุดยอด Bจะได วงจร P1 : B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B ดังรูป 2 (แสดงวงจร P1 ดวยเสนสีเทา)
นําวงจร C1 ตอกับวงจร P1 ที่จุดยอด B (การนําวงจร C1 ตอกับวงจร P1 ที่จุดยอด Bใหเริ่มตนที่จุดยอด A ในวงจร C1 เดินไปตามเสนทึบ เมื่อพบจุดยอด B ใหเดินไปตามเสนสีเทา จนพบกับจุดยอด B แลวเดินไปตามเสนทึบในวงจร C1 จนกลับไปที่จุดยอด A)จะไดวงจร C2 เปนวงจรที่ยาวขึ้น คือ C2: A, e1, B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B, e6,F, e7, E, e8, A จะไดวาวงจร C2 ผานเสนเชื่อมทุกเสนของกราฟแลววงจร C2 มลีาํดบัคอื A, e1, B, e2, C, e3, D, e4, E, e5, B, e6, F, e7, E, e8, A จึงเปนวงจรออยเลอรของกราฟดังนั้น เสนทางหนึ่งที่เปนไปไดที่ตํารวจคนนี้จะขับรถโดยผานถนนทุกสายเพียงครั้งเดียวแลวกลับมาที่จุดเริ่มตนดังเดิม มีลําดับคือ A, e1, B, e2, C, e3, D, e4, E, e5,B, e6, F, e7, E, e8, Aจากตวัอยางขางตน เปนปญหาเดยีวกบัปญหาของคนกวาดถนน พนกังานเกบ็คาน้าํประปาพนกังานเกบ็คาไฟ รถเกบ็ขยะ บรุษุไปรษณยี เปนตน
A
B C
D E
Fe1
e2
e3
e4
e5 e7
e6
e8
รูป 2
A
B C
D E
Fe1
e2
e3
e4
e5 e7
e6
e8
รูป 1
90
ตัวอยางที่ 3 ชางทาสีคนหนึ่งอยูที่ฝง A เขาตองการทาสีสะพานทั้ง 12 สะพาน ดังรูปใหเสร็จภายใน 1 วัน แลวกลับมาที่ฝง A ตามเดิม โดยเขาวางแผนจะใชเวลาในการเดินทางระหวางสะพานและทาสีสะพานประมาณ 8 ชั่วโมง แตสีที่ใชทาสะพานจะแหงเมื่อทาไปแลวประมาณ 3 ชั่วโมง ถาผูเรียนเปนชางทาสีจะมีวิธีการทาสีสะพานอยางไรเพื่อใหงานแลวเสร็จภายใน 1 วัน แลวกลับไปที่ฝง A ตามเดิม (กําหนดใหชวงเวลาทํางาน 1 วันของชางทาสี คือ 08.00 – 17.00 น.)
วิธีทํา เนื่องจากตองทาสีสะพานทุกสะพาน และเมื่อทาสีสะพานแลวไมสามารถเดินขามสะพานที่ทาสีได ตองกลับไปที่จุดเริ่มตนดังเดิม ปญหานี้สามารถแกปญหาโดยการแปลงปญหาเปนกราฟ แลวหาวงจรออยเลอร โดยใหจุดยอด แทน เกาะ หรือ ฝง
เสนเชื่อม แทน สะพาน ดังรูป
เนื่องจากจุดยอดทุกจุดของกราฟเปนจุดยอดคู จึงเปนกราฟออยเลอร นั่นคือสามารถหาวงจรออยเลอรของกราฟได
จะไดวงจรออยเลอรลําดับหนึ่งที่เปนไปได มีลําดับคือ A, e1, C, e2, A, e3, B, e4,A, e5, B, e6, D, e7, C, e8, E, e9, D, e10, E, e11, F, e12, A
ดังนั้นชางทาสีควรทาสีโดยใชเสนทาง มีลําดับคือ A, e1, C, e2, A, e3, B, e4, A,e5, B, e6, D, e7, C, e8, E, e9, D, e10, E, e11, F, e12, A
A
B C
D
E
F
A
B
CD
EF
e1e2e3e4e5
e6e7
e8e9e10e11
e12
91
การประยุกตของกราฟวิถีท่ีสั้นที่สุด
ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามวิถี เชนกําหนดกราฟ G ดังรูป
จงหาวาแนวเดินในขอใด เปนแนวเดินในกราฟ G ที่มีจุดยอดทั้งหมดแตกตางกัน1) v1, e1, v2, e5, v4, e5, v2, e6, v5
2) v1, e2, v3, e3, v4, e4, v1
3) v1, e1, v2, e6, v5, e8, v6
ผูเรียนควรบอกไดวาแนวเดินในขอ 1) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะแนวเดินมีจุดยอด v2 ซ้ํากันแนวเดินในขอ 2) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะแนวเดินมีจุดยอด v1 ซ้ํากันแนวเดินในขอ 3) เปนไปตามเงื่อนไขโจทยผูสอนใหบทนิยามของวิถี แลวผูเรียนควรบอกไดวา แนวเดินในขอ 3) เปนวิถีในกราฟ G
ตนไมแผท่ัวท่ีนอยท่ีสุด1. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อนําเขาสูบทนิยามของวัฏจักร เชน
กําหนดกราฟ G ดังรูป
จงหาวาวงจรในขอใดเปนวงจรที่ไมมีจุดยอดซ้ํากัน ยกเวนจุดเริ่มตนและจุดสุดทาย
v1
v2
v3
v4
v5 v6
e1
e2
e3e4
e5
e6 e7
e8
v1
v2 v3 v4 v5
e1 e2 e3 e4e5 e6 e7
92
1) v1, e1, v2, e5, v3, e2, v1, e3, v4, e7, v5, e4, v1
2) v1, e1, v2, e5, v3, e6, v4, e7, v5, e4, v1
ผูเรียนควรบอกไดวาวงจรในขอ 1) ไมเปนไปตามเงื่อนไขโจทย เพราะ วงจรมีจุดยอด v1 ซึ่งเปน
จุดยอดที่ไมใชจุดเริ่มตนและจุดสุดทายของวงจรซ้ําอยูวงจรในขอ 2) เปนไปตามเงื่อนไขโจทยผูสอนใหบทนิยามของวัฏจักร แลวผูเรียนควรบอกไดวา วงจรในขอ 2) เปน
วัฏจักรในกราฟ G
2. ผูสอนนําเขาสูบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของกราฟเชื่อมโยงแลวผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อแนะนําตนไม ดังนี้
ตัวอยางที่ 1 จงหาวากราฟใดเปนกราฟเชื่อมโยงที่ไมมีวัฏจักร เมื่อกําหนดกราฟ ตอไปนี้
ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้กราฟ G1 ไมเปนไปตามเงือ่นไขโจทย เพราะกราฟ G1 มวัีฏจักรกราฟ G2 ไมเปนไปตามเงือ่นไขโจทย เพราะกราฟ G2 มวัีฏจักรกราฟ G3 ไมเปนไปตามเงือ่นไขโจทย เพราะกราฟ G3 ไมเปนกราฟเชือ่มโยงกราฟ G4 ไมเปนไปตามเงือ่นไขโจทย เพราะกราฟ G4 ไมเปนกราฟเชือ่มโยง และ
มวัีฏจักรกราฟ G5 เปนไปตามเงือ่นไขโจทย
จากนั้นจึงใหบทนิยามของตนไม ผูเรียนควรบอกไดวากราฟ G5 เรียกวาตนไม แลวใหผูเรียนสรุปขอสังเกตที่วา ตนไมไมมีเสนเชื่อมขนานและไมมีวงวน เนือ่งจากตนไมคือกราฟเชือ่มโยงทีไ่มมวัีฏจักร ซึง่ดไูดจากกราฟ G1 และ G2 ของตวัอยางขางตน
ผูสอนอาจยกตัวอยางดังตารางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนสรุปขอสังเกตที่วา ตนไมที่มีจุดยอด n จุด จะมีเสนเชื่อม n – 1 เสน
G1 G2 G3 G4 G5
93
ตนไม จํานวนจุดยอด จํานวนเสนเชื่อม
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
8 7
9 8
. . .
...
...
3. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อใหผูเรียนเขาใจบทนิยามของกราฟยอย ดังนี้
ตัวอยางที่ 2 กราฟ H1, H2, H3 และ H4 กราฟใดเปนกราฟยอยของกราฟ Ga b
c dG :
94
จากกราฟ G ซึ่งมี V(G) = {a, b, c, d} E(G) = {ab, ac, bd, cd, cb}จะไดวา H1 เปนกราฟยอยของ Gเนื่องจาก V(H1) = {a, b, c, d} E(H1) = {ab, ac, bd, cd}นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของ H1 เปนจุดยอดของ G และเสนเชื่อมทุกเสนของ H1 เปนเสนเชื่อมของ GH2 เปนกราฟยอยของ Gเนื่องจาก V(H2) = {a, b, c, d} E(H2) = {ac, cd}นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของ H2 เปนจุดยอดของ G และเสนเชื่อมทุกเสนของ H2 เปนเสนเชื่อมของ GH3 เปนกราฟยอยของ Gเนื่องจาก V(H3) = {a, b, d} E(H3) = ∅นั่นคือ จุดยอดทุกจุดของ H3 เปนจุดยอดของ GH4 ไมเปนกราฟยอยของ Gเนื่องจาก ad ∈ E(H4) แต ad ∉ E(G)นั่นคือ เสนเชื่อม ad เปนเสนเชื่อมของ H4 แตไมเปนเสนเชื่อมของ G
4. ผูสอนทบทวนบทนิยามของตนไม และกราฟยอย แลวอาจยกตัวอยาง เพื่อแนะนําตนไมแผทั่ว ดังนี้
ตัวอยางที่ 3 กราฟ H1, H2, H3, H4 และ H5 กราฟใดเปนกราฟยอยของกราฟ G ที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของกราฟ G ที่เปนตนไม
G :
a
b
cd
f
g
a b
c d
a c
c d
a bd c d
H1 H2 H3 H4
a
95
ผูสอนควรใหผูเรียนบอกเหตุผลประกอบคําตอบ ดังนี้กราฟ H1 เปนกราฟยอยของ G ที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของ G แตไมเปนตนไมเพราะมีวัฏจักรกราฟ H2 เปนกราฟยอยของ G ที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของ G แตไมเปนตนไมเพราะไมเปนกราฟเชื่อมโยงกราฟ H3 เปนกราฟยอยของ G และเปนตนไม แตไมบรรจุจุดยอดทุกจุดของ Gกราฟ H4 และ H5 เปนกราฟยอยที่บรรจุจุดยอดทุกจุดของ G และเปนตนไม
ผูสอนใหบทนิยามของตนไมแผทั่ว แลวผูเรียนควรบอกไดวากราฟ H4 และ H5
เปนตนไมแผทั่วของกราฟ G แลวผูสอนควรใหขอสังเกตวากราฟแผทั่วของกราฟ G อาจมีมากกวาหนึ่งแบบได
ผูสอนใหบทนิยามของตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด แลวยกตัวอยางเหตุการณเพื่อใหผูเรียนสามารถนําการหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดไปใชแกปญหาการเชื่อมโยง เชน
ตัวอยางที่ 4 ปญหาหาการวางสายโทรศัพทบริษัทรับเหมาติดตั้งโทรศัพทแหงหนึ่ง ตองการวางสายโทรศัพทเชื่อมระหวางหมูบานA, B, C, D, E และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถาคาใชจายในการวางสายโทรศัพทข้ึนอยูกับความยาวของสายโทรศัพท บริษัทนี้จะวางสายโทรศัพทอยางไรใหเสียคาใชจาย
a
b
cd
f
g a
cd
f
g
b
a
cd
f b
H1 H2 H3
a
b
cd
f
g a
b
cd
f
g
H4 H5
96
นอยที่สุด เมื่อกําหนดตารางแสดงระยะทาง (กิโลเมตร) ของถนนเชื่อมระหวางหมูบานดังนี้
หมูบาน A B C D E FA - 30 - - - 40B 30 - 10 - 50 20C - 10 - 20 30 -D - - 20 - 10 20E - 50 30 10 - 60F 40 20 - 20 60 -
วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟถวงน้ําหนักโดยให จุดยอด แทน หมูบาน เสนเชื่อม แทน ถนน และคาน้ําหนักของเสนเชื่อมคือระยะของถนนระหวางหมูบาน ดังรูป
เนื่องจากตนไมแผทั่วของกราฟจะประกอบดวยจุดยอดทุกจุดของกราฟ และมีวิถีระหวางทุก ๆ คูของจุดยอดในตนไม ดังนั้นคําตอบของปญหานี้ คือการหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟพิจารณาขั้นตอนในแตละขั้นตอนเสนที่เลือกจะใชเสนสีฟาข้ันที่ 1 จัดลําดับของเสนเชื่อมโดยเรียงคาน้ําหนักของเสนเชื่อมจากนอยไปมากจะได 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60ข้ันที่ 2 เลือกเสนเชื่อมที่มีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมนอยที่สุด ดังรูป (1)
A
B CD
EF
3010
20
10
6040 20
20
50
30
A
B CD
EF
3010
20
10
6040 20
2050
30รูป (1)
97
ข้ันที่ 3 เลือกเสนที่มีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมนอยที่สุดจากเสนเชื่อมที่เหลือ และไมทําใหเกิดวัฏจักรเมื่อรวมเสนเชื่อมนี้เขาเปนสวนหนึ่งของตนไมแผทั่วที่ตองการดังรูป (2)
ข้ันที่ 4 ดําเนินการตามขั้นที่ 3 ดังรูป (3)
ข้ันที่ 5 ดําเนินการตามขั้นที่ 3 ดังรูป (4)
ข้ันที่ 6 ดําเนินการตามขั้นที่ 3 จะพบวาเสนเชื่อมที่เหลือที่มีคาน้ําหนักนอยที่สุด คือเสนเชื่อม BF ซึ่งมีคาน้ําหนักของเสนเชื่อมเทากับ 20 ไมสามารถเลือกไดเพราะทําใหเกิดวัฏจักรดงันัน้จะตองเลอืกเสนเชือ่มทีม่คีาน้าํหนกัของเสนเชือ่มเทากบั 30 ซึง่ม ี2 เสน คือเสนเชือ่ม AB และ CE เสนเชื่อม CE ไมสามารถเลือกไดเพราะทําใหเกิดวัฏจักรดังนั้นเลือกเสนเชื่อม AB ดังรูป (5)
A
B CD
EF
3010
20
10
6040 20
2050
30รูป (2)
A
B CD
EF
3010
20
10
6040 20
2050
30รูป (3)
A
B CD
EF
3010
20
10
6040 20
2050
30รูป (4)
98
จะเหน็วาไมสามารถเลอืกเสนเชือ่มทีเ่หลอืไดอีกเนือ่งจากทาํใหเกดิวฏัจักร จึงสิน้สดุขัน้ตอนไดตนไมแผทัว่ทีน่อยทีส่ดุทีม่ผีลรวมของคาน้าํหนกัของเสนเชือ่ม เทากบั10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดังรูป (6)
ดังนั้นบริษัทรับเหมาแหงนี้ตองวางสายโทรศัพทตามถนน ดงัรูป (6) ซึ่งมีระยะทาง90 กิโลเมตร จึงจะเสียคาใชจายนอยที่สุดผูสอนควรใหขอสังเกตวาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟในตัวอยางขางตนอาจมีไดมากกวา 1 แบบ ดังนี้
หรือ
A
B CD
E
3010
20
10
F
20
A
B CD
EF
3010
102020
A
B CD
EF
3010
20
10
6040 20
2050
30รูป (5)
A
B CD
EF
3010
20
1020
รูป (6)
99
ผูสอนควรใหผูเรียนสรุปใหไดวาขั้นตอนการหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด มีหลักการคือการเลือกเสนเชื่อมที่มีคาน้ําหนักนอยที่สุดจากกราฟถวงน้ําหนักที่เปนกราฟเชื่อมโยงติดตอกันเพื่อสรางตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟ เสนเชื่อมที่เลือกตองไมทําใหเกิดวัฏจักร และข้ันตอนวิธีสิ้นสุดเมื่อเลือกเสนเชื่อมครบ n – 1 เสน เมื่อ n เปนจํานวนจุดยอดของกราฟ
ผูสอนควรยกตัวอยางเกี่ยวกับการแกปญหาโดยใชความรูเกี่ยวกับตนไมหลาย ๆตัวอยาง เชน
ตัวอยางที่ 5 กําหนดแผนผังแสดงถนนที่ยังไมลาดยางของหมูบานหนึ่ง ดังรูป จงหาวาเจาหนาที่ที่รับผิดชอบในการสรางถนนจะลาดยางชวงถนนใดจึงจะทําใหประชาชนในหมูบานสามารถใชถนนเดินทางไปมาระหวางทุกๆ ทางแยกไดเร็วที่สุด เมื่อใหระยะเวลาในการลาดยางขึ้นอยูกับความยาวของถนน
วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟถวงน้ําหนักโดยให จุดยอด แทน แยกของถนน เสนเชื่อม แทน ถนน คาน้ําหนักของเสนเชื่อมคือ ระยะทางระหวางแยกของถนน ดังรูป
จากโจทย ตองหาตนไมแผทั่วที่นอยที่สุดของกราฟจากขั้นตอนวิธีในตัวอยางที่ 4จะไดตนไมแผทั่วที่นอยที่สุด ดังรูป
33 3
3
31
2 2 2
6 7
4
4
5
100
เจาหนาทีท่ีร่บัผดิชอบในการสรางถนนควรลาดยางชวงถนนดงัรปูตนไมแผทัว่ทีน่อยทีส่ดุขางตน และตองลาดยางถนนเปนระยะทาง เทากับ1 + 2 +2 + 2 +3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 23 กิโลเมตรจึงจะทําใหประชาชนในหมูบานไดใชถนนไปมาระหวางทุกๆ ทางแยกไดเร็วที่สุด
ตัวอยางที ่ 6 จังหวดัหนึง่มอํีาเภออยู 15 อําเภอ แตละอาํเภอมถีนนเชือ่มกบัอาํเภออืน่ ๆ 6 สายจงหาวาสามารถปดซอมถนนไดพรอมกันมากที่สุดกี่สาย โดยที่ประชาชนในจังหวัดนี้ยังสามารถขับรถจากอําเภอใด ๆ ไปยังอีกอําเภอหนึ่งไดเสมอ
วิธีทํา แปลงปญหาขางตนเปนกราฟโดยให จุดยอด แทน อําเภอ เสนเชื่อม แทน ถนนให n แทนจํานวนเสนเชื่อมในกราฟจาก ทฤษฎีบท 1 จะไดวา 15 × 6 = 2 n
90 = 2 n n = 45ดังนั้นจังหวัดนี้มีถนนเชื่อมระหวางอําเภอทั้งหมด 45 สายการปดถนนพรอมกันมากที่สุด โดยที่ยังมีถนนเชื่อมระหวางอําเภอสองอําเภอใด ๆดังนั้นถนนที่สามารถเปดใหใชได คือ ตนไมแผทั่วของกราฟจํานวนถนนที่ตองเปดใชแลวทําใหประชาชนยังสามารถขับรถจากอําเภอใด ๆ ไปยังอีกอําเภอหนึ่งได คือ จํานวนเสนเชื่อมของตนไมแผทั่วของกราฟ เทากับ15 – 1 = 14 เสนจะไดวา กราฟดังกลาวสามารถลบเสนเชื่อมออกจากกราฟไดมากที่สุด 45 – 14 = 31 เสนดังนั้น สามารถปดซอมถนนไดพรอมกันมากที่สุด 31 สาย
33
3
31
2 2 2
4
101
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
ขอ 1 - 5 ใหเลือกคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว1. กราฟในขอใดตอไปนี้ มีผลรวมของดีกรีของทุกจุดยอดเทากับ 12
ก. ข.
ค. ง.
2. กําหนดกราฟดังแผนภาพตอไปนี้
ผลรวมของดีกรีของทุกจุดยอดในกราฟเทากับขอใดก. 20 ข. 21 ค. 22 ง. 23
3. กราฟในขอใดมีวงจรออยเลอรก. ข.
ค. ง.
102
4. กราฟในขอใดเปนกราฟออยเลอรก. ข.
ค. ง.
5. กราฟในขอใดเปนตนไมแผทั่วของกราฟตอไปนี้
ก. ข.
ค. ง.
a
b
c
de
a
b
c
de
a
b
c
de
a
b
c
de
a
b
de
103
ขอ 6 - 7 จงแสดงวิธีทํา6. ลูกสุนัขจะสามารถกลับบาน โดยไมซ้ําเสนทางเดิม ไดทั้งหมดกี่เสนทาง
7. ตาตาจัดงานเลี้ยงสังสรรคที่บาน โดยเชิญเพื่อนมารวมงานอีก 5 คน คือ นภา สดใสยิ้มแยม สะอาด และ รักชาตินภากลาววา "นภาเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 4 คน
สดใสเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 2 คนยิ้มแยมเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 3 คนสะอาดเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 3 คนและรักชาติเปนเพื่อนกับคนในกลุมนี้ 4 คน"
ทานคิดวาคํากลาวของนภาเปนจริง หรือเท็จ อยางไร พรอมใหเหตุผลประกอบ
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท1. ข2. ค3. ค
104
4. ค5. ง6. แปลงปญหานี้เปนกราฟโดยกําหนดใหจุดยอด A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M แทนสถานที่ เสนเชื่อมแตละเสน แทนทางเดินระหวางสถานที่ จะไดกราฟ ดังรูป
ดังนั้น เสนทางพาลูกสุนัขกลับบานมี 6 เสนทาง ดังนี้ 1) A, B, C, D, E, F, G, H, J, L, M 2) A, B, C, D, E, G, H, J, L, M 3) A, B, C, D, F, G, H, J, L, M 4) A, B, D, E, F, G, H, J, L, M 5) A, B, D, E, G, H, J, L, M 6) A, B, D, F, G, H, J, L, M7. คํากลาวของนภาเปนเท็จ เพราะถาแปลงโจทยปญหาเปนกราฟ
โดยให จุด แทน คนเสน แทน ความเปนเพื่อนกัน
จะไดวา กราฟนี้จะเปนกราฟที่มีจุด 6 จุด ดังนี้
ตาตา ยิ้มแยม
นภา สะอาด
สดใส รักชาติ
จะพบวา กราฟนี้มีจุดคี่ 3 จุด ซึ่งเปนไปไมได(หรือผลบวกของดีกรีแตละจุด เทากับ 21 ซึ่งไมเทากับจํานวนคู ซึ่งเปนไปไมได)
A B D E G H J L M
C F I K
105
เฉลยแบบฝกหัด 2.1
1. (1) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}E(G) = {v1v2, v2v3, v3v4, v2v6, v3v7, v5v6, v6v7, v7v8}
(2) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}E(G) = {v1v2, v1v3, v1v4, v1v5, v1v6, v2v3, v2v6, v3v4, v4v5, v5v6}
(3) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}E(G) = {v1v5, v1v6, v2v5, v2v6, v3v5, v3v6, v4v5, v4v6}
(4) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}E(G) = {v1v2, v1v4, v2v3, v2v7, v4v8, v4v5, v5v6}
(5) V(G) = {A, B, C, D, E, F}E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}
(6) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}E(G) = {v1v4, v1v5, v1v6, v2v4, v2v5, v2v6, v3v4, v3v5, v3v6}
(7) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
(8) V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5}E(G) = {e1, e2, e3, e4}
2. หมายเหตุ กราฟ G ในขอนี้สามารถเขียนไดหลายรูปแบบ เชน(1)
(2)
v2 v3
v1v4
v4v3
v2
v1
106
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
v6
v5
v4
v3v2
v1
v4
v3
v2v1
v3
v4
v2v1
a
b
cd
ef
g
hij
107
(8)
3. (1) ถูก (2) ผิด(3) ถูก (4) ผิด(5) ถูก
4. (1) จําลองปญหาดวยกราฟ G ดังนี้ใหจุดยอด 1, 2, ..., 6 แทนรถคันที่ 1 ถึงคันที่ 6 ตามลําดับจะได V(G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}และ E(G) = {12, 13, 15, 16, 23, 24, 25, 35, 45, 46}
(2) จากกราฟ จะตองเตรียมพื้นที่จอดรถไวอยางนอยที่สุดสําหรับรถ 4 คัน
5. (1) V(G) = {ไทย, ลาว, กัมพูชา, พมา, มาเลเซีย, เวียดนาม}แผนภาพของกราฟตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดเขียนไดดังนี้
km
nr
pq
5 46
12
3
ไทย
ลาว
พมา
มาเลเซีย
กัมพูชา
เวียดนาม
108
(2) จะตองใชสีอยางนอยที่สุด 4 สี
เฉลยแบบฝกหัด 2.2
1. (1) deg a = 3 deg b = 3deg c = 3 deg d = 3deg e = 2
(2) deg a = 2 deg b = 3deg c = 2 deg d = 5
(3) deg a = 2 deg b = 4deg c = 3 deg d = 3deg e = 2
(4) deg a = 3 deg b = 2deg c = 2 deg d = 3
2. (1) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 3 + 4 + 1 + 2 + 4 = 14จํานวนเสนเชื่อมของกราฟ เทากับ 7 เสน
(2) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดเทากับ 5 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24จํานวนเสนเชื่อมของกราฟ เทากับ 12 เสน
(3) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 5 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 5 + 2 = 24จํานวนเสนเชื่อมของกราฟ เทากับ 12 เสน
3. (1) ใหจุดยอดแทนผูมารวมงานและเสนเชื่อมแทนการจับมือทักทายกันดังนั้น กราฟนี้มีจุดยอด 8 จุด และแตละจุดยอดมีดีกรีเทากับ 7
1 2 3 4 5 6 7เจาภาพ
109
(2) ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 8 × 7 = 56จํานวนเสนของกราฟเทากับ 28 เสนดังนั้น จํานวนครั้งทั้งหมดที่มีการจับมือทักทายกันเทากับ 28 ครั้ง
4. ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดเทากับ 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16ดังนั้น จํานวนเสนของกราฟเทากับ 8 เสน
5. ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทั้ง 7 จุด เทากับ 5 + 4 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 17 ซึ่งเปนจํานวนคี่ ขัดแยงกับขอสังเกตที่ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเปนจํานวนคูเสมอ ดังนั้น ไมมีกราฟที่มีสมบัติดังกลาว
6. สามารถเขียนกราฟไดหลายรูปแบบ
7. จํานวนเสนเชื่อมของกราฟเทากับ 35 เสนจะได ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุด เทากับ 2(35) = 70ทุกจุดยอดมีดีกรีอยางนอย 3 ดังนั้น จุดของกราฟที่มากสุดที่เปนไปได เทากับ 23 จุด
8. จํานวนเสนเชื่อมของกราฟเทากับ 31 เสน จะไดผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดเทากับ2(31) = 62 จุดยอด 3 จุด มีดีกรี 1 และจุดยอด 7 จุด มีดีกรี 4 ดังนั้น ผลรวมของดีกรขีองจุดยอด 10 จุดนี้คือ 3 + 28 = 31ดังนั้นจะไดวา จุดยอดอีก 3 จุดที่เหลือมีผลรวมของดีกรีเทากับ 31แต 31 เกิดจากผลบวกของจํานวน 3 จํานวนในสองรูปแบบ คือ1. จํานวนคี่ บวก จํานวนคี่ บวก จํานวนคี่2. จํานวนคี่ บวก จํานวนคู บวก จํานวนคู
v3
v2
v1
v5v4
110
แบบ 1 จะมีจุดยอดคี่ 3 + 3 = 6 จุดแบบ 2 จะมีจุดยอดคี่ 3 + 1 = 4 จุด ซึ่งสอดคลองกับทฤษฎีบทที่วา ทุกกราฟ
จะมีจุดยอดคี่เปนจํานวนคูดังนั้น มีกราฟที่มี 13 จุด และเสนเชื่อม 31 เสน โดยที่มี 3 จุด มีดีกรี 1 และ 7 จุด
มีดีกรี 4
เฉลยแบบฝกหัด 2.4
1. (1) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนด มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด U(2) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนด มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด A(3) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนด มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด H(4) เปนกราฟออยเลอร มีวงจรออยเลอรที่แทนดวยลําดับของจุดยอด R, T, U, R, V,
S, R, W, S, U, R(5) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนดมีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด K(6) เปนกราฟออยเลอร มีวงจรออยเลอรที่แทนดวยลําดับของจุดยอด R, D, M, S,
D, C, B, A, J, K, L, B, K, C, R, L, M, R(7) เปนกราฟออยเลอร มีวงจรออยเลอรที่แทนดวยลําดับของจุดยอด F, C, G, D,
C, A, D, B, E, D, H, E, I, H, G, F(8) ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะกราฟที่กําหนดมีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด B
2. แปลงปญหาเปนกราฟโดยกําหนดใหจุดยอด1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 แทนหองตาง ๆ ตามแผนผัง และ X แทนบริเวณดานนอกจะเขาประตู A หรือออกจากประตู B
A B1 2
3 4 5
6 7 8
111
เสนเชื่อมแตละเสนแทนทางเดินระหวางหอง หรือทางเดินระหวางหองกับดานนอกจะได กราฟ G ดังรูป
จะเห็นวา กราฟ G มีจุดยอดคี่ เชน จุดยอด 3 มี deg 3 = 3 หรือ จุด 4 มี deg 4 = 5ดังนั้น G ไมมีวงจรออยเลอรนั่นคือ ไมสามารถนําแขกเขาชมในบานโดยเริ่มตน ณ ประตู A แลวไปสิ้นสุดณ ประตู B และผานประตูตาง ๆ แตละประตูเพียงครั้งเดียวได
3. จากปญหาสะพานเคอนิกสเบอรกสามารถแปลงเปนกราฟไดดังนี้
ไมได เพราะกราฟที่แทนปญหาสะพานเคอนิกสเบอรก เปนกราฟที่มีจุดยอดคี่ทุกจุด จึงไมสามารถทําตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดได
เฉลยแบบฝกหัด 2.5
1. (1) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 1 + 5 + 2 = 8วิถีที่ 2 คือ a, v1, v2, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 1 + 5 + 1 + 4 = 11วิถีที่ 3 คือ a, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 3 + 4 = 7วิถีที่ 4 คือ a, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 2 + 5 = 7วิถีที่ 5 คือ a, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนักเทากับ 3 + 1 + 2 = 6
X
2
5
876
3
1
4
A
B
C
D
112
ดังนั้น วิถี a, v3, v2, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด
(2) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 + 4 = 11วิถีที่ 2 คือ a, v1, v2, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 + 1 + 2 = 10วิถีที่ 3 คือ a, v1, v2, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 + 7 + 9 + 2 = 25วิถีที่ 4 คือ a, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 9 + 2 = 12วิถีที่ 5 คือ a, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 7 + 4 = 12วิถีที่ 6 คือ a, v3, v4, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 9 +1+ 4 = 15วิถีที่ 7 คือ a, v3, v2, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 7 + 1 + 2 = 11ดังนั้น วิถี a, v1, v2, v4, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด
(3) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 = 10วิถีที่ 2 คือ a, v1, v2, v7, v5, v6, z
มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 = 12วิถีที่ 3 คือ a, v3, v5, v1, v2, v7, z
มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 4 = 15วิถีที่ 4 คือ a, v3, v5, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 2 + 2 + 4 = 10วิถีที่ 5 คือ a, v3, v4, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 3 + 3 + 2 = 10วิถีที่ 6 คือ a, v3, v5, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 2 + 2 + 2 = 8วิถีที่ 7 คือ a, v3, v4, v6, v5, v7 , z
มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 2 + 3 + 3 + 2 + 2 + 4 = 16วิถีที่ 8 คือ a, v1, v5, v6, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 2 = 7วิถีที่ 9 คือ a, v1, v5, v7, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 4 = 9วิถีที่ 10 คือ a, v1, v2 , v7 ,v5, v3 , v4 ,v6, z
มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 = 18วิถีที่ 11 คือ a, v1, v5, v3 , v4 ,v6, z
มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 = 13ดังนั้น วิถี a, v1, v5, v6, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด
(4) วิถีที่ 1 คือ a, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 3 + 5 = 9
113
วิถีที่ 2 คือ a, v1, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 6 = 9วิถีที่ 3 คือ a, v1, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 2 + 5 = 10วิถีที่ 4 คือ a, v1, v2, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 3 + 2 + 6 = 12วิถีที่ 5 คือ a, v1, v2, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 3 + 2 + 1 + 4 = 11วิถีที่ 6 คือ a, v1, v3, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 1 + 2 + 1 + 4 = 8วิถีที่ 7 คือ a, v4, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 4 = 7วิถีที่ 8 คือ a, v4, v3, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 1 + 6 = 10วิถีที่ 9 คือ a, v4, v3, v1, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 1 + 2 + 3 + 5 = 14วิถีที่ 10 คือ a, v4, v3, v2, z มีผลรวมคาน้ําหนัก เทากับ 3 + 1 + 2 + 5 = 11ดังนั้น a, v4, z เปนวิถีที่สั้นที่สุด
2. (1) ตนไมแผทั่วนอยที่สุด
ผลรวมคาน้ําหนักของเสนเชื่อมทั้งหมด เทากับ 1 + 2 + 5 + 1 + 4 + 2 = 15
(2) ตนไมแผทั่วนอยที่สุดคือ
หรือ
ผลรวมคาน้ําหนักของเสนเชื่อมทั้งหมด เทากับ 2 + 3 + 3 + 4 = 12
A B
CE
D
4
323
B
F
A
C
D E
4
2
12
G
5
1
AB
CE
D
4
323
