પ્રાકૃતિક સખં્યાઓની ખાતસયિ

સસુ્મિિા વૈષ્ણવ

સખં્યાઓની રસભરી દુનનયામા ંપ્રાથનમક ડોકીયું

આપણે સખં્યા ૮ લઈએ. આ ૮ વમતઓુને બે આડી રેખાિા ંગ ઠવીએ.

િ બરાબર ૪ - ૪ વમતઓુની બે રેખા િળે છે.

હવે, સખં્યા ૯ લઈએ. િેને પણ આ જ રીિે ગ ઠવવા જિા ંએક રેખાિા ં૪ અને એક રેખાિાં ૫ વમતઓુ રહ ેછે.

@

પહલેા ંઉદાહરણિા ંલબંચ રસ આકારે ગ ઠવાિી વમતઓુ, બીજા ઉદાહરણિા ંએ આકાર બનાવિી નથી, એક વમત ુજૂદી પડી જાય છે. સખં્યા ૮ ની જેવી બીજી સખં્યાઓ ૨, ૪, ૬, ૮, ૧૦,૧૨......િળે છે િેને બેકી સખં્યાઓ કહવેાય છે. સખં્યા ૯ જેવી બીજી સખં્યાઓ ૧,૩,૫,૭,૯,૧૧.......િળે છે િેને એકી સખં્યાઓ કહવેાય છે. ગણિરીની ક્રિયાિા ંએકી અને બેકી સખં્યા વારાફરિી આવે છે.

@ @ @ @

@ @ @ @

@ @ @ @

@ @ @ @

બધીજ બેકી સખં્યાઓનુ ંએક અગત્યનુ ંલક્ષણ એ છે કે િે દરેકને આપણે િેનાથી નાની સખં્યાઓના ગણુાકાર િરીકે દર્ાાવી ર્કીએ છીએ.

દા. િ. ૬ = ૨*૩, ૬ = ૧*૬

૮ = ૨*૪, ૮ = ૪*૨, ૮ = ૨*૨*૨, ૮ = ૧*૮

અહીં ૬ ને ગણુાકાર રુપે દર્ાાવવા જે નાની સખં્યાઓ િળે છે

િેને િિવાર લખીએ િ ૧, ૨, ૩ અને ૬ છે.

આ સખં્યાઓને ૬ ના અવયવ કહવેાય.

બીજા ઉદાહરણિા ં૮ ના અવયવ ૧, ૨, ૪ અને ૮ છે.

અવયવ ની વ્યાખ્યા સિજ્યા પછી નીચેની સખં્યાઓ િપાસીએ.૨ = ૧*૨.......અવયવ ૧ અને ૨.૩ = ૧*૩.......અવયવ ૧ અને ૩.૪ = ૧*૪, ૪ = ૨*૨.......અવયવ ૧,૨ અને ૪.૫ = ૧*૫ .......અવયવ ૧ અને ૫.૭ = ૧*૭.......અવયવ ૧ અને ૭.૯ = ૧*૯, ૯ = ૩*૩.......અવયવ ૧,૩ અને ૯.૧૦ = ૧*૧૦, ૧૦ = ૨*૫ ....અવયવ ૧, ૨ ,૫ અને ૧૦.

ઉપરની સખં્યાઓના અવયવ જ િા ંમપષ્ટ છે કે ક ઈ પણ સખં્યાના બે અવયવ િ િળે જ છે, િે છે, ૧ અને મળૂ સખં્યા પ િે.

બીજા અવયવ ની સખં્યા નક્કી નથી હ િી. ૧ અને મળૂ સખં્યાની વચ્ચે એક પણ અવયવ ન હ ય.

દા.િ.:૫ ના અવયવ ૧ અને ૫ જ છે. જ્યારે ૯ ના અવયવ િા ં૧ અને ૯ની વચ્ચે ૩ એ એક

અવયવ છે. સખં્યા ૧૦ લઈએ િ ૧ અને ૧૦ની વચ્ચે બે અવયવ ૨ અને ૫ છે. ક્રમશઃ......

ઉપર ૩ કે ૫ જેવી સખં્યાઓના બે જ અવયવ િળે છે, ૧ અને િે સખં્યા પ િે. આવી સખં્યાઓને અતવભાજ્ય સખં્યાઓ કહવેાય છે.

૧ થી ૧૦૦ સધુીની સખં્યાઓિા ંરહલેી અતવભાજ્ય સખં્યાઓની યાદી બનાવીએ :

૨, ૩, ૫, ૭, ૧૧, ૧૩, ૧૭, ૧૯, ૨૩, ૨૯. ૩૧, ૩૭, ૪૧, ૪૩, ૪૭, ૫૩, ૫૯, ૬૧ , ૬૭, ૭૧,

૭૩, ૭૯,૮૩, ૮૯, ૯૭.

ઉપરની વ્યાખ્યા પ્રિાણે ક ઈ પણ બેકી સખં્યા અતવભાજ્ય નથી કારણ કે િેન ૨ અવયવ હંિેર્ા ંિળે જ. િાત્ર સખં્યા ૨ પ િે એક જ એવી અતવભાજ્ય સખં્યા છે કે જે બેકી છે. આિ ૨ પછીની અતવભાજ્ય સખં્યાઓ એકી સખં્યાઓ જ હ ય.

અતવભાજ્ય તસવાયની બાકીની બધી જ સખં્યાઓ તવભાજ્ય સખં્યાઓ છે. આ સખં્યાઓને દરેકને િેનાથી નાના અતવભાજ્ય અવયવ ના ગણુાકાર મવરુપે દર્ાાવી ર્કાય છે.

દા. િ. ૫૧ = ૩*૧૭, ૧૦૦ = ૨*૨*૫*૫.

આ અતવભાજ્ય સખં્યાઓ પાયાની ઈંટ જેવુ ંકાિ કરે છે જેિા ંક ઈ પણ આપેલી સખં્યાને િેનાથી નાની અતવભાજ્ય સખં્યાઓના ગણુાકાર મવરુપે દર્ાાવી ર્કાય છે.

દા. િ. ૧૮ = ૨*૩*૩, ૬૬ = ૨*૩*૧૧, ૭૫ = ૩*૫*૫

.... આગળથી ચાલુ

૧૮ અને ૬૬ના અવયવ જ ઈએ િ ૨ એ બનેં્નન અવયવ છે, ૩ પણ બનેં્નન અવયવ છે.

આિ ૨ અને ૩ને ૧૮ અને ૬૬ના સાિાન્ય અવયવ કહવેાય.

બે સખં્યાઓ વચ્ચે જેટલા સાિાન્ય અવયવ હ ય િેના ગણુાકારથી જે સખં્યા િળે િેને િે બે સખં્યાઓન ગરુુત્તિ સાધારણ અવયવ કહવેાય. ટૂંકિા ંિે ગ.ુસા.અ. િરીકે લખાય છે.

આિ, ૧૮ અને ૬૬ ન ગ.ુસા.અ. ૨*૩= ૬ છે.

૧૮ અને ૭૫ ન ગ.ુસા.અ. ૩ છે.

૬૬ અને ૭૫ ન ગ.ુસા.અ. ૩ છે.

૧૮, ૬૬ અને ૭૫ ન ગ.ુસા.અ. ૩ છે.

હવે, ક ઇ પણ આપેલી સખં્યા, નાની કે િ ટી, િેને અતવભાજ્ય અવયવ િા ંતવભાજજિ કરવી હ ય િ િે સખં્યા ૨,૩,૫,૭,૧૧,૧૩......થી તનરે્ષ ભાગી ર્કાય છે કે કેિ િે ભાગાકાર કરીને જ ઈ લઈએ છીએ. પણ, જ્યારે આ સખં્યા બહ ુિ ટી હ ય ત્યારે આ બહ ુિહનેિનુ ંકાિ થાય છે. િ આ ક્રિયાિા ંઆપણી િહનેિ થ ડી બચાવે િેવી ઉપય ગી હકીકિ જાણીએ.

જે સખં્યાના એકિના મથાન પર ૦,૨,૪,૬ કે ૮ હ ય િેને ૨ વડે તન:રે્ષ ભાગી ર્કાય.

દા.િ. :

૨૩૮,૪૬,૧૭૦.

જે સખં્યાના બધા જ આંકડાઓન સરવાળ ૩ થી તન:રે્ષ ભાગી ર્કાય િે સખં્યાને ૩ વડે તન:રે્ષ ભાગી ર્કાય.

દા.િ. :

૧૪૨૫.૧+૪+૨+૫=૧૨, ૧૨ એ ૩ વડે તવભાજ્ય છે િેથી ૧૪૨૫ પણ ૩ વડે તવભાજ્ય

છે . ૧૪૨૫ = ૩*૪૭૫. ક્રમશઃ......

આપેલી સખં્યાના છેલ્લા બે આકડાથી બનિી સખં્યા જ ૪ થી તવભાજ્ય હ ય િ િે સખં્યા પણ ૪ થી તવભાજ્ય છે. દા.િ.૧૭,૩૬૪.આ સખં્યાના છેલ્લા એટલે કે દર્કન આંકડ અને એકિન આંકડ સખં્યા ૬૪ બનાવે છે.િે ૪ વડે તવભાજ્ય છે િેથી ૧૭૩૬૪ પણ ૪ વડે તવભાજ્ય છે. ૧૭૩૬૪ = ૪* ૪૩૪૧.

જે સખં્યાન એકિન આંકડ ૦ કે ૫ હ ય િે સખં્યા ૫ વડે તન:રે્ષ ભાગી ર્કાય છે. દા. િ. ૧,૨૭,૩૯૫. અહીં એકિના મથાને ૫ છે. િેથી આપેલી સખં્યા ૫ વડે તવભાજ્ય છે. ૧,૨૭,૩૯૫ = ૫* ૨૫૪૭૯.

જે સખં્યાના બધા જ આંકડાઓન સરવાળ ૯ થી તવભાજ્ય હ ય િે સખં્યા પ િે પણ ૯ થી તવભાજ્ય છે.

દા. િ. ૧૩,૨૧૨.બધા જ આંકડાઓન સરવાળ ૧+૩+૨+૧+૨ = ૯.

એટલે કે ૧૩,૨૧૨ = ૯ *૧૪૬૮.

.... આગળથી ચાલુ

ક્રમશઃ......

જે સખં્યાના એકિન આકડ ૦ હ ય િેને ૧૦ વડે તન:રે્ષ ભાગી ર્કાય છે.

દા. િ. ૨૭૪૮૦ = ૧૦ * ૨૭૪૮.

આપેલી સખં્યાને ૧૧ વડે તનરે્ષ ભાગી ર્કાય કે કેિ િે જ વા નીચેની રીિ છે.

પહલેા ંએકિન આકડ +ર્િકન આંકડ +દસ હજારન આકડ +........િેળવ .

પછી, દર્કન આંકડ + હજારન આંકડ +લાખન આંકડ +..........િેળવ .

આ બે પક્રરણાિ િા ંિળેલી સખં્યાઓન િફાવિ કાઢ . જ િે િફાવિ ૦ કે ૧૧ કે ૧૧ ના ઘક્રડયાિા ંઆવિી સખં્યા હ ય િ આપેલી મળૂ સખં્યા પણ ૧૧ થી તનરે્ષ ભાગી ર્કાય છે.

દા. િ. ૨૫૭૪૦. અહીં અનિુિે ૦+૭ + ૨ = ૯ અને ૪+૫ = ૯ થાય છે. વળી,૯-૯=૦ થાય છે. હવે ૧૧ વડે ૨૫૭૪૦ ન ભાગાકાર કરિા ં૨૫૭૪૦ = ૧૧ * ૨૩૪૦ િળે છે.

.... આગળથી ચાલુ

હવે આપણે ક ઈ પણ સખં્યાના અવયવ પાડવાની રીિ સિજીએ.

દા. િ.

૪૩૨ ના અવયવ પાડવા છે.

આ પહલેા ંજણાવેલ તવભાજ્યિાની કસ ટીની િદદથી આપણે જ ઇ ર્કીશુ ંકે આ સખં્યા ૨, ૩ અને ૯ થી તવભાજ્ય છે.

૪૩૨ = ૨*૨૧૬ = ૨*૨*૧૦૮ = ૨*૨*૨*૫૪ = ૨*૨*૨*૨* ૨૭ = ૨*૨*૨*૨*૩*૯ = ૨*૨*૨*૨*૩*૩*૩.

ક્રમશઃ......

આપેલી સખં્યા ૧૩૩૧ છે. એકમનો આંકડો + શતકનો આંકડો = ૧+૩ = ૪.

દશકનો આંકડો + હજારનો આંકડો = ૩+૧ = ૪.

મળેલી બે સખં્યાનો તફાવત = ૪-૪ = ૦.

તેથી ૧૩૩૧ એ ૧૧થી નવભાજ્ય છે.

૧૩૩૧ = ૧૧*૧૨૧ = ૧૧*૧૧*૧૧.

હવે સખં્યા ૨૧૨૬૪ના અવયવો પાડીએ.

છેલ્લા બે આંકડા ૬૪ સખં્યા છે, જે ૪થી નવભાજ્ય છે.

૨૧૨૬૪ = ૪*૫૩૧૬ =૪*૪*૧૩૨૯ = ૪*૪*૩*૪૪૩ = ૨*૨*૨*૨*૩*૪૪૩.

૪૪૩ અનવભાજ્ય સખં્યા છે.

.... આગળથી ચાલુ

અવયવ તવષે આટલુ ંજાણીને આપણે અપણૂાાંક સખં્યાઓની વાિ કરીએ.

બે અપણૂાાંક સખં્યાઓ ૧/૨ અને ૪/૮ લઈએ.પહલેા અપણૂાાંકિા ંઅંર્ અને છેદ વચ્ચે ક ઇ સાિાન્ય અવયવ નથી.

૪/૮ = ૨*૨/૨*૨*૨ = (૨/૨)*(૨/૨)*(૧/૨) =૧*૧*૧/૨ = ૧/૨.

અહીં અંર્ અને છેદના સાિાન્ય અવયવ ન ભાગાકાર ૧ થઈ જાય છે, અને ૧/૨ િળે છે.

આિ આપેલા બનેં્ન અપણૂાાંક સિમલૂ્ય છે.

સાદી ભાષાિા ંઆપણે કહીએ કે ક ઈ પણ અપણૂાાંકિા ંઅંર્ અને છેદ વચ્ચે જ સાિાન્ય અવયવ હ ય િ િેને ઉડાડી ર્કાય છે, િે પછી જે મવરુપ રહ ેિે અપણૂાાંક િેના સકં્ષક્ષપ્િરુપિા ંછે િેિ કહવેાય.

ક્રમશઃ......

સિમલૂ્ય અપણૂાાંક ના ંથ ડા ંઉદાહરણ જ ઈએ.

૩/૪ =૩૩/૪૪ =૪૫/૬૦ =૭૫/૧૦૦........

અહીં ૩/૪ એ આ અપણૂાાંકનુ ંસકં્ષક્ષપ્િ રુપ છે.

સરળિાથી જ ઈ ર્કાય છે કે સકં્ષક્ષપ્િ રુપિા ંઆપેલા અપણૂાાંકના અંર્ અને છેદને ક ઇ પણ સાિાન્ય સખં્યા વડે ગણુાકાર કરિા ંજે નવ અપણૂાાંક િળે િે િેન સિમલૂ્ય અપણૂાાંક છે.

આ ક્રિયા સાિાન્ય અવયવ ઉડાડવાની ક્રિયાથી ઊંધી છે.

.... આગળથી ચાલુ

હવે પણૂાાંક સખં્યા એક એક લઈને િેને િિિા ંબધીજ ૧ થી ૯ સખં્યાઓ વડે ગણુીને યાદીની રીિે લખીએ.૨*૧ = ૨૨*૨ = ૪૨*૩ = ૬૨*૪ = ૮૨*૫ = ૧૦૨*૬ = ૧૨૨*૭ = ૧૪૨*૮ = ૧૬૨*૯ = ૧૮૨*૧૦ = ૨૦

આ યાદીને આપણી સાદી ભાષાિા ં૨ ન ઘક્રડય કહીએ છીએ. અહીં જિણી બાજુએ ઉપરથી નીચે જે સખં્યાઓ,૨,૪,૬,૮,૧૦,૧૨,૧૪,૧૬,૧૮,૨૦ િળે છે િેને સખં્યા ૨ ના

પહલેા દસ અવયવીઓ કહવેાય છે.૨ સાથે ૧૦ થી આગળની ૧૧,૧૨,૧૩.......સખં્યા વડે ગણુિા ંજઈએ િેિ િેિ નવા અવયવીઓ િળિા રહ ેછે.

આિ અવયવીઓની સખં્યા પણ અનિં છે.

એક અગત્યની નોંધ : પહલેી ૫૦ પ્રાકૃતિક સખં્યાઓના ઘક્રડયા રટી લેવાથી આપણે ઝડપથી કાિ કરી ર્કીએ છીએ.

૨ ના પ્રથિ દસ અવયવીઓ : ૨,૪,૬,૮,૧૦,૧૨,૧૪,૧૬,૧૮,૨૦.

૩ ના પ્રથિ દસ અવયવીઓ : ૩,૬,૯,૧૨,૧૫,૧૮,૨૧,૨૪,૨૭,૩૦.

૫ ના પ્રથિ દસ અવયવીઓ : ૫,૧૦,૧૫,૨૦,૨૫,૩૦,૩૫,૪૦,૪૫,૫૦.

ઉપરની યાદીિા ં૨ અને ૩ ના સાિાન્ય અવયવીઓ ૬, ૧૨ અને ૧૮ છે. જેિા ં૬ એ સૌથી નાન છે. િ , ૬ ને સખં્યા ૨ અને ૩ ન લઘતુ્તિ સાિાન્ય અવયવી કહવેાય.

ટૂંકિા ંિેને લ.સા.અ. લખાય છે.

આ પણ એક અગત્યન તવચાર છે.

એ જ પ્રિાણે ઉપરની યાદી પરથી, ૩ અને ૫ ન લ.સા.અ. ૧૫ અને ૨ અને ૫ ન લ.સા.અ. ૧૦ છે.

ત્રણેય સખં્યા ૨,૩ અને ૫ ન લ.સા.અ. ૩૦ છે.