9 [htq] de thi hsg

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang

1

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG & CHUYÊN TOÁN

Đề thi gồm 5 mức Lever, được phân cấp từ dễ đến khó tương ứng với từng vòng thi.

Lever 1.

Ở Lever 1, đề thi ở mức cơ bản nhất với độ khó tương đương với đề thi vòng loại của trường. Kiến

thức tập trung ở phần đầu học kì 1.

Một số phần liên quan đến lớp 8 như chia hết và phương trình nghiệm nguyên các em nên xem lại

Đáp án ở trang cuối cùng, các bạn trình bày chi tiết lời giải và tự so sánh.

Lever 2.

Kiến thức tập trung ở học kì 1, hình học chưa có tứ giác nội tiếp. Đại số tương đối đầy đủ

Lever 3

Kiến thức đầy đủ của lớp 9, mức độ tương đương học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp thành phố

Lever 4.

Mức độ vận dụng nhuần nhuyễn các kiến thức nâng cao, mức độ tương đương đề thi vào các

trường chuyên toán.

Lever 5.

Bạn nào làm hết Lever 5 quả là công lực phi phàm, thi đâu đỗ đó. Đến thầy cũng xin bái phục

Chúc các bạn học tốt.

ĐỀ SỐ 01

Câu 1. Cho biểu thức: 2 2

2 ( 1)( 2 )

x xP

x x x x x x x

a. Rút gọn P .

b. Tính P khi 3 2 2x .

c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Câu 2. Giải phương trình:

a. 2 10 27 6 4x x x x

b. 2 2 2 4 0x x x x x


2

Câu 3.

a. Tìm các số nguyên ;x y thỏa mãn: 2 2 3 2 0y xy x

b. Cho 1; 0x y , chứng minh:

3

3 3

1 1 1 3 23

( 1) 1

x x x

x y y x y

c. Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1A n n là số nguyên tố.

Câu 4.

Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác

C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường

thẳng CD tại K.

a. Chứng minh: 2 2

1 1

AE AF không đổi

b. Chứng minh: os sin .cos sin .cosc AKE EKF EFK EFK EKF

c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho

khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.

Câu 5.

Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm

H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để

tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.

ĐỀ SỐ 02

Câu 1 (4 điểm)

1. Rút gọn biểu thức A = 15 6 6 33 12 6 .

2. Cho x = 3 5 7 3 5

2 2

. Tính P(x) = 2 2011( 1)x x .

3. Chứng minh rằng đa thức Q(x) = 2 2010(2010 2009 1)x x chia hết cho đa thức x + 1.

Câu 2 (4 điểm)

1. Giải bất phương trình 2 1

181

x x

x

.


3

2. Giải hệ phương trình 2 2

1

2

x y xy

x y xy

Câu 3 (4 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4;2), B(–7;0), C(0;–4), D(–6;–3), E(3;–2), F(2;–7).

1. Chứng minh các đường thẳng AD, BE, CF đồng qui.

2. Gọi M là một điểm trên đường thẳng AD và điểm H ( 5; 3 5) . Chứng minh: MH 7.

Câu 4 (4 điểm)

Cho tam giác ABC 0( 90 )B C , Ax là một tia bất kì nằm giữa hai tia AB và AC. Vẽ BD

và CE cùng vuông góc với Ax (D và E cùng nằm trên Ax). Gọi I là giao điểm của Ax và BC.

1. Chứng minh rằng khi Ax là tia phân giác của góc A thì ta có AD ID

AE IE .

2. Xác định vị trí của Ax để BD+CE đạt giá trị lớn nhất.

3. Chứng minh: 2 2

A asin

bc . Từ đó suy ra:

1. .

2 2 2 8

A B Csin sin sin .

Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Đường tròn (O; R)

tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F. Điểm H di chuyển trên cung nhỏ EF (H khác E, F).

Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB, AC lần lượt tại M, N.

1) Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN. Chứng minh AE= AF= p.

2) Chứng minh hai tam giác MOB và ONC đồng dạng.

3) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất.

ĐỀ SỐ 03

Câu 1 (4 điểm).

a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy , biết rằng hai chữ số đó hơn kém nhau 5 đơn vị và

2 2

xxyy xx yy .

b) Biết a – b = 7. Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1).

Câu 2 (4 điểm).

a) Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng:


4

a2 + b2 + c2 ab+bc+ca+2 2 2( ) ( ) ( )

2 12 2011

a b b c c a .

b) Với x >0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M= 4x2 – 3x +1

4x+ 2011.

Câu 3 (4 điểm).

a) Giải phương trình: – = .

b) Cho hệ phương trình: 2

3

2

x my m

mx y m

.

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 – 3x + y > 0.

Câu 4 (6 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh BC cố định còn điểm

A thay đổi trên (O). Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tia AO kéo dài cắt (O) tại F. Chứng minh khi A thay đổi trên (O) thì đường thẳng HF luôn đi

qua một điểm cố định.

c) Giả sử AB > AC. Chứng minh AB2 + CE2 > AC2 + BD2.

d) Đường phân giác của góc A cắt BC tại K và (O) tại L. Gọi I là giao điểm của đường trung trực

đoạn AK với AO. Chứng minh rằng (I, IA) tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với BC tại K.

Câu 5 (2 điểm). Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một

tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?

- HẾT -

ĐỀ SỐ 4

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: 2 1 1

:21 1 1

x x xP

x x x x x

. Với x > 0, x 1.

a. Rút gọn biểu thức P. b)Tìm x để 2

7P . c) So sánh: P2 và 2P.


4 1x 3 2x3

5

x


5

a. Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 3 31 23 513 23 513

13 4 4

b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013

và 1 1 1 1

2013a b c thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.


a. Giải phương trình: 2 7 6 5 30x x x .

b. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

2 2 2

( )ab bc ca a b cP

abca b c


Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC,

E AB, F AC).

a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B.

b. Chứng minh rằng: 3

3

AB BE

CFAC .

c. Chứng minh rằng: 33 32 2 2BC CF BE .

d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.


Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số

nguyên.

ĐỀ SỐ 5

Bài I ( 5,5 điểm ):

1) Cho biểu thức:3

4.

1

1

1

2 x

xxx

xP

a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P


6

2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 tại x = 3 31 23 513 23 513

13 4 4

3) Giải phương trình: 22 3 5 2 3 12 14x x x x

Bài II( 2,5 điểm ): 1) Chứng minh rằng với Nn thì 12 nn không chia hết cho 9.

2) Cho x, y, z thỏa mãn

02

0342

222

23

yyxx

yyx Tính Q = x2 + y2.

Bài III ( 3 điểm ): 1) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 23x + 7y =17

2) Cho a, b, x, y thoả mãn: 122 yx và bab

y

a

x

144

. CMR:

10031003

2006

1003

2006

)(

2

bab

y

a

x

Bài IV ( 4 điểm ) 1) Cho hệ phương trình

1 2

1 1

x m y

m x y m

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

2

b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x > y.

2) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 CMR:

2 2 2

1x y z

y z z x x y

Bài V ( 5 điểm ): 1) Cho (O, R) và điểm K nằm bên trong đường tròn. Hãy tìm dây cung

ngắn nhất của (O) đi qua K.

2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn( A khác B và

C). Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa

đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F.

a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.

b. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và

HC.

c. Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba

điểm I, A, K thẳng hàng.


7

d. Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh

rằng MC, AH, EF đồng quy.

ĐỀ SỐ 6

Bài 1: (5,0điểm)

Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x

A :1 x1 x x 1 x x

1. Tính giá trị của A khi x 17 12 2 . 2. So sánh A với A .

Bài 2 : ( 4,0 điểm )

1. Giải phương trình: 3 28 1 46 10 5 4 1x x x x x

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 28 23 16 44 16 1180 0x y x y xy

3. Giải hệ phương trình:

3 3 3

2 2 2

x y z 16 2 (1)

x y z 8 (2)

x y z 2 2 (3)

Bài 3 : ( 4,0 điểm )

1. T ính tổng S =1 1 1

....2 1 1 2 3 2 2 3 2013 2012 2012 2013

2. Cho ba số dương , ,x y z thoả mãn 1 1 1

1.x y z Chứng minh rằng:

.x yz y zx z xy xyz x y z

Bài 4 : ( 5,0 điểm )

Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M

là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.

1.Tính 2 2 2 2sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC

2.Chứng minh: 2 (2 )OK AH R AH

3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

Bài 5: ( 2,0 điểm )


8

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, góc

ACB bằng α, góc AMB bằng . Chứng minh rằng: sin os 1 sinc

ĐỀ SỐ 7

Bài 1: (6,0 điêm)

Cho biểu thức:

22 3 2 6:

3 5 6 3 2 3

x x x xQ

x x x x x x

1. Tìm x để : 2Q

2. Tìm giá trị của x để: 32 4 . 3 8x P x


1. Tính.

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1

1 2 2 3 2011 2012 2012 2013S

2. Cho các số thực a,b,c và 3a b c . Chứng minh: 4 4 4 3 3 3a b c a b c


1. Giải phương trình sau: xxxx 11313 2

2. Tìm x, y là số nguyên dương thỏa mãn: 1 1 1 1 1 1

10 100x yx y

Bài 4 (5,0 điêm)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn

(O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là

trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.

2. Gọi α là số đo của góc BFE. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì biểu

thức 6 6sin cosP . Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó.

3. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và

3

3

BE CE

BF DF .



9

Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được viết 48

vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính

phương.

ĐỀ SỐ 8

Bài 1: (6 điểm)

Cho biểu thức A =

3

5

5

3

152

25:1

25

5

x

x

x

x

xx

x

x

xx

1 Tìm số nguyên x để A nguyên

2. Với x 0 , x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5

)16( xA

Bài 2: (4 điểm)

1. Tìm số n nguyên dương thoả mãn 6)223()223( nn

2. Cho a, b là các số dương thoả mãn 21 ba Tìm giá trị lớn nhất của A = a

b

b

a

Bài 3: (4 điểm)

1. Giải phương trình

431532373 2222 xxxxxxx

2. Cho 55)5 22 yyxx Tính giá trị biểu thức E = x + y

Bài 4: (5 điểm)

Cho đường tròn (0,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên

đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm)

dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua 1 điểm cố định.

b) Chứng minh H di động trên 1 đường tròn cố định

c) Cho biết OA = 2R. Hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ

nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 5: (1 điểm)


10

Trong các tứ giác lồi có độ dài 3 cạnh bằng nhau và bằng a (a là số dương cho trước).

Hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.

ĐỀ SỐ 9

Bài1: (6 điểm).

1. Cho biểu thức: 1 2 1

1 1 1

x x xP

x x x x x

. Tìm giá trị lớn nhất của

2Q x

P

2. Tính giá trị của biểu thức: 2011 2012 20132 3A x x x Với

5 2 5 23 2 2

5 1x

Bài 2: (4đ)

1. Tìm cặp số ;x y , sao cho y nhỏ nhất và thỏa mãn: 2 25 2 4 3 0x y y xy

2. Cho ; 0x y và thỏa mãn 1x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2

1 24A xy

x y xy

3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x y z và 32 - 3x2 = z2 = 16 - 4y2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : zy + yz + zx

Bài 3: (4đ)

1. Giải phương trình: 2 5 5x x

2. Giải hệ:

2 2 2 2

2 2 2 2

185

65

x xy y x y

x xy y x y

3. Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 1

22

4

yx

xlà số nguyên dương.

Bài 4.(5đ) Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC,

AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.

a) Chứng minh rằng OMN HAB . Tìm tỷ số đồng dạng.

b) So sánh độ dài AH và OM.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng HAG OMG .

d) Chứng minh ba điểm H,G,O thẳng hàng và 2GH GO .


11

Bài 5. (1đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC cố định, ˆACB .Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 3 4S Sin Cos .

ĐỀ SỐ 10

Câu I. (4,0 điểm): Cho biểu thức P =

x

x

x

x

xx

xx

3

3

1

32

32

3

1. Rút gọn P

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.

Câu 2. (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2222 11051162 xxxxx

b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn:

115196

42

22

33

yxyx

yxyx

c) Tìm số tự nhiên n để 120022012 nnA là số nguyên tố.

Câu 3. (3,0 điểm) 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i. abcaccbba và ii. 333333333 cbaaccbba

Chứng minh rằng: 0abc .

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 4321 pppp là số hữu tỷ.

Câu 4. (6,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không

chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường

thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng

AB, BC theo thứ tự tại S, T.

a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC

đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng PQ2 = QR.ST.

2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 108o. Chứng minh AC

BC là số vô tỉ.

Câu 5. (2,0 điểm)

a) Cho ba số dương a, b và c thỏa 1 cba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


12

accbba

cabcabcbaA

222

22214

b) Giả sử 1121 ,.....,, aaa là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau

và thỏa mãn 407...... 1121 aaa . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số

dư của các phép chia n cho 22 số 11211121 4,.......,4,4,,.....,, aaaaaa bằng 2012?

Đáp án Đề số 1

Câu 1. 1 2P ; 4x hoặc 9x

Câu 2. 5x ; x = 4 hoặc 1; (-1; 1) hoặc (-2; 2)

Câu 3. n = 1 Câu 4. Câu 5. Đường thẳng d vuông góc với AC


Câu 1. 6 ; –1 Câu 2. x = 9; (-1; 1), (-1; 2) Câu 3. Điểm đồng quy G(–2; –1).

Câu 4. GTLN khi Ax BC; Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam giác đều

Câu 5. H là điểm chính giữa của cung nhỏ EF.


Câu 1. 83 ; 392. Câu 2. GTNN M là 2011 Câu 3. một nghiệm là x= 2. 2; 1m m

Câu 4. Đường tròn đường kính AH. HF đi qua trung điểm của BC. Chứng minh IKBC

Câu 5. Chia tam giác thành 9 tam giác đều bằng nhau


Câu 1. x = 4. P2 < 2P Câu 2. 2

Câu 3. x = 4 Min P = 28

Câu 4. Max SAEHF = 2

2

a ABC vuông cân tại A

Câu 5.


13


Câu 1. Max = 0, Min 4

3; 2; Câu 2. Q = 2

Câu 3. x = 7t-2 và y = -23t+6

Câu 4. m 0; m<1

Câu 5.


Câu 1. 5; A A Câu 2. 1x .(x; y) là (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6); (x; y; z)

= (0 ; 0; 2 2 ) ; (2 2 ; 0; 0) ; (0; 2 2 ; 0)

Câu 3.

Câu 4. OH =2

2

R

Câu 5.


Câu 1. 3 13x Câu 2. 22013 1

2013S

Câu 3. 0x .; (x,y) = (1,81), (4,64), (9,21), (16,36), ( 25,25), (36,16), (21,3), ( 64,4), (81,1)

Câu 4. min

1

4P Khi đó CD vuông góc với AB Câu 5.


Câu 1. x= 4; x=4 Câu 2. n=2 ; Max A=

2

1

2

5

b

a

Câu 3. x=2; E=x+y=0

Câu 4. H đường tròn đường kính OK không đổi M A thì SMBOC min

Câu 5. ABCD là hình thang cân AB=BC=CD và AC CD


Câu 1. 2 2 2MaxQ 6A Câu 2. , 6; 3x y 1

112

MinA x y


14

Câu 3. xy + yz + zx là 5

16332 đạt được

5

4 ,

5

4 ,

5

34z y; x;

1

1 17

2x

;

2

1 21

2x

; (1; 2) và (2k; 2k2)

Câu 4. Câu 5. 5MaxS khi tam giác ABC có: 3

4

AB

AC


Câu 1. GTNN P = 4 x = 4 Câu 2. 3x ; 1;2,1;2 ; n = 1

Câu 3. Vậy 0abc . 3p

Câu 4. GTLN P đối xứng với C qua O;5 1

2

BC

CA

và 5 là số vô tỉ

Câu 5. GTNN A bằng 23

3, Chứng minh không tồn tại n bằng pp phản chứng.

3,4;4;3;4;3;3,4, yx

Education

9 [htq] de thi hsg