Add m4-2-chapter2

คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔

ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

พ.ศ. ๒๕๔๗

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ

บทที่ 2ฟงกชัน

( 18 ชั่วโมง )

ฟงกชันเปนสาระการเรียนรูหนึ่งที่มีความสําคัญมาก และเปนประโยชนในการเรียนคณิตศาสตรระดับสูงขึ้นไป เชน วิชาแคลคูลัส พีชคณิตนามธรรม นอกจากนี้ฟงกชันยังเปนประโยชนในการแกโจทยปญหาตาง ๆ ทีต่องใชตวัแปร สําหรับบทเรยีนนีจ้ะเริม่ตนดวยการแนะนาํใหผูเรียนรูจกัความสมัพนัธ โดเมนและเรนจของความสัมพันธ ตัวผกผันของความสัมพันธ จากนั้นจึงแนะนําใหผูเรียนรูถึงความหมายของฟงกชันแลวพิจารณาวา ความสัมพันธนั้นเปนฟงกชันหรือไม สําหรับความสัมพันธที่ไมเปนฟงกชัน จะสามารถหาสบัเซตของความสมัพนัธโดยทีสั่บเซตนัน้เปนฟงกชันได แลวจงึเริม่กลาวถึงฟงกชันโพลิโนเมยีลฟงกชันคอมโพสิท ฟงกชันผกผันและพีชคณิตของฟงกชันตามลําดับ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับฟงกชัน เขียนกราฟของฟงกชันและสรางฟงกชันจากโจทยปญหาที่

กําหนดใหได2. นําความรูเร่ืองฟงกชันไปใชแกปญหาได

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรยีนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริม ใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยาง เปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง






พ.ศ. ๒๕๔๗



86

สําหรับเรื่องฟงกชันในหนังสือเรียนเพิ่มเติม เลม 2 หัวขอใดที่ผูสอนคิดวา ผูเรียนมีความรูแลว ผูสอนอาจจะขามไปสอนหัวขออ่ืนไดเลย โดยอาจจะชี้ใหผูเรียนเห็นเพียงประเด็นหรือกรณีที่ควรระมัดระวังหรือตั้งขอสังเกตก็ได

ขอเสนอแนะ1. ในการพิจารณาวา ความสัมพันธที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกเปนฟงกชันหรือไม ผูสอน

อาจใหผูเรียนพิจารณาคูอันดับทั้งหมดของความสัมพันธวา มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันหรือไม ถาไมมีจะสรุปไดวาเปนฟงกชัน แตถามีสมาชิกตัวหนาของคูอันดับซ้ํากันโดยที่สมาชิกตัวหลังของคูอันดับ (ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน) นั้นตางกันสรุปไดวา ความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน เนื่องจากความสัมพันธเปนเซตและเซตที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไมนิยมเขียนสมาชิกซ้ํากัน เชน ไมนิยมเขียน {(1, a), (2, b), (2, b)} แตเขียนเปน {(1, a), (2, b)} ดังนั้น ในการพิจารณาวา ความสัมพันธที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้นเปนฟงกชันหรือไม สามารถทําไดโดยวิธีการดังกลาวมาแลวขางตน

2. ถา f : A → B แลว สามารถหา g ⊂ f โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และ Rg = Rf

ไดเสมอ ดังตัวอยางตอไปนี้1) ถา f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)} สามารถหา g ⊂ f โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่ง

ตอหนึ่ง และ Rg = Rf ได เชน g = {(1, a), (3, b), (4, c)}2) ถา f = {(x, y)⏐y = x2} สามารถหา g ⊂ f โดยที่ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

และ Rg = Rf ได เชน g = {(x, y)⏐y = x2 และ x ≥ 0}3. สําหรับฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งนั้น ในหนังสือเรียนไดยกตัวอยางการพิจารณาวาฟงกชันที่

เขียนแบบแจกแจงสมาชิกเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งหรือไมโดยใชแผนภาพแสดงการจับคูระหวางสมาชิกของเซต A กับสมาชิกของเซต B และอธิบายลักษณะการจับคูที่เปนสมบัติของฟงกชัน 1 – 1 ไววา สมาชิกแตละตัวของ B ที่ถูกจับคูจะจับคูกับสมาชิกของ A เพียงตัวเดียวเทานั้น สวนการพิจารณาวาฟงกชันที่เขียนแบบบอกเงื่อนไขเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไมนั้นใหพิจารณาจากกราฟของฟงกชัน หรือพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม “f เปนฟงกชัน 1 – 1 ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ x1, x2 ในโดเมนของ f ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2”

ขอสังเกต ในการพิจารณาฟงกชัน 1 – 1 โดยการลากเสนตรงขนานกับแกน X แลวพิจารณาวา จุดตัดกราฟมีเพียงจุดเดียวเทานั้นหรือไม ขอควรระวังในการลากเสนตรง ไมใชวาลากเสนตรงขนานกับแกน Xเพียงเสนเดียวผลปรากฏวามีจุดตัดกราฟเพียงจุดเดียว แลวสรุปวาฟงกชันที่กําหนดใหนั้นเปนฟงกชัน 1 – 1 แตตองพิจารณาวาไมวาจะลากเสนตรงใดใหขนานกับแกน X ก็ตาม เสนตรงแตละเสนจะตองมีจุดตัดกราฟเพียงจุดเดียวเทานั้น จึงจะสามารถสรุปไดวาฟงกชันที่กําหนดใหนั้นเปนฟงกชัน 1-1






พ.ศ. ๒๕๔๗



87

4. การพิจารณาวาฟงกชันใดเปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลดจากบทนิยามที่กลาววา f เปนฟงกชันเพิ่มใน A ก็ตอเม่ือ สําหรับสมาชิก x1, x2 ใด ๆ ใน A“ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)” f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเม่ือ สําหรับสมาชิก x1, x2 ใด ๆ ใน A“ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)” อาจพิจารณาไดยากผูสอนจึงอาจใหผูเรียนพิจารณาได

จากกราฟโดยเริ่มจากซายไปขวา ถาลักษณะของเสนกราฟสูงขึ้นเรื่อย ๆ จะเปนฟงกชันเพิ่ม ถาลักษณะของเสนกราฟลดต่ําลงเรื่อย ๆ จะเปนฟงกชันลด ถาลักษณะเสนกราฟสูงบางต่ําบาง หรือคงที่ ไมเปนฟงกชันเพิ่มและไมเปนฟงกชันลด

ผลสรุปตอเนื่องจากการที่เราทราบวา ฟงกชันใดเปนฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันใดเปนฟงกชันลด ก็คือ ฟงกชันนั้นจะเปนฟงกชัน 1 – 1 ดวย ซ่ึงพิสูจนไดดังนี้

จากบทนิยาม f เปนฟงกชัน 1 – 1 ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ x1, x2 ในโดเมนของ f“ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2” ซ่ึงสมมูลกับประโยค“ถา x1 ≠ x2 แลว f(x1) ≠ f(x2)” เราจะใชขอความขางตนพิสูจนวา ถา f เปนฟงกชันเพิ่มแลว f เปนฟงกชัน 1 – 1 ดังนี้

สิ่งท่ีกําหนดให f เปนฟงกชันเพิ่มจะพิสูจนวา f เปนฟงกชัน 1 – 1พิสูจน ถา x1 ≠ x2 จะไดวา x1 < x2 หรือ x2 < x1

กรณีท่ี 1 ถา x1 < x2 จะไดวา f(x1) < f(x2) เพราะ f เปนฟงกชันเพิ่มดังนั้น f(x1) ≠ f(x2)

กรณีท่ี 2 ถา x2 < x1 จะไดวา f(x2) < f(x1) เพราะ f เปนฟงกชันเพิ่มดังนั้น f(x2) ≠ f(x1)

จากทั้งสองกรณี สรุปไดวา ถา x1 ≠ x2 แลว f(x1) ≠ f(x2)ดังนั้น f เปนฟงกชัน 1 – 1ในทํานองเดียวกัน เราจะพิสูจนไดวา ถา f เปนฟงกชันลดแลว f จะเปนฟงกชัน 1 – 1

หมายเหตุ ในหนังสือเรียนไดกลาววา ในการพิจารณาฟงกชันที่กําหนดใหวาเปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลดในเซตที่กําหนดให ถาพบวา ไมใชฟงกชันเพิ่ม จะสรุปเอาวาเปนฟงกชันลด หรือพบวาไมใชฟงกชันลดจะสรุปเอาวาเปนฟงกชันเพิ่มในเซตที่กําหนดใหไมได เพราะมีบางฟงกชันที่ไมเปนทั้งฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลด






พ.ศ. ๒๕๔๗



88

ในการเรียนการสอน ถามีผูเรียนสงสัยวา1) f เปนฟงกชันเพิ่มใน A2) f ไมเปนฟงกชันเพิ่มใน A3) f เปนฟงกชันไมเพิ่มใน Aทั้ง 3 กรณีนี้ มีความแตกตางหรือเหมือนกันอยางไร ผูสอนอาจใหนิยามดังนี้

f เปนฟงกชันเพิ่มใน A (f is increasing function in A) ก็ตอเมื่อ“สําหรับทุก ๆ x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)”

f ไมเปนฟงกชันเพิ่มใน A (f is not increasing function in A) ก็ตอเมื่อ“มี x1, x2 บางตัวใน A ซ่ึง x1 < x2 แต f(x1) < f(x2)”

f เปนฟงกชันไมเพิ่มใน A (f is nonincreasing function in A) ก็ตอเมื่อ“สําหรับทุก ๆ x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) ≥ f(x2)”

ตัวอยางพิจารณากราฟตอไปนี้

Y

X

s

x1 x20

Y

Xgx1 x20

Y

X

h

x1 x20

Y

Xfx1 x20

Y

Xk

x1 x20






พ.ศ. ๒๕๔๗



89

พิจารณาจากกราฟ จะเห็นวา

เปนฟงกชันเพิ่ม ไมเปนฟงกชันเพิ่ม เปนฟงกชันไมเพิ่มฟงกชัน

ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2]s – – – –g – –h – – – –f – –k – –

สําหรับฟงกชันลดใน A ฟงกชันไมลดใน A และไมเปนฟงกชันลดใน Aมีบทนิยามที่แตกตางกันดังนี้

f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ“สําหรับทุก x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)”

f ไมเปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ“มี x1, x2 บางตัวใน A ซ่ึง x1 < x2 แต f(x1) > f(x2)”

f เปนฟงกชันไมลดใน A ก็ตอเมื่อ“สําหรับทุก ๆ x1, x2 ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) ≤ f(x2)”

ตัวอยางจากกราฟของฟงกชัน s, g, h, f และ k ที่กลาวมาจะเห็นวา

เปนฟงกชันลด ไมเปนฟงกชันลด เปนฟงกชันไมลดฟงกชัน

ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2] ใน R ใน [x1, x2]s – –g – – – –h – –f – – –k – –






พ.ศ. ๒๕๔๗



90

หมายเหตุ การศึกษาเกี่ยวกับฟงกชันเพิ่ม ฟงกชันลดนี้ ไดประโยชนประการหนึ่งคือ การนําความรูไปชวยในการเขียนกราฟของฟงกชันไดใกลเคียงกับความเปนจริง เมื่อทราบจุดบนกราฟเพียงบางจุด และทราบวา กราฟในชวงใดเปนกราฟฟงกชันเพิ่มหรือลด เชน กราฟตอไปนี้ถากําหนดจุดบนกราฟให 4 จุด คือ A, B, C และ D โดยไมทราบวาฟงกชันที่มีกราฟผานจุดดังกลาวเปนฟงกชันเพิ่มหรือลดในชวงใด อาจเขียนกราฟของฟงกชันเดียวกันนี้ ไดหลายแบบ เชน

แตถาทราบวา ฟงกชันที่กําหนดใหเปนฟงกชันลดในชวง [x1, x3] และเพิ่มในชวง [x3, x4] กราฟ h จะใกลเคียงกวากราฟของฟงกชัน f และฟงกชัน g

5. สําหรับฟงกชันที่ควรรูจักในบทนี้มิไดมุงเนนการจําแนกประเภทของฟงกชันแตจะมุงเนนใหเห็นตัวอยางของฟงกชันที่อาจพบบอย อันจะเปนพื้นฐานสําหรับนําไปประยุกตใชแกปญหาในวิชาแคลคูลัส วิชาวิทยาศาสตร และวิชาเศรษฐศาสตรหรือแมแตในชีวิตประจําวัน

6. สําหรับหนังสือเรียนนี้ไดใหนิยามของฟงกชันคอมโพสิทกวางขึ้นเพื่อประโยชนในการหาฟงกชันคอมโพสิท ที่เกิดจากฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ฟงกชันลอการิทึม ฟงกชันตรีโกณมิติ หรือฟงกชันอื่น ๆ ซ่ึงในบทนิยามกลาววา ถา f และ g เปนฟงกชัน จะมีฟงกชันคอมโพสิทของ f และ gเมื่อ Rf ∩ Dg ≠ ∅

• •

•

•

Y

Xx1 x20 x3 x4

DA

Bf •

•

Y

Xx1 x20 x3 x4

DA

Bg

• •

C

•

•

Y

Xx1 x20 x3 x4

D

A

Bh

• •

C

Y

Xx1 x20 x3 x4

• • • •A B C D

l






พ.ศ. ๒๕๔๗



91

7. การหาโดเมนของฟงกชัน g°f จะพิจารณาจากโดเมนของฟงกชัน f อยางเดียวไมได แตจะตองพิจารณาจากโดเมนของฟงกชัน g ประกอบดวย โดยพิจารณา x ∈ Df ที่ทําให f(x) ∈ Dg ดวยซ่ึงอาจเปนเรื่องยากสําหรับผูเรียนในระดับนี้ แตถาตองการใหผูเรียนที่มีความสามารถพิเศษสามารถหา โดเมนและเรนจของ g°f ได อาจยกตัวอยางเพิ่มเติมดังตอไปนี้

ตัวอยางที่ 1 กําหนดให f(x) = 12x +− และ g(x) = x5−−

จงหา (g°f)(x) พรอมทั้งบอกโดเมนของ g°fวิธีทํา Df = [2, ∞) และ Rf = [1, ∞)

Dg = (–∞, 5] และ Rg = (–∞, 0] จะได Rf ∩ Dg ≠ ∅ดังนั้น มี g°f เปนฟงกชันจากโดเมนของ f ไปยังเรนจของ g โดยที่

(g°f)(x) = g(f(x)) และ f(x) ∈ Dg

g(f(x)) = )12x(5 +−−− เมื่อ 512x ≤+−

= 2x4 −−− เมื่อ 42x ≤−

Dgof = }42xx{ ≤−

= {x⏐x ≥ 2 ∧ x ≤ 18}= [2, 18]

ตัวอยางที่ 2 กําหนดให f(x) = 2x+− , g(x) = –x2 + 3 จะมี g°f และ f°g หรือไม ถามี จงหา g°f(x) และ f°g(x) พรอมทั้งบอกโดเมน

วิธีทํา 1) หา (g°f)(x)Df = [–2, ∞) Rf = (–∞, 0]Dg = R Rg = (–∞, 3]เนื่องจาก Rf ∩ Dg ≠ ∅ ดังนั้น มี g°fและเนื่องจาก Rf ⊂ Dg จะได Dg°f = Df = [–2, ∞)g°f(x) = g(f(x)) เมื่อ f(x) ∈ Dg

= –(f(x))2 + 3= 3)2x( 2 ++−− เมื่อ x ∈ [–2, ∞)= –(x + 2) + 3 เมื่อ x ∈ [–2, ∞)= –x + 1 เมื่อ x ∈ [–2, ∞)






พ.ศ. ๒๕๔๗



92

2) หา (f°g)(x)เนื่องจาก Rg ∩ Df ≠ ∅ ดังนั้น f°g(f°g)(x) = f(g(x)) เมื่อ g(x) ∈ Df

= 2)x(g +−

= 2)3x( 2 ++−− เมื่อ –x2 + 3 + 2 ≥ 0= 5x 2 +−− เมื่อ –x2 ≥ –5

นั่นคือ (f°g)(x) = 5x 2 +−− เมื่อ 5− ≤ x ≤ 5

แตเนื่องจาก Rg ⊄ Df จะหา Df°g ไดโดยพิจารณาคา x ซ่ึง g(x) เปนสมาชิกของ Df

จะได Df°g = ]5,5[−

8. ในกรณีที่ f เปนฟงกชันที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จะมี h ⊂ f ซ่ึง h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และจะได h–1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งดวย

เชน กําหนดให f = {(x, y)⏐y = x2} f เปนฟงกชันที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง แตมี h = {(x, y)⏐y = x2 และ x ≥ 0} ซ่ึง h ⊂ f และ h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และจะได h–1 = {(x, y)⏐y = x } เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งดวย

การหาสับเซต h ของ f โดยที่ h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง แต f ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งนี้ จะนําไปใชในเรื่องฟงกชันอินเวอรสของฟงกชันตรีโกณมิติ และฟงกชันลอการิทึม

9. เมื่อมีฟงกชัน f และอินเวอรสของฟงกชัน f ซ่ึงเขียนแทนดวยสัญลักษณ f–1 ซ่ึงอาจจะเปนฟงกชันหรือไมเปนฟงกชันก็ได

สําหรับสัญลักษณ f–1(x) จะใชในกรณีที่ f–1 เปนฟงกชันเทานั้น และ f–1(x) หมายถึง คาของฟงกชัน f–1 ที่ x

10. ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จะไดผลสรุปดังตอไปนี้1) f–1 เปนฟงกชัน2) (f–1 ° f)(x) = x สําหรับ x ∈ fD

3) (f ° f–1)(x) = x สําหรับ x ∈ 1fD −

เชน f(x) = 3x – 2 จะได f–1(x) =

32x+






พ.ศ. ๒๕๔๗



93

ดังนั้น (f–1 ° f)(x) = f–1(f(x)) = f–1(3x – 2) =

32)2x3( +−

= x, x ∈ Df

ซ่ึงแสดง f–1°f เปนฟงกชันที่สมาชิกตัวหนาและสมาชิกตัวหลังของคูอันดับแตละคู

มีคาเทากันและเปนสมาชิกของโดเมน f และ (f ° f–1)(x) = f(f–1(x))

= )3

2x(f +

= 2)3

2x(3 −+

= x, x ∈ Df–1

ซ่ึงแสดงวา f ° f–1 เปนฟงกชันที่สมาชิกตัวหนาและสมาชิกตัวหลังของคูอันดับแตละคูมีคาเทากันและเปนสมาชิกของโดเมน f–1 หรือเปนสมาชิกของเรนจ fหมายเหตุ สําหรับ f ที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งไมจําเปนที่ f ° f–1 จะตองเทากับ f–1 ° f เชน

ให f = {(1, a), (2, b), (3, c)}จะได f–1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}และ f ° f–1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

f–1 ° f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

จะเห็นวา f ° f–1 ≠ f–1 ° f

11. จากสมบัติของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง (f –1 ° f)(x) = x

เมื่อ f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง กําหนด (g ° f)(x) และ g(x)

ให โดยท่ี g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จะหา f(x) ไดโดยอาศัยสมการ f(x) = g–1(g(f(x))) ทั้งนี้เพราะg–1(g(f(x)) = (g–1

° g)(f(x)) = f(x)ตัวอยาง กําหนดให (g ° f)(x) = 2x2 และ g(x) = 2x จงหา f(x)วิธีทํา เนื่องจาก g(x) = 2x จะได g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

และ g–1(x) = 2x

จาก f(x) = (g–1 ° g)(f(x))จะได f(x) = g–1(g(f(x))

= g–1((g°f)(x))= g–1(2x2)

= x2

=2x2 2






พ.ศ. ๒๕๔๗



94

กิจกรรมเสนอแนะสําหรับความหมายของฟงกชันไดมีการกลาวไวแลวในคูมือครูคณิตศาสตรพื้นฐาน เลม 2

จึงขออนุญาตไมกลาวถึงอีกในคูมือครูเลมนี้

1. วิธีตรวจสอบวา ความสัมพันธ r ใด ๆ ที่เขียนแบบบอกเงื่อนไขนั้นเปนฟงกชันหรือไม มีดังนี้

ให (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ถาสรุปไดวา y = z แสดงวา ความสัมพันธ r เปน ฟงกชันตัวอยางเชน จากความสัมพันธ r1 = {(x, y)⏐y = x2 – 1}

ให (x, y) ∈ r1 และ (x, z) ∈ r2 จะได y = x2 – 1 และ z = x2 – 1ดังนั้น y = z จึงสรุปไดวา ความสัมพันธ r1 เปนฟงกชัน

แตถาสรุปไดวา มีกรณีที่ y ≠ z แสดงวา ความสัมพันธ r ไมเปนฟงกชันตัวอยางเชน จากความสัมพันธ r2 = {(x, y)⏐y2 = x + 1}

ให (x, y) ∈ r2 และ (x, z) ∈ r2 จะได y2 = x + 1 และ z2 = x + 1ดังนั้น y2 = z2 จะเห็นวามีกรณีที่ y ≠ z เชน y = 2 และ z = –2 จึงสรุปวา ความสัมพันธ r2 ไมเปนฟงกชัน

สําหรับกรณี r2 นี้อาจใชเหตุผลวา เนื่องจาก (3, 2) ∈ r2 และ (3, –2) ∈ r2 ดังนั้น r2 ไมเปนฟงกชัน ไมจําเปนตองตรวจสอบโดยวิธีให (x, y) ∈ r2 และ (x, z) ∈ r2 แลวดูวา y กับ z เทากัน

ในการพิจารณาวา ความสัมพันธที่กําหนดใหจะเปนฟงกชันหรือไม นอกจากจะอาศัยบทนิยามของฟงกชันแลว ยังสามารถพิจารณาไดจากการหาคา y เมื่อกําหนดคา x ให ซ่ึงมีวิธีการโดยสรุปดังนี้

กําหนดให (x, y) ∈ rใหผูเรียนเขียน y ในรูปของ x แลวพิจารณาวา สําหรับแตละคาของ x จะหาคา y ไดเพียง

คาเดียวหรือไมถาแตละคาของ x หาคา y ไดคาเดียว สรุปวา ความสัมพันธนี้เปนฟงกชันแตถาเมื่อกําหนด

x ใหคาเดียว แลวสามารถหาคา y ไดหลายคา สรุปวา ความสัมพันธดังกลาวไมเปนฟงกชัน เชนกําหนดให r3 = {(x, y)⏐y = x3 – 1}






พ.ศ. ๒๕๔๗



95

ให (x, y) ∈ r3 จะเห็นวา สําหรับแตละคาของ x จะไดคา x3 – 1เพียงคาเดียว นั่นคือ เมื่อกําหนดคา x ให จะหา y ไดจาก y = x3 – 1 เพียงคาเดียวดังนั้น r3 เปนฟงกชัน

พิจารณา r4 = {(x, y)⏐y2 = x – 1}จะเห็นวา แตละคาของ x จะหาคา y ไดจาก y = 1x−± ซ่ึงทําใหไดคา y เปนสองคา

คือ y = 1x−− และ y = 1x− เชน เมื่อ x = 2 จะได y มีคาเปน –1 และ 1ดังนั้น (2, –1) ∈ r4 และ (2, 1) ∈ r4 นั่นคือ r4 ไมเปนฟงกชัน

2. ผูสอนยกตัวอยางกราฟของความสัมพันธทั้งที่เปนฟงกชันและไมเปนฟงกชัน แลวรวมกันหาหลักเกณฑในการพิจารณาจากกราฟ วาความสัมพันธใดเปนฟงกชัน ซ่ึงจะสรุปไดวา เมื่อลากเสนขนานกบัแกน Y แลว ถามเีสนขนานอยางนอยหนึง่เสนทีต่ดักราฟของความสมัพนัธมากกวาหนึง่จดุ ความสมัพนัธนั้นไมเปนฟงกชัน ทั้งนี้เพราะจุดตัดเหลานั้นมีพิกัดที่หนึ่งเหมือนกัน แตพิกัดที่สองตางกัน กลาวคือมี (x, y) และ (x, z) ที่เปนสมาชิกของความสัมพันธโดยท่ี y ≠ z แตถาไมมีเสนขนานกับแกน Y เสนใดเลยที่ตัดกราฟมากกวาหนึ่งจุด สรุปไดวาความสัมพันธนั้นเปนฟงกชัน

ฟงกชันจาก A ไป B ฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง B และฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง1. ผูสอนกําหนดเซต A และ B เชน

A = {1, 2, 3}B = {4, 5}

และกําหนดความสัมพันธจาก A ไป B (เฉพาะที่เปนฟงกชัน) เชนr1 = {(1, 4), (2, 5), (3, 4)}r2 = {(1, 5), (2, 4), (3, 5)}r3 = {(1, 5), (2, 4), (3, 4)}r4 = {(1, 5), (3, 5)}

ใหผูเรียนตอบคําถามตอไปนี้1) r1, r2, r3, r4 เปนฟงกชันหรือไม (เปน)2) โดเมนของความสัมพันธใดเทากับเซต A (โดเมนของ r1, r2, r3)ผูสอนบอกวา ความสัมพันธจาก A ไป B ที่เปนฟงกชันและมีโดเมนเทากับเซต A

เรียกวาฟงกชันจาก A ไป B เขียนแทนดวยสัญลักษณ f : A → Bดังนั้น r1, r2, r3 เปนฟงกชันจาก A ไป Bสวน r4 ไมเปนฟงกชันจาก A ไป B เพราะโดเมนของ r4 ไมเทากับเซต A






พ.ศ. ๒๕๔๗



96

2. ผูสอนกําหนดเซต A และ B เชนA = {1, 3, 5}B = {2, 4}

และกําหนดความสัมพันธ (เฉพาะที่เปนฟงกชันจาก A ไป B) เชนr1 = {(1, 2), (3, 4), (5, 4)}r2 = {(1, 4), (3, 2), (5, 2)}r3 = {(1, 2), (3, 2), (5, 2)}

ใหผูเรียนตอบคําถามตอไปนี้1) r1, r2, r3 เปนฟงกชันหรือไม (เปน)2) r1, r2, r3 เปนฟงกชันจาก A ไป B หรือไม (เปน)3) เรนจของความสัมพันธใดเทากับเซต B (เรนจของ r1, r2)ผูสอนบอกวา ฟงกชันจาก A ไป B ที่มีเรนจเทากับเซต B เรียกวา ฟงกชันจาก A

ไปทั่วถึง B เขียนแทนดวยสัญลักษณ f : A → Bดังนั้น r1, r2 เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง Bสวน r3 ไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เพราะเรนจของ r3 ไมเทากับเซต B

3. ผูสอนยกตัวอยางฟงกชันที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกทั้งที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและ ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง เชน

f1 = {(2, b), (4, a), (6, a)}f2 = {(2, c), (4, a), (6, b)}

ผูสอนอาจแสดงแผนภาพของการจับคูระหวางสมาชิกของโดเมนกับสมาชิกของเรนจของ f1 และ f2 ดังนี้

ทั่วถึง

246

b a

f1 246

a b c

f2






พ.ศ. ๒๕๔๗



97

ใหผูเรียนพิจารณาคูอันดับในฟงกชันที่กําหนดให โดยผูสอนใชคําถามประกอบเพื่อให ผูเรียนสรุปไดวา

ใน f2 สมาชิกตัวหลังของแตละคูอันดับไมซํ้ากันสวนใน f1 มีบางคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ํากันผูสอนบอกวา ฟงกชัน f2 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

ฟงกชัน f1 ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งผูสอนยกตัวอยางฟงกชันที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกอีกหลาย ๆ ตัวอยาง แลวใหผูเรียน

พิจารณาวา ฟงกชันใดบางเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปความหมายของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และผูสอนบอกวา

ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งที่เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B นั้นเรียกวา ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง (one-to-onecorrespondence)

4. เมื่อกําหนดความสัมพันธ f ซ่ึง f ⊂ A × B มาใหก. การพิจารณาวา f เปนฟงกชันหรือไม จะพิจารณาแตเพียงวา คูอันดับ (x, y) ใน f

ตองไมมีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันก็เพียงพอแลว สวน Df จะเทาหรือไมเทากับ A ก็ได และ Rf จะเทาหรือไมเทากับ B ก็ได

ข. การพิจารณาวา f เปนฟงกชันจาก A ไป B หรือไม ตองพิจารณา 1) f เปนฟงกชัน 2) Df = A

ค. การพิจารณาวา f เปนฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง B หรือไม ตองพิจารณา 1) f เปนฟงกชัน 2) Df = A 3) Rf = B

ตัวอยาง A = {1, 2, 3, 4}B = {a, b, c}f = {(1, a), (2, b), (3, c)}g = {(1, a), (2, b), (3, b), (4, a)}h = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)}






พ.ศ. ๒๕๔๗



98

เชน f เปนฟงกชัน แตไมเปนฟงกชันจาก A ไป B และไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง Bg เปนฟงกชัน และเปนฟงกชันจาก A ไป B แตไมเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง Bh เปนฟงกชัน และเปนฟงกชันจาก A ไป B และเปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B

ฟงกชันคอมโพสิทกอนสอนเรื่องฟงกชันคอมโพสิท ใหผูสอนทบทวนเรื่องคาของฟงกชันดังนี้1. กําหนด f(x) = 2x + 1 ใหผูเรียนหา f(3), f(a) และ f(x + 4)

จะได f(3) = 2(3) + 1 = 7f(a) = 2a + 1f(x + 4) = 2(x + 4) + 1 = 2x + 9

2. กําหนด f(x) = x + 3, g(x) = 4x – 1 ใหผูเรียนหา f(1), f(–3), f(a), g(f(1)),g(f(–3)), g(f(a)) และ g(f(x))

จะได f(1) = 4f(–3) = 0f(a) = a + 3g(f(1)) = g(4) = 16 – 1 = 15g(f(–3)) = g(0) = 0 – 1 = –1g(f(a)) = g(a + 3) = 4(a + 3) – 1 = 4a + 11g(f(x)) = g(x + 3) = 4(x + 3) – 1 = 4x + 11

ผูสอนบอกวา g(f(x)) คือคาของฟงกชัน g ที่ f(x)

3. ผูสอนกําหนดฟงกชัน f และ g ดังแสดงในรูป

abc

2345

f 234

rst

g






พ.ศ. ๒๕๔๗



99

ผูสอนใหผูเรียนหา g(f(a)), g(f(b)), g(f(c))จากแผนภาพของฟงกชัน f และ g ขางตน จะเห็นวา Rf ∩ Dg ≠ ∅

และเขียนแผนภาพใหมดังนี้

จากแผนภาพที่ได ใหผูเรียนแจกแจงสมาชิกของเซตของคูอันดับ (x, z) โดยที่ x ∈ Df

และมี y ที่ทําให (x, y) ∈ f และ (y, z) ∈ g ผูเรียนควรจะหาไดวาเซตดังกลาว คือ {(a, t), (b, s), (c, s)} และผูเรียนควรจะบอกไดวา เซตนี้เปนฟงกชันจากโดเมนของ f ไปเรนจของ g ผูสอนบอกวา จะเขียนแทนฟงกชันนี้ดวย g°f

นั่นคือ g°f = {(a, t), (b, s), (c, s)}ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นวา ถา (x, z) ∈ g°f จะได

z = (g°f)(x) = g(f(x))

4. ผูสอนยกตัวอยางแผนภาพของฟงกชัน f และ g ซ่ึง Rf ∩ Dg ≠ ∅ ดังนี้

ใหผูเรียนหาคูอันดับ (x, z) ซ่ึง x ∈ Df, (x, y) ∈ f และ (y, z) ∈ gจะได เซตของคูอันดับที่มีสมบัติดังกลาวคือ {(2, ก), (3, ก)} ผูสอนบอกผูเรียนวา

เซตนี้เปนฟงกชันที่มี x ∈ Df และ f(x) ∈ Dg เขียนแทนฟงกชันดวย g°f และ Dg°f = {2, 3}

abc

f 2345

r s t

g

123

f abcd

กขค

g






พ.ศ. ๒๕๔๗



100

ผูสอนยกตัวอยางแผนภาพของฟงกชันอื่น ๆ เพื่อใหผูเรียนเกิดความเขาใจความหมายของ g°f ไดดีขึ้น เชน

จากแผนภาพผูเรียนควรบอกไดวา g°f = {(3, ก), (4, ข)} และ Dg°f = {3, 4}

5. ผูสอนสรุปบทนิยามของฟงกชันคอมโพสิท และเนนใหผูเรียนเห็นวา ถากําหนดฟงกชัน f และ g มาให จะหาฟงกชัน g°f ไดก็ตอเมื่อ มีสมาชิก x ในโดเมนของฟงกชัน f ที่ทําใหเกิด f(x)ในโดเมนของฟงกชัน g หรือกลาวไดวา Rf ∩ Dg ≠ ∅ ดังนั้น ในการพิจารณาวา มีฟงกชันคอมโพสิทg°f จากฟงกชัน f และ g ที่กําหนดใหหรือไมนั้น จะตองพิจารณากอนวา Rf ∩ Dg เปนเซตวางหรือไม

6. ผูสอนอาจใหผูเรียนพิจารณาแผนภาพขางลางวา จาก f และ g ที่กําหนดใหจะสามารถ หา g°f ไดหรือไม

ซ่ึงผูเรียนควรตอบไดวา Rf = {a, b}Dg = {d, e, f}

และ Rf ∩ Dg = ∅ จึงทําใหไมสามารถหา g°f ได

7. ผูสอนยกตัวอยางฟงกชัน f, g และ h ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกแลว ใหผูเรียนหาวา จะมีฟงกชัน g°f หรือไม เพราะเหตุใด ถามีใหหาฟงกชัน g°f นั้น และผูสอนใชคําถามทํานองเดียวกันสําหรับฟงกชัน f°g, f°h, h°f, h°g และ g°h

1234

f abcd

กข

g

123

f g

กขค

abdef






พ.ศ. ๒๕๔๗



101

8. ผูสอนยกตัวอยางการหาฟงกชันคอมโพสิทเมื่อกําหนดฟงกชันแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก เชน

f(x) = x2 + 2x – 2 และ g(x) = 1x3 − ใหผูเรียนหา Df , Rf , Dg และ Rg จากนั้นใหพิจารณาวา มี g°f, f°g หรือไม ถามีใหหา (g°f)(x), (f°g)(x), (g°f)(–1) และ (f°g)(

31 )

พรอมทั้งบอกโดเมนของ g°f และ f°gผูสอนควรยกตัวอยางหลาย ๆ ตัวอยาง เพื่อใหผูเรียนเกิดความเขาใจ

9. ผูสอนควรกําหนดฟงกชัน f, g และ h เพื่อใหผูเรียนหาฟงกชันคอมโพสิท (f°g)°h และ f°(g°h) แลวพิจารณาวาฟงกชันทั้งสองเทากันหรือไม

ฟงกชันผกผัน1. ผูสอนทบทวนเรื่องตัวผกผันของความสัมพันธและเนื่องจากฟงกชันคือ ความสัมพันธ

ดังนั้นการหาตัวผกผันของฟงกชันจึงใชวิธีเดียวกันกับการหาตัวผกผันของความสัมพันธผูสอนยกตัวอยางความสัมพันธ เชน

f1 = {(1, a), (2, c)}f2 = {(1, a), (2, a)}f3 = {(x, y)⏐y = 3x + 1}f4 = {(x, y)⏐y = x2}

ผูสอนถามผูเรียนวาความสัมพันธใดเปนฟงกชัน (f1, f2, f3, f4)ผูสอนใหผูเรียนหาตัวผกผันของฟงกชันเหลานั้นผูสอนถามผูเรียนวา ตัวผกผันของฟงกชันเปนฟงกชันเสมอไปหรอืไม (ไม) และตัวผกผันของฟงกชันใดบางเปนฟงกชัน (ตัวผกผันของ f1, f3)ผูสอนบอกผูเรียนวา ตัวผกผันของฟงกชันที่เปนฟงกชันเรียกวา “ฟงกชันผกผัน”ผูสอนถามผูเรียนวา ฟงกชันที่มีฟงกชันผกผันเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไม (เปน)ผูสอนถามผูเรียนวา ฟงกชันที่ไมมีฟงกชันผกผันเปนฟงกชัน 1 – 1 หรือไม (ไมเปน)ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา ฟงกชันที่จะมีฟงกชันผกผันตองเปนฟงกชัน 1 – 1

2. ผูสอนบอกวา สัญลักษณ f–1 ใชแทนตัวผกผันของฟงกชัน ซ่ึง f–1 อาจจะเปนหรือไมเปนฟงกชันก็ได

เชน ถา f(x) = 3x จะได f–1 เปนฟงกชันแต ถา f(x) = x2 จะได f–1 ไมเปนฟงกชัน






พ.ศ. ๒๕๔๗



102

ตัวอยางกิจกรรม

กิจกรรมเปนสื่อการเรียนการสอนประเภทหนึ่ง ซ่ึงการจัดกิจกรรมก็มีไดหลากหลายวิธีดวยกันเชน การศึกษานอกสถานที่ การเลาเรื่อง การแสดงบทบาทสมมติ การรองเพลง การใชคําประพันธประเภทรอยกรอง การใชเกม เปนตน

ดังนั้น ในการจัดกิจกรรมเรื่องฟงกชัน ผูสอนสามารถทําไดหลายวิธีเชนเดียวกัน เชน เกมโดมิโน ซ่ึงผูสอนอาจจะเปนผูสรางโจทยขึ้นเองหรือใหผูเรียนชวยกันสรางโจทยก็ได โดยดานหนึ่งของตัวโดมิโนเปนโจทย และอีกดานหนึ่งเปนคําตอบวิธีเลนก็อาศัยหลักการเดียวกันกับการเลนเกมโดมิโน

นอกจากนี้แลว ผูสอนสามารถหาแนวทางการจัดกิจกรรมไดจากหนังสือหรือเว็บไซตที่เกี่ยวกับเกมคณิตศาสตรตางๆ โดยนํามาผสมผสานและประยุกตใชใหเหมาะสมกับผูเรียนของตนเอง






พ.ศ. ๒๕๔๗



103

เฉลยแบบฝกหัด 2.1

1. (1) A × B = {(1, 3), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 6), (2, 7)}(2) A × B = {(–1, 0), (–1, 1), (–1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}(3) A × B = {(a, e), (a, f), (b, e), (b, f), (c, e), (c, f)}(4) A × B = {(–3, 1), (–3, 2), (–3, 3), (–2, 1), (–2, 2), (–2, 3), (–1, 1), (–1, 2), (–1, 3)}

2. จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับ n และจํานวนสมาชิกของเซต B เทากับ m ดังนั้นจํานวนสมาชิกของ A × B เทากับ n⋅m = nmจํานวนสมาชิกของ B × A เทากับ m⋅n = mnจํานวนสมาชิกของ A × A เทากับ n⋅n = n2

จํานวนสมาชิกของ B × B เทากับ m⋅m = m2

3. (1) (M × N) ∪ (M × P) = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)}(2) M × (N ∪ P) = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}(3) M × (N ∩ P) = M × ∅ = ∅(4) (M × N) ∩ (M × P) = ∅

4. เปน

5. (1) r = {(2, 0), (2, 1), (4, 0), (4, 1), (4, 2)}(2) r = {(x, y) ∈ A × B⏐x > y}

6. r1 = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}Dr1

= {1, 2, 3, 4, 5}Rr1

= {1, 2, 3, 4, 5}r2 = {(3, 3), (4, 3), (5, 3)}Dr2

= {3, 4, 5}Rr2

= {3}r3 = ∅

Dr3 = ∅

Rr3 = ∅






พ.ศ. ๒๕๔๗



104

7. (1) Dr = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} Rr = {0, 1, 4, 9}(2) Dr = {–2, –1, 0, 1, 2} Rr = {0, 1, 2 }(3) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}(4) Dr = {x⏐x ∈ I} Rr = {x⏐x ∈ I}(5) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ≥ 0}(6) Dr = {x⏐x ∈ R, x ≥ 0} Rr = {x⏐x ∈ R}(7) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x = 2 }(8) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}(9) Dr = {x⏐x ∈ R}จาก y = x2 + 1 เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆ x2 มีคานอยที่สุดเมื่อ x = 0ดังนั้น y มีคานอยที่สุดเมื่อ x = 0 นั่นคือ y ≥ 1จะได Rr = {x⏐x ≥ 1}(10) Dr = {x⏐x ≥ 0} Rr = {x⏐x ≤ 0}(11) Dr = {x⏐x ∈ I} Rr = {x⏐x ≥ 0, x ∈ I}(12) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ≥ 0}

(13) จากสมการ y = 2x 2 + จะเห็นวา x2 + 2 ≥ 2 เสมอไมวา x จะเปนจํานวนจริงใด ๆดังนั้น Dr = {x⏐x ∈ R}เพราะวา x2 + 2 ≥ 2 จะได y ≥ 2

ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥ 2 }

(14) จากสมการ y = 1x 2 − จะเห็นวา x2 – 1 ตองไมนอยกวาศูนยนั่นคือ x2 – 1 ≥ 0

(x + 1)(x – 1) ≥ 0จะได x ≥ 1 หรือ x ≤ –1ดังนั้น Dr = {x⏐x ∈ R ยกเวน –1 < x < 1}จาก y = 1x 2 − เมื่อ x เปนจํานวนจริงยกเวน –1 < x < 1จะได y ≥ 0ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥ 0}






พ.ศ. ๒๕๔๗



105

(15) จากสมการ y = 2x1− จะเห็นวา 1 – x2 ตองไมนอยกวาศูนยนั่นคือ 1 – x2 ≥ 0

x2 – 1 ≤ 0(x – 1)(x + 1) ≤ 0

จะได –1 ≤ x ≤ 1ดังนั้น Dr = {x⏐–1 ≤ x ≤ 1}จาก y = 2x1− เมื่อ –1 ≤ x ≤ 1 จะได 0 ≤ y ≤ 1ดังนั้น Rr = {x⏐0 ≤ x ≤ 1}

(16) จากสมการ y = x1

1−

จะเห็นวา x เปนจํานวนจริงใด ๆ ก็ไดยกเวน 1

ดังนั้น Dr = {x⏐x ≠ 1}จาก y =

x11−

เพราะวา ⏐1 – x⏐ > 0 เสมอจะได y > 0 เสมอ

ดังนั้น Rr = {x⏐x > 0}

(17) Dr = {x⏐x ≠ 2}การหาเรนจของความสัมพันธนั้นอาจหาไดจากการจัดสมการใหมโดยหาคาของ xในรูปของ yจาก y =

2x1−

จะได x = y

y21+

จะเห็นวา y มีคาใด ๆ ก็ไดยกเวนศูนยดังนั้น Rr = {x⏐x ≠ 0}

(18) จากสมการ y = 5x

x3+

จะเห็นวา x เปนจํานวนจริงใด ๆ ก็ไดยกเวน –5ดังนั้น Dr = {x⏐x ≠ –5}จาก y =

5xx3+

จะได x = y3

y5−

จะเห็นวา y มีคาใด ๆ ก็ไดยกเวน 3ดังนั้น Rr = {x⏐x ≠ 3}






พ.ศ. ๒๕๔๗



106

(19) จากสมการ y = 2x9

1

− จะเห็นวา 9 – x2 ตองมากกวาศูนย

นั่นคือ x2 – 9 < 0(x – 3)(x + 3) < 0

จะได –3 < x < 3ดังนั้น Dr = {x⏐–3 < x < 3}จาก y =

2x9

1

− จะเห็นวา 2x9− มีคามากที่สุดเมื่อ x = 0

นั่นคือ y จะมีคานอยที่สุด เมื่อ x = 0 จะได y ≥ 31

ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥ 31 }

เฉลยแบบฝกหัด 2.2

1. (1) Dr = {1, 2, 3, 4} Rr = {1, 2, 3}r–1 = {(2, 1), (3, 4), (2, 2), (1, 2), (1, 3)}

(2) Dr = {1, 2, 3} Rr = {2, 3, 4}r–1 = {(2, 2), (3, 2), (4, 1), (2, 3), (3, 3)}

(3) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y =

2x1− }

(4) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R}r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y =

3x2− }

(5) Dr = {x ∈ R⏐x ≥ 0} Rr = {x ∈ R⏐x ≥ 0}r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y = x2, x ≥ 0}






พ.ศ. ๒๕๔๗



107

2. (1) r–1 = {(3, 1), (4, 2), (7, 3), (7, 6), (10, 6)}โดเมนของ r–1 = {3, 4, 7, 10} เรนจของ r–1 = {1, 2, 3, 6}

(2) s–1 = { ..., (4, –5), (2, –3), (0, –1), (2, 1), (4, 3), (6, 5), ...}โดเมนของ s–1 = {0, 2, 4, 6, ...}เรนจของ s–1 = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...}

(3) t–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y = x – 2}โดเมนของ t–1 = {x⏐x ∈ R} เรนจของ t–1 = {x⏐x ∈ R}

(4) u–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐xy = 1}โดเมนของ u–1 = {x⏐x ≠ 0} เรนจของ u–1 = {x⏐x ≠ 0}

(5) v–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y < x}โดเมนของ v–1 = {x⏐x ∈ R} เรนจของ v–1 = {x⏐x ∈ R}

3. (1) r = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}ดังนั้น r–1 = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}หมายเหตุ สําหรับการเขียนแจกแจงสมาชิกของ r และ r–1 (ในกรณีที่เขียนแจกแจงได)จะชวยใหไมสับสน และเขียนกราฟของ r และ r–1 ไดงายขึ้น

2 4 6

2

4

6

Y

X

r

r–1

0






พ.ศ. ๒๕๔๗



108

(2) r = {(–1, –3), (0, –2), (1, –1), (2, 0), (3, 1)}r–1 = {(–3, –1), (–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 3)}

(3) ถา r = {(x, y) ∈ I × I⏐y2 = x}r–1 = {(x, y) ∈ I × I⏐y = x2}

หมายเหตุ สําหรับขอนี้ยังมีสมาชิกของ r และ r–1 อีกมาก แตเฉลยเฉพาะสมาชิกใน โดเมนของ r เมื่อ x ∈ I และ x ≤ 9 และสมาชิกในโดเมนของ r–1 เมื่อ x ∈ I และ x ≤ 3 เทานั้น

42

Y

X–2– 4–2

– 4

2

4

r

r–1

0

4 8 12

4

8

12

Y

X– 4

– 4

r–1

r

0






พ.ศ. ๒๕๔๗



109

(4) ถา r = {(x, y) ∈ R × R⏐y = 2x}r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y =

2x }

(5) ถา r = {(x, y) ∈ R × R⏐y < x – 1}r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y > x + 1}

Y

X–2 0 2

r–1

r

2

–2

Y

X– 4 0 4

r–1

r4

– 4






พ.ศ. ๒๕๔๗



110

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.1 (ก)

1. (1) {(1, a), (2, b), (3, b), (5, c)}เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย

(2) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (4, e)}ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (4, d), (4, e) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน

(3) {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับใดที่สมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย

(4) ให r = {(x, y) ∈ A × A⏐y ≥ x} ; A = {1, 2, 3}A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

ดังนั้น r = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (2, 2), (2, 3) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน

(5) {(x, y) ∈ B × B⏐y = x – 2} ; B = {–2, –1, 0, 1, 2}เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย

(6) {(x, y)⏐x = 3}ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ เชน (3, 1), (3, 2) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน

(7) {(x, y)⏐y = –2}เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย

(8) {(x, y)⏐y = x }เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย

(9) ให r = {(x, y) ∈ A × B⏐y < x} ; A = {0, 1}, B = {–1, 1} A × B = {(0, –1), (0, 1), (1, –1), (1, 1)}

ดังนั้น r = {(0, –1), (1, –1)} เปนฟงกชันเพราะไมมีคูอันดับใดที่มีสมาชิกตัวหนาซํ้ากันเลย

(10) {(x, y)⏐y = }

ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (0, 1) และ (0, –1) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิก ตัวหลังตางกัน

1 เมื่อ x ≥ 0–1 เมื่อ x ≤ 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



111

2. f1 = {(x, 1), (y, 1), (z, 1)} f2 = {(x, 0), (y, 0), (z, 0)}f3 = {(x, 1), (y, 0), (z, 1)} f4 = {(x, 1), (y, 0), (z, 0)}f5 = {(x, 1), (y, 1), (z, 0)} f6 = {(x, 0), (y, 1), (z, 1)}f7 = {(x, 0), (y, 0), (z, 1)} f8 = {(x, 0), (y, 1), (z, 0)}

3. (1) เปนฟงกชัน(2) เปนฟงกชัน(3) (a) ไมเปนฟงกชัน (b) เปนฟงกชัน(4) (a) เปนฟงกชัน (b) ไมเปนฟงกชัน(5) (a) เปนฟงกชัน (b) ไมเปนฟงกชัน

4. –5, –7, 13, a2 + 3a – 5, a2 + 2ab + b2 + 3a + 3b – 5, x2 + 2xb + b2 + 3x + 3b – 5, 2x + 3 + h5. 1, 1, 1, 1, 3 , 2,

h1− เมื่อ h > 0

6. (1) ไมเทากัน (2) ไมเทากัน






พ.ศ. ๒๕๔๗



112

8. ถา h(x) = x2 – 6 และโดเมนของ h คือ {x⏐– 4 < x < 3}จะได เรนจของ h คือ {y⏐– 6 ≤ y < 10}วิธีคิด เนื่องจาก h(x) = x2 – 6 จะเห็นไดวา

x2 ≥ 0 เสมอไมวาจะแทนดวยจํานวนใดในโดเมน ดังนั้น

1) x2 – 6 มีคาต่ําสุด เมื่อ x2 = 0 แต x2 = 0 เมื่อ x = 0 ดังนั้น คาต่ําสุดของจํานวน ที่เปนสมาชิกของเรนจของ h คือ h(0) = 0 – 6 = –6

2) x2 – 6 มีคาสูงสุด เมื่อ x2 มีคาสูงสุด แต x2 มีคาสูงสุดเมื่อ ⏐x⏐ มีคาสูงสุดในโดเมนพิจารณาโดเมนของ h จะพบวา ไมมี x ซ่ึงมีคาสัมบูรณสูงสุด แตทราบวา คาสัมบูรณของสมาชิกทุกตัวในโดเมนมีคาไมเกิน 4 เพราะโดเมนคือ {x⏐– 4 < x < 3}ดังนั้น คาของ h(x) ตองนอยกวา 42 – 6 หรือ 10 ไมวาจะแทน x ดวยจํานวนใดในโดเมน ดังนั้น จะเห็นวา จํานวนที่จะเปนสมาชิกของเรนจของ h ได ตองเปนจํานวนที่อยูในเซต A = {y⏐– 6 ≤ y < 10}

พิจารณาสมการ h(x) = x2 – 6 จะไดวาx2 = h(x) + 6

จะเห็นไดวา ไมวาแทน h(x) ดวยจํานวนใดในเซต A จะเกิดสมการซึ่งหาสมาชิกของโดเมนของ h ที่ทําใหสมการเปนจริงไดเสมอ ดังนั้น สรุปไดวาเรนจของ h คือ A หรือ

{y⏐– 6 ≤ y < 10}นอกจากวิธีดังกลาวมาแลว อาจหาเรนจของฟงกชัน h ไดโดยการเขียนกราฟของ

h(x) = x2 – 6

9. (1) ฟงกชันจาก A ไป B มี f1, f2, f4, f5 และ f6

(2) ฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B มี f2 และ f5

(3) ฟงกชันจาก B ไป A มี f3 และ f7

(4) ฟงกชันจาก B ไปทั่วถึง B ไมมี(5) ฟงกชันจาก A ไป A มี f4 และ f6

(6) ฟงกชันจาก 1 – 1 มี f2, f5 และ f7

(7) ฟงกชันจาก B ไปทั่วถึง A มี f7

หมายเหตุ การเขียนแผนภาพแสดงการจับคูระหวางสมาชิกของเซต 2 เซต จะชวยใหผูเรียนมองฟงกชันไดงายขึ้น






พ.ศ. ๒๕๔๗



113

10. (1) จาก f(x) = x2 + xจะได f(x1) = 2

1x + x1

f(x2) = 22x + x2

ถา f(x1) = f(x2)จะได 2

1x + x1 = 22x + x2

21x – 2

2x = x2 – x1

(x1 – x2)(x1 + x2) = –(x1 – x2) ถา x1 ≠ x2

จะได x1 + x2 = –1x1 = –1 – x2

= –(1 + x2)ถาให x2 = 0 จะได x1 = –1ซ่ึงทําให f(0) = 0 = f(–1)แต 0 ≠ –1 นั่นคือ f ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(2) จาก g(x) = 2x + 5

จะได g(x1) = 2x1 + 5g(x2) = 2x2 + 5

ถา g(x1) = g(x2)จะได 2x1 + 5 = 2x2 + 5

x1 = x2

ดังนั้น ถา g(x1) = g(x2) แลว x1 = x2

นั่นคือ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(3) จาก h(x) = ⏐2x – 1⏐ จะได h(x1) = ⏐2x1 – 1⏐

h(x2) = ⏐2x2 – 1⏐ถา h(x1) = h(x2)จะได ⏐2x1 – 1⏐ = ⏐2x2 – 1⏐(ยกกําลังสองทั้งสองขางของสมการ)

21x4 – 4x1 + 1 = 2

2x4 – 4x2 + 121x – x1 = 2

2x – x221x – 2

2x = x1 – x2






พ.ศ. ๒๕๔๗



114

(x1 – x2)(x1 + x2) = x1 – x2 ถา x1 ≠ x2

จะได x1 + x2 = 1x1 = 1 – x2

ถาให x2 = 0 จะได x1 = 1ซ่ึงทําให h(0) = 1 = h(1)แต 0 ≠ 1 นั่นคือ h ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.1 (ข)

1. (1) ให x1, x2 ∈ (0, ∞) ถา x1 < x2

จะได –3x1 > –3x2

–3x1 + 7 > –3x2 + 7ดังนั้น f(x1) > f(x2)นั่นคือ f เปนฟงกชันลดบนเซต (0, ∞)

(2) ให x1, x2 ∈ (–∞, 0] ถา x1 < x2

จะได 21x > 2

2x

– 21x < – 2

2x

– 21x + 5 < – 2

2x + 5ดังนั้น f(x1) < f(x2)นั่นคือ f เปนฟงกชันเพิ่มบนเซต (–∞, 0]

(3) f(x) = x

พิจารณา f(2) = 2 = 2f(–1) = 1− = 1f(–2) = 2− = 2

จะเห็นวา –1 < 2 และ f(–1) < f(2) –2 < –1 แต f(–2) > f(–1)

ดังนั้น f ไมเปนฟงกชันเพิ่มและไมเปนฟงกชันลดบนเซต [–2, 2]






พ.ศ. ๒๕๔๗



115

(4) f(x) = x2 + 1พิจารณา f(–5) = (–5)2 + 1 = 26

f(–3) = (–3)2 + 1 = 10f(6) = 62 + 1 = 37

จะเห็นวา –5 < –3 แต f(–5) > f(–3)–3 < 6 และ f(–3) < f(6)

ดังนั้น f ไมเปนฟงกชันเพิ่มและไมเปนฟงกชันลดบนเซต R

2. (1) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [–1, 1] และบนชวง [2, 4]กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [1, 2]

(2) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [0, 1]กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [–2, 0] และบนชวง [1, 4]

(3) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [–2, –1] และบนชวง [1, 2]กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [–3, –2] , [–1, 1] และบนชวง [2, 4]

(4) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [–1, 1]กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [–3, –1) และบนชวง (1, 3]

3. ตัวอยางกราฟที่มีสมบัติตามที่โจทยกําหนด(1) f เปนฟงกชันเพิ่ม และ f(x) > 0 สําหรับทุกคาของ x

Y

X






พ.ศ. ๒๕๔๗



116

(2) f เปนฟงกชันลด และ f(x) > 0 สําหรับทุกคาของ x

(3) f เปนฟงกชันเพิ่ม และ f(x) < 0 สําหรับทุกคาของ x

(4) f เปนฟงกชันลด และ f(x) < 0 สําหรับทุกคาของ x

Y

X

Y

X

Y

X






พ.ศ. ๒๕๔๗



117

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.2

1. (1) โดเมนของ f และ g คือ Rโดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Rโดเมนของ

gf คือ {x⏐x ≠ 2}

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x – 2(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x2 – x + 2(fg)(x) = f(x)g(x) = x3 – 2x2

)x)(gf( =

)x(g)x(f =

2xx 2

−

(2) โดเมนของ f คือ {x⏐–3 ≤ x ≤ 3} และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≥ 2 ∪ x ≤ 2− }โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐–3 ≤ x ≤ 2− ∪ 2 ≤ x ≤ 3}โดเมนของ

gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐–3 ≤ x < 2− ∪ 2 < x ≤ 3}

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2xx9 22 −+−

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = 2xx9 22 −−−

(fg)(x) = f(x)g(x) = 18x11x 24 −+−

)x)(gf( =

)x(g)x(f =

2xx9

2

2

−−

(3) โดเมนของ f และ g คือ Rโดเมนของ f + g, f – g, fg และ

gf คือ R

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x3 + 7x2 + 1(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x3 + x2 – 1(fg)(x) = f(x)g(x) = 3x5 + 12x4 + x3 + 4x2

)x)(gf( =

)x(g)x(f =

1x3x4x

2

23

++






พ.ศ. ๒๕๔๗



118

(4) โดเมนของ f คือ {x⏐x ≠ 0} และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≠ –2}โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐x ∈ R – {–2, 0}}โดเมนของ

gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐x ∈ R – {–2, 0}}

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =x2x4x2

2 ++−

(f – g)(x) = f(x) – g(x) =x2x

4x62 ++

(fg)(x) = f(x)g(x) = x2x

82 +−

)x)(gf( =

)x(g)x(f =

x2)2x( +−

(5) โดเมนของ f คือ R และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≤ 1}โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐x ≤ 1}โดเมนของ

gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐x < 1}

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 1x 2 + + x1−

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = 1x 2 + – x1−

(fg)(x) = f(x)g(x) = 1xxx 23 +−+−

)x)(gf( =

)x(g)x(f =

x11x 2

−+

(6) โดเมนของ f คือ {x⏐x ≠ –2} และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≠ 1}โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐x ∈ R – {–2, 1}}โดเมนของ

gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐x ∈ R – {–2, 1, 0}}

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2xx1x3x

2

2

−+−+

(f – g)(x) = f(x) – g(x) = 2xx1xx

2

2

−+−−−

(fg)(x) = f(x)g(x) = 2xx

x2 −+

)x)(gf( =

)x(g)x(f =

x2x1x

2 +−






พ.ศ. ๒๕๔๗



119

2. (1) โดเมนของ f(x) = x + x2− คือ {x⏐0 ≤ x ≤ 2}(2) โดเมนของ g(x) =

x12x −+ คือ {x⏐x ≥ –2 และ x ≠ 0}

(3) โดเมนของ h(x) = 41

2 )4x()2x( −+ คือ {x⏐x ≥ 4}(4) โดเมนของ k(x) =

1x5x

−+ คือ {x⏐x ≥ –5 และ x ≠ 1}

3. (1) f(g(0)) = f(1)= –2

g(f(0)) = g(–5)= –24

(2) f(f(4)) = f(7)= 16

g(g(1)) = g(0)= 1

(3) (f°g)(–2) = f(g(–2))= f(–3)= –14

(g°f)(–2) = g(f(–2))= g(–11)= –120

(4) (f°f)(–1) = f(f(–1))= f(–8))= –29

(g°g)(2) = g(g(2))= g(–3)= –8






พ.ศ. ๒๕๔๗



120

(5) (f°g)(x) = f(g(x))= f(1 – x2)= 3(1 – x2) – 5= –3x2 – 2

(g°f)(x) = g(f(x))= g(3x – 5)= 1 – (3x – 5)2

= 1 – (9x2 – 30x + 25)= –9x2 + 30x – 24

(6) (f°f)(x) = f(f(x))= f(3x – 5)= 3(3x – 5) – 5= 9x – 20

(g°g)(x) = g(g(x))= g(1 – x2)= 1 – (1 – x2)2

= 1 – (1 – 2x2 + x4)= –x4 + 2x2

4. โดเมนของ f คือ {–3, 0, 2} และโดเมนของ g คือ {–3, 1, 2}ฉะนั้น โดเมนของ f + g คือ Df ∩ Dg = {–3, 2}

(1) (f + g)(–3) = f(–3) + g(–3) = 1 + 2 = 3 จะได (–3, 3) อยูใน f + g(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 0 + 6 = 6 จะได (2, 6) อยูใน f + gดังนั้น f + g = {(–3, 3), (2, 6)}

(2) (f – g)(–3) = f(–3) – g(–3) = 1 – 2 = –1 จะได (–3, –1) อยูใน f – g(f – g)(2) = f(2) – g(2) = 0 – 6 = –6 จะได (2, –6) อยูใน f – gดังนั้น f – g = {(–3, –1), (2, –6)}






พ.ศ. ๒๕๔๗



121

(3) โดเมนของ fg คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ f(x) ≠ 0} = {–3}

)3(fg

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

)3(f)3(g

−− =

12 = 2 จะได (–3, 2) อยูใน

fg

ดังนั้นfg = {(–3, 2)}

(4) โดเมนของ gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {–3, 2}

)3(gf −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

)3(g)3(f

−− =

21 จะได ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

21,3 อยูใน

gf

)2(gf⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

)2(g)2(f =

60 = 0 จะได (2, 0) อยูใน

gf

ดังนั้น gf = {(–3,

21 ), (2, 0)}

(5) (fg)(–3) = f(–3)g(–3) = 1⋅2 = 2 จะได (–3, 2) อยูใน fg(fg)(2) = f(2)g(2) = 0⋅6 = 0 จะได (2, 0) อยูใน fgดังนั้น fg = {(–3, 2), (2, 0)}

(6) (g – f)(–3) = g(–3) – f(–3) = 2 – 1 = 1 จะได (–3, 1) อยูใน g – f(g – f)(2) = g(2) – f(2) = 6 – 0 = 6 จะได (2, 6) อยูใน g – fดังนั้น g – f = {(–3, 1), (2, 6)}

(7) f°g(–3) = f(2) = 0f°g(1) = f(2) = 0f°g(2) = f(6) แต 6 ไมอยูในโดเมนของ fฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ f°gดังนั้น f°g = {(–3, 0), (1, 0)}

(8) g°f(–3) = g(1) = 2g°f(0) = g(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ gฉะนั้น 0 ไมอยูในโดเมนของ g°fg°f(2) = g(0) แต 0 ไมอยูในโดเมนของ gฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ g°fดังนั้น g°f = {(–3, 2)}






พ.ศ. ๒๕๔๗



122

(9) f°h(2) = f(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ fฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ f°hf°h(1) = f(0) = 4ดังนั้น f°h = {(1, 4)}

(10) h°f(–3) = h(1) = 0h°f(0) = h(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ hฉะนั้น 0 ไมอยูในโดเมนของ h°fh°f(2) = h(0) แต 0 ไมอยูในโดเมนของ hฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ h°fดังนั้น h°f = {(–3, 0)}

(11) h°g(–3) = h(2) = 4h°g(1) = h(2) = 4h°g(2) = h(6) แต 6 ไมอยูในโดเมนของ hฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ h°gดังนั้น h°g = {(–3, 4), (1, 4)}

(12) g°h(2) = g(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ gฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ g°hg°h(1) = g(0) แต 0 ไมอยูในโดเมนของ gฉะนั้น 1 ไมอยูในโดเมนของ g°hดังนั้น g°h = ∅

5. (1) f(x) = 3x + 2, g(x) = 4x – 1f°g(x) = f(g(x))

= f(4x – 1)= 3(4x – 1) + 2 = 12x – 1

โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x))

= g(3x + 2)= 4(3x + 2) – 1 = 12x + 7






พ.ศ. ๒๕๔๗



123

โดเมนของ g°f คือ Rf°f(x) = f(f(x))

= f(3x + 2)= 3(3x + 2) + 2 = 9x + 8

โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x))

= g(4x – 1)= 4(4x – 1) – 1 = 16x – 5

โดเมนของ g°g คือ R

(2) f(x) = 5x – 6, g(x) = 3x

f°g(x) = f(g(x)) = )3x(f

= 6)3x(5 − = 6

3x5 −

โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x)) = g(5x – 6)

=3

6x5 − = 23x5 −

โดเมนของ g°f คือ Rf°f(x) = f(f(x)) = f(5x – 6)

= 5(5x – 6) – 6 = 25x – 36โดเมนของ f°f คือ R

g°g(x) = g(g(x)) = )3x(g =

3

)3x(

= 9x


(3) f(x) = x2, g(x) = x + 5f°g(x) = f(g(x)) = f(x + 5)

= (x + 5)2 = x2 + 10x + 25โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 5โดเมนของ g°f คือ R






พ.ศ. ๒๕๔๗



124

f°f(x) = f(f(x)) = f(x2) = x4

โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x)) = g(x + 5) = (x + 5) + 5 = x + 10โดเมนของ g°g คือ R

(4) f(x) = x3 + 1, g(x) = x + 2f°g(x) = f(g(x)) = f(x + 2)

= (x + 2)3 + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 9โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x)) = g(x3 + 1)

= x3 + 1 + 2 = x3 + 3โดเมนของ g°f คือ Rf°f(x) = f(f(x)) = f(x3 + 1)

= (x3 + 1)3 + 1โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x)) = g(x + 2)

= x + 2 + 2 = x + 4โดเมนของ g°g คือ R

(5) f(x) = x1 , g(x) = 2x + 3

f°g(x) = f(g(x)) = f(2x + 3)=

3x21+

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≠ 23− }

g°f(x) = g(f(x)) = )x1(g

= 3x2+

โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≠ 0}f°f(x) = f(f(x)) = f )

x1( = x

โดเมนของ f°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมน f และ f(x) อยูในโดเมนของ fดังนั้น โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≠ 0}






พ.ศ. ๒๕๔๗



125

g°g(x) = g(g(x)) = g(2x + 3)= 2(2x + 3) + 3 = 4x + 9


(6) f(x) = x2, g(x) = 5x−

f°g(x) = f(g(x)) = f( 5x− )= ( 5x− )2 = x – 5

โดเมนของ f°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ fดังนั้น โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≥ 5}g°f(x) = g(f(x)) = g(x2) = 5x 2 −

โดเมนของ g°f คือ {x⏐x2 – 5 ≥ 0}= {x⏐x ≤ 5− หรือ x ≥ 5 }

g°g(x) = g(g(x)) = )5x(g −

= 55x −−

โดเมนของ g°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ gx อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≥ 5g(x) อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ 5x− ≥ 5

หรือ x ≥ 30ดังนั้น โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≥ 30}

(7) f(x) = x , g(x) = 2x – 5f°g(x) = f(g(x)) = f(2x – 5) = 5x2 −

โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x)) = )x(g = 5x2 −

โดเมนของ g°f คือ Rf°f(x) = f(f(x)) = )x(f = x = x

โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x)) = g(2x – 5)

= 2(2x – 5) – 5 = 4x – 15โดเมนของ g°g คือ R






พ.ศ. ๒๕๔๗



126

(8) f(x) = x + 4, g(x) = 4x −

f°g(x) = f(g(x)) = f(⏐x – 4⏐) = 44x +−

โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x)) = g(x + 4) = 44x −+ = x

โดเมนของ g°f คือ Rf°f(x) = f(f(x)) = f(x + 4) = x + 4 + 4 = x + 8โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x)) = g( 4x − ) = 44x −−


(9) f(x) = x

1x+ , g(x) = 2x – 3f°g(x) = f(g(x)) = f(2x – 3) =

3x213x2

−+− =

3x22x2

−−

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≠ 23 }

g°f(x) = g(f(x)) = )x

1x(g + = 3)x

1x(2 −+ =

x2x +−

โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≠ 0}

f°f(x) = f(f(x)) = )x

1x(f + = x

1x

1x

1x

+

++

= 1x

xx

1x2+

⋅+

= 1x1x2

++

โดเมนของ f°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ f และ f(x) อยูใน โดเมนของ fx อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ x ≠ 0f(x) อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ

x1x+ ≠ 0

นั่นคือ x ≠ –1ดังนั้น โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≠ –1 และ x ≠ 0}g°g(x) = g(g(x)) = g(2x – 3) = 2(2x – 3) – 3 = 4x – 9โดเมนของ g°g(x) คือ R






พ.ศ. ๒๕๔๗



127

(10) f(x) = x

1 , g(x) = x2 + 4x

f°g(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) =x4x

12 +

x อยูในโดเมนของ f°g ก็ตอเมื่อ x2 + 4x > 0นั่นคือ x(x + 4) > 0หรือ x > 0 หรือ x < – 4

ดังนั้น โดเมนของ f°g คือ {x⏐x > 0 หรือ x < – 4}g°f(x) = g(f(x)) = )

x1(g = )

x1(4)

x1( 2 +

=x

4x1 +

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x > 0}f°f(x) = f(f(x)) = )

x1(f =

x

1 = 41

x

1

โดเมนของ f°f คือ {x⏐x > 0}g°g(x) = g(g(x)) = g(x2 + 4x)

= (x2 + 4x)2 + 4(x2 + 4x)= x4 + 8x3 +20x2 + 16x


(11) f(x) = 3 x , g(x) = x

f°g(x) = f(g(x)) = f( x ) = 6 x

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≥ 0}g°f(x) = g(f(x)) = )x(g 3 = 6 x

โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≥ 0}f°f(x) = f(f(x)) = )x(f 3 = 9 x

โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x)) = )x(g = 4 x

โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≥ 0}






พ.ศ. ๒๕๔๗



128

(12) f(x) = x2 , g(x) =

x2x −

f°g(x) = f(g(x)) = )x

2x(f − =2x

x2−

โดเมนของ f°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ gและ g(x) อยูในโดเมนของ fx อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 0g(x) อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ

x2x− ≠ 0

นั่นคือ x ≠ 2โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≠ 0 และ x ≠ 2}

g°f(x) = g(f(x)) = )x2(g =

x2

2x2 −

=2x

xx22 ⋅−

= 1 – xโดเมนของ g°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ f และ f(x) อยูในโดเมนของ gดังนั้น โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≠ 0}f°f(x) = f(f(x)) = )

x2(f =

)x2(

2 = 2x2 = x

โดเมนของ f°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ fและ f(x) อยูในโดเมนของ fดังนั้น โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≠ 0}

g°g(x) = g(g(x)) = )x

2x(g − = x

2x

2x

2x

−

−−

= 2x

xx

x22x−

⋅−−

=2xx2

−−−

โดเมนของ g°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซ่ึงอยูในโดเมนของ gและ g(x) อยูในโดเมนของ gx อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 0g(x) อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ

x2x− ≠ 0

นั่นคือ x ≠ 2โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≠ 0 และ x ≠ 2}






พ.ศ. ๒๕๔๗



129

6. (1) f(x) = x + 1, g(x) = x , h(x) = x – 1(f°g)°h(x) = (f°g)(h(x))

= (f°g)(x – 1)= )1x(g(f − )= )1x(f −

= 11x +−

(2) f(x) = x1 , g(x) = x3, h(x) = x2 + 1

(f°g)°h(x) = (f°g)(x2 + 1)= f(g(x2 + 1))= f((x2 + 1)3)= 32 )1x(

1+

=1x3x3x

1246 +++

(3) f(x) = x4 + 4, g(x) = x – 5, h(x) = x

(f°g)°h(x) = (f°g)( x )= f(g( x ))= f( x –5)= 4)5x( 4 +−

(4) f(x) = x , g(x) = 1x

x−

, h(x) = 5 x

(f°g)°h(x) = (f°g)( 5 x )= f(g( 5 x ))

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1xxf

5

5

=1x

x5

5

−

f°(g°h)(x) = f(g°h(x))= f(g(h(x))= )1x(g(f −

= )1x(f −

= 11x +−

f°(g°h)(x) = f(g°h(x))= f(g(x2 + 1))= f((x2 + 1)3)= 32 )1x(

1+

=1x3x3x

1246 +++

f°(g°h) (x) = f(g°h(x))= f(g( x ))= f( x –5)= 4)5x( 4 +−

f°(g°h)(x) = f(g°h(x))= f(g( 5 x ))

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−1xxf

5

5

=1x

x5

5

−






พ.ศ. ๒๕๔๗



130

7. ขอสังเกต คําตอบสําหรับขอนี้ฟงกชัน f และ g มีคําตอบมากกวา 1 ชุด

(1) h(x) = (x – 9)8

เชน ให f(x) = x8, g(x) = x – 9f°g(x) = f(g(x))

= f(x – 9)= (x – 9)8 = h(x)

(2) h(x) = 5x +

เชน ให f(x) = x + 5, g(x) = x

f°g(x) = )x(f

= 5x + = h(x)

(3) h(x) = 2x

x2

2

+

เชน ให f(x) =2x

x+

, g(x) = x2

f°g(x) = f(x2)=

2xx2

2

+= h(x)

(4) h(x) = 10x

1+

เชน ให f(x) =x1 , g(x) = x + 10

f°g(x) = f(x + 10)=

10x1+

= h(x)

(5) h(x) = 5x1−

เชน ให f(x) = x , g(x) = 1 – x5

f°g(x) = f(1 – x5)= 5x1− = h(x)






พ.ศ. ๒๕๔๗



131

(6) h(x) = x2+

ให f(x) = x2+ , g(x) = x

f°g(x) = )x(f

= x2+ = h(x)

8. A(x) = 1.05xA°A(x) = A(A(x))

= A(1.05x) = (1.05)2xA°A°A( x) = A(A°A(x))

= A((1.05)2x) = (1.05)3xA°A°A°A ( x) = A(A°A°A (x))

= A((1.05)3x) = (1.05)4xดังนั้น ฟงกชันประกอบของฟงกชัน A จํานวน n ฟงกชัน คือ (1.05)nx ซ่ึงแทนจํานวนเงินรวมที่จะไดเมื่อครบกําหนด n ป

9. h(x) = 4x2 + 4x + 7= (4x2 + 4x + 1) + 6= (2x + 1)2 + 6= (g(x))2 + 6

ให f(x) = x2 + 6ดังนั้น f°g(x) = f(g(x)) = (g(x))2 + 6 = h(x)

10. f°g(x) = h(x) = 3x2 + 3x + 2ดังนั้น 3g(x) + 5 = f(g(x)) = 3x2 + 3x + 2

∴ g(x) =3

52x3x3 2 −++

= x2 + x – 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



132


1. (1) f–1(10) = f–1(f(3)) = 3(2) f(– 4) = f(f–1(3)) = 3(3) f–1(18) = f–1(f(10)) = 10(4) f(3) = f(f–1(4)) = 4(5) f(x) = 5 + 2x

ให y = 5 + 2x∴ x =

25y−

เปล่ียน x เปน y และ y เปน xy =

25x−

ดังนั้น f–1(x) =2

5x−

∴ f–1(10) =2

510− =25

(6) g(x) = x2 + 4x เมื่อ x ≥ –2ให x ที่ทําให g(x) = 12

x2 + 4x = 12 x2 + 4x – 12 = 0

(x + 6)(x – 2) = 0∴ x = 2, – 6Q x ≥ –2∴ x = 2จะไดวา g(2) = 12ดังนั้น g–1(12) = 2

2. (1) f(x) = x + 5, g(x) = x – 5f°g(x) = f(g(x)) = f(x – 5)

= x – 5 + 5 = xg°f(x) = g(f(x)) = g(x + 5)

= x + 5 – 5 = xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน






พ.ศ. ๒๕๔๗



133

(2) f(x) = 3x, g(x) = 3x−

f°g(x) = f(g(x)) = )3x(f −

= )3x(3 − = –x

g°f(x) = g(f(x)) = g(3x) =

3)x3(− = –x

ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

(3) f(x) = 2x + 5, g(x) = 2

5x−

f°g(x) = f(g(x)) = )2

5x(f −

= 5)2

5x(2 +−

= x – 5 + 5 = xg°f(x) = g(f(x)) = g(2x + 5)

=2

55x2 −+ = xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

(4) f(x) = 5

x3− , g(x) = 3 – 5xf°g(x) = f(g(x)) = f(3 – 5x)

=5

)x53(3 −− = xg°f(x) = g(f(x)) = )

5x3(g −

= 3 – 5 )5

x3( − = xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

(5) f(x) = x1 , g(x) =

x1

f°g(x) = f(g(x)) = )x1(f

=)

x1(

1 = x






พ.ศ. ๒๕๔๗



134

g°f(x) = g(f(x)) = )x1(g

=)

x1(

1 = x


(6) f(x) = x5, g(x) = 5 x

f°g(x) = f(g(x)) = )x(f 5

= 55 )x(

= xg°f(x) = g(f(x))

= g(x5)= 5 5x

= xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

(7) f(x) = x2 – 4 , x ≥ 0 ; g(x) = 4x+ , x ≥ – 4ถา x ≥ – 4f°g(x) = f(g(x))

= f( 4x+ )= 4)4x( 2 −+

= x + 4 – 4 = xถา x ≥ 0g°f(x) = g(f(x))

= g(x2 – 4)= 44x 2 +−

= 2x = x = xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน






พ.ศ. ๒๕๔๗



135

(8) f(x) = x3 + 3, g(x) = 31

)3x( −

f°g(x) = f(g(x)) = ))3x((f 3

1

−

= 3))3x(( 331

+−

= xg°f(x) = g(f(x))

= g(x3 + 3)= 3

13 )33x( −+

= xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

(9) f(x) = 3x

1−

, x ≠ 3 , g(x) = 3x1 + , x ≠ 0

ถา x ≠ 0f°g(x) = f(g(x))

= )3x1(f +

=33

x1

1

−+= x

ถา x ≠ 3g°f(x) = g(f(x))

= )3x

1(g−

= 3)

3x1(

1 +

−

= x – 3 + 3 = x


(10) f(x) = 2x4− , 0 ≤ x ≤ 2 ; g(x) = 2x4− , 0 ≤ x ≤ 2ถา 0 ≤ x ≤ 2f°g(x) = f(g(x))

= f( 2x4− )= 22 )x4(4 −−

= )x4(4 2−−

= 2x = x = x






พ.ศ. ๒๕๔๗



136

g°f(x) = g(f(x)) = )x4(g 2−

= 22 )x4(4 −−

= )x4(4 2−−

= 2x = x = xดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

3. (1) f(x) = 3x + 1ให y = 3x + 1∴ x =

31y−

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน yy =

31x−


1x−

(2) f(x) = 5 – xให y = 5 – x∴ x = 5 – yเปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y

y = 5 – xดังนั้น f–1(x) = 5 – x

(3) f(x) = 5x + 7ให y = 5x + 7∴ x =

57y−

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y =

57x−


7x−






พ.ศ. ๒๕๔๗



137

(4) f(x) = 5 – 3xให y = 5 – 3x

3x = 5 – yx =

3y5−


3x5−


x5−

(5) f(x) = 5x

ให y =5x

∴ x = 5yเปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y

y = 5xดังนั้น f–1(x) = 5x

(6) f(x) = 2x1 , x > 0

เมื่อ x > 0ให y = 2x

1

x2 =y1

∴ x =y

1±

เนื่องจาก x > 0 ดังนั้น x = y

1

เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน xy =

x1

ดังนั้น f–1(x) =x

1






พ.ศ. ๒๕๔๗



138

(7) f(x) = 2x

1+

ให y =2x

1+

x + 2 =y1

∴ x =y1 – 2

เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x∴ y =

x1 – 2

ดังนั้น f–1(x) =x1 – 2

(8) f(x) = 2x2x

−+ , x ≠ 2

ให y =2x2x

−+

y(x – 2) = x + 2xy – 2y = x + 2xy – x = 2 + 2yx(y – 1) = 2y + 2

∴ x =1y2y2

−+


1x2x2

−+

ดังนั้น f–1(x) =1x2x2

−+ , x ≠ 1

(9) f(x) = x31x25

+− , x ≠ 3

1−

ให y =x31x25

+−

y(1 + 3x) = 5 – 2xy + 3xy = 5 – 2x3xy + 2x = 5 – yx(3y + 2) = 5 – y

∴ x =2y3

y5+−






พ.ศ. ๒๕๔๗



139


2x3x5+−

ดังนั้น f–1(x) =2x3

x5+− , x ≠ 3

2−

(10) f(x) = 3 – 4x5

ให y = 3 – 4x5

4x5 = 3 – yx5 =

4y3−

∴ x = 54

y3−

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y = 5

4x3−

ดังนั้น f–1(x) = 54

x3−

(11) f(x) = x52−

ให y = x52−

y2 = 2 – 5xx =

5y2 2−


5x2 2−

ดังนั้น f–1(x) =5x2 2−

(12) f(x) = x2 + x, x ≥ 21−

ให y = x2 + xx2 + x – y = 0

∴ x =2

y411 −−−

เนื่องจาก x ≥ 21−

ดังนั้น x =2

y411 −+−






พ.ศ. ๒๕๔๗



140


2x411 −+−


x411 −+−

(13) f(x) = 5 – x2 , x ≥ 0ให y = 5 – x2

x2 = 5 – y∴ x = y5−±

เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = y5−

เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน xจะได y = x5−

ดังนั้น f–1(x) = x5−

(14) f(x) = 1x2 +

ให y = 1x2 +

y2 = 2x + 1x =

21y2 −


21x 2 −


1x 2 −

(15) f(x) = 3 x5+

ให y = 3 x5+

(y – 5)3 = xเปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y = (x – 5)3

ดังนั้น f–1(x) = (x – 5)3






พ.ศ. ๒๕๔๗



141

(16) f(x) = (4 – x3)5

ให y = (4 – x3)5

5 y = 4 – x3

x3 = 5 y4−

∴ x = 3 5 y4−

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y = 3 5 x4−

ดังนั้น f–1(x) = 3 5 x4−

(17) f(x) = 1x1 ++

ให y = 1x1 ++

y – 1 = 1x+

x + 1 = (y – 1)2

x = (y – 1)2 – 1∴ x = y2 – 2yเปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x∴ y = x2 – 2xดังนั้น f–1(x) = x2 – 2x

(18) f(x) = 2x16− , 0 ≤ x ≤ 4ให y = 2x16−

y2 = 16 – x2

x2 = 16 – y2

x = 2y16−±

เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = 2y16−

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y = 2x16−

ดังนั้น f–1(x) = 2x16−






พ.ศ. ๒๕๔๗



142

(19) f(x) = x6 , x ≥ 0ให y = x6

x = 6 y±

เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = 6 y

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y = 6 x

ดังนั้น f–1(x) = 6 x

(20) f(x) = 3 – x3

ให y = 3 – x3

x3 = 3 – y∴ x = 3 y3−

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y∴ y = 3 x3−

ดังนั้น f–1(x) = 3 x3−

4. (1) f(x) = 3x + 6

ให y = 3x + 6∴ x =

36y−


36x−

5

2

4

6

–2 2 4 6

Y

X

f(x)

y = x

f–1(x)

–2– 4–6

– 4






พ.ศ. ๒๕๔๗



143


6x−

(2) f(x) = 3x+

ให y = 3x+

∴ x = y2 – 3เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x∴ y = x2 – 3ดังนั้น f–1(x) = x2 – 3

(3) f(x) = 9 – x2, x ≥ 0

ให y = 9 – x2

∴ x = y9−±

เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = y9−

เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x∴ y = x9−

Y

X

y = xf–1(x)

–3

–3

f(x)

3 6 9

6

3

9Y

X

f(x)y = x

f–1(x)

ดังนั้น f–1(x) = x9−






พ.ศ. ๒๕๔๗



144

(4) f(x) = x3 – 2

ให y = x3 – 2x3 = y + 2

∴ x = 3 2y+

เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x∴ y = 3 2x+

ดังนั้น f–1(x) = 3 2x+

5. f°I (x) = f(I(x)) = f(x)I°f (x) = I(f(x)) = f(x)f–1°f (x) = f–1(f(x)) = x = I(x)

f°f–1(x) = f(f–1(x)) = x = I(x)

6. h°g–1 (x) = h(g–1(x))= f°g(g–1(x))= f(g(g–1(x)))= f(I(x))= f(x)

Y

X

y = x

f–1(x)–2

–2

f(x)






พ.ศ. ๒๕๔๗



145

7. (1) ให y = 2x + 1∴ x =

21y−


21x−

ดังนั้น g–1(x) =2

1x−

f(x) = h°g–1 (x) = h(g–1(x))= )

21x(h −

= 72

)1x(42

)1x(42

2+

−+

−

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 7= x2 + 6

(2) f–1°h (x) = f–1

°f°g (x)= f–1(f(g(x)))

= g(x)ดังนั้น g = f–1

°hให y = 3x + 5

x =3

5y−


35x−


5x−

g(x) = f–1°h(x)

= f–1(h(x))= f–1(3x2 + 3x + 2)=

352x3x3 2 −++

= x2 + x – 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



146


1. กราฟของฟงกชันในแตละขอเขียนไดดังนี้

(1)

(2)

Y

X

f(x) = 1−x1

f(x) = x1

g(x) = 1x

Y

X

g(x) = 1x 1−

+2






พ.ศ. ๒๕๔๗



147

(3)

(4)

2. (1) f(x) = (x – 3)2 + 2 จะไดจากการเลื่อนกราฟขึ้นบน 2 หนวย แลวเล่ือนไปทางขวาอีก 3 หนวย

Y

X

h(x) = x 3+ h(x) = x

–3

Y

X

k(x) = 33 +

k(x) = x3

–2

– 4

2

4

6

8

–5 5 X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



148

(2) f(x) = (x + 5)3 – 1 จะไดจากการเลื่อนกราฟลงขางลาง 1 หนวย แลวเล่ือนไปทางซายอีก 5 หนวย

(3) f(x) = 221x −− จะไดจากการเลื่อนกราฟไปทางขวา

21 หนวย แลวเล่ือนกราฟลงขางลาง 2 หนวย

(4) f(x) = 51x ++ จะไดจากการเลื่อนกราฟไปทางซาย 1 หนวย แลวเล่ือนกราฟขึ้นขางบน 5 หนวย

Y

1 2 3 4 50 X–5 –4 –3 –1–2

2345

–6 61

–1–2–3–4–5–6

– 4 –2 0 2 64–2

–6 X

Y

X

2

468

10

2 4 6 8–2– 4–6–8

Y

0






พ.ศ. ๒๕๔๗



149

เฉลยแบบฝกหัดทบทวน

สําหรับแบบฝกหัดทบทวนขอ 1 – 4 ขอไมเฉลยในคูมือครูเลมนี้เนื่องจากเปนการทบทวน บทนิยามตาง ๆ ซ่ึงสามารถดูไดจากเนื้อหาในหนังสือเรียน

5. f(x) = x2 + 3x – 2 , g(x) = 5 – 3x(1) (f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x2 +3x – 2 + 5 – 3x= x2 + 3

(2) (f – g)(x) = f(x) – g(x)= x2 +3x – 2 – 5 + 3x= x2 + 6x – 7

(3) (fg)(x) = f(x)g(x)= (x2 +3x – 2)(5 – 3x)= 5x2 + 15x – 10 – 3x3 – 9x2 + 6x= –3x3 – 4x2 + 21x – 10

(4) )x)(gf( =

)x(g)x(f =

x352x3x 2

−−+ , x ≠ 3

5

(5) (f°g)(x) = f(g(x))= f(5 – 3x)= (5 –3x)2 + 3(5 – 3x) – 2= 25 – 30x + 9x2 + 15 – 9x – 2= 9x2 – 39x + 38

(6) (g°f)(x) = g(f(x))= g(x2 + 3x – 2)= 5 – 3(x2 + 3x – 2)= 5 – 3x2 – 9x + 6= –3x2 – 9x + 11






พ.ศ. ๒๕๔๗



150

6. f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x−

(1) f°g(x) = f(g(x)) = )2x(f −

= 1)2x( 2 +−

= x – 2 + 1= x – 1

(2) g°f(x) = g(f(x)) = g(x2 + 1)= 21x 2 −+

= 1x 2 −

(3) f°g(2) = f(g(2)) = f(0) = 0 + 1 = 1หรือ เนื่องจาก f°g(x) = x – 1

∴ f°g(2) = 2 – 1 = 1

(4) f°f(x) = f(f(x)) = f(x2 + 1)= (x2 + 1)2 + 1= x4 + 2x2 + 1 + 1= x4 + 2x2 + 2

f°f(2) = 16 + 2(4) + 2 = 26

(5) f°g°f(x) = f(g(f(x))) = f(g(x2 + 1))= )21x(f 2 −+

= )1x(f 2 −

= 1)1x( 22 +−

= x2 – 1 + 1 = x2

(6) g°f°g(x) = g(f(g(x))) = ))2x(f(g −

= )1)2x((g 2 +−

= g(x – 2 + 1)= g(x – 1)= 21x −− = 3x−






พ.ศ. ๒๕๔๗



151

7. (1) f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x – x2

f°g(x) = f(g(x)) = f(2x – x2)= 3(2x – x2) + 1= –3x2 + 6x + 1

โดเมนของ f°g คือ Rg°f(x) = g(f(x)) = g(3x + 1)

= 2(3x + 1) – (3x + 1)2

= 6x + 2 – (9x2 + 6x + 1)= –9x2 + 1

โดเมนของ g°f คือ Rf°f(x) = f(f(x)) = f(3x + 1)

= 3(3x + 1) + 1= 9x + 4

โดเมนของ f°f คือ Rg°g(x) = g(g(x)) = g(2x – x2)

= 2(2x – x2) – (2x – x2)2

= 4x – 2x2 – (4x2 – 4x3 + x4)= 4x – 2x2 – 4x2 + 4x3 – x4

= –x4 + 4x3 – 6x2 + 4xโดเมนของ g°g คือ R

(2) f(x) = x , g(x) = 4x

1−

f°g(x) = f(g(x)) = )4x

1(f−

=4x

1−

=4x

1−

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x > 4}g°f(x) = g(f(x)) = )x(g

=4x

1−






พ.ศ. ๒๕๔๗



152

โดเมนของ g°f ประกอบดวย จํานวนจริง x ที่อยู ในโดเมนของ f และ f(x) อยูใน โดเมนของ g

x อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ x ≥ 0f(x) อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 4

นั่นคือ x ≠ 16ดังนั้น โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≥ 0 และ x ≠ 16}f°f(x) = f(f(x)) = )x(f

= x = 4 x

โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≥ 0}g°g(x) = g(g(x)) = )

4x1(g−

=4

4x1

1

−−

=16x41

4x+−

−

=17x4

4x+−−

โดเมนของ g°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ที่อยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ gx อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 4g(x) อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ

4x1−

≠ 4 นั่นคือ x ≠

417

ดังนั้น โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≠ 4 และ x ≠ 4

17 }

8. f°g°h(x) = f(g(h(x)))= f(g(2 + x ))= f(1 – (2 + 2)x )= f(1 – 4 – x4 – x)= f(–3 – x4 – x)= xx431 +++

= xx44 ++

= 2)x2( +

= 2x + = h(x)






พ.ศ. ๒๕๔๗



153

9. เชน ให h(x) = x , g(x) = 2 + x และ f(x) = x

1

∴ f°g°h(x) = f(g(h(x)))= f(g( x ))= f(2 + x )=

x2

1

+= T(x)

10. (1) f(x) = 4 + x3

สมมติวามีจํานวนจริง x1 , x2 ที่ทําให f(x1) = f(x2)จะได 4 + 3

1x = 4 + 32x

31x = 3

2x (ลบดวย 4)∴ x1 = 3 3

2x = x2

หรือ x2 = 3 31x = x1

ดังนั้น f(x) เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(2) h(x) = 4x1

เนื่องจาก h(1) = 411 = 1

h(–1) = 4)1(1−

= 1

ดังนั้น h ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(3) g(x) = 3 – 3x + x2

เนื่องจาก g(1) = 3 – 3(1) + 12 = 1 g(2) = 3 – 3(2) + 22 = 1

ดังนั้น g ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(4) r(x) = 2x3 ++

สมมติมี x1, x2 ที่ทําให r(x1) = r(x2)จะได 2x3 1 ++ = 2x3 2 ++

2x1 + = 2x 2 + (ลบดวย 3)x1 + 2 = x2 + 2 (ยกกําลังสอง)

∴ x1 = x2 (ลบดวย 2)ดังนั้น r เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง






พ.ศ. ๒๕๔๗



154

11. (1) f(x) = 2x – 3ให y = 2x – 3∴ x =

23y+


23x+


3x+

(2) f(x) = (x + 2)3

ให y = (x + 2)3

3 y = x + 2∴ x = 2y3 −

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน yy = 2x3 −

ดังนั้น f–1(x) = 2x3 −

(3) f(x) = 2

1x3 +

ให y =2

1x3 +

2y = 3x + 1∴ x =

31y2 −


31x2 −


1x2 −

(4) f(x) = 3 2x1 −+

ให y = 1 + 3 2x−

y – 1 = 3 2x−

x – 2 = (y – 1)3 = y3 – 3y2 + 3y – 1∴ x = y3 – 3y2 + 3y + 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



155

เปล่ียน y เปน x และเปลี่ยน x เปน yy = x3 – 3x2 + 3x + 1

ดังนั้น f–1(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1

12. (1) – (2)

(3) ให y = x2 – 3 , x ≥ 0y + 3 = x2

∴ x = 3y+±

เนื่องจาก x ≥ 0 จะไดวา x = 3y+

เปล่ียน x เปน y และเปลี่ยน y เปน xy = 3x+

ดังนั้น f–1(x) = 3x+

2

4

6

–2– 4–6 2 4 6–2

– 4

–6

X

Y f(x)y = x

f–1(x)

Education

Add m4-2-chapter2