Ердийн дифференциал тэгшитгэл

МАТЕМАТИК-2

Д.Баттөр

Агуулга

Ердийндифференциалтэгшитгэл(ЕДТ)ЕДТ-ийнэрэмбэЕДТ-ийншийдЕДТ-ийнКошийнбодлого

НэгдүгээрэрэмбийндифференциалтэгшитгэлХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүд

МАТЕМАТИК-2Ердийн дифференциал тэгшитгэл

Д.Баттөр

2010 оны 3-р сарын 16


Д.Баттөр

Агуулга



Агуулга

1 Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ)ЕДТ-ийн эрэмбэЕДТ-ийн шийдЕДТ-ийн Кошийн бодлого

2 Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлХялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд


Д.Баттөр

Агуулга



ЕДТ-ийн эрэмбэ

Тодорхойлт

Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон угфункцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл

F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0 (1)

-г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэгхувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийндифференциал тэгшитгэл харин үл мэдэгдэх функц нь олонхувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалтдифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.


Д.Баттөр

Агуулга






F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0 (1)


Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэгхувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийндифференциал тэгшитгэл

харин үл мэдэгдэх функц нь олонхувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалтдифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.


Д.Баттөр

Агуулга






F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0 (1)


Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэгхувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийндифференциал тэгшитгэл харин үл мэдэгдэх функц нь олонхувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалтдифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд орж байгаа үлмэдэгдэх функцийн уламжлалуудын хамгийн дээд эрэмбэ ньуг тэгшитгэлийн эрэмбэ болно. n эрэмбийн ердийндифференциал тэгшитгэл

F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0

энд y = y(x) үл мэдэгдэх олох ёстой функц юм.


Д.Баттөр

Агуулга





Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд орж байгаа үлмэдэгдэх функцийн уламжлалуудын хамгийн дээд эрэмбэ ньуг тэгшитгэлийн эрэмбэ болно. n эрэмбийн ердийндифференциал тэгшитгэл

F (x , y , y ′, y ′′, ..., y (n)) = 0

энд y = y(x) үл мэдэгдэх олох ёстой функц юм.


Д.Баттөр

Агуулга



ЕДТ-ийн шийд


Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийгадилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийдгэнэ.

Жишээлбэл

y ′ = f (x) (∗)

1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийд

y =

∫f (x)dx + C = φ(x ,C ); ∀C = const


Д.Баттөр

Агуулга






Жишээлбэл

y ′ = f (x) (∗)


y =



Д.Баттөр

Агуулга






Жишээлбэл

y ′ = f (x) (∗)


y =



Д.Баттөр

Агуулга




y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд

C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C

(0)1 ,C

(0)2 , ...,C

(0)n , өгвөл уг тэгшитгэлийн тухайн

шийд y = φ(x ,C(0)1 ,C

(0)2 , ...,C

(0)n ) үүснэ.


Д.Баттөр

Агуулга




y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ.

Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C

(0)1 ,C

(0)2 , ...,C



(0)2 , ...,C

(0)n ) үүснэ.


Д.Баттөр

Агуулга




y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).

Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C

(0)1 ,C

(0)2 , ...,C



(0)2 , ...,C

(0)n ) үүснэ.


Д.Баттөр

Агуулга




y = φ(x ,C ) функц нь y ′ = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдгэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхойC0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийдy = φ(x ,C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийндифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удааинтегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмолхэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x ,C1,C2, ...,Cn).Хэрэвэдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэнутгуудыг C

(0)1 ,C

(0)2 , ...,C



(0)2 , ...,C

(0)n ) үүснэ.


Д.Баттөр

Агуулга




n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.

Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn

хэмжигдэхүүнүүдийг зайлуулах замаар φ(x , y , y ′, ..., y (n)) = 0хэлбэрийн тэгшитгэлд хүрнэ:{

Φ(...) = 0;d

dxΦ(...) = 0; · · · ;

dn

dxnΦ(...) = 0

};


Д.Баттөр

Агуулга




n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.

Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn


Φ(...) = 0;d

dxΦ(...) = 0; · · · ;

dn

dxnΦ(...) = 0

};


Д.Баттөр

Агуулга




n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад

үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn


Φ(...) = 0;d

dxΦ(...) = 0; · · · ;

dn

dxnΦ(...) = 0

};


Д.Баттөр

Агуулга




n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдзарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхийинтеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметрC1,C2, ...,Cn агуулсанΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интегралнь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олохасуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолдΦ(x , y ,C1,C2, ...,Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y -түүнээсхамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаадифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэгтэгшитгэлүүдийн системээс C1,C2, ...,Cn


Φ(...) = 0;d

dxΦ(...) = 0; · · · ;

dn

dxnΦ(...) = 0

};


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл

x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциалтэгшитгэлийг олъё.

Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:

x + y · y ′ = C ;

Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;

Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл

y ′ =y2 − x2

2xy

хэлбэртэй бичигдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл



x + y · y ′ = C ;



y ′ =y2 − x2

2xy



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл



x + y · y ′ = C ;



y ′ =y2 − x2

2xy



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл



x + y · y ′ = C ;

Одоо дараахь системээс C -ийг зайлуулна:

{x2 + y2 = 2Cx ;x + y · y ′ = C ;


y ′ =y2 − x2

2xy



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл



x + y · y ′ = C ;



y ′ =y2 − x2

2xy



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл



x + y · y ′ = C ;



y ′ =y2 − x2

2xy



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээлбэл



x + y · y ′ = C ;



y ′ =y2 − x2

2xy



Д.Баттөр

Агуулга



ЕДТ-ийн Кошийн бодлого

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс тухайншийдийг нь ялган авахын тулд дифференциал тэгшитгэлийнзэрэгцээ ямар нэгэн нэмэлт нөхцлүүдийг шаардах бөгөөдтэдгээр нь эхний нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг ба уг процессийнанхны төлөв байдлыг илэрхийлдэг. Эхний нөхцлүүд нь

y0 = y(x)|x=x0 , y′(x)|x=x0 = v0

гэх мэт бичигдэнэ.

Ерөнхий тохиолдолд n эрэмбийн дифференциалтэгшитгэлийн тухайн шийдийг тодорхойлох эхний нөхцлүүдn ширхэг

y(x0) = y0, y′(x0) = y ′0, ..., y

n−1(x0) = y(n−1)0

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс тухайншийдийг нь ялган авахын тулд дифференциал тэгшитгэлийнзэрэгцээ ямар нэгэн нэмэлт нөхцлүүдийг шаардах бөгөөдтэдгээр нь эхний нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг ба уг процессийнанхны төлөв байдлыг илэрхийлдэг. Эхний нөхцлүүд нь

y0 = y(x)|x=x0 , y′(x)|x=x0 = v0

гэх мэт бичигдэнэ.Ерөнхий тохиолдолд n эрэмбийн дифференциалтэгшитгэлийн тухайн шийдийг тодорхойлох эхний нөхцлүүдn ширхэг

y(x0) = y0, y′(x0) = y ′0, ..., y

n−1(x0) = y(n−1)0

байна.


Д.Баттөр

Агуулга





Дифференциал тэгшитгэлийн өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэдхангах тухайн шийдийг олох бодлого нь Кошийн бодлогогэж нэрлэгддэг.


Ерөнхий шийдийн илэрхийлэлд орж байгаа тогтмолхэмжигдэхүүний ямар ч утгаар илэрхийлэгдэж чадахгүйшийд нь уг дифференциал тэгшитгэлийн онцгой шийд гэжнэрлэгддэг.


Д.Баттөр

Агуулга





Дифференциал тэгшитгэлийн өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэдхангах тухайн шийдийг олох бодлого нь Кошийн бодлогогэж нэрлэгддэг.


Ерөнхий шийдийн илэрхийлэлд орж байгаа тогтмолхэмжигдэхүүний ямар ч утгаар илэрхийлэгдэж чадахгүйшийд нь уг дифференциал тэгшитгэлийн онцгой шийд гэжнэрлэгддэг.


Д.Баттөр

Агуулга



Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл


F (x , y , y ′) = 0

хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийндифференциал тэгшитгэл гэнэ. Түүнийг мөн уламжлалынхувьд бодогдсон,

y ′ = f (x , y) (2)

хэлбэрт бичдэг.

Энэ тэгшитгэлийн хувьд анхны нөхцөл

y |x=x0 = y0

хэлбэртэй байна.


Д.Баттөр

Агуулга





F (x , y , y ′) = 0

хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийндифференциал тэгшитгэл гэнэ. Түүнийг мөн уламжлалынхувьд бодогдсон,

y ′ = f (x , y) (2)

хэлбэрт бичдэг. Энэ тэгшитгэлийн хувьд анхны нөхцөл

y |x=x0 = y0

хэлбэртэй байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Нэгдүгээр эрэмбийн y ′ = f (x , y) хэлбэрт бичигдсэндифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бодож олох заримаргууд:

Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлАргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүдБүтэн дифференциалт тэгшитгэл


Д.Баттөр

Агуулга



Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл


Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (3)

тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.

Энэ тохиолдолд

y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy

dx= φ(x) · ψ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга





Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (3)

тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.

Энэ тохиолдолд

y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy

dx= φ(x) · ψ(y)

болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)

dy

ψ(y)= φ(x)dx

хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд

тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫

dy

ψ(y)=

∫φ(x)dx + C , C = const

хэлбэрт бичигдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)

dy

ψ(y)= φ(x)dx

хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫

dy

ψ(y)=

∫φ(x)dx + C , C = const



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.

- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx

болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал

ln |y | = x2 + C

болно. Эндээс

|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dy

dx= 2xy

⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx

болно.

Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал

ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C

болно.

Эндээс

|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C

⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ


dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2xdx


ln |y | = x2 + C


|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2


Д.Баттөр

Агуулга




Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол

φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)

хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг.

Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж

φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0

хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫

φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)

ψ(y)dy = C , C = const

хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)

хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж

φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0


φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга





φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0

хувьсагчуудыг нь ялгана.

Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫

φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга





φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0

хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд

∫φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга





φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0


φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)



Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4)


φ(x)

r(x)dx +

s(y)

ψ(y)dy = 0


φ(x)

r(x)dx +

∫s(y)




Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.

- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dx

1 + x2+

dy

1 + y2= 0


arctg x + arctg y = C

болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dx

1 + x2+

dy

1 + y2= 0

болно.

Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал


болно.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:

dx

1 + x2+

dy

1 + y2= 0



болно.


Д.Баттөр

Агуулга



Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл

f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)

тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.

t = 1x гэж авбал

f (x , y) = f(1

x· x , 1

x· y)

= f(

1,y

x

)= φ

(yx

)хэлбэрт бичигдэнэ.


y ′ = φ(yx

)(5)

хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга




f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)

тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1

x гэж авбал

f (x , y) = f(1

x· x , 1

x· y)

= f(

1,y

x

)= φ

(yx



y ′ = φ(yx

)(5)



Д.Баттөр

Агуулга




f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)

тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1

x гэж авбал

f (x , y) = f(1

x· x , 1

x· y)

= f(

1,y

x

)= φ

(yx



y ′ = φ(yx

)(5)



Д.Баттөр

Агуулга




Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг

y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u

томъёогоор орлуулга хийвэл

(5) тэгшитгэл

u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0

хэлбэрт бичиж болно.


Д.Баттөр

Агуулга





y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u

томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл

u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.

Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0



Д.Баттөр

Агуулга





y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u


u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.

Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0



Д.Баттөр

Агуулга





y

x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u


u′ · x + u = φ(u), x · dudx

= φ(u)− u,du

φ(u)− u=

dx

x;

хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг

M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2

2xy тэгшитгэлийг бод.

- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1

2 · yxбайгаа учраасy = u · x

орлуулга хийхэд

x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;

болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал

2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1

2 · yxбайгаа учраас

y = u · x


x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u,

x · dudx

=u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;

болно.

Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал

2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


- f (x , y) =y2 − x2

2xy=

1

2· yx− 1



x · dudx

+ u =u2 − 1

2u, x · du

dx=

u2 − 1

2u− u = −u2 + 1

2u;


2udu

u2 + 1= −dx

x.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2

2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал

ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C

x;

болно.

Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн

тэгшитгэлийн ерөнхий шийд

y2

x2+ 1 =

C

x, ⇒ x2 + y2 = C · x



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C

x;

болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн


y2

x2+ 1 =

C

x,

⇒ x2 + y2 = C · x



Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

dydx = y2−x2


ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C

x;

болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн


y2

x2+ 1 =

C

x, ⇒ x2 + y2 = C · x


Education

Ердийн дифференциал тэгшитгэл