บทที่ 2สมการกําลังสองตัวแปรเดียว (20 ช่ัวโมง)

2.1 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว ( 8 ช่ัวโมง) 2.2 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว (12 ช่ัวโมง)

ในบทที่ 1 นักเรียนไดเรียนเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม และ a ≠ 0 มาแลว ในบทนี้จะไดนําความรูเหลานั้นมาใชในการหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, cเปนจํานวนเต็ม และ a ≠ 0 เนือ้หาในบทนีจ้ะเนนเฉพาะการแกสมการกาํลังสองตวัแปรเดยีวในกรณทีีส่ามารถแยกตวัประกอบของพหนุาม ax2 + bx + c ใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม จะยงัไมกลาวถึงการแกสมการโดยวธีิอ่ืน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได 2. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได 3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

30

แนวทางในการจัดการเรียนรู

2.1 สมการกําลังสองตัวแปรเดียว (8 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. บอกไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการกําลังสองตัวแปรเดียวหรือไม 2. แกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 และแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจทบทวนความหมายของสมการ ยกตัวอยางสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คําตอบของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว และวิธีแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวโดยใชสมบัติของการเทากัน 2. ครูยกตัวอยางสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในรูปแบบตาง ๆ เชน x2 = 3, 2x2 + 5 = 0,3x2 – x2

1 = 0, -x2 + 3x = 4, 43 x x5

2 2+− = 0 และใหนักเรียนสังเกตวา สมการดังตัวอยางที่กลาวมา

นี้มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวและ a ≠ 0 ครูอาจถามนักเรียนวา ทําไมจึงตองมีเงื่อนไข a ≠ 0 กํากับไว หรือถามวา ถา a = 0 แลว สมการ ax2 + bx + c = 0 จะเปนสมการในลักษณะใด 3. ครูควรใหนักเรียนทํากิจกรรม “ทําไดหรือไม” เพื่อเปนการฝกทักษะในการพิจารณารูปแบบของสมการกําลังสอง และฝกความรอบคอบดวย เชน สมการ x2 – 8x = 2 + x2 หากนักเรียนไมทําใหสมการนี้อยูในรูปทั่วไปของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวกอน อาจตอบวาสมการนี้เปนสมการกําลังสองซึ่งไมถูกตอง เนือ่งจากสมการ x2 – 8x = 2 + x2 เมือ่จดัใหอยูในรปู ax2 + bx + c = 0 จะได (0)x2 – 8x – 2 = 0ซ่ึงไมใชสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ทั้งนี้เพราะสัมประสิทธิ์ของ x2 เปน 0 4. ในบทนี้ถึงแมวาจะใหความหมายของ คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เปนจํานวนจริง แตในการเรียนการสอนสําหรับบทนี้จะกลาวถึงเฉพาะ คําตอบของสมการที่เปนจํานวนตรรกยะเทานั้น และเมื่อกลาวถึงคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ครูควรยกตัวอยางสมการใหครบทั้ง3 แบบคือมีสองคําตอบ มีหนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบเลย และใหนักเรียนสังเกตวาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวมีไดไมเกินสองคําตอบ 5. สําหรับกิจกรรม “ลองแทนคา” มีเจตนาที่จะใหนักเรียนไดเห็นวา วิธีหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียวบางสมการโดยการลองแทนคาตัวแปร อาจไมสะดวกและใชเวลา จึงตองหาวิธีการที่จะหาคําตอบไดงายกวา นั่นคือใชการแยกตัวประกอบมาชวยดังในกิจกรรม “จํานวนใดเปนคําตอบ”

31

แตถึงกระนั้นวิธีนี้ก็ยังยุงยากอยูดีดังเชน (3x – 7)(4x + 5) = 0 ซ่ึงหาคําตอบไดไมสะดวก สมการในลักษณะนี้อาจหาคําตอบไดงายขึ้นเมื่อใชสมบัติของจํานวนจริงดังที่กลาวไวในหนังสือเรียน วิธีการนําเสนอการเรียนรูตั้งแตกิจกรรม “ลองแทนคา” จนถึงตัวอยางการแกสมการโดยใชสมบัติของจํานวนจริง ตองการชี้ประเด็นใหเห็นกระบวนการทางคณิตศาสตรวา เมื่อพบปญหาและใชวิธีแกปญหาวิธีหนึ่งซึ่งไมสะดวก ยุงยาก หรือใชเวลามากเกินไป เราควรหยุดคิดและพิจารณาหาวิธีการใหมที่สะดวกกวา ยุงยากนอยกวา แตไดผลที่ถูกตองเชนเดียวกัน ดังนั้นในการจัดการเรียนการสอน ครูจึงควรดําเนินการสอนใหนักเรียนเห็นกระบวนการดังกลาวดวย 6. การแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่มีรูปทั่วไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม และ a ≠ 0 ไดนําเสนอไวเปนสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรกจะเปนการแกสมการในกรณีที่a = 1 ซ่ึงนักเรียนจะสามารถแยกตัวประกอบไดงาย ในขั้นตอนที่สองจะเปนการแกสมการในกรณีที่a เปนจํานวนเต็มอื่น ๆ สําหรับขั้นตอนแรกครูอาจใหนักเรียนฝกทักษะเพิ่มเติมในการแยกตัวประกอบโดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.1 7. สําหรับกิจกรรม “คิดเร็ว – ตอบเร็ว” มีเจตนาใหนักเรียนคิดหาคําตอบในใจและอาจใหทํากิจกรรมนี้หลังจากทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.1 แลว 8. สําหรับตัวอยางการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในตัวอยางที่ 8 และตัวอยางที่ 10 ถึงแมวา a, b หรือ c จะไมเปนจํานวนเต็ม ก็สามารถทําใหคา a, b หรือ c เปนจํานวนเต็มกอนแลวดําเนินการตามขั้นตอนปกติตอไปได 9. ครูอาจฝกทักษะการเขียนสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a เปนจํานวนเต็มที่ a ≠ 1 ใหเปนสมการที่อยูในรูปของการแยกตัวประกอบกอน จึงคอยใหหาคําตอบของสมการ ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมในทํานองเดียวกันกับ กิจกรรมเสนอแนะ 2.1 ก็ได 10. สําหรับแบบฝกหัด 2.1 ข ขอ 2 ขอยอย 28), 29) และ 30) ครูอาจตองทบทวนวิธีการแยกตัวประกอบซึ่งอาจทําได 2 แบบ เชน ขอ 30 จงแกสมการ (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0 อาจทําดังนี้ วิธีท่ี 1 พิจารณาในรูปของผลตางของกําลังสอง (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0 {(2x – 3) + (x + 2)}{(2x – 3) – (x + 2)} = 0 จะได (3x – 1)(x – 5) = 0 ดังนั้น x = 3

1 หรือ x = 5

เมื่อนําคา x ไปตรวจสอบ จะไดวา 31 และ 5 เปนคําตอบของสมการ

(2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0

32

วิธีท่ี 2 พิจารณาทําสมการใหอยูในรูปที่งายขึ้นกอน (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0 (4x2 – 12x + 9) – (x2 + 4x + 4) = 0 3x2 – 16x + 5 = 0 (3x – 1)(x – 5) = 0 ดังนั้น x = 3

1 หรือ x = 5

เมื่อนําคา x ไปตรวจสอบ จะไดวา 31 และ 5 เปนคําตอบของสมการ

(2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0

สําหรับโจทยในลักษณะนี้อาจมีนักเรียนบางคนทําดังนี้ (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0 (2x – 3)2 = (x + 2)2

ใชการถอดรากที่สองเปน 2x – 3 = x + 2 ดังนั้น x = 5 เมื่อนําคา x ไปตรวจสอบ จะไดวา 5 เปนคําตอบของสมการ (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0เพียงคําตอบเดียว เหตุที่ทําใหไดคําตอบเพียงคําตอบเดียว เพราะการถอดรากที่สองของนักเรียนยังไมครบทุกกรณี ที่จริงแลวตองทําดังนี้ จาก (2x – 3)2 – (x + 2)2 = 0 จะได (2x – 3)2 = (x + 2)2

ตามความหมายของการหารากทีส่อง จะมรีากทีส่องทีเ่ปนบวกหนึง่รากและรากทีส่องทีเ่ปนลบอีกหนึ่งราก จะได 2x – 3 = x + 2 และ 2x – 3 = -(x + 2) จากสมการทั้งสองนี้ทําใหได x = 5 และ x = 3

1 ตามลําดับเหมือนกับในวิธีที่ 1 และวิธีที่ 2 ขางตน

11. สําหรับกิจกรรมปญหา “นาคิดนะ” มีเจตนาใหนักเรียนไดสังเกตเห็นวาสมการ เชน(x – 1)2 = (1 – x)2 ไมใชสมการเดียวกันกับสมการ x2 – 1 = 1 – x2 และสมการ (x – 1)2 = (x + 1)2

ก็ไมใชสมการเดียวกันกับสมการ x2 – 1 = x2 + 1 แตละขอมีคําตอบแตกตางกัน ครูควรสังเกตวานักเรียนมีความคิดรวบยอดชัดเจนเกี่ยวกับความหมายของ (x – 1)2 หรือไม นักเรียนมักขาดความรอบคอบและ

33

คิดวา (x – 1)2 คือ x2 – 1 12. สําหรับกิจกรรม “อีกคําตอบอยูไหน” มีเจตนาใหนักเรียนรูและระมัดระวังวา การแกสมการโดยใชสมบัติของการเทากันจะไมกระทําโดยการนําตัวแปรใด ๆ ไปเปนตัวหาร นอกจากจะกําหนดใหตัวแปรนั้นไมเทากับศูนย ครูอาจนํากิจกรรมนี้มาอธิบายและทําความเขาใจกับนักเรียน ดังนี้ จากวิธีทําของปอ จะเห็นวาปอนํา a ไปหารทั้งสองขางของสมการ โดยไมคํานึงถึงวา a = 0หรือไม เพราะถาโจทยไมกําหนดเงื่อนไข a ≠ 0 ไว a อาจเทากับ 0 ได และนักเรียนเคยทราบมาแลววาในกรณีที่ a = 0 เราจะไมใช 0 เปนตัวหาร การที่ปอนํา a ไปเปนตัวหารจึงเปนการกําหนดโดยปริยายวา a ≠ 0 นั่นคือคําตอบที่ปอไดจึงเปนคําตอบกรณีที่ a ≠ 0 เพียงกรณีเดียว สําหรับกรณีที่ a = 0 ปอไมไดนํามาพิจารณาดวย คําตอบจึงหายไปหนึ่งคําตอบ 13. ครูอาจใหแบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1 เสริมใหกับนักเรียนที่ยังขาดทักษะการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียวดวยก็ได

2.2 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียว (12 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. แกโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียน โดยใหโจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่นักเรียนอาจหาคําตอบไดโดยอาศัยแบบรูปดังตัวอยางในหนังสือเรียน หนา 52 – 53 เพื่อใหนักเรียนเห็นวาเมื่อตองการแกปญหาในทํานองเดียวกันแตใชกับจํานวนที่มีคามาก การหาคําตอบโดยอาศัยแบบรูปจะไมสะดวก จําเปนตองใชสมการมาชวยในการหาคําตอบ 2. โจทยปญหาที่นําเสนอไวไดจัดแบงเปนสองตอน ตอนแรกจะกลาวถึงปญหาเกี่ยวกับจํานวนซ่ึงนักเรียนจะทําความเขาใจไดงายกวาปญหาในตอนที่สองซึ่งสวนใหญเปนโจทยปญหาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต ในหัวขอนี้ครูควรเนนกับนักเรียนใหเห็นความสําคัญของการตรวจสอบคําตอบ ซ่ึงจะตองนําคาของตัวแปรไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย ไมใชนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการที่นักเรียนหามาได ครูอาจหาตัวอยางโจทยปญหาที่สมมติวา นักเรียนเขียนสมการผิด เมื่อนําคาของตัวแปรที่หาไดจากสมการนั้นไปแทนคาตัวแปรในสมการจะไดสมการเปนจริง แตถานําไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทย จะไดวาจํานวนนั้นไมสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย เชน

34

สมมติวานักเรียนเขาสมการผิด

โจทย ผลบวกของสองเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งกับกําลังสองของครึ่งหนึ่งของจํานวนนั้น จะไดจํานวนเดิม สมมติใหวิธีทําของนักเรียนคนหนึ่งเปนดังนี้

ใหจํานวนจํานวนนั้นเปน x ไดสมการเปน 2x + 2

x 2 = x

จะได 2x 2

+ 2x – x = 0

2x 2

+ x = 0 x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 ดังนั้น x = 0 หรือ x = -2 ถานําคา x ไปตรวจสอบที่สมการจะไดดังนี้ 1) แทน x ดวย 0 ในสมการ 2x + 2

x 2 = x

จะได (2 ×0) + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

20 2

= 0 เปนสมการที่เปนจริง

2) แทน x ดวย -2 ในสมการ 2x + 2x 2

= x

จะได 2(-2) + 2)2-( 2

= -2 -4 + 2 = -2 เปนสมการที่เปนจริง แตถานําคา x ไปตรวจสอบกับเงื่อนไขในโจทยจะพบวาเมื่อแทน x ดวย -2 แลว จะได ดังนี้ สองเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งเปน 2(-2) = -4 คร่ึงหนึ่งของจํานวนนั้นเปน )2-(2

1 = -1 กําลังสองของครึ่งหนึ่งของจํานวนนั้นเปน (-1)2 = 1 ไดผลบวกของสองเทาของจํานวนจํานวนหนึ่งกับกําลังสองของครึ่งหนึ่งของ จํานวนนั้นเปน (-4) + 1 = -3 ซ่ึงไมใชจํานวนเดิม

จากตัวอยางนี้จะชี้ใหเห็นวา นักเรียนคนนี้เขาสมการผิดแตเมื่อนําคาของตัวแปรไปตรวจสอบในสมการที่ผิดนั้นแลว ก็ยังไดสมการที่เปนจริงอยู ครูจึงควรย้ํากับนักเรียนในเรื่องนี้และควรใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบกอนเขียนคําตอบทุกครั้งดวย

35

3. กอนขึ้นตัวอยางที่ 3 หนา 57 ครูควรทบทวนกอนวาผลตางของ x และ y นั้นหมายถึงx – y หรือ y – x ก็ได ทั้งนี้ขึ้นอยูกับเงื่อนไขในโจทย ในกรณีที่โจทยไมไดระบุชัดเจนวาจํานวนใดมากกวา ก็ใหพิจารณาทั้ง x – y และ y – x แตตามตัวอยางที่ 3 หนา 57 จะพิจารณาในกรณีที่ผลตางเปน x – 5 เทานั้น เพราะโจทยกําหนดให x มากกวา 5 และ (x – 5)2 เปนจํานวนบวก จึงตองทําให10(x – 5) เปนจํานวนบวกดวย 4. สําหรับกิจกรรม “ความยาวและพื้นที่” มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกแกปญหาโดยใชสมการกําลังสองตัวแปรเดียวตามเงื่อนไขที่กําหนดใหในรูปเรขาคณิตกอน เพื่อใหนักเรียนมีพื้นฐานความคิดสามารถกําหนดภาพในวงความคิดได จะชวยใหการวิเคราะหโจทยปญหาที่เกี่ยวของกับรูปเรขาคณิตในแบบฝกหัด 2.2 ข ชัดเจนขึ้น 5. สําหรับแบบฝกหัด 2.2 ข ครูอาจแนะนําใหนักเรียนเขียนรูปประกอบแนวคิดไวในการทําแบบฝกหัดแตละขอ มีโจทยหลายขอที่นักเรียนจะตองพิจารณาคาของตัวแปรที่หาไดจากสมการวาจะใชเปนคําตอบไดหรือไม ครูจึงควรย้ําใหนักเรียนไดตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ เชน โจทยขอ 10 ซ่ึงมีแนวคิดดังนี้ ให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก มี AB = x เซนติเมตร BC = x – 7 เซนติเมตร และ AC = x + 2 เซนติเมตร จะไดสมการเปน (x + 2)2 = x2 + (x – 7)2

x2 – 18x + 45 = 0 (x – 15)(x – 3) = 0 x = 3 หรือ x = 15 จะเห็นวาใชความยาวของ AB เปน 3 เซนติเมตรไมได เพราะจะทําใหไดขนาดของ BCเปนจํานวนลบคือ 3 – 7 = -4 ซ่ึงใชไมได ในปญหานี้จึงใช 15 เปนความยาวของ ABCD ไดเพียงคาเดียว กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัดขอ 17 ครูอาจสนทนาเชื่อมโยงความรูกับวิชาภาษาไทยเกี่ยวกับคําวา “หนาบัน” ในสวนเฉลยคําตอบของแบบฝกหัดชุดนี้ มีบางขอที่คอนขางยากจึงไดใหแนวคิดและสมการไว 6. สําหรับกิจกรรม “ตอบไดหรือไม” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตแบบรูปในตารางหาคําตอบที่โจทยถาม และเมื่อพบคําถามที่มีความยุงยากเกี่ยวกับจํานวน ยากที่จะหาคําตอบโดยใชตาราง นักเรียนควรรูจักสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร ซ่ึงสวนใหญจะอยูในรูปของพหุนามและสมการ เพื่อใชเปนเครื่องมือในการหาคําตอบ เชน คําถามในขอยอย 3) ของแตละขอในกิจกรรมนี้

A B

D C

x

x – 7

36

ครูอาจใหโจทยในทํานองนี้เพิ่มเติม โดยประยุกตตารางเปนความสัมพันธระหวาง x และ yดังแบบรูปในตารางตอไปนี้

x 1 2 3 4 5 …x2 1 4 9 16 25 …y 0 2 6 12 20 …

อาจใหนักเรียนตอบคําถามดังตัวอยาง 1) เขียนความสัมพันธระหวาง x และ y ในรูปของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว [y = x2 – x] 2) หาคา y เมื่อ x = 10 [90] 3) หาคา x เมื่อ y = 210 [15] 7. สําหรับกิจกรรม “ลองหาดู” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตแบบรูปในตาราง และใชการลองแทนคา x ในสมการ y = x2 + bx + c เพื่อหาคา b และ c ซ่ึงนักเรียนนาจะสังเกตไดวา เมื่อแทน xดวย 0 จะหาคา c ไดกอนทันที ตอไปถาแทน x ดวย 1 ก็จะหาคา b ไดงาย 8. สําหรับกิจกรรม “ราคาขึ้น – ลง” มีเจตนาเชื่อมโยงใหนักเรียนเห็นวา ความสัมพันธที่เกี่ยวของกับสมการกําลังสองตัวแปรเดียวในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 นั้นเมื่อ x เปนคาตาง ๆ ตามที่โจทยกําหนด จะไดคาของ ax2 + bx + c เปล่ียนไปตามการแปรคาของ xซ่ึงเมื่อกําหนดผลลัพธนี้เปนคา y ก็จะไดความสัมพันธของ x และ y เปนคู ๆ กันในรูปของคูอันดับ(x, y) จากกิจกรรมนี้กําหนดให 4x2 – 40x + 120 มีคาเปลี่ยนไปตามคาของ x ตั้งแต 1 ถึง 9 และให y เปนผลลัพธที่ไดตามคาของ x ดังปรากฏในตารางของกิจกรรมนี้ และเมื่อเขียนกราฟของความสมัพนัธดงักลาวใหตอเนือ่ง จะไดกราฟเปนเสนโคงเรยีบทีเ่ปนสวนหนึง่ของกราฟทีเ่รียกวา พาราโบลา ในกิจกรรมนี้ไดเชื่อมโยงสาระทางคณิตศาสตรกับสถานการณจริง ซ่ึงมีความสัมพันธระหวางปริมาณสองปริมาณ และสามารถนาํมาสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่กําหนดไดดวยสมการกําลังสองและกราฟ กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนตอบคําถามจากกราฟที่กําหนดใหเทานั้น ในการทํากิจกรรมนี้ ครูควรใหมีการสนทนา อภิปรายเกี่ยวกับความสัมพันธของราคาลิ้นจี่กับชวงเวลาที่มีล้ินจี่วางขายในทองตลาด ตามเหตุการณที่เคยพบเห็นจริงในขณะที่อานและวิเคราะหกราฟที่กําหนดให 9. สําหรับกิจกรรม “บั้งไฟ จรวดแบบไทย” มีเจตนาเชื่อมโยงความรูทางคณิตศาสตรกับสถานการณในชีวิตจริง ดวยการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรเชนเดียวกันกับกิจกรรม “ราคาขึ้น – ลง”แตในกิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดอานและวิเคราะหดวยความเขาใจของตนเอง คําถามที่ใหไวจึงเปน

37

คําถามปลายเปด คําตอบของนักเรียนอาจแตกตางกัน ซ่ึงครูจะตองใชดุลพินิจพิจารณาความสมเหตุสมผลของคําตอบ

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ทําไดหรือไม”

1. สมการในขอ 2), ขอ 3), ขอ 4), ขอ 5), ขอ 8), ขอ 9) และขอ 10) เปนสมการกําลังสองตัวแปรเดียว 2. 1) x2 – 3x – 6 = 0 มี a = 1, b = -3 และ c = -6

2) -3x2 + 4x + 0 = 0 มี a = -3, b = 4 และ c = 0 3) 2m2 – m – 7 = 0 มี a = 2, b = -1 และ c = -7 4) 4x2 + (0)x – 10 = 0 มี a = 4, b = 0 และ c = -10 5) -9x2 + (0)x + 0 = 0 มี a = -9, b = 0 และ c = 0 6) 3

1 n2 – 5n + 1 = 0 มี a = 31 , b = -5 และ c = 1

7) 5x2 + 10x + 0 = 0 มี a = 5, b = 10 และ c = 0 8) 2y2 – y + 3 = 0 มี a = 2, b = -1 และ c = 3 9) t2 – 6t + 8 = 0 มี a = 1, b = -6 และ c = 8

10) 3x2 + 5x – 2 = -0 มี a = 3, b = 5 และ c = -2

คําตอบกิจกรรม “ลองแทนคา”

1. 1) ทั้ง 7 และ -2 เปนคําตอบของสมการ 2) 3 เปนคําตอบของสมการ 0 ไมเปนคําตอบของสมการ

3) 0 เปนคําตอบของสมการ 7 ไมเปนคําตอบของสมการ 4) ทั้ง 5 และ 2

3- เปนคําตอบของสมการ 5) -2 ไมเปนคําตอบของสมการ

6) 21- เปนคําตอบของสมการ

38

2. 1) 1 และ -1 2) 0 และ 5 3) ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ 4) 1 และ -2 5) -1 และ -2

คําตอบกิจกรรม “จํานวนใดเปนคําตอบ”

1. -1 และ 7 2. 1 และ 3 3. -5 และ -4 4. 2 และ 5 5. 3 และ -3 6. 2

1 และ -6

คําตอบกิจกรรม “คิดเร็ว – ตอบเร็ว”

1. 0 2. 2 และ -2 3. 6 และ -6 4. 7 และ -7 5. 5 และ -5 6. 0 และ -2 7. 0 และ 5 8. 4 9. 5 10. -1 และ 911. 4 และ 7 12. 8 และ -5

คําตอบแบบฝกหัด 2.1 ก

1. 0 และ -7 2. 10 และ -10 3. 13 4. 1 5. -2 6. 4 และ -2 7. -1 และ -5 8. -7 และ 2 9. -3 และ -2 10. 5 และ -211. 3 และ 4 12. -3 และ -413. 1 และ 3 14. 1 และ 7

39

15. 1 และ -11 16. -417. -6 และ 5 18. 5 และ 719. 6 และ -3 20. 9 และ -221. -3 และ -12 22. 1023. 5 24. -8 และ -425. 12 และ -3 26. -10 และ -1127. -1 และ -14 28. 3 และ -2029. 25 และ -4 30. 9

คําตอบแบบฝกหัด 2.1 ข

1. 1) 3 และ -3 2) 2

3 และ 23-

3) 4 และ -4 4) 0 และ 34

5) 25- 6) 3

2

7) 0 และ 34 8) 0 และ 4

3-

2. 1) 2

1- และ 3 2) 34 และ -2

3) 21 และ -4 4) 3

1- และ -3

5) 31- และ 2 6) 3

4- และ 21

7) 23- และ 6 8) 8

5 และ -3

9) 0 และ 57 10) 4

5 และ -2

11) 35 และ -1 12) 3

4 และ -2 13) 1 และ -3 14) -8 และ -4 15) 1 และ 5 16) 3

2 และ 43

17) 25- และ 7

2 18) 12 และ -3

19) 21- และ 6

1- 20) 23 และ -1

21) 23 และ -1 22) 5

4- และ 72

40

23) 2 และ 12 24) 37 และ 2

3-

25) 45 26) 2

5 และ -1 27) 3 และ -4 28) 0 และ -4 29) -1 และ 3

1- 30) 31 และ 5

คําตอบกิจกรรม “นาคิดนะ”

1. จํานวนจริงทุกจํานวน 2. 1 และ -1 3. 0 4. ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ

คําตอบกิจกรรม “อีกคําตอบอยูไหน”

เหตุที่ปอหาไดคําตอบเดียว เพราะจากวิธีทําของปอ ทําใหทราบวา ปอไมไดพิจารณาคาของ a ในกรณีที่ a = 0 ซ่ึงเห็นไดจากการที่ปอนํา a มาหารทั้งสองขางของสมการเทานั้น ปอจึงได 3 เปนคําตอบของสมการเพียงคําตอบเดียว แตถาปอพิจารณากรณี a = 0 ดวย ปอจะไดคําตอบของสมการอีกคําตอบหนึ่งคือ 0

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก

1. จํานวนเต็มบวก คือ 20 และ 21 จํานวนเต็มลบ คือ -20 และ -21 2. จํานวนคี่บวก คือ 17 และ 19 จํานวนคี่ลบ คือ -17 และ -19 3. จํานวนบวก คือ 6 และ 9 จํานวนลบ คือ -9 และ -6 4. 4

3 และ 45

5. 8 และ 13 6. 2 และ 8

41

7. จํานวนบวก คือ 19 และ 21 จํานวนลบ คือ -19 และ -21 8. 8 และ 10 9. แมมีอายุ 40 ป และพอมีอายุ 45 ป10. พี่มีอายุ 20 ป และนองมีอายุ 14 ป

คําตอบกิจกรรม “ความยาวและพื้นที่”

1. 46 หนวย 2. 25 ตารางหนวย 3. 24 หนวย 4. 15 หนวย 5. 2 หนวย 6. 16 ตารางหนวย 7. 120 ตารางหนวย 8. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส A มีความยาวดานละ 6 หนวย รูปสี่เหล่ียมผืนผา B กวาง 8 หนวยและยาว 13 หนวย 9. AD ยาวกวา AC 12 หนวย10. กวาง 11 หนวย และยาว 15 หนวย

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข 1. 324 ตารางเซนติเมตร 2. 5 เซนติเมตร 3. 8 หนวย 4. 119 ตารางเมตร 5. 20 เซนติเมตร 6. 3, 4 และ 5 หนวย 7. รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเล็ก ยาวดานละ 7 เซนติเมตร รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสใหญ ยาวดานละ 12 เซนติเมตร

42

8. 96 เซนติเมตร แนวคิด AC แบงครึ่งและตั้งฉากกับ BD ที่จุด O ให BD = x เซนติเมตร AC = x + 4 เซนติเมตร จะได BO = 2

x เซนติเมตร และ CO = 2

4 x + เซนติเมตร

จะไดไดสมการเปน 22

24 x 2

x⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+ = 102

x2 + 4x – 192 = 0 (x + 16)(x – 12) = 0 จะได x = 12 หรือ x = -16 ใช -16 เปนความยาวของเสนทแยงมุมไมได

เมื่อใช 12 เปนความยาวของเสนทแยงมุม จะไดพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูน = 4) (12 12 2

1 +×× = 96 ตารางเซนติเมตร

9. กวาง 16 เมตร ยาว 31 เมตร แนวคิด ให BC = x เมตร ความยาวรอบ ABCD คือ 2 × (กวาง + ยาว) 94 = 2(x + AB) จะได AB = 2

2x 94 −

จะไดสมการเปน ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

22x 94x = 496

x2 – 47x + 496 = 0 (x – 16)(x – 31) = 0 จะได x = 16 หรือ x = 31

10. 120 ตารางเซนติเมตร

A B

D C

94 – 2x2

x

A B

D C

O 10

43

11. 2 เมตรแนวคิด ใหทางเดินกวาง x เมตร

บริเวณที่เหลือ กวาง 14 – 2x เมตร ยาว 24 – 2x เมตร จะไดสมการเปน (14 – 2x)(24 – 2x) = 200 x2 – 19x + 34 = 0 (x – 2)(x – 17) = 0 จะได x = 2 หรือ x = 17 ในที่นี้ใช 17 ไปหาคําตอบไมได เพราะทางเดินจะกวางกวาความกวางของสวน

12. 4 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร แนวคิด ใหรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD ยาวดานละ x เซนติเมตร DEFG เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา DG กวาง x – 2 เซนติเมตร DE ยาว x + 16 เซนติเมตร จะไดสมการเปน (x – 2)(x + 6) = 2x4

5

x2 – 16x + 48 = 0 (x – 4)(x – 12) = 0 ดังนั้น x = 4 หรือ x = 12

13. กลองกวาง 8 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตรและสูง 6 เซนติเมตร แนวคิด ใหกลองกวาง x เซนติเมตร กลองยาว 2

2x 46 − เซนติเมตร

พื้นที่กนกลอง ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

22x 46x ตารางเซนติเมตร

จะไดสมการเปน ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

22x 46x = 120

x2 – 23x + 120 = 0 (x – 15)(x – 8) = 0 ดังนั้น x = 15 หรือ x = 8 นั่นคือ กลองสูง 120

720 = 6 เซนติเมตร

x200

24

14

A B

CGD

x

FE

120 x46 – 2x

2

44

14. กวาง 21 เซนติเมตร ยาว 25 เซนติเมตร แนวคิด ใหกระดาษกวาง x เซนติเมตร ยาว x + 4 เซนติเมตร จะไดสมการเปน 4(x – 8)(x + 4 – 8) = 884

x2 – 12x – 189 = 0 (x – 21)(x + 9) = 0 ดังนั้น x = 21 หรือ x = -9 ใช -9 เปนความยาวของดานไมได15. 20 วินาที16. รถยนต A ใชอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอช่ัวโมง รถยนต B ใชอัตราเร็ว 75 กิโลเมตรตอช่ัวโมง แนวคิด ใหรถยนต A ใชอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอช่ัวโมง รถยนตทั้งสองคันใชเวลา 3

4 ช่ัวโมง

จะไดสมการเปน 2

x34⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

2

15) (x 34

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ + = 1002

x2 – 15x – 2700 = 0 (x + 45)(x – 60) = 0 ดังนั้น x = 60 หรือ x = -45 ใช -45 เปนอัตราเร็วของรถยนต A ไมได

17. 5, 5 และ 8 เมตร แนวคิด ∆ ABC แทนรูปหนาบันของหลังคาบาน มีฐาน BC ยาว 8 เมตร หนาบันสูง 3 เมตร จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได AC ยาว 5 เมตร

44

x + 4

x

8

A

B CE 4

3

A

B

จุดเริ่มตน

100

45

คําตอบกิจกรรม “ตอบไดหรือไม”

1. 1) 144 2) (n + 1)2

3) 20 2.

1) 110 2) n(n + 1) 3) 25 3.

1) 399 2) n2 – 1 3) 31

คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู”

1. b = 0 และ c = -4 2. 21

คําตอบกิจกรรม “ราคาขึ้น – ลง”

1. ประมาณ 25 บาท 2. ตัวอยางคําตอบ ในชวงสัปดาหที่ 1 และสัปดาหที่ 9 ล้ินจี่มีราคาสูงประมาณกิโลกรัมละ 80 – 99 บาท หรือ ในชวงตนสัปดาหที่ 1 และชวงปลายสัปดาหที่ 9 ล้ินจี่มีราคาสูงถึงประมาณกิโลกรัมละ 99 บาท 3. ราคาลิ้นจี่ในชวงตนฤดูและปลายฤดู จะมีราคาสูงกวาราคาลิ้นจี่กลางฤดู 4. ตัวอยางคําตอบ ควรซื้อล้ินจี่กลางฤดู ประมาณสัปดาหที่ 5 หรือในเดือนมิถุนายน เพราะลิ้นจี่จะมีผลแกจัด รสชาติดีและมรีาคาถูก 5. ประมาณ 20 บาท

46

6. ตัวอยางคําตอบ อยากใหล้ินจี่ของสวนไดวางขายตามทองตลาดใหมากที่สุดในชวงสัปดาหที่ 1 หรือชวงสัปดาหที่ 9 เพราะจะมีราคาสูง ทําใหมีรายไดมาก

คําตอบกิจกรรม “บั้งไฟ จรวดแบบไทย”

ตัวอยางคําตอบ ในชวงเวลาแรก ๆ ของการยิง บั้งไฟจะขึ้นสูทองฟาอยางรวดเร็ว จะเห็นไดจากกราฟวาเมื่อเวลา 5 วินาทีแรก บั้งไฟอยูเหนือพื้นดินประมาณ 70 เมตร แตเมื่อเวลาผานไปอีก 5 วินาที(เวลาเทากับชวงแรก) หรือในวินาทีที่ 10 บั้งไฟอยูเหนือพื้นดินประมาณ 100 เมตร หรืออยูสูงกวาความสูงในชวงแรกประมาณ 100 – 70 = 30 เมตร แสดงวาอัตราเร็วในการเคลื่อนที่ของบั้งไฟในชวง5 วินาทีที่สองลดลง บั้งไฟขึ้นสูทองฟาสูงที่สุดเหนือพื้นดินประมาณ 100 เมตร เมื่อเวลาผานไป 10 วินาทีตอจากนั้นบั้งไฟจะตกลงสูพื้นดิน และในชวงที่บั้งไฟตกในวินาทีที่ 10 – 15 อัตราเร็วในการเคลื่อนที่จะนอยกวาอัตราเร็วในการเคลื่อนที่ในชวงวินาทีที่ 15 – 20 ทําใหเมื่อใกลถึงพื้นดินบั้งไฟจะตกลงสูพื้นดินในอัตราที่เร็วกวาเมื่อเร่ิมตก

47

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

48

กิจกรรมเสนอแนะ 2.1

กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนไดฝกทักษะการเขียนสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่กําหนดใหในรูปการแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + bx + c เมื่อ b และ c เปนจํานวนเต็ม

สื่ออุปกรณ บัตรคําสมการกําลังสองตัวแปรเดียวที่อยูในรูป x2 + bx + c = 0 เมื่อb และ c เปนจํานวนเต็ม ประมาณ 20 บัตร และบัตรเฉลยซึ่งเขียนสมการในขอ 1 ในรูปการแยกตัวประกอบของ x2 + bx + c เมื่อ b และ c เปนจํานวนเต็ม ดังตัวอยาง

บัตรสมการ บัตรเฉลย x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0

x2 – 4x + 3 = 0 (x – 3)(x – 1) = 0x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0x2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0x2 – 7x + 10 = 0 (x – 5)(x – 2) = 0x2 + 7x + 10 = 0 (x + 5)(x + 2) = 0x2 – 7x + 12 = 0 (x – 4)(x – 3) = 0x2 – x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0x2 + 7x + 12 = 0 (x + 4)(x + 3) = 0x2 – 9x + 20 = 0 (x – 5)(x – 4) = 0x2 – x – 20 = 0 (x – 5)(x + 4) = 0x2 + x – 20 = 0 (x + 5)(x – 4) = 0x2 + 9x + 20 = 0 (x + 5)(x + 5) = 0x2 – 81 = 0 (x – 9)(x + 9) = 0x2 – 18x + 81 = 0 (x – 9)(x – 9) = 0x2 + 18x + 81 = 0 (x + 9)(x + 9) = 0

แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูวางบัตรสมการทั้งหมดบนโตะโดยคว่ําหนาบัตรไมใหเห็นสมการ 2. ใหนักเรียน 1 คน ออกมาหยิบสุมบัตรสมการ 1 ใบ และชูบัตรใหนักเรียนในชั้นดู 3. ใหนักเรียนคนที่ถือบัตรเฉลยซึ่งแสดงคําตอบของสมการนั้นออกมายืนคูกัน ใหนักเรียนในชั้น ชวยกันตรวจสอบความถูกตองพรอมทั้งบอกคําตอบของสมการนั้น

49

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

จงแกสมการตอไปนี้ 1. x2 – 13x + 42 = 0 [6 และ 7] 2. 3a2 – 14a + 11 = 0 [ 3

11 และ 1]

3. 4y2 – 11y – 3 = 0 [3 และ 41- ]

4. 5x2 – 4x – 9 = 0 [-1 และ 59 ]

5. 81 – 9y2 = 0 [3 และ -3] 6. 16x2 = 169 [ 4

13 และ 413- ]

7. 25n2 – 400 = 0 [4 และ -4] 8. (7y – 3)2 = 9 [ 7

6 และ 0]

9. 5x2 + 14x – 3 = 0 [ 51 และ -3]

10. x2 = 3x + 8 [3 และ 3

8- ]

11. 2a2 – 5a – 63 = 0 [ 29- และ 7]

12. y2 – 8 = 314 y [6 และ 3

4- ]

13. 6x2 – 29x + 28 = 0 [ 27 และ 3

4 ]

14. 40 + 39x + 9x2 = 0 [ 38- และ 3

5- ]

15. 0.9y2 + 6y + 10 = 0 [ 310- ]

16. 16x2 – 8x + 1 = 100 [ 49- และ 4

11 ]

17. 120 – x2 = 217 x [-16 และ 2

15 ]

18. 6y2 = 5.5y – 1 [ 41 และ 3

2 ]

19. 12.1 + 2.5x2 = 11x [ 511 ]

20. 48 + 24m + 3m2 = 0 [-4]