Арифметична Арифметична та та

геометрична геометрична прогресії в прогресії в

задачах задачах геометріїгеометрії

Задача №1Задача №1У квадрат зі стороною а вписано У квадрат зі стороною а вписано

квадрат, вершинами якого є квадрат, вершинами якого є середини сторін першого квадрата, у середини сторін першого квадрата, у

другий квадрат вписано третій, другий квадрат вписано третій, вершинами якого є середини сторін вершинами якого є середини сторін

другого, і т.д.другого, і т.д.

Знайдіть Знайдіть суму площ усіх квадратів.суму площ усіх квадратів.

РозвРозв’’язанняязання Нехай у квадрата зі стороною а і площеюНехай у квадрата зі стороною а і площеюSS11=a=a22

вписали квадрат,вершинами якого є середини вписали квадрат,вершинами якого є середини сторін першого квадрата, тоді сторона другого сторін першого квадрата, тоді сторона другого квадрата дорівнює квадрата дорівнює

Площа цього квадрата дорівнюєПлоща цього квадрата дорівнює::

Площа третього квадрата дорівнюватимеПлоща третього квадрата дорівнюватиме::

І т.д. площі цих квадратів утворюютьІ т.д. площі цих квадратів утворюють нескінченну геометричну прогресію з нескінченну геометричну прогресію з SS11=a=a22 i i g=1/2. Tg=1/2. Tому сума площ квадратівому сума площ квадратів

ВідповідьВідповідь::2a2a22..

242)

2()

2(

222 aaaa

2

2

2aS

4

2

3aS

22

1 2

2111

aagSS

Задача №2Задача №2

Геометричну фігуру Геометричну фігуру складено з нескінченної складено з нескінченної послідовності послідовності рівносторонніх рівносторонніх трикутників, розміщених трикутників, розміщених так, як показано на так, як показано на рисунку. Площа кожного рисунку. Площа кожного наступного трикутника наступного трикутника вдвічі менша від площі вдвічі менша від площі попереднього. Сторона попереднього. Сторона першого трикутника = першого трикутника = 4см. 4см.

Чи поміститься така Чи поміститься така геометрична фігура на геометрична фігура на аркуші вашого зошита?аркуші вашого зошита?

Задача №3Задача №3 У коло радіуса У коло радіуса R R вписано правильний трикутник, у вписано правильний трикутник, у

трикутник вписано коло, у трикутник вписано коло, у це коло вписано правильний трикутник і т.д.це коло вписано правильний трикутник і т.д.

Знайдіть суму:Знайдіть суму: 1)периметрів усіх трикутників;1)периметрів усіх трикутників; 2)площ трикутників;2)площ трикутників; 3)довжин кіл;3)довжин кіл; 4)площ кругів, обмежених даними колами.4)площ кругів, обмежених даними колами.

РозвРозв’’язанняязання Нехай у коло радіусом Нехай у коло радіусом RR вписано вписано

правильний трикутник, тоді його правильний трикутник, тоді його сторона дорівнюєсторона дорівнює::

периметрпериметр

і площаі площа

У трикутник вписано коло, його радіусУ трикутник вписано коло, його радіус::

довжина такого кола буде довжина такого кола буде

площа такого кругаплоща такого круга

31 Ra

331 RP

433

43 22

11

RaS

2631

1Ra

R

RRC 11 2

4

22

кр1R

RS

1)Периметри усіх трикутників 1)Периметри усіх трикутників утворюють геометричну прогресію з утворюють геометричну прогресію з

членами: членами:

тобто з першим членом тобто з першим членом

і знаменником і знаменником g=g=1/2, тому сума всіх 1/2, тому сума всіх периметрів буде дорівнюватипериметрів буде дорівнювати

;...4

33;

233

;33RR

R

331 Rb

36

211

331

1 RRqbS p

2)Площі трикутників утворюють 2)Площі трикутників утворюють геометричну прогресію виду геометричну прогресію виду

тобто нескінченно спадну геометричну тобто нескінченно спадну геометричну прогресію з прогресію з

і знаменником і знаменником qq=1/4. Тому сума усіх =1/4. Тому сума усіх площ дорівнює:площ дорівнює:

...66

33;16

33;4

33 222 RRR

4332

1R

b

334

433

)41

1(4

331

222

1 RRR

qb

Ss

3)Довжини кіл утворюють 3)Довжини кіл утворюють геометричну прогресію виду геометричну прогресію виду

тобто прогресію з першим членом тобто прогресію з першим членом bb11=2=2ППRR і знаменником і знаменником g=1/2.g=1/2.

сума довжин кіл дорівнюєсума довжин кіл дорівнює

;...2

;;2R

RR

RR

qb

Sc 4

21

1

21

1

4)Площі кругів, обмежених даними 4)Площі кругів, обмежених даними колами, утворюють нескінченну спадну колами, утворюють нескінченну спадну

геометричну прогресію: геометричну прогресію:

тобто прогресію з першим членом тобто прогресію з першим членом bb11=2=2ППRR22 і знаменником і знаменником g=1/4.g=1/4. Сума Сума

площ кругів площ кругів

Відповідь:Відповідь:

;...16

;4

;22

2 RRR

34

41

1

22 RRSs

.34

)4;4)3;3)2;36)12

22 RRRR

Задача №4Задача №4 У квадрат зі стороною а вписано коло, у У квадрат зі стороною а вписано коло, у

коло вписано квадрат, у цей квадрат коло вписано квадрат, у цей квадрат вписано коло, у яке знову вписано квадрат, і вписано коло, у яке знову вписано квадрат, і

т.д. т.д.

Знайдіть суму:Знайдіть суму: 1)периметрів усіх квадратів;1)периметрів усіх квадратів; 2)площ квадратів;2)площ квадратів; 3)довжин кіл;3)довжин кіл; 4)площ кругів,обмежених даними колами. 4)площ кругів,обмежених даними колами.

Література:Література:Мерзляк А.Г.; Мерзляк А.Г.;

Полонський В.Б.; Якір М.С.Полонський В.Б.; Якір М.С.

Алгебра. Підручник для Алгебра. Підручник для 9класу з поглибленим 9класу з поглибленим

вивченням математики. вивченням математики. ТОВ ТО “Гімназія”.ТОВ ТО “Гімназія”.