V БҮЛЭГ. ИНТЕГРАЛ

Энэ бүлэг сэдвийг үзсэнээр дараах мэдлэг чадварыг эзэмшинэ. Үүнд:

𝑒 , ,sin (ax + b), cos(ax +b) ба sec2(ax + b) хэлбэрийн функцийн интегралыг

олох

Тодорхой бус коэффицентийн аргыг ашиглан рационал функцийн интегралыг олох

f x

f x

хэлбэрийн интегралыг таних, түүний интегралыг олох

Орлуулгын аргаар тодорхой болон тодорхой бус интегралыг хялбар интегралд

шилжүүлэн бодох

5.1. 𝒆𝒂𝒙 𝒃, 𝟏𝒂𝒙 𝒃 ,sin (ax + b), cos(ax +b) ба sec2(ax + b)

ХЭЛБЭРИЙН ФУНКЦИЙН ИНТЕГРАЛ

𝒆𝒙 функцийн интеграл

Өгсөн функцийн эх функц олох дифференциалчлахын урвуу үйлдлийг интегралчлах

үйлдэл гэдэг. Тухайлбал хэрэв аливаа 𝑥-ийн хувьд 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥) нөхцөл биелж байвал 𝐹(𝑥) функцийг 𝑓(𝑥) функцийн эх функц гэх ба бүх эх функцийн олонлогийг

тодорхойгүй интеграл гээд 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

гэж бичдэг.

Мөн өмнөх ангид 𝑥 , (𝑎𝑥 + 𝑏) хэлбэрийн функцийн эх функц олох,

интегралын чанарыг ашиглах, тодорхой интегралын утгыг олохыг судалсан.

Тухайлбал (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = ( ) (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 томьёог мэднэ.

Жишээ 1. Интеграл бод. a) (5𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥; б) (2𝑥 − 3) 𝑑𝑥;

Бодолт.

a) (5𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 = 5𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 = 5 ∙ − + 𝐶 = 𝑥 − + 𝐶 ( 𝐶 – тогтмол тоо)

б) (2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = ∙ ( ) = (1 − (−1) ) =

Тухайлбал, Жишээ 1- ийн 𝐹(𝑥) = 𝑥 − + 𝐶 функц нь 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥 функцийн

эх функц тул тодорхойлолт ёсоор

𝐹′(𝑥) = (𝑥 − + 𝐶)′ = 5𝑥 − 𝑥 эсвэл (5𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 − + 𝐶

болно. Уламжлал ба интеграл нь харилцан урвуу үйлдэл гэдгээс 𝐹 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 буюу ( 𝑓(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥)

чанарууд биелнэ.

Тэгвэл y= 𝑒 функцийн эх функц олъё. 𝑦 = 𝑒 функцийн уламжлал 𝑑𝑑𝑥 𝑒 = 𝑒

гэдгээс 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 + 𝐶

болно. Үүнтэй адилаар уламжлалын чанар ёсоор (𝑐 ⋅ 𝑒 ) = 𝑐 ⋅ 𝑒 ба 𝑒 = 𝑎 ⋅ 𝑒

тул 𝑐 ⋅ 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑐 ⋅ 𝑒 + 𝐶 ба 𝑒 𝑑𝑥 = ⋅ 𝑒 + 𝐶

болно.

Жишээ 2. 2𝑒 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. 𝑓(𝑥) = 2𝑒 функцийн бүх эх функцийг олбол 2𝑒 𝑑𝑥 = 2𝑒 + 𝐶 болно.

Жишээ 3. 4𝑒( ) 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. Дээрх томьёо ёсоор

4𝑒( ) 𝑑𝑥 = 4 ⋅ − ⋅ 𝑒( ) + 𝐶 = − ⋅ 𝑒( ) + 𝐶 болно.

Жишээ 4. 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. Хэрэв интегралын доорх рационал функцийн хүртвэрийг хуваарьт гишүүнчлэн хувааж гарсан функцийг интегралчилбал 𝑒 + 1𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒𝑒 + 1𝑒 𝑑𝑥 = (𝑒 + 𝑒 ) 𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝑒 + 𝐶

болно. Жишээ 5. 𝑒 𝑑𝑥 тодорхой интеграл бод.

Бодолт. Тодорхой интеграл бодох дүрмээр 𝑒 𝑑𝑥 = 13 𝑒 13 = 13 (𝑒 ⋅ − 𝑒 ⋅ ) = 13 (𝑒 − 1)

болно.

Жишээ 6. Хэрэв 𝑒 𝑑𝑥 = , 𝛼 > 0 бол 𝛼-ийн утгыг ол.

Бодолт. Дээрх бодлогыг бодохын тулд эхлээд тодорхой интегралыг бодсоны дараа

тоотой тэнцүүлэн тэгшитгэл бодож шийдийг олно. 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝑒 , 𝑒 − 𝑒 =

гэсэн илтгэгч тэгшитгэл болно. Энэ тэгшитгэлийг орлуулгын аргаар бодъё. 𝑒 − 𝑒 = тэгшитгэлийг зэргийн чанарын ашиглан 𝑒 − = хэлбэрт

шилжүүлнэ. Хэрэв 𝑒 = 𝑡 гэж орлуулбал 𝑡 − = рационал тэгшитгэл болно.

Энэ тэгшитгэлийг ижил хуваарьтай болговол 2𝑡 − 3 − 2 = 0 гэсэн квадрат тэгшитгэлд

шилжинэ. Энэ тэгшитгэлийн язгуур 𝑡 = 2, 𝑡 = − гэж гарна.

Илтгэгч функцийн утга эерэг тул 𝑒 = 2 ба эндээс 𝛼 = 𝑙𝑛2 болно.

Жишээ 7. 𝑦 = 𝑒 функцийн график, О𝑥 тэнхлэг, 𝑥 = , 𝑥 = 1 шугамаар

хязгаарлагдсан дүрсийн талбай ол.

Бодолт. 𝑦 = 𝑒 функцийн график, О𝑥 тэнхлэг, 𝑥 = , 𝑥 = 1 шугамаар

хязгаарлагдсан дүрсийг зурагт харуулав.

Энэ дүрсийн талбай нь 𝑒 𝑑𝑥

тодорхой интегралтай тэнцүү. Иймд

𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 = (𝑒 − 𝑒 ) ≈ 0.85 (нэгж.кв) болно.

Дасгал

1. 𝑥 хувьсагчаар интегралчилж бод.

a) 𝑒 ; б) 𝑒 ; в) 7𝑒 ;

г) 𝑒 ; д) 𝑒 ; e) 𝑒 ∙ 𝑒 ;

ё) 𝑒 + ; ж) 4𝑒 − ; з) 0.8𝑒 + .

2. Тодорхой интеграл бод.

a) 𝑒 𝑑𝑥; б) 𝑒 𝑑𝑥; в) 6𝑒 𝑑𝑥 ;

г) 3𝑒 𝑑𝑥; д) 2𝑒 𝑑𝑥; e) 4𝑒 𝑑𝑥;

ё) 𝑒 + 𝑑𝑥 ; ж) 𝑒 − 𝑑𝑥; з) 𝑒 − 𝑑𝑥.

3. 𝑦 = 𝑒 функцийн график, О𝑥 тэнхлэг,

𝑥 = 0, 𝑥 = ln3 шугамаар хязгаарлагдсан

дүрсийн талбайг ол.

𝒚 = 𝟏𝒙 функцийн интеграл 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 томьёог ашиглан 𝑥 𝑑𝑥 интегралыг бодож болохгүй. Учир

нь 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 болж бутархайн хуваарь тэг гарч байна.

Гэвч 𝑦 = ln 𝑥 функцийн уламжлал 𝑥 > 0 үед

(ln 𝑥) = тул 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

болно. Харин 𝑥 < 0 үед 𝑦 = ln 𝑥 функц тодорхойлогдохгүй боловч

𝑥 < 0 буюу −𝑥 > 0 үед 𝑑𝑥 = ln(−𝑥) + 𝐶 байх тул 𝑥 < 0 үед 𝑑𝑥 = ln(−𝑥) + 𝐶

болно.

Хэрэв энэ хоёр үр дүнг нэгтгэн бичвэл 1𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 болно.

Үүнтэй адилаар ln(𝑎𝑥 + 𝑏) = гэдгээс 𝑑𝑥 = ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶

болно.

Жишээ 1. Интеграл бод. a) 𝑑𝑥; б) 𝑑𝑥 Бодолт. Дээрх томьёог ашиглан интеграл бодъё. а) 17𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 17 ln|7𝑥 − 3| + 𝐶. б) 25 − 3𝑥 𝑑𝑥 = − 23 ln|5 − 3𝑥| + 𝐶 . Жишээ 2. + 𝑑𝑥 тодорхой интеграл бод.

Бодолт.Нийлбэрийн интеграл нэмэгдэхүүн интегралын нийлбэр болох тул + 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 = 2 ∙ − ln|1 − 3𝑥 | + ln|𝑥 + 5 | =− (ln11 − ln5) + ln9 − ln7 = − ln + ln гэж гарна.

Жишээ 3. 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. Интегралын доорх илэрхийлэл нь зөв биш рационал бутархай учир хүртвэрийг хуваарьт хувааж, бүхэл хэсгийг нь олж гурван функцийн нийлбэр болгоно. Интегралын чанар ашиглан нийлбэрийн интегралыг олно. 2𝑥 − 3𝑥 + 7𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑥 − 3𝑥 𝑥 + 7𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 3𝑥 + 7𝑥 𝑑𝑥= 23 𝑥 − 32 𝑥 + 7ln|𝑥| + 𝐶

Жишээ 4. 𝑦 = , 𝑦 = −𝑥 − 1 функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай

ол.

Бодолт. 𝑦 = , 𝑦 = −𝑥 − 1 функцийн графикаар

хязгаарлагдсан дүрсийг зурагт харуулав.

Хоёр функцийн графикийн огтлолцлын цэгийн абсциссыг олъё.

= −𝑥 − 1 ⇔ 𝑥 = 0 буюу 𝑥 = 1 болно.

Иймд дүрсийн талбай ( + 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 − 2| + + 𝑥 = − 2 ln 2 нэгж.кв

Жишээ 5. Уламжлал нь = байх функц өгөв.

a) 𝑦 функцийг ол. б) График нь (1,0) цэгийг дайрах 𝑦 функцийг ол.

Бодолт. а) Уламжлалын урвуу үйлдэл болох интегралыг нь бодвол 𝑦 = 𝑑𝑥 = ln|2𝑥 + 1| + 𝐶 (Энд 𝐶 – тогтмол тоо)

б) Өмнө олсон 𝑦 функцийн томьёонд 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 орлуулж 𝐶 –ийн утгыг олно. 0 = ln|2 ∙ 1 + 1| + 𝐶, 𝐶 = − ln 3

Иймд 𝑦 = ln|2𝑥 + 1| − ln 3 = ln | | гэж гарна.

Дасгал

4. Интеграл бод.

a) 𝑑𝑥; б) 𝑑𝑥; в) 𝑑𝑥;

г) 𝑑𝑥; д) 𝑑𝑥; e) 𝑑𝑥;

ё) − 𝑑𝑥; ж) − 𝑑𝑥; з) ( ) + 𝑑𝑥.

5. Тодорхой интеграл бод.

a) 𝑑𝑥; б) 𝑑𝑥; в) 𝑑𝑥;

г) 𝑑𝑥 ; д) ; e) 𝑑𝑥;

ё) 𝑑𝑥; ж) 2 + 𝑑𝑥 ; з) 𝑑𝑥.

6. Интеграл бод.

a) ((𝑥 − 1) + 3𝑒 ) 𝑑𝑥; б) 𝑑𝑥 ; в) + 3𝑒 𝑑𝑥;

г) 𝑑𝑥; д) 𝑑𝑥 ; e) 5√𝑒 − 𝑑𝑥; ё) 𝑒 + 𝑑𝑥; ж) √𝑒 − 𝑑𝑥 ; з) 𝑒 (𝑒 − 2𝑒 ) 𝑑𝑥.

7. 𝑦 = функцийн график, 𝑦 = 0 болон дараах шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн

талбай ол.

a)𝑥 = 3, 𝑥 = 6 ; б) 𝑥 = 4, 𝑥 = 8 ;

в) 𝑥 = , 𝑥 = 1; г) 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 2𝑎, 𝑎 > 0.

8. = ln 125 болохыг батал.

9. Дараах шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай ол.

a) 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 0 ; б) = , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 5 ;

в) 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥 = −3, 𝑥 = −2 ; г) 𝑦 = 2 + , 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 6 .

10. 𝑦 = муруй, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4 шулуун ба 𝑂 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан дүрс зурж,

талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол.

11. = байх y функцийн график (1,2) цэгийг дайрна. 𝑦 функцийг ол.

Тригонометрийн функцийн интеграл

Тригонометрийн функцийн уламжлал мэдэх тул интегралыг нь олж болно. Тухайлбал 𝑦 = sin 𝑥 функцийн уламжлал (sin 𝑥) = cos 𝑥 гэдгээс

cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

ба 𝑦 = cos 𝑥 функцийн уламжлал (cos 𝑥) = − sin 𝑥 гэдгээс

sin 𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

болно. Мөн 𝑦 = tg 𝑥 функцийн уламжлал (tg 𝑥) = = sec 𝑥 гэдгээс sec 𝑥 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶 болно.

Үүнтэй адилаар уламжлалын чанарыг ашиглавал (𝑘 ⋅ sin𝑥) = 𝑘 ⋅ cos𝑥 ба

(sin(𝑎𝑥 + 𝑏) ) = 𝑎 ⋅ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) болно. Иймд дифференциалчлахын урвуу үйлдэл

интегралчлах үйлдэл тул 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 томьёо ёсоор 𝑘 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ⋅ sin 𝑥 + 𝐶 ба cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶

болно.

Жишээ 1.а) 3 sec 𝑥𝑑𝑥; б) sin 4𝑡𝑑𝑡 функцийн интеграл бод.

Бодолт. Дээрх томьёо ёсоор

a) 3 sec 𝑥𝑑𝑥 = 3 tg 𝑥 + 𝐶

б) sin 4𝑡𝑑𝑡 = − cos 4𝑡 + 𝐶 гэж гарна.

Жишээ 2. 𝑑𝑥 тодорхой интегралыг бод.

Бодолт. ( ) = tg(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 ашиглая.

𝑑𝑥 = tg = tg ∙ − tg ∙ = ∙ tg = √3 гэж гарна.

Жишээ 3. 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. 𝑦 = ctg 𝑥 функцийн уламжлал (ctg 𝑥) = − = −cosec 𝑥

гэдгээс 𝑑𝑥 = cosec 𝑥 𝑑𝑥 = −ctg 𝑥 + 𝐶 болно.

Жишээ 4. cos − 3𝑥 𝑑𝑥 тодорхой интегралыг бод.

Бодолт. cos (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 томьёо ёсоор

cos − 3𝑥 𝑑𝑥 = − sin − 3𝑥 𝜋0 = − sin − 3 ∙ 𝜋 −sin − 3 ∙ 0 = − sin − − sin = √ болно.

Жишээ 5. cosec (3𝑥) 𝑑𝑥 тодорхой интеграл бод.

Бодолт. Жишээ 3-ын бодолтыг ашиглан интегралчилбал

cosec (3𝑥) 𝑑𝑥 = − ctg(3𝑥) = − ctg − ctg = 0 болно.

Жишээ 6. Хэрэв 𝐹 (𝑥) = 2 sin 5𝑥 + 3 cos функц өгсөн бол 𝐹 = 0 нөхцөл хангах 𝐹(𝑥) функц ол.

Бодолт. Интегралчлах ба дифференциалчлах үйлдэл харилцан урвуу үйлдэл

тул 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 болох ба энэ томьёог ашиглаж 𝐹(𝑥) функцийг олно. Иймд 𝐹(𝑥) = 2 sin 5𝑥 + 3 cos 𝑥2 𝑑𝑥 = − 25 cos 5𝑥 + 3 ∙ 2 sin 𝑥2 + 𝐶

болно. Одоо өгсөн нөхцөл ашиглая.

𝐹 𝜋3 = − 25 cos 5 ∙ 𝜋3 + 3 ∙ 2 sin 𝜋32 + 𝐶 = 0

Эндээс 𝐶 = болно. Иймд өгсөн нөхцөл хангах

𝐹(𝑥) = − 25 cos 5𝑥 + 6 sin 𝑥2 + 145

эх функц оллоо.

Жишээ 7. 𝑦 = cos функцийн график, О𝑥 тэнхлэг, 𝑥 = − , 𝑥 = шугамаар

хязгаарлагдсан дүрсийн талбай ол.

Бодолт. 𝑦 = cos функцийн график, О𝑥 тэнхлэг, 𝑥 = − , 𝑥 = шугамаар

хязгаарлагдсан дүрсийг зурагт харуулав.

Энэ дүрсийн талбай нь cos 𝑑𝑥 тодорхой интегралтай

тэнцүү. Зургаас харахад 𝑦 = cos функц нь тэгш функц

тул график нь О𝑦 тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Иймд энэ дүрсийн талбайг 0, завсар дээр олж хоёр

дахин авахад анхны олох дүрсийн талбай гарна.

cos 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑑𝑥 = 2 ∙ ∙ sin = 4 sin = 2√2 (нэгж кв ) болно.

Дасгал

12. Интеграл бод.

a) sin7𝑥𝑑𝑥 ; б) 3cos2𝑥 𝑑𝑥 ; в) 𝑑𝑥;

г) 4 sec 3𝑥𝑑𝑥 ; д) 3sin(1 − 2𝑥) 𝑑𝑥; e) 5 cos 3𝑥 − 𝑑𝑥;

ё) (cos 3𝑥 + 10sin5𝑥) 𝑑𝑥 ; ж) (4 sin 2𝑥 − 3cos 2𝑥)𝑑𝑥 ; з) cosec (2𝑥)𝑑𝑥.

13. Тодорхой интеграл бод.

a) sin3𝑥𝑑𝑥; б) cos 2𝑥 − 𝑑𝑥; в) sin 2𝑥 − 𝑑𝑥 ;

г) sec 2𝑥𝑑𝑥 ; д) ; e) sin − 𝑥 𝑑𝑥 ;

ё) cos𝑒𝑐 𝑑𝑥 ; ж) (4 − 3cos2𝑥) 𝑑𝑥 ; з) 2sec 𝑑𝑥.

14. Интеграл бод.

a) sin 3𝑥 + 3 cos 𝑥 − sin 𝑑𝑥 ; б) − sec 2𝑥 𝑑𝑥 ;

в) + 3𝑒 − sin − 𝑥 𝑑𝑥 ; г) sin 2𝑥 − + 𝑒 𝑑𝑥;

д) ( + )𝑑𝑥 ; e) 5 cos 3𝑥 − − 𝑑𝑥 .

15. а) Хэрэв 𝐹 (𝑥) = sin 2𝑥 + 3𝑥 функц өгсөн бол 𝐹(0) = 2 нөхцөлийг хангах 𝐹(𝑥) функц ол.

б) Хэрэв 𝐹 (𝑥) = 1 + 𝑥 + cos 2𝑥 функц өгсөн бол 𝐹(0) = 1 нөхцөлийг хангах 𝐹(𝑥) функц ол.

16. Хэрэв 𝑓(𝑥) = 3 − cos(2 − 𝑥) функцийн график 𝑀(2; 6) цэгийг дайрах бол 𝑓(𝑥)-ийн эх функцийг ол. 17. Тэгшитгэл бод.

a) = 2; б) 𝑒 𝑑𝑡 = 1; в) 2cos 3𝑡𝑑𝑡 = 0 , 𝑥 ∈ 0, 𝜋 .

18. 𝑦 = cos2𝑥 функцийн график, Оx тэнхлэг, 𝑥 = − ,𝑥 = шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай ол.

/Зураг/

19. 𝑦 = sin𝑥 функцийн графикийн 0; 𝜋 завсар дээрх дүрсийн талбайг ол.

20. 𝑦 = cos 2𝑥 функцийн график, 𝑥 = , 𝑥 = шулуун, 𝑂 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан

дүрс зурж, талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол.

5.2. РАЦИОНАЛ ФУНКЦИЙН ИНТЕГРАЛ

Бид рационал функцийг тодорхой бус коэффицентийн аргаар хялбар рационал функцийн нийлбэр болгон задлахыг үзсэн.

Мөн , ( ) хялбар рационал функцийн эх функцийг олж чадна. Тухайлбал 𝑑𝑥 = ln|𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶 ба ( ) = ( ) (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶,

болно. Энд 𝑎, 𝑏, 𝑛, 𝐶 – тогтмол тоо байна.

Тодорхой бус коэффицентийн арга ашиглан рационал функцийн интеграл бодохыг жишээгээр харуулья.

Жишээ 1. ( )( ) 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. Тодорхой бус коэффицентийн аргыг ашиглан ( )( ) рационал бутархайг

хоёр хялбар рационал функцийн нийлбэр болгоно.

𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 𝐴𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 + 2 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 𝑥(𝐴 + 𝐵) + 2𝐴 − 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

Эндээс 𝐴 = , 𝐵 = гэж гарна. Иймд өгсөн интеграл

( )( ) 𝑑𝑥 = ( ) 𝑑𝑥 + ( ) 𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 1| + ln|𝑥 + 2| + 𝐶, гэж гарна.

Жишээ 2. 𝑑𝑥 интеграл бод.

Бодолт. Хэрэв бутархайн хуваарийг үржигдэхүүн болгон задалбал

𝑥 − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) болно.

Иймд хэрэв ( )( ) рационал функцийг тодорхой бус коэффицентийн аргаар хялбар

рационал функцийн нийлбэр болгон задалбал 𝑥 − 1(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 𝐴𝑥 + 2 + 𝐵𝑥 − 3 = 𝑥(𝐴 + 𝐵) − 3𝐴 + 2𝐵(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)

болно. Эндээс 𝐵 = 𝐴 = гэж гарах тул

𝑥 − 1(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 35𝑥 + 2 + 25𝑥 − 3 = 35(𝑥 + 2) + 25(𝑥 − 3)

хоёр хялбар рационал функцийн нийлбэр болж байна.

Өгсөн интеграл 𝑥 − 1𝑥 − 𝑥 − 6 𝑑𝑥 = 35𝑥 + 2 + 25𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 35 ln|𝑥 + 2| + 25 ln|𝑥 − 3| + 𝐶

гэж гарна.

Жишээ 3. ( ) 𝑑𝑥 интегралыг бод.

Бодолт. Хуваарь нь (𝑥 + 1) тул

( ) = + ( )

гэж хялбар рационал функцийн нийлбэр болгон задална. Эндээс 𝐴 = 9, 𝐵 = −7 гэж гарна. Иймд 9x + 2(𝑥 + 1) = 9𝑥 + 1 + −7(𝑥 + 1) = 9𝑥 + 1 − 7(𝑥 + 1)

болно. Өгсөн интеграл

( ) 𝑑𝑥 = − ( ) 𝑑𝑥 = ( ) 𝑑𝑥 − ( ) 𝑑𝑥 = 9ln|𝑥 + 1| − ( ) =9ln|𝑥 + 1| + + 𝐶

Жишээ 4. ( )( )( ) 𝑑𝑥 интегралыг бод.

Бодолт. Интегралын доорх рационал функцийг тодорхой бус коэффицентийн аргаар хялбар рационал функцийн нийлбэр болгон задалъя. 3𝑥 + 19𝑥 − 32(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 2) + 𝐶(𝑥 + 4) 3𝑥 + 19𝑥 − 32(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 4) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)

Иймд 3𝑥 + 19𝑥 − 32 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 4) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

адилтгал биелнэ. Эндээс 𝐴 = 2, 𝐵 = 3, 𝐶 = −2 гэж гарах тул 3𝑥 + 19𝑥 − 32(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) = 2𝑥 − 1 + 3𝑥 − 2 + −2𝑥 + 4

болно. Өгсөн интеграл 3𝑥 + 19𝑥 − 32(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = 2(𝑥 − 1) + 3(𝑥 − 2) − 2(𝑥 + 4) 𝑑𝑥 =

= 2(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 3(𝑥 − 2) 𝑑𝑥 − 2(𝑥 + 4) 𝑑𝑥 = = 2ln|𝑥 − 1| + 3ln|𝑥 − 2| − 2ln|𝑥 + 4| + 𝐶

Жишээ 5. ( )( ) 𝑑𝑥 интегралыг бод.

Бодолт. (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) хэлбэрийн хуваарьтай рационал функцийг тодорхой бус коэффицентийн аргаар хялбар рационал функцийн нийлбэрт задлахыг үзсэн. Иймд 𝑥 + 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 𝐴𝑥 − 2 + 𝐵𝑥 + 1 + 𝐶(𝑥 + 1)

болно. Эндээс 𝐴 = , 𝐵 = − , 𝐶 = − гэж гарна. Өгсөн функцээ 𝑥 + 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 49(𝑥 − 2) − 49(𝑥 + 1) − 13(𝑥 + 1)

гэсэн гурван хялбар рационал функцийн нийлбэр болгон задаллаа.

Одоо өгсөн интеграл 𝑥 + 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 49(𝑥 − 2) − 49(𝑥 + 1) − 13(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 49 ln|𝑥 − 2|− 49 ln|𝑥 + 1| − 13 (𝑥 + 1)−2 + 1 + 𝐶 = 49 ln 𝑥 − 2𝑥 + 1 + 13(𝑥 + 1) + 𝐶

болно.

Жишээ 6. 𝑑𝑥 тодорхой интеграл бод.

Бодолт. Интегралын доорх функц зөв биш рационал бутархай тул бүхэл хэсгийг нь ялгаж, олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн нийлбэр болгоё. 𝑥𝑥 + 𝑥 − 6 = 𝑥 + 𝑥 − 6 − 𝑥 + 6𝑥 + 𝑥 − 6 = 1 − 𝑥 − 6(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

( )( ) нь зөв рационал бутархай тул тодорхой бус коэффицентийн аргаар задалъя. 𝑥 − 6(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 + 3)

Эндээс 𝐵 = , 𝐴 = − гэж гарна.

Иймд өгсөн интеграл 𝑑𝑥 = 1 − ( )( ) 𝑑𝑥 = 𝑥 − + 𝑑𝑥 = 1 − − ln|𝑥 − 2| +ln|𝑥 + 3| = 1 − ln2 + ln3 болно.

Жишээ 7. Хэрэв 𝑓 (𝑥) = , 𝑓(4) = − ln 2 бол 𝑓(𝑥) функцийг ол.

Бодолт. 𝑓 (𝑥) = гэж өгсөн тул

𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥 = + 𝑑𝑥 = ln + 𝐶 гарах ба өгсөн нөхцөлийг

тооцвол 𝑓(4) = ln + 𝐶 = − ln 2 болно. Эндээс 𝐶 = 0 гэж гарна. Иймд 𝑓(𝑥) = ln .

Дасгал

21. Дараах рационал функцийн интеграл бод.

a) ( ) 𝑑𝑥 ; б) ( )( ) 𝑑𝑥 ; в) ( )( ) 𝑑𝑥;

г) ( )( ) 𝑑𝑥 ; д) ( )( ) 𝑑𝑥 ; е) 𝑑𝑥;

ё) 𝑑𝑥 ; ж) 𝑑𝑥 ; з) ( ) 𝑑𝑥;

и) ( ) 𝑑𝑥 ; к) ( ) 𝑑𝑥; л) ( )( )( ) 𝑑𝑥.

22. Интеграл ол.

a) 𝑑𝑥 ; б) 𝑑𝑥; в) 𝑑𝑥; г) 𝑑𝑥 ; д) 𝑑𝑥 ; е) 𝑑𝑥.

23. Интеграл доорх бутархайн бүхэл хэсгийг ялган интеграл бод.

a) 𝑑𝑥 ; б) 𝑑𝑥 ; в) 𝑑𝑥; г) 𝑑𝑥; д) 𝑑𝑥; е)

( ) 𝑑𝑥 ;

ё) 𝑑𝑥; ж) 𝑑𝑥; з) 𝑑𝑥.

24. Тодорхой интеграл бод.

a) ( )( ) 𝑑𝑥; б) ( )( ) 𝑑𝑥; в) 𝑑𝑥 ;

г) ( ) 𝑑𝑥; д) 𝑑𝑥; е) 𝑑𝑥; ё) 𝑑𝑥; ж) 𝑑𝑥; з) 𝑑𝑥.

25. Хэрэв 𝑓 (𝑥) = , 𝑓(2) = − ln 4 бол 𝑓(𝑥) функцийг ол.

26. 𝑦 = функцийн график, О𝑥 тэнхлэг 𝑥 = 0, 𝑥 = 3 шугамаар хязгаарлагдсан

дүрсийн талбай ол.

Бүлгийн нэмэлт даалгавар:

1. 𝑥 хувьсагчаар интегралчилж бод.

a) 5𝑒 − 2√𝑒 ; б) 4𝑒 + ; в) 9𝑒 + 7𝑥 ;

г) 𝑒 + ; д) 𝑒 − ; e) + 4𝑒 ∙ 𝑒 ; ё) 𝑒 + − ; ж) + 2; з) 0.8√𝑒 − ;

и) −sin(2𝑥 − 1) + 4 cos ; к) + sin 2𝑥 − ; л) + 3𝑒 − sin − 𝑥 .

2. Интеграл бод.

a) − 𝑒 𝑑𝑥; б) sin 𝑥 + 𝑑𝑥; в) 3𝑒 + 𝑑𝑥; г) ( ) 𝑑𝑥; д) 𝑑𝑥; e) cos 2𝑥 − + 7𝑒 𝑑𝑥; ё) 𝑑𝑥; ж) ((2𝑥 − 1) − 4𝑒 ) 𝑑𝑥; з) 2𝑒 (𝑒 − 3𝑒 ) 𝑑𝑥;

и) (1 − 3𝑥) + 𝑑𝑥; з) 𝑑𝑥; к) √𝑒 − sec 𝑑𝑥. 3. Тодорхой интеграл бод.

a) 2cos 𝑥 𝑑𝑥; б) sin 2𝑥𝑑𝑥 ; в) sin 3𝑥 + 𝑑𝑥; г) − 𝑒 𝑑𝑥; д) sin − 𝑑𝑥; е) ; ё) 𝑑𝑥 ; ж) 𝑑𝑥; з) (( ) + cos 𝜋𝑥) 𝑑𝑥. 4. Дараах рационал функцийн бүх эх функцийг ол.

a) ( )( ) ; б) ( )( ) ; в) ( )( ) ;

г) ( )( ) ; д) ( )( ) ; е) ( )( ) ;

ё) ; ж) ; з) – ;

и) ; й) ; к) . 5.

( )( ) 𝑑𝑥 тодорхой интеграл бод.

a) 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 5𝑥 + 2 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 3; б) 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − 6 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1; в) 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 − 1 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2 ;

г) 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 + 1 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1; д) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 − 2 𝑄(𝑥) = 3𝑥 + 1; е) 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 + 3𝑥 − 2 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 3.

6. а) Хэрэв 𝐹 (𝑥) = 4𝑒 + функц бол 𝐹(1) = 0 нөхцөл хангах 𝐹(𝑥) функц ол.

б) Хэрэв 𝐹 (𝑥) = + cos 2𝑥 функц бол 𝐹(0) = 1 нөхцөл хангах 𝐹(𝑥) функц ол.

7. Тэгшитгэл бод.

a) = ln 5 ; б) 𝑒 𝑑𝑡 = 0; в) 4cos 2𝑡𝑑𝑡 = 1, 𝑥 ∈ 0, 𝜋 .

8. Дараах шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбай ол.

a) 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1; б) 𝑦 = , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2; в) 𝑦 = 𝑒 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = ln 2 ; г) 𝑦 = 2 + 𝑒 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1; д) 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋; е) 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = ;

ё) 𝑦 = 2 cos 𝑥 , 𝑦 = 1, 𝑥 = − , 𝑥 = ; ж) 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦 = , 𝑥 = , 𝑥 = .

9. 𝑦 = cos𝑥 функцийн графикийн 0; 𝜋 завсар дээрх дүрсийн талбай ол.

10. a) 𝑦 = 𝑒 функцийн график, 𝑥 = , 𝑥 = 1 шулуун, 𝑂 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан

дүрс зурж, талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол.

б) 𝑦 = функцийн график, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 шулуун, 𝑂 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан

дүрс зурж, талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол.

в) 𝑦 = sin 3𝑥 функцийн график, 𝑥 = , 𝑥 = шулуун, 𝑂 тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрс зурж, талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол.

5.5 𝒇 (𝒙)𝒇(𝒙) 𝑑𝑥 хэлбэрийн интеграл бодох

1lndx x C

x (1) байдгийг бид мэднэ. Энд хэрэв 0x байвал

1lndx x C

x

гэж бичиж болно. Энэ (1) томьёог хэрэглэх хэдэн хялбар жишээ авч үзье.

Жишээ 1. 1 1 1 1

ln2 2 2

dx dx x Cx x

. (Тогтмол тоон үржигдэхүүнийг

интегралын өмнө гаргаж болно)

Жишээ 2. 2 1 1 2

2 2 ln 3 1 ln 3 13 1 3 1 3 3

dx dx x C x Cx x

. (Хэрэв

f x dx F x C бол 1f kx b dx F kx b С

k байна.)

Жишээ 3.

3 1 33 3 3 3 33 3 3ln 1

1 1 1 1

xx xdx dx dx dx x x С

x x x x

Бодлого. 2

2

1

xdx

x тодорхойгүй интегралыг бод.

Энэ бодлогыг өмнө үзсэн рационал бутархайг интегралчлах аргаар бодож болохгүй.

Рационал бутархайг интегралчлахад хэрэв интегралын дорх функц нь 'f x

f x

хэлбэртэй байвал 1

lndx x Сx

томьёо руу шилжүүлэн бодох боломжийг дараах

теорем олгоно.

Теорем. '

lnf x

dx f x Сf x

(2) байна.

Баталгаа. Хэрвээ lny f x функц өгсөн байвал давхар функцийн уламжлал олох

томьёо ёсоор

' lnf x

y f xf x

гэж гарна. Интеграл нь уламжлалын урвуу

үйлдэл тул 0f x үед '

lnf x

dx f x Сf x

, 0f x үед

'

lnf x

dx f x Сf x

гэж гарна.

Энэ хоёр тохиолдлыг нэгтгэн '

lnf x

dx f x Сf x

гэж бичиж болно.

Тэгвэл дээрх бодлогын хувьд 2 1 2x x байгаа тул терем ёсоор

22

2ln 1

1

xdx x C

x

болно. Энд 2 1 0x тул 2 21 1x x юм.

Функцийн дифференциал

Бид функцийн уламжлалыг 'dy

ydx

гэж тэмдэглэдгийг мэднэ. Үүнийг 'dy y dx

гэж өөрчлөн бичиж болдог. Үүнийг интеграл бодох, дифференциал тэгшитгэл бодоход олонтаа ашиглах болно. (Яагаад ингэж бичиж болдгийн нарийн учрыг

сонгон суралцах хөтөлбөрт үзэх болно.) y f x функцийн хувьд энэ бичиглэл -

'df x f x dx хэлбэртэй болно. df x -ийг f x функцийн дифференциал

гэх бөгөөд энэ томьёоноос харвал функцийн дифференциал нь функцийн уламжлалыг dx -ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байдаг ажээ. Дээрх теоремийн хувьд

функцийн дифференциалын тодорхойлолт ёсоор 'f x dx df x байх тул

' 1

lnf x

dx df x f x Сf x f x

гэж гарна. Энэ нь (2) томьёоны бас нэг

баталгаа юм.

Жишээ 1. 1

3dx

x интегралыг функцийн дифференциал ашиглан бод.

Бодолт. 3dx d x тул1 1

( 3)3 3

dx d xx x

гэж бичиж болох ба 3t x

гэсэн орлуулга хийвэл 1

lndt t Сt

болно. Орлуулгаа буцаавал

1ln 3

3dx x С

x

гэж гарна.

Жишээ 2. 3

3 2

dx

x интегралыг бод.

Бодолт. ln 3 2y x функцийн уламжлал олъё. Давхар функцийн уламжлал олох

dy dy dt

dx dt dx томьёо ашиглая. Хэрэв 3 2t x орлуулга хийвэл lny t болох ба

1 1

3 2

dy

dt t x

, 3

dt

dx гэж тус тус гарах тул

1 33

3 2 3 2

dy dy dt

dx dt dx x x

болно. Эндээс 3

ln 3 23 2

dx x Сx

болно. Энэ үр дүнг ерөнхийлөн

дараах дүгнэлт хийж болно.

Хэрвээ lny f x гэж өгсөн байвал 'f xdy

dx f x тул урвуугаар

'

lnf x

dx f x Сf x

гэж гарна.

Жишээ 3. 12

3 2

dx

x интегралыг бод.

Бодолт. 4ln 3 2y x функц өгсөн байг. Энэ функцийн уламжлал нь

34

3 2

dy

dx x

гэж гарах тул

3 34 4 4 ln 3 2

3 2 3 2dx dx x С

x x

байна.

Иймд өмнөхөөс илүү ерөнхий дүгнэлт хийж болно:

Дасгал

1. Интегралыг '

lnf x

dx f x Сf x

томьёо ашиглан бод

а. 4

dxx б.

3

3 4dx

x в. 2

23

5

xdx

x г. 2

3

6

2 1

xdx

x

д. 2

4 15

2 1

xdx

x x

д. 2

3

8

2 1

xdx

x e. 2

4

8 17

xdx

x x

ё.

2

12

1

xdx

x x

ж. 2

3 123

xdx

x x

з.

2

8 2

2 5

xdx

x x

и.

2

3 2

3 2y ydy

y y

k.

3

4

3

4

tdt

t

2. Олон гишүүнтийн хуваах үйлдэл ашиглан бүхэл хэсэг ялгаж интеграл бод

а. 2

2

3 17 5

5

x xdx

x x

б.

2

2

3 4 2

2

x xdx

x x

в.

4 3 2

3 2

3 2x x x xdx

x x

г. 3

2 1

x xdx

x

д.

2

2

1

1

xdx

x

e.

2

2

2 4

4

x xdx

x

3. Интегралыг дараах мөрөнд буй зөв хариутай нь холбоорой. Жишээ болгон нэгийг холбож үзүүллээ.

Хэрвээ lny k f x бол 'f xdy

kdx f x

тул

урвуугаар '

lnf x

k dx k f x Сf x

гэж гарна.

    

 

 

 

4. Бодлогын бодолтын бичлэг дэх дотор байх илэрхийллийг нөхөж бич.

Бодлого. 2

6

4

xdx

x

интеграл бод.

Бодолт: 2 4x x учраас

22 2 2

6 33 3ln 4

4 4 4

x xdx dx dx x C

x x x

болно. 2 4 0x тул

2 24x x . Иймд 22

6ln 4

4

xdx x C

x

гэж гарна.

5. Хосоор ажиллаж дараах бодлогын бодолтын алдааг олоорой.

Бодлого. cos sin

sin cos

x xdx

x x

интегралыг бод.

Бодолт. sin cos cos sinx x x x тул cos sin

ln cos sinsin cos

x xdx x x C

x x

.

6. 2

5

2 2

xdx

x тодорхойгүй интегралын хоёр өөр бодолтыг харьцуулж дүгнэлт

гаргаарай.

1 дүгээр бодолт. 2 2

5 5

2 2 2 1

x xdx dx

x x

болох тул 2 1

x

x бутархайг хялбар

бутархайнуудын нийлбэрт тодорхойгүй коэффициентийн аргаар задлая.

2 1 1 1 1 1

x x A B

x x x x x

хэлбэртэй задрах ёстой. Хуваариас чөлөөлбөл

1 1x A x B x болох ба эндээс x A B x B A гэж гарна. Олон

гишүүнтийн тэнцэх нөхцөлөөс 1

0

A B

B A

тэгшитгэлийн систем гарах ба эндээс

1 1,

2 2A B гэж гарна. Иймд

2

1 1

1 2 1 2 1

x

x x x

болов. Ийнхүү

2 2

2

5 5 5 1 1 1

2 2 2 1 2 2 1 1

5 5ln 1 ln 1 ln 1 .

4 4

x xdx dx dx

x x x x

x x C x C

2 дугаар бодолт. 2

22 2 2

15 5 2 5 5ln 1 .

2 2 4 1 4 1 4

xx xdx dx dx x C

x x x

7. Дараах интегралыг хэрхэн бодох талаар таамаглал дэвшүүлж, багаар ажиллаж бодоорой.

a. x x

x x

e edx

e e

б. tgx dx в. ctgx dx

8. Тодорхойгүй интеграл бод

а. cos

2 sin

xdx

x б. 2

3 5

xdx

x в. 36

x

x

edx

e г. 2

2

3

7

x

x

edx

e

9. Багаар ажиллах дадлага ажил.

'

lnf x

dx f x Cf x

томьёог ашиглан бодох хоёр жишээг өөрсдөө зохиогоод

бусад багуудаараа бодуулж, үнэлгээ өгөөрэй. Үнэлгээ өгөх шалгуурыг багаараа хэлэлцэн боловсруулна. Тухайлбал ямар үед бүтэн 5 оноо өгөх, ямар үед 1 оноо өгөх гэх мэтээр өгөх оноогоо эхлээд тохиролцсон байна.

10. Тодорхойгүй интеграл бод

а. cos

sin 1

xdx

x б. 2cos

ctg

xdx

x в. 2

2

2x x

x x

e edx

e e

г. tg3xdx

5.6 '

lnf x

dx f x Cf x

томьёо ашиглан тодорхой интеграл бодох

'

lnf x

dx f x Cf x

томьёо нь тодорхой интегралын хувьд дараах хэлбэртэй

болно.

'

ln ln lnb

b

aa

f xdx f x f b f a

f x .

Жишээ 1. Тодорхой интегралыг бод 3

22

2

1

xdx

x

Бодолт. 2 1 2x x тул 33

22

2 2

2ln 1 ln10 ln 5 ln 2

1

xdx x

x

.

Жишээ 2. 2

1

4

4 3dx

x тодорхой интегралыг бодож, хариуг 0.01 нарийвчлалтай

тоймло.

Бодолт. 2 2

11

4 11ln 4 3 ln11 ln 7 ln 0.19629 0.20

4 3 7dx x

x

.

Жишээ 3. 1

20

12

1

xdx

x x

тодорхой интеграл бод.

11 1

22 2

00 0

11 2 1 1 1 12 ln 1 ln 3 ln1 ln 3

1 2 1 2 2 2

x xdx dx x x

x x x x

.

Жишээ 4. а. tgy x функцийн графикийг 2 2

x

завсар дээр байгуул

б. tgy x функцийн график, 4

x

шулуун,Ox тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг 0.01 нарийвчлалтай тоймлон олоорой.

в. tgy x функцийн график, ,4 6

x x

шулуун,Ox тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрс зурж талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол. Бодолт. а. tgy x функцийн график нь 1.а зураг дээрх муруй шугам болно.

б. Талбайг нь олох дүрс нь 1.а. зураг дахь зураасласан хэсэг болно. Энэ талбай нь

4 4 44

0 0 0 0

1

cossintg ln cos

cos cos

1lncos ln cos 0 ln ln1 ln 2 ln 2 0.35

4 2

xxS xdx dx dx x

x x

в. 1 дүгээр арга. Талбайг нь олох дүрс нь 1.б. зураг дээрх зураасласан хэсэг болно.

Зураг 1.а. Зураг 1.б. Талбайг нь олох муруй шугаман трапец Ox тэнхлэгийн доор байрлажээ. 11 дүгээр ангид үзсэн нэгэн чанарыг эргэн саная. Хэрэв 𝑦 = 𝑓(𝑥) функцийн график 𝑎, 𝑏 хэрчим дээр 𝑂𝑥 тэнхлэгийн доор оршиж байвал энэ функцийн график ба 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 шулуун, 𝑂𝑥 тэнхлэгээр хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийн талбай

𝑆 = − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 -тай тэнцүү.

Иймд энэ чанарыг ашиглан талбайг нь олъё.

22x

y

0

4 22x

y

04 6

2 дугаар арга. 6

4

tgS xdx

интегралыг мөн 11 дүгээр ангид үзсэн интегралын 4

дүгээр чанарыг ашиглан бодож болно.

(4) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

4 дүгээр чанар ёсоор:

6 4

4

64 6

tg tg ln cos ln cos ln cos4 6

3 2 3 2 3ln ln ln ln ln 0.203.

2 2 2 2 2

S xdx xdx x

Жишээ 5. а. 2

2

1

xf x

x

функцийг уламжлал ашиглан шинжилж графикийг

байгуул. Хэвтээ ба босоо асимптотыг олж, зураарай

б. 2

2

1

xf x

x

функцийн график ба 2, 3x x шулуун, Ox тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол. Бодолт. а. Энэ функцийн графикийг байгуулъя.

I. Тодорхойлогдох муж. Функц 2 1 0x буюу 1x үед утгагүй. Иймд

функцийн тодорхойлогдох муж нь ; 1 1;1 1; гэж гарна.

II.

2 2

2 2

11

x xf x f x

xx

тул сондгой функц. Иймд график нь

координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

III. f x 2

20 гэдгээс2 0буюу 0

1

xx x

x

. Мөн 0x үед 0 0f тул

функцийн график (0,0) цэгийг дайрна.

IV. Сэжигтэй цэг.

2 2

2 22 2

2 1 2 2 2 10

1 1

x x x xf x

x x

тул функц

сэжигтэй цэггүй. Энд 2 1 0x .

6 66

44 4

costg ln cos ln cos ln cos

cos 6 4

3 2 3 3ln cos ln cos ln ln ln ln 0, 203.

6 4 2 2 22

xS xdx dx x

x

V. 0f x байгаа тул функц тодорхойлогдох муж дээрээ буурна.

Экстремумын цэггүй. VI. Хэвтээ ба босоо ассимптот. 2 1 0x тэгшитгэлээс 1x гэж гарах тул

1, 1x x гэсэн хоёр босоо асимптоттой. Хүртвэрийн зэрэг нь хуваарийн

зэргээс бага тул 0y шулуун хэвтээ асимптот болно.

VII. Дээрх үр дүнгүүдэд үндэслэн графикийг тоймлон зурвал (Асимптотуудын хооронд нэмэлт нэгээс хоёр цэг олж тэмдэглэнэ.) дараах график гарна (Зураг 2 үз ).

y

x11 3

Зураг 2.

б. Талбайг нь олох дүрс нь зураг 2. дээрх саарал өнгөөр будсан дүрс юм.

2 1 2x x учраас олох талбай нь

3

32

2 22

2 8ln 1 ln 8 ln 3 ln 0.98

1 3

xS dx x

x

.

Жишээ 6. 1

1 6

x

x

edx

e тодорхой интегралыг бод.

Бодолт. 6 x xe e тул

0

0

11

1 3ln 2 ln 1 2 ln 2 ln

2 2 1

xx

x

e edx e

e e e

.

Дасгал. 1. Тодорхой интеграл бодоорой.

а. 1

20

2

1

xdx

x б. 2

1

3

3 1dx

x в. 3

21

1

2

xdx

x x

г.

2 2

31

6

2 1

xdx

x

2. Тодорхой интегралыг 0.01 нарийвчлалтай бодоорой

а. 1

21

4 1

2 1

xdx

x x

б.

5

24

4

8 17

xdx

x x

в.

1

2

20

12

1

xdx

x x

3. Тодорхой интегралыг бод.

а. 0

cos

3 sin

xdx

x

б. 1 2

20

2

7

x

x

edx

e в.

2

3

2

2

sin 2

cos

xdx

x

4. tgy x функцийн график, ,6 3

x x

шулуун ба ,Ox Oy тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрс зурж талбайг 0,001нарийвчлалтай тоймлон ол.

5. а. 2

2

4

xf x

x

функцийг уламжлал ашиглан шинжилж графикийг байгуул.

Хэвтээ ба босоо асимптотыг олж, зураарай

б. 2

2

4

xf x

x

функцийн график, 3, 4x x шулуун, Ox тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

в. 2

2

4

xf x

x

функцийн график, 1x шулуун, Ox ба Oy тэнхлэгээр

хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол.

6. Хэрэв2

0

23

4

k xdx

x

бол k -ийн утгыг 0,01 нарийвчлалтай олоорой.

5.7 Орлуулах аргаар тодорхой болон тодорхой бус интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэн бодох

√ 𝑑𝑥 энэ интегралыг яаж бодох вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлье.

Өмнө үзсэн аргуудаар энэ интегралыг бодох боломжгүй юм. Тэгвэл 𝑥-ээс хамаарсан илэрхийллийг шинэ хувьсагчаар илэрхийлснээр өгсөн

интегралыг бодож болдог. Интегралыг 1dx F x

x x

гэж тэмдэглэе.

Интегралчилах ба уламжлал авах нь харилцан урвуу тул

𝐹′(𝑥) = 1𝑥 + √𝑥

болно. Энэ функц нь квадрат язгуур агуулж байна. Иймд 𝑥 = 𝑢 орлуулга хийе. Тэгвэл 𝐹(𝑥) нь давхар функц болох ба давхар функцээс уламжлал авах дүрмээр 𝐹 (𝑥) = 𝑑𝐹𝑑𝑥 = 𝑑𝐹𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑢𝑑𝑥 = 1𝑢 + 𝑢 ∙ 2𝑢 = 2𝑢 + 1

Гэж гарна. 𝐹(𝑥) –ийн уламжлал нь 𝑢 хувьсагчаас хамаарсан, өмнөхөөс хялбар функц гарсан байна. Эндээс 𝐹(𝑥) -ийг 𝑢-аар интеграл аван олж чадна. 𝐹(𝑢) = 2𝑢 + 1 𝑑𝑢 = 2 ln|𝑢 + 1| + 𝐶 𝑢 хувьсагчийн оронд √𝑥 ийг орлуулж анхны интегралыг олно. 𝐹(𝑥) = 1𝑥 + √𝑥 𝑑𝑥 = 2 ln √𝑥 + 1 + 𝐶

(√𝑥 + 1 > 0 тул модулийн тэмдэг шаардлагагүй). Дээрх аргыг интегралыг бодох орлуулах арга гэнэ. Ерөнхий тохиолдолд: 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 интегралыг бодохын тулд 𝐹 (𝑥) = = 𝑓(𝑥) тэгшитгэлд 𝑥 = 𝑔(𝑢) орлуулга хийе. 𝑓 нь давхар функц болно. Тэгвэл давхар функцээс уламжлал авах дүрмээр 𝑑𝐹𝑑𝑢 = 𝑑𝐹𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑢 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑢 = 𝑓 𝑔(𝑢) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑢 = ℎ(𝑢) ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑢

гэж гарна. Энд 𝑓 𝑔(𝑢) = ℎ(𝑢) давхар функц. ℎ(𝑢) ∙ интегралыг бодож, 𝑢 хувсагчийн оронд 𝑔 (𝑥) гэж орлуулж 𝐹(𝑥)-ийг олно. Орлуулах арга 𝑥 = 𝑔(𝑢) ба 𝑓 𝑔(𝑢) = ℎ(𝑢) орлуулгаар 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 интеграл нь түүнтэй тэнцүү ℎ(𝑢) ∙ 𝑑𝑢 хялбар интегралд шилжих ба дараа нь 𝑢 хувьсагчийн оронд 𝑔 (𝑥)

орлуулж анхны интегралыг олно.

Тодорхойгүй интегралд хувьсагчийг солихдоо 2 аргаар орлуулга хийдэг. 1) 𝑥 = 𝑔(𝑢). Энд 𝑔(𝑢) нь уламжлалтай, урвуутай функц байх хэрэгтэй. 𝑢 нь шинэ хувьсагч юм.

Энэ тохиолдолд орлуулах арга нь 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑢) 𝑔′(𝑢) 𝑑𝑢 хэлбэртэй болно.

2) 𝑢 = ℎ(𝑥). Энд 𝑢 нь шинэ хувьсагч, 𝑓(𝑥)𝑑𝑥-ийн нэг хэсэг нь ℎ(𝑥), үлдсэн хэсэг нь ℎ′(𝑥)𝑑𝑥 байх юм. Энэ тохиолдолд орлуулах арга нь 𝑓 ℎ(𝑥) ℎ′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 хэлбэртэй болно.

Санамж . Практикт ихэвчлэн хоёр дахь хэлбэрийн орлуулгыг хийдэг. Орлуулах аргаар интеграл бодоход 𝑢 = ℎ(𝑥) тэнцэтгэлийн хоёр талыг дифференциалчилбал 𝑑(𝑢) = ℎ′(𝑥)𝑑𝑥 байдгийг олонтаа ашиглана.

Жишээ 1. 5x x dx интеграл бод

Бодолт. 5u x гэж орлуулъя. Эндээс 5x u ба du dx гэж гарах тул

3 1 5 3

2 2 2 2

5 3

2 2

2 105 5 5

5 3

2 10 2 105 5 5 5 5 .

5 3 5 3

x x dx u udu u u du u u C

x x C x x x C

Жишээ 2. sin cosx xdx интегралыг бод.

Бодолт. Энэ интегралыг өмнөх бүлэгт үзсэн аргуудаар бодох боломжгүй байна. sinu x гэж орлуулъя. sin cosdu d x xdx болно. Бидний бодох интеграл

sin cosx xdx udu гэсэн хялбар, зэрэгт функцийн интеграл боллоо.

Иймд √𝑢𝑑𝑢 = 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶. Одоо хэрэв sinu x гэж орлуулбал

32sin cos sin

3x xdx x C болно.

Жишээ 3. 22

1

11

dx

xx

интегралыг бод.

Бодолт. 𝑢 = 1 − гэж орлуулъя. Тэгвэл 22

1 11du dx x dx dx

x x

тул

2 12

2 22

1 11

1 1

2 111

1 11 .

1

udx du u du C

ux

x

x xu C C C C

x x x

Жишээ 4. 152 2x x dx интеграл бод.

Бодолт. 2 2u x гэвэл 2du xdx болох ба эндээс1

2xdx du гэж гарна. Иймд

1615 152 2 15 15 16

162

1 1 1 12 2

2 2 2 16 321

2 .32

ux x dx x xdx u du u du C u C

x C

Жишээ 5. 3

3 2

sin xdx

x интеграл бод.

Бодолт. 𝑢 = √𝑥3 гэе. Эндээс 3x u гэж гарна. Хоёр талыг дифференциалчилбал 23dx u du болно. Энэ орлуулгыг хийснээр синусын тэмдэг дор интегралын

хувьсагч язгуургүй болох болно. Иймд

23

23 2

sin sin 33 sin 3cos

x u u dudx udu u C

ux

гэж гарна.

𝑢 = √𝑥3 орлуулгаа буцаавал 3

3

3 2

sin3cos

xdx x C

x болно.

Жишээ 6. 2 3 5x x dx интегралыг бод.

Бодолт. 3 5x u гэе. Эндээс 3 25x u гэж гарна. Тэнцэтгэлийн хоёр талыг

дифференциалчилбал 23 2x dx udu буюу 2 2

3x dx udu болно. Эндээс

2 3 3 2 2

33 3 3 3

2 25 5

3 32 2 2

5 5 5 .9 9 9

x x dx x x dx u udu u du

u C x C x x C

Жишээ 7. (1 дүгээр төрлийн орлуулга)

1

2

3

4 1

xdx

x интегралыг бод.

Бодолт. Хэрэв 4x u гэж орлуулбал 1 3 3

2 4 32 4 4,x u x u u , 34dx u du болно.

Иймд манай интеграл шинэ u гэсэн хувьсагчтай болох ба бүхэл хэсэг ялгах адилтгал

хувиргалт хийгээд 3 21 3u u гэдгийг анзааран дараах байдлаар бодно:

12 5 2 2 22

3 23 3 3 34

3 333 4 4

4 4 41 1 1

1

4 44 ln 1 ln 1 .

3 3 3

x u u u u udx u du du u du

u u ux

uu C x x C

Эдгээр жишээнээс харахад хувьсагчийг солих аргыг хэрэглэхдээ интегралын доорх илэрхийллийн зарим хэсгийг 𝑢 = ℎ(𝑥) гэж орлуулахад түүний уламжлал нь үлдсэн илэрхийлэлд байвал ашигтай байна.

Жишээ 8. 32ln 3x

dxx

интегралыг бод

Бодолт. Интегралыг 3 12 ln 3x dx

x гэж бичье. 2ln 3x -ийн уламжлал нь

2

x

байгаа ба энэ нь хоёр дахь үржигдэхүүн 1

x -ээс зөвхөн 2 гэсэн коэффициентээр л

ялгаатай байна. Иймд 2ln 3x u гэж орлуулах хэрэгтэй. Эндээс 1

2 dx dux

буюу 1 1

2dx du

x болно. Иймд

3

43 3 42ln 3 1 1 1 12ln 3

2 2 8 8

xdx u du u du u C x C

x

.

Дасгал 1. Заасан орлуулгыг хийж интегралыг бодоорой

а. 2

sin cos; (sin )

1 sin

x xdx x u

x

б. ; ( )1

dxx u

x

в. 84 7 ; (4 7 )x dx x u г. 2

2; (1 )

1

xdxx u

x

д. 4 ; 4x x dx x u e. 81 2 ; 1 2x x dx x u

ё.

2

1; 2 1

2 1

xdx u x

x

ж.

3

2 ; 22

xdx u x

x

Дасгал 2. Орлуулах аргаар интегралыг бод

а. 6 12x dx б. 3 4 3

dx

x в. 1

xdx

x г. 3

4 2

2

xdx

x

Дасгал 3. Тодорхой интеграл бод

а. 103 21 5x x dx б. 3

dx

x x в. 21 1

dx

x x г.

21 1

dx

x x

Дасгал 4. Орлуулах аргаар интеграл бодоорой

а. 22

1

11

dx

xx

б. 41

xdx

x в. 2

6

6; 1

1

x dxx u

x

Дасгал 5. Тодорхойгүй интеграл бод

а. 1

dxx x б. cos sinx xdx в.

1

2

3

4 1

xdx

x г.

3sin

2 cos

xdx

x

д. 2 1

2 1

xedx

x

e. 33 41 2x x dx ё. sin 2 3x dx ж. 1

dx

x x

Тодорхой интегралын хувьсагчийг сольж бодох Тодорхой интегралд шинэ хувьсагч хэрэглэх үед интегралын доод дээд хязгаарыг шинэ хувьсагчийн хувьд бодож олоод интегралаа боддог.

Жишээ 1. 22 sin

6 3

dxx

интегралыг бод.

Бодолт. 6 3

xt

гэсэн орлуулга хийе. Хоёр талыг дифференциалчилбал

1

3dt dx буюу 3dx dt болно.

Шинэ t хувьсагчийн хувьд интегралын доод ба дээд хязгаарыг олъё. 2x үед 2 5

6 3 6t

, x үед

6 3 2t

гэж тус тус гарна.

2252

2 5 626

53 3 3

sin 2 6sin

6 3

3 0 3 3 3

dx dtctgt ctg ctg

x t

Тодорхой интегралыг хувьсагч сольж бодох үед яагаад заавал интегралын доод, дээд хязгаарын утгыг сольж бодох ёстой вэ? Нэг жишээ авч тайлбарлая.

Жишээ 2. 1.5

32

1

2 2x x dx тодорхой интегралыг бод.

Бодолт. 2 2x -ийн уламжлал нь 2x байгаа тул 2 2x u гэж орлуулъя. Эндээс

2xdx du гэж гарах тул манай интеграл 1.5 1.5

32 3

1 1

2 2x x dx u du боллоо.

Гэвч анхны интегралын геометр утга нь 322 2y x x функцийн график,

1, 1.5x x шулуун, Ox тэнхлэгийн хооронд хязгаарлагдсан муруй шугаман

трапецийн талбай юм. (а. зураг) Гэтэл бид муруйгаа 3y u муруйгаар сольсон үед

хязгаараа солихгүй бол хоёр дах интегралын утга анхныхаас өөр гарах нь б. зургаас харагдаж байна. u хувьсагчийн хувьд хувьсах хязгаарыг нь олохын тулд 1x ба 1.5x үед 2 2x -ийн харгалзах утгыг олох хэрэгтэй. Доод хязгаар нь: 21 2 3u , дээд хязгаар нь 21.5 2 4.25u болно. Одоо бид шинэ u хувьсагчийн хувьд интегралыг

бичвэл 1.5 4.25

32 3

1 3

2 2x x dx u du болно. u хувьсагчийн хувьд интегралаа бодъё: 322 2y x x

/u

3y u

0.5 1 1.5 2

50

100

150

200250

300

350

400

450

500

4.254.25 4 4 43

3 3

4.25 3 326.25390625 81 245.2539062561.3

4 4 4 4

uu du

гэж

гарна. Энэхүү шинэ хувьсагчийн хувьд олох талбайг –р зургийн в-д харууллаа.                   Зураг а.        Зураг б.   Зураг

в.

Жишээ 3. 1

0 1 2

xdx

x интеграл бод.

Бодолт. Энэ интегралд 1 2u x орлуулга хийе. Эндээс 1

2

ux

ба

1

2dx du гэж

гарна. Интегралын доод, дээд хязгаар нь харгалзан 1 2 0 1, 1 2 1 3u u

болно. 3

3 11 3 3 1 1 2 2

2 2

0 1 1

1

3 1 1 1

2 2 2 2

11 1 12

3 12 4 41 22 2

1 2 2 1 4 13 2 3 2 2 3 2 3 .

4 3 3 4 3 3

ux u u

dx du u u dux u

322 2y x x

3y u

50

100

150

200250

300

350

400

450

500

1 1.5 4.252 3

0.5 1 1.5 2

50

100

150

200250

300

350

400

450

500 322 2y x x

Жишээ 4.

2

31

1

2 1

xdx

x

тодорхой интегралыг орлуулах аргаар болон адилтгал

хувиргалтын аргаар хэрхэн зэрэгт функцийн интегралд шилжүүлж бодож байгааг ажиглаж, аргуудын давуу тал, сул талыг харьцуулж ярилцаарай. 1 дүгээр бодолт (орлуулах арга). 2 1t x гэж орлуулъя. Эндээс 2dt dx буюу

2

dtdx гэж гарна. Орлуулгаас

31

2

tx

болно. Интегралын доод хязгаар нь

2 1 1 1t , дээд хязгаар нь 2 2 1 3t болно. Ийнхүү

2 3 3 32 3

3 3 2 31 1 1 1

3 31 2

211

1 1 3 1 1 3 13

2 2 4 42 1

1 1 1 3 1 1 1 3 13 1 .

4 1 2 4 2 4 3 6 2 2

x t dtdx dt t t dt

t t tx

t t

t t

2 дугаар бодолт (адилтгал хувиргалтын арга).

2 2 2 2

3 3 2 31 1 1 1

22

21

1

1 0.5 1.5 0.5 1.5

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 3 1 1 1 3 1 11 1 .

4 2 1 8 4 3 8 9 22 1

x xdx dx dx dx

x x x x

x x

Жишээ 5. 2

1

lne xdx

x интегралыг бод.

Бодолт. Хэрэв ln x u гэвэл 1

dx dux

болно. 1x үед ln1 0u , x e үед

ln 1u e болох тул 112

2 3 3 3

1 0 0

ln 1 1 11 0

3 3 3

e xdx u du u

x .

Дасгал. 1. (i) Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар бод. ( ) дотор ямар орлуулга хийх

зөвлөмж өгөв.

а. 2

1 5 1

dx

x ; ( 5 1x u ) б. 1

43 2

0

2 1x x dx ; ( 32 1x u )

в.

2

41 3 1

dx

x ; (3 1x t ) г. 3

0

3 1x dx ; ( 3 1x t )

(ii) Дээрх тодорхой интегралуудыг орлуулах арга хэрэглэхгүйгээр бодож, гарсан хариугаа орлуулах аргаар бодсон хариутайгаа тулгаарай.

2. Зааврын дагуу тодорхой интегралыг бодоорой.

а. 3

22 1

dx

x x ;

1x

u орлуулга хий. б.

ln 2

0

1xe dx ; 1xe t орлуулга хий.

3. Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар бодоорой (жишээ бодлогуудыг ашигла)

а. 2

0

cos sinx xdx

б. 3

22 2

1

11

dx

xx

в. 2

152

1

2x x dx

г. 3

2 3

1

5x x dx

д. 22 sin

6 3

dxx

е. 4

0 1 2

xdx

x

ё. 2

32

1

2 1x x dx ж. 3

22

1

4 1x x dx з. 1

2 3

1

3 1x x dx

4. Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар бодоорой

а. 3

9

0

1 2x dx б. 18

3

3

23

xdx

в.

2

31

1

2 1

xdx

x

г. 2

1 22

xdx

x д.

28

0

5

14

xdx

x

e.

5

35

1

3

2 3 1x x dx

5. Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар бод

а. 1 3

2 2

0

1x x dx б. 2

41 1

xdx

x в.

16

9 7

dx

x x

6. а. Хэрэв 23cos 5x бол 25 2cosx болохыг харуул б. 3x -ыг өмнөхтэй төстэй илэрхийлээрэй

в. Өмнөх үр дүнгүүд ба 2 23cos 5sinx орлуулгыг ашиглан 5

4

1

3 5dx

x x тодорхой интегралыг бодоорой.

7. Сурагч 3

32

1

2 1x x x dx тодорхой интегралыг дараах байдлаар боджээ.

1 дүгээр алхам: 2u x x гэж орлуулъя.

2 дугаар алхам: 2 1du x dx гэж гарна.

3 дугаар алхам: 3 3

32 3

1 1

2 1x x x dx u du

4 дүгээр алхам:

33 4 4 43

1 1

3 1 8020

4 4 4 4

uu du

.

а. Сурагчийн бодолт зөв үү? Хэрвээ буруу бол алдаа нь юу байсан бэ? б. Алдааг залруулж бодоорой.

8. 2

32 3

1

12 1x x dx тодорхой интегралын зөв хариуг олоорой.

А. 2500 Б. 2401 В. 1600 Г. 1204 9. Тодорхой интегралыг орлуулах аргаар бодоорой

а. 2

1

lne xdx

x б. 3

3

0

sin cosx xdx

в. 1

40

4

1

xdx

x г.

1

3

21

3

1

1 9dx

x

10. Тодорхой интегралыг бод 3

12

0

2 ?xx dx

(Заавар: 3

3 3ln 2 ln 22xx xe e гэж бичээд 3 ln 2x u орлуулга хий.)