الصف الثانى الثانوى

تطبيقاتتطبيقات

وىثان

ى الثان

ف الص

الت

يا�ض

يالر

اات

يقطب

ت

كتــــاب الطالــــب

القسم العلمى

إن التنافس مع الذات هو أفضل تنافس.

من وثق باهلل أغناه ومن توكل عليه كفاه.

ا. ا أبد من يعش ىف خوف، فلن يكون حر

امدح صديقك علنا وعاتبه رسا.

اخرت كلامتك قبل أن تتحدث.

الشعوب وحدها هى القادرة عىل حترير نفسها وحتقيق أحالمها.

الصف الثانى الثانوى كتاب الطالب

الصف الثانى الثانوى

تطبيقات

كتــــاب الطالــــب

القسم العلمى

اإعداداأ/ كمال يون�س كب�شة

اأ/ �شريافيم اإليا�س اإ�شكندر اأ.د/ نبيل توفيق ال�شبع

جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.

شركة سقارة للنشر�ش. م. م

�له الرحمن الرحيم بسم ال�

يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:

التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذا الكتاب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته 1

اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.

التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن 2

يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج

والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل

آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.

تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع(STS) تعكس دور التقدم العلمى ىف تنمية 3

ف الواعى الفعال حيال استخدام األدوات التكنولوجية. املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترص

تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها. 4

تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة. 5

االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو، 6

واالبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت

وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.

وفى �سوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:

الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها تقسيم

واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية، ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت

عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة

العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى

تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.

كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب، وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت

عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند »تمارين« وتشمل مسائل متنوعة تتناول املفاهيم واملهارات التي

درسها الطالب يف الدرس.

تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة وتمارين عامة تشمل مسائل متنوعة

عىل املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب يف هذه الوحدة.

ينتهي الكتاب بإختبارات عامة تشمل جميع املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب يف وحداته.

وأخيرا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.

�له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل وال�

المقدمة

المحتوياتكــا

ستــاتيال

ا

مقدمة عن تطور علم الميكانيكا. ................................................................................................................................................................................................................... 2

القــوى. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................... 8

تحليل القوى. ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 16

21 ....................................................................................................................................................................... محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.

اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة. ............................................................................... 26

ص الوحدة. ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 36 ملخ

تمارين عامة )الوحدة األولى(. ......................................................................................................................................................................................................................... 37

اختبار تراكمى.......................................................................................................................................................................................................................................................................... 39

الحركة المستقيمة. ........................................................................................................................................................................................................................................................ 42

الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. .................................................................................................................................................................................... 53

السقوط الحر. ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 62

قانون الجذب العام. ......................................................................................................................................................................................................................................................... 67

ص الوحدة. ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 72 ملخ

تمارين عامة )الوحدة األولى(. ......................................................................................................................................................................................................................... 74

اختبار تراكمى.......................................................................................................................................................................................................................................................................... 76

الوحدة الأوىل

الوحدة الثانية

كاالدينامي

المحتويات

80 ............................................................................................................................................................................................................................................................... الهرم والمخروط.

المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط. ................................................................................................................................................................................... 85

89 ........................................................................................................................................................................................................................ حجم الهرم والمخروط القائم.

معادلة الدائرة. ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 94

ص الوحدة. ................................................................................................................................................................................................................................................................ 105 ملخ

تمارين عامة )الوحدة األولى(. .................................................................................................................................................................................................................... 106

اختبار تراكمى..................................................................................................................................................................................................................................................................... 108

تمثيل البيانات. .................................................................................................................................................................................................................................................................. 112

وصف البيانات. ................................................................................................................................................................................................................................................................. 116

122 .............................................................................................................................................................................................................................................................................. االحتمال.

ص الوحدة. ................................................................................................................................................................................................................................................................ 144 ملخ

تمارين عامة )الوحدة األولى(. .................................................................................................................................................................................................................... 146

اختبار تراكمى..................................................................................................................................................................................................................................................................... 150

اختبارات عامة. ................................................................................................................................................................................................................................................................ 152

اجابات بعض التمارين............................................................................................................................................................................................................................................ 164

الوحدة الثالثة

الوحدة الرابعة

سة و القيا

سالهند

حتمالال

صاء واح

الا

مقدمة عن تطور علم الميكانيكاالميكانيكا بالمفهوم العام هو العلم الذى يقوم بدراسة حركة أو اتزان األجسام المادية، وذلك باستخدام ½

إطالق الصواريخ القوانين الخاصة بها، فمثالا هناك قوانين تسرى على دوران األرض حول الشمس و

أو قذيفة المدفع أو غير ذلك. ويقصد بها التغير الذى يحدث بمرور الزمن لمواضع األجسام المادية

فى الفراغ ، والتأثير الميكانيكى المتبادل بين األجسام هو التأثير الذى تتغير له حركة هذه األجسام ،

ا لتأثيرات القوى المختلفة عليها ، لذلك فإن المسألة األساسية فى الميكانيكا هى دراسة القوانين طبقا

العامة لحركة واتزان األجسام المادية تحت تأثير القوى عليها. وتنقسم الميكانيكا إلى:

Statics )1(اال�ستاتيكا

، القوى تسمى المؤثرات تأثير مجموعة من يبحث فى سكون األجسام تحت توازن األجسام( )علم

وتوصف القوى التى ال تغير من حالة الجسم بأنها متزنة، ويقال للجسم: إنه فى حالة توازن تحت تاثير

هذه القوى.

Dynamics )2(الديناميكا

)علم حركة األجسام( والتى تتضمن قوانين حركة األجسام المادية تحت تأثير القوى ، وتنقسم الديناميكا

إلى: الكينماتيكا Kinematics وهى تبحث فى خصائص الحركة من الوجهة الهندسية )وصف الحركة

ا دون التعرض للقوى المسببة لها(، و الكيناتيكا Kinetics وهى تبحث فى تأثير القوى ا مجردا وصفاالمسببة أو المغيرة للحركة.

وهناك:

ميكانيكا النقطة المادية )أى الجسم الذى يمكن إهمال أبعاده عند بحث حركته أو اتزانه(.

ا من الجسيمات المترابطة ميكانيكا الجسم الجاسئ Rigid Bodies )أى الجسم المكون من عدد كبير جد

مع بعضها بحيث إن المسافه بين أي جسيمين منها تكون ثابتة وال تتأثر بأي مؤثر خارجي(.

1- سوف ندرس فى هذه الوحدة مفهوم القوة وخواصها ووحدات قياسها وتحليل القوة إلى مركبتين ، وإيجاد محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة ، ثم دراسة اتزان نقطة مادية تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة وتطبيقات عليها.

2- سوف ندرس فى هذه الوحدة )الكينماتيكا( وهى التى تختص بوصف حركة األجسام دون التعرض للقوى المسببة لها وتتناول هذه الدراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسببات الحركة وقوانينها وتطبيقات على الحركة األفقية والرأسية بعجلة منتظمة وقانون

الجذب العام لنيوتن.

تطبيقات الرياضيات - علمى 2

ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة )توجد لبعض األنظمة واألجسام تغيرات تطرأ عليها تتغير فيها

الكتلة بتغير الزمن كأن ينفصل عنها أو يتحد بها جسيمات تنقص أو تزيد من كتلتها فى أثناء الحركة،

ومن هذه األجسام الصواريخ النفاثة وعربات المناجم التى تتغير كتلتها نتيجة استهالك الوقود وغيرها

من األنظمة المختلفة(.

ميكانيكا األجسام القابلة للتشكيل )المرونة Elasticity( هى خاصية األجسام التى لها القدرة على الرجوع

إلى شكلها و أبعادها األصلية بعد تشكيلها، أما اللدونة Plasticity وهي عند تعرض األجسام إلى مؤثرات

خارجية ال تعود إلى حالتها الطبيعية عند زوال المؤثر الخارجي.

Fluid Mechanics ميكانيكا الموائع

ا الموائع )سوائل، غازات، ...( والقوى المؤثرة عليها وينقسم أحد فروع ميكانيكا الكم وهو يدرس اساسا

إلى استاتيكا الموائع أو دراستها فى حالة السكون وديناميكا الموائع أو دراستها فى حالة الحركة ويندرج

تحتها تخصصات أخرى مثل الديناميكا الهوائية )ايروديناميك( والديناميكا المائية )هيدروديناميك(.

:Biomechanics الميكانيكا الحيوية

هى تطبيق للمبادئ الميكانيكية على الكائنات الحية ، وهذا يشمل دراسة وتحليل ميكانيكا الكائنات

الحية وتطبيق المبادئ الهندسية واستقائها من األنظمة الحياتية.

األطراف على المؤثرة القوى دراسة تشمل الحيوية الميكانيكا ألبحاث البسيطة األمثلة ومن

، السمك سباحة الموائع في والطيور، وميكانيكا الحشرات الهوائية لطيران )األعضاء(، والديناميكا

ا من بدءا ، الحياة الحركة في كل أشكال أنواع تقدمها جذور األشجار، وجمع التي الثباتية والرسوخ

ا إلى جميع األحياء، والميكانيكا الحيوية للجسم البشري هو في صلب علم الحركة الخاليا المفردة ارتقاءا

ا الديناميكا ا أساسية في دراسة الميكانيكا الحيوية. وخصوصا ،حيث تلعب الميكانيكا التطبيقية أدوارا

الحرارية ، وميكانيكا األوساط المتصلة ، وفروع الهندسة الميكانيكية.

المطلقة. الحموالت هذه على كرد األعضاء تشكل إعادة و نمو مجال في أكثر أبحاثاا هناك أن كما

مع القلبية العضلية الخاليا وسلوك جدران الشرايين، ميكانيكية على الدم المرتفع تأثير ضغط ، مثالا

، الريح حركة مع التأقلمي النباتات ونمو ، معينة لممارسات ونمو العظام كاستجابة ، القلب احتشاء

تعتبر كشاهد على أن األنسجة الحية تتشكل من جديد كنتيجة مباشرة لألحمال المطبقة. توظف علوم

الرياضيات المختلفة لحل المشاكل الحياتية وتشمل الجبر الخطي ، والمعادالت التفاضلية ، والتكامل ،

والهندسة ، والميكانيكا والتوبولوجى واإلحصاء وغيرها.

3كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

العامة والقوانين الجاسئ والجسم المادية بالنقطة الخاصة الميكانيكا المنهج هذا فى ندرس وسوف

للحركة ، وذلك بصفتها قاعدة علمية لكثير من المجاالت الحديثه والتى تفسر سلسلة من الظواهر الهامة

نظر إلى تكوين وجهة بالطبيعة ككل و المعرفة إلى تطور علم بالتالى التى تحدث فى عالمنا وتؤدى

مادية علمية صحيحة.

اإلنتاج لمتطلبات نتيجة القديمة العصور فى )االستاتيكا( األجسام العامة التزان الدراسة بدات وقد

البسيطة فى هذا الوقت )كالرافعة والبوابة والمستوى المائل وغيرها( وكان لمؤلفات أرشميدس دور هام

فى هذا الوقت لترسيخ علم االستاتيكا.

الديناميكا فبدأت بعد ذلك بأمد طويل نتيجة النهضة فى النقل والتجارة والصناعة واإلنتاج وصناعة أما

األسلحة واالكتشافات الفلكية، ويرجع الفضل الرئيسى فى تأسيس علم الديناميكا إلى العالمين الكبيرين:

جاليليو جاليلى )1564 – 1642( وإسحق نيوتن )1642 - 1727(.

وفى القرن الثامن عشر بدأت تتطور الطرق التحليلية فى الميكانيكا، والتى بنيت على تطبيق حساب

اآللى الحاسب باستخدام العددية الطرق إلى )باإلضافة التفاضلية المعادالت التفاضل والتكامل وحل

الحالى، ويرجع الوقت الديناميكا، والتى مازالت متبعة حتى العديد من مسائل المتبع حالياا( فى حل

الفضل فى ذلك إلى أبحاث العالمين الفرنسيين دالمبير )1717 – 1783( والجرانج )1736 – 1813(.

وقد وضع أساس ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة العالم الروسى تسيلكوفسكى )1847 – 1921(

الروسى للعالم وكان ، الصواريخ وحركة النفاثة الحركة نظرية فى أساسية باكتشافات قام حيث

كريلوف )1863 – 1945( دور بارز فى وضع نظرية السفن وتطوير نظرية األجهزة الجيروسكوبية.

General relativity theory النظرية الن�سبية العامة

الفيزياء: بالمصطلحات األساسية في يتعلق بما المفاهيم الكثير من النسبية ألينشتاين غيرت النظرية

المكان، الزمان الكتلة والطاقة. حيث أحدثت نقلة نوعية في الفيزياء النظرية وفيزياء الفضاء في القرن

العشرين. عند نشرها ألول مرة وعدلت النظرية الميكانيكة لنيوتن التي كانت قائمة لمدة 200 عام.

ت بأن كل الحركة نسبية. ومفهوم الوقت قامت نظرية النسبية بتحويل مفهوم الحركة لنيوتن، حيث نص

ا بعد أن تغير من كونه ثابتاا ومحدد، إلى كونه بعد آخر غير مكاني. وجعلت الزمان والمكان شيئاا موحدا

كان يتم التعامل معهما كشيئين مختلفين. وجعلت مفهوم الوقت يتوقف على سرعة األجسام، وأصبح

ا أساسياا لفهم الكون.وبذلك تغيرت كل الفيزياء الكالسيكية النيوتونية. د الزمن مفهوما تقلص وتمد

تطبيقات الرياضيات - علمى 4

الحادثة التفاعالت فهم من عمقت حيث كبيرة، أهمية النسبية للنظرية الفيزياءكان مجال في

بين الجسيمات، مما أدى لقدوم العصر النووي، وكذلك باستخدام النظرية النسبية استطاع علماء الكون

والفضاء التنبؤ بظواهر طبيعية وكونية مثل الثقوب السوداء وموجات الجاذبية.

:Quantum mechanics ميكانيكا الكم

على الظواهر لتفسير وذلك العشرين، القرن في ظهرت التي الفيزيائية النظريات من مجموعة هي

مصطلح ليظهر الموجية والخاصية الجسيمية الخاصية بين دمجت وقد والجسيمات الذرة مستوى

ازدواجية )الموجة – الجسيم( ، وبهذا تصبح ميكانيكا الكم مسئولة عن التفسير الفيزيائي على المستوى

ا تطبق على الميكانيكا الكالسيكية، ولكن التظهر تأثيرها على هذا المستوى، لذلك الذري، كما أنها أيضا

فإن ميكانيكا الكم هي تعميم للفيزياء الكالسيكية إلمكانية تطبيقها على المستويين الذري والعادي.

وسبب تسميتها بميكانيكا الكم يعود إلى أهمية الكم في بنائها )وهو مصطلح فيزيائي يستخدم لوصف

أصغر كمية من الطاقة يمكن تبادلها بين الجسيمات، ويستخدم لإلشارة إلى كميات الطاقة المحددة التي

تنبعث بشكل متقطع، وليس بشكل مستمر(.

Femtosecon الفيمتو ثانية

بين )-15(( والنسبة للقوة أي )عشرة مرفوعة الثانية، مليار جزء من مليون ثانية: هو جزء من الفيمتو الثانية والفيمتو ثانية هي النسبة بين الثانية و32 مليون سنة.

في العام1990 تمكن العالم المصرى أحمد زويل من تثبيت اختراعه المعروف بكيمياء الفيمتو، وذلك

ص اختراعه بعد جهد مضن مع فريق بحثه القابع في معهد كاليفورنيا للتقنية امتد منذ العام1979 ، ويتلخ

ل هذا العالم في اختراع وحدة زمنية تخطت حاجز الزمن العادي إلى وحدة زمن الفيمتو ثانية ، وتوص

إلى اكتشافه العلمي باستخدام نبضات ليزر قصيرة المدى وشعاع جزيئي داخل أمبوب مفرغ ، وكاميرا

رقمية ذات مواصفات فريدة، وذلك لتصوير حركة الجزيئات منذ والدتها وقبل التحاقها لباقي الجزيئات

األخرى ، وأصبح باإلمكان التدخل السريع ومباغتة التفاعالت الكيميائية عند حدوثها باستخدام نبضات

العربي العالم هذا جعل وقد الخلية، في والبناء الهدم عمليات ومتابعة للمشاهدة كتليسكوب الليزر

الفضاء أبحاث ، الفيزياء ، الطب في مجال العلمي االكتشاف ا الستخدام هذا مفتوحا الباب العمالق

لت باسمه مدرسة علمية جديدة عرفت باسم كيمياء الفيمتو. وغيره الكثير وسج

5كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

الوحدةاألولى

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف وحدات القياس المختلفة )عند �دراسة الموضوعات المتعلقة بها(

التى � – اإلزاحة المسافة وحدات قياس تستخدم فى قياس األطوال الكبيرة )مثل تستخدم والتى والميل(، الكيلومتر الصغر فى المتناهية األطوال لقياس

)مثل النانومتر( ودراسة العالقة بينها.وحدات قياس الزمن )... – الساعة – �

الدقيقة – الثانية -.... – الفيمتوثانية(، ودراسة العالقة بينها.

وحدات قياس الكتلة )... _ كيلوجرام �– جرام -...( ودراسة العالقة بينها.

وحدات قياس السرعة، والعجلة، والقوة. �

يتعرف مفهوم القوة ، والقوة كمتجه ، �ووحدات قياس مقدار القوة فى ضوء

وحدات القياس السابقة.واتجاها � مقدارا قوتين محصلة يوجد

)القوتان تؤثران فى نفس النقطة(.إلى � معلومة قوة تحليل يتعرف

مركبتين.إلى � معلومة قوة تحليل يتعرف

مركبتين متعامدتين.يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية �

فى نقطة.يبحث اتزان نقطة مادية )جسيم( تحت �

المستوية القوى من مجموعة تأثير

المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية:متالقيتان مستويتان قوتان اتزنت إذا

فى نقطة.اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية إذا

فى نقطة.إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى

نقطة.ا � وجبري هندسيا قوتين محصلة يوجد

فى المعلومات تكنولوجيا مستخدما صورة أنشطة.

فى � درسه ما تطبيقات يتعرف فيزيائية مواقف فى االستاتيكا

وحياتية.

االستــاتيكــا Statics

البكالوريوس وكان نال درجة بإنجلترا حيث أمضى دراسته فى جامعة كامبردج حتى لنكولن نيوتن عام 1642م فى مقاطعة ولد إسحق

ألستاذه »إسحاق بارو« الفضل األكبر فى تنمية معارفه الرياضية، حيث ابتكر نيوتن قوانين الميكانيكا األساسية كما اكتشف قانون الجاذبية

البصريات، أبحاث فى لنيوتن ، كما كان للحركة التفاضلية المعادالت التفاضل واكتشف ابتدع حساب ، كما السماوية األجرام وطبقه على

الذى يتكون الطبيعية للفلسفة الرياضية المبادئ ابتكر تلسكوبا عاكسا بقوة تكبير 30 ضعفا، وقد عرض نيوتن عام 1687م كتاب حيث

العام، الجذب لقانون باإلضافة للحركة نيوتن بقوانين بعد فيما عرف والذى الكالسيكى الميكانيكا علم أساس ويعتبر أجزاء ثالثة من

نفسه عن المشهورة نيوتن أقوال ومن 1727م عام توفى حتى المنصب هذا فى وظل فارس لقب 1705م عام إنجلترا ملكة منحته وقد

»لست أعلم كيف ابدوا للعالم، ولكننى أبدوا لنفسى وكأننى صبى يلعب على شاطئ البحر ، ألهو بين الحين والحين بالعثور على حصاة ملساء

أو صدفة أجمل من العادة، بينما ينبسط محيط الحقيقة العظيم مغلق األسرار أمامى«.

مقدمة الوحدة

أهداف الوحدة

6

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائل دروس الوحدة

مخطط تنظيمى للوحدة

Ñ Scientific calculatorآلة حاسبة علميةÑ Graphical computer programsبرامج رسومية للحاسوب

القوى. الدرس )1 - 1(:

تحليل قوة إلى مركبتين. الدرس )1 - 2(:

محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة الدرس )1 - 3(:

تأثير مجموعة من الدرس )1 - 4(: اتزان جسم جاسئ تحت

القوى المستوية المتالقية فى نقطة.

Ñ Statics استاتيكا Ñ Force قوة Ñ Rigid body جسم جاسئ Ñ Gravitation force قوة التثاقل Ñ acceleration of gravity عجلة السقوط الحر Ñ Newton نيوتن Ñ Dyne داين Ñ Kilogram weight ثقل كيلو جرام Ñ Gram weight ثقل جرام Ñ Line of action of the force خط عمل قوة

Ñ Resolving force تحليل قوة Ñ force Component مركبة قوة Ñ equilibrium of a body اتزان جسم Ñ triangle of forces قاعدة مثلث القوى Ñ lami's rule قاعدة المى Ñ Equilibrium of rigid body اتزان جسم جاسئ Ñ smooth plane مستوى أملس Ñ inclined smooth plane مستوى مائل أملس Ñ centre of gravity مركز ثقل

اتزان جسيم تحت تأثيرالقوى

تطبيقات فيزيائية وحياتية

استخدام التكنولوجيا

إيجاد محصلة القوى

مفاهيم

تحليلياهندسيا

عدة قوىثالث قوىقوتين وحدات قياسخواص

قاعدة مثلث القوى

مضلع القوىالتحليل فى اتجاهين متعامدينالتحليل فى اتجاهين معلومين

قاعدة المى

تحليل القوى إلى مركبتين متعامدتين ووضع س = 0 ، ص = 0

االستاتيكا

عدة قوىثالث قوىقوتين

7

1 سدرال

سوف تتعلم

بعض املفاهيم األساسية ىف �االستاتيكا.

خواص القوة �حمصلة قوتني متالقيتني ىف نقطة. �إجياد حمصلة قوتني متالقيتني ىف �

نقطة حتليليا.

تمهيد:علمت أن االستاتيكا هى فرع الميكانيكا الذى يدرس

القوى وشروط اتزان األجسام المادية التى تؤثر عليها القوى , وستكون دراستنا فى هذه الوحدة على اتزان

األجسام الجاسئة )1( فقط.

الكمية بين الفرق المتجهات علمت فى دراستك ومن

القياسية والكمية المتجهة.

Force القوة: تتوقف حالة اتزان أو حركة الجسم على طبيعة التأثير

أى األخرى، األجسام وبين بينه المتبادل الميكانيكى

نتيجةا لهذا التى تحدث للجسم التنافر أو التجاذب الشد أو على حاالت الضغط أو

التأثير.

تعرف القوة بأنها تأثير أحد االجسام الطبيعية علي جسم طبيعي آخر. ½

يف1عر

ت

خوا�ص القوة:يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية:

أوال: مقدار القوة )قيمتها العددية(.فى القوة لقياس األساسية والوحدة القوى بوحدة بمقارنتها القوة مقدار يتعين

الميكانيكا هى النيوتن )N( أو ثقل الكيلوجرام )kg.wt( حيث:

1 نيوتن = 510 داين ½ 1 ث كجم = 1000 ث جم ،

1 ث جم = 980 داين ½ 1 ث كجم = 9.8 نيوتن ،

) مالم يذكر خالف ذلك( )2(

1- الجسم الجاسئ هو الجسم الذى يحتفظ بشكله دون تشوه إذا وقع تحت تأثير عوامل خارجية.التثاقل )أو الوزن( هى مقدار جذب األرض للجسم ، حيث إن االرض تجذب األجسام الساقطة 2- قوة نحوها وتختلف قيمة عجلة السقوط الحر لألجسام من مكان ألخر على سطح األرض والقيمة التقريبية لها تساوى 9.8 م/ث2 مالم يذكر خالف ذلك.وسيعرض هذا الموضوع بالتفصيل فى مواضع أخرى

فى الميكانيكا.

تذكر اأن

Scalor الكمية القياسيةبقيمتها تاما تحديدا تتحدد العددية مثل المسافة ، الكتلة ،

الزمن ، المساحة ، الحجم...Vector الكمية المتجهة

إلى باإلضافة باتجاهها وتتحدد قيمتها العددية مثل القوة واإلزاحة

والسرعة ،...

القــوىForces

المصطلحاتاألساسية

� Force قوة � Resultant حمصلة � Rigid body جسم جاسئ � Gravitation force قوة التثاقلعجلة السقوط احلر �

Acceleration of gravity � Newton نيوتن� Dyne داين � Kilogram weight ثقل كيلو جرام � Gram weight ثقل جرام

األدوات والوسائل

آلة حاسبة علمية �Scientific calculator

برامج رسومية �Graphical programs

تطبيقات الرياضيات - علمى 8

ثانيا: اتجاه القوةق ويمكن يمثل شكل )1( المجاور متجه القوة

C حيث C ب الموجهة المستقيمة بالقطعة تمثيله

نقطة البداية، ب نقطة النهاية للقطعة المستقيمة

المتجه بمعيار القوة مقدار عن ويعبر الموجهة

|| )طوله()بمقياس رسم مناسب( ويناظر ||C ب

i ق ، وتسمى زاوية اتجاه السهم اتجاه القوة

ق القوة للمتجه فى مستوى القطبية بالزاوية

.)i ، وتكتب على الصورة القطبية كاآلتى )ق

ثالثا: نقطة تأثير القوةق ، ويمكن نقل C عادة على نقطة تاثير القوة فى شكل )1(: تنطبق نقطة ق إلى أى نقطة أخرى، بحيث تقع على خط نقطة تأثير القوة

فى الجسم كما على تأثيرها من ذلك يغير أن دون ق عمل

ق ب فى شكل )1( بخط عمل القوة C شكل )2( خط عمل القوة يسمى   أى أن خط عمل القوة هو الخط المستقيم المار بنقطة تأثيرها والموازى التجاهها.

مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة:، قوة محصلة تؤثر فى نقطة واحدة لكل قوتين مؤثرتين على جسم فى

هندسيا وتمثل القوتان به تقوم الذي التأثير بنفس .تقوم النقطة، نفس

بقطر متوازى األضالع المرسوم بهاتين القوتين كضلعين متجاورين فيه.

I الممثل لقطر متوازى األضالع : ففى الشكل المقابل نجد أنق2 ق1 ، و جـ يمثل محصلة القوتين

ق2 ق1 + = I : أى أن

)GeoGebra( استخدام برنامج مثال

ق1 = 300 نيوتن فى اتجاه الشرق، ق2 قوتان تؤثران فى نقطة من جسم جاسئ ،حيث ق1 ، 1 2X = 400 نيوتن وتعمل فى اتجاه c60 شمال الغرب. أوجد محصلة القوتين.

الحلنختار مقياس رسم 1 سم لكل 100 نيوتن.

|| = 3 سم فى االتجاه الموجب لمحورالسينات. ق1 نرسم ||

c120 = )و ب C c( X و ب القطبية حيث C c نرسم

|| = 4 سم. ق2 نرسم ||

Cشكل )1( سi

ب

صق

اأ�سف اإلى معلوماتك

polar angle الزاوية القطبيةالتى الموجبة الزاوية هى االتجاه مع المتجه يصنعها

الموجب لمحور السينات.

ق: : : :C ب جـ

شكل )2(

ق 2 I

C

ب جـ

و

C

بشمال

غرب شرق

جـ

00 14- 23- 32- 41-

1234

وc120

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ىوـققلا سدرال

9

نكمل رسم متوازى األضالع و C جـ ب.

ق2 ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة و جـ. ق1 ، فتكون محصلة القوتين

أى أن ح - 3.6 * 100 = 360 نيوتن. نحدد باستخدام البرنامج ||و جـ || - 3.6 سم.

ق2 مقدارها 360 نيوتن ق1 ، و C زاوية قياسها c73 /53 / /53 أى أن محصلة القوتين و جـ يصنع مع

.c73 /53 //53 ق1 زاوية قياسها تقريباا وتصنع مع حاول أن تحل

ق2 اللتين تؤثران فى نقطة من جسم جاسئ ق1 ، استخدم برنامج )GeoGebra( فى إيجاد محصلة القوتين 1 ق2 = 500 نيوتن وتعمل في اتجاه c80 شمال الشرق. ق1 = 400 نيوتن وتعمل في اتجاه الشرق ، حيث

The resultant of two force meeting at apoint analytically اإيجاد مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة تحليليا:

ق 2

ق 1

I

C

ب جـ

وى

هـ

ب جـ

ق 2

و هـى

I

ق 1 C

ق2 قوتان متالقيتان فى نقطة )و( وأن قياس الزاوية بين اتجاهى ق1 ، نفرض أن

و جـ تمثل المحصلة ق2 فإن ق1 ، و ب تمثالن ، C و القوتين )ى( فإذا كان

ق1 فإنه كما سبق فى I مع I وبفرض أن هـ هو قياس الزاوية التى تصنعها

من العالقات: ق2 ق1 ، دراسة قاعدة جيب التمام يمكن إيجاد مقدار واتجاه محصلة القوتين

ق2 جا ى ق1 + ق2 جتا ى

+ 2 ق1 ق2 جتا ى   ،  ظاهـ = 2ق2 +

2ق1 = I

I علي الترتيب ق2 ، ق1 ، حيث: ق1 ، قI ، 2 مقادير القوى

مثال

2 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية والزاوية بين اتجاهيهما c45. أوجد مقدار محصلتهما قوتان مقدارهما 3 ، 3 2 وزاوية ميلها مع القوة األولى.

الحل c45 = ى ، 2 ق2 = 3 ، بوضع: ق1 = 3

+ 2 ق1 ق2 جتا ى 2ق2 +

2ق1 = I a

3( + 2)3(2c45 2 جتا 3 * 3 * 2 + 2) = I `

5 نيوتن 3 = 45  =  12

* 2 18 + 18 + 9 =

12 = c45 2 * جا 3

c45 2 جتا 3 + 3` ظاهـ = ق2 جا ى

ق1 + ق2 جتا ىa ظاهـ =

تذكر اأن

قاعدة جيب التمام:

في المثلث C ب جـ يكون:

جـ

جـ

ب

بC

C

C جـ -2ب جـ جتا2

ب +2

= C2

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

10

c26 / 33 / /54 = )هـc(X :وباستخدام اآللة الحاسبة فإن

الحظ أن: الشكل المقابل يمثل المثلث و C ب ، I المحصلة ق2 مع cهـ1 هى زاوية ميل خط عمل حيث

I باستخدام ق1 مع المحصلة cهـ2 هى زاوية ميل خط عمل

قاعدة جيب الزاوية.

الحظ أن: جا )c180 – ى( = جاى

حيث ى = هـ1 + هـ 2ح

جا ىق2 =

جا هـ2ق1 =

جا هـ1فإن:

ق2 ق1 ، وتستخدم هذه القاعدة إليجاد زاوية ميل المحصلة على أى من

ح

جا ىق2 =

جا هـ 2ق1 نستخدم العالقة: ففى المثال السابق: إليجاد زاوية ميل المحصلة مع

5 3جا 45

= 2 3جا هـ2

`

c452 * جا 3 5 3

أى أن جا هـ2 =

ق1 تساوى c26 / 33 / /54 وهو نفس الجواب السابق. ومنها فإن زاوية ميل المحصلة مع

حاول أن تحلقوتان مقدارهما 10 ، 6 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بين اتجاهيهما يساوي c60. أوجد مقدار 2

محصلتهما وزاوية ميلها على القوة األولى.

ق2 فى الحاالت اآلتية: ق1 ، تفكير ناقد: أوجد مقدار واتجاه محصلة القوتين

2- إذا كانت القوتان متساويتين فى المقدار . 1- إذا كانت القوتان متعامدتين.

مثال

ق2 فى كل حالة من الحاالت اآلتية: ق1 ، أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من 3 c90 ق1 = 5 نيوتن ، ق2 = 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما أ

c120 ق1 = ق2 = 16 نيوتن وقياس الزاوية بينهما ب

الحلق2 متعامدتان أى c(Xى( = c90     فتكون جا ى = 1 ، جتاى = 0 ق1 ، a أ

)5(2 + )12(2 = 13 نيوتن = I :لذلك فإن   ق1 2 + ق2 2   ، = I `

125 : ظاهـ =   أى أن 2

ق

ق1ق1 هو: ظاهـ = ويكون اتجاه المحصلة مع

c67 / 22 / /49 ق1 هى ` قياس زاوية ميل المحصلة مع

C

ب

و

هـ1

هـ2 ىق 1

ق 2I

c180 - ى

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ىوـققلا سدرال

11

13 = 12

جا هـ 2  فتكون ق2 = ح

جا هـ 2 الحظ أنه يمكن استخدام العالقة:

c67 /22 //49 = )2هـ c( X `

  وبالتعويض عن ق1 = ق2 = 16 + 2 ق1 ق2 جتا ى 2ق2 +

2ق1 I a = ق ب

)16(2 + )16(2 + 2 * 16 * 16 جتا 120 = 16 نيوتن = I `

ونالحظ من الشكل المرسوم أن: ق1 = قI = 2 = 16 نيوتن وأن المحصلة

المحصلة ميل زاوية أن أى المتساويتين، القوتين بين الزاوية تنصف

c60 = على أى من القوتين

حاول أن تحلق2 فى كل حالة من الحاالت اآلتية: ق1 ، أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من 3

c90 ق1 = 4.5 نيوتن ، ق2 = 6 نيوتن وقياس الزاوية بينهما أ

c60 ق1 = ق2 = 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما ب

حاالت خاصة:1- إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى نفس االتجاه:

المحصلة ½ إيجاد قانون فى وبالتعويض 1 = جتاى يكون الحالة هذه فى

: I = ق1 + ق2 ويكون اتجاه المحصلة فى نفس اتجاه القوتين ، نجد أنوتسمى I فى هذه الحالة بالقيمة العظمى للمحصلة.

2- إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى اتجاهين متضادين:المحصلة ½ إيجاد قانون فى وبالتعويض 1 - = جتاى يكون الحالة هذه فى

: I = |ق1 - ق2| ويكون اتجاه المحصلة يعمل فى اتجاه القوة األكبر نجد أن

ا ، وتسمى I فى هذه الحالة بالقيمة الصغرى للمحصلة. مقدارا

مثال: أوجد القيمتين العظمى والصغرى لمحصلة القوتين 4 ، 7 نيوتن.وتعمل فى اتجاه القوتين. ½ القيمة العظمى = 4 + 7 = 11 نيوتن

وتعمل فى اتجاه القوة 7 نيوتن. ½ القيمة الصغرى = |4 – 7| = 3 نيوتن

مثال

قوتان مقدارهما ق ، 4 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 فإذا كان مقدار محصلتهما 4 . ق1 ق وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع 3 نيوتن فأوجد: مقدار يساوى 4

الحل c120 = ى ،  3 4 = I ، 4 = 2بالتعويض عن: ق1 = ق ، ق

2 + 2 ق1 ق2 جتا ىق2 + 2

ق1 = 2I : فى القانون

c120 (2 = ق2 + )4(2 + 2 * ق * 4 جتا 3 4( `

قى

I

ق

:C

ق2 ق1

:C

ق2 ق1

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

12

: )ق + 4( )ق – 8( = 0  ومنها ق = 8 نيوتن  أى أن ` ق2 – 4ق – 32 = 0

ق2 جا ى ق1 + ق2 جتا ى

I نستخدم القانون: ظاهـ = ق ، إليجاد الزاوية بين

13

4 * جا 120 = 8 + 4 * جتا 120

` ظاهـ =

c30 = 1ق أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع

حل آخر للجزء الثاني:ح

جا ى ق2 = جا هـ 2

I نستخدم قانون الجيب: ق ، إليجاد الزاوية بين

3 4جا 120

= 4جا هـ 2

`

باالختصار والتبسيط 12  جا هـ2 =

c30 ق تساوى أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع

حاول أن تحلقوتان مقدارهما 6 ، ق ث كجم تؤثران قى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c135. أوجد مقدار المحصلة إذا 4

كان خط عمل المحصلة يميل بزاوية قياسها c45على خط عمل القوة التى مقدارها ق.

تعبير شفهى: أوجد محصلة قوتين متساويتين فى المقدار، ولهما نفس خط العمل ويعمالن فى اتجاهين متضادين.

تمــــاريــن الدرس األول

اأكمل ماياأتى:يتحدد تأثير قوة على جسم باآلتى .................................................................................................................................................................................................. 1

ق2 يساوى ...................................................................................................................................................................... ق1 ، متجه محصلة القوتين 2

القيمة العظمى لمحصلة قوتين مقدارهما 4 ، 6 نيوتن متالقيتان في نقطة يساوى .............................................................. 3

القيمة الصغرى لمحصلة قوتين مقدارهما 5 ، 9 نيوتن متالقيتان في نقطة يساوى ............................................................. 4

2 ، 3 نيوتن قوتان فإذا كان قياس الزاوية بينهما c60 فإن مقدار محصلتهما تساوى ....................................................... 5

اختر االجابة ال�سحيحة من بين االإجابات المعطاة:مقدار محصلة القوتان 3 ، 5 نيوتن وقياس الزاوية بينهما c60 تساوى. 6

8 نيوتن د 7 نيوتن ج 6 نيوتن ب 2 نيوتن أ

قوتان مقدارهما 3 ، 4 نيوتن ومقدار محصلتهما 5 نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى 7

c90 د c60 ج c45 ب c30 أ

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ىوـققلا سدرال

13

قوتان متساويتان، مقدار كل منهما 6 نيوتن ومقدار محصلتهما 6 نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى 8

c150 د c120 ج c60 ب c30 أ

قوتان مقدارهما 3 ، ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 ، فإذا كانت محصلتهما عمودية على القوة األولى فإن 9 قيمة ق بالنيوتن تساوى:

6 د 3 3 ج 3 ب 1.5 أ

إذا كانت القوتان 6 ، 8 نيوتن متعامدتان فإن جيب زاوية ميل محصلتهما على القوة األولى تساوى: 10

43 د 34 ج 45 ب 35 أ

اأجب عن االأ�سئلة االآتية:مقدار أوجد .c120 قياسها زاوية بينهما وتحصران مادية نقطة فى تؤثران نيوتن 10 ، 5 مقدارهما قوتان 11

المحصلة وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع القوة األولى.

بينهما c45 أوجد مقدار واتجاه الزاوية تؤثران فى نقطة مادية وقياس 2 ث.كجم 3 ، قوتان مقدارهما 3 12 محصلتهما.

قوتان مقدارهما 15 ، 8 ث. كجم تؤثران فى نقطة مادية ، إذا كان مقدار محصلتهما 13 ث. كجم. فأوجد قياس 13 الزاوية بين هاتين القوتين.

قوتان مقدارهما 8 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 ، فإذا كان مقدار محصلتهما 14 3 نيوتن فأوجد مقدار ق. ق

قوتان مقدارهما 4 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c135 فإذا كان اتجاه محصلتهما يميل 15 بزاوية c45 على ق. أوجد مقدار ق.

قوتان مقدارهما 4 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 ، إذا كانت محصلتهما عمودية 16 على القوة األولى. أوجد مقدار ق.

3 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية فإذا كان مقدار محصلتهما يساوى 2ق نيوتن. فأوجد قوتان مقدارهما ق ، ق 17 قياس الزاوية بين هاتين القوتين.

- 4 أوجد مقدار 5 قوتان مقدارهما 12 ، 15 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وجيب تمام الزاوية بينهما يساوى 18

محصلتهما وقياس زاوية ميلها على القوة األولى.

إذا تضاعفت القوتان و c120 قوتان متساويتان مقدار كل منهما ق ث.كجم تحصران بينهما زاوية قياسها 19 وأصبح قياس الزاوية بينهما c60 زادت محصلتهما بمقدار 11 ث.كجم عن الحالة األولى. أوجد مقدار ق.

c60 قوتان مقدارهما 12 ، ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ، تعمل األولى فى اتجاه الشرق وتعمل الثانية فى اتجاه 20

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

14

علم أن خط عمل المحصلة يؤثر فى اتجاه c30 جنوب إذا جنوب الغرب. أوجد مقدار ق ومقدار المحصلة

الشرق.

إذا 19 نيوتن. و ق1 ، ق2 قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها c120 ومقدار محصلتهما 21 أصبح قياس الزاوية بينهما c60 فإن مقدار المحصلة يساوى 7 نيوتن. أوجد قيمة كل من ق1 ، ق2.

قوتان مقدارهما ق ، 2ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ما ، إذا ضوعف مقدار الثانية وزيد مقدار األولى 22 15 ث.كجم ال يتغير اتجاه محصلتها. أوجد مقدار ق.

تفكير إبداعى:

إذا عكس اتجاه قوتان متساويتان فى المقدار ومتالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتهما يساوى 12 ث.كجم. و 23 إحداهما فإن مقدار المحصلة يساوى 6 ث.كجم. أوجد مقدار كل من القوتين.

الزاوية إذا تغير قياس ، و بينهما هـ الزاوية إذا كان قياس ، ق ومقدار محصلتهما 2ك قوتان مقدارهما ك 24 وأصبحت ) c180 – هـ( فإن مقدار محصلتهما ينقص إلى النصف. أوجد مقدار كل من ك ، ق.

ق ، 2ق قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ى ومقدار محصلتهما يساوى 25

5 ق )م - 1(. إذا كان قياس الزاوية بينهما )c90 – ى( فإن مقدار المحصلة يساوى 5 ق )م + 1( و

م - 2

م + 2أثبت أن ظا ى =

نشاط

25 I 1 فإن المحصلة تصبحX 2X قوتان متالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتها I نيوتن ، إذا عكس اتجاه ، 1X

نيوتن وفى اتجاه عمودى على المحصلة األولى. أوجد قياس الزاوية بين القوتين.

1- اعتبر أن قياس الزاوية بين القوتين ى وزاوية ميل المحصلة مع 1X قياسها هـ.

2X 2- أوجد ظا هـ ثم أوجد ظا )90 - هـ( عند عكس اتجاه

3- أثبت أن 2X = 1X = ق من الخطوة السابقة.

.2X 2 قبل وبعد عكس اتجاهX ،1X 4- أوجد باستخدام قانون مقدار المحصلة محصلة القوتين

1 إليجاد قياس الزاوية بين القوتين؟ استنتج ذلك من العالقات السابقة.5- هل يمكنك استنتاج أن حتا ى = - 2

6- هل لديك طرقا أخرى للحل؟ اذكر إحدى هذه الطرق.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ىوـققلا سدرال

15

تمهيد:ة ة مركبات بوجه عام يعنى إيجاد مجموعة مؤلفة من عد إن تحليل قوة معلومة إلى عد

فى قوة تحليل دراسة على وسنقتصر محصلتها، هى المعلومة القوة تكون ، قوى

اتجاهين معلومين.

تحليل قوة فى اتجاهين معلومينResolution of a force into two components

تحليلها المراد I المحصلة متجه :)1( شكل يبين واللتين و ب ، C و االتجاهين فى مركبتين إلى

I ولتكن تصنعان زاويتين هـ1 ، هـ2 على الترتيب مع

ق2 ق1 ، المركبتان هما:

يبين شكل )2(: مثلث القوى مع مالحظة أنوب C جـ =

)من خواص متوازى األضالع(وبتطبيق قاعدة الجيب نجد أن:

½ ح

جا )هـ1 + هـ2(ق2 =

جا هـ 1ق1 =

جا هـ 2

مثال

، c60 حلل قوة مقدارها 12 نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين 1 c45 فى اتجاهين مختلفين منها.

الحلبتطبيق قاعدة الجيب:

12

c105 جاق2 =

c60 جاق1 =

c45 جا

  - 8.7846 نيوتن 12

c105 جا * c45 ق1 = جا `

  - 10.7589 نيوتن 12

c105 جا * c60 ق2 = جا  

ق 2

ق1

I

C

ب جـ

و هـ2هـ1

شكل )1(

ق 2

ق1

I

C

جـ

و هـ1 هـ1 + هـ2

شكل )2(

ق2I

ق1c60

c45

تحليل القوى Forces resolution

سوف تتعلم

حتليل قوة ىف اجتاهني معلومني. �حتليل قوة ىف اجتاهني متعامدين. �

2 سدرال

المصطلحاتاألساسية

� force Component مركبة قوة

� triangle of forces مثلث قوى

� centre of gravity مركز نقل

األدوات والوسائل

آلة حاسبة علمية - برامج �رسومية للحاسوب

تطبيقات الرياضيات - علمى 16

حاول أن تحلحلل قوة مقدارها 36 نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين c45 ، c30فى اتجاهين مختلفين منها. 1

تطبيقات حياتيةمثال

ب جـ ، C جـ بحبلين معدنيين نيوتن معلق مصباح وزنه 20 2 .c5 يميالن على األفقى بزاويتين متساويتين قياس كل منهما

،ب جـ مقرباا الناتج ½ C جـ حلل وزن المصباح فى االتجاهين

ألقرب نيوتن.

الحلنمثل قوة الوزن )20 نيوتن( بمتجه يعمل رأسيا ألسفل نقطة بدايته هى النقطة و.

نحلل متجه الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين كما يلى:

   أى أنه: 20جا 170

و2 = جا 85

و1 = جا 85

 ومن ذلك تكون: جا 85جا 170

 و1 = و2  = 20 ×

 و1 = و2  = 114.73713 - 115 نيوتن.

تفكير ناقد: ماذا يحدث لمقدار مركبة الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين إذا نقص قياس زاويته مع األفقى عن ر إجابتك. c5؟ وماذا تتوقع لمقدار مركبة الوزن عندما يصبح الحبل المعدنى أفقيا؟ فس

حاول أن تحلالشكل المقابل: 2

في إحداهما مركبتين إلى 120ث.جم الرأسية القوة حلل

االتجاه األفقي واألخرى في اتجاه يصنع مع خط عمل القوة

.c48 زاوية قياسها

Resolution of a force into two perpendicular components تحليل قوة فى اتجاهين متعامدين

I فى نقطة مادية )و( كما فى الشكل المجاور وكانت إذا أثرت القوة

اتجاه يميل على ق1 اتجاه ق2 حيث ، ق1 المتعامدتين مركبتيها

I بزاوية قياسها هـ ، فإن متوازى األضالع يؤول فى هذه الحالة إلى

المستطيل Cجـ ب و ، وبتطبيق قانون الجيب على المثلث وC جـ فإن:

ق2 = ح ½جا هـ

ق1 = جتا هـ

:  أى أن ح

جا 90ق2 =

جا هـق1 =

جا )90 - هـ(

20

جـ

C

و2 و1

ب

وc85 c85

120

C

الرأسي

c48

ب

جـ

ق2

ق1

ق2

ق1

I

C

ب جـ

و هـc90 - هـ

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2وقـا ىوـلا سدرال

17

: ومن ذلك نسنتنتج أنق1 )مقدار المركبة فى اتجاه معلوم( = I جتا هـ ½

ق2 )مقدار المركبة فى االتجاه العمودى على االتجاه المعلوم( = I جا هـ ½

مثال

مع تصنع إحداهما متعامدين اتجاهين فى نيوتن 18 مقدارها قوة حلل 3 القوة زاوية قياسها 60

الحل1 = 9 نيوتن

2 * 18 = c60 ق1 = 18 جتا

3 نيوتن. 9 = 32

ق2 = 18 جا 60 = 18 *

حاول أن تحل2 والتى تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى إلى مركبتين إحداهما فى اتجاه الشرق واألخرى حلل قوة مقدارها 6 3

فى اتجاه الشمال.

Inclined Plane الم�ستوى المائل المستوى المائل هو سطح يميل على األفقى بزاوية معلومة، كما هو موضح بالشكل

ح فى األشكال الجانبية باللون األزرق وخط أكبر ميل للمستوى هو الخط الموض

إذا رمزنا لطول خط أكبر ميل بالمسافة )ف( و

وارتفاع السطح المائل بالمسافة )ع( ،

زاوية ميل المستوى على األفقى بالرمز )هـ(

.ع

ففإن جاهـ =

ولرفع جسم وزنه )و( نستخدم قوة موازية للسطح مقدارها )ق(.

ا أقل من وزن الجسم، كما ويستخدم السطح المائل لتقليل الجهد الالزم لرفع األجسام، حيث إن )ق( تكون دائما

يتضح من المثال اآلتى:

مثال

.c30وضع جسم وزنه 6 نيوتن على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها 4 أوجد مركبتى وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.

الحلشكل )1(: يبين قوة وزن الجسم 6 نيوتن وتؤثر رأسيا إلى أسفل ، مركبة ، للمستوى وألسفل ميل أكبر اتجاه خط فى تعمل ق1 الجسم وزن

ق2 وتعمل فى االتجاه العمودى للمستوى وألسفل. والمركبة األخرى

c60ق1

ق2

18 نيوتن

ف ع

هـ

ف

هـ

ع

ق1

6ق2

c30

c30

شكل )1(

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

18

شكل )2(: يبين تمثيل القوى الثالث بمتوازى أضالع القوى وC جـ ب. )الحظ أن الشكل مستطيل(.

شكل )3(: يبين مثلث القوى وC جـ وبتطبيق قاعدة الجيب:

6 =  ق2جا 60  =  ق1

جا 30

: ق1 = 6 جا 30 = 3 نيوتن ، أى أن

3 نيوتن.   ق2 = 6 جتا 30 = 3

ق نفسها ؟ فسر إجابتك. ق أقل من القوة تعبير شفهى: هل مركبتى القوة

حاول أن تحلاألفقى على يميل مستو على موضوع نيوتن 36 وزنه مقدار جاسىء جسم 4 ألسفل للمستوى موازى اتجاه فى الوزن مركبتى أوجد .c60 قياسها بزاوية

واالتجاه العمودى عليه.

تمــــاريــن الدرس الثانى

اأكمل ماياأتى:

قوة مقدارها 6 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال تم تحليلها الي مركبتين متعامدتين 1 فإن مركبتها فى اتجاه الشرق تساوى ............................... نيوتن.

اتجاه فى مركبتها فإن متعامدتين مركبتين الي تحليلها تم الشرق اتجاه فى تعمل نيوتن 2 4 مقدارها قوة 2 الشمال الشرقى تساوى ............................... نيوتن.

فى شكل )1(: 3

معها تصنعان اللتين ق2 ، ق1 مركبتين إلى I القوة حللت أ إذا

|| = 12 نيوتن ، I زاويتين قياساهما c45 ، c30 من جهتيها وكان ||

فإن: ق1 = ............................................... نيوتن ، ق2 = ............................................... نيوتن.

فى شكل )2(: 4 ق2 اللتين تصنعان ق1 ، I إلى مركبتين أ إذا حللت القوة

معها زاويتين قياساهما c90 ، c45 من كلتا جهتيها وكان

I || = 18 نيوتن ، فإن: ق1 = ............ نيوتن ، ق2 = ............ نيوتن ||

ق2

ق1C

جـ

و

c30

6

شكل )3(

ب

ق1C

جـ

و

c30

6ق2

شكل )2(

اأ�سف اإلى معلوماتك

مركز ثقل الجسم الجاسئدائما بها يمر التى النقطة هى الخط الرأسى المار بنقطة التعليق عندما يعلق الجسم من أى نقطه

عليه فعلى سبيل المثال.كروى جسم ثقل مركز )1(النقطة هى ومتجانس منتظم التى يقع فيها مركز هذا الجسم.منتظم قضيب ثقل مركز )2(منتصف هو والكثافة السمك

هذا القضيب.

c45

ق2

ق1

I

شكل )1(

c30

c45

ق2

ق1

I

شكل )2(

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2وقـا ىوـلا سدرال

19

فى شكل )3(: 5

ق2 وكان متجه القوة ق1 ، ق إلى مركبتين متعامدتين أ إذا حللت القوة ق

2 ث كجم 6 = || ق ق2 وكان || ق1 ، ينصف الزاوية بين اتجاهى

|| =................................................ ث كجم ، ق1 فإن: ||

|| =................................................ ث كجم. ق2 ||  

فى شكل )4(: 6

2 نيوتن تعمل فى اتجاه c30 شمال الغرب. قوة مقدارها 12 أ

مقدار مركبة القوة فى اتجاه الغرب =................................................... نيوتن. ½

مقدار مركبة القوة فى اتجاه الشمال =................................................ نيوتن. ½

.c45 ، c30 قوة مقدارها 600 ث جم تؤثر فى نقطة مادية. أوجد مركبتيها فى اتجاهين يصنعان معها زاويتين 7

قوة مقدارها 120 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى. أوجد مركبتيها فى اتجاه الشرق واتجاه الشمال. 8

حلل قوة أفقية مقدارها 160 ث جم فى اتجاهين متعامدين أحدهما يميل على األفقى بزاوية قياسها c30 إلى 9 أعلى.

قوة مقدارها 18 نيوتن تعمل فى اتجاه الجنوب. أوجد مركبتيها فى اتجاهى c60 شرق الجنوب، واألخرى فى 10 اتجاه c30 غرب الجنوب.

جسم جاسىء وزنه 42 نيوتن موضوع على مستو يميل على األفقى بزاوية قياسها c60. أوجد مركبتى وزن هذا 11 الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.

تفكير إبداعى:مستوى مائل طوله 130 سم وارتفاعه 50 سم وضع عليه جسم جاسىء وزنه 390 ث جم. أوجد مركبتى الوزن 12

فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.

ق2

ق1

ق

شكل )3(

ق2

ق1 c30

شكل )4(

2 نيوتن 12

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

20

سوف تتعلمسبق أن درست إيجاد محصلة قوتين مؤثرتين على جسم جاسئ فى نقطة واحدة، حيث

متجاورين القوتين كضلعين بهاتين المرسوم متوازى األضالع بقطر مثلت هندسيا

فيه.

ة قوى متالقية فى نقطة واحدة هندسيا؟ فهل يمكنك إيجاد محصلة عد

ا: مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة هند�سي

ق2 ، ق1 القوى مجموعة أثرت إذا

قن في نقطة مادية كما ، .... ق3 ، ،

فى شكل )1( فيمكن تمثيلها بمضلع مقفل، وذلك باستخدام مقياس رسم مناسب

ق1 و C الذى يمثل ونرسم المتجه

ق2 C ب الذى يمثل ثم نرسم

ق3 وهكذا..... ثم نرسم ب جـ الذى يمثل

وذلك قن المتجه نهاية إلى نصل حتى

. E هـ برسم

المتجه و هـ الذى يعمل فى االتجاه الدورى

المضاد يمثل محصلة القوى المعطاة، حيث:

قن ق3 + ... + ق2 + ق1 + = I

ومن القوى بمضلع المضلع هذا ويسمى

ما قوى مضلع تكوين أن مالحظة السهل

هو إال تطبيق لقاعدة مثلث القوى عدة مرات متتالية.

)GeoGebra( استخدام برنامج مثال

ق4 أربع قوى تؤثر فى نقطة من جسم جاسئ ، حيث ق3 ، ق2 ، ق1 ، 1 اتجاه فى وتعمل نيوتن 300 = ق2 ، الشرق اتجاه فى وتعمل نيوتن 400 = ق1

200 نيوتن 500 نيوتن وتعمل فى اتجاه الشمال الغربى ، ق4 = الشمال ، ق3 =

وتعمل بزاوية قياسها c30 جنوب الغرب. أوجد محصلة هذه القوى.

ق2ق3

Kق

ق1

C

ب

جـ

و

هـI

E

شكل )2(

ق2

ق3

Kق

ق1

I

شكل )1(

مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطةThe resultant of coplanar forces meeting at a point3 س

درال

المصطلحاتاألساسية

األدوات والوسائل

حمصلة عدة قوى مستوية متالقية �ىف نقطة هندسية.

حمصلة عدة قوى متالقية ىف �نقطة حتليليا.

� Resultant حمصلة. مركبة جربية. �

Algebraic component � Unit vector متجه وحدة.

آلة حاسبة علمية � Scientific calculator

برامج رسومية للحاسوب �

21كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

الحل)geogebra( استخدام برنامج

نرسم القطع المستقيمة الموجهة التى تمثل القوى بمقياس رسم 1: 100

C ب الذي طوله 4 وحدات فى فنرسم من نقطة األصل المتجه

اتجاه الشرق.

ب جـ الذي طوله 3 وحدات فى ثم نرسم من نقطة ب المتجه

اتجاه الشمال.

جـ E الذي طوله 5 وحدات فى المتجه ثم نرسم من نقطة جـ

اتجاه الشمال الغربى.

c30 هـ الذي طوله 2 وحدة فى اتجاه E ثم نرسم من E المتجه

جنوب الغرب.

C هـ يعبر عن المحصلة. فيكون المتجه

|| = 5.68 وحدة طول. C هـ من الرسم ||

c102.89 مقدار المحصلة = 5.68 * 100 = 568 نيوتن ، وتصنع المحصلة مع الشرق زاوية قياسها

ا مح�سلة عدة قوى م�ستوية متالقية فى نقطة تحليليThe resultant of coplanar forces meeting at apoint analytically

قن المستوية والمتالقية فى نقطة وفى نظام إحداثى متعامد، وكانت ق3 ،..... ، ق2 ، ق1 ، إذا أثرت القوى

ص هما متجها الوحدة فى اتجاه س ، تصنع الزوايا القطبية التى قياساتها هـ1 ، هـ2 ، هـ3 ، ......... ، هـن وكانت

قن ق3 + ..... + ق2 + ق1 + = I و س ، و ص فإن: 

و س ، و ص المتعامدين فإن: وبتحليل كل قوة فى اتجاهى

) N M ، ق1 حا هـ1 I = )ق1 حتا هـ1

) N M ، ق2 حا هـ2 + )ق2 حتا هـ2

) N M ، قن حا هـن    + ................. + )قن حتا هـن

M I = )ق1 حتا هـ1 + ق2 حتا هـ2 + ....... + قن حتا هـن(

N + )ق1 حا هـ1 + ق2 حا هـ2 + ....... + قن حا هـن(

N )Sحا هـ Sق ن

1 = S( + M )SحتاهـSق

ن

1 = S( = I

قSحتاهـS بالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و س ويرمز له بالرمز س. ½ن

1 = Sيسمى المقدار:

قSحاهـS بالمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص ويرمز له بالرمز ص. ½ن

1 = Sيسمى المقدار:

C ب

جـ

E

هـ

المحصلة

شمال

غربشرق

c30

c45

c102.89

س

ص

هـ1هـ

هـ2

Kهـ

س

ص

ق2

ق3Kق

ق1

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

22

N M + ص I = س ومن ذلك نكتب

وتكون ح معيار المحصلة ، هـ هى قياس الزاوية القطبية لها صس

س2 + ص2 ، ظا هـ = = I : أى أن

مثال

أربع قوى مستوية تؤثر فى نقطة مادية. األولى مقدارها 4 نيوتن وتؤثر فى اتجاه 2 والثالثة الشرق شمال c60 اتجاه فى وتؤثر نيوتن 2 مقدارها والثانية الشرق

3 نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60 غرب الجنوب. مقدارها 5 نيوتن وتؤثر فى اتجاه c60 شمال الغرب والرابعة 3

أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

الحل3 نيوتن قياس زواياها القطبية هى c210 ، c120 ، c60 ، c0 على الترتيب نوجد المجموع القوى 4 ، 2 ، 5 ، 3

و س الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه

c210 3حتا 3 + c120 5 حتا + c60 2 حتا + c0س = 4 حتا

2 - = 92 - 5

2 - 1 + 4 = 32 * 3 3 - 12 * 5 - 1

2 * 2 + 4 =   

c2103 جا 3 + c120 5 حا + c60 2 حا + c0ص = 4 حا 12 * 3 3 - 32 * 5 + 32 * 2 + 0 =   

3 2 = 3 32 - 3 5

2 + 3 =   

16 = 4 نيوتن = 12 + 4 س2 + ص2 = = I ويكون   ص 3 س + 2 2 - = I `

     3 - = 232- ص =

سظا هـ =

a س > 0 ، ص < 0

   c120 = هـ `

c120 أى أن مقدار محصلة القوى يساوى 4 نيوتن وتصنع زاوية قطبية قياسها

حاول أن تحل3, 40 نيوتن فى نقطة، بحيث كانت الزاوية بين اتجاهى تؤثر القوى المستوية التى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 1 والرابعة الثالثة القوتين اتجاهى c90 وبين والثالثة الثانية القوتين اتجاهى والثانية c60 وبين األولى القوتين

c150. أوجد مقدار واتجاه المحصلة.

مثال

3 ، 4 ث كجم فى نقطة C فى 2 ، 8 ، 3 C ب جـ E هـ و شكل سداسى منتظم تؤثر القوى التى مقاديرها 2 ، 4 3 C و على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C هـ ، ، E C C جـ ، C ب ، االتجاهات

3 3

س

ص

س

ص

c60c60c60c30

25

4و

تذكر اأن

)سيجما( الرمز يسمى

ن

1 = Sوالعبارة التجميع برمز

من بدأ عنصرا ن مجموع العنصر األول.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3ةطـقم ف ة قلا ـكلتم كوقـم ع لـحم سدرال

23

الحلC ب هو اتجاه القوة األولى فتكون الزوايا القطبية للقوى هى: c120 ، c90 ، c60 ، c30 ، c0 على باعتبار

الترتيب.

c120 4 حتا + c90 3 حتا 2 + c60 8 حتا + c30 3 حتا 4 + c0 س = 2 حتا `

12 * 4 - 0 * 3 2 + 1

2 * 8 + 32

* 3 4 + 2 =

= 2 + 6 + 4 - 2 = 10 نيوتن

c60 8 حا + c30 3 حا 4 + c0 ص = 2 حا  

c120 4 حا + c90 3 حا 2 +   32

* 4 + 3 2 + 32

* 8 + 12 * 3 4 + 0 =   

3 نيوتن 10 = 3 2 + 3 2 + 3 4 + 3 2 =   

3 = 3 1010

ص = س

 ظا هـ = 3(2 = 20 نيوتن 10( + 2)10( س2 + ص2 = = I `

EC  أي أن المحصلة تعمل في اتجاه c60 = )هـc(X ` a س < 0 ، ص < 0

تمــــاريــن )3-1(

اأكمل ماياأتى:

N فإن: ق3 = 6 ، N 2 - M ق2 = ، M ق1 = 2 إذا كانت القوى 1 مقدار محصلة القوى = ......................................... واتجاهها = .........................................

N M - 3ب C 2 = I ، N 8 - M ق2 = 4 ، N 2 - M ق1 = 2 إذا كانت القوى 2 فإن: C = ......................................... , ب = .........................................

N 4 - M 6 = I ، N M - ب ق3 = 4 ، N - M C = 2ق ، N 2 - M ق1 = 3 إذا كان 3 فإن: C = ......................................... , ب = .........................................

أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى المبينة فى كل شكل من األشكال اآلتية: 4

شكل )2(

س

ص

و

ص

c30c45

3 4

2 3

3 2

س

شكل )3(

سc30

ص

1

2

ص

c60

3 3

3 4

س

شكل )1(

سc45

ص

و

2

4

ص

2 4

س

Cس

ب

ص

وجـ

Eهـ

3 2

3 4

8

2

4c30

c30

c30c30

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

24

شكل )5(مستطيل بعداه 6سم ، 8سم

C ب

Eجـ

7

5

10

6 سم

8 سم

شكل )6(

C ب

وجـ

Eهـ4

8

6

سداسى منتظم

3 4

3 2

شكل )4(

C

جـب

3 6

4

4

مثلث متساوى الساقين

c120

3 ، 12 ث كجم فى نقطة مادية وكان قياس الزاوية بين األولى والثانية c60 وبين الثانية أثرت القوى 3 ، 6 ، 9 5 والثالثة c90 وبين الثالثة والرابعة c150. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى

c30 ثالث قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 نيوتن تؤثر فى نقطة مادية األولى نحو الشرق والثانية تصنع زاوية 6 غرب الشمال والثالثة تصنع c60 جنوب الغرب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

3 ، 40 ث جم تؤثر فى نقطة مادية األولى تؤثر فى اتجاه الشرق والثانية أربع قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 7 c60 شمال الغرب والرابعة تؤثر فى اتجاه يصنع c30 شمال الشرق والثالثة تؤثر فى اتجاه c60 تؤثر فى اتجاه

جنوب الشرق. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

C ب جـ مثلث متساوى األضالع ، م نقطة تالقى متوسطاته أثرت القوى التى مقاديرها 15 ، 20 ، 25 نيوتن فى 8 . أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C م م ب ، م جـ ، نقطة مادية فى االتجاهات

9 ، 2 ب جـ بحيث ب هـ = 5سم. أثرت قوى مقاديرها 2 ، 13 ، 4 C ب جـ E مربع طول ضلعه 12سم ، هـ ∋ 9 E C على الترتيب. أوجد محصلة هذه القوى. ، C جـ C هـ ، C ب ، ث جم فى االتجاهات

تفكير إبداعى:

N ثالث قوى مستوية M + ب ق3 = -14 ، N 6 + M C = 2ق ، N 3 + M ق1 = 5 إذا كانت 10 c135 ، 2(. أوجد قيمتي C ، ب. 10( = I ومتالقية في نقطة وكانت المحصلة

الشكل المقابل: يبين أربع قوى مستوية ومتالقية فى نقطة )و( فى 11 القوى 4 وكانت محصلة هذه

5 االتجاهات الموضحة حيث حا هـ =

و س 2 نيوتن وتصنع زاوية قياسها c135 مع تساوى 8

أوجد قيمتى X ، ك.

س

ص2ك

س

ص

ك

هـ

هـ وهـ

هـ

X2

X4

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3ةطـقم ف ة قلا ـكلتم كوقـم ع لـحم سدرال

25

اتزان ج�سيم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة

Equilibrium of a particle under the action of coplanar forces meeting at a point

اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير قوتينEquilibrium of a rigid body under the action of two forces

عمل تعاونى

ا وزنة 20 ث كجم على كفة ميزان 1- ضع جسماالميزان قراءة والحظ ملساء أفقى ضغط

حينئذ. كما فى الشكل )1(.

الجسم نفس يربط أن زميلك من اطلب -2الخيط نهاية ويربط أملس خفيف بخيط

فى خطاف ميزان زمبركى، ويالحظ قراءة

الميزان فى وضع السكون.

3- قارن بين النتائج فى كل من التجربتين ماذا تالحظ؟نالحظ أن:

كل من قوتى رد الفعل S فى التجربة األولى ½

الثانية التجربة فى الخيط فى الشد وقوة

تساوى 20 ث كجم وهو وزن الجسم.

�سروط اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير قوتين

يتزن الج�سم الجا�سىء تحت تاأثير قوتين فقط اإذا كانت القوتان:1- متساويتين فى المقدار.  2- متضادتين فى االتجاه.  3- خطا عملهما على استقامة واحدة

مثال

نيوتن واللتان 3 ، 5 تتزن مع قوتان مقدارهما التى مقدارها ق القوة إذا كانت 4 تحصران بينهما زاوية قياسها c60 فأوجد قيمة ق؟

الحلنوجد محصلة القوتان 5 ، 3 نيوتن من القانون:

c60 25 + 9 + 2 * 5 * 3 حتا = I `    + 2 ق1 ق2 جتا ى2ق2 +

2ق1 = I

49 = 7 نيوتن = 15 + 9 + 25 = I `

 ` ق = 7 نيوتن a القوة )ق( ومحصلة القوتان 5 ، 3 نيوتن فى حالة اتزان.

رد فعل الميزان

الشد فى الخيط

S = 20 ث كجم

و = 20 ث كجم

ش = 20 ث كجم

و = 20 ث كجم

وزن الجسم 20 ث كجم

وزن الجسم 20 ث كجم

)1ل )

شك)2

ل )شك

c60

3

5X

سوف تتعلم

اتزان جمموعة من القوى �املستوية املتالقية ىف نقطة.

اتزان جسم حتت تأثري قوتني. �اتزان جسم حتت تأثري ثالث �

قوى سنوية ومتالقية ىف نقطة.قاعدة مثلث القوى. �قاعدة الجما. �نظرية القوى الثالث. �

المصطلحاتاألساسية

قاعدة مثلث القوى. �Triangle of forces rule

� Lami`s rule قاعدة المى. � Triangle مضلع القوى.

األدوات والوسائل

آلة حاسبة علمية � Scientific calculator

برامج رسومية للحاسوب. �

4 سدرال

تطبيقات الرياضيات - علمى 26

حاول أن تحلإذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع القوتين المتعامدتين التى مقدار كل منها 5 ، 12 نيوتن فأوجد قيمة ق. 1

اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير ثالث قوى م�ستوية ومتالقية فى نقطة Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint نقطة، تأثير عدة قوى مستوية ومتالقية فى الالزم والكافى التزان جسم جاسئ تحت الشرط سبق وأن درست وعلمت أنه يمثل بمضلع مقفل، كذلك يمكن تمثيل ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة ومتزنة بأضالع مثلث

مأخوذة فى ترتيب دورى واحد.

Triangle of forces قاعدة مثلث القوى ق2 تؤثران على جسم جاسىء ق1 ، شكل )1(: يمثل القوتان

و ب ، C و  تعمالن فى

تعمل فى والتى ) ق2 + ق1 القوتين هي ) وتكون محصلة هاتين

القطر و جـ من متوازى األضالع و C جـ ب.

( فى المقدار وتضادهها فى االتجاه ق2 ق1 + ق3 تساوى )

ق3 مجموعة متزنة. ق2 , ق1 , Ñ 0 ق3 = ق2 + ق1 + : أى أن

ق3 ق2 , ق1 , شكل )2(: يمثل مثلث القوى للمجموعة المتزنة حيث إن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المتناظرة.

ق3جـ و

 =  ق2C جـ

 =  ق1C و

 : أى أن

مثال

علق ثقل مقداره 12 نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله 130سم والطرف اآلخر للخيط مثبت فى نقطة 5 على حائط رأسي. جذب الجسم بتأثير قوة أفقية حتى اتزن وهو على بعد 50سم من الحائط. أوجد مقدار كل

من القوة والشد فى الخيط.

الحلالثقل متزن تحت تاأثير القوى الثالث:

قوة الوزن )12 نيوتن( وتعمل رأسيا ألسفل. ½

القوة األفقية ق. ½½ Cب الشد فى الخيط ش ويعمل في

C جـ من فيثاغورث. نوجد طول

)130(2 - )50(2 = 120 سم C جـ =

المثلث ب C جـ مثلث القوى: ق50

= 12120

ش = 130

شكل )1(C

ب

و

جـ

+

ق1

ق2ق1

ق2

ق3

شكل )2(Cو

جـ

ق1

ق3ق2

Xب

12

C

جـ

ش

120 سم 130 سم

50 سم

C

جـب

ش

12

X

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4ىـىى ي ــت وا ـلوتس لالفم ا ىوـلا ىت ـكلتم ىتكوقـم ع لـحم سدرال

27

ش = 13 نيوتن ، ق = 5 نيوتن

حاول أن تحلعلق ثقل مقداره 16 نيوتن فى آحد طرفى خيط خفيف مثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى ، أزيح 2 الثقل بقوة فى اتجاه عمودى على الخيط حتى أصبح الخيط فى وضع التوازن يميل على الحائط بزاوية قياسها

c30. أوجد مقدار القوة والشد فى الخيط.

lami''s theorem قاعدة المى

C

بجـ

هـ2

هـ1

هـ3

3Xق2

شكل )2(1X2هـ

هـ3هـ1

3X

2X

1X)1( شكل

باستخدام قاعدة الجيب نجد أن:

ق3

حا هـ3ق2 =

حا هـ2ق1 =

حا هـ1أى أن C ب

حا )180 - هـ3( = C جـ

حا )180 - هـ2(ب جـ =

حا )180 - هـ1(

: مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين األخريين عندما تكون القوى الثالث أى أن متزنة ومتالقية فى نقطة.

مثال

ثالث قوى مقاديرها 60 ، ق ، ك نيوتن متزنة ومتالقية فى نقطة فإذا كان قياس الزاوية بين القوتين األولى 6 والثانية c120 وبين الثانية والثالثة c90. فأوجد مقدار كل من ق ، ك.

الحل

المجموعة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث االآتية:القوة 60 نيوتن ، القوة ق نيوتن ، القوة ك نيوتن بتطبيق قاعدة المى:

ك

c120 حاق =

c150 حا = 60

c90 حا

3 نيوتن : ق = 30 نيوتن ، ك = 30 أى أن 2ك 3

60 = 2ق = 1

حاول أن تحلفى الشكل المقابل ثقل مقداره 10 نيوتن معلق بخيطين يميل األول على 3 .c40 ويميل األخر على األفقى بزاوية قياسها c30 األفقى بزاوية قياسها

أوجد ق1 ، ق2 فى حالة االتزان.

c150c120

60

X

ك

c40 c30ش1 نيوتن

10 نيوتن

2 نيوتن ش

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

28

نظرية القوى الثالث:إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية

فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة.

السمك والكثافة وزنه )و( على حائط اتزن قضيب منتظم إذا مثال:

رأسى أملس وأرض أفقية خشنة فإن:

مركز ثقل وزن القضيب يعمل فى منتصفه واتجاهه رأسيا ألسفل. ½

رد فعل الحائط الرأسي )1S( يكون عموديا على الحائط ويعمل ½

. E ب فى اتجاه

رد فعل األرض األفقية الخشنة )2S( غير محدد االتجاه ولتحديد ½

( كما فى الشكل. 1S ، و E C الذى يمر بالنقطة E )نقطة تالقى خطى عمل اتجاهه نرسم

مثال

كرة معدنية منتظمة وزنها 1.5 ث كجم وطول نصف قطرها 25سم ، ربطت من إحدى نقط سطحها ب بخيط 7 طوله 25سم ومربوط طرفه اآلخر C من نقطة فى حائط رأسى فاتزنت الكرة وهى مستندة على الحائط. أوجد

مقدار الشد فى الخيط ومقدار رد فعل الحائط.

الحل

الكرة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث:وزن الكرة 1.5 ث كجم ويؤثر رأسيا ألسفل. ½

رد فعل الحائط على الكرة )S( ويوثر عند نقطة تماس الكرة مع الحائط، ويعمل فى إتجاه عمودى على الحائط ½

ا بالمركز )م(. مارا

ويمر ½ C ب اتجاه فى ويعمل )ش( الخيط فى الشد

فعل ورد الكرة وزن قوتي تالقى نقطة )م( بالمركز

الحائط.

المثلث م C جـ هو مثلث القوى، حيث

م C = 25 + 25 = 50سم 2)25( - 2)50( ومن نظرية فيثاغورث: C جـ =

3سم 25 =

وبتطبيق قاعدة مثلث القوى: S25

= 1.5253

ش = 50

3 ث كجم.2

= S ، 3ث كجم : ش = أى أن

C

2S

1Sب

جـ

و

E

تذكر اأن

يقع المنتظمة الكرة ثقل مركز في مركزها الهندسي.

1.5

C

ب

ش

Sجـمش

50 سم

25 سم

1.5

C

جـم ر

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4ىـىى ي ــت وا ـلوتس لالفم ا ىوـلا ىت ـكلتم ىتكوقـم ع لـحم سدرال

29

فكر: هل يمكنك حل المسألة السابقة بطرق أخرى؟ اذكر هذه الطرق ثم حل المسألة بإحدى هذه الطرق.

حاول أن تحلكرة منتظمة ملساء وزنها 100 ث جم وطول نصف قطرها 30سم معلقة من نقطة على سطحها بأحد طرفى 4 خيط خفيف طوله 20سم ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس. أوجد فى وضع التوازن كال من

الشد فى الخيط ورد فعل الحائط.

مثال

فإذا كان ، خطاف فى ثبت طرفاهما بحبلين نيوتن من طرفيه 30 منتظم طوله 100سم ووزنه علق قضيب 8 ا الحبالن متعامدين وطول أحدهما 50سم. فأوجد مقدار الشد فى كل من الحبلين عندما يكون القضيب معلقا

ا وفى حالة اتزان. ا مطلقا تعليقاا حر

الحل

الق�سيب متزن تحت تاأثير القوى الثالث:وزنه 30 نيوتن ويعمل رأسيا ألسفل ويؤثر عند منتصفه ، الشد فى

ب جـ على ، C جـ االتجاهين ، ش2 ويعمالن فى الحبلين ش1

الترتيب ويتقاطعان على التعامد عند نقطة جـ.

جـ E مرسومة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر a

C 1 ب = 50سم2 = E جـ `

` C جـ E مثلث متساوى األضالع

c30 = )E ب جـc(X ، c60 = )E جـ Cc(X `

بتطبيق قاعدة المى:

3 نيوتن ومنها ش1 = 15 نيوتن ، ش2 = 15 30

c90 حاش2 =

c120 حاش1 =

c150 حا

فكر: استخدام طرق أخرى لحل المسألة السابقة.

مثال

خيط طرف فى معلق ك مقداره ثقل المقابل: الشكل فى 9 وينتهى طرف الخيط بخيطين يمران على بكرتين ملساوين

عند ب ، جـ ويحمالن ثقلين مقدار كل منهما 30 ، 20 ث جم

أوجد مقدار الثقل ك ، قياس زاوية هـ في وضع اإلتزان

C

ش2ش1

50 سم

50 سم

50c60 سم

c30

ب

جـ

E

30 نيوتن

اأ�سف اإلى معلوماتك

ملساء بكرة على خيط مر إذا فإن مشدودا الخيط وكان البكرة جانبى على الشدين

متساوى.

1 ش

ش2

ش1ش2

C

30 ث كجم 20 ث كجم

ك ث كجم

األفقيc60

ب جـ

هـ

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

30

الحلفي الشكل السابق: نفرض أن ش1 ، ش2 هما الشدان فى الخيطين

C جـ C ب ، ويعمالن فى اتجاهى

ش1 = 30 ث كجم ، ش2 = 20ث كجم البكرتان ملساوان فإن:

المجموعة متزنة تحت تأثير ثالث قوى هى:

وزن الجسم ك ث كجم والشد فى الخيطين ش1 ، ش2

بتطبيق قاعدة المى: وبالتبسيط ك

])c60 + هـ( - c180[ حا = 20

)c90 + c60( حا = 30

حا )c90 + هـ(

ك

)c60 + حا )هـ = 40 =

30حتا هـ

c41 /24 / /35 = )هـc( X 3 أي أن حتا هـ = 4 أى أن

)c60 + c41 /24 / /5( ك = 40 * حا

 ك - 39.2095 ث كجم أى أن

حاول أن تحل 5 أزيحت كرة بندول وزنها 600ث جم حتى صار الخيط يصنع زاوية قياسها c30 مع الرأس تحت تأثير قوة على الكرة فى اتجاه عمودى على الخيط. أوجد

مقدار القوة ومقدار الشد فى الخيط.

اتزان ج�سم تحت ت�أثير مجموعة من القوى الم�ستوية والمتالقية فى نقطة

نشاط

Polygon of forces م�سلع القوى: :)Geo Gebra( با�ستخدام برنامج

، c120 ، c0 :مثل القوى التى مقاديرها 400 ، 100 ، 300 ، 100 داين والتى تعمل بزوايا قطبية قياساتها كاآلتى

c240 ، c180 على الترتيب. ماذا تالحظ؟

نالحظ ان:بداية ½ نقطة على ينطبق األخيرة القوة عمل خط نهاية نقطة

خط عمل القوة األولى فى مضلع القوى الموضح بالشكل.

أى أنه قد تكون مضلع القوى المقفل و C ب جـ.

التزان والكافى الالزم الشرط أن النشاط هذا من نستنتج مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هذه القوى بمضلع مقفل.

الحظ اأن

شش

بكرة ملساء

الشد متساو في طرفي الخيط.

c30

C

ش

ك

ق2

300

100100

400 C

c120

c180c240 جـب

ص

وس

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4ىـىى ي ــت وا ـلوتس لالفم ا ىوـلا ىت ـكلتم ىتكوقـم ع لـحم سدرال

31

الطرق التحليلية التزان مجموعة من القوى المتالقية فى نقطة.فى المثال السابق يمكن إيجاد المركبتين السينية والصادية لمجموعة القوى كاآلتى:

c240 100 حتا + c180 300 حتا + c120 100 حتا + c0س = 400 حتا

1 = صفر2 * 100 - 300 - 1

2 * 100 - 400 =  

c240 100 حا + c180 300 حا + c120 100 حا + c0ص = 400 حا

3 = صفر 50 - 0 + 3 50 + 0 =  

نستنتج من ذلك أنه لكى تكون مجموعة القوى المستوية والمتالقية فى نقطة متزنه يجب أن تكون:و س = صفر ½ المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه

المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر ½

 س = صفر ، ص = صفر أى أن

مثال

N فأثبت أن مجموعة القوى + M ق3 = 2 ، N 2 + M ق2 = - 7 ، N 3 - M ق1 = 5 إذا كانت 1 ق3 متوازنة. ق2 ، ق1 ،

الحل

ق3 ق2 + ق1 + = I a

 أى أن مجموعة القوى متزنة. 0 = N )1 + 2 + 3 - ( + M )2 + 7 - 5( = I `

حاول أن تحلN متالقية فى نقطة M + ب ق3 = - 6 ، N 2 - M C - = 2ق ، N 3 - M ق1 = 4 إذا كانت القوى 6

ومتزنة فأوجد قيمة كل من C ، ب.

مثال

5 نيوتن ،والتى توثر 4 ، 2 الشكل المقابل: يمثل القوى 16 ، 20 ، 12 2 هـ C على ، C جـ ، E C C ب ، E فى االتجاهات C ب جـ فى المربع

الترتيب حيث هـ منتصف جـ E. أثبت أن مجموعة القوى متزنة.

الحل5 نيوتن 4 ، 2 من الشكل المقابل نجد أن القوى 16 ، 20 ، 12

)i + c180( ، c225 ، c90 ، c0 :زواياها القطبية هي

c90 20حتا + c0 س = 16 حتا `

)i + c180( حتا 5 4 + c225 2 حتا 12 + 

i 5 * حتا 4 - 12

* 2 12 - 0 + 16 =

C

20

16 ب

Eجـ هـ

54

2 12

1-

2- 5

i + c180

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

32

1 = صفر5

* 5 4 - 12 - 16 =

c225 2 حا 12 + c90 20حا + c0 ص = 16 حا  

)i + c180( حا 5 4 + 

i 5 حا 4 - 12

* 2 12 - 20 + 0 =

2 = صفر5

* 5 4 - 12 - 20 =

 س = صفر  ،  ص = صفر

` المجموعة متزنة.

حاول أن تحل 10 الشكل المقابل: يمثل القوى التى مقاديرها ق ، 5 ، ك ، 6 7 نيوتن والمتزنه والتى تؤثر فى المستطيل C ب جـ E فى اإلتجاهات

هـ جـ حيث C ب = 6سم ، ب جـ = 8سم ، ,E جـ ، C جـ جـ ب ،

C هـ = 6سم. أوجد قيمة ق ، ك.

تمــــاريــن الدرس الرابع

اأكمل ماياأتى:

الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هندسيا بـ ................ 1

الطريقة التحليلية التزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة هى أن تكون ........................... ، ........................... 2

N متزنة فإن: 3 - M C = 3ق ، N 2 - M ق2 = - 7 ، N M + ب ق1 = 4 إذا كانت 3 C = .................................................... ، ب = ....................................................

إذا كانت القوة التى مقدارها ق متزنة مع قوتان متعامدتان مقدارهما 3 ، 4 نيوتن فإن مقدار ق = ................................... 4

إذا مثلت ثالث قوى مستوية ومتزنة ومأخوذه فى اتجاه دورى واحد بأضالع مثلث فإن أطوال أضالع المثلث 5 تكون متناسبة مع ....................................................................................................................................................

c225i + c180 i

ص

سC

20

16 ب

جـE

2 12

ص

54

س

الحظ اأن

i حتا - = )i + c180( حتا

1-

2- 5

i + c180

C

5

جـب

E

ك

هـ

10 6

6 سم

6 سم

8 سم X

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4ىـىى ي ــت وا ـلوتس لالفم ا ىوـلا ىت ـكلتم ىتكوقـم ع لـحم سدرال

33

إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ................................... 6

إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية فإن خطوط عمل 7 هذه القوى .............................................................................................................................................................

ثالث قوى متساوية فى المقدار ومتالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين 8 أى قوتين يساوي .................................................................................................................................................

فى الشكل المقابل: مجموعة القوى متزنة ومتالقية فى نقطة 9 ش1 = ................................ نيوتن ، ش2 = ................................نيوتن.

القيمة المتزنة والمتالقية فى نقطة. أوجد المستوية القوى يمثل كل شكل من األشكال اآلتية مجموعة من 10 المجهولة سواء كانت قوة أو قياس زاوية.

شكل )1(

60 نيوتن

c150

ك

X

شكل )2(

ش2ش1

12 نيوتن

c120 c150

شكل )3( 100 نيوتن

40 سم

20 سم X

ك

حلقة ملساء

شكل )5(40 ث جم

هـهـش ش

شكل )4(

150 سم

90 سم120 سم

30 نيوتن

ش2 ش1

شكل )6(

ش2ش1

c30

8و

هـ

3 8

ش1ش2

6 نيوتن

c120

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

34

علق ثقل مقدار وزنه 60 ث جم من أحد طرفى خيط طوله 28سم مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف حجرة، 11 القوة فى وضع فإذا كانت ، السقف أسفل بعد 14سم رأسيا الجسم وهو على فاتزن قوة الجسم أثرت على

االتزان عمودية على الخيط فأوجد مقدار كل من القوة والشد فى الخيط.

علق ثقل مقداره 200 ث جم بخيطين طوالهما 60سم ، 80سم من نقطتين على خط أفقى واحد البعد بينهما 12 100سم. أوجد مقدار الشد فى كل من الخيطين.

قياسها هـ ويميل الرأسى بزاوية علق جسيم وزنه 200 ث جم بواسطة خيطين خفيفين يميل أحدهما على 13 الخيط اآلخر على الرأسى بزاوية قياسها c30 ، فإذا كان مقدار الشد فى الخيط األول يساوى 100 ث جم.

فأوجد هـ ومقدار الشد في الخيط الثاني.

وضع جسم وزنه 800 ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث حا هـ = 0.6 وحفظ 14 الجسم فى حالة توازن بواسطة قوة أفقية أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم.

وضع جسم وزنه )و( نيوتن على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها c30 وحفظ الجسم فى حالة 15 توازن بتأثير قوة مقدارها 36 نيوتن تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى. احسب مقدار وزن الجسم

ومقدار رد فعل المستوى.

كرة معدنية منتظمة ملساء وزنها 3 نيوتن مستقرة بين حائط رأسى أملس ومستوى أملس يميل على الحائط 16 الرأسى بزاوية قياسها c30. أوجد الضغط على كل من الحائط الرأسى والمستوى المائل

علق قضيب منتظم طوله 50سم ووزنه 20 نيوتن من طرفيه بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى نقطة واحدة. فإذا 17 كان طوال الخيطين 30سم ، 40سم على الترتيب فأوجد الشد فى كل من الخيطين.

2 ، ك ث كجم متزنة وتؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات الشرق 5 ، 2 خمس قوى مقاديرها ق ، 6 ، 4 18 والشمال والشمال الغربى والجنوب الغربى والجنوب على الترتيب. أوجد مقدار كل من ق ، ك.

أثرت القوى المستوية 5 ، 4 ، ق ، 3 ، ك ، 7 ث كجم فى نقطة مادية والزاوية بين كل قوتين متتاليتين منها 19 c60. أوجد مقدار كل من ق ، ك حتى تكون المجموعة فى حالة اتزان.

تفكير إبداعى:مستوى على موضوع كجم ث 6 وزنه جسم المقابل الشكل فى 20 بواسطة توازنه قياسها 30 وحفظ بزاوية األفقى يميل على أملس

3 ث كجم تعمل فى خيط مثبت أحد طرفيه قوة شد ش مقدارها 2

بالجسم واآلخر فى حائط رأسى. أوجد قياس الزاوية التى يصنعها

c30الخيط مع المستوى ومقدار رد فعل المستوى على الجسم.

3 ث كجم2

6 ث كجم

S

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4ىـىى ي ــت وا ـلوتس لالفم ا ىوـلا ىت ـكلتم ىتكوقـم ع لـحم سدرال

35

�ص الوحدة ملخاالستاتيكا: هى علم دراسة سكون األجسام تحت تأثير مجموعة من القوى.

القوة: هى المقياس الكمي للتأثير الميكانيكى على األجسام المادية.

خواص القوة: يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية:

نقطة التأثير. -3 االتجاه. -2 المقدار. -1

بزاوية ½ق1 I وتميل على ق2 قوتان يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكانت محصلتها ،

ق1 إذا كانت ق2 حا ى

ق1 + ق2 حتا ى         ظا هـ = + 2 ق1 ق2 جتا ى

2ق2 +

2ق1 = I :قياسها هـ فإن

Iحا ى

ق2 = حا هـ2

ق1 = حا هـ1

 أو باستخدام قاعدة الجيب:

القيمة العظمى المحصلة للقوتان ق1 ، ق2 = ق1 + ق2 وتعمل نفس اتجاهيهما. ½

القيمة الصغرى المحصلة للقوتان ق1 ، ق2 = |ق1 - ق2| وتعمل في اتجاه القوة الكبرى. ½

I زاويتين هـ1 ، هـ2 على الترتيب فإن: ½ I ، يصنعان مع ق2 مركبتى القوة ق1 ، إذا كانت I

حا )هـ1 + هـ2(ق2 =

حا هـ1ق1 =

حا هـ2

ق1 ½ I مع خط عمل I المتعامدتين والتى تميل فيها خط عمل ق2 مركبتى القوة ق1 ، إذا كانت

بزاوية قياسها هـ فإن قI = 1 حتا هـ ، قI = 2 حا هـ

مضلع القوى: إذا مثلت مجموعة من القوى المستوية المتالقيه في نقطة تمثيالا بأطوال أضالع مضلع مأخوذة فى ½

ترتيب دورى واحد فإن محصلة هذه القوى تساوي طول الضلع الذى يقفل هذا المضلع فى االتجاه الدورى المضاد.

إذا أثرت عدة قوى مستوية ومتالقية فى نقطة )فى نظام إحداثى متعامد( وكان المجموع الجبرى لمركبات هذه ½صس

س2 + ص2 ،   ظا هـ = = I:القوى فى اتجاهين متعامدين هما س ، ص فإن

ا بأطوال مضلع قوى مقفل كانت هذه المجموعة متزنة. ½ إذا مثلت مجموعة من القوى المستوية تمثيالا تاما

تكون مجموعة القوى المستوية المتالقية فى نقطة متزنة إذا كانت ½

وس = صفر 1( المجموع الجبرى لمركبات القوي فى اتجاه

وص = صفر. 2( والمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه

اتزان جسم تحت تأثير قوتين هو أن تكون القوتان: متساويتان فى المقدار ، متضادتين فى االتجاه ، خط عملها ½

على استقامة واحدة.

قاعدة مثلث القوى: إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط ½

عمل هذه القوى وفى اتجاه دورى واحد فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة.

قاعدة المى: إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية ½

المحصورة بين القوتين األخريين.

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

36

تمارين عامة )الوحدة األولى(

اكمل ما ياأتى:

قوتان مقدارهما 4 ، ق داين وقياس الزاوية بينهما ∋ [r ،0]، محصلتها تنصف الزاوية بينهما فإن ق = ..... ث جم. 1

قوتان تؤثران فى نقطة مادية مقدارهما 5 ، 8 نيوتن فإن أكبر قيمة للمحصلة = ........................................... نيوتن ، أصغر 2 قيمة للمحصلة = .................................. نيوتن.

إذا وضع جسم وزنه )و( على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية هـ فإن مركبة وزنه فى اتجاه المستوى 3 تساوى ..................................................

مع قوتين متعامدتين مقدارهما 6 ، 8 ث كجم فإن مقدار القوة ق يساوى ..................... ث كجم. ق إذا اتزنت القوة 4

N متزنة فإن M + ب ق3 = 9 ، N 4 + M ق2 = - 3 ، N 6 - M C = 1ق إذا كانت القوى 5 C = .............................. ، ب = ..............................

كل شكل مما يأتى مكون من ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة. أكمل ما يأتى: 6

ق = ........................

ك = ........................

X

ك

6

شكل )1(

ق = ........................

ك = ........................

ش

سم 6

8 سم

12

جـ

شكل )3(

X

ق = ........................

ك = ........................

ك

c135

شكل )2(

X

2 4

C ب قضيب متزن تحت تأثير ثالث قوى مستوية كما هو موضح فى كل شكل. أكمل: 7

4 ث جم

ش2

Cب

جـ

8 سم6 سم ش

20 ث جم

C

Sش

30 سم

20 سم 20 سم ب

جـ

Eش2

ب

ش1

39 ث جمC

65 سم

65 سم

50 سم

120 سم

جـ

ش1 = ........................... ث جم. ج ش = ........................... ث جم. ب ش1 = ........................... ث جم. أ

ش1 = ........................... ث جم. و S = ............................... ث جم. ه ش2 = ........................... ث جم. د

37كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

طا ىولح ة - متلرتا فل م )ىولح ة ىاووو ( قحو

ق2 اللذين يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكان قياس زاوية ق1 ، I هى محصلة القوتين إذا كانت 8 ق1 يساوى هـ فأوجد: ميل المحصلة على

.c90 = عندما ق1 = 8 نيوتن ، ق2 = 15 نيوتن ، ى ، I مقدار أ

c60 = وقياس زاوية هـ عندما ق1 = ق2 = 60 داين ، ى I مقدار ب

I وقياس زاوية هـ عندما ق1 = 6 نيوتن ، ق2 = 3 نيوتن والمحصلة عمودية على ق2. مقدار ج

3 نيوتن ، ق2 = 6 نيوتن والمحصلة عمودية على ق1. I وقياس زاوية ى إذا كان ق1 = 3 مقدار د

c150 = 3 نيوتن ، ى قيمة ق1 عندما I = 12 نيوتن ، ق2 = 12 ه

أوجد مقدار المحصلة وزاوية ميلها مع محور السينات فى كل شكل من األشكال اآلتية: 9

شكل )3(

سc30

ص

3

2

ص

c60

3 3

3 2

س

شكل )1(

س

ص

و

ص

c30

3

س

2 32 3

2c45س

ص

س

ص

شكل )2(

و

3 4

3 12

16

36

c60c60

c30

أوجد مقدار كل من ق ، ك بحيث تصبح كل مجموعة مما يأتى متزنة. 10

C

25

ب

Eجـ

ك2 8

6 سم

6 سم 2 سم

8 سم X

شكل )2(C ب

جـ

ك

3 6

شكل )1(

c120

X

شكل )3(

C ب

وجـ

ك

Eهـ

3 4

32

12

X

تطبيقات الرياضيات - علمى

ىاــكققلــتققل

38

اختبار تراكمىمقدار أوجد .c150 قياسها زاوية بينهما مادية وتحصران نقطة فى توثران نيوتن 8 ، 3 8 مقدارهما قوتان 1

محصلتهما وقياس الزاوية التى تصنعها مع القوة األولى.

قياس نيوتن. أوجد إذا كان مقدار محصلتهما 26 ، مادية نقطة تؤثران فى نيوتن 16 ، قوتان مقدارهما 30 2 الزاوية بين هاتين القوتين.

قوتان مقدارهما 2 ، ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 أوجد ق عندما: 3 اتجاه المحصلة عمودى على القوة الثانية. ب مقدار المحصلة يساوى ق. أ

المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين. ج

.c60 حلل قوة مقدارها 90 فى خيط قوة إلى قوتين متساويتين فى المقدار وقياس الزاوية بين اتجاهيهما 4

أن علم إذا نيوتن 80 ومقداره أفقي مستوى على موضوع جسم لوزن المتعامدتين، المركبتين مقدار أوجد 5 إحداهما تميل على األفقى بزاوية قياسها c30 إلى أسفل.

ثالث قوى مقاديرها 2ق ، 4ق ، 6ق تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات موازية ألضالع مثلث متساوى األضالع 6 مأخوذة فى ترتيب دورى واحد أوجد مقدار واتجاه المحصلة.

C ب جـ E مستطيل فيه C ب = 8سم ، ب جـ = 6سم ، و ∋ جـ E بحيث و E = 6سم. أثرت قوى مقاديرها 6 ، 20، 7 E C على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C و ، ، C جـ C ب ، 3 ، 2 نيوتن فى 13

علق ثقل مقداره 80 ث جم فى طرف خيط مثبت طرفه اآلخر فى حائط رأسى أزيح الثقل بقوة عمودية على 8 الخيط حتى أصبح الخيط مائالا على الحائط بزاوية قياسها c30. أوجد فى وضع االتزان مقدار القوة، وكذلك

الشد فى الخيط.

4 ومنع من 5 وضع ثقل قدره 20 ث كجم على مستو مائل أملس يميل على األفقى بزاوية ى، حيث حتا ى = 9

االنزالق بتأثير قوة أفقية مقدارها )ق( أوجد ق وكذلك رد فعل المستوى.

.c30 ، c60 قضيب منتظم يرتكز بطرفيه على مستويين أملسين مائلين يصنعان مع األفقى زاويتين قياساهما 10 إذا كان مقدار وزن القضيب يساوى أوجد قياس الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى فى وضع االتزان ، و

24 نيوتن عين مقدار رد الفعل لكل من المستويين.

39كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ىوخكبلر ـرىكا

40

الوحدةالثانية

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

ف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. � يتعريتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. �نقاط � جميع كانت إذا تحدث االنتقالية الحركة أن يدرك

الجسم المتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة. �الحركة � - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف

المنتظمة - متجه السرعة المتوسطة - متجه السرعة اللحظية - السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.

يتعرف مفهوم السرعة النسبية. �متجهى � بداللة والسرعة الموضع متجهى من كل عن يعبر

. N ، M الوحدة يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات �

قياس العجلة (.يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. �

يستنتج قوانين الحركة بعجلة منتظمة )إذا تحرك جسيم بعجلة � منتظمة وتغيرت سرعته من ع0 إلى ع خالل فترة زمنية ن فإن:1 جـ ن2 ، ع2 = ع2 + 2جـ ف

2 ع = ع0 + جـ ن ، ف = ع ن + يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة �

المنتظمة.تأثير الجاذبية األرضية � الرأسية تحت يتعرف قوانين الحركة

فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. �

ثابت الجذب العام .منحنى � ، الزمن مع اإلزاحة لمنحنى البياني التمثيل يتعرف

السرعة مع الزمن.يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة �

مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة.

يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام, حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه الوحدة على دراسة الكينماتيكا

kinematics ذلك العلم الذى يبحث فى حركة األجسام من الوجهة الهندسية فقط دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها، وجدير بالذكر أن

الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل انتقال الحركة فى اآلالت ومتطلباتها، ومن هنا سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة

األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.

مقدمة الوحدة

أهداف الوحدة

الديناميكا Dynamics

41

المصطلحات األساسية

دروس الوحدة

األدوات والوسائل

مخطط تنظيمى للوحدة

Ñ Scientific calculator آلة حاسبة علمية Ñ Graphical calculator آلة حاسبة رسومية

Ñ Graphical programs برامج رسومية للحاسوب

الحركة المستقيمة. الدرس )2 - 1(:

الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. الدرس )2 - 2(:

الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. الدرس )2 - 3(:

قانون الجذب العام. الدرس )2 - 4(:

Ñ Rectilinear Motion حركة مستقيمة Ñ Distance مسافة Ñ Vector Velocity متجه سرعة Ñ Average Velocity السرعة المتوسطة Ñ Relative Velocity السرعة النسبية Ñ Vertical Motion حركة رأسية Ñ Universal Gravitation جذب عام

Ñ Displacement إزاحة Ñ Uniform Velocity سرعة منتظمة Ñ Instantaneous Velocity سرعة لحظية Ñ Position Vector متجه موضع Ñ Uniform Acceleration عجلة منتظمة Ñ Gravity جاذبية أرضية

الديناميكا

مفا هيم أساسية

منحنى اإلزاحة الزمن

الحركة األفقية

منحنى السرعة الزمن متجه السرعة

السرعة اللحظية

متجه الموضع

السرعة المتوسطة

المسافةمتجه العجلة

العجلة السرعة حركة تقصيريةحركة متسارعةالمسافة الزمن

السرعة النسبية

متجه اإلزاحة

الحركة الرأسية

تمثيالت بيانية

الحركة ذات العجلة المنتظمة

الحركة المستقيمة

وحدات القياس

قوانين الحركة

ثابت الجذب العام

قانون الجذب العام لنيوتن

1 سدرال

وحدات النظام املرتى. �العالقة بني متجه املوضع ومتجه �

اإلزاحة.الرسعة املتوسطة. �الرسعة اللحظية. �الرسعة النسبية. �

سوف تتعلمتقديم:

بدأت أنظمة القياس فى حياة الشعوب مستمدة من البشر أنفسهم مثل )الذراع - الباع

- الشبر - البوصة - القدم...( ومع تقدم العلوم وازدياد حركة التجارة، فقد أصبح من

ابتكره الذى العشرى النظام اعتماد تم أن إلى إيجاد معايير دقيقة وثابتة الضرورى

مشتق وهو ISالموحد العالمى النظام جاء حتى واستمر 1790م، عام الفرنسيون

الوحدات من النظام هذا ويتشكل International System Of Units الكلمة من

القنديلة(، ، المول ، والكلفن ، األمبير والثانية، ، جرام الكيلو ، )المتر األساسية

وكذلك من الوحدات المشتقة التى تتشكل كحاصل ضرب قوى الوحدات األساسية

وفقا لبعض العالقات الجبرية.

وحداتالنظامالمترى

تبين الجداول التالية الوحدات األساسية فى النظام المترى، وكذلك تحويالت بعض

المقادير فى هذا النظام.

الرمزاسم الوحدةالقياسlengthالطولmetreمتر)m(م

mass الكتلةkilogram كيلو جرام)kg(كجم

timeالزمنsecond ثانية)s(ث

ميكرو - مللى - سنتى - ديسى - ديكا - هيكتو - كيلو - القياس10 - 106 - 103 - 102 - 310210101الوحدة

مكملسدسيدكهككالرمز khdadcmu

Length 1- مقياس الطول المتر )م( هو وحدة قياس الطول فى النظام )SI( والمتر المعيارى هو المسافة التى

1 ثانية.299792458 يقطعها الشعاع الضوئى فى الفراغ خالل

Mass 2- مقيا�س الكتلة الكيلو جرام )كجم( وحدة قياس الكتل فى النظام الدولى )SI( وهو كتلة أسطوانة من

سبيكة البالتين واإليرديوم قطرها 39 مليمتر وارتفاعها 39 مليمتر فى درجة الصفر المئوى.

الحركةالم�ستقيمةRectilinear motion

� Rectilinear Motion حركة مستقيمة � IS نظام مرتى � Displacement Vector متجه إزاحة � Position Vector متجه موضع � Vector Velocity متجه رسعة � Uniform mation حركة منتظمة. � Average Velocity رسعة متوسطة

رسعة حلظية Instantaneous Velocity

� Relative Velocity الرسعة النسبية

المصطلحاتاألساسية

ورق مربعات. �آلة حاسبة علمية . �برامج رسومية للحاسوب. �

األدوات والوسائل

تطبيقات الرياضيات - علمى 42

time 3- مقيا�س الزمن الثانية المعيارية هى المدة الزمنية الالزمة لقطع الشعاع الضوئى مسافة قدرها 299792458 مترا فى الفراغ.

وتسمى األجزاء الصغيرة من الثانية بالمللى ثانية )مللي.ث( كما توجد وحدات أكبر للزمن مثل الدقيقة والساعة

واليوم وغيرها.

Motion and its Types الحركةواأنواعها

يرتبط مفهوم الحركة بتغير موضع الجسم بتغير الزمن بالنسبة إلى موضع جسم آخر ساكن،

فعندما يتغير موضع الجسم بتغير الزمن يقال: إن الجسم قد تحرك خالل هذه الفترة الزمنية.

والشكل التالى يمثل حركة كرة فى خط مستقيم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.

نقطة البداية نقطة النهاية

Distance الم�سافة

إذا تحرك قطار من مدينة القاهرة إلى مدينة المنصورة فإن المسافة بين القاهرة والمنصورة تعتمد على طول المسار

بين المسافة مقدار كان فإذا فقط، مقدارها معرفة يجب إذ قياسية كمية المسافة وتعتبر القطار، تحركه الذى

المدينتين 160كم فإن الرقم 160 يمثل القيمة العددية ، )كم( هى وحدة قياس المسافة.

Displacement vector متجهالإزاحة

C ب الموجهة المستقيمة القطعة تمثله الذى المتجه هو

لمتجه ويرمز )ب( نهايتها ونقطة )C( بدايتها نقطة التى

C ب بالرمز ف ، ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة اإلزاحة

C ب || وهو ال يساوى بالضرورة طول المسار بالرمز ||

الذى قطعه الجسيم فى أثناء الحركة.

Position vector متجهالمو�سع

هو المتجه الذى تنطبق نقطة بدايته مع موضع المشاهد )و( ونقطة نهايته

N ص + M س = S S حيث مع موضع الجسيم ويرمز له بالرمز

متجها وحدة متعامدين N ، M

نقطة البدايةالمسار

نقطة النهاية

ف

C

ب

موضع الجسم

موضع المشاهدوس

ص

صس

S

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ليقتا لا ةكرحلا سدرال

43

العالقةبينمتجهالمو�سعومتجهالإزحة:

Relation between position vector and displacement vector

هما ص2( )س2، ب ، ص1( C)س1، المشاهد، موضع هى )و( كانت إذا

C ب هو متجه اإلزاحة للجسيم موضعا الجسيم عند لحظتين متتاليتين فإن

. ف وليكن

0S ، متجه الموضع عند فإذا رمزنا لمتجه الموضع عند اللحظة ن بالرمز

S فإن: 0Sاللحظة )ن + هـ( بالرمز - S ف =

) N 1ص + M 1س( - ) N 2ص + M 2ف = ) س

N )1ص2 - ص( + M )1س2 -س ( =   

)س2 - س1(2 +)ص2 - ص1(2 ف || = || ،

)اتجاه الحركة( || ى ، ى متجه وحدة فى اتجاه ف ف = || ف `

مثال

األساسيين الوحدة متجهى بداللة الزمن فى كدالة يعطى S موضعه متجه كان بحيث جسيم يتحرك 1

S = )3ن + 2( M + ) 4 ن -N ) 1 أوجد المسافة المقطوعة حتى اللحظة ن = 4 N بالعالقة: ، M

الحل

N 15 + M 14 = N )1- 4 * 4( + M ) 2+ 4 * 3 ( = )4( S ، N - M 2 = )0( S

)0( S - )4( S ف = `

N 16 + M 12 = N )1 + 15( + M )2 - 14( =  

, ف = 20 وحدة مسافة 256 + 144 ف || = || ،

حاول أن تحل

فى المثال السابق : أوجد المسافة المقطوعة من ن = 1 إلى ن = 3. 1

Speed مقدارال�سرعة

الذى الذي يقطع مسافة أطول يكون أسرع من الشخص إذا تسابق شخصان فى فترة زمنية محددة فإن الشخص

يقطع مسافة أقل.

ويمكن قياس مقدار السرعة بالمسافة المقطوعة خالل فترة زمنية محددة ووحدات قياس السرعة هى:

5 م / ث1000 م = 18

60 * 60ث =

1كم 1 س

كيلو متر / ساعة وتكتب )كم / س( أو متر / ثانية وتكتب )م / ث( حيث :

18 كم / سأى أن5 1م / ث = 5 م / ث،

1كم / س = 18

موضع المشاهدوس

ص

صس

S

0S

C

ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

44

حاول أن تحل

حول 15م / ث إلى كم / س ب حول 90كم / س إلى م / ث أ 2

3 أكمل الجدول اآلتي:

518 *

18018كم / س...كم / س90كم / س....كم / س54كم / س18كم / س5 *

...م / ث30م / ث...م / ث20م / ث...م / ث5 م / ث

Velocity vector متجهال�سرعة

متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة.

Uniform motion الحركةالمنتظمة

: الجسيم يتحرك فى اتجاه ثابت، حيث هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثابتا، أى أن

يقطع مسافات متساوية خالل فترات زمنية متساوية.

ف = ع نوتكون العالقة بين القياسيين الجبريين للمتجهين ف ، ع فى الحركة المنتظمة هى:

Magnitude of the average velocity مقدارال�سرعةالمتو�سطة

يبلغ السيارة لمسار طبقا المدينتين بين المسافة فإن الغردقة مدينة إلى القاهرة مدينة من برحلة سيارة قامت إذا

510كم، فإذا كانت السيارة تتحرك بسرعات متفاوتة بين المدينتين وكان الزمن الكلى لتلك الرحلة 6 ساعات فإن

سرعة السيارة فى هذة الحالة تسمى بالسرعة المتوسطة وتكون:

510 = 85 كم / س6 المسافة الكلية =

الزمن الكلىالسرعة المتوسطة ع م =

Vector of the average velocity متجهال�سرعةالمتو�سطة

، ب على C الموضعين عند ، ن2 ن1 زمنيتين لحظتين عند إذا تحرك جسيم

فإن ع م - ن1( الزمنية )ن2 الفترة الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى

يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون:

ف

ن 2 - ن1 =

0 S - S

ن 2 - ن1 ع م =

مثال

يبين الشكل المقابل العالقة بين الزمن والمسافة لحركة راكب دراجة ، فى 2

خط مستقيم من نقطة و أوجد:

مقدار السرعة المتوسطة. ب متجه السرعة المتوسطة. أ

الحلنوجد متجه السرعة المتوسطة باستخدام نقطتين على الخط البياني. أ

و 0S

S

C

ب

ن

ف

ف

42

86

1210

1614

2018

1210 161442 201886 2422الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ليقتا لا ةكرحلا سدرال

45

2S = 12 ، ن2 = 20

S 1 = 6  ، ن1 = 10 بالتعويض عن:

0 S - S

ن 2 - ن1 ع م =

ى متجه وحدة فى إتجاه الحركة ى حيث ى = 0٫6 6ى = 10 6 - 12

10 - 20 ع م =

مقدار السرعة المتوسطة تساوى القيمة المطلقة لمتجه السرعة المتوسطة أى أن ع م = 0٫6 م / ث. ب

تفكير ناقد:ماذا تعنى اإلشارة الموجبة لمتجه السرعة المتوسطة ؟ -1

ر إجابتك. هل يوجد اتجاه للسرعة المتوسطة ؟ فس -2

حاول أن تحليبين الشكل التالى رسما بيانيا لمنحنى )المسافة - الزمن( لفأر يهرب من قط. 4

أعد رسم هذا الشكل إذا هرب الفأر من القط بضعف سرعته.

Instantaneous Velocity ال�سرعةاللحظية

إذا تأملنا حركة جسيم بسرعة ليست ثابتة )متغيرة( من خالل منحنى

متساوية فترات على الجسيم لهذا مواقع تسجيل عدة وتم الزمن - المسافة

)C( وذلك ولتكن ما نقطة اللحظية عند السرعة تعيين يمكن فإنه الزمن من

عن طريق رسم مماس للمنحنى عند تلك النقطة فى تلك اللحظة ويكون ميل

المماس هو السرعة اللحظية.

)عندما تقترب K9 من الصفر(التغير فى المسافة

التغير فى الزمنميل المماس )السرعة اللحظية ( =

أنه يوجد إال ، للزمن بالنسبة المسافة المتوسطة عبارة عن تغير اللحظية والسرعة السرعة أن ناقد: رغم تفكير اختالف بينهما - وضح هذا االختالف.

مثال

إذا كان عداد المسافات فى إحدى السيارات يشير إلى الصفر، وبعد ربع ساعة 3

أصبح يشير إلى 18 كم. فاحسب السرعة المتوسطة. علما بأن السيارة تحركت

في اتجاه ثابت.

الحلالمسافة الكلية

الزمن الكلىالسرعة المتوسطة =

18 = 72كم / سلذلك فإن ع م = 0٫25 ف

ن: ع م = أى أن

1234

3 54 61 2الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

الزمن )ن( بالثانية

متر بال

ف(ة )

سافالم

C

تذكر اأن

عداد السرعة للسيارة يعطى قيمة السرعة اللحظية بالـكم / س

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

46

حاول أن تحل

يستطيع الفهد أن يعدو بسرعة ثابتة قيمتها 25م / ث. احسب المسافة التى يمكن للفهد أن يقطعها خالل نصف 5

دقيقة.

حساب قيمة الرسعة املتوسطةمثال

قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 18كم / س، ثم عاد على نفس الطريق فقطع 20كم فى االتجاه 4

المضاد بسرعة 15كم / س أوجد قيمة سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.

الحلإذا بدأ راكب الدراجة الحركة من الموضع C إلى الموضع ب فى

المرحلة األولى، ثم عاد من ب إلى جـ فى المرحلة الثانية وبفرض

. C ب أن ى هو متجه الوحدة فى اتجاه

5 ساعة،3 = 30

ف أى ن1 = 18ن

زمن المرحلة األولى =

4 ساعة.3 = 20

زمن المرحلة الثانية ن2 = 15

9 = 3 ساعات3 = 4

3 + 5الزمن الكلى للرحلة = 3

ف = 30 ى - 20 ى = 10 ى اإلزاحة

31 ى10 ى = 3

3 ` ع م = ف ن ع م = a

31 كم / س.C ب ومعياره يساوى 3 أى أن متجه السرعة المتوسطة له نفس اتجاه ى أى فى اتجاه

حاول أن تحل

قطع راكب دراجة مسافة 25 كم على طريق مستقيم بسرعة 15كم / س ثم قطع مسافة 7كم فى نفس االتجاه 6

بسرعة 7كم / س. أوجد متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها.

مثال

تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين 3، 7 ثوان عند الموضعين C )5 ، 2( ، ب )9 ، 10( على الترتيب. أوجد متجه 5

السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية، ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة.

الحلالشكل المقابل يمثل:

، ) 1S ( C متجه الموضع االبتدائى و

، ) 2S ( متجه الموضع النهائى و ب

) ف C ب ) متجه اإلزاحة

30 كم

20 كم

C جـب

ى

2468

10

6 1082 4س

ص

وC

ب

1S

2S ف

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ليقتا لا ةكرحلا سدرال

47

1S - 2S = ف حيث:

ف = )9 ، 10( - )5 ، 2(  

ف = )4 ، 8(  

ف ن2 - ن1 ع م = a

) N 8 + M 4( 1)3 - 7( ع م = `

)الصورة المتجهة للسرعة المتوسطة( N 2 + M ع م =  

5 وحدة سرعة = 2)2( + 2)1( ع م || = ||  

. c63 /

و س طا - 1 2 أي 6 // 26 وتصنع زاوية قطبية مع

حاول أن تحلالترتيب أوجد متجه تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين 3، 8 ثوان عند الموضعينC)7، 2( ، ب )4، 6( على 7

السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية، ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة.

Relative velocity ال�سرعةالن�سبية

ماذا تالحظ؟إذا جلست فى قطار يتحرك وأنت تشاهد من النافذة أعمدة اإلنارة واألشجار على جانب الطريق. ½

إذا ركبت سيارة تتحرك بسرعة فى اتجاه ما وأنت تشاهد السيارات األخرى التى تتحرك فى نفس اتجاه سيارتك. ½

إذا كانت السيارات األخرى تتحرك عكس اتجاه سيارتك ½

نالحظ مما سبق أن الحركة مفهوم نسبى يختلف من مشاهد آلخر فى موضع آخر، وفى جميع الحاالت فإن المشاهد

يرصد حركات األجسام األخرى باعتباره ساكنا حتى، ولو كان غير ذلك فيرى هذه األجسام تتحرك بسرعات ليست

هى السرعات الفعلية لها، ولكنها سرعات نسبية.

مفهومال�سرعةالن�سبية:

اعتبرنا لو بها التى يبدو للجسيم )C( أن يتحرك السرعة بالنسبة لجسيم آخر )ب( هى )C( النسبية لجسيم السرعة

الجسيم )ب( فى حالة سكون.

متجهال�سرعةالن�سبية:

ع ب هما متجها سرعة لجسمين C ، ب بالنسبة ، Cع باعتبار أن

.C هما متجه سرعة ب بالنسبة إلى Cب

للمشاهد )و( وأنع

، Cع ب للجسمين ، Cع ( إلى كل من المتجهين

Cع بإضافة )-

ب حيث يصبح C ساكنا ويصبح متجه سرعة ب بالنسبة إلى C هى

: ( أى أنCع ع ب - (C

ع ع ب - = C ب

ع المشاهد

ع ب

C- ع

C- ع

Cع

Cبع

و

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

48

بالنسبة إلى سرعة ب فاكتب C Cب متجه سرعة ع ، C إلى بالنسبة هو متجه سرعة ب

Cبناقد: إذا كانع تفكير

Cب ، ع

Cبالعالقة بين ع

مثال

تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 80كم/س. فإذا تحركت على نفس الطريق دراجة بخارية بسرعة 6

50كم / س. أوجد السرعة النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما تكون:

الدراجة تتحرك عكس اتجاه حركة السيارة. ب الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة. أ

الحلى نرمز للسيارة بالرمز C وللدراجة بالرمز ب وبفرض أن

متجه وحدة فى اتجاه حركة السيارة.

عندما تتحرك الدراجة فى نفس اتجاه حركة السيارة أ

تكون:

= ؟Cب

ى ، سرعة الدراجة بالنسبة للسيارةع 80 = Cع ى ، ع ب = 50

ى ى = - 30 ى - 80 50 = Cب

    `ع Cع ع ب - =

Cبع a

أى أن الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة مبتعدة عن السيارة بسرعة مقدارها 30كم / س.

عندما تتحرك الدراجة فى عكس اتجاه السيارة: ب

ى ، 80 = Cع ى ، ع ب = 50

Cع ع ب - =

Cبع a

ى ى = - 130 ى - 80 50 - = Cب

`ع

أى أن الدراجة تبدو لراكب السيارة وكأنها متحركة نحوه بسرعة 130 كم/ س.

حاول أن تحل

تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 72 كم/ س. فإذا تحركت على الطريق نفسه دراجة بخارية بسرعة 8

28 كم / س. فأوجد السرعه النسبية للدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما:

الدراجة تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة. أ

الدراجة تتحرك فى عكس اتجاه حركة السيارة. ب

السيارةC

80 كم / سالدراجة

50 كم / سب

ىى

السيارة الدراجةC

80 كم / س 50 كم / سب

ىى

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ليقتا لا ةكرحلا سدرال

49

مثال

تتحرك باخرة فى مسار مستقيم نحو ميناء ولما صارت على مسافة 100كم منه مرت فوقها طائرة حراسة فى 7

االتجاه المضاد بسرعة 250 كم / س ورصدت حركة الباخرة فبدت لها متحركة بسرعة 300 كم / س. احسب

الزمن الذى يمضى من لحظة الرصد حتى وصول الباخرة إلى الميناء.

الحلنرمز للباخرة بالرمز ب وللطائرة بالرمز C ونفرض أن

ى متجه وحدة له نفس اتجاه حركة الطائرة.

مضاد اتجاه )فى ع ب للباخرة الفعلية السرعة وأن

لحركة الطائرة (

ى 300 - = Cب

ى ، ع 250 = Cع `

ى ع ب - 250 ى = 300 - ` Cع ع ب - =

Cبa ع

ى ع ب = - 50 أى أن

أى أن السرعة الفعلية للباخرة مقدارها 50كم / س ويعمل فى االتجاه المضاد لحركة الطائرة.

أى أن ن = 2 ساعة ` 100 = 50 ن a ف = ع ن

حاول أن تحل

تتحرك سيارة رادار لمراقبة السرعة على الطريق الصحراوى بسرعة 40كم / س. راقبت هذه السيارة حركة 9

سيارة نقل قادمة فى االتجاه المضاد فبدت وكأنها تتحرك بسرعة 120كم / س فما هى السرعة الفعلية لسيارة

النقل؟

تمــــاريــن الدرس األول

اأكمل ماياأتى:90 كم / س = ...................... م / ث 20م / ث = ...................... كم / س 2 1

تتحرك سيارة بسرعة منتظمة مقادرها 72 كم / س لمدة ربع ساعة فإن المسافة المقطوعة = ...................... كم. 3

...................... = Cب

ع M فإن ع ب = 22 ، M 15 = Cع إذا كان 4

عب = ...................... ى فإن 50 = Cع ى ، Cب = 65

ع إذا كان 5

ب آخر راكب االتجاه نفس فى ويتحرك س / 15كم بسرعة مستقيم طريق على C دراجة راكب يتحرك 6

بسرعة 12كم / س فإن سرعة ب بالنسبة إلى C تساوى ...................... كم / س.

الطائرة

الباخرةC

250 كم / س

ب

ىى

ع ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

50

اختر الجابة ال�صحيحة من بين الإجابات المعطاة:إذا تحركت سيارة بسرعة منتظمة مقدارها 75 كم / س لمدة 20 دقيقة فإن المسافة المقطوعة بـ كم تساوى: 7

30 د 25 ج 20 ب 15 أ

الزمن بالساعة الذي تستغرقه سيارة تتحرك بسرعة 20 متر / ث فى قطع مسافة 180كم يساوى: 8

3 د 212 ج 2 - ب 1 1

2 أ

عب تساوى: M فإن 35 = Cع ، M Cب = 15

ع إذا كان 9

M 50 د M 20 ج M 20 - ب M 50 - أ

إذا كان متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة: 10

ف بعد 2 ثانية يساوى: ى فإن معيار متجه اإلزاحة S = )2 ن2 + 3(

11 د 8 ج 6 ب 4 أ

دخل قطار طوله 150 مترا نفقا مستقيما طوله ف متر فاستغرق عبوره بالكامل 11

من النفق فى زمن قدره 15 ثانية أوجد طول النفق إذا كانت سرعة القطار منتظمة

وتساوى 90 كم / س.

قطع راكب دراجة 30كم على طريق مستقيم بسرعة 15 كم / س ثم عاد فقطع 10كم فى االتجاه المعاكس 12

بسرعة 10كم / س أوجد متجه سرعته المتوسطة خالل الرحلة كلها.

سار رجل على طريق مستقيم فقطع 800 متر بسرعة 9كم / س ، وقطع نفس المسافة فى نفس االتجاه بسرعة 13

4٫5 كم / س. أوجد مقدار السرعة المتوسطة للرجل خالل الرحلة كلها.

مدينتان C ،ب على الطريق الساحلى المسافة بينهما 120كم، تحركت سيارة من المدينة C متجهه إلى المدينة ب 14

بسرعة 88كم / س. وفى نفس اللحظة قامت سيارة أخرى من المدينة ب متجهة إلى المدينة C بسرعة 72 كم / س

أوجد متى وأين تتقابل السيارتان.

تتحرك سيارة C على طريق مستقيم بسرعة 60 كم / س وتتحرك سيارة ب على نفس الطريق بسرعة 90 كم / س. 15

أوجد سرعة السيارة C بالنسبة للسيارة ب إذا كانت:

السيارتان تتحركان فى اتجاه واحد. ب السيارتان تتحركان فى اتجاهين متضادين. أ

أمامها تتحرك لشاحنة النسبية السرعة بقياس أفقى منتظمة على طريق بسرعة قامت سيارة شرطة متحركة 16

وفى نفس االتجاه فوجدتها 60كم / س ولما زيدت سرعة سيارة الشرطة إلى الضعف وأعادت القياس فبدت

الشاحنة وكأنها ساكنة.

أوجد السرعة الفعلية لكل من سيارة الشرطة والشاحنة.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1ليقتا لا ةكرحلا سدرال

51

نشاط )1(

بالكيلو متر والزمن المسافة بين العالقة المقابل يمثل الشكل 17

بالساعة لمسار دراجه بخارية تتحرك بين مدينتين. أجب عما

يلى :

أ ما مقدار السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء الذهاب؟

ب ما مقدار السرعة المتوسطة للدراجة فى أثناء العودة؟

ما داللة القطعة المستقيمة األفقية فى الشكل. ج

تحركت دراجة بخارية فوجد أنها بعد دقيقة واحدة أصبحت 18

بعد على أصبحت دقائق 3 وبعد ،C نقطة من كم 2 بعد على

5كم من نفس النقطة. ارسم شكال بيانيا يمثل العالقة بين المسافة والزمن لهذه الدراجة ومن الرسم:

أوجد سرعة الدراجة. أ

اكتب العالقة الرياضية بين الزمن )ن( والمسافة )ف(. ب

نشاط )2(

فى وعمرو أحمد من كل حركة مسار المقابل الشكل يوضح 19

قطع المسافة بين قريتين، أحدهما فى القرية األولى، واآلخر فى

القرية الثانية.

ر إجابتك. أ هل بدء أحمد وعمرو الحركة فى توقيت واحد؟ فس

بعد كم دقيقة التقى أحمد وعمرو؟ ب

ما الزمن الذى استغرفه أحمد فى قطع المسافة؟ ج

أوجد سرعة عمر. د

ه إذا بدأ عمرو التحرك الساعة 30ق:9س صباحا فمتى يصل إلى القرية األخرى.

S S يعطى كدالة فى الزمن ن بالعالقة: إذا كان متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و 20

M متجه وحدة ثابت. أوجد متجه اإلزاحة بعد 4 ثوان. M حيث = )ن2 + 3ن - 2(

C)4، 3( ، ب )12 ، 9( على الترتيب. تواجد جسيم عند لحظتين زمنيتين مقدارهما 3، 8 ثوان عند الموضعين 21

أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية، ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة.

تفكير إبداعى: يتحرك رجل على كوبرى C ب ، وعندما قطع 38 طول الكوبرى من جهة C سمع صوت صفير قطار 22

يتحرك خلفه بسرعة منتظمة مقدارها 60كم س نحو نقطة Cفإذا تحرك الرجل نحو القطار فإن القطار سيصدمه

عند نقطة Cمباشرة أوجد أقل سرعة منتظمة يتحرك بها الرجل قبل أن يصدمه القطار مباشرة عند نقطة ب.

10

6050

20

70

30

80

40

90

3 5 74 6 81 2الزمن بالساعة

صفر

متريلو

لكة با

سافالم

1

65

2

7

3

8

4

9

30 50 7040 60 8010 20الزمن بالدقيقة

صفر

متريلو

لكة با

سافالم

أحمد

عمرو

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

52

تمهيد:

سبق أن درست الحركة المنتظمة فى خط مستقيم وبسرعة ثابتة، ومن المالحظ أن

كل أن المالحظ فمن طويل، لوقت الطريقة بهذه يتحرك األجسام من قليال عددا

سيارة يوجد بها ثالث أدوات تتحكم فى سرعتها وهى دواسة الوقود ودواسة الفرامل،

سرعة فى التغير نالحظ كذلك حركتها، اتجاه فى تتحكم التى القيادة عجلة ثم

األجسام فى أثناء سقوطها وفى أثناء قذفها إلى أعلى.

الحركة المستقيمة المتغيرة: هى الحركة التى يحدث فيها تغيير فى قيمة السرعة بمرور الزمن يسمى بالتسارع )العجلة( ووحدة قياسه هى م / ث2.

السرعة النهائية - السرعة االبتدائيةالزمن التسارع )جـ( =

ووحدات قياسه = م / ث2 أو سم / ث2 أو كم / س2

يفعر

ت

1كما يالحظ أن:

إذا كان التغير فى السرعة عند لحظة زمنية محددة فيسمى التسارع اللحظي.

Velocity-Time curve منحنى)ال�سرعة-الزمن(

إن نقول: الزمن مع السرعة قيمة ازدادت فإذا السرعة بتغير التسارع مفهوم يرتبط

كما موجبة( السرعة )باعتبار موجبا )العجلة( التسارع ويكون متسارعة، الحركة

فى شكل )1(.

إذا تناقصت قيمة السرعة مع الزمن فنقول: إن الحركة تقصيرية، ويكون التسارع و

)العجلة( سالبا كما فى شكل )2(.

إذا بقيت السرعة ثابتة مع الزمن نقول: إن الحركة منتظمة. و

20406080

6 82 4الزمن بالثانية

ثم/

ة رع

لسا

شكل )1(

20406080

6 82 4الزمن بالثانية

ثم/

ة رع

لسا

شكل )2(

التسارع. �منحنى الرسعة - الزمن. �احلركة منتظمة التغري. �العالقة بني الرسعة - الزمن. �العالقة بني املسافة - الزمن. �العالقة بني الرسعة - املسافة. �

سوف تتعلم

2 سدرال الحركةالم�ستقيمةذاتالعجلةالمنتظمة

Uniformly accelerated rectilinear motion

� Acceleration تسارع حركة منتظمة التغري �

Uniform acceferation motion عجلة منتظمة �

Uniform acceleration تقصري منتظم �

Uniform deceleration

المصطلحاتاألساسية

ورق مربعات �آلة حاسبة علمية �برامج رسومية للحاسوب �

األدوات والوسائل

53كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

Uniformly accelerated motion الحركةمنتظمةالتغير:

يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع )عجلة( منتظم إذا كان متجه العجلة ثابتا مقدارا واتجاها

لجميع األزمنة.

تعبير شفهى: ماذا تعنى كل من العبارات اآلتية:مقدار سرعة جسيم تزداد فى أثناء حركته زيادة منتظمة بمعدل 4م / ث2. أ

مقدار سرعة جسيم تتناقص في أثناء حركة تناقص منتظم بمعدل 24كم / س2. ب

مثال

إذا تغيرت سرعة سيارة تتحرك فى خط مستقيم من 50كم / س إلى 68 كم / س خالل عشر ثوان، وتحركت 1

سيارة نقل من السكون حتى أصبحت سرعتها 18كم / س خالل هذه المدة. أيهما يتحرك بتسارع أكبر ؟ فسر

إجابتك.

الحليتضح من بيانات المسألة أن كال من السيارة ، سيارة النقل قد حدث لهما زيادة فى السرعة بمقدار 18كم / س

) أى 5م / ث( خالل فترة زمنية قدرها 10 ثوان.

أى أن التسارع الذى تتحرك به كل منهما ثابت. 1 م / ث2

2 = 510 =

التغير فى السرعة

الفترة الزمنيةa جـ =

حاول أن تحل

إذا تغيرت سرعة سيارة )C( تتحرك فى خط مستقيم من 24كم / س إلى 36 كم / س خالل 5 ثوان، وتغيرت 1

سرعة سيارة )ب( تتحرك فى نفس الخط المستقيم من 12كم / س إلى 30كم / س خالل نفس المدة. أيهما

ر إجابتك. يتحرك بتسارع أكبر ؟ فس

Equations of the change uniforme motion معادلتالحركةمنتظمةالتغير

توجد ثالث معادالت أساسية تربط بين المسافة والسرعة والعجلة والزمن فى حالة الحركة بتسارع منتظم وهى:

اأول: العالقة بين ال�صرعة والزمن:ع جـ وأصبح متجه سرعته ع0 ومتجه عجلة ثابتة إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بمتجه سرعة ابتدائية

بعد فترة زمنية )ن( فإن:

: ع0 أى أن ع - ن

جـ = جـ ن ع0 + ع =

ى متجه الوحدة فى اتجاه الحركة. ى حيث ى + جـ ن ى = ع0 : ع أى أن

بأخذ القياس الجبري تكون. ع = ع0 + جـ ن

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

54

الحظ أن:العالقة تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداها بمعلومية الثالثة اآلخرين. ½

إذا بدأ الجسم حركته من سكون فإن ع0 = 0 وتكون ع = جـ ن ½

إذا كان جـ = 0 فإن ع = ع0 أى أن الجسم يتحرك بسرعة منتظمة. ½

مثال

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 9سم / ث وبعجلة منتظمة قدرها 3سم / ث2 تعمل فى نفس اتجاه 2

السرعة االبتدائية. أوجد:

سرعة الجسيم بعد 5 ثوان من بدء الحركة. أ

الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته 54 سم / ث. ب

الحلنفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه حركة الجسيم. أ

من بيانات المسألة: ع0 = 9سم / ث ، جـ = 3سم / ث2 ، ن = 5 ثوان

` ع = 24 سم / ث `ع = 9 + 3 * 5 aع = ع0 + جـ ن

` ن = 15 ثانية. ` 54 = 9 + 3 ن aع = ع0 + جـ ن ب

حاول أن تحل

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 20سم / ث وبعجلة منتظمة 5سم / ث2 تعمل فى نفس اتجاه متجه 2

السرعة االبتدائية. أوجد:

سرعته فى نهاية دقيقة واحدة من بدأ الحركة. أ

الزمن الذى يمضى من بدء الحركة حتى تصبح سرعته 18كم / س. ب

مثال

يتحرك جسيم فى خط مستقيم فتغيرت سرعته من 54 كم / س الى 3 م / ث فى زمن قدره نصف دقيقة. أوجد 3

ر إجابتك. مقدار عجلة الحركة. هل يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظيا؟ فس

الحل5 = 15 م / ث

18 54 كم / س = 54 *

"من بيانات المسألة" ع0 = 15 م / ث ، ع = 3م / ث ، ن = 30 ثانية

` 3 = 15 + 30 جـ aع = ع0 + جـ ن

` جـ = - 0٫4 م / ث2 : 30 جـ = - 12 أى أن

a جـ > 0 يمكن لهذا الجسيم أن يسكن لحظيا ألن يتحرك حركة تقصيرية.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2ليقتا لا ةكرحلا ذلة لاتسما لامكحلا سدرال

55

حاول أن تحل

تتحرك سيارة فى خط مستقيم فتناقصت سرعتها من 63 كم / س إلى 36 كم / س فى زمن قدره نصف دقيقة. 3

أوجد العجلة التى تتحرك بها السيارة والزمن الذى يمضى بعد ذلك حتى تسكن لحظيا.

The relation between displacement and time ثانيا: العالقة بين الم�صافة والزمن المساحة تحت منحنى )السرعة - الزمن( تساوى إزاحة الجسم.

فى الشكل المقابل الجسم يتحرك بعجلة منتظمة مبتدئا بسرعة ع0 النهائية سرعته أصبحت ثانية ن زمن وبعد ع0 ابتدائية

المساحة تحت المنحنى يمكن حسابها عن طريق تقسيمها إلى

مستطيل ومثلث.

المساحة )ف( = مساحة المستطيل + مساحة المثلث

1 ن )ع - ع0(2    = ع0ن +

1 ن )ع0 + جـ ن - ع0( )وذلك بالتعويض من القانون األول: ع = ع0 + جـ ن(2   ف = ع0 ن +

1 جـ ن22 ف = ع0 ن +

تعبير شفهى:اكتب صيغة قانون )المسافة - الزمن( عندما يبدأ الجسم حركته من سكون. -1

اكتب صيغة القانون السابق عندما جـ = 0 ، وبم تفسر نوع الحركة فى هذه الحالة؟ -2

مثال

سيارة تتحرك بسرعة 90كم / س ، ضغط السائق على دواسة الفرامل، بحيث تناقصت السرعة بمعدل ثابت 4

حتى توقفت السيارة بعد مرور 5 ثوان. احسب:

عجلة السيارة خالل تناقص السرعة. أ

المسافة التى قطعتها السيارة حتى توقفت حركتها تماما. ب

الحل5 = 25 م / ث

18 لتحويل السرعة من كم/س إلى متر / ث : 90كم / س = 90 * أ

بالتطبيق فى القانون: ع = ع0 + جـ ن حيث ع0 = 25 م / ث ، ع = 0 ، ن = 5 ثوان

أى أن جـ = - 5 م / ث2 ـ ` 0 = 25 + 5 ج

أى أن السيارة تتحرك بتقصير منتظم مقداره 5م / ث2.

1 جـ ن22 a ف = ع0 + ب

1 )- 5( * 25 = 62٫5 مترا.2 ` ف = 25 * 5 +

الزمن بالثانية0

ث(م/

ة )رع

لسا

ن

ع0ع0

ع

لحظ اأن

عندما يقف الجسم فإن ع = 0

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

56

مثال

تحركت كرة صغيرة بسرعة 150سم / ث على مستوى أفقى فتحركت فى خط مستقيم بتقصير منتظم مقداره 5

15سم/ث2. أوجد الزمن الذى يمضى من لحظة تحرك الكرة حتى تصبح على بعد 720 سم من بداية الحركة.

الحل

نفرض أن االتجاه الموجب هو اتجاه سرعة الكرة ع0

،  جـ = - 15 سم / ث `ع0 = 150 سم / ث.

وعندما تكون الكرة على بعد 720 سم من نقطة بدء الحركة )و( فإن:

، الموجبة اإلزاحة اتجاه فى تقع الكرة حركة أن تعنى الموجبة ف إن حيث 720 - = ف أو 720 + = ف

ف السالبة تعنى أن الكرة تحركت فى االتجاه المضاد.أوال: عندما تكون ف = 720سم ، ع0 = 150سم / ث ، جـ = - 15سم / ث2

1 * 15 ن2` 720 = 150ن - 2 1 جـ ن2

2 a ف = ع0ن +

وبالتبسيط: ن2 - 20ن + 96 = 0

: ن = 8 ثانية أو ن = 12 ثانية أى أن بالتحليل: )ن - 8( )ن - 12( = 0

أى أن الكرة تكون على بعد 720 سم من نقطة بدء الحركة مرتين:

بعد مضى 8 ثوان من بدء الحركة قبل أن تغير الكرة اتجاه حركتها.

بعد مضى 12 ثانية من بدء الحركة بعد أن تغير الكرة اتجاه حركتها.

ثانيا: عندما تكون ف = - 720 سم 1 * 15 ن2

` - 720 = 150 ن - 2 1 جـ ن2 2 a ف = ع0 ن +

وبالتبسيط: ن2 - 20 ن - 96 = 0

وبالتحليل: )ن - 24 ( )ن + 4( = 0  ` ن = 24 ثانية

أى أن الكرة تكون على بعد 720 سم من موضع نقطة بدء الحركة من جهة اإلزاحة السالبة بالنسبة لموضع بدء

الحركة بعد مرور 24 ثانية.

حاول أن تحل

بدأت كرة صغيرة الحركة بسرعة 5 م / ث على مستوى أفقى فتحركت فى خط مستقيم بتقصير منتظم مقداره 4

2م / ث2. أوجد الزمن الذى يمضى من لحظة قذف الكرة حتى تصبح على بعد 6 أمتار من نقطة القذف.

The relation between the displacement and velocity ثالثا: العالقة بين ال�صرعة والإزاحة )2( 1 جـ ن2

2 ف = ع0 ن + )1( نعلم أن: ع = ع0 + جـ ن ع2 + 2ع0 جـ ن + جـ 2 ن2 وأخذه عامل مشترك.

0بتربيع المعادلة األولى: ع2 =

1 جـ ن2( بالتعويض من المعادلة )2( عن قيمة ف2 ع2 + 2 جـ )ع0 ن +

0` ع2 =

ع2 + 2 جـ ف0

ع2 =

ع0 = 150 سم / ث

- 720 سم + 720 سم

و

لحظ اأن

إذا تحرك جسيم بتقصير منتظم لفترة الحركة فى يستمر فإنه أو يتوقف ثم محدودة، زمنية بعدها يتحرك حركة متسارعة

فى االتجاه المضاد.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2ليقتا لا ةكرحلا ذلة لاتسما لامكحلا سدرال

57

مثال

بسرعة منه فخرجت 14سم سمكه رأسى حائط على عمودى اتجاه فى 20م/ث بسرعة رصاصة أطلقت 6

إذا أطلقت الرصاصة بنفس السرعة على حائط رأسى آخر مماثل 15م/ث. أوجد مقدار العجلة التقصيرية ، و

فأوجد المسافة التى تغوصها حتى تسكن، علما بأن العجلة التى تتحرك بها الرصاصة واحدة فى الحالتين.

الحلحركة اتجاه هو الموجب االتجاه أن نفرض

الرصاصة.

الحالة األولى: ع0 = 20م / ث، ع = 15 م / ث ، ف = 0٫14 م ` )15(2 = )20(2 + 2 * جـ * 0٫14 ع2 + 2 جـ ف

0a ع2 =

وبالتبسيط: جـ = - 625 م / ث2

الحالة الثانية: جـ = - 625 م / ث2 ع0 = 20م / ث ، ع = 0

` 0 = )20(2 - 2 * 625 ف ع2 + 2 جـ ف 0

a ع2 =

أى أن الرصاصة تغوص فى الحائط مسافة 32 سم حتى تسكن. ` ف = 0٫32 متر

حاول أن تحل

نقصت سرعة سيارة بانتظام من 45كم / س إلى 18كم / س بعد أن قطعت مسافة 625 مترا. أوجد المسافة التى 5

تقطعها بعد ذلك حتى تسكن.

أطلقت رصاصة أفقيا على كتلة خشبية بسرعة 100م / ث فغاصت فيها مسافة 50سم. أوجد العجلة التى تتحرك 6

إذا تم إطالقها على كتلة خشبية أخرى مماثلة لألولى سمكها 18سم. بها الرصاصة إذا علم أن العجلة منتظمة ، و

فما هى السرعة التى تخرج بها الرصاصة من الكتلة الخشبية.

The average velocity within nth second الرسعة املتوسطة خالل الثانية النونية: مثال

فإذا قطع فى ، ثابت وبعجلة منتظمة اتجاه ما فى ابتدائية تحرك جسيم بسرعة 7

84سم. والعاشرة التاسعة الثانيتين فى وقطع 48سم، حركته من الخامسة الثانية

احسب العجلة التى تحرك بها الجسيم والسرعة االبتدائية له.

الحلهو العجلة اتجاه فيكون االبتدائية السرعة اتجاه هو الموجب االتجاه يعتبر

االتجاه الموجب أيضا. لماذا؟

14 سمع0 = 20 م/ثع = 15 م/ث

جـ

ف ع = 0ع0 = 20 م/ث

جـ

لحظ اأن

لجسيم المتوسطة السرعة تساوى ما زمنية فترة خالل منتصف فى اللحظية سرعته

هذه الفترة فمثال:السرعة المتوسطة خالل الثانية

الرابعة = ع0 + 3٫5 جـخالل المتوسطة السرعة

الثانيتين الثامنة والتاسعة= ع0 + 8حـ

44 85 9 و10

ع م ع م/

ع0

ى

48 سم 84 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

58

1 4 ثانية ، 48 = 48سم / ث وهى السرعة بعد 2

1 : ع م = المسافة أى أنالزمن

السرعة المتوسطة خالل الثانية الخامسة =

84 = 42سم / ث وهى السرعة بعد 9 ثوان 2 السرعة المتوسطة خالل الثانيتين التاسعة والعاشرة ع م/ =

- 4 سم / ث23 = 48 - 42

4٫5 - 9 ` جـ = التغير فى السرعة الفترة الزمنية a العجلة )جـ( =

4 سم / ث2.أى أن الجسم يتحرك حركة تقصيرية بعجلة = 3

4 12 * ) 4 -

3 ` 48 = ع0 + ) aع = ع0 + جـ ن

` ع0 = 54 سم / ث. ` 48 = ع0 - 6

حاول أن تحل

بدأ جسيم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 30سم / ث وعجلة منتظمة 6سم / ث2 فى نفس اتجاه سرعته. احسب: 7

المسافة المقطوعة بعد 5 ثوان من بدء الحركة. أ

المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة فقط. ب

تحرك جسيم بسرعة ابتدائية ما فى اتجاه ثابت وبعجلة منتظمة، فإذا قطع فى الثانية الثالثة من حركته مسافة 8

20مترا ، ثم قطع فى الثانيتين الخامسة والسادسة معا مسافة 60 مترا. احسب العجلة التى تحرك بها الجسيم

وسرعته االبتدائية.

C ب المسافة بينهما 700 متر، حيث يبدأ من المحطة ، C 9 يتحرك مترو األنفاق فى خط مستقيم بين محطتين

من السكون بعجلة منتظمة 2م/ث2 لمدة 10 ثوان ثم يسير بعد ذلك بسرعة منتظمة فترة من الزمن، ثم يقطع

مسافة 60 مترا األخيرة من حركته بتقصير منتظم حتى يقف فى المحطة ب. أوجد الزمن الذى يستغرقه فى قطع

المسافة بين المحطتين.

مثال

تتحرك سيارة بسرعة منتظمة 72كم / س. مرت بسيارة شرطة فبدأت سيارة الشرطة فى متابعتها بعد 10 ثوان من 8

مرورها متحركة بعجلة منتظمة مسافة 100 متر حتى بلغت سرعتها 90كم / س ، ثم سارت بهذه السرعة حتى

لحقت بالسيارة األولى. أوجد الزمن الذى استغرقته عملية المطاردة منذ لحظة تحرك سيارة الشرطة والمسافة

التى قطعتها هذه السيارة.

الحلنعتبر االتجاه الموجب هو اتجاه السرعة المنتظمة

وأن سيارة الشرطة كانت ساكنة عند نقطة و ، ثم

C حيث إلى قطعت مسافة 100 متر حتى وصلت

أصبحت سرعتها 90كم / س ثم سارت بها بانتظام

حتى لحقت بالسيارة األولى عند ب.

5 = 25 متر/ث18 5 = 20 متر/ث ، 90كم/س = 90 *

18 72 كم/س = 72 *

يسرعة منتظمة 72 كم/س

و

و

ب

ب

هـ

أ ع0 = 0ع = 90كم / س

K ثانية

K ثانية

10 ثانية

100 مترسرعة منتظمة

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2ليقتا لا ةكرحلا ذلة لاتسما لامكحلا سدرال

59

بالنسبة لسيارة الشرطة في الفترة من و أ

+ 2 حـ ف0ع2 =ع2 ع0 = 0 , ع = 25 م / ث  ، ف = 100 متر

25 م / ث28 ` حـ = 25 * 25 = 2 * حـ * 100

` ن = 8 ثانية 25 ن 8 = 25 ` + حـ ن

0ع =ع

` المسافة التي تتحركها سيارة الشرطة بسرعة منتظمة = 25 )ن - 8( متر

، تكون السيارة المطاردة قطعت المسافة و ب في زمن قدره = )ن + 10( ثانية

، تكون سيارة الشرطة قطعت نفس المسافة و ب في زمن قدره = ن ثانية

` 20 ) ن + 10( = 100 + 25 ) ن - 8(   '  ن = 60 ثانية

المسافة المقطوعة = 20 * 70 = 1400 متر

تمــــاريــن الدرس الثاني

أكمل مايأتى: 1

أ يتحرك جسيم فى خط مستقيم من السكون بعجلة منتظمة مقدارها 4م / ث2 فإن سرعته بعد 6 ثوان من

بدء الحركة = .......................... م / ث.

ب المسافة التى يقطعها جسيم يتحرك فى اتجاه ثابت من السكون بعجلة مقدارها 5سم / ث2 فى زمن قدره

4 ثوان = .......................... سم.

ج السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع0 وعجلة منتظمة جـ خالل الثانية السادسة من حركته = ..........

د السرعة المتوسطة لجسيم يتحرك بسرعة ابتدائية ع0 وعجلة منتظمة جـ خالل الثوانى السابعة والثامنة

والتاسعة = ..........................

ه يتحرك جسيم من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع 24 مترا فى الثوانى األربع األولى من

حركته ، فإن مقدار عجلته = ..........................

و بدأ جسيم حركته من السكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة مقدارها 2سم / ث2 فقطع مسافة 25سم ،

فإن سرعته فى نهاية تلك المسافة = .......................... سم / ث.

انطلقت سيارة من السكون بتسارع مقداره 4م / ث2. ما المسافة التى تقطعها السيارة عندما تصبح سرعتها 24م / ث؟ 2

تسير سيارة سباق فى الحلبة بسرعة 44م / ث ثم تناقصت سرعتها بمعدل ثابت حتى أصبحت 22م / ث خالل 3

11 ثانية. أوجد المسافة التى قطعتها السيارة خالل هذا الزمن.

تتسارع سيارة بمعدل ثابت من 15م / ث إلى 25م / ث. ما الزمن الذى تستغرقه لتصل إلى هذه السرعة علما بأنها 4

قطعت مسافة 125 مترا ؟

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

60

إزاحة كانت فإذا ثانية. 4٫5 خالل ث / م 7٫5 سرعته صارت حتى منتظمة بعجلة دراجة راكب يتحرك 5

الدراجة خالل فترة التسارع تساوى 19 مترا. أوجد السرعة االبتدائية للدراجة.

1م / ث2 لمدة 6 ثوان وبعد ذلك يقود يتدرب كريم على ركوب الدراجة يدفعه والده فيكتسب تسارعا ثابتا مقداره 2 6

كريم الدراجة بمفرده بسرعة 3م / ث لمدة 6 ثوان أخرى قبل أن يسقط أرضا. أوجد مقدار المسافة التى يقطعها كريم.

بلغت التل قاعدة إلى ثابتة مقدارها 2م / ث2 وعندما وصل بعجلة منحدرا تل قمة هبط راكب دراجة من 7

سرعته 18م / ث ثم استخدم الفرامل حتى يحافظ على هذه السرعة لمدة دقيقة واحدة. أوجد المسافة الكلية

التى قطعها راكب الدراجة.

قائد سيارة يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها 24م / ث ، شاهد فجأة طفل يمر فى الشارع ، فإذا كان الزمن الالزم 8

1 ثانية تحركت فيه السيارة بتقصير منتظم مقدارها 9٫6م / ث2 حتى وقفت أوجد المسافة الستجابة الفرامل هو2

الكلية التى تحركتها السيارة قبل أن تقف مباشرة.

بدأ جسم حركته من السكون فى خط مستقيم أفقى بعجلة منتظمة مقدارها 4سم / ث2 لمدة 30 ثانية ثم تحرك 9

بالسرعة التى اكتسبها لمدة 40 ثانية أخرى أوجد مقدار سرعته المتوسطة.

يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة على مستوى أفقى أملس فقطع 26 مترا خالل الثانية الرابعة من 10

بدء الحركة ، 56 مترا خالل الثانية التاسعة، أوجد سرعته االبتدائية ومقدار عجلته.

س ، ص نقطتان على طريق مستقيم أفقى بدأت سيارة C الحركة من س نحو ص من السكون وبعجلة منتظمة 11

10م / ث2 وفي نفس اللحظة كانت تتحرك سيارة أخرى ب من ص نحو س بسرعة منتظمة مقدارها 54 كم / س ،

فإذا كانت السرعة النسبية للسيارة C بالنسبة للسيارة ب لحظة التقائهما تساوى 162 كم / س. أوجد الزمن الذى

تأخذه كل من السيارتين من لحظة تحركها معا حتى لحظة التقائهما.

نشاط

الشكل المقابل يمثل منحنى )السرعة - الزمن( لجسم 12

بدأ التحرك بسرعة ابتدائية مقدارها 10م / ث وحتى

سكن بعد زمن قدره 110 ثانية. أوجد:

عجلة التسارع. أ

مقدار التقصير المنتظم للجسم حتى يسكن. ب

المسافة الكلية التى تحركها الجسم. ج

تفكير إبداعى:مصعد ساكن بقاع منجم ، أخذ المصعد فى االرتفاع بعجلة مقدارها 120سم/ث2 مسافة 540سم، ثم بسرعة 13

منتظمة مسافة 360 سم ثم بتقصير منتظم مسافة 720سم حتى سكن عند فوهة المنجم. احسب الزمن الذى

استغرقه المصعد فى الصعود من قاع المنجم إلى فوهته.

60

40

20

0

70

50

30

10

30 50 70 10040 60 9080 11010 20الزمن بالثانية

ث(م/

ة )رع

لسا

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2ليقتا لا ةكرحلا ذلة لاتسما لامكحلا سدرال

61

3 سدرال

األدوات والوسائل

آلة حاسبة علمية. �

المصطلحاتاألساسية

� Free fall سقوط حر عجلة اجلاذبية األرضية �

Acceleration of gravity

سوف تتعلم

قوانني احلركة الرأسية. �دراسة حركة األجسام الساقطة �

أو املقذوفة ألسفل.دراسة حركة األجسام املقذوفة �

ألعىل.

ال�سقوطالحرFree Fall

فكر و ناقش

ما الذى يحدث عندما تسقط برتقالة من شجرة؟

سقوطا ½ سقوطها أثناء فى سرعة تكتسب ثم ، سكون من البرتقالة تتحرك

حرا نتيجة تأثير جاذبية األرض عليها فبعد 1 ثانية ستكون سرعتها 9٫8 م/ث

ألسفل، وبعد ثانية أخرى ستصبح سرعتها 19٫6 م/ث ألسفل وهكذا...

الحظ أن: مقدار الزيادة فى السرعة يتوقف على االرتفاع الذى سقطت منه البرتقالة ، فكلما زاد االرتفاع زادت سرعة البرتقالة.

إن التسارع الذى تسقط به األجسام سقوطا حرا )مع إهمال مقاومة الهواء( يساوى

9٫8 م/ث2 تقريبا ويختلف باختالف خط العرض فيقل عند خط االستواء ويزداد

قليال كلما اتجهنا نحو القطبيتن.

قوانينالحركةالراأ�سيةلالأج�سام:

مع المنتظمة العجلة ذات المستقيمة الحركة قوانين لنفس الرأسية الحركة تخضع

ا بدال من استخدام الرمز )E( الدالة على التسارع الذى تسقط به األجسام سقوطا حر

الرمز )جـ( وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية:

E 1 ن2 ، ع2 = عE2 + 2ف2 ع = عE + 0 ن ، ف = ع0 ن +

ولذلك عند تطبيق القوانين بالصورة السابقة يجب مراعاة ع ، عE ، 0 ، ف

تبعا لما يأتى.

اأول: اإذا كان الج�صم �صاقطا اأو مقذوفا نحو �صطح الأر�سيعتبر االتجاه الموجب هو االتجاه الرأسى إلى أسفل فتكون كل من

ع0 ، ع ، E ، ف موجبة.

مثال

أسقط عامل بناء قطعة خرسانية من سقالة )منصة( عالية. 1

ما سرعة قطعة البناء بعد نصف ثانية. أ

ما المسافة التى تقطعها كتلة البناء خالل هذا الزمن. ب

تطبيقات الرياضيات - علمى 62

الحل + E ن

0صيغة القانون: ع = ع أ

1 ثانية. = E ، 0 = 9٫8 م/ث2 ، ن = 2

0بالتعويض عن ع

1 = 4٫9 م/ث2      ع = 0 + 9٫8 *

E 1 ن22 ن +

0صيغة القانون: ف = ع ب

1 ثانية. = E ، 0 = 9٫8 م/ث2 ، ن = 2

0بالتعويض عن ع

1 متر. 940 = 1

4 * 9٫8 * 12       ف = 0 +

حاول أن تحلسقطت تفاحة من شجرة وبعد ثانية واحدة ارتطمت باألرض. 1

أ احسب سرعة التفاحة لحظة ارتطامها بسطح األرض ، ثم احسب السرعة المتوسطة لحظة ارتطامها بسطح األرض.

ما هو بعد التفاحة عن سطح األرض لحظة بداية سقوطها؟ ب

ثانيا: اإذا كان الج�صم مقذوفا اإلى اأعلى

نشاط

قذفت كرة رأسيا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها 19٫6م/ث2،

فتكون الموجب االتجاه الرأسى ألعلى هو االتجاه أن باعتبار

السرعة االبتدائية موجبة تبعا لذلك ، أما التسارع فيكون سالبا -

لماذا؟)السرعة- ½ بين العالقة رسم فى )geogebra( برنامج استخدم

ع = 19٫6 - 9٫8ن عندما ن ∋ ]0 ، 4[    الزمن( حيث

ماذا تالحظ؟استخدم نفس البرنامج فى رسم العالقة بين )المسافة - الزمن(: ½

حيث ف = 19٫6 ن - 4٫9 ن2 , ماذا تالحظ؟

االتجاه الموجب

وطلهب

كة احر

ودصع

ة الرك

ح

ع = 0

+

الزمن بالثانية

شكل )1(

منحنىالسرعة - الزمن

ث(م/

ة )رع

لسا

1 2 3 4

20-15-10-

5-

5101520

أقصي ارتفاع

شكل )2(الزمن بالثانية

منحنىالمسافة - الزمن

متر بال

افةمس

ال

0 1 2 3 4

19٫6

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3سحلا طوقسلا سدرال

63

نالحظ من الشكل البيانى أن:سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة وفى أثناء الهبوط تكون سالبة. ½

فمثال: عندما ن ∋ ]0 ، 2] نالحظ أن سرعة ع < 0 ، عندما ن ∋ [2 ، 4[ فان ع > 0

سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى صفرا. ½

زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط. ½

مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة القذف بإشارة مخالفة. ½

إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل هذه الفترة. ½

تفكير ناقد:1- إذا قذف جسم رأسيا ألعلى بسرعة ابتدائية )ع0( فبلغت سرعته النهائية )ع( فى زمن قدره )ن( فأوجد.

زمن وصول الجسم إلى أقصى ارتفاع. أ

مسافة أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم. ب

مثال

قذف جسم رأسيا إلى أعلى بسرعة 49م/ث. أوجد زمن وصوله إلى أقصى ارتفاع والمسافة التى وصل إليها. 2

الحل = 49م/ث ، E = -9٫8 م/ث2 ، ع = 0 )عند أقصى ارتفاع(

0ع

إليجاد زمن أقصى ارتفاع: أ

` ن = 5ثوان. ` 0 = 49 - 9٫8 ن. + E ن 0a ع = ع

إليجاد مسافة أقصى ارتفاع: ب

` ف = 122٫5 مترا عE 2 + 2ف.   ` 0 = )49(2 - 2 * 9٫8 * ف. 0

a ع2 =

فكر:ح ذلك. هل يمكنك استخدام قوانين أخرى إليجاد مسافة أقصى ارتفاع؟ وض -1

مثال

قذف جسم رأسيا إلى أعلى بسرعة 16م/ث. أوجد الزمن الذى يأخذه الجسم حتى يصل إلى 330 مترا أسفل 3

نقطة القذف.

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

64

الحل

نعتبر االتجاه الرأسى إلى أعلى هو االتجاه الموجب

= 16م/ث ألنها نفس اتجاه القذف.0ع

E = - 9٫8 ألنها عكس اتجاه عملية الجاذبية األرضية.

ف = - 330 ألنها أسفل نقطة القذف.

E 1 ن22 ف = ع0 ن +

1 * 9٫8ن2 بالتبسيط 49ن2 - 16ن - 330 = 0- 330 = 6ن - 2

بالتحليل المقدار الثالثى: )ن - 10( )49ن + 330( = 0 )مرفوض( 330

49 ن = 10 ، ن = -

فكر:ح ذلك. هل توجد لديك حلول أخرى؟ وض -1

حاول أن تحلقذفت كرة صغيرة رأسيا إلى أعلى من نافذة أحد المنازل وشوهدت الكرة وهى هابطة أمام النافذة بعد 3 ثوان من 2

قذفها ، ثم وصلت إلى سطح األرض بعد 4ثوان من لحظة القذف. أوجد ارتقاع هذه النافذة عن سطح األرض.

تمــــاريــن الدرس الثالث

طفل يسقط كرة من نافذة ترتفع 3٫6م عن الرصيف. ما سرعتها لحظة مالمستها الرصيف؟ 1

سقطت كرة رأسيا إلى أسفل. ما سرعتها بعد 6 ثوان من لحظة سقوطها. 2

سقط جسم رأسيا ألسفل من ارتفاع 490م عن سطح األرض أوجد: 3

زمن الوصول إلى سطح األرض. أ

سرعته بعد 5 ثوان من بدء الحركة. ب

21متر. 2 مسافة أعلى إلى رأسيا وارتدت باألرض فاصطدمت أمتار 10 ارتفاع من المطاط من كرة سقطت 4

احسب سرعة الكرة قبل وبعد اصطدامها باألرض مباشرة.

يتدرب طالب على ركل كرة القدم رأسيا إلى أعلى فى الهواء، ثم تعود الكرة أثر كل ركلة فتصدم بقدمه. فإذا 5

استغرقت الكرة من لحظة ركلها وحتى اصطدامها بقدمة 0٫3 ثانية.

أوجد السرعة االبتدائية. أ

االرتفاع الذى وصلت إليه الكرة بعد أن ركلها الطالب. ب

بوج

المجاه

التا

0ع

نقطة القذف

أقصى ارتفاع

ف سالبة

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3سحلا طوقسلا سدرال

65

قذف جسم من أعلى تل ارتفاعه 9٫8 أمتار رأسيا إلى أعلى بسرعة 4٫9 م/ث أوجد: 6

سرعة الجسم عند لحظة وصولة إلى أسفل التل. أ

الزمن الذى استغرقة للوصول إلى أسفل التل. ب

قذف حجر فى بئر بسرعة 4 م/ث رأسيا ألسفل فوصل إلى قاع البئر بعد 2 ثانية. أوجد: 7

عمق البئر. أ

سرعة الحجر عند تصادمه بقاع البئر. ب

قذف جسيم رأسيا إلى أعلى بسرعة 14 م/ث من نقطة على ارتفاع 350م عن سطح األرض. أوجد الزمن الذى 8

يأخذه الجسم حتى يصل إلى سطح األرض.

قذفت كرة رأسيا إلى أعلى من نافذة فوصلت إليها بعد 4 ثوان من لحظة القذف ووصلت إلى سطح األرض بعد 9

5 ثوان من لحظة القذف. أوجد

سرعة قذف الكرة. أ

أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة من نقطة القذف. ب

ارتفاع النافذة عن سطح األرض. ج

من قمة برج ارتفاعه 80٫5 مترا قذف جسم رأسيا ألعلى بسرعة 8٫4 م/ث. أوجد : 10

أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم من نقطة القذف. أ

الزمن الذى يستغرقه الجسم وهو هابط حتى تصبح سرعته 11٫2م/ث. ب

زمن وصول الجسم إلى نقطة القذف. ج

زمن وصول الجسم إلى سطح األرض. د

قذفت كرة من أعلى تل ارتفاعه 140م رأسيا إلى أعلى ، فوجد أنها قطعت فى الثانية الثالثة مسافة 10٫5 أمتار. 11

أوجد:

السرعة التى قذفت بها الكرة. أ

أقصى ارتفاع وصلت إليه الكرة. ب

الزمن الذى استغرقته الكرة فى الوصول إلى سطح األرض. ج

تفكير ابداعى:

سقط جسم من ارتفاع 60 مترا من سطح األرض وفى نفس اللحظة قذف جسم أخر رأسيا ألعلى من سطح 12

األرض بسرعة 20م / ث فتقابل الجسمان بعد فترة زمنية أوجد هذا الزمن، ثم أوجد المسافة التى قطعها كل من

الجسمين خالل هذه الفترة الزمنية.

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

66

فكروناق�ش:

ماذا يحدث لحركة القمر لو فقدت األرض قوة جاذبيتها للقمر؟ بالتأكيد سيسلك مسارا

آخر بدال من أن يكون مساره شبه دائرى حول األرض.

الشمس وجاذبية للقمر األرض جاذبية عن المسئولة القوى أن نيوتن أدرك لقد

للكواكب إنما هى حالة خاصة من الجذب العام بين األجسام.

الرياضى بحثه فى نشره الذى لنيوتن العام الجذب قانون على اآلن تتعرف وسوف

مبادئ الفلسفة الطبيعية حيث ذكر نيوتن أن:

تتناسب مباشرة قوة بتأثير األخرى األجسام مع تتجاذب الكون فى األجسام كل

طرديا مع كتلتها وعكسيا مع مربع المسافة بين مركزيهما.

فإذا كان لدينا كتلتين ك1 ، ك2 وتفصل بينهما مسافة ف فإن مقدار قوة الجاذبية بينهما

ك1 ك2تعطى بالعالقة:ف2

حيث X = ث *

ك1 ، ك2 مقاستان بالكيلوجرام ، ف مقاسة بالمتر ، ث هو ثابت الجذب العام.

gravitational constant تعريفثابتالجذبالعام:

بين والمسافة جرام كيلو 1 منهما كل مقدار كتلتين بين المتبادلة الجذب قوة هو

مركزيهما 1 متر ويساوى تقريبا 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . متر2 / كجم2.

تعبير شفهى:اذكر العوامل التى تتوقف عليها قوة التجاذب بين جسمين. -1

فكر:ماذا يحدث لقوة الجذب المتبادلة بين جسمين إذا ازدادت المسافة بينهما؟ -1

لماذا تظهر قوى التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح؟ -2

مثال

كرتين كتلة األولى 5٫2 كجم وكتلة الثانية 0٫25 كجم وضعت الكرتان، بحيث 1

بأن علما ، بينهما التجاذب قوة احسب 50سم. مركزيهما بين المسافة كانت

ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2.

قانون اجلذب لنيوتن. �تعريف ثابت اجلذب العام. �املقارنة بني عجلتى اجلاذبية عىل �

سطحى كوكبني.

سوف تتعلم

4 سدرال قانونالجذبالعام

Universal gravitation law

جذب عام �ثابت اجلذب العام �قوة اجلذب. �

المصطلحاتاألساسية

آلة حاسبة علمية �Scientific calculator

األدوات والوسائل

67كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

الحل1 م ، ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن.م2 / كجم2

ك1 = 5٫2 كجم ، ك2 = 0٫25 كجم ، ف = 2

11 - 10 * 6٫67 * 0٫25 * 5٫214

= X ` ك1 ك2 ف2

X a = ث *

X = 3٫4684 * 10 - 10 نيوتن )وهى قوة صغيرة جدا(

حاول أن تحل

إذا علمت أن كتلة األرض 6 * 10 24 كجم وكتلة القمر 7 * 10 22 والمسافة بينهما 3 * 10 6 متر وثابت الجذب 1

العام 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2. أوجد قوة جذب األرض للقمر.

مثال

قمر صناعى كتلته ك كجم يدور على ارتفاع 440 كم من سطح األرض التى كتلتها 6 * 10 24 كجم ونصف 2

قطرها 6360 كم أوجد ك ألقرب كجم علما بأن ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن.م2 / كجم2،

قوة جذب األرض للقمر هى 17310 نيوتن.

الحلك1 ك2ف2

ك1 = ك ، ك2 = 6 * 2410 ، ف = )6360 + 440( * 1000 م  وبالتعويض فى القانون: ق = ث * ك1 * 6 * 10 24

2)1000 * 6800( * 11 - 10 * 6٫67 = 17310

ك = 2000٫035982 - 2000 كجم 2)1000 * 6800( * 17310

24 10 * 6 * 11 - 10 * 6٫67: ك = أى أن

17 310 × ) 68 00 × 10 00 ( χ2 ÷ ) 6.67 × 10 χ

− 11 × 6 × 10 χ 24 ( =

حاول أن تحل

قمر صناعى كتلته 1500 كجم يدور على ارتفاع 540 كم من سطح األرض التى كتلتها 6 * 10 24 2

كجم ونصف قطرها 6360 كم.

أوجد قوة جذب األرض للقمر بالنيوتن علما بأن ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

حساب كتلة األرضمثال

احسب كتلة األرض بوحدة كجم بفرض أن جسما كتلته 1 كجم وضع فوق سطحها. علما بأن طول نصف قطر 3

األرض 6360 كم، ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

الحلقوة جذب األرض للجسم = ك د )حيث ك = 1كجم ، د = 9٫8 م / ث2(

X = 1 * 9٫8 = 9٫8 نيوتن

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

68

نصف قطر األرض = 6360 * 1000 متر ، ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

ك1 ك2ف2

بتطبيق قانون الجذب العام: X = ث *

1 * ك لألرض2)1000 * 6360(

* 11 -10 * 6٫67 = 9٫8

- 6 * 2410 كجم2)1000 * 6360( * 9٫8

11 - 10 * 6٫67كتلة األرض )ك( =

تفكير ناقد: هل تتغير كتلة األرض فى المثال السابق إذا كانت كتلة الجسم الموضوع ر ذلك. فوق سطحها يساوى 1000 كجم؟ فس

حاول أن تحل

احسب نصف قطر األرض بفرض أن جسما كتلته 1 كجم وضع فوق سطحها علما بأن كتلة األرض تساوى 3

6 * 10 24 كجم وثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2 / كجم2

مثال

)E( تعيين عجلة الجاذبية األرضيةاحسب عجلة الجاذبية األرضية بوحدة م / ث2 لجسم كتلة 1كجم وضع فوق سطحها. علما بأن كتلة األرض 4

تساوى 6 * 10 24 كجم، نصف قطر األرض يساوى 6360كم

الحلE = X أى أن E * 1 = X ` E قوة جذب األرض للجسم = ك a

E - 9٫89379 م / ث2 24 10 * 6 * 1

2)1000 * 6360( * 11 - 10 * 6٫67 = E ` ك1 ك2

ف2 X a = ث *

المقارنةبينعجلتىالجاذبيةعلى�سطحىكوكبين:

مما سبق يمكن استنتاج العالقة اآلتية:22H21H

ك1 *

ك2 = 1E

2E

حيث: 2E ، 1E عجلتى الجاذبية لكل كوكب ، ك1 ، ك2 كتلتيهما بالكجم ، 2H ، 1H نصفى قطريهما بالمتر على الترتيب.

مثال

إذا كانت كتلة األرض قدر كتلة القمر 81 مرة وقطراهما 12756 كم ، 3476 كم على الترتيب فإذا كانت عجلة 5

الجاذبية األرضية 9٫8 م / ث2 فكم يكون تسارع الجاذبية على سطح القمر؟

الحلنفرض أن كتلة القمر ك كجم فتكون كتلة األرض = 81 ك كجم

1H = 6378 كم ، 2H = 1738 كم ، 1E = 9٫8 م / ث2E ، 2 = ؟

2) 17386378

80 ك * )ك

= 9٫8 2E

` 22H21H

ك1 *

ك2 = 1E

2E a

` E للقمر - 1٫63 م / ث2 وبالتبسيط:

اأ�صف اإلى معلوماتك

قوة جذب األرض لجسم كتلته ك كجم = ك E = 9٫8 ك

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4االط قسجلاقسحناق سدرال

69

حاول أن تحل

إذا علمت أن كتلة األرض 5٫97 * 10 24 كجم ونصف قطرها 6٫34 * 10 6 م وكتلة القمر 7٫36 * 10 22 ونصف 4

قطره 1٫74 * 10 6 م فأوجد النسبة بين الجاذبية على سطح القمر إلى سطح األرض.

تمــــاريــن الدرس الرابع

تنبيه: اعتبر ثابت الجذب العام لنيوتن: ث = 6٫67 * 10 - 11 نيوتن.متر2 / كجم2

ماذا يحدث لوزنك كلما ابتعدت أكثر عن سطح األرض؟ 1

لماذا ال تظهر قوة الجاذبية بين األجسام التى نشاهدها يوميا؟ 2

ماذا يحدث لقوة الجذب العام عند مضاعفة المسافة بينهما؟ 3

أى من المدارات الموضحة بالشكل التالى يعتبر مدارا ممكنا لكوكب ما: 4

أختيار من متعدد: كوكب لديه قمران متساويا الكتلة، القمر األول فى مدار دائرى نصف قطره ن، القمر 5

الثانى فى مدار دائرى نصف قطره 2ن. إن مقدار قوة الجاذبية التى يوثر بها الكوكب على القمر الثانى هى:

أكبر أربع مرات من القوة الموثرة على القمر األول. أ

تساوى القوة المؤثرة على القمر األول. ج أكبر مرتين من القوة الموثرة على القمر األول. ب

ربع القوة المؤثرة على القمر األول. ه نصف القوة المؤثرة على القمر األول. د

فى الشكل المقابل: 6

بين مركزى كرتين 2م وكانت كتلة البعد إذا كان

إحداهما 0٫8 كجم وكتلة األخرى 0٫6 كجم فما

قوة التجاذب بينهما؟

كرتان متماثلتان كتلة كل منهما 6٫8 كجم والبعد بين مركزيهما 21٫8 سم ما قوة التجاذب بينهما؟ 7

احسب قوة التجاذب بين جسمين كتلتيهما 10 كجم ، 15 كجم والمسافة بينهما 2 أمتار. 8

قمر صناعى كتلته 2000 كجم يدور على ارتفاع 440 كم من سطح األرض التى كتلتها 6 * 2410 كجم . أوجد 9

قوة جذب األرض للقمر علما بأن نصف قطر األرض 6360 كم.

2 متر

0٫8 كجم0٫6 كجم

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

70

إذا كانت عجلة الجاذبية األرضية )E( هى 10 م / ث2 ونصف قطر األرض يساوى 6٫36 * 10 6 م . احسب كتلة 10

األرض.

حول دائرى شبه مدار فى تسير األرض أن علمت إذا واألرض الشمس بين المتبادلة التجاذب قوة احسب 11

الشمس وأن كتلة األرض تساوى 6 * 10 24 كجم وكتلة الشمس تساوى 9 * 10 29 كجم والمسافة بينهما تساوى

1٫5 * 10 11 متر.

إذا علمت أن كتلة األرض تساوى 5٫97 * 10 24 ونصف قطرها 6٫34 * 10 6 م وكتلة القمر تساوى 7٫36 * 10 12

22 كجم فأوجد طول نصف قطر القمر إذا كانت الجاذبية على سطح األرض ستة أمثالها على سطح القمر.

إذا علمت أن كتلة األرض 6٫06 * 10 24 ونصف قطرها 6٫36 * 10 6 م فأوجد شدة مجال الجاذبية األرضية . 13

كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض وقطره يساوى ثالث مرات قدر قطر األرض احسب النسبة بين 14

عجلة الجاذبية على سطح هذا الكوكب وسطح األرض.

4 طن والمسافة بينهما * 2 طن وكتلة الثاني = 2510 * أوجد قوة الجذب العام بين كوكبين كتلة األول 2110 15

610 * 2كم.

وضعت قطعة من الحديد على بعد 50سم من أخرى من النيكل كتلتها 25 كجم فكانت قوى التجاذب بينهما 16

10 - 8 * 6 فكم تكون كتلة الكرة الحديد.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

4االط قسجلاقسحناق سدرال

71

ملخ�شالوحدةمتجهالإزاحة

C ب التى نقطة هو المتجه الذى تمثله القطعة المستقيمة الموجهة

C ب بالرمز بدايتها )C( ونقطة نهايتها )ب( ويرمز لمتجه اإلزاحة

C ب || ف ، ويرمز لمعيار متجه اإلزاحة بالرمز ||

متجهالمو�سع

S هو المتجه الذى تنطبق بدايته مع موضع المشاهد )و( ونقطة نهايته مع موضع الجسيم ويرمز له بالرمز

العالقةبينمتجهالمو�سعومتجهالإزحة:

0S - S ف =

متجهال�سرعة

متجه سرعة جسيم هو المتجه الذى معياره يساوى قيمة السرعة وينطبق اتجاهه على اتجاه الحركة.

الحركةالمنتظمة

: الجسيم يتحرك فى اتجاه ثابت، حيث هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثابتا، أى أن

يقطع مسافات متساوية خالل فترات زمنية متساوية.

ف = ع نوتكون العالقة بين القياسيين الجبريين للمتجهين ف ، ع فى الحركة المنتظمة هى:

متجهال�سرعةالمتو�سطة

إذا تحرك جسيم عند لحظتين زمنيتين ن1 ، ن2 عند الموضعين C ، ب على الترتيب وكان ف هو متجه اإلزاحة فى

الفترة الزمنية )ن2 - ن1( فإن ع م يعرف بمتجه السرعة المتوسطة لهذا الجسيم خالل تلك الفترة الزمنية ويكون:

ف

ن 2 - ن1 =

0 S - S

ن 2 - ن1 ع م =

ال�سرعةاللحظية:

إذا تحرك جسيم بسرعة متغيرة من خالل منحنى المسافة - الزمن فإن ميل المماس عند نقطة ما على المنحنى عند

لحظة زمنية تعرف بالسرعة اللحظية.

ال�سرعةالن�سبية:

اعتبرنا لو بها التى يبدو للجسيم )C( أن يتحرك السرعة بالنسبة لجسيم آخر )ب( هى )C( النسبية لجسيم السرعة

، ع ب هما متجها سرعة لجسمين C، ب وأن متجه سرعة ب بالنسبة C الجسيم )ب( فى حالة سكون، باعتبار أن ع

فإنCهى ع ب CC

= ع ب - عCع ب

الحركةالم�ستقيمةالمتغيرة:

هى الحركة التى يحدث فيها تغيير فى قيمة السرعة بمرور الزمن يسمى بالتسارع )العجلة( ووحدة قياسه هى م / ث2.

نقطة البدايةالمسار

نقطة النهاية

ف

C

ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

72

السرعة النهائية - السرعة االبتدائيةالزمن التسارع )جـ( =

الحركةمنتظمةالتغير:

يقال إن الجسيم يتحرك حركة منتظمة التغير أو بتسارع )عجلة( منتظم إذا كان متجه العجلة ثابتا مقدارا واتجاها

لجميع األزمنة.

إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية )ع( وعجلة ثابتة )جـ( وأصبحت سرعته )ع( بعد فترة زمنية )ن(

قطع خاللها مسافة )ف( فإن:

ع = ع0 + جـ ن ½ العالقة بين السرعة والزمن:

1جـ ن2 ½2 ف = ع0 ن + العالقة بين المسافة والزمن:

2 + 2جـ ف ½ع2 = ع0 العالقة بين السرعة والمسافة:

ويالحظ أن هذه العالقات تربط بين أربعة مجاهيل يمكن إيجاد إحداهما بمعلومية الثالثة اآلخرين.

المساحة تحت منحنى السرعة - الزمن تساوى إزاحة الجسم المتحرك. ½

السرعة المتوسطة لجسيم خالل فترة زمنية ما تساوى سرعته اللحظية فى منتصف هذه الفترة. ½

قوانينالحركةالراأ�سيةلالأج�سام:

تخضع قوانين الحركة الرأسية لنفس قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة مع استخدام الرمز )E( الدالة

على التسارع الذى يسقط به األجسام سقوطا حرا بدال من الرمز )جـ( وبذلك تأخذ القوانين الصورة اآلتية:

E1 ن2 ، ع2 = عE2 + 2ف2 ع = عE + 0 ن ، ف = ع0 ن +

إذا قذف رأسيا إلى أعلى تحت تأثير الجاذبية األرضية وعاد إلى نقطة القذف فإن:

سرعة الجسم فى أثناء الصعود تكون موجبة وفى أثناء الهبوط تكون سالبة. ½

سرعة الجسم عند أقصى ارتفاع تساوى صفرا. ½

زمن الصعود للجسم يساوى زمن الهبوط. ½

مقدار سرعة الجسم التى يعود بها إلى نقطة القذف تساوى مقدار سرعة القذف بإشارة مخالفة. ½

إزاحة الجسم خالل فترة زمنية ما ليست بالضرورة أن تكون مساوية للمسافة التى قطعها الجسم خالل ½

هذه الفترة.

قانونالجذبالعاملنيوتن

ك1 ك2ف2

إذا كان المسافة )ف( بين كتلتين ك1، ك2 فإن مقدار قوة الجذب بينهما )X( تعطى بالعالقة : X = ث *

حيث ك1 ، ك2 مقاستان بالكيلو جرام ، ف بالمتر.

ثابتالجذبالعام:

تقريبا ويساوى متر 1 مركزيها بين والمسافة 1كجم منها كل مقدار كتلتين بين المتبادلة الجذب قوة هو 6٫67 * 10 -11 نيوتن . متر2/كجم2

73كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

�����قسحط���

تمارين عامة )الوحدة الثانية(

اأكمل ما ياأتي:

Cب = ..............................ع س فإن عب = -3 س ، 7 =

Cع إذا كان 1

.............................. = Eع ى فإن عحـ = 50 ى ، 70 = Eإذا كان عحـ 2

إذا تحركت سيارتان C ، ب بالسرعتين 65كم/س ، 75 كم/س فإن 3

Cب = .............................. إذا كانتا فى اتجاه واحد.ع أ

Cب = .............................. إذا كانتا فى اتجاهين متضادين.ع ب

بدأت سيارة الحركة من سكون بعجلة منتظمة 20سم/ث لمدة 10 ثوان. 4

السرعة النهائية للسيارة = .............................. م/ث. أ

المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = .............................. متر. ب

بدأ جسم حركته بسرعة 72كم/س بعجلة تقصيرية 2م/ث2. 5

الزمن الذي يستغرقه الجسم حتى يقف = .............................. ثانية. أ

المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = .............................. متر. ب

استخدمت سيارة فراملها فتوقفت خالل 10 ثوان بعد أن قطعت 25 مترا. 6

عجلة الحركة فى أثناء استخدام الفرامل = .............................. م/ث2. أ

سرعة السيارة عند بدء استخدام الفرامل = .............................. م/ث. ب

سقط جسم من قمة برج رأسي فوصل إلى سطح األرض بعد 5 ثوان: 7

سرعة الجسم عند وصوله إلى سطح األرض = .............................. م/ث. أ

ارتفاع البرج = .............................. متر. ب

قذف جسم رأسيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد 4 ثوان: 8

سرعة قذف الجسم = .............................. م/ث. أ

أقصى ارتفاع وصل إليه الجسم = .............................. متر. ب

من قمة برج ارتفاعه 20 متر قذف جسم ألعلى بسرعة 7م/ث: 9

سرعة الوصول إلى سطح األرض = .............................. م/ث. أ

زمن الوصول إلى سطح األرض = .............................. ثانية. ب

كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض وقطره يساوي ثالث مرات قدر قطر األرض، فإن النسبة بين 10

عجلة الجاذبية على سطح الكوكب إلى سطح األرض كنسبة .................. : ..................

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

74

لمدة االتجاه نفس فى 8م/ث بسرعة تحرك ثم 5م/ث بسرعة 100م مسافة مستقيم خط فى جسم يتحرك 11

10ثوان أوجد السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها.

ب C بالسرعتين 1000 م/د، 120كم/س فإذا كانت المسافة يتحرك جسمان C ، ب فى خط مستقيم فى االتجاه 12

بينهما 30كم. أوجد متى وأين يلتقيان.

المضاد االتجاه فى قادمة )ب( لسيارة النسبية السرعة بقياس مستقيم طريق على تتحرك )C( سيارة قامت 13

أصبحت )ب( سرعة أن وجدت القياس وأعادت سرعتها )C( السيارة ضاعفت ولما 130كم/س، فوجدتها

180كم/س أوجد السرعة الفعلية لكل من السيارتين.

سيارة لمراقبة السرعة على الطرق السريعة تسير بسرعة 30كم/س راقبت حركة شاحنة نقل قادمة فى االتجاه 14

المضاد فبدت وكأنها تتحرك بسرعة 110كم/س أوجد السرعة الفعلية للشاحنة.

تحرك جسم فى خط مستقيم بسرعة 7م/ث وبعجلة منتظمة 4م/ث. أوجد سرعته والمسافة التي يقطعها خالل 6 ثوان. 15

بدأ جسم حركته من سكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة 20كم/ث2 وعندما أصبحت سرعته 8م/ث تحرك 16

بتقصير منتظم حتى سكن بعد 112 ثانية من بداية الحركة احسب العجلة التقصيرية والمسافة الكلية.

بالسرعة وسار العجلة انقطعت 54كم/س سرعته أصبحت وعندما 150م فقطع سكون من جسم تحرك 17

3 م/ث2 حتى سكن. احسب السرعة 2 التي اكتسبها مسافة 300 متر، ثم تحرك بعد ذلك بتقصير منتظمة قدره

المتوسطة خالل الرحلة كلها.

يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع 52 مترا فى الثوان األربع األولى ثم قطع مسافة 92 مترا فى الثوان 18

األربع التالية لها. احسب عجلة الحركة والسرعة االبتدائية والمسافة المقطوعة خالل 10 ثوان األولى من حركته.

ى S = )3ن2 - 3( S متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يتحدد بالعالقة إذا كان 19

فأوجد متجه اإلزاحة بعد 4 ثوان من بدء الحركة.

سقط جسم من ارتفاع ف عند سطح األرض فقطع فى الثانية األخيرة من حركته 34٫3 مترا. أوجد: 20

االرتفاع الذي سقط منه الجسم. ب سرعة وصول الجسم إلى سطح األرض. أ

قذف جسم رأسيا إلى أعلى بسرعة 14م/ث من نقطة على ارتفاع 350 مترا من سطح األرض. أوجد: 21

الزمن الذي يأخذه الجسم حتى يصل إلى سطح األرض. أ

المسافة الكلية التي قطعها الجسم حتى وصوله لسطح األرض. ب

وضعت قطعة من الحديد على بعد 40سم أخرى من النيكل كتلتها 50كجم فكانت قوة التجاذب بينهما 12 * 10 - 8 22

نيوتن فكم تكون كتلة كرة الحديد إذا علمت أن ثابت الجذب العام يساوي 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2/كجم2

75كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

متارينقعا�ةق)سحط���قسحثالية(

اختبار تراكمي

قوتان مقدارايهما 8٫16 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية أوجد: 1

مقدار أكبر محصلة لهما. أ

مقدار أصغر محصلة لهما. ب

.c120 مقدار واتجاه محصلتهما عندما يكون قياس الزاوية بينهما ج

2 ، 8 ث جم تؤثر فى نقطة مادية نحو الشرق ، الشمال الغربي والجنوبي الغربي 2 ، 2 القوى 12 ، 5 2

والجنوب على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

جسم وزنه 28 ث كجم معلق بواسطة خيطين مثبت طرفاهما اآلخرين، فإذا كان الخيطان متعامدين وقياس 3

الزاوية بين إحداهما وخط عمل وزن الجسم c120. احسب الشد فى كل من الخيطين.

الجسم فى حالة قياسها c30. حفظ بزاوية األفقي يميل على جسم وزنه 90ث كجم موضوع على مستوى 4

توازن بواسطة قوة ق تؤثر على الجسم إلى أعلى فى اتجاه يميل على المستوى بزاوية قياسها c30. أوجد مقدار

ق ورد فعل المستوى.

قضيب منتظم وزنه 800ث يتصل طرفه )C( بمفصل مثبت فى حائط رأسي وأثرت على طرفه اآلخر )ب( قوة 5

أفقية مقدارها 400 ث جم لتجعله فى حالة توازن. أوجد قياس زاوية ميل القضيب على الحائط ومقدار رد فعل

المفصل.

تتحرك سيارة شرطة )C( على طريق مستقيم بسرعة 25كم/س. شاهدت سيارة أخرى )ب( تتحرك على نفس 6

الطريق بسرعة 75كم/س. أوجد سرعة السيارة )ب( بالنسبة للسيارة )C( عندما:

السيارتان تتحركان فى نفس االتجاه. أ

.)C( تتحرك فى اتجاه مضاد للسيارة )السيارة )ب ب

لهذا االبتدائية السرعة اتجاه نفس وفي 5كم/ث2 مقدارها منتظمة بعجلة مستقيم خط فى جسيم يتحرك 7

الجسيم وقدرها 40سم/ث. أوجد:

إزاحته فى نهاية 24 ثانية من بدء الحركة. مقدار كل من سرعة الجسم و أ

مقدار كل من سرعة الجسم بعد أن قطع مسافة 56 مترا من البداية. ب

تتحرك سيارة فى طريق مستقيم بتقصير منتظم مقداره 14 سم/ث2 ، فتوقفت عن الحركة بعد مرور 20 ثانية 8

من لحظة البداية. أوجد:

مقدار سرعتها االبتدائية. أ

المسافة التي قطعتها خالل نصف دقيقة. ب

المسافة التي قطعتها حتى سكنت. ج

تطبيقات الرياضيات - علمى

لاكيملنحدل

76

سقط جسم رأسيا إلى أسفل من ارتفاع ما نحو أرض رخوة فغاص فيها مسافة 14سم قبل أن يسكن فإذا كان 9

الجسم يتحرك داخل األرض بتقصير منتظم مقداره 63م/ث2 فما هو االرتفاع الذي سقط منه الجسيم.

قذف جسيم من قمة برج رأسيا إلى أعلى بسرعة مقدارها 24٫5 م/ث فوصل إلى سطح األرض بعد 8 ثواني. 10

أوجد:

ارتفاع البرج. أ

أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم عن سطح األرض. ب

المسافة التي يقطعها الجسم خالل هذه المدة. ج

77كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

سختبارقتاسكمي

الوحدةالثالثة

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف بعض المجسمات )الهرم - الهرم المنتظم - الهرم القائم �- المخروط - المخروط القائم( ، وخواص كل منها.

يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم �- المخروط القائم.

يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم . �يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها، وطول �

نصف قطرها.

يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. �قطرها � نصف وطول الدائرة، مركز من كل إحداثيات يعين

بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة.يطبق ما درسه بالهندسة والقياس فى نمذجة مواقف رياضية �

وحياتية.

والمعابد األهرامات وبناء األراضى مساحات تحديد فى المصريين قدماء فاستخدمها العملية بالناحية مرتبطة بدايتها فى الهندسة نشأت

فأوجدوا مساحات بعض األشكال وحجوم بعض المجسمات. وعندما زار طاليس )640 - 546 ق.م( اإلسكندرية راقت له طرق المصريين فى

قياس األرض وأطلق عليها كلمة Geo-metron المأخوذة عن اللغة اليونانية والمكونة من كلمتى Geo وتعنى األرض، metron وتعنى قياس

واهتم بدراسة الهندسة على أنها تعبيرات صريحة مجردة خاضعة للبرهان.

تطورت الهندسة على يد اإلغريق )طاليس - فيثاغورث- إقليدس( بظهور سلسلة من النظريات المبنية على بضع مسلمات وتعاريف مرتبة فى

نظام منطقى دقيق ضمنه إقليدس فى كتابه األصول المكون من 13 جزءا، واستمرت االسكندرية منارة المعرفة إلى أن جاء العرب وحفظوا ذلك

التراث بترجمته إلى اللغة العربية وأضافوا إليه إضافات كثيرة ونقلوه إلى أوربا فى القرن الثانى عشر.

فى القرن السادس عشر بدأ عصر النهضة فى الرياضيات وميالد علوم جديدة فقدم ديكارت )1596-1650( أسس الهندسة التحليلية وقام

Euler بتمثيل المعادالت بأشكال بيانية وهندسية والتعبير عن األشكال بمعادالت واستخلص معادلة الدائرة س2 + ص2 = نق2 كما توصل أويلر

إلى وجود عالقة بين عدد األوجه وعدد الرؤوس وعدد األحرف ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعة وهى:

عدد األوجه + عدد الرؤوس = عدد األحرف + 2.

مقدمة الوحدة

أهداف الوحدة

الهندسة و القياسGeometry and Measurement

78

المصطلحات األساسية

دروس الوحدة

األدوات والوسائل

مخطط تنظيمى للوحدة

Ñ الة حاسبة علميةÑ برامج رسومية للحاسوب

الهرم والمخروط. الدرس )3 - 1(:

المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم والمخروط. الدرس )3 - 2(:

حجم الهرم والمخروط الدرس )3 - 3(:

معادلة الدائرة. الدرس )3 - 4(:

Ñ Vertex رأس Ñ Base قاعدة Ñ Axis محور Ñ Circle دائرة Ñ Center مركز Ñ Radius نصف قطر Ñ Diameter قطر Ñ Pyramid هرم

Ñ Cone مخروط Ñ Lateral face وجه جانبى Ñ Lateral edge حرف جانبى Ñ Hight ارتفاع Ñ Slant hight ارتفاع جانبى Ñ Regular pyramid هرم منتظم Ñ Right pyramid هرم قائم Ñ Net of a pyramid شبكة هرم

Ñ مخروط دائرى قائمRight circular cone

Ñ Lateral area مساحة جانبية Ñ )مساحة كلية )سطحية

Surface area

أشكال ثالثية األبعاد )المجسمات(

المضلعاتالهرم الدائرةالمخروط

الحجم

القطاع الدائرى

معادلة الدائرةتطبيقات حياتية

المساحة السطحية )الكلية(

اشكال ثنائية البعد

79

1 سدرال

سوف تتعلم

خواص بعض املجسامت �اهلرم- اهلرم املنتظم - اهلرم القائم

- املخروط - املخروط القائم.مفهوم شبكة املجسم واستنتاج �

خواص املجسم من شبكته - رسم شبكة جمسم.

نمذجة و حل مشكالت رياضية �و حياتية باستخدام خواص اهلرم

و املخروط القائم.

تصنع العديد من العبوات بطى ورق الكرتون

لتعبئة البعد ثالثية أشكال إلى المسطح

فتشغل تسويقها قبل المصانع منتجات

متوازى ، المكعب مثل ، الفراغ من حيزا

المستطيالت...

كم وجها للمكعب؟ وكم رأسا له؟ ½

كم حرفا لمتوازى المستطيالت؟ ½

فسر ½ متطابقة؟ المكعب أوجه جميع هل

إجابتك.

نسمى الشكل الذى يمكن طيه لتكوين مجسما

بشبكة المجسم ومنها نستنتج خواص المجسم.

دائرية اسطوانة شبكة المقابل الشكل يبين قائمة ، الحظ:

منهما وكل متطابقتين االسطوانة قاعدتا - 1على شكل دائرة.

قبل طيه هو لألسطوانة الجانبى السطح - 2فيكون 10سم ، 44سم بعداه مستطيل

إرتفاع االسطوانة 10سم.

ما طول نصف قطر قاعدة االسطوانة؟

فكر:هل يمكنك معرفة اسم المجسم الذى يمكن تكوينه من

طى الشبكة المقابلة؟ استنتج بعض خواصه.

هل يمكن رسم اكثر من شبكة للمجسم الواحد؟

فسر إجابتك.

10 سم

44 سم

الهرم والمخروطPyramid and Cone

المصطلحاتاألساسية

� Pyramid هرم � Cone خمروط � Lateral face وجه جانبى � Lateral edge حرف جانبى � Height ارتفاع � Slant hieght ارتفاع جانبى � Regular pyramid هرم منتظم � Right pyramid هرم قائم � Net شبكة خمروط دائرى قائم �

Right circular cone

األدوات والوسائل

آلة حاسبة علمية �برامج رسومية �

وجه

حرف رأس

تطبيقات الرياضيات - علمى 80

Pyramid الهرم

هو مجسم له قاعدة واحدة وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك فى رأس واحدة ويسمى هرما ثالثيا أو رباعيا أو خماسيا... حسب عدد أضالع مضلع قاعدته.

الحظ: فى الشكل المقابل م C ب جـ E هـ هرم خماسى ، رأسه م وقاعدته المضلع C ب جـ E هـ ، أوجهه الجانبية Lateral faces سطوح المثلثات م C ب،

، C م Lateral edges وأحرفه الجانبية ، C هـ ، م هـ E م ، E م ب جـ ، م جـ

. م هـ , E م م جـ ، م ب ،

ارتفاع الهرم height )م ن( هو بعد رأس الهرم عن مستوى قاعدته. االرتفاع الجانبى Slant height )م س( هو بعد رأس الهرم عن أحد أضالع قاعدته .

Regular pyramid الهرم المنتظم هو الهرم الذى قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها. ف

ريعت

خوا�ص الهرم المنتظم1 - أحرفه الجانبية متساوية الطول.

2 - أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة 3 - االرتفاعات الجانبية متساوية.

مالحظة هامة:المستقيم العمودى من رأس الهرم على مستوى قاعدته يكون عموديا على أى

مستقيم فيهام ن عمودى على مستوى القاعدة فإن: ففى الشكل المقابل إذا كان

ن س م ن = ، E ب م ن = C جـ ، م ن =

ويكون المثلث م س ن قائم الزاوية فى ن.

مثال

10سم يساوى E جـ C ب قاعدته ضلع طول منتظم رباعى هرم E جـ ب C م 1

إرتفاعه 12سم ، أوجد ارتفاعه الجانبى وارسم إحدى شبكاته. و

الحل E ب جـC م ن = المستوى a الهرم رباعى منتظم  `

 حيث ن نقطة تقاطع قطرى المربعCب جـ E ، م ن = 12سم

ب جـ )لماذا؟( م س =  بفرض س منتصف ب جـ   `

 ويكون م س ارتفاع جانبى للهرم المنتظم.

C

جـب

Eنس

هـ

م

تذكر اأن

مضلع هو المنتظم المضلع أضالعه متساوية الطول وزواياه متساوية القياس مركزه هو مركز أو داخله المرسومة الدائرة

خارجه.

C

نس

جـب

E

م

C

س ن

ب

جـ E

م

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1 رخهلال مرهلا سدرال

81

 ، س منتصف ب جـ E ب فى E 9 ب جـ : ن منتصف

1 * 10 = 5سمE 1جـ = 2

` ن س = 2

E ب جـC م ن = المستوى a

` 9 م ن س قائم الزاوية فى ن

  ويكون: )م س(2 = )م ن(2 + )ن س(2 = )12(2 + )5(2 = 169

` االرتفاع الجانبى للهرم = 13سم

E ب جـ C ويوضح الشكل المقابل إحدى شبكات الهرم م  

حاول أن تحلم C ب جـ E هرم رباعى منتظم إرتفاعه 20سم، وارتفاعه الجانبى 25سم. أوجد طول ضلع قاعدة الهرم، وارسم 1

شكال يوضح إحدى شبكاته.

Right pyramid الهرم القائم

يكون الهرم قائما إذا وفقط إذا كان موقع العمود المرسوم من رأس الهرم على قاعدته يمر بمركزها الهندسى.فكر:

1 - هل الهرم المنتظم هو هرم قائم؟ فسر إجابتك.2 - إذا تزايد عدد أضالع مضلع قاعدة هرم منتظم واقترب إلى عدد غير منته فما توقعك لشكل قاعدته؟

ناقش وضع أوجهه الجانبية عندئذ.

Cone المخروط

، واحدة مغلق ورأس منحنى واحدة على شكل قاعدة له هو مجسم ويتكون سطحه الجانبى من جميع نقط القطع المستقيمة المرسومة من

رأسه إلى منحنى قاعدته والتى يعرف كل منها براسم المخروط.

Right circular cone المخروط الدائرى القائم

هو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية دورة كاملة حول أحد ضلعى القائمة كمحور.

خوا�ص المخروط الدائرى القائم.يوضح الشكل المقابل مخروط دائرى قائم ناشئ من دوران المثلث القائم

C ب كمحور فنجد: الزاوية فى ب دورة كاملة حول

أثناء النقطة جـ ترسم ، المخروط C رأس ، المخروط C جـ راسم -1طول يساوى قطرها نصف وطول ب نقطة مركزها دائرة الدوران

ب جـ وسطح الدائرة هو قاعدة المخروط.

ارتفاع ، القاعدة مستوى على عمودى المخروط محور C ب -2C ب . المخروط يساوى طول

12 سم

س5 سم ن

م

10

10

10

10

13

13

13

13

رأس المخروط

راسم المخروط

القاعدة

م

C

جـب

نصف قطر دائرة المخروط

رأس المخروط

راسم المخروط

محور المخروط

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

82

مثال

مخروط دائرى قائم طول راسمه 17سم، وارتفاعه 15سم، أوجد طول نصف قطر دائرته. 2

الحلباعتبار طول الراسم = ل ، ارتفاع المخروط = ع ،

H = طول نصف قطر دائرة المخروط 2H a = ل2 - ع2

64 = 2)15( - 2)17( = 2H `

` H = 8 سم

حاول أن تحلأوجد بداللة r محيط ومساحة قاعدة مخروط دائرى قائم ارتفاعه 24 سم وطول راسمه 26سم. 2

E C كمحور. فكر: C ب جـ مثلث ، Cب = Cجـ ، Eمنتصف ب جـ . إذا دار المثلث C ب جـ نصف دورة كاملة حول هل ينشأ مخروط دائرى قائم؟ فسر إجابتك.

�شبكة المخروط القائم:

يمكن طى شبكة المخروط القائم لتكوين عبوات

مخروطية الشكل كما فى الشكل المقابل حيث:

C ب = Cجـ = ل  )طول راسم المخروط( - 1

القطاع Cب جـ يمثل السطح الجانبى - 2H r 2 = ب جـ للمخروط ، طول

)H طول نصف قطر قاعدة المخروط(

C ن ارتفاع المخروط = طول - 3

مثال

يوضح الشكل المقابل شبكة مخروط قائم،

مستعينا بالبيانات المعطاه، أوجد إرتفاعه.

الحلمن شبكة المخروط نالحظ أن:

م C = 21سم طول راسم المخروط  = طول

C ب = 44سم. محيط قاعدة المخروط = طول

H = جـ ن طول نصف قطر قاعدة المخروط = طول

لع

H

CC

C

ب

ب

جـ

جـ

E

E

ن

ن

ب / جـ

السطح الجانبي

راسم المخروط

رأس المخروط

C

ن

ب

جـ

م

21 سم

21 سم

44 سم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1 رخهلال مرهلا سدرال

8

عند طى شبكة المخروط نحصل على الشكل المقابل فيكون:

م ن = ع ارتفاع المخروط = طول

   أى أن H = 7 سم 44 = H * 227 * 2 ` 44 = H r 2 a

2H - 2ع2 = ل a

2 سم ` ع2 = )21(2 - )7(2 = 14 * 28  أى أن ع = 14

2 سم. ` ارتفاع المخروط الدائرى القائم = 14

حاول أن تحلC ب = r 18 سم أوجد ارتفاع المخروط. فى الشبكة السابقة للمخروط القائم، إذا كان م C = 41سم ، طول

تفكير ناقد: هل العبارة التالية صحيحة: "ارتفاع المخروط القائم < طول راسمه"؟ فسر إجابتك.

تمـــاريــن الدرس األول

فى الهرم الخماسى المنتظم: 1

ما عدد األوجه ب ما عدد أوجهه الجانبية أ

ما عدد أحرفه د ما عدد أحرف الجانبية ج

ه للهرم رأس واحدة خالف رؤوس القاعدة. ما عدد جميع رؤوس الهرم الخماسى؟ هل تحقق إجابتك عالقة

أويلر ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعه. "عدد األوجه + عدد الرؤوس= عدد األحرف + 2"

فى الهرم المنتظم ، رتب األطوال التالية من األصغر إلى األكبر 2

ارتفاع الهرم ب طول الحرف الجانبى أ

االرتفاع الجانبى ج

هندسة مدنية: يوضح الشكل المقابل خزان مياه على شكل هرم رباعى منتظم مستعينا

بالبيانات المعطاه أوجد كل من ارتفاع الوجه الجانبى وارتفاع الخزان ثم ارسم شبكته.

الربط بالجوالة: خيمة على شكل مخروط دائرى قائم ارتفاعها 160سم

ومحيط قاعدتها 753٫6سم احسب طول راسم مخروط الخيمة.

قاعدته ضلع طول خوفو( )هرم األكبر الجيزة هرم بالسياحة: الربط

232 مترا وارتفاعه الجانبى 186 مترا، أوجد أرتفاع الهرم.

الربط بالصناعة: تغلف األلبان المثلجة فى مخروط دائرى قائم بطى قطعة من

العازل للحرارة على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 12سم الورق

. أوجد ارتفاع C جـ ، C ب ومساحته 150سم2 بحيث يتالمس نصفا قطرى دائرته

1 طول قوسه * طول نصف قطر دائرته[.المخروط. ]تذكر: مساحة القطاع = 2

جـ

ع

م

ن

H

130 سم

100 سم

100 سم

160 سم

150 سم2

12 سم

C ب

جـ

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

8

سوف تتعلم

المصطلحاتاألساسية

األدوات والوسائل

2 سدرال الم�شاحة الكلية لكل من الهرم والمخروط

Surface area of pyramids and cones

سبق أن تعلمت خواص الهرم والمخروط الدائرى القائم وقمت باستنتاج بعضها من

الكلية والمساحة الجانبية المساحة حساب يمكنك هل منهما. كل شبكة خالل

فسر شبكتيهما؟ من القائم الدائرى والمخروط المنتظم الهرم من لكل )السطحية(

إجابتك.

الم�شاحة الكلية للهرم المنتظم

إحدى شبكاته. يوضح الشكل التالى هرما رباعيا منتظما و

س س

س

سس

ل ل ل لل

الحظ أن: األوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة االرتفاعات الجانبية متساوية وكل منها = ل

قاعدة الهرم مضلع منتظم طول ضلعه = س ويكون:

المساحة الجانبية للهرم  = مجموع مساحات أوجهه الجانبية

1 س * ل2 1 س * ل +

2 1 س * ل + 2 1 س * ل +

2 =   

1 )س + س + س + س( ل2 =   

1 محيط قاعدة الهرم * االرتفاع الجانبى.2 =   

المساحة الكلية للهرم    = المساحة الجانبية له + مساحة قاعدته.

تعلم

1 محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى.2 المساحة الجانبية للهرم المنتظم =

المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية + مساحة قاعدته

آله حاسبة علمية - برامج �رسومية للحاسوب

املساحة اجلانبية �Lateral area (L.A(

املساحة الكلية �Surface area (S.A(

إجياد املساحة اجلانبية واملساحة �الكلية )السطحية) لكل من

اهلرم املنتظم واملخروط القائم.نمذجة وحل مشكالت رياضية �

وحياتية تتضمن املساحة السطحية لكل من اهلرم

واملخروط القائم.

8كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

مثال

باستخدام الشبكة التى أمامك. صف المجسم وأوجد مساحته الكلية. 1

الحلالشبكة لهرم رباعى منتظم.

قاعدته مربعة الشكل طول ضلعها 10سم ، طول حرفه الجانبى = 13سم.

م هـ ارتفاع جانبى. a الوجه الجانبى م C ب متساوى الساقين ،

C ب أى أن C هـ = 5سم ` هـ منتصف

فى 9 م هـ C القائم الزاوية فى هـ نجد أن )م هـC( = 2)مC( - 2)هـ(2

)م هـ(2 = )13(2 - )5(2 = 144

` م هـ = 12سم

1 محيط القاعدة * االرتفاع الجانبىa المساحة الجانبية للهرم المنتظم = 2

1 * )10 * 4( * 12 = 240 سم2` المساحة الجانبية = 2

a مساحة قاعدة الهرم = )10(2 = 100سم2

` المساحة الكلية للهرم = 240 + 100 = 340سم2

حاول أن تحلباستخدام الشبكة التى أمامك صف المجسم وأوجد مساحته الكلية. 1

مالحظة هامة: يسمى الهرم الثالثى المنتظم، هرما ثالثيا منتظم الوجوه؛ إذا كانت جميع أوجهه مثلثات متساوية األضالع ويكون أى منها قاعدة له

الم�شاحة الكلية للمخروط القائم

من شبكة المخروط القائم فى الشكل المقابل

ب جـ C 1 ب * طول مساحة القطاع C ب جـ = 2

1 ل * محيط قاعدة المخروط2 =   

H ل r = H r 2 * 1 ل2 =   

   = المساحة الجانبية للمخروط القائم

تعلم

H ل r = المساحة الجانبية للمخروط القائم)H + ل( H r = 2H r + H ل r = المساحة الكلية للمخروط القائم

حيث ل طول راسمه ، H طول نصف قطر دائرته.

10 سم

10 سم

13 سم

13 سم

C

ب

جـ

E

هـ

م

18 سم

18 سم18 سم

C

ب

جـE

ل

ل

HH

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

8

مثال

أوجد المساحة الجانبية لمخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم ، وارتفاعه 20سم. 2

الحلإليجاد طول راسم المخروط ل

a ل2 = )20(2 + )15(2 = 625

` ل = 25سم

a المساحة الجانبية للمخروط القائم = r ل H ، H = 15سم

` المساحة الجانبية للمخروط القائم = r 375 = r 15 * 25 سم2

حاول أن تحلأوجد المساحة الكلية لمخروط قائم طول راسمه 17سم وارتفاعه 15سم. 2

مثال

مالحة بحرية: يوضح الشكل المقابل عالمة ارشادية )شمندورة( لتحديد المجرى

المالحى وهى على هيئة مخروطان قائمان لهما قاعدة مشتركة.

أوجد تكاليف طالؤه بمادة مقاومة لعوامل التعرية، علما بأن تكاليف المتر المربع

الواحد منها 300 جنيها.

الحلمساحة سطح العالمة االرشادية = المساحة الجانبية للمخروط األول

  + المساحة الجانبية للمخروط الثانى.

المخروط األول:  ل = 80سم  ،  H = 50سم

r80 * 50 = المساحة الجانبية `

   = r4000 سم2

)120(2 +)50(2 = 130سم المخروط الثانى:  ع = 120سم،H = 50 سم ` ل =

r130 * 50 = المساحة الجانبية `

   = r 6500 سم2 مساحة سطح العالمة االرشادية = )r 10500 = r)6500 + 4000 سم2

   - 3٫299 متر مربع

تكاليف الطالء = 3٫299 * 300 = 989٫7 جنيهآ

حاول أن تحلغطاء مصباح على شكل مخروط قائم محيط دائرته 88سم وارتفاعه 20سم،

احسب مساحته ألقرب سنتيمتر مربع.

20 سم

15 سم

ل

سم 80

سم 12

0

50 سم

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2 مخ��ا�ا ر ل��ار لال ا رخهلال مرهلا سدرال

87

تمـــاريــن الدرس الثانى

أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل هرم منتظم حسب البيانات المعطاه 1

أ10 سم

6 سم

ب

15 سم

12 سم

ج

20 سم

24 سم

أوجد المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل مخروط القائم حسب البيانات المعطاه. 2

أ

6 سم

12 سمب

9 سم21 سم

ج

13 سم15 سم

3 سم. أوجد: هرم سداسى منتظم طول ضلع قاعدته 12سم وارتفاعه الجانبى 10

مساحته الجانبية أ

مساحته الكلية ب

المقوى الورق من المصانع أحد منتجات عبوات تصنع بالصناعة: الربط

بطى شبكة المجسم المقابلة.

أوجد مساحة الورق المقوى المستخدم إلنتاج 1000 عبوه . أ

ب إحسب تكاليف الورق المقوى المستخدم إذا كان تكلفة المتر المربع

الواحد منه 15 جنيها.

c210 طويت قطعة من الورق المقوى على شكل قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 36سم وقياس زاويته

لتصنع مخروطا دائريا قائما له أكبر مساحة. أوجد ارتفاع المخروط.

2H 1 هـ H ، E طول نصف قطر دائرة القطاع ، هـ E قياس زاويته بالراديان()مساحة القطاع = 2

أوجد طول نصف قطر دائرة مخروط قائم، إذا كان طول راسمه 15سم، ومساحته الكلية r154 سم2.

10 سم

13 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

88

سوف تتعلم

المصطلحاتاألساسية

األدوات والوسائل

سبق أن تعلمت كيفية حساب حجم المنشور القائم

وحجم االسطوانة الدائرية القائمة.

المنشور حجم بداللة الهرم حجم تقدير تستطيع هل

القائم الذى له نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟

هل تستطيع تقدير حجم المخروط القائم بداللة حجم

إسطوانة لها نفس مساحة قاعدته ونفس ارتفاعه؟

نشاط

المقارنة بين حجمى هرم ومنشور لهما نفس مساحة القاعدة ونفس االرتفاع.

والمنشور الهرم شبكتى مقوى ورق على ارسم -1الموضحتين فى الرسم أمامك.

أحدهما نموذجين لتصنع شبكة كل إطوى و إقطع -2قائم منشور والثانى رباعى، لهرم الجانبى السطح

مفتوح من أعلى.

إمالء الهرم بحبات األرز أو الرمل وأفرغه فى المنشور -3، كرر ذلك حتى يمتلئ المنشور تماما.

الحظ أن المحتويات )حبات األرز أو الرمل( التى تلزمك لملء المنشور سوف تمأل تماما ثالثة أهرامات.

)ق( الهرم قاعدة مساحة نفس له الذى المنشور حجم 13 أى أن حجم الهرم =

ونفس ارتفاع الهرم )ع(.

4 سم

6 سم6 سم

4 سم

4 سم

4 سم

5 سم

5 سم

5 سم

5 سم6 سم

6 سم

س درال حجم الهرم والمخروط القائم

Volumes of pyramids and cones

� Vertex رأس � Base قاعدة � Face وجه � Axis حمور � Radius نصف قطر � Volume حجم

إجياد حجم اهلرم املنتظم. �إجياد حجم املخروط القائم �نمذجة وحل مشكالت رياضية �

وحياتية تتضمن حجم كل من اهلرم املنتظم واملخروط القائم.

آله حاسبة علمية - برامج �رسومية للحاسوب

89كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

Volume of a Pyramid حجم الهرم

تعلم

حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه.

1 ق * عأى أن: حجم الهرم = 3

حيث )ق( مساحة القاعدة ، )ع( إرتفاع الهرم.

مثال

احسب حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 18سم وارتفاعه الجانبى 15سم. 1

الحلأوال: حساب مساحة قاعدة الهرم )ق(

  ` قاعدته مربعة الشكل a الهرم رباعى منتظم

 مساحة قاعدة الهرم )ق( = 18 * 18 = 324 سم2

ثانيا: حساب ارتفاع الهرم )ع(

a ع2 + )9(2 = )15(2 فيثاغورث

` ع2 = )15(2 - )9(2 = 144 ، ع = 12 سم

1 ق * عa حجم الهرم = 3

1 * 324 * 12 = 1296سم2` حجم الهرم = 3

حاول أن تحلأوجد حجم الهرم المنتظم الموضح بالشكل مستخدما البيانات المعطاه. 1

أ

10 سم

21 سم

ب

14 سم

8 سم

ج 15 سم

17 سم

قائم دائرى مخروط حجمى بين المقارنة عند فكر: القاعدة ونفس االرتفاع لهما نفس مساحة قائمة واسطوانة

نجد أن :

1 حجم االسطوانةحجم المخروط = 3

كيف تفسر ذلك رياضيا؟

15 سم

18 سم

ع

15 سم

9 سم

ع

تذكر اأن

منتظم مضلع سطح مساحة ضلعه وطول ن، أضالعه عدد

س تساوى rن ن س2 ظتا

4

ع

ق

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

90

Volume of a cone حجم المخروط

تعلم

حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته فى ارتفاعه

2H r 1 ع3 أى أن: حجم المخروط =

حيث )نق( طول نصف قطر دائرة المخروط ، )ع( ارتفاع المخروط

حاول أن تحلأوجد حجم المخروط القائم الموضح بالشكل مستخدما البيانات المعطاه. 2

أ

14 سم

9 سم

ب

24 سم

26 سم

ج

13 سم

5 سم

مثال

الربط بالفيزياء: سبيكة من الذهب الخالص على هيئة مخروط قائم إرتفاعه 4٫2سم وطول نصف قطر دائرته 2

1٫5سم. أوجد كثافة الذهب إذا كان كتلة السبيكة 191جم.

الحل2H r 1 ع  ،    H = 1٫5سم ، ع = 4٫2سم

a حجم المخروط = 3

r )1٫5(2 )4٫2( = 9٫896 سم33

` حجم الذهب فى السبيكة =

191 - 19٫3 جم/سم39٫896 ` كثافة الذهب = الكتلة

الحجمa الكثافة =

حاول أن تحلقطعة من الشيكوالته على هيئة مخروط قائم حجمه r 27سم3 ومحيط قاعدته r 6سم أوجد ارتفاعه.

مثال

صهر 42سم، وارتفاعه 10سم قاعدته مضلع ضلع طول النحاس, من منتظم خماسى هرم بالصناعة: الربط

وحول إلى مخروط دائرى قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم. فإذا علم أن 10٪ من النحاس فقد أثناء عمليتى

الصهر والتحويل، أوجد إرتفاع المخروط ألقرب رقم عشرى واحد.

الحلحيث س طول ضلعه r5 5 س2 ظتا

a مساحة الخماسى المنتظم = 4

- 172سم3125

c36 طا = c36 5 * 10 * 10 ظتا

` مساحة قاعدة الهرم = 4

ع

H

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س ااحا رخهلال مرهلاا ر��جحدرال

91

172 * 42 = 2408سم33 1 مساحة القاعدة * االرتفاع =

a حجم الهرم = 3

90 * 2408 = 2167٫2سم3` حجم النحاس فى المخروط = 100

 حيث ع ارتفاع المخروط القائم   r3 )15(2 ع = 2167٫2

2167٫2 * 3 - 9٫2سمr225

` ع =

حاول أن تحلمكعب من الشمع طول حرفه 20سم صهر وحول إلى مخروط دائرى قائم ارتفاعه 21سم أوجد طول نصف

قطر قاعدة المخروط إذا علم أن 12٪ من الشمع فقد أثناء عمليتى الصهر والتحويل.

سعتها ولحساب تحتويه، الذى السائل بحجم حاوية سعة تقدر هامة: مالحظة تستخدم نفس قوانين حساب الحجوم، ووحدة قياس السعة هى اللتر

1 لتر = 1000 ملليلتر = 1000سم3

مثال

الربط بالكيمياء: دورق مخروطى الشكل سعته 154 مل. ارتفاعه 12سم

)227 - r( أوجد طول نصف قطر قاعدته

الحلسعة الدورق = حجم المخروط القائم = 154سم3

494 = 2H `  154 = 12 * 2H * 22

7 * 13

` H = 3٫5سم

حاول أن تحلC ، ب كأسان للشراب. أيهما سعته أكبر؟

أوجد الفرق بين سعتيهما.

نشاط

المزاح الماء الكرة = حجم فإن حجم ماء به H فى مخبار مدرج إذا غمرت كرة طول نصف قطرها أن: تعلم 3Hr 4

ويكون حجم الكرة = 3

مستعينا بالشكل الذى أمامك وحجم المخروط الدائرى القائم،

برهن أن:2H r4 = مساحة سطحالكرة

تذكر اأن

الفراغ حجم هى السعة الداخلى ألى جسم أجوف

ع

H

5 سم

5 سم11 سم

11 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

92

C2

2- 2 و4ب

س

ص

تمـــاريــن الدرس الثالث

أوجد حجم هرم رباعى منتظم طول ضلع مضلع قاعدته 20سم وارتفاعه 36سم. 1

احسب ألقرب رقم عشرى واحد، حجم هرم خماسى منتظم طول ضلع قاعدته 40سم وارتفاعه 10سم. 2

هرم رباعى منتظم ارتفاعه 9سم وحجمه 300سم2. أوجد طول ضلع مضلع قاعدته.

هرم رباعى منتظم مساحة قاعدته 700سم2 وارتفاعه الجانبى 20سم أوجد حجمه.

أيهما أكبر حجما؟ مخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 15سم وارتفاعه 20سم ، أم هرم رباعى منتظم ارتفاعه

40سم ومحيط قاعدته 48سم.

أوجد حجم مخروط قائم محيط قاعدته 44سم وارتفاعه 25سم.

أوجد حجم مخروط قائم مساحته الجانبية 220سم وطول راسمه 14سم. 7

رتب المجسمات التالية من األصغر حجما إلى األكبر حجما. 8

أ

13 سم

9 سم

ب

14 سم

17 سم

10 سمج 8 سم

17 سم

الربط بالسياحة : صنع نموذج للهرم األكبر من سبيكة معدنية كثافتها 3٫2جم/سم3. إذا كان طول ضلع قاعدة 9

النموذج 11٫5سم وارتفاعه 7سم ، فإحسب كتلته ألقرب رقم عشرى واحد.

الربط بالفيزياء: إناء أسطوانى الشكل به ماء، غمر فيه جسم معدنى على شكل مخروط قائم ارتفاعه 12سم وطول 10

نصف قطر قاعدته 2سم غمرا كامال ، فإرتفع سطح الماء فى اإلناء بمقدار 1سم . أوجد طول قطر قاعدة اإلناء.

هندسة مدنية: صهريج مياه على شكل مخروط قائم حجمه r 32 م3 وارتفاعه 6م. 11

أوجد طول نصف قطر قاعدته ومساحته الكلية.

يوضح الشكل المقابل مستوى إحداثى متعامد إحسب بداللة r حجم 12

الجسم الناشئ عند دوران المثلث C ب و ، دورة كاملة حول:

محور السينات أ

محور الصادات ب

تفكير ناقد: مخروط دائرى قائم حجمه 100سم3. أوجد حجمه عندما: 1

يتضاعف طول نصف قطره. ب يتضاعف ارتفاعه أ

يتضاعف ارتفاعه وطول نصف قطره. ماذا تستنتج؟ فسر إجابتك. ج

6 م

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س ااحا رخهلال مرهلاا ر��جحدرال

9

سوف تتعلم

كتابة معادلة الدائرة بداللة �إحداثيى مركزها وطول نصف

قطرها.الصورة العامة ملعادلة الدائرة �تعني إحداثيى مركز دائرة وطول �

نصف قطرها. من الصورة العامة ملعادلة الدائرة.

نمذجة وحل مشكالت حياتية �تتضمن معادلة الدائرة.

معادلة الدائرةEquation of a circle س

درال

معادلة الدائرة هى عالقة بين اإلحداثى السينى

للدائرة، تنتمى نقطة ألى الصادى واالحداثى

وكل زوج مرتب )س ، ص( يحقق هذه العالقة

)المعادلة( يمثل نقطة تنتمى إلى هذه الدائرة.

هل تمثل معادلة الدائرة دالة؟ فسر إجابتك.

الدائرة:الثابت من نقطة هى مجموعة نقط المستوى التى تكون على نفس البعد

ثابتة فى المستوى.

فريعت

الحظ:عادة ½ لها ويرمز الدائرة مركز الثابتة النقطة تسمى

بالرمز م ، كما يسمى البعد الثابت طول نصف قطر

.H الدائرة ويرمز له بالرمز

تنتمى ½ نقطة S وكانت ، د بالرمز لدائرة رمزنا إذا

}0 > H ، H = S م : S{ = إليها، فإن : د

فى مستوى احداثى متعامد ½

تنتمى ص( ، )س S النقطة كانت إذا

يساوى قطرها نصف طول د لدائرة

4 وحدات ومركزها النقطة م )2 ، 1( فإن:

4 = H = S م

وبتطبيق قانون البعد بين نقطتين تكون:)س - 2(2 + )ص - 1(2 = )4(2

)س - 2(2 + )ص - 1( 2 = 16

هى معادلة الدائرة د

م

Sد

H

د

H

س

ص

)2، 1(م

س/

ص/

و

S )س، ص(

المصطلحاتاألساسية

� Circle دائرة � Center مركز � Radius نصف قطر � Diameter قطر مستوى إحداثى �

Cartesian plane � Equation معادلة � General Form صورة عامة

األدوات والوسائل

آلة حاسبة علمية �ورق مربعات �

تطبيقات الرياضيات - علمى 9

تعلم

The equation of a circle معادلة الدائرة

)بداللة إحداثيى مركزها وطول نصف قطرها(فى مستوى احداثى متعامد:

إذا كانت النقطة S )س ، ص( تنتمى إلى دائرة د مركزها النقطة

)E ، هـ( وطول نصف قطرها يساوى H من الوحدات فإن معادلة

الدائرة د هى:2H = 2)(2 + )ص - هـE - س(

مثال

اكتب معادلة دائرة د مركزها النقطة م )5 ، 2( وطول نصف قطرها يساوى 6 وحدات. 1

الحلبفرض أن النقطة S )س ، ص( ∋ الدائرة د

a مركز الدائرة م)5 ، 2( ،  طول نصف قطر الدائرة = 6 وحدات

6 = H ، 2 = 5 ، هـ = E `

وتكون معادلة الدائرة هى )س - 5(2 + )ص - 2(2 = )6(2   أى: )س - 5(2 + )ص - 2(2 = 36

حاول أن تحلاكتب معادلة الدائرة اذا كان مركزها: 1

م )4 ، -3( ، وطول نصف قطرها يساوى 5 وحدات. أ

م )7 ، -1( ، وطول قطرها يساوى 8 وحدات. ب

28 فى الوحدات. م )2 ، 0( ، وطول قطرها يساوى ج

)9- ، 2-(C وتمر بالنقطة ، )م )0 ، -5 د

نقطة األصل وطول نصف قطرها يساوى H من الوحدات. ه

مثال

يبين الشكل المقابل الدائرتان د1 ، د2 اثبت أن الدائرتان متطابقتان 2

ثم أوجد معادلة كل منهما.

الحلتتطابق الدائرتان إذا تساوى طوال نصفى قطريهما.

الدائرة د1 : مركزها )0 ، 0( وطول نصف قطرها 1H = 2 وحدة.

الدائرة د2 : مركزها )5 ، 2( وطول نصف قطرها 2H = 2 وحدة

س/س

ص

و

)E، هـ(م

H

د S )س، ص(

ص/

ص - هـ

E - س

ص/

ص

وس

3

3 6

د1

د2

س/

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س لر�ار�ا ر� جهمدرال

9

` الدائرتان متطابقتان 2 = 2H = 1H a

 معادلة د2  )س - 5(2 + )ص - 2(2 = 4 س2 + ص2 = 4   ،  وتكون: معادلة د1

الحظ: الدائرة د2 هى صورة الدائرة د1 باالنتقال )5 ، 2(

تفكير ناقد: إذا كانت الدائرة د3 هى صورة الدائرة د1 باالنتقال )-4 ، 3( فأكتب معادلة الدائرة د3.

حاول أن تحلاكتب معادلة كل دائرة فى الشكل التالى أ 2

ص/

ص

س/س

2-

2-4-6-8-10-12-14-

2

2 4 6 8 10 12 14

4

6

4-

و

د1

د2

د3

د4

د5

أى الدوائر السابقة متطابقة؟ فسر إجابتك. ب

فكر: أين تقع النقطة )س1، ص1( بالنسبة للدائرة د: ) س- E(2 + )ص - هـ(2H= 2 إذا كان:2H < 2)(2 + )ص1 - هـE - 1س( ب 2H > 2)(2 + )ص1-هـE - 1س ( أ

مثال

بين أن النقطة )4 ، -1( هى إحدى نقط الدائرة د التى معادلتها : )س - 3(2 + )ص - 5(2 = 37

الحلبالتعويض بإحداثيي النقطة )4 ، -1( فى الطرف االيمن لمعادلة الدائرة.

` )4 - 3(2 + )-1 - 5(2 = 1 + 36 = 37 = الطرف االيسر

` النقطة )4 ، -1( تنتمى إلى الدائرة د

الحظ أن: إذا كان )س1 - 3(2 + )ص1 - 5(2 < 37 فإن النقطة )س1 ، ص1( تقع خارج الدائرة د.

إذا كان )س1 - 3(2 + )ص1 - 5(2 > 37 فإن النقطة )س1 ، ص1( تقع داخل الدائرة د. و

حاول أن تحلبين أى النقط التالية تنتمى إلى الدائرة د التى معادلتها: )س - 6(2 + )ص + 1(2 = 25، ثم حدد موضع النقط

األخرى بالنسبة إلى الدائرة د حيث:

)3- ، 2(E  ، )3 ، 3(جـ  ، )9 ، 3( ،  ب)7 ، 5(C

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

9

مثال

C ب حيث C)2 ، -7( ، ب)6 ، 5( اكتب معادلة الدائرة التى قطرها

الحلC ب C ب ، فتكون النقطة م منتصف بفرض أن النقطة م)E ، هـ( مركزا للدائرة التى قطرها

1- = 5 + 7-2

2 + 6  = 4 ،   هـ = 2

= E  :احداثيا م `

، C( = 2H م(2 = )4 - 2(2 + ]-1 - )-7([2

40 = 2)6( + 2)2( =

وتكون معادلة الدائرة هى: )س - 4(2 + ]ص - )-1([2 = 40

أى )س - 4(2 + )ص + 1(2 = 40

هل تحقق النقطة )6 ، 5( معادلة الدائرة؟ لماذا؟ فكر: هل تنتمى النقطة )6 ، -7( للدائرة السابقة فسر إجابتك.

حاول أن تحلاكتب معادلة الدائرة إذا كان:

)10 ، 2( C وتمر بالنقطة ،)مركزها النقطة م )-2 ، 7 أ

مركزها النقطة م )5 ، 4(، وتمس المستقيم س = 2 ب

ج مركزها م يقع فى الربع األول من المستوى اإلحداثى، وطول نصف قطرها يساوى 3 وحدات،

والمستقيمان س = 1 ، ص = 2 مماسان لها.

مثال

أوجد إحداثيا المركز، وطول نصف قطر كل من الدائرتين:

)س + 1(2 + ص2 = 16 ب )س - 2(2 + )ص + 3(2 = 17 أ

الحلنعلم أن معادلة الدائرة بداللة إحداثيى المركز )E ، هـ( وطول نصف قطرها H هى :

2H = 2)(2 + )ص - هـE - س(

بمقارنة كل مقدار جبرى فى المعادلة بنظيره فى المعادالت المعطاه نجد:

2 =   E ` س  - E = س  - 2 أ

` هـ = -3 ص - هـ = ص + 3

17 = H ` 17 = 2H

17 وحدة. فيكون مركز الدائرة النقطة )2 ، -3( وطول نصف قطرها يساوى

)E، هـ(م

ب )6، 5(

)7- ،2( C

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س لر�ار�ا ر� جهمدرال

97

1- = E ` س - E = س + 1 ب

` هـ   = 0 ص - هـ = ص

4 = H ` 16 = 2H

` مركز الدائرة النقطة )-1 ، 0( وطول نصف قطرها يساوى 4 وحدات.

حاول أن تحلأى من الدوائر المعطاه يمثل دائرة مركزها )3 ، -4( وطول نصف قطرها 3 وحدات.

)س + 3(2 + )ص - 4(2 = 9 ب )س - 3(2 + )ص - 4(2 = 9 أ

)س + 3(2 + )ص + 4(2 = 9 د )س - 3(2 + )ص + 4(2 = 9 ج

أوجد إحداثيا المركز وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية:-

س2 + )ص + 4(2 = 9 ب )س - 3(2 + )ص + 5(2 = 15 أ )س + 1(2 = 13 - ص2 د 34 )س + 1(2 + )ص + 7(2 = ج

تعلم

General form of the equation of a circle ال�شورة العامة لمعادلة الدائرة

علمت أن معادلة الدائرة التى مركزها )E ، هـ( وطول نصف قطرها يساوى H من الوحدات:

هى : )س - E(2 + )ص - هـ(2H = 2 بفك األقواس

)1( ` س2 + صE 2 - 2 س - 2هـ ص + 2E + هـ2H - 2 = صفر

 ` المقدار 2E + هـ2H - 2 = مقدارا ثابتا ثوابت H ، هـ ، E a

2H - 22 + هـE = ك = -هـ ،  جـ  ، E - = بوضع ل 

س2 + ص2 + 2ل س + 2ك ص + جـ = 0تصبح المعادلة )1( على الصورة

وتسمى بالصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها )-ل ، -ك( وطول نصف قطرها يساوى H حيث

ل2 + ك2 -جـ ، ل2 + ك2 - جـ < 0 = H

مثال

أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها )6 ، -3( وطول نصف قطرها يساوى 5 وحدات.

الحلa مركز الدائرة )-ل ، -ك( فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة

، مركز الدائرة )6 ، -3(  معطى

` ل = -6 ، ك = 3 2H - 25 ,  جـ = ل2 + ك = H a

` جـ = )-6(2 + )3(2 - )5(2 = 20

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

98

وتكون الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى: س2 + ص2 - 12س + 6ص + 20 = صفر.

يمكن التحقق من صحة الحل باستخدام معادلة الدائرة: )س - 6(2 + )ص + 3(2 = 25 ثم تبسيطها ومقارنة النتائج

حاول أن تحلاكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة إذا كان: 7

57 وحدة. مركزها النقطة م )-2 ، 5(، وطول نصف قطرها يساوى أ

مركزها النقطة ن )5 ، -3(، وتمر بالنقطة ب )2 ، 1(. ب

مثال

اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة إذا كانت النقطتين C)4 ، 2( , ب)-1 ، -3( طرفا قطر فيه. 7

الحلC ب بفرض ان النقطة م )-ل ، -ك( مركزا للدائرة التى قطرها

) 3 - 22

، 1 - 42

C ب ويكون احداثيا النقطة م هما ) ` م منتصف 3-2 أى ل = ` -ل = 32 1أى ك = 2 1-

2  - ك =

 بالتعويض عن ل ، ك فى الصورة العامة لمعادلة الدائرة

 س2 + ص2 + 2ل س + 2 ك ص + جـ = 0

)1( ` س2 + ص2 - 3س + ص + جـ = 0

a الدائرة تمر بالنقطة C)4 ، 2( فهى تحقق معادلتها

` )4(2 + )2(2 - 3)4( + 2 + جـ = 0 أى جـ = -10

 بالتعويض فى المعادلة )1(

` الصورة العامة لمعادلة الدائرة هى: س2 + ص2 - 3س + ص - 10 = صفر

حاول أن تحلC ب قطرا فيها، ثم إذا كانت النقط C)3 ، -2( ، ب )3 ، 8( ، جـ )-1 ، 0( تنتمى إلى دائرة واحدة. فاثبت أن 8

اكتب الصورة العامة لمعادلتها.

مالحظة هامةنستنتج أن   س2 + ص2 + 2ل س + 2 ك ص + جـ = 0 من الصورة العامة لمعادلة الدائرة

أوال: المعادلة من الدرجة الثانية فى س ، صثانيا: معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة

ثالثا: خالية من الحد الذى يحتوى س ص أى معامل س ص = 0ولكى تمثل معادلة من الدرجة الثانية فى س ، ص دائرة يلزم تحقق الشروط الثالثة السابقة

وأن يكون ل2 + ك2 - جـ < 0

)2 ،4( C

ب )-1، -3(

م )-ل، -ك(

ص

س/س

ص/

و

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س لر�ار�ا ر� جهمدرال

99

تعلم

لتعين احداثيا مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها:

1- تحقق أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة

`- معامل ص

2- معامل س ،

2j  أى      2- احداثيا المركز )-ل ، -ك(

ل2 + ك2 - جـ ، ل2 + ك2 - جـ < 0 = H حيث     H 3- طول نصف قطر الدائرة يساوى

مثال

إذا كانت معادلة دائرة أوجد مركزها وطول نصف قطرها. أى المعادالت اآلتية لدائرة؟ و 8

س2 + ص2 + 4س + 25 = 0 ب 3س2 + 2ص2 + 6س - 8ص - 10 = 0 أ

4س2 + 4ص2 = 49 د 2س2 + 2ص2 - 12س + 8ص - 30 = 0 ج

الحل` المعادلة ليست لدائرة معامل س2 ! معامل ص2 أ

معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ، المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص ب

0 = 0 ،  جـ = 254 = 2 ،  ك = 2

ل = 2

` ل2 + ك2 - جـ = )2(2 + )0(2 - 25 > 0

` المعادلة ليست لدائرة

بقسمة طرفى المعادلة على 2  ` س2 + ص2 - 6س + 4ص - 15 = 0 ج

` معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ، المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص

  ل = -3 ،  ك = 2 ،  جـ = -15

` ل2 + ك2 - جـ = )-3(2 + )2(2 - )-15( = 28 < 0

7 وحدة 2 = 28 = H ، )2- ، 3( المعادلة لدائرة مركزها `

494 ` س2 + ص2 = بقسمة طرفى المعادلة على 4 د

` معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ، المعادلة خالية من الحد المحتوى على س ص 494   ل = 0 ،  ك = 0 ،  جـ =

0 > 494 ` ل2 + ك2 - جـ =

7 وحدة2 = 49

4 = H ، المعادلة لدائرة مركزها نقطة األصل `

حاول أن تحلإذا كانت معادلة دائرة، أوجد مركزها وطول نصف قطرها. أى المعادالت اآلتية لدائرة؟ و 9

س2 + ص2 + 4س - 2ص = 0 ب س2 + ص2 - 6س + 4ص + 17 = 0 أ

س2 + ص2 - 2س ص - 6 = 0 د 2س2 + 2ص2 - 4س + 39 = 0 ج

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

100

هل الدائرتين  د1 : س2 + ص2   - 10س - 8ص + 16 = 0 تفكير ناقد:د2 : س2 + ص2 + 14س + 10 ص - 26 = 0 متماستان من الخارج؟ فسر إجابتك.

مثال

الربط بالصناعة: يوضح الشكل المقابل بكرة C فى آلة تمس 9

بكرة على يمر سير بواسطة تدور االحداثيات محورى

صغيرة ب معادلة دائرتها: س2 + ص2 + 14س + 45 = 0 أوجد:

قطرها نصف طول كان إذا C البكرة دائرة أ معادلة

يساوى 5 وحدات.

من وحدة كل كان إذا البكرتين مركزى بين ب البعد

المستوى اإلحداثى تمثل 6سم

الحلa البكرة C تمس محورى االحداثيات ، وطول نصف قطرها يساوى 5 وحدات أ

أى ل = -5 ، ك = -5 ` مركز دائرتها النقطة م)5 ، 5(

`   جـ = )-5(2 + )-5(2 - )5(2 = 25 2H - 2جـ = ل2 + ك a

وتكون معادلتها: س2 + ص2 - 10س - 10ص + 25 = صفر

a معادلة دائرة البكرة ب: س2 + ص2 + 14س + 45 = 0 ب

2 = 45 - 49 = H   45 = ل = 7   ك = 0   جـ `

 ويكون مركزها النقطة ن )-7 ، 0( وطول نصف قطرها يساوى 2 وحدة

)5 + 7(2 + )5(2 = 13 وحدة ` البعد بين مركزى البكرتين = م ن =

a كل وحدة فى المستوى اإلحداثى ثمثل 6سم

` البعد بين البكرتين = 13 * 6 = 78سم

حاول أن تحلالربط بالطرق: يوضح الشكل المقابل مقطعا رأسيا فى أحد األنفاق 10

الدائرية لمرور السيارات معادلة دائرته:

C ب قطر فيها. س2 + ص2 - 4س - 6ص - 12 = 0 ،

أوجد أقصى أرتفاع للنفق إذا كانت وحدة األطوال فى المستوى

اإلحداثى تمثل 70سم.

مثال

الربط بالهندسة: أوجد ألقرب سنتيمتر مربع مساحة سطح شكل خماسى منتظم تمر برؤوسه الدائرة: 10

س2 + ص2 + 6س - 12ص + 5 = 0 علما بأن كل وحدة فى المستوى اإلحداثى تمثل 5سم.

ص

س/س

ص/ب

و

C

Cب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س لر�ار�ا ر� جهمدرال

101

الحلبفرض أن م مركز الدائرة المارة برؤوس الخماسى المنتظم C ب جـ E هـ فيكون:

C ب = ب جـ = جـ E = E هـ = C هـ  )وهى أوتار فى الدائرة م(

c72 = c3605 ` Cc(X م بc(X = )ب م جـ( = ....... =

ويالحظ تقسيم الشكل C ب جـ E هـ إلى 5 مثلثات متطابقة

أى أن مساحة الخماسى المنتظم = 5 * مساحة 9 م C ب

c72 م ب حا * C 1 م2 * 5 =

)1(  c72 2 حاH 52 =

من معادلة الدائرة: ل = 3     ك = -6   جـ = 5

` 2H = 9 + 36 - 5 = 40 وبالتعويض فى )1( 2H a = ل2 + ك2 - جـ

5 )40( حا c72 = 95٫10565 وحد مربعة` مساحة الخماسى المنتظم = 2

a كل وحدة طول فى المستوى اإلحداثى تمثل 5سم

` الوحدة المربعة فى المستوى اإلحداثى تمثل مساحة قدرها )5(2 = 25سم2

 وتكون مساحة الخماسى المنتظم = 95٫10565 * 25 - 2378 سم2

تمـــــاريـــن الدرس الرابع

اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاهالنقطة )2 ، 0( تقع على 1

الدائرة س2 + ص2 = 9 د المستقيم ص = 2س ج محور الصادات ب محور السينات أ

C ب هما إذا كانت C)3 ، -7( ، ب)-3 ، 5( فإن إحداثيى النقطة التى تنصف 2

)0 ، 1-( د )1- ، 0( ج )0 ، 1( ب )1 ، 0( أ

المسافة بين النقطتين )2 ، 4( ، )10 ، -2( تساوى

6 د 10 3 ج 10 ب 9 أ

الدائرة س2 + ص2 = 25 مركزها )0 ، 0( وتمر بالنقطة

)1 ، 5( د )0 ، 25( ج )0 ، 5( ب )4 ، 1( أ

معادلة الدائرة التى مركزها )3 ، -5( وطول نصف قطرها يساوى 7 وحدات هى:-

)س + 3(2 + )ص - 5(2 = 49 ب )س - 3(2 + )ص - 5(2 = 49 أ

)س - 3(2 + )ص + 5(2 = 49 د )س + 3(2 + )ص - 5(2 = 49 ج

م

Cب

E

جـ هـ

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

102

محيط الدائرة التى معادلتها س2 + ص2 = 8

r 2 4 د r 2 2 ج r 64 ب r 8 أ

أكتب معادلة الدائرة التى مركزها م وطول نصف قطرها H إذا كان: 7

4 = H ، ) 0 ، 0(م ب 5 = H ، )3 ،2 ( م أ

7 = H ، )5- ، 4(م د 6 = H ، )0 ،3( م ج

32 = H ، )3- ، 4-(م و 3 2 = H ، )1- ،0( م ه

اكتب معادلة الدائرة التى يمثلها الرسم المعطى 8

أ

2

2

4

4 6

ص

س

ب

2 4 6

4-

2-

سص

ج

2

2

4

4 6 8س

دص

3

3-

س

ص

ه

4-

44-8- 8

8-

سوص

3 6

أوجد معادلة الدائرة إذا كان: 9

.)2 ، 3(C وتمر بالنقطة ،)مركزها النقطة م )7 ، -5 أ

C ب قطر فى الدائرة حيث C)6 ، -4( ، ب)0 ، 2(. ب

مركزها النقطة )5 ، -3(، وتمس محور السينات. ج

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

س لر�ار�ا ر� جهمدرال

10

أوجد إحداثيا المركز، وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية: 10

)س + 3(2 + )ص - 5(2 = 49 ب س2 + ص2 = 27 أ

س2 + )ص + 7(2 = 24 د )س - 2(2 + ص2 = 16 ج

اكتب الصورة العامة لمعادلة الدائرة فى الحاالت اآلتية: 11

)3 ، 1-( C وتمر بالنقطة ،)مركزها م )0 ، 0 ب مركزها م)3 ، 1(، وطول قطرها يساوى 8. أ

C ب قطر فيها حيث C)3 ، -7( ، ب)5 ، 1( د مركزها م )-5 ، 0(، وتمر بالنقطة ب )3 ، 4( ج

أوجد احداثيا المركز، وطول نصف القطر لكل من الدوائر اآلتية 12

س2 + ص2 + 2س = 8 ب س2 + ص2 - 4س + 6ص - 12 = 0 أ

س2 + ص2 - 8س = 12 د س2 + ص2 - 6س + 10ص = 0 ج

بين أى دائرتين مما يلى متطابقتان 1

س2 + ص2 + 6س - 11 = 0 ، س2 + ص2 - 2س + 4ص - 3 = 0 أ

س2 + ص2 + 10س + 13 = 0 ، س2 + ص2 - 14س + 37 = 0 ب

بين أى المعادالت اآلتية لدائرة ، ثم أوجد مركزها وطول نصف قطرها: 1

س2 + 2ص2 + 6س - 5ص = 0 ب س2 +ص2 + 8س - 16ص -1 = 0 أ

س2 + ص2 + 2س ص - 12 = 0 د 1ص2 + س - 8 = 0 4 1س2 +

4 ج

2س2 + 2ص2 + 3ص - 8 = 0 و س2 + ص2 - 2س + 4ص + 7 = 0 ه

المالحة البحرية: يقع رادار عند الموقع C)7 ، -9( ويغطى منطقة دائرية طول نصف قطرها يساوى 30 وحدة 1

طول. اكتب معادلة الدائرة التى تحد مجال عمل الرادار فى المستوى اإلحداثى. هل يمكن للرادار رصد سفينة

فى الموقع ب )25 ، -30(؟ فسر إجابتك.

بالدائرة رؤوسه تمر منتظم ثمانى شكل على مبنى معمارى مهندس صمم المعمارى: التصميم 1

س2 + ص2 - 4س + 12ص - 60 = 0 إحسب مساحة المبنى ألقرب وحدة مربعة .

الصناعة: يبين الشكل المقابل ترسان فى آلة مركزيهما يقعا على مستقيم يوازى 17

الترس معادلة أوجد وحدات. 10 حافتيهما بين بعد وأقصى الصادات محور

األصغر علما بأن معادلة الترس األكبر هى: س2 + ص2 - 10س - 8ص + 32 = 0

C)1 ، 3( ، ب)2 ، -4( ويقع مركزها على محور بالنقطتين التى تمر ابداعى: أوجد معادلة الدائرة تفكير 18

السينات.

10

س

ص

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

10

ملخ�ص الوحدةشبكة هى شكل ذى بعدين يمكن طيه ليكون شكال ثالثي األبعاد.

الهرم هو مجسم له قاعدة واحدة وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك

فى رأس واحدة. ويسمى الهرم حسب عدد أضالع مضلع قاعدته فيكون

هرما ثالثيا أو رباعيا أو خماسيا .. وهكذا.

الهرم المنتظم هرم قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من

رأس الهرم عليها فنجد:

أحرفه الجانبية متساوية فى الطول. ½

أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة. ½

االرتفاعات الجانبية متساوية ½

الهرم على قاعدته يمر بمركزها المرسوم من رأس العمود إذا كان موقع إذا وفقط قائما الهرم القائم يكون الهرم

الهندسي.

المخروط الدائري القائم هو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعى القائمة دورة كاملة.

1 محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى2 المساحة الجانبية للهرم =

المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية + مساحة قاعدته

المساحة الجانبية للمخروط القائم =r لH حيث ل طول راسمه ، H طول نصف قطر قاعدته

) H+ ل ( H r= 2Hل r+ Hل r = المساحة الكلية للمخروط القائم

حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه.

حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه

الدائرة: هى مجموعة نقط المستوى التى تكون علي نفس البعد الثابت من نقطة ثابتة فى المستوى.

معادلة الدائرة 2H= 2)(2 + )ص - هـE- س ( :هى Hوطول نصف قطرها يساوى )هـ ،E( معادلة الدائرة التى مركزها النقطة

الصورة العامة لمعادلة الدائرة

H الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها النقطة )-ل ، -ك( وطول نصف قطرها يساوى

هى: س2 +ص2 + 2 ل س + 2 ك ص + جـ = صفر

، ل2 + ك2 - جـ <0 ل2 + ك2- جـ = Hحيث

ارتفاع جانبى

قاعدة

ارتفاع الهرم )ع(

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

للر��ا ر�ا�م

10

للر��ا ر�ا�م

لتعيين إحداثيا مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها

تحقق أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث: معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ½

½ ) - معامل ص2 - معامل س ،

2 إحداثيا المركز )-ل ، - ك( أى )

ل2 + ك2 - جـ ، حيث ل2 + ك2 - جـ < 0 ½ = H طول نصف قطر الدائرة يتعين من العالقة

تمارين عامة )الوحدة الثالثة(

1 أكمل كل ممايأتى:

األوجه الجانبية فى الهرم المنتظم .......................................................................................................................................................... أ

االرتفاعات الجانبية فى الهرم المنتظم ................................................................................................................................................. ب

ارتفاع المخروط القائم ................................................. طول راسمه ج

حجم الهرم = ................................................... * .................................................... د

طول نصف قطر الدائرة س2 + ص2 - 18 = 0 يساوى ......................................................................................................... ه

معادلة الدائرة التى مركزها النقطة )2 ، 3( وطول نصف قطرها 4 وحدات هى ................................ و

أختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة 2

مستعينا بالشكل المقابل:

المساحة الجانبية للمخروط القائم تساوى : أ

r48 سم2( 48 سم2 r 60 سم2 )60سم2

المساحة الكلية للهرم المنتظم تساوى ب

432 سم2( 384 سم2 240 سم2 )360 سم2

حجم الهرم يساوى ج

384 سم3( 480 سم3 96 سم3 )64 سم3

النسبة بين حجم الهرم إلى حجم المخروط تساوى : د

)r : 3 4 : r r : 4 3 : r(

8 سم

6 سم

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

10

هرم منتظم حجمه 12سم3 ومساحة قاعدته 4سم2. إحسب ارتفاعه.

إرتفاعه 12سم. إحسب مساحته الجانبية. هرم رباعى منتظم حجمه 400سم3 و

أوجد ألقرب رقم عشرى واحد المساحة الكلية لمخروط قائم طول قطر قاعدته 10سم وارتفاعه 12سم.

أكتب معادلة الدائرة إذا كان:

مركزها م)3 ، 5( وطول نصف قطرها 4 وحدات. أ

مركزها م )-2 ، 0( وطول قطرها 9 وحدات. ب

مركزها م )0 ، 9( وتمر بالنقطة )4 ، 6( ج

C ب قطر فى الدائرة حيث C )5 ، -2( ، ب )1 ، 10( د

اكتب الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها ) 5، -12( وتمر بنقطة األصل. 7

أوجد مركز وطول نصف قطر كل دائرة ممايلى: 8

)س + 4(2 + ص2 = 9 ب )س - 3(2 + )ص + 5(2 = 27 أ

2س2 + 2ص2 - 10ص - 7 = 0 د س2 + ص2 - 2 س + 6 ص - 6 = 0 ج

أن وجد أمتار 5 تمثل فيه وحدة كل متعامد إحداثى مستوى على المدن إلحدى رسم فى المدن: تخطيط 9

الدائرة: س2 + ص2 - 6س + 8ص + 11 = 0 تحدد أحد ميادينها أوجد ألقرب متر مربع مساحة هذا الميدان.

الصناعة: تقوم خطوط إنتاج مصنع آيس كريم بانتاج نوعين 10

C ، ب الموضحين بالشكل المقابل أى النوعين أكبر حجما. هل

يتغير حجم النموذج C بتغير إرتفاعى المخروطين المتالصقين

على أن يظل مجموع اإلرتفاعين ثابتا؟ فسر إجابتك.

السياحة: اهتمت فرنسا باآلثار المصرية القديمة فنقلت بعضها إلى باريس لتعرض فى متاحفها.. كما أنشأت 11

أن إذا علمت بباريس. اللوفر ليكون مدخال رئيسيا لمتحف للهرم األكبر الشفاف مشابها الزجاج هرما من

ارتفاعه 21٫6 متر وطول ضلع قاعدته 35 مترا ، فأوجد مساحة الزجاج المستخدم فى بناؤه ألقرب متر مربع.

15 سم

12 سم

4.3 سم

5.5 سم

6 سم

Cب

107كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

مت�ري اع�ل�ا) ر�ا�ما رث�رث�(

اختبار تراكمي

إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاه:المساحة الكلية )السطحية( للمخروط القائم تساوى: 1

2H r3ع ب Hrل أ

د H( H r3ع + 3ل( H( Hr + ل( ج

هرم رباعى منتظم محيط قاعدته 36سم وارتفاعه 10سم فإن حجمه يساوي 2

270 سم2 د 360 سم2 ج 180 سم2 ب 810 سم2 أ

الدائرة )س + 2(2 + ص2 + 2ص = 0 مركزها النقطة:

)2 ، 4-( د )1- ، 2( ج )1- ، 2-( ب )2 ، 2( أ

أى الشبكات التالية التصنع هرما رباعيا منتظما عند طيها.

دج بأ

اسئلة ذات إجابات قصيرة

أوجد حجم كل مجسم ممايأتى ألقرب سنتيمتر مكعب.

أ

17 سم

16 سم

16 سم

ب

18 سم20 سم

ج

12 سم

6 سم

أوجد معادلة دائرة مركزها النقطة )2، -7( وتمر بالنقطة )1، 3(

أى الدائرتين االتيتين متطابقتين؟ فسر إجابتك. 7

س2 + ص2 + 4س - 2ص - 5 = 0 ، س2 + ص2 + 6س - 4 = 0 أ

س2 + ص2 - 4س + 8ص = 0 ،  س2 + ص2 + 12ص + 16 = 0 ب

عل

H

تطبيقات الرياضيات - علمى

ا رخ�����الا ر�����

108

اسئلة ذات إجابات طويلة:

أحسب ألقرب رقم عشرى واحد حجم هرم خماسى منتظم طول ضلع مضلع قاعدته 16سم وارتفاعه 12سم. 8

قطره نصفى ولصق cطوى 60 المركزية زاويته وقياس 18سم دائرته قطر نصف ب طول C م دائرى قطاع 9

ليكون اكبر مساحة جانبية لمخروط قائم. أوجد حجم هذا المخروط.

محور علي تقع ع ، ن ، م النقط المقابل: الشكل فى 10

السينات لمستوى إحداثى متعامد، ن نقطة األصل. إذا كان

م، ن، ع مراكز ثالث دوائر أطوال أنصاف أقطارها هى 5،

9، 6 من الوحدات على الترتيب، جـ E = 2 م C = 4 وحدات.

أوجد الصورة العامة لمعادلة كل من الدوائر الثالث.

هل تحتاج إلى مساعدة إضافية:

إذا لم تستطع حل السؤال رقم

12345678910

3 - 4مهارات عامة3- 33 - 34 - 34 - 33 -31 - 34 - 33 -2إرجع إلى

س

ص

Cم

Eجـبعن

109كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

ختب�راته كمي

الوحدةاألولى

مقدمة الوحدة

أهداف الوحدة

الوحدةالرابعة

يعد علم االحصاء علما هاما من بين علوم الرياضيات التى تخدم باقى العلوم فقد تطور علم االحصاء من مجرد عمليات العد التى كانت تجريها

الدول فى العصور الوسطى للتعرف على قدراتها البشرية والمادية إلى علم له أصول وقواعد واستخدامات كثيرة فى مختلف المجاالت من فلك

ووراثة وعلم نفس وسياسة واقتصاد وطب... ، وكذلك فى مجاالت التخطيط ورسم السياسات واتخاذ القرار فى شتى مجاالت المعرفة، فهو يساعدنا

علي فهم ما حدث فى الماضى الستخدامه فى التنبؤ بالمستقبل ورسم الخطط المستقبلية ، ويرجع التطور الهائل فى استخدام نظرية االحتماالت

بصورة واضحة إلي عام 1932 حيث تمت أول معالجة حديثة لهذه النظرية على يد العالم " نيومان" والعالم " بيركوف" باستخدام كثير من

مفاهيم الرياضيات الحديثة مثل مفهوم المجموعات وأشكال ڤن وصار تطبيقها فى الحياة العملية أوسع فإنتاج المصانع يعتمد فى تحسين نوعيته

وتسويقه على االحتماالت كذلك التخطيط للتنمية االقتصادية واالجتماعية بل أن سياسات الدول فى األمم المتقدمة تعتمد علي االحتماالت .

فى هذه الوحدة نتناول مخطط الساق واألوراق لعرض البيانات واستخدامه فى حساب بعض مقاييس التشتت وكذلك مفهوم االحتمال وكيفية

تطبيقه عندما تكون جميع النتائج الممكنة الحدوث عددها محدود ومتساوية االمكانات )متكافئة الفرص(

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يمثل مجموعة من البيانات بطريقة الساق واألوراق. �يتعرف بعض مقاييس التشتت والتى تعتمد على حساب قيم �

الربيع األدنى - الربيع األعلى - الربيع األوسط ( واألوسط � واألعلى األدنى الربيع من كل قيمة يستنتج

باستخدام طريقة الساق واألوراق .يتعرف التجربة العشوائية، وبعض التجارب العشوائية الشهيرة �

مثل : القاء قطعة نقود مرة واحدة أو مرتين أو ثالث مرات ،القاء حجر النرد مرة واحدة أو مرتين.

مايعرف � أو ( االحداث على اآلتية العمليات يتعرف باألحداث المركبة( ويعبر عنها لفظيا ورمزيا ويمثلها باشكال ڤن )بمعلومية ف فضاء نواتج تجربة عشوائية ، C، ب حدثين

فى ف(:Ñ Cوقوع الحدث

Ñ .C عدم وقوع الحدث

Ñ )أو ب )وقوع أحدهما على األقل C وقوعÑ )و ب )وقوعهما معا CوقوعÑ )وعدم وقوع ب C فقط )وقوع C وقوع الحدثÑ )C وقوع الحدث ب فقط )وقوع ب وعدم وقوعÑ )فقط أو وقوع ب فقط Cوقوع أحدهما فقط ( وقوعÑ )أو عدم وقوع ب C عدم وقوع أى من الحدثين )عدم وقوعÑ )أو عدم وقوع ب C عدم وقوع الحدثين معا)عدم وقوعÑ )أو عدم وقوع ب C عدم وقع ب فقط ( وقوعÑ )C فقط )وقوع ب أو عدم وقوع C عدم وقوعاإلحصاء � على بسيطة وحياتية رياضية تطبيقات يتعرف

واالحتمال

االحصاء واالحتمال Statistics and

Probability

110

المصطلحات األساسية

األدوات والوسائلدروس الوحدة

مخطط تنظيمى للوحدة

المصطلحات األساسية

Ñ Scientific calculator الة حاسبة علمية Ñ Graphical calculator الة حاسبة رسومية Ñ Graphical programs برامج رسومية للحاسوب

تمثيل البيانات. الدرس )4 - 1(:

وصف البيانات. الدرس )4 - 2(:

االحتمال. الدرس )4 - 3(:

Ñ Statistics إحصاء Ñ Probability احتمال Ñ Representing Data تمثيل البيانات Ñ Stem-and -leaf plots مخطط الساق واألوراق Ñ Descripting Data وصف البيانات Ñ Central Tendency نزعة مركزية Ñ Disperison تشتت Ñ Quartiles ربيعات Ñ Lower Quartile ربيع أدنى Ñ Upper Quartile ربيع أعلى Ñ Interquartile Range المدى الربيعى

Ñ Random Experiment تجربة عشوائية Ñ Sample space فضاء العينة - فضاء النواتج Ñ Coin قطعة نقود Ñ Die حجر نرد Ñ Event حدث Ñ Simple Event حدث بسيط )أولى( Ñ Compound Event حدث مركب Ñ Certain Event حدث مؤكد Ñ Impossible Event حدث مستحيل Ñ Operation of the Events العمليات على األحداث Ñ Mutually Exclusive Events احداث متنافية

تشتتنزعة مركزية

شجرة بيانيةقائمة

وسيط

تمثيل هندسي

تطبيقات حياتية وحل مشكالت

مسلمات االحتمال تجارب عشوائية

االحتمالاالحصاء

وصف البياناتتمثيل البيانات

مدى ربيعى ربيع أعلى ربيع أدنى

فضاء العينة

الحدث

احداث متنافيةمحتملمستحيل مؤكد مخطط الساق واألوراق

العمليات على االحداث

111

1 سدرال

متثيل جمموعة من البيانات بطريقة �اجلذع )الساق( والورقة .

استنتاج املعلومات من خمططات �الساق والورقة.

تقديم:سوف تتعلم

ثم الدراسة المشكلة محل البيانات حول نقوم بجمع ما، أو مشكلة لدراسة ظاهرة

تنظم وترتب البيانات بشكل يساعد على إستخالص المعلومات منها ، ويتوقف إختيار

)أسمية بيانات كيفية أكانت البيانات سواء نوع البيانات على تمثيل وعرض طرق

أو مرتبة( أم بيانات كمية )متصلة أو متقطعة( وقد سبق لك تنظيم البيانات فى صورة

جداول تكرارية بسيطة أو جداول تكرارية ذى مجموعات.

وفيمايلى سوف نوضح كيفية تنظيم وتمثيل مجموعة من البيانات بطريقة الساق واألوراق.

Stem - and - leaf plats مخطط ال�ساق والورقة

مخطط الساق والورقة هو إحدى الطرق السريعة لتنظيم وتمثيل مجموعة صغيرة من

البيانات الكمية على شكل شجرة تتكون من جذع )ساق( وأوراق، فيتم تقسيم كل

قيمة من البيانات الكمية إلى جزأين أحدهما يمثل الساق واألخر يمثل الورقة.

األرقام وباقى الورقة لتمثيل اآلحاد( )رقم أرقامه أول نختار 137 العدد تمثيل عند

لتمثيل الساق وتكتب على النحو التالى:

الورقة # 7 | 13 # الساق ، والشكل المقابل يبين نماذج من تمثيل بعض االعداد بهذا المخطط .

الساق واألوراق بطريقة الكمية البيانات يتم عرض

وفق الخطوات التالية :

1- تحديد الساق وكتابة وحداته بترتيب تصاعدى فى شكل عمود رأسى . 2- تسجيل قيم األوراق المناظرة لكل وحدة ساق فى صف هذه الوحدة .

3- ترتيب قيم األوراق تصاعديا وكتابة مفتاحا يوضح كيفية قراءة الساق واألوراق. مثال

توضح البيانات التالية درجات 20 طالبا فى احد االختبارات 1

26 37 28 40 28 41 40 29 32 33 36 24 39 38 45 38 35 48 46 42

مثل هذه البيانات بطريقة الساق واألوراق. أ

ب كم عدد الطالب الذين تقل درجاتهم عن 30 درجة.

العدد الساق الورقة83 8 3

5310 531 08 0 8

24٫7 24 72٫53 25 3

تمثيل البياناتRepresenting Data

خمطط الساق والورقة �Stem-and leaf plots

المصطلحاتاألساسية

آلة حاسبة علمية �برامج رسومية للحاسوب �

األدوات والوسائل

تطبيقات الرياضيات - علمى 112

الحلأ لتمثيل البيانات نتبع الخطوات التالية :

لتمثيل األوراق فتكون ½ لتمثيل الساق ورقم اآلحاد نختار رقم العشرات

ابتداءا الساق فى عمود رأسى 4 تكتب وحدات ،3 ،2 الساق وحدات

بأصغر قيمة 2 وانتهاءا بأكبر قيمة 4.

نقوم بتوزيع األوراق )رقم اآلحاد( على كل وحدة ساق حتى لو تكرر. ½

نرتب قيم األوراق تصاعديا، ونكتب مفتاحا يوضح كيفية قراءة الساق ½

واألوراق.

ب أوراق الساق 2 تعبر عن الدرجات التى تقل عن 30 ` عدد الطالب الذين تقل درجاتهم عن 30 درجة يساوى 5

حاول أن تحل

يبين الجدول المقابل: 1

درجة الحرارة العظمى المسجلة فى أحد األيام بعدة محافظات :

مثل هذه البيانات بطريقة الساق واألوراق أ

ب ما عدد المحافظات التى سجلت درجة حرارة تزيد عن c30 س

تفكير ناقد : هل تجد تشابها بين تمثيل البيانات باألعمدة وتمثيل البيانات بمخطط الساق والورقة ؟ فسر إجابتك.

مثال

يبين الجدول المقابل أوزان 18 طالبا بالكيلو جرام فى أحد الفصول الدراسية . 2

مثل هذه األوزان بطريقة الساق واألوراق . أ

ما عدد الطالب الذين تزيد أوزانهم عن 65 كيلو جراما. ب

ج ما عدد الطالب الذين تقل أوزانهم عن 60 كيلو جراما.

الحلنالحظ تقارب األوزان لذلك يمكن تصنيف األوزان فى فترات كل منها

5 كيلو جرام 50 - ، 55- ، 60- ، 65- فنختار رقم العشرات لتمثيل الساق

ورقم اآلحاد لتمثيل األوراق ونقوم بتوزيع األوراق )رقم اآلحاد( على كل

وحدة ساق تبعآ للفترة التى ينتمى إليها كما فى الشكل المقابل ويكون:

عدد الطالب الذين تزيد أوزانهم عن 65 كيلو جراما = 4 أ

عدد الطالب الذين تقل أوزانهم عن 60 كيلو جراما = 3 + 4 = 7 ب

الساقاألوراق 9 8 8 6 423 2 7 5 8 8 9 630 1 0 2 6 8 54

الساقاألوراق 4 6 8 8 922 3 5 6 7 8 8 930 0 1 2 5 6 84

المفتاح6|2=26 درجة

الحظ �أن

يساوى األوراق وحدات عدد عدد القيم

)cدرجات الحرارة العظمى )س172231201824351718311934202819

الوزن بالكيلو جرام566359605262675162676057545864656966

الساقاألوراق 2 1 4 56 9 7 853 0 2 2 0 4 567 7 6 9 6

المفتاح 9|5 = 59 كيلو جرام

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1انلي لا لمثمت سدرال

113

حاول أن تحلفيمايلى الوقت بالدقائق الذى تستغرقه بعض السيارات لقطع مسافة معينة 2

89 80 91 107 103 107 99 96 87 92 83 94 86 105 104 103 87 91 84 86

أ مثل هذه البيانات بطريقة الساق واألوراق مستخدما:

ثانيا: فترات كل من 10 دقائق أوال : فترات كل منها 5 دقائق

كم سيارة تقطع هذه المسافة فى زمن : ب ثانيا: أكثر من 100 دقيقة. أوال: أقل من 95 دقيقة

مثال

بالجنيه للكهرباء الشهرى االستهالك قيمة المقابل الجدول يبين 3

إلحدى األسر.

مثل هذه البيانات بطريقة الساق واألوراق. أ

كم شهرا زاد فيها قيمة استهالك الكهرباء عن 45 جنيها. ب

الحلباختيار العدد الصحيح لتمثيل الساق والكسر العشرى لتمثيل األوراق فتكون.

وحدات الساق   42 ، 43 ، 44 ، 45 ، 46

فى كما ساق وحدة كل على ) العشرى )الكسر األوراق بتوزيع نقوم

الشكل المقابل.

عدد الشهور التى زاد فيها استهالك الكهرباء عن 45 جنيها يساوى 3

حاول أن تحلمثل البيانات التالية بطريقة الساق واألوراق 3

23 58 59 42 34 62 54 23 16 12 29 مثل البيانات التالية بطريقة الساق واألوراق :

71٫3 73٫2 69٫6 73٫3 72٫4 69٫7 73 71٫2 72٫7 71٫5 70٫5 72٫2 71٫3 70 72٫2

ما عدد المفردات التي تقل عن 71

القيمة الشهرية الستهالك الكهرباء42٫545٫34343٫8

45٫944٫843٫744

42٫945٫144٫243٫9

القيمة الشهرية الستهالك الكهرباءالساقاألوراق

5 9  420 8 7 2 3438 0443 9 145

المفتاح 5|42= 42٫5

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

11

تمــــاريــن الدرس األول

من �لمخطط �لمقابل لل�ساق و�الأور�ق �كمل:

عدد القيم = ......... 1

القيمة التى لها أكبر تكرار هى ......... 2

القيمة الخامسة من البيانات المرتبة تصاعديا هى .......... 3

يمثل مخطط �ل�ساق و�الأور�ق �لمقابل درجة �لحر�رة �لعظمى خالل �أحد �ل�سهور على �حدى �لمدن .�أكمل :اصغر درجة حرارة ..

أكبر درجة حرارة

مدى درجات الحرارة

الحرارة درجات من والعشرون الثالثة القراءة قيمة

المرتبة تنازليا ...

عدد األيام التى تقل فيها درجة الحرارة عن 22 هى

مثل كل من �لبيانات �لتالية بطريقة �ل�ساق و�الأور�ق 10

12 11

الساقاألوراق 3 5  00 1 4 5 13 7 7 7 822 2 3 5 630 7 8 9 41 1 7  5

المفتاح 8|2 = 2٫8

الساقاألوراق 6 8 8 8 9 9 910 0 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 620 2 2 4 5 930 1 2 34

المفتاح c23 = 2|3 س

اعمار الطالب بالسنوات

16٫414٫615٫714٫316٫1

15٫816٫214٫615٫215٫8

14٫416٫714٫815٫616٫7

أطوال الطالب بالسنتيمترات

154141140156162

150164152157141

169158157149153

األجر اليومى لعمال أحد المصانع

3222312531

3421223027

2527262328

أوزان البيض ألقرب جرام

5257635453

5863596251

6150585957

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

1انلي لا لمثمت سدرال

11

سوف تتعلم

المصطلحاتاألساسية

األدوات والوسائل

2 سدرو�صف البياناتال

Descripting Data

disperison من التشتت المركزيةcentral tendency ومقاييس النزعة تعد مقاييس

أهم المقاييس االحصائية لوصف توزيع البيانات وتلخيص خصائصها.

Central tendency مقايي�س النزعة المركزية

تهتم مقاييس النزعة المركزية ألية مجموعة من البيانات بتعيين قيمة واحدة تصف

النزعة مقاييس بعض دراسة لك سبق وقد حولها التمركز فى البيانات هذه اتجاه

المركزية مثل الوسط الحسابى والوسيط والمنوال.

الحظ:للبيانات الكمية المتقطعة يكون :

مجموع هذه القيم

عددها1- الوسط الحسابى لمجموعة من القيم =

تصاعديا المرتبة القيم من مجموعة تقسم التى العددية القيمة هو 2- الوسيط منها األكبر القيم عدد يكون بحيث متساويين قسمين إلى ) تنازليا أو (

مساويا لعدد القيم األصغر منها.

إذا كان K + 1 و2

فإذا كان عدد القيم )K( فرديا، فإن الوسيط هو القيمة التى ترتيبها

1 + K2

، K2

عدد القيم )K( زوجيا، فإن الوسيط هو متوسط القيمتين اللتين ترتيبهما

3- المنوال هو القيمة األكثر تكرارا.

ا�صتنتاج قيمة الو�صيط من مخطط ال�صاق والأوراق

مثالأوزان المقابل الساق واألوراق يمثل مخطط 1

استنتج األندية بأحد القوى أللعاب العبا 17

من المخطط:

ب الوزن المنوالى الوسيط        أ

الحلبمالحظة مخطط الساق واألوراق نجد:

9 = 1+ 172

األوراق مرتبة تصاعديا وعددها 17 ورقة   ` ترتيب الوسيط =

الوزن بالكيلو جرامالساقاألوراق

2 4 5 31 3 3 3 42 4 7 8 8 9  50 1 2 5 6

2|3 = 32 كيلو جرام

سوف تتعلم

استنتاج قيمة الوسيط من خمطط �الساق واألوراق:

التعرف عىل الربيعات ربيع أدنى �

- )3S( ربيع أعىل - )1S(ربيع أوسط )الوسيط(

استنتاج قيم الربيعات من خمطط �الساق واألوراق .

التعرف عىل املدى الربيعى وحسابه �من خمطط الساق واألوراق.

المصطلحاتاألساسية

� central tendency نزعه مركزية � dispersion تشتت � quartiles ربيعيات � lower quartile ربيع أدنى � upper quartile ربيع أعىل املدى الربيعى �

interquartile range

األدوات والوسائل

آله حاسبة علمية . �برامج رسومية . �

سدرال

تطبيقات الرياضيات - علمى 11

أ الوسيط هو الوزن الذى تمثله الورقة التاسعة فى الترتيب

` الوسيط = 54 كيلو جراما

الوزن المنوالى = 43 كيلو جراما ب

فكر : هل يتأثر الوسيط بالقيم المتطرفة ؟ فسر إجابتككيف يمكن إيجاد الوسط الحسابى من مخطط الساق واألوراق ؟ فسر إجابتك.

حاول أن تحلاستنتج الوسيط والمنوال لكل من مخططات الساق واألوراق التالية : 1

ج ب أ

Quartiles الربيعات

الربيعات هى قيم عددية تقسم البيانات إلى 4 أجزاء متساوية كل جزء يحتوى على 25 ٪ من البيانات وذلك بعد

ترتيب البيانات تصاعديا )أو تنازليا(

الربيع األدنى )األول( Lower quartile : هو القيمة العددية التى يقل عنها ربع القيم ويزيد عنها ثالثة ½

.)1S( أرباع القيم، ويرمز لها بالرمز

الربيع األدنى )الثالث( Upper quartile : هو القيمة العددية التى يقل عنها ثالثة أرباع القيم ويزيد ½

.)3S( عنها ربع القيم، ويرمز لها بالرمز

يف1عر

ت

الحظ أن : 1- الربيع األوسط )الثانى ( S 2 : هو القيمة العددية التى يكون عدد القيم األصغر منها مساويا لعدد القيم

األكبر منها ، أى أن الربيع األوسط هو الوسيط .

2- عند حساب الربيعات نرتب البيانات تصاعديا )أو تنازليا( ثم نوجد ترتيب الربيع المطلوب حيث : 3 * عدد القيم

4 = 3S1 * عدد القيم ، ترتيب4 = 1Sترتيب

إذا كانت النتيجة إذا كانت النتيجة عددا ليس صحيحا )به كسور( فإن العدد الصحيح التالى يحدد رتبته و

الربيع مساوية قيمة له وتكون التالى العدد والموضع لهذا المناظر الموضع فيتم تحديد عددا صحيحا

لمتوسط القيمتين المناظرتين لهذين الموضعين.

الوزن بالكيلو جرامالساقاألوراق

2 5 4 31 3 3 3 42 4 7 8 8 9  50 1 2 5 6

2|3 = 32 كيلو جرام

الوزن بالكيلو جرامالساقاألوراق

2  10 1 3  22 5 6 9   36 6 8  4

23 = 2|3

المسافة بالكيلو متراتالساقاألوراق

0 2   31 3 5 6 42 3 5 6 7  53 5 0 0 6

4٫3 =4|3

الزمن بالدقائقالساقاألوراق

3125 6 7  122 3 4 4    136 8 8 9 9 9 130 3 4 5    14

127 = 12|7

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2و�ح� لا لمثمت سدرال

11

مثال

احسب الربيع األدنى والربيع األعلى للقيم التالية : 2

43 ، 10 ، 12 ، 20 ، 18 ، 17 ، 25 ، 16 ، 7 ، 29 ، 32 أ

18 ، 5 ، 9 ، 8 ، 10 ، 4 ، 6 ، 10 ، 2 ، 11 ، 6 ، 7 ب

الحلأ ترتيب القيم تصاعديا: 7 ، 10 ، 12 ، 16 ، 17 ، 18 ، 20 ، 25 ، 29 ، 32 ، 43

عدد القيم = 11

9# 334 = 11 * 3

4 = 3 Sترتيب  ،   3 # 114 = 1Sترتيب

29 = 3 S ، 12 =1S `

ب ترتيب القيم تصاعديا : 2 ، 4 ، 5 ، 6 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 10 ، 17 ، 18  عدد القيم 12

5٫5 = 6 + 5 2

= 1S ` # 3 وما يليه 124 = 1Sترتيب

10 = 10 + 102

= 3S ` # 9 وما يليه 12 * 34

= 3Sترتيب

7٫5 = 8 + 72

` الوسيط = # 6 وما يليه 12 * 24

ترتيب الوسيط =

فكر : هل يتأثر حساب الربيع بالقيم المتطرفة ؟ فسر إجابتك؟ أى مقاييس النزعة المركزية أكثر تأثيرا بالقيم المتطرفة؟ فسر إجابتك.

حاول أن تحلاحسب الربيع األدنى والربيع األعلى للقيم التالية : 2

141 ،115 ،113 ،97 ،133 ،124 ،101 ،100 ،133 ،90 ،141 أ

21 ،10 ،27 ،16 ،35 ،18 ،28 ،10 ،15 ،39 ،18 ،24 ب

Dispersion مقايي�س الت�صتت :

تهتم مقاييس التشتت ألى مجموعة من القيم بمدى التباعد أو االختالف بين هذه القيم فإذا كانت

الفروق بين القيم كبيرة ، كان التشتت كبيرا ، والعكس ، كما يكون التشتت صفرا إذا تساوت

جميع القيم، وقد سبق لك دراسة بعض مقاييس التشتت مثل المدى واالنحراف المعيارى.

تعلمInterquartile range المدى الربيعى

هو أحد مقاييس التشتت ال يتأثر بالقيم المتطرفة حيث

المدى الربيعى = الربيع األعلى - الربيع األدنى1S - 3 S=

الحظ �أن

ترتيب الوسيط =24 * 11

6 # 224 =

الحظ �أن

المدى =

اكبر القيم - أصغر القيم

ويتأثر كثيرا بالقيم المتطرفة

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

11

مثال

احسب المدى الربيعى للبيانات التالية : 3

17 ،40 ،10 ،17 ،27 ،23 ،32 ،25 ،42 ، 37

الحل

ترتيب البيانات تصاعديا أ 42 ،40 ،37 ،32 ،27 ،25 ،23 ،17 ،17 ،10

17 = 1S ` 3 # 104 = 1Sترتيب

37 = 3 S ` 8  # 10 * 34 = 3 Sترتيب

` المدى الربيعى = 37 - 17 = 20 1S - 3 S = المدى الربيعى a

حاول أن تحلاحسب المدى الربيعى للبيانات التالية : 3

76 ، 18 ، 47 ، 54 ، 60 ، 72 ، 52 ، 93 ، 81 ، 39 ، 50

ا�صتنتاج الربيعات من مخطط ال�صاق والأوراق

مثال

توضح البيانات التالية النسب المئوية لعدد من الطالب فى إختبار الرياضيات

، 61 ، 57 ، 73 ، 75 ، 81 ، 96 ، 88 ، 76 ، 65 ، 83 ، 64

68 ، 90 ، 83 ، 79 ، 58 ، 64 ، 69 ، 54 ، 91 ، 42

مثل هذه البيانات مخطط الساق واألوراق أ

استنتج من المخطط قيم3S ، 1S، الوسيط ب

ج احسب المدى الربيعى لهذه البيانات

الحلباختيار رقم العشرات لتمثيل الساق ورقم اآلحاد لتمثيل األوراق تكون

وحدات الساق هى 4، 5، 6، 7، 8، 9.

تمثيلها ونكتب بعد قيم األوراق تصاعديا نرتب

مفتاحا للتمثيل وعنوانا للمخطط

عدد األوراق = عدد القيم = 21

٪ 64 = 1S 6 # 214 = 1S ترتيب

٪ 83 =  3 S 16 # 634 = 3S ترتيب

42 # 11 الوسيط = 73 ٪ 4 ترتيب الوسيط =

٪19 = 64 - 83 =1S - 3 S= المدى الربيعى

النسب المئوية لدرجات الطالب

الساقاألوراق 244 7 8  51 4 4 5 8 963 5 6 9    71 3 3 8    80 1 6  9

٪54 = 5|4

الوسيط

1S

3S

الساقاألوراق 247 4 8  54 5 1 9 4 866 5 3 9  73 8 1 3    86 1 0  9

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2و�ح� لا لمثمت سدرال

11

حاول أن تحلتوضح البيانات التالية أطوال مجموعة من الطالب بالسنتيمترات

156 ، 159 ، 149 ، 158 ، 141 ، 167 ، 163 ، 152 ، 144 ، 138 ، 142 ، 135 ، 152 ، 154 ، 133

مثل هذه البيانات بطريقة الساق واألوراق ثم أستنتج الربيع األعلى . أ

أحسب المدى الربيعى لهذه البيانات. ب

تطبيقات:

مثال

توضح البيانات التالية عدد األهداف المسجلة للفريقين أ، ب فى عدد من مباريات كرة السلة :

فريق )أ( :  60 ، 57 ، 64 ، 68 ، 72 ، 54 ، 63 ، 58 ، 54 ، 62 ، 56 ، 75

فريق )ب( : 74 ، 51 ، 53 ، 76 ، 56 ، 67 ، 63 ، 61 ، 68 ، 58 ، 65 ، 54

قارن بين اداء الفريقين مستخدما مخطط الساق واألوراق

الحلظهرا معا للفريقين واألوراق الساق مخطط رسم 1- يمكن

لظهر ، برسم مخطط الساق واألوراق للفريق )أ( ثم اضافة

أوراق مخطط الفريق )ب( إلى يسار الساق المناسب كما

فى المخطط المقابل.

2- بترتيب أوراق مخطط الساق واألوراق للفريقين نجد :

عدد المباريات = 12 لكل فريق

الوسيط )2S ( = متوسط قيم الورقتين 6، 7

الربيع األدنى )1S( = متوسط قيم الورقتين 3، 4

الربيع األعلى )3S( = متوسط قيم الورقتين 9، 10

إى أن تشتت بيانات الفريق )أ( أقل من تشتت بيانات الفريق )ب(

أوراق الفريق )ب( الساق أوراق الفريق )أ(4 8 6 3 1 5  7 4 8 4 65 8 6 3 7 6 0 4 8 3 2

6 4  7 2 7 

أوراق الفريق )ب( الساق أوراق الفريق )أ(8 6 4 3 1 5 4 4 6 7 88 7 6 5 3 6 0 2 3 4 8

6 4  7   2  7 المفتاح 4|5 =54

1S 1S

3S 2S 3S

الفريق )ب( الفريق )أ(

64 = 65 + 632

الوسيط = 61 = 62 + 602

الوسيط =

55 = 56 + 542

= 1S 56٫5 = 57 + 562

= 1S

67٫5 = 68 + 672

= 3S 66 = 68 + 642

= 3S

1S -3 S = المدى الربيعى S - 3 S = المدى الربيعى

12٫5 = 55 - 67٫5 = 9٫5 = 56٫5 - 66 =

الحظ �أن

أقل من أ للفريق الربيعى المدى

المدى الربيعى للفريق ب أى أن

بيانات الفريق أ أكثر تجانسا.

2S

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

120

حاول أن تحلبين أى البيانات التالية أقل تجانسا مستخدما مخطط الساق واألوراق :

مجموعة )أ( : 10 ، 17 ، 31 ، 15 ، 12 ، 27 ، 20 ، 30 ، 18 ، 28 ، 21 ، 32

مجموعة )ب( : 24 ، 35 ، 17 ، 22 ، 28 ، 23 ، 30 ، 32 ، 10 ، 19 ، 28 ، 26

تمــــاريــن الدرس الثاني

�ختر �الجابة �ل�سحيحة من بين �الإجابات �لمعطاه : 1 من مخطط الساق واألوراق المقابل:

الوسيط يساوى :

د 45 ج 48    ب 41     أ 37   

من مخطط الساق واألوراق المقابل : 2

الوسيط يساوى :

د 6   5٫8 ج ب 5٫9     أ 5٫7  

منه ، واستنتج الساق واألوراق المقابلة بمخطط البيانات مثل 3

ثم )3S ( األعلى الربيع ) 1S( األدنى الربيع ، الوسيط قيم

أحسب المدى الربيعى .

يبين الجدول التالى درجات مجموعتين من الطالب فى إختبار الرياضيات .

مثل هذه البيانات بمخطط الساق واألوراق ظهرا لظهر أ

ب استنتج الوسيط لكل منهما وقارن بينهما.

مستخدما المدى الربيعى أى المجموعتين أكثر تجانسا؟ ج

الساقاألوراق 1 3 6 7 24 7 35 8 9   40 4 7 8 5

45 = 4|5

الساقاألوراق 7 9  41 1 3 3 56 7 9   50 0 2  66 8 9 9 6

6٫8 = 6|8

47 47 44 49 40

54 56 46 51 48

51 50 53 43 57

52 49 53 41 57

99 61 78 95 63 59 73

66 58 71 58 98 65 86

63 96 56 83 79 90

مجموعة أ

72 71 59 93 87 91 65

71 81 90 72 64 76 52

90 82 70 51 66 84

مجموعة ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

2و�ح� لا لمثمت سدرال

121

3 سدرالحتمال ال

Propability

نستخدم كلمة إحتمال كثيرا فى حياتنا اليومية ، فنقول إحتمال فوز فريق للكرة على

فريق آخر، أو إحتمال سقوط األمطار غدا، أو إحتمال ارتفاع أسعار سلعة معينة فى

الشهر القادم .. وهكذا.

من وكثيرا التأمين وشركات البورصة نشاط فى بارزا دورا االحتماالت وتلعب

القطاعات االقتصادية كما أن علوما كثيرة مثل علم الوراثة والطب والزراعة والعلوم

اإلنسانية ومنها علم النفس لها طابع احتمالى.

الظواهر بدراسة تهتم التى الرياضيات فروع إحدى االحتماالت نظرية وتعتبر

العشوائية والتى تلعب الصدفة فيها دورا كبيرا. ولدراسة حالة عدم التأكد لظاهرة ما

نقوم ببناء نموذج رياضى للظاهرة العشوائية محل الدراسة فى إطار نظرية االحتماالت

يعرف بالنموذج االحتمالى ومن خالله نستطيع حساب االحتمال.

وفيمايلى نعرض بعض المصطلحات والمفاهيم االساسية الالزمة لفهم النموذج االحتمالى.

Basic terms and concepts م�صطلحات ومفاهيم اأ�صا�صية

Random experiment التجربة الع�صوائية

قبل إجرائها ولكننا ½ لها الممكنة النواتج هى كل تجربة يمكن معرفة جميع

النستطيع أن نحدد بصفة مؤكدة أيا من هذه النواتج سيتحقق فعال عند إجرائها.

يف1عر

ت

الحظ:إما الممكنة النواتج أن مقدما تعرف ، نقود قطعة إلقاء عند

تحت مرات عدة التجربة كررنا إذا ولكن . كتابة أو صورة

نفس الظروف ، هل يمكن معرفة ناتج كل محاولة قبل وقوعها؟

فى الحقيقة إذا كانت قطعة النقود متوازنة )منتظمة( فإننا النستطيع ذلك، ولهذا نقول

على هذه التجربة أنها تجربة عشوائية.

مثال

بين أى التجارب التالية تجربة عشوائية 1

أ كيس به كرات سوداء وكرات بيضاء وأردنا سحب كرة

واحدة منه ومالحظة لونها وكان ملمس الكرات البيضاء

مختلف عن ملمس الكرات السوداء

سوف تتعلم

مفهوم التجربة العشوائية وفضاء �العينة .

كتابة فضاء العينة لبعض �التجارب العشوائية الشهرية

)القاء قطعة نقود - القاء حجر نرد(.

مفهوم احلدث - احلدث البسيط �- احلدث املؤكد - احلدث

املستحيل - األحداث املتنافيةالعمليات عىل األحداث �

والتعبري عنها لفظيآ ورمزيا.توظيف مسلامت االحتامل ىف �

إجياد احتامالت وقوع أحداث معينة وتطبيقات حياتية

المصطلحاتاألساسية

جتربة عشوائية �random experiment

� sample space فضاء العينة � event حدث � simple event حدث بسيط � certain event حدث مؤكد حدث مستحيل �

impossible event احداث متنافية �

mutually exclusive events

األدوات والوسائل

آلة حاسبة .

تطبيقات الرياضيات - علمى 122

القاء حجر نرد منتظم مرقم من 1 إلى 6 مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر ب

على الوجه العلوى.

الحلالتجربة )أ(: ليست تجربة عشوائية ألن ملمس الكرات البيضاء مختلف عن ملمس

الكرات السوداء, فيستطيع الشخص الذى يسحب الكرة أن يسحب من الكيس اللون

الذى يريده وبالتالى فهو يتحكم فى نواتج التجربة قبل وقوعها.

التجربة )ب(: تجربة عشوائية ألن جميع النواتج معروفة مقدما وهى من 1 إلى 6 ولكن

اليمكن أن نتنبأ بصفة مؤكدة أى هذه النواتج سوف تحدث عند القاء حجر النرد.

إلى 20 1 بطاقة متماثلة مرقمة من بها 20 بطاقة واحدة من حقيبة فكر : هل تجربة سحب ومالحظة العدد الذى يظهر علي البطاقة المسحوبة ، هى تجربة عشوائية ؟ فسر إجابتك.

تعلم

Sample space (outcomes space( : )ف�صاء العينة )ف�صاء النواتج

فضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ويرمز له بالرمز ف ½ يف2عر

ت

يرمز لعدد عناصر فضاء العينة ف بالرمز ن )ف( . ½

يكون فضاء العينة منتهيا إذا كان عدد عناصره محدودا، أو غير منته إذا كان عدد ½

عناصره غير محدود ، وسندرس فقط فضاء النواتج المنته.

مالحظة:

تجارب ع�سو�ئية �سهيرة :

Tossing a coin : اأول: اإلقاء قطعة نقود

1- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة

ومالحظة الوجه الظاهر هو: ف = } ص، ك{

حيث ص ترمز للصورة ، ك ترمز للكتابة

ويكون : ن)ص( = 2

2- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين

ومالحظة تتابع الصور والكتابات هو:

ف = } )ص، ص(، )ص، ك(، )ك، ص(، )ك، ك({ ويكون : ن )ف( = 2 * 2 = 4 = 22

الحظ �أن

يمكنك العشوائية التجربة فى ، ستحدث التى النواتج توقع سيقع منها أيا التعرف ولكن ترى التجربة إتمام وبعد . فعال أن ناتجا واحدا فقط قد تم حدوثه

من بين هذه النواتج.

نواتج الرمية األولي

كص

صص

كص

ك

ك

نواتج الرمية الثانيةنواتج الرمية األولي

31

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

123

3- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات )يمكن الحصول عليه من الشجرة البيانية )المقابلة( هو:

ف = } )ص ، ص، ص( ،   )ص، ص، ك( ،

)ص، ك ، ص (  ،   ) ص ، ك، ك ( ،

 )ك ، ص، ص (  ،  )ك ، ص، ك ( ،

  )ك ، ك ، ص (  ،  )ك ، ك ، ك ({ ويكون : ن)ف( = 2 * 2* 2 = 8 = 32

الحظ 1- عند رمى قطعة نقود م من المرات المتتالية يكون ن )ف( = 2 م

2- ) ص، ك( ! ) ك، ص( لماذا؟3- فضاء العينة لتجربة القاء قطعتى نقود متمايزتين )مختلفتين فى الشكل أو الحجم( مرتين واحدة نقود قطعة إلقاء عند العينة فضاء نفس هو واحد( آن فى ( معا

متتاليتين ويكون كل ناتج من نواتج التجربة على الشكل الزوج المرتب: ) وجه

القطعة األولى ، وجه القطعة الثانية (.

Tossing a die : ثانيا : اإلقاء حجر نرد

1- فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه

العلوى هو :

  ويكون : ن )ف( = 6 ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6 {

2- فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر فى كل

مرة على الوجه العلوى هو مجموعة األزواج المرتبة التى مسقطها األول هو ناتج الرمية األولى ومسقطها

الثانى هو ناتج الرمية الثانية أى أن:

ف = } )س، ص( : س = 1، 2، 3، 4، 5، 6، ص = 1، 2، 3، 4، 5، 6{   واالشكال التالية توضح ذلك .

صورة هندسية : ب أ صورة جدولية :

األولىالرمية123456

الثانية1)1 ،1()2 ،1()3 ،1()4 ،1()5 ،1()6 ،1(2)1 ،2()2 ،2()3 ،2()4 ،2()5 ،2()6 ،2(3)1 ،3()2 ،3()3 ،3()4 ،3()5 ،3()6 ،3(4)1 ،4()2 ،4()3 ،4()4 ،4()5 ،4()6 ،4(5)1 ،5()2 ،5()3 ،5()4 ،5()5 ،5()6 ،5(6)1 ،6()2 ،6()3 ،6()4 ،6()5 ،6()6 ،6(

ص

ص ك

نواتج الرمية األولي

نواتج الرمية الثانية

نواتج الرمية الثالثة

ككصص

صص

صك

كك

ك

1 3

11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

الرمية الثانية

الرمية األولي

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

12

ج الشجرة البيانية

الحظ أن :1- ن )ف( = 6 * 6 = 36 = 26

2- ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ * } 1، 2، 3، 4، 5، 6، {فضاء العينة لتجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين فى آن واحد )معا( -3

هو نفس فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد واحد مرتين متتاليتين.

مثال

فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة مايظهر على وجهيهما العلويين ، أذكر عدد النواتج الممكنة 2

واكتب فضاء العينة.

الحلمن الشجرة البيانية المقابلة نالحظ أن كل ناتج من نواتج القاء قطعة النقود يمكن

أن يقترن بأى عدد من األعداد الستة التى تظهر على الوجه العلوى لحجر النرد

`  ن )ف( = 2 * 6 = 12

= } ص، ك{ * } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ ف

= } )ص، 1( ، )ص، 2( ،)ص، 3( ،)ص، 4( ،)ص، 5( ،)ص، 6( ،

)ك، 1( ،)ك، 2( ،)ك، 3( ،)ك، 4( ،)ك، 5( ،)ك، 6( {

فكر : هل يمكن تمثيل ف بطريقة هندسية ؟ وضح إجابتك بالرسم .إذا ألقى حجر النرد أوال ثم قطعة النقود ، هل يتغير عدد النواتج الممكنة ؟ هل يتغير فضاء العينة ؟ فسر إجابتك .

حاول أن تحلقرر باسم القيام برحلة من القاهرة إلى أسوان فى إجازة نصف العام لمشاهدة آثار مصر الفرعونية على مرحلتين 1

)القاهرة - األقصر ، األقصر - أسوان( فإذا كانت وسائل المواصالت المتاحة فى كل مرحلة هى القطار أو

السيارة أو الطائرة ، فاكتب فضاء العينة المرتبط بوسائل المواصالت لهذه الرحلة.

حجم النردقطعة النقود

ص

ل

123456

123456

2

1

نواتج الرمية األولي

34

5

6

نواتج الرمية الثانية

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4

3 2 1

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

12

مثال

كيس به ثالث كرات متماثلة إال من حيث اللون: األولى حمراء والثانية بيضاء والثالثة صفراء . اكتب فضاء 3

العينة فى الحاالت اآلتية :

أوال: إذا سحبت كرتين الواحدة بعد اآلخرى مع إعادة الكرة المسحوبة قبل سحب الكرة الثانية ) مع اإلحالل ( ومالحظة تتابع األلوان.

ثانيا: إذا سحبت كرتين الواحدة بعد األخرى بدون إحالل ومالحظة تتابع األلوان .

الحلنرمز إلى الكرة الحمراء بالرمز )ح( والكرة البيضاء بالرمز )ب(

والكرة الصفراء بالرمز )ص(:

أوال: عندما تعاد الكرة المسحوبة إلى الكيس قبل السحبة فرصة لها الثالث الكرات من كرة كل تصبح الثانية

أن الممكن من ويصبح الثانية السحبة فى الظهور

تسحب نفس الكرة مرة ثانية ويوضح الشكل المقابل

الشجرة البيانية لفضاء العينة حيث ن )ف( = 23 = 9

، ح( ، )ب ، ص( )ح، ، ب( ح، ( ، ح( ف = } )ح،

) ب ، ب( ، )ب، ص( ، )ص ، ح( ، )ص ، ب( ،

)ص، ص( {

إلى الكرة إعادة عدم ) إحالل )دون بعبارة ثانيا: يقصد فرصة هناك يكون لن وبذلك سحبها بعد الكيس

لظهورها فى السحبة الثانية

` ن )ف( = 3 * 2 = 6

ف = }) ح ، ب( ، ) ح، ص( ، )ب ، ح( ، )ب ، ص( ،

)ص ، ح( ، ) ص ، ب( {

حاول أن تحلصندوق به ثالث كرات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 3 سحبت كرتين الواحدة بعد األخرى مع اإلحالل ومالحظة 2

رقم الكرة . اكتب فضاء العينة وبين عدد عناصره.

The event الحدث

الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة ½ يف1عر

ت

السحبة الثانيةالسحبة األولى

حح

ح

ح

ص

ص

ص

ب

ب

ب

ب ص

)ح، ح( ) ح، ب( )ح، ص()ب ، ح(

) ب ، ب()ب، ص()ص ، ح( )ص ، ب( )ص، ص(

ف

السحبة الثانيةالسحبة األولى

) ح ، ب() ح، ص()ب ، ح(

)ب ، ص()ص ، ح(

) ص ، ب(

حب

ح

ح

ص

ص

ب

ب

ص

ف

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

12

الحظ :الكبيرة بالحروف لألحداث نرمز لذلك ف، العينة فضاء من جزئية مجموعات هى األحداث أن حيث -1

venn diagram ب ، ج ، ... كما يمكن تمثيلها باشكال ڤن ، C

2- إذا كان C حدثا لتجربة عشوائية ، ف فضاء العينة لها فإن : C ⊂ ف ، وباعتبار ف المجموعة الشاملة نستطيع التعبير عن الحدث C بشكل ڤن المجاور .

3- نقول أن حدثا ما قد وقع )تحقق ( إذا كان ناتج التجربة العشوائية عنصرا من عناصر المجموعة التى تعبر عن هذا الحدث.

فمثال عند إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه

العلوى نجد أن : ف = }1، 2، 3، 4، 5، 6{

فتكون المجموعة C = } 2، 4، 6{ وهى مجموعة جزئية من ف تعبر عن حدث

" ظهور عدد زوجى " ونقول أن الحدثC قد وقع )تحقق ( إذا ظهرت أى األعداد 2 أو 4 أو 6 عند إجراء التجربة.

مثال

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى .

إذكر عدد عناصر كل منها أ اكتب فضاء العينة ثم عين األحداث اآلتية و

الحدث C " ظهور عدد اكبر من 5"    ،   الحدث ب " ظهور عدد أولى "

الحدث ج " ظهور عدد أصغر من 9"    ،   الحدث د " ظهور عدد يقبل القسمة على 4"

الحدث هـ" ظهور عدد يقبل القسمة على 7"

ب إذا ظهر العدد 3 على الوجه العلوى عند إجراء التجربة ، فأى االحداث السابقة يكون قد وقع ؟

الحل

ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ ويكون أ

1 = )C( 6{       ،   ن{ = C `   "5 ظهور عدد اكبر من " C الحدث

الحدث ب " ظهور عدد أولى "     ` ب = } 2، 3، 5{   ،     ن )ب( = 3

الحدث ج " ظهور عدد أصغر من 9 ` ج = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ = ف ، ن )ج( = 6

` د = } 4{    ،    ن )د( = 1 الحدث د " ظهور عدد يقبل القسمة على 4"

الحدث هـ " ظهور عدد يقبل القسمة على 7"

اليوجد أى ناتج من نواتج التجربة )فضاء العينة ( يقبل القسمة على 7

` هـ = } { =z )المجموعة الخالية ( ، ن)هـ( = صفر

ب عند ظهور العدد 3 كناتج للتجربة نقول أن كل من الحدثين ب ، ج قد وقع ألن 3∋ ب ، 3 ∋ج

Cف

1 2 3

5 46

Cف

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

12

حاول أن تحلفى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى، اكتب فضاء النواتج ثم 3

عين االحداث التالية واذكر عدد عناصر كل منها.

الحدث C " ظهور عدد يقبل القسمة على 3"

"4 Hالحدث ب " ظهور عدد يحقق المتباينة س

الحدث ج" ظهور عدد يحقق المعادلة س )س-2( + 15 = 0"

The simple event الحدث الب�صيط )الحدث الأولى (

هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحتوى عنصرا واحدا فقط. ½ يف4عر

ت

فى مثال 4: الحدثان C ، د كل منهما حدث بسيط )أولى( ، أما الحدثان ب ، ج فكل منهما اليعتبر حدثابسيطا compound event الحتواء الحدث على اكثر من عنصر من عناصر ف ويسمى عندئذ بالحدث المركب

نعلم من دراستنا للمجموعات أن المجموعة ف والمجموعة الخاليةz هما مجموعتان جزئيتان من المجموعة ف ،

ومن ثم فإن ف،z هما حدثان من فضاء العينة ف.

The certain event الحدث الموؤكد :

هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف

The impossible event الحدث الم�صتحيل

z هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز

يف5عر

تفى مثال )4( الحدث ج هو حدث مؤكد أما الحدث هـ فهو حدث مستحيل

حاول أن تحلصندوق به 9 بطاقات متماثلة مرقمة من 1 إلى 9 سحبت بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المسجل علي هذه

البطاقة . عين كل من االحداث التالية مع وصفها )حدث مؤكد - حدث مستحيل - حدث بسيط - حدث مركب(

الحدث C" ظهور عدد زوجى "

الحدث ب " ظهور عدد أولى "

الحدث ج" ظهور عدد اكبر من 8"

الحدث د" ظهور عدد يقبل القسمة على 7"

الحدث هـ" ظهور عدد يقبل القسمة على 11"

الحدث و" ظهور عدد مربع كامل "

الحدث ز" ظهور عدد يحقق المعادلة   س2 - 7 س = 60 "

"15 H 3 - الحدث ع " ظهور عدد يحقق المتباينة  2 س

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

12

فكر : هل يمكن تعين مجموعة جزئية من عناصر ف تحقق فسر إجابتك 2- وقوع الحدث ج أو د؟ 1- وقوع الجدثين C , و معا ؟

الحظ: عند الربط بين حدثين أو أكثر نحصل على أحداث جديدة تعرف باألحداث المركبة ويمكن التعبير عنها لفظيا أو رمزيا كما يمكن تمثيلها بأشكال ڤن.

Operation of the events العمليات على الأحداث

نظرا ألن األحداث هى مجموعات جزيئة من فضاء العينة ، لذا فإن العمليات على االحداث هى نفس العمليات على

المجموعات مثل االتحاد والتقاطع والفرق واالكمال وباعتبار فضاء العينة ف المجموعة الشاملة نستطيع التعبير

عن الحدثين C، ب من ف والعمليات عليها لفظيا ورمزيا وتمثيلها بأشكال ڤن كمايلى :

�أوال: �لتقاطع تقاطع الحدثين C ، ب هو الحدث C ∩ ب الذى يحوى كل عناصر فضاء العينة التى

تنتمى إلى C، ب معا ويعنى وقوع C و ب )وقوع الحدثين معا(

ثانيا : �التحاد :العينة فضاء عناصر كل يحوى الذى ∪ب C الحدث هو ب ، C الحدثين إتحاد

التى تنتمى إلى C أو ب أو كليهما معا ويعنى وقوع C أو ب )وقوع أحدهما على

األقل(

ثالثا : �الكمال يحوى كل عناصر فضاء

/

C إذا كان ، C يسمى الحدث المكمل للحدث /

C الحدث

. C ويعنى عدم وقوع الحدث ، C العينة التى التنتمى إلى الحدث

z = /

C ∩ C ، ف = /

C ∪ C : الحظ

ر�بعا: �لفرقالحدث C - ب يحوى كل عناصر فضاء العينة التى تنتمى إلى C وال تنتمى إلى ب

وهى أيضا نفس عناصر C ∩ ب/

ويعنى وقوع C وعدم وقوع ب )وقوع C فقط(

C

ف

بC ∩ ب

C

ف

بC ∪ ب

C

ف

C

C

ف

بC -ب = C∩ ب/ = C ( - C ∩ ب (

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

12

تعبير شفهى :إذا كان C، ب حدثان من فضاء العينة ف ، أكمل الجدول وظلل تمثيل الحدث :

تمثيل الحدثالتعبير عن الحدث رمزياالتعبير عن الحدث لفظيا

وقوع الحدث ب فقط

)C وقوع ب وعدم وقوع(

C

ف

ب

وقوع أحدهما فقط

)وقوع C فقط أو وقوع ب

فقط(C

ف

ب

مثال

ثمانى بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 8 سحبت منها بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المسجل على هذه

البطاقة اكتب فضاء العينة ثم عين كل من االحداث اآلتية :

الحدث ب " ظهور عدد أولى " ب الحدث C " ظهور عدد فردى" أ

حدث وقوع أحدهما على األقل. د حدث وقوع C و ب معا ج

حدث وقوع C فقط. و Cحدث عدم وقوع ه

ح حدث وقوع احدهما على االكثر . ز حدث وقوع ب فقط

الحلف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8{

a الحدث C" ظهور عدد فردى" أ

}7 ،5 ،3 ، 1 { = C `

a الحدث ب " ظهور عدد أولى "  ` ب = } 2، 3، 5، 7{ ب

ج وقوع C وب معا = C ∩ ب = } 3، 5، 7{

حدث وقوع أحدهما على األقل = C ∪ ب = } 1، 2، 3، 5، 7{ د

}8 ،6 ،4 ،2 { = /

C = C حدث عدم وقوع ه

حدث وقوع C فقط = C - ب = }1{ و

}2{ = C - ز حدث وقوع ب فقط = ب

}2 ،1{ = ) C - ب ( ∪ ) ب - C ( = ح حدث وقوع أحدهما فقط

C

ف

ب

12 3 5 7

4

6

8

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

130

حاول أن تحلسجلت أرقام العدد 95743862 فى بطاقات صغيرة متماثلة . سحبت احداها عشوائيا ولوحظ العدد المسجل

بالبطاقة ، اكتب فضاء العينة لهذه التجربة ثم عين كل من االحداث التالية:

أ الحدث C " العدد الظاهر عددا فرديا "

ب الحدث ب " العدد الظاهر يقبل القسمة على 3"

حدث وقوع ب فقط. د ج حدث وقوع C و ب

و وقوع أحد الحدثين على األقل. ه وقوع أحد الحدثين فقط.

تفكير ناقد :إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف ، عبر عن االحداث التالية بلغة المجموعات ومثل كل منها بشكل ڤن .

ب عدم وقوع C وعدم وقوع ب أ وقوع C أو عدم وقوع ب

وقوع أحد الحدثين على األكثر. د ج عدم وقوع الحدثين معا

الحظ أن:حدث وقوع C =C , حدث عدم وقوع ب =ب/ أ

` الحدث المطلوب = C ∪ ب/ = عدم وقوع ب فقط

C أى أن : عدم وقوع ب فقط هو نفسه عدم وقوع ب أو وقوع

، عدم وقوع ب = ب/ /

C = C ب عدم وقوع /

∩ ب/ = ) C ∪ ب(/

C = ` الحدث المطلوب

= عدم وقوع أى من الحدثين

أى أن : عدم وقوع أى من الحدثين هو نفسه عدم وقوع C وعدم وقوع ب .

∪ ب//

C= /

= )C ∩ ب( ج عدم وقوع الحدثين معا

= عدم وقوع C أو عدم وقوع ب

أى أن : عدم وقوع الحدثين معا هو نفسه عدم وقوع C أو عدم وقوع ب

/

د وقوع أحد الحدثين على األكثر = عدم وقوع الحدثين معا = )C ∩ ب (

أى أن : عدم وقوع الحدثين معا = عدم وقوع C أو عدم وقوع ب = وقوع أحد الحدثين على األكثر

حاول أن تحلإذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف ، عبر عن األحداث التالية بلغة المجموعات ومثل كل منها بشكل ڤن.

وقوع C وعدم وقوع ب ب أ عدم وقوع C ووقوع ب

C

ف

ب

C

ف

ب

C

ف

ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

131

Mutually exclusive events الحداث المتنافية

يقال لحدثين C ، ب أنهما متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر

فمثال: 1- إذا كان C" حدث النجاح فى امتحان ما" ، ب" حدث الرسوب فى نفس االمتحان" فإن وقوع أحدهما

ينفى وقوع اآلخر.

2- فى تجربة القاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{

}5 ،3 ،1 { = C : أى إذا كان C حدث ظهور عدد فردى

أى : ب = } 3، 4، 6{ ب حدث ظهور عدد زوجى

فإن C ∩ ب = z أى وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر .

½ z= ب ∩ C ب متنافيان إذا كان , C يقال أن الحدثين

يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى ½

يف6عر

ت

الحظ :1- إذا كان C ∩ ب = z فإن C ، ب حدثان متنافيان

z = C ∩ ج ، z = ب ∩ ج ، z = ب ∩ C : ب ، ج ثالثة أحداث من ف وكان ، C إذا كانت و

فإن: C ، ب، ج إحداث متنافية والعكس صحيح.

2- االحداث البسيطة )األولية( فى أى تجربة عشوائية تكون متنافية.

هما حدثان متنافيان./

C ومكمله C 3- أى حدث

مثال

فى تجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين ومالحظة العددين الظاهرين على الوجهين العلويين لها.

أوال: مثل فضاء العينة هندسيا واكتب كال من احدثين اآلتيين. الحدث ب " ظهور عددين مجموعهما 7". الحدث C " ظهور نفس العدد على الوجهين"

ثانيا : هل الحدثان C ، ب متنافيان ؟ فسر إجابتك .

الحلأوال : عناصر فضاء العينة لهذه التجربة هى أزواج مرتبة عددها = 26 = 36 الشكل المقابل هو التمثيل الهندسى لفضاء العينة حيث كل عنصر

من عناصر فضاء العينة يمثل بنقطة كما فى الشكل .

} )6 ،6( ، )5 ،5( ، )4 ،4( ،)3 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،1({ =  C

ب = } ) 6، 1( ، )5، 2(، )4، 3( ، )3، 4( ، )2، 5( ، )1، 6( {

` C ، ب حدثان متنافيان z= ب ∩ C a:ثانيا 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

C

ب

C

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

132

حاول أن تحلفى مباريات الدورى العام لكرة القدم يحصل الفريق الفائز على 3 نقاط والمتعادل على نقطة واحدة والفريق

المهزوم اليحصل على أى نقطة ، فإذا لعب الفريق مبارتين متتاليتين اكتب فضاء العينة لما يحصل عليه الفريق

من نقط ثم أوجد كال من األحداث اآلتية :

ب حدث عدم هزيمة الفريق أ حدث حصول الفريق على اكثر من 4 نقط.

حدث وقوع C أو ب د ج حدث وقوع C و ب

حدث عدم وقوع ب فقط. و ه حدث وقوع C فقط.

Probability الحتمال

تعين نظرية االحتماالت لكل حدث من أحداث التجربة العشوائية عددا حقيقيا يسمى احتمال الحدث، وهو العدد الحقيقى

الذى يعبر عن إمكانية وقوع الحدث ويتوقف حسابه على النسبة بين عدد عناصر الحدث إلى عدد عناصر فضاء العينة .

فإذا كان C حدث من ف   أى   C ⊂ ف  ،   عدد عناصر C = ن )C(   ،   عدد عناصر ف = ن)ف( .

)C( بالرمز ل C ورمزنا الحتمال وقوع الحدث

)C( ن

ن )ف( = )C( فإن : ل

الحظ :1- ل دالة حقيقية مجالها مجموعة أحداث التجربة العشوائية، وتعرف بدالة االحتمال

1H )C( ل H0  ويكون  )ف( ن H )C( ن H 0 ` C -2 ⊂ ف ) إحتمال وقوع الحدث المؤكد ( ن )ف( = 1

ن )ف(3- ل )ف( =

تعلم

Axioms of probability م�صلمات الحتمال

)C(يرمز له بالرمز ل C ف يوجد عدد حقيقى يسمى إحتمال الحدث ⊃ C 1- لكل حدث 1 H )C( ل H 0 حيث :

2- ل )ف( = 1 3- إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف

وكان C ، ب حدثين متنافيين فإن :  ل )C ∪ ب( = ل)C( + ل )ب( C

ف

ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

133

تسمى المسلمة )3( بقاعدة الجمع إلحتماالت األحداث المتنافية وتعمم ألى عدد منته من األحداث المتنافية.ل )C ∪ ب ∪ ج ∪ د∪ .......( = ل )C( + ل )ب(+ ل )ج(+ ل )د( ....... حيث C ، ب، جـ ، E ....... أحداث متنافية مثنى مثنى

أى أن : احتمال  )اتحاد االحداث المتنافية(  =  مجموع احتماالتها .

مثال

صندوق به 9 بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 9 سحبت بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المدون عليها.

أوجد احتمال كل من األحداث التالية :

ب هو حدث ظهور عدد أكبر من 5 C هو حدث ظهور عدد أصغر من 3

ج هو حدث ظهور عدد مضاعف للعدد 3 ، د حدث وقوع C أو ب

الحلف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9{ ، ن )ف( = 9

29 =

)C( نن )ف(

= )C( ل ` 2 = )C( 1، 2{         ،     ن { = C

49 ن )ب( =

ن )ف(` ل )ب( = ن )ب( = 4 ب = } 6، 7، 8، 9{     ،    

13 = 3

` ل )ج( = 9 ج = } 3، 6، 9{       ،     ن )ج( = 3

z = ب∩ C ب حدثان متنافيان ألن ، C إليجاد ل )د( الحظ أن

   مسلمة )3( ` احتمال وقوع C أو ب = ل ) C ∪ب ( = ل )C( + ل )ب(

12 = 6

9 = 49 + 2

9 =    

فكر :إحسب احتمال وقوع C أو ج . هل C، ب ، ج أحداث متنافية مثنى مثنى ؟ فسر إجابتك ، و

مسترشدا بحل مثال 6 تحقق من صحة النتائج التالية :

نتائج هامة :1- احتمال وقوع أى حدث  =  مجموع احتماالت االحداث األولية لهذا الحدث.

2- مجموع إحتماالت وقوع جميع األحداث األولية لفضاء العينة = 1

مثال

إذا كان ف = } C، ب، ج، د{ فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل دالة إحتمال لهذه التجربة أوجد :

11   ،   ل )ب( = ل )ج( = 8

4 = ) C (إذا كان  ل  )ل)د أ

3ل )د(  إذا كان  ل ) C ( = ل ) ب ∪ ج( = 8 ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

13

الحلC a ، ب، ج ، د هى جميع األحداث األولية لهذه التجربة أ

نتيجة )2( ` ل )ف( = ل)C( + )ب( + ل )ج( + ل )د( =1

12 = 1

` ل )د( = 1 - 2 1 + ل )د( = 1 8 + 1

8 + 1ويكون :   4

نتيجة )1( 3 = ل )ب( + ل )ج( a ل ) ب∪ ج( = 8 ب

نتيجة )2( ، ل )ف( = ل )C( + ل )ب( + ل )ج( + ل )د( =1

14 = 6

` ل )د( = 1 - 8 3 + ل )د( 8 + 3

8 فيكون :   1 =

حاول أن تحلإذا كان ف = } C ، ب ، ج { فضاء العينة لتجربة عشوائية ، ل دالة إحتمال لهذه التجربة . أوجد :

1ل )C(  إذا كان  ل )ب( = 2 ل )C(  ،  ل )ج( = 4 أ

1  ،  2 ل )C( = 3 ل )ب(ل )C( ، ل )ب(  إذا كان  ل )ج( = 6 ب

خوا�س دالة الحتمال

0 = )z( 1- احتمال وقوع الحدث المستحيل = صفر أى أن ل

المكمل للحدث C بالنسبة إلى ف/

C2- احتمال وقوع الحدث

حدثان متنافيان(/

C ،C الحظ أن (   ) C ( 1 - ل = ) /

C (ل هو :

3- احتمال الفرق بين حدثين من فضاء العينةإذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف

فإن ل ) C - ب ( = ل )C( - ل ) C ∩ ب (

تفكير ناقد : ) C - اكتب مايساويه ل ) ب أ

ب إذا كان C ، ب حدثين متنافيين ، فاكتب ما يساويه كل من

)C - ب (، ل ) ب- C( ل

4 - قاعدة الجمع ألى حدثين من فضاء العينة إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف

فإن ل ) ) C ∪ ب ( = ل )أ( + ل)ب( - ل )C ∩ ب (

C

ف

C

) C- ب ( ، C ∩ ب حدثان متنافيانل )C( = ل )C- ب( + ل )C ∩ ب(

C

ف

ب

C ∩ ب)C - ب(

C ، ب - C حدثان متنافيان )C - ( + ل ) ب C( ل = )ب ∪ C( ل

C

ف

ب

C - ب

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

13

مثال

C ، ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ل دالة احتمال معرفة على ف، حيث :

ل )ب( = 3 ل )C( ، ل )C ∪ ب (= 0٫72 أوجد ل )C( ، ل )ب(

ثانيا:إذا كان C ⊂ ب    أوال: إذا كان C ، ب حدثان متنافيان

الحل   ` ل )ب( = 3 س بفرض أن ل )C( = س

أوال: C a ، ب حدثان متنافيان ` ل ) C ∪ ب ( = ل )C( + ل )ب( فيكون : 0٫72 = 3 س + س

 ` س = 0٫18، ل )C( = 0٫18 ، ل )ب( = 0٫54

   ` C ∪ ب = ب ثانيا: C a ب  ل ) C ∪ ب ( = ل )ب( = 3س = 0٫72

` ل )C( = 0٫24 ، ل )ب( = 0٫72

حاول أن تحل C ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ل دالة إحتمال معرفة على ف ، حيث :

)C( 1 أوجد ل1 ، ل ) C ∪ ب( = 3

ل)ب( = 25

C ⊃ ثانيا: إذا كان ب أوال: إذا كان C ، ب حدثان متنافيان

تفكير ناقد:بين كيف يمكن حساب ل )C( إذا كانC ⊂ ف ، ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،

37 = )

/

C( ل)C( ل

ل دالة إحتمال معرفة على ف إذا كان:

حاول أن تحل

، ف على معرفة احتمال دالة ل ، ج{ ، ب ، C { = ف حيث عشوائية لتجربة عينة فضاء ف كان إذا 10

5  , أوجد ل)ج(2 = )

ل )ب/ل )ب(

، 23= )

/

C( ل)C( ل

وكان

مثال

إحتمال نجاحه فى امتحان الرياضيات 0٫9 إذا كان إحتمال نجاح طالب فى امتحان الفيزياء يساوى 0٫85، و 10

إحتمال نجاحه فى االمتحانين معا 0٫8 أوجد احتمال : و

ب نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط. أ نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل.

ج عدم نجاح الطالب فى االمتحانين معا.

C

ف

ب

C

ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

13

الحلليكن C حدث نجاح الطالب فى امتحان الفيزياء ، ب حدث نجاح الطالب فى الرياضيات

فيكون : ل )C( = 0٫85  ،  ل )ب( = 0٫9  ،  ل )C ∩ ب ( = 0٫8

أ احتمال نجاح الطالب فى احد االمتحانين على األقل = ل )C ∪ ب (

0٫95 = 0٫8 - 0٫9 + 0٫85 = ` )C ∪ ب(= ل ) C( + ل )ب( - ل ) C ∩ ب(

الرياضيات وعدم امتحان يعنى احتمال نجاحه فى الرياضيات فقط امتحان الطالب فى ب احتمال نجاح

) C - نجاحه فى امتحان الفيزياء أى ل ) ب

0٫1 = 0٫8 - 0٫9 = )C ∩ ( = ل )ب( - ل )ب C -ل ) ب `

ج حدث عدم نجاح الطالب فى االمتحانين معا = )C ∩ ب ( / وهو حدث مكمل للحدث )C ∩ ب (

` ل)C ∩ ب( / =1 - ل )C ∩ ب ( = 1 - 0٫8 = 0٫2

حاول أن تحلللحصول على وظيفة فى إحدى الشركات يتقدم الشخص الختبارين ، أحدهما نظرى واآلخر عملى، إذا كان 11

معا 0٫5 النجاح فى االختبارين العملى 0٫6 واحتمال النظرى 0٫75 واالختبار النجاح فى االختبار احتمال

فإذا تقدم شخص ما للحصول على هذه الوظيفة ألول مرة أوجد احتمال :

ب نجاحه فى أحد االختبارين على األقل أ نجاحه فى االختبار النظرى فقط

تفكير ناقد:صرح مدرب أحد الفرق الرياضية أثناء لقاء صحفى معه بأن إحتمال فوز فريقه فى مباراة الذهاب )0٫7( ، واحتمال

فوز فريقه فى مباراة اإلياب )0٫9( ، وأن إحتمال فوزه فى المبارتين معا )0٫5( هل يتفق ما صرح به مدرب الفريق

مع مفهوم االحتمال ؟ فسر إجابتك.

دالة الحتمال المنتظم

جميع كان إذا وفقط كان إذا منتظم إحتمال دالة تسمى ل الدالة فإن عشوائية، لتجربة عينة فضاء ف كان إذا

األحداث األولية متساوية اإلمكانات )إحتماالت الوقوع(.

)ون( ،  ل = ...... = )و3( ل = )و2( ل = )و1( ل ون{ ، وكان ........... ، و3 و1،و2، { = ف كانت أى أن : إذا فإن ل دالة إحتمال منتظم

الحظ أن : 1

ن1- ل )و1( = ل )و2( = ل)و3( = ........... = ل ) ون( =

2- إذا كان C ⊂ ف ، C= } و1، و2، و3، ........... وم{

)C م عدد عناصر العدد( م ن

   فإن ل )C( = ل )و1( + ل )و2( + ل)و3( + ........... + ل)وم( =

C عدد النواتج التى تؤدى إلى وقوع الحدث

عدد جميع النواتج الممكنة = )C( أى أن: ل

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

13

3- فى أى تجربة عشوائية تعتمد على إختيار عنصر من مجموعة بها عدد محدود من العناصر فإن عملية االختيار تتم بطريقة عشوائية ، وهذا يعنى أن كل عنصر يكون له نفس الفرصة فى اإلختيار أى أن جميع نواتج فضاء

العينة متساوية اإلمكانات وجميع األحداث األولية متساوية االحتمال.

مثال

كيس يحتوى 4 كرات بيضاء ، 5 كرات حمراء ، 3 كرات سوداء ، سحبت كرة واحدة عشوائيا . أوجد إحتمال 11

أن تكون الكرة المسحوبة .

ثالثا: بيضاء أو سوداء ثانيا : ليست بيضاء أوال : حمراء

الحلليكن ب هو حدث ظهور كرة بيضاء ، ح هو حدث ظهور كرة حمراء ، س هو حدث ظهور كرة سوداء.

عملية سحب كرة واحدة عشوائيا يعنى أن كل كرة لها نفس الفرصة فى اإلختيار ولكن وجود 4 كرات بيضاء

يعنى وجود 4 فرص لظهور كرة بيضاء وهكذا

` ف = } ب ، ب ، ب ، ب ، ح ، ح ، ح ، ح ، ح ، س ، س ، س{

` ن )ف( = 4 + 5 + 3 = 12

ويمكن نمذجة المسألة كما فى الجدول المجاور

3 ، ل )س( = 12 5

4  ، ل )ح( = 12`  ل )ب( = 12

5أوال : احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء = ل )ح( = 12

ثانيا: احتمال أن تكون الكرة المسحوبة ليست بيضاء = ل )ب/( = 1 - ل )ب( 23 = 8

12 = 412 - 1 =

23 = 8

12 = 3 + 5 12 أو  ل)ب/( =

ثالثا: احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء أو سوداء = ل ) ب ∪ س (

712 = 3

12 + 4 a ب ، س إحداث متنافية ` ل )ب ∪ س ( = ل )ب( + ل)س( = 12

حاول أن تحلإذا فاز طالب فى مباراة تنس الطاولة فسيمنح جائزة باختيار جائزته عشوائيا من بين 18 قلما ، 12 مضربا ، 12

10 ساعات. ما احتمال أن تكون الجائزة .

ثالثا: ليست قلما. ثانيا: قلما أو مضربا أوال : ساعة

المجموعسحبالحدث

45312عدد الكرات

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

13

مثال

صندوق به عدد من الكرات المتماثلة والملونة بألوان مختلفة منها الحمراء )ح(، والصفراء )ص( 12

و20كرة زرقاء )ز( ، سحبت منه كرة واحدة عشوائيا ولوحظ لونها :

1 ، ما عدد كل الكرات بالصندوق؟أ إذا كان ل )ز( = 5

11 ، ما عدد الكرات الحمراء ؟ب إذا كان احتمال أن تكون الكرة حمراء أو زرقاء = 20

ج أوجد احتمال أن تكون الكرة المسحوبة .

ثانيا : ليست حمراء أو صفراء. أوال : صفراء

الحل` جميع االمكانات متساوية a سحب الكرة عشوائيا

` عدد الكرات بالصندوق = 20 * 5 = 100 كرة 15 = عدد الكرات الزرقاء

عدد الكرات بالصندوقأ a ل )ز( =

720 = 1

5 - 11` ل)ح( = 20 11

ب a ل) ح∪ ز( = ل )ح( + ل)ز( = 20

* 100 = 35 كرة 7ويكون عدد الكرات الحمراء = 20

ج عدد الكرات الصفراء = 100 - )20 + 35 ( = 45 كرة

920 = 45

أوال: إحتمال أن تكون الكرة صفراء = ل )ص( = 100

ثانيا: احتمال أن تكون الكرة حمراء أو صفراء = ل )ح ∪ ص(

0٫8 = 1620 = 9

20 + 7ل ) ح∪ ص( = ل)ح( + ل)ص( = 20

` إحتمال أن تكون الكرة ليست حمراء أو صفراء = ل ) ح ∪ ص(/

ل ) ح ∪ ص (/ = 1 - ل ) ح ∪ ص ( = 1 - 0٫8 = 0٫2

حاول أن تحلوكان ، االمكانات متساوية نواتجها جميع عشوائية لتجربة عينة فضاء من حدثين ب ، C كان إذا 13

7 فإذا كان عدد النواتج التى تؤدى إلى وقوع الحدث C يساوى 13 وعدد جميع 12 5 ، ل )ب( =

6 ل )C ∪ب( =

النواتج الممكنة للتجربة يساوى 36 فأوجد :

ثانيا : احتمال وقوعC وعدم وقوع ب أوال : احتمال وقوع C و ب معا

مثال

القيت قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية ولوحظ تتابع الصور والكتابات احسب احتماالت االحداث اآلتية : 13

ثانيا: ب حدث ظهور صورتين على األقل. أوال: C حدث ظهور صورة واحدة فقط. ثالثا: ج حدث ظهور صورتين بالضبط.

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

13

الحل` دالة االحتمال منتظمة a قطعة النقود منتظمة

، ك( ك، )ص، ص(، ك، )ص، ك(، ص، )ص، ص(، ص، ص، ف = } )

)ك، ص، ص(، )ك، ص، ك( ، )ك، ك، ص(، )ك، ك، ك({، ن )ف( = 8

أوال: C a حدث ظهور صورة واحدة فقط .

 ` C = } )ص، ك، ك( ، )ك، ص، ك(، )ك، ك، ص({ ،

38 = )C( 3  ل = )C(ن  

ثانيا :  a ب حدث ظهور صورتين على األقل أى إما صورتان أو ثالث صور   ` ب = } ) ص، ص، ك( ، )ص، ك، ص(، )ك، ص، ص(، )ص، ص، ص({

12 = 4

` ل )ب( = 8   a ن )ب( = 4

ثالثا: a ج حدث ظهور صورتين بالضبط ` ج = } )ص، ص، ك(، ) ص، ك، ص(، )ك، ص، ص({

3` ل )ج( = 8 a ن )ج( = 3

حاول أن تحلفى المثال السابق إحسب االحتماالت اآلتية : 1

ثانيا : ب حدث ظهور صورة على األكثر. أوال : C حدث ظهور ثالثة نواتج متشابهة

رابعا: د حدث ظهور كتابة على األقل. ثالثا: ج حدث ظهور عدد فردى من الصور

خامسا: هـ حدث ظهور عدد من الصور يساوى نفس العدد من الكتابات.

مثال

C هو فإذا كان العلوى فى كل مرة الوجه الظاهر على العدد متتاليتين ولوحظ نرد منتظم مرتين القى حجر 1

حدث الحصول على نفس العدد فى المرتين وكان ب هو حدث أن يكون مجموع العددين الظاهرين أقل من

او يساوي 5 ، أوجد كل من االحتماالت التالية :    ل )C( ، ل )ب( ، ل )C ∩ ب ( ، ل ) C - ب(

الحلمن التمثيل الهندسى المقابل لفضاء العينة تالحظ أن :

ن)ف( = 36  ،  ن )C( = 6  ،  ن)ب( = 10

518 = 10

1   ،  ل )ب( = 366 = 6

36 = ) C( ل `

الحظ أن: C ∩ ب يتضمن عنصران فقط 1

18 = 2` ن )C ∩ ب ( = 2 ويكون ل )C ∩ ب ( = 36

a ل ) C - ب ( = ل )C( - ل )C ∩ ب (

19 = 1- 3

18 = 118 - 1

` ل ) C - ب( = 6

ص

كص

ك

ص

ك

ص

ك

ص

ك

ص

ك

ص

ك

11

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

C

ب

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

1 0

حاول أن تحلفى المثال السابق إحسب احتمال االحداث التالية : 1

ثانيا : حدث وقوع ب فقط أوال : حدث وقوع C  أو  ب

ثالثا: حدث عدم وقوع C وعدم وقوع ب

تمــــاريــن الدرس الثالث

اكتب فضاء العينة لكل من التجارب اآلتية: 1

أ سحب بطاقة عشوائيا من مجموعة بطاقات متماثلة مدون عليها أرقام العدد 782596431 ومالحظة العدد

الظاهر فى البطاقة.

يحمالن وجهات ،2 الرقم يحمالن وجهان ،1 الرقم يحمالن وجهان فيه نرد حجر ثم نقود قطعة ب القاء

الرقم 3، ومالحظة ما يظهر على وجهيهما العلويين.

ج صندوق به ثالث كرات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 3 سحبت كرتين الواحدة بعد األخرى بدون إحالل

ومالحظة العدد المدون على الكرة.

حقائب مدرسية:يرغب طالب فى شراء حقيبة ويمكنه إختيارها من ثالث أنواع بأحد حجمين، وقد يكون لون الحقيبة أسود 2

أو بنى ، مثل فضاء العينة فى هذا الموقف بالشجرة البيانية.

القيت قطعة نقود مرتين متتاليتين ولوحظ الوجهان الظاهران، اكتب فضاء النواتج، ثم عين كال من االحدات اآلتية: 3

الحدث ب »ظهور نواتج متشابهة«. ½الحدث C »ظهور كتابة واحدة فقط«. ½

الحدث د »ظهور أكثر من صورتين«. ½الحدث ج »ظهور كتابة على األكثر«. ½

فى تجربة القاء قطعة نقود ثم حجر نرد ومالحظة ما يظهر على وجهيهما العلويين.

اكتب فضاء العينة المرتبطة بهذه التجربة ثم عين كال من االحداث اآلتية. أ

الحدث ب »ظهور كتابة وعدد زوجى«. ½الحدث C »ظهور صورة وعدد فردى«. ½

الحدث د »ظهور عدد يقبل القسمة على 3«. ½الحدث ج »ظهور عدد أولى«. ½

عبر بلغة المجموعات عن كل من االحداث التالية ثم اكتب عناصرها. ب

حدث عدم وقوع د. ½حدث وقوع ب و ج. ½حدث وقوع C أو ب. ½

فى تجربة القاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى.

عين كال من األحداث التالية: أ

الحدث ب »ظهور عددين مجموعهما 9«. ½الحدث C »ظهور عددين متساويين«. ½

الحدث د »ظهور العدد 3 مرة واحدة على األقل«. ½الحدث ج »ظهور عددين مجموعهما 13«. ½

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

1 1

أى االحداث السابقة متنافيه مثنى مثنى. ب

عبر لفظيا عن االحداث التالية ثم عين كل منها. ج ، ج/ ، C ∪ ب ، C ∩ د ، د - C ، ب ∩ ج/

/

C

القى حجر نرد منتظم كتب على أوجهه االعداد 8، 9، 10، 11، 12، 13

احسب احتمال كل من االحداث التالية: أ

ب حدث ظهور عدد أولى. ½C حدث ظهور عدد فردى. ½

د حدث ظهور عدد اكبر من 12. ½ج حدث ظهور عدد زوجى. ½

و حدث ظهور عدد مكون من رقم واحد. ½هـ حدث ظهور عدد مكون من رقمين. ½

احسب: ل)C ∪ ج( ، ل)هـ ∪ و( ، ، ل)ب ∩ د(. ب

إذا كان ف = }C ، ب، ج، د{ فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمال لهذه التجربة، أوجد:

7ل)C( ، ل)ب( ، إذا كان ل )C( = 3 ل)ب(، ل)ج( = ل)د( = 18

إذا كان C، ب حدثين متنافيين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمال معرفة على ف، وكان:

ل )C ∪ ب( = 0٫6، ل )C - ب( = 0٫25 أحسب ل)C(، ل)ب(.

إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمال معرفة على ف وكان:

1 أوجد:3 ، ل)C ∩ ب( = 4

1، ل)ب( = 83 = )C(ل

ل)C ∪ ب( ب )/

C(ل أ

∩ ب/(/

C(ل د ل)C - ب( ج

إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمال لهذه التجربة حيث: 10

ل)C( = 0٫4 ، ل)ب/( = 3ل)ب( ، ل)C ∩ ب( = 0٫2 إحسب احتمال:

وقوع C أو ب. ب وقوع C فقط. أ

عدم وقوع C وعدم وقوع ب. ج

صندوق به كرات متماثلة وملونه منها 4 حمراء، 6 زرقاء، 5 صفراء سحبت منه كرة واحدة عشوائيا. احسب 11

احتمال أن تكون الكرة المسحوبة:

زرقاء أو صفراء ب حمراء أ

ليست حمراء وال صفراء د ليست زرقاء ج

مجموعة بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 30 سحبت منها بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المدون عليها. 12

احسب احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل:

عددا يقبل القسمة على 5 ب عددا يقبل القسمة على 3 أ

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

1 2

عددا يقبل القسمة على 3 أو 5 د عددا يقبل القسمة على 3 و 5 ج

القيت ثالث قطع نقود متمايزة مرة واحدة. احسب احتمال كل من االحداث التالية: 13

ب حدث ظهور صورة واحدة على األقل. ½C حدث ظهور صورة واحدة أو صورتين. ½

د حدث ظهور كتابتين متتاليتين على االقل. ½ج حدث ظهور صورة واحدة أو ثالث صور. ½

فى تجربة القاء حجر نرد مرتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى فى كل مرة، احسب احتمال 1

كل من االحداث التالية:

حدث مجموع العددين فى الرميتين يساوى 8 ½حدث ظهور العدد 4 فى الرمية األولى. ½

حدث مجموع العددين فى الرميتين اليزيد عن 5 ½

الهالل، نادى أن 40 شخصا منهم يشجع للرأى، وجد عينة عشوائية تتكون من 60 شخصا شملهم استطالع 1

28 شخصا يشجع نادى النجمة، وأن 8 أشخاص اليشجعون أيا من الناديين.

إذا إختير شخص عشوائيا من أفراد العينة فما احتمال أن يكون الشخص المختار من مشجعى:

الناديين معا. ب أحد الناديين على األقل. أ

أحد الناديين فقط. د نادى الهالل فقط. ج

كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

3لءاصحمل سدرال

1 3

ملخ�س الوحدة

تمثيل البيانات بمخطط الساق واالوراق 1

الربيع األدنى )األول(: هو القيمة العددية التى تقل عنها ربع القيم ويزيد عنها ثالثة أرباع القيم ويرمز له بالرمز 2)1S(

الربيع األعلى )الثالث(: هو القيمة العددية التى تقل عنها ثالثة أرباع القيم وتزيد عنها ربع القيم ويرمز له بالرمز 3)3S(

المدى الربيعى: هو أحد مقاييس التشتت ال يتأثر بالقيم المتطرفة حيث 4

1S - 3S = المدى الربيعى = الربيع األعلى - الربيع األدنى

استناج الوسيط ، الربيع األعلى ، الربيع األدنى ، المدى الربيعى لبيانات ممثلة بطريقة الساق واألوراق. 5

التجربة العشواذية: هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها ولكننا ال نستطيع أن 6نحدد بصفة مؤكدة أيا من هذه النواتج سيتحقق فعال عند إجرائها.

التجربة لهذه الممكنة النواتج لتجربة عشوائية هو مجموعة كل العينة النواتج(: فضاء العينة )فضاء فضاء 7ويرمز له بالرمز ف

الحدث : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة 8

حدث بسيط )أولى(: هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحوى عنصرا واحدا فقط 9

حدث مؤكد : هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ب. 10

z حدث مستحيل: هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز 11

العمليات على االحداث: التقاطع - االتحاد - االكمال - الفرق 12

االحداث المتنافية 13½ z = ب ∩ C ب متنافيان إذا كان ،C يقال أن الحدثين

يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا كانت وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى ½

مسلمات االحتمال 13½ 1 H )C(ل H 0 : يرمز له بالرمز ل حيث C ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث ⊃ C لكل حدث

ل)ف( = 1 ½

ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( ½ إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف وكان C، ب حدثين متنافيين فإن:

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

1

األحداث بالصورة اللفظية وتمثيلها بشكل ڤن واحتماالتها )C ⊂ ب، ب ⊂ ف(: 14

احتمال وقوع الحدثتمثيل الحدث بشكل ڤنالحدث فى صورة لفظية

C عدم وقوع الحدث

C

ف

C)C(1 - ل = )

/

C(ل

وقوع C أو ب )وقوع أحدهما

على األقل(C

ف

بC ∪ ب

ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( - ل) C ∩ ب(

وقوع C و ب )وقوعهما معا(C

ف

بC ∩ ب

ل)C ∩ ب( = ل)C( + ل)ب( - ل)C ∪ ب(

وقوع الحدث C فقط

C)وقوع C وعدم وقوع ب(

ف

بC -ب = C∩ ب/ = C ( - C ∩ ب (

ل)C - ب( = ل)C( - ل) C ∩ ب( = ل) C ∩ ب/(

وقوع أحدهما فقط

C)وقوع C فقط أو وقوع ب فقط(

ف

ب)C - ب( ∪ )ب - C (

))C - ب( ∪ )ب - C ((ل

) C - ب( + ل) ب - C (ل =  

  = ل) C ∪ ب( - ل) C ∩ ب(

عدم وقوع أى من الحدثين

C)عدم وقوع C وعدم وقوع ب(

ف

ب ∩ ب/

/

C = /)ب ∪ C(

( = 1 - ل )C ∪ ب( ∩ ب//

C(ل = /

ل) C ∪ ب(

عدم وقوع الحدثين معا

)عدم وقوع C أو عدم وقوع ب(

/ ∪ ب/

C = / )ب ∩ C(C

ف

ب ∪ ب/( = 1 - ل)C ∩ ب(

/

C(ل = / )ب ∩ C(ل

عدم وقوع C فقط

)C وقوع ب أو عدم وقوع(C

ف

ب / C ∪ ب( / = ب - C (

)/

C ∪ ب( = ل )ب - C(1 - ل = /)ب - C (ل

)/

C ∪ ب/(/ = ل )ب ∩ C( ل = 

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

���ت� لا�ا��

تمارين عامة )الوحدة الرابعة(

أوجد ثم للبيانات المناسب المفتاح باختيار الساق واألوراق اآلتية بمخطط البيانات مثل كل مجموعة من 1

الوسيط لكل منها:

أطوال مجموعة من الطالب بالسنتميترات: أ

163170188172165161184181

191162175161185172165

أوزان عبوات بعض المحاصيل الزراعية بالكيلو جرام: ب

9٫413٫31214٫110٫29٫611٫314٫411٫59٫6

المبيعات الشهرية ألحد المتاجر بالمليون جنية: ج

2٫2521٫972٫52٫292٫52٫162٫21

2٫091٫952٫051٫99

أوجد الوسيط - الربيع االدنى - الربيع األعلى - المدى الربيعى لبيانات مخططات الساق واألوراق اآلتية: 2

وزن الذهب بالجرامج المبيعات بآالف الجنيهاتبزمن الرحلة بالدقائقأالساق3|24 = 2٫43 األوراقالساق7|4 = 4٫7 األوراقالساق2|4 = 42 األوراق2 1 2 547 6 8 8 642 3 1227 3 650 2 3 156 522067 554 0 4236 4 6 271 2 1 369 7 7 5 6235 1 58963 2 124

تفكير ناقد:

بين كيف يمكن تمثيل البيانات التالية بمخطط الساق واألوراق ثم استنتج قيمة الوسيط - المدى الربيعى: 3

900750770850860780810920

680820780950

توضح البيانات اآلتية المبيعات اليومية ألحد المطاعم الشهيرة فى فرعيها C، ب مقدره بآالف الجنيهات:

C 213220281418251417241622 فرع

362318342428272111161413فرع ب

مثل هذه البيانات بمخطط الساق واألوراق ظهرا لظهر. أ

استنتج الوسيط لكل من الفرعين وقارن بينهما. ب

باستخدام المدى الربيعى بين أى البيانات أكثر تجانسا. ج

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

1

سحبت بطاقتان عشوائيا من كيس به أربع بطاقات كتبت عليها االحرف C، ب، جـ، E اكتب فضاء العينة لهذه

التجربة فى كل من الحاالت اآلتية:

سحبت البطاقتان واحدة بعد اآلخرى مع االحالل. أ

سحبت البطاقاتان واحدة بعد األخرى دون إحالل. ب

مطاعم:يقدم أحد المطاعم وجبات كاملة مكونة من طبق رئيس - مقبالت - عصائر، يمكن إختيارها من نوعين C، ب

للطبق الرئيس، وثالثة أنواع من المقبالت جـ، E، هـ ونوعين من العصائر س ، ص، إرسم الشجرة البيانية لتتابع

عملية االختيار واكتب عدد الوجبات الكاملة التى يقدمها هذا المطعم.

هندسة:ضلعان فيه واآلخر متعامدان قطراه األول عشوائية، بصورة رباعيين شكلين رسم طالبه من معلم طلب

متوازيان على األقل. مثل فضاء العينة بالشجرة البيانية والصورة الهندسية، ثم اذكر عدد نواتج فضاء العينة.

تفكير ناقد:صندوق يحتوى 5 كرات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 5 سحبت منه عشوائيا ثالث كرات الواحدة تلو األخرى

بدون إحالل. ما عدد عناصر فضاء العينة؟

إذا كان فى الصندوق ن كره متماثلة فما عدد عناصر فضاء العينة عندئذ؟ و

هل يمكن استخدام التباديل فى حساب عدد عناصر فضاء العينة؟ فسر إجابتك.

القرص الدوار:الموضح الدوار القرص الالعب فيدير الدوار، القرص لعبة ويوسف أحمد يلعب

بالشكل مرتين ويالحظ العدد الذى يتوقف عليه المؤشر كل مرة فإذا كان المجموع

إذا كان المجموع زوجيا يكسب يوسف. احسب إحتمال فوز فرديا يكسب أحمد و

أحمد. هل اللعبة عادلة؟ فسر إجابتك.

إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمال معرفة على ف. 10

أكمل لتكون العبارة صحيحة فيما يأتى:إذا كان C، ب حدثين متنافيين: أ

ب - C½ ...................................................... = C - ب = ............................................ ½C ∩ ب = ............................................. ½

إذا كان ب ⊂ C فإن: ب

ب - C½ ..................................................... = C ∪ ب = ........................................ ½)C ∩ ب( = ................................. ½

إذا كان ل)C( = 0٫3 ، ل)ب( = 0٫5 ، ل )C ∩ ب( = 0٫1 فإن: ج

∩ ب/( = ................................. ½ل)ب - C( = ................................. ½ل)C ∪ ب( = ................................ ½/

C(ل

2

1

3

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امرين عم�ة )لا�ا�� لارلبعة(

( = 0٫7، ل)ب/( = 0٫4 فإن:/

C(ل ، z = ب ∩ C إذا كان د

ل)C - ب( = ................................. ½ل)C ∩ ب( = ................................. ½ل)C ∪ ب( = ................................. ½

وكان ف، على معرفة احتمال دالة ل عشوائية، لتجربة ف العينة فضاء من حدثين ب ،C كان إذا 11

1، احتمال وقوع ب فقط = 0٫2. احسب إحتمال عدم وقوع ب.2 = )C(ب ، ل ⊃ C

وكان ف، على معرفة إحتمال دالة ل عشوائية، لتجربة ف العينة فضاء من حدثين ب ،C كان إذا 12

13 1، ، ل)ب( = س، ل)C ∪ ب(/ =

2 = )C(ل

أوجد قيمة س إذا كان: أ

C ⊂ ب. ½C، ب حدثان متنافيان. ½

1 فأوجد ل)C ∩ ب(.إذا كانت س = 4 ب

إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية، اعط تعبيرا رمزيا لكل من االحداث اآلتية، ومثلها 13

بشكل ڤن:

وقوع أى الحدثين C أو ب. ب .C عدم وقوع الحدث أ

وقوع C أو عدم وقوع ب. د وقوع الحدث ب فقط. ج

وقوع أحدهما فقط. و عدم وقوع الحدثين معا. ه

فى تجربة القاء قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات مثل فضاء العينة لهذه 1

التجربة بالشجرة البيانية، ثم احسب إحتمال كل من األحداث التالية:

الحدث ب »ظهور صورتين على األكثر«. ب الحدث C »ظهور صورتين فقط«. أ

الحدث د »تشابه ناتج الرميات الثالث«. د الحدث ج »ظهور كتابة واحدة على االكثر«. ج

فى تجربة القاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى. 1

ارسم شكال هندسيا يمثل فضاء العينة ف موضحا عليه كل من األحداث اآلتية: أ

الحدث C »الحصول على عددين مجموعهم فردى وأكبر من 6«. ½

½ .»5 H الحدث ب »الحصول على عددين أحدهما 2 ومجموعها

الحدث ج »الحصول على عددين متساويين«. ½

أى االحداث C، ب، ج متنافية تبادليا. ب

احسب االحتماالت اآلتية: ج

 ، ل)ب - ج(. ½/

ل)C ∪ ب( ، ل)ب ∩ ج( ، ل)C ∪ ج(

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

1

خمسة بطاقات متماثلة مرقمة من 2 إلى 6 سحبت بطاقتين الواحدة بعد اآلخرى بدون إحالل ومالحظة الرقم 1

المسجل عليها لتكوين جميع األعداد الممكنة ذات الرقمين. أوجد احتمال:

أن يكون رقم العشرات عددا فرديا. ب أن يكون رقم االحاد عددا أوليا. أ

أن يكون رقم االحاد عددا أوليا أو رقم العشرات عدد فرديا. ج

صحف:فى عينة من 50 شخصا وجد أن 27 شخصا يقرأون الصحيفة C، 24 يقرأون الصحيفة ب، 9 أشخاص يقرأون 1

الصحيفتين معا. إختير شخصا واحدا من هذه العينة عشوائيا. أوجد احتمال أن يقرأ الشخص المختار

إحدى الصحيفتين على األقل. ب الصحيفة C فقط. أ

سياحة:والضوء الصوت مشروع عروض أحد فى 1

بالهرم حضر 200 شخص من جنسيات مختلفة

إختير فإذا ، اآلتى بالجدول موضح بيانهم

أحد الحاضرين عشوائيا عن طريق بطاقات

الدخول الخاصة بهم لمنحه جائزة تذكارية.

أوجد أحتمال أن يكون الشخص المختار

سيدة امريكية. ب رجل أوربى. أ

ذو جنسية عربية أو أوربية. د سيدة. ج

المجموعامريكىاوربىعربى32471594رجل

236320106سيدة

5511035200المجموع

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

امرين عم�ة )لا�ا�� لارلبعة(

اختبار تراكمى

�إختر �الجابة �ل�سحيحة من بين �الإجابات �لمعطاه:فى مخطط الساق واألوراق المقابل الوسيط يساوى: 1

65 ب 4 أ

74 د 64 ج

إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف حيث ف فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان C ⊂ ب فإن: ل)C ∪ ب( يساوى 2

)C - ل)ب د ل)ب( ج )C(ل ب ل)C( + ل)ب( أ

34 = )/C(ل

)C(لإذا كان C ⊂ ف حيث ف فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمالية معرفة على ف، وكان 3

فإن ل )C( يساوى 3

10 د 47 ج 37 ب 43 أ

القى حجر نرد منتظم مرقم من 1 إلى 6 مرة واحدة ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى له فإذا كان

الحدث C هو ظهور عدد فردى، الحدث ب هو ظهور عدد أولى، فإن ل)C ∩ ب( يساوى 23 د 12 ج 13 ب 16 أ

��سئلة ذ�ت �إجابات ق�سيرة:يمثل مخطط الساق واألوراق المقابل درجات مجموعة من الطالب فى أحد

االختبارات أوجد:

عدد طالب هذه المجموعة والدرجة الوسيطية. أ

الربيع األدنى والربيع األعلى، المدى الربيعى. ب

فوج سياحى مكون من 19 سائحا من روسيا، 17 سائحا من إيطاليا،

14 سائحا من فرنسا، إختير أحدهم عشوائيا، احسب احتمال أن يكون السائح:

ليس من فرنسا. ب من روسيا أو من فرنسا. أ

من هولندا. د من أوربا. ج

إحتمال حضور مدير عام فى احتفال المدرسة بتكريم أوائل طالبها، إذا كان احتمال حضور المحافظ 0٫8، و

إحتمال حضورهما معا 0٫75 أوجد: التعليم 0٫9 و

إحتمال حضور أحدهما على األقل. ب إحتمال حضور المحافظ فقط. أ

احتمال عدم حضورهما معا. ج

الساقاألوراق3 152 4 4 6 860 1 4753 = 5|3

الساقاألوراق1 2 227 72035 8 931 146 7 8 94

8|3 = 38 درجة

تطبيقات الرياضيات - علمى

لءاتحمل ولءاصحمل

1 0

��سئلة ذ�ت �إجابات طويلة:يبين الجدول التالى أوزان العبى الفريقين C، ب لكرة القدم فى أحد النوادى بالكيلو جرام.

بمخطط البيانات هذه أ مثل

الساق واألوراق ظهرا لظهر.

لكال الوسيط الوزن ب استنتج

الفريقين وقارن بينهما.

بين الربيعى المدى ج باستخدام

أى الفريقيين اكثر تجانسا.

القى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى فى كل مرة، مثل فضاء العينة

بطريقة هندسية ثم أوجد احتمال:

الحدث C »ظهور العدد 2 على الوجه العلوى مرة واحدة على األقل«. أ

الحدث ب »مجموع العددين الظاهرين على الوجه العلوى فى الرميتين هو 6«. ب

وقوع C أو ب. ج

C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ف، ل دالة إحتمال معرفة على ف. 10

فإذا كان ل)C( = 0٫6، ل)ب/( = 0٫3 ، ل)C ∪ ب( = 0٫9، أوجد إحتمال كل من االحداث اآلتية:

وقوع C فقط أو ب فقط ج ووقع C وعدم وقوع ب ب وقوع C و ب أ

12345678910إذا لم تستطع حل السؤال رقم

4-43-43-42-43-43-43-2ارجع إلى1-4

2-43-43-4

C الفريق736965798886777377906973667491

الفريق ب867384876972666774817864716373

1 1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مر ترلكحى

تطبيقات الرياضيات االختبار األول

اأجب عن جميع الأ�صئلة التالية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:....................................................................................... = I فإن مقدار محصلتها c60 قوتان مقدارها 8 ، 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما 1

ثالث قوى متساوية المقدار متالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين أى قوتين منها = ................................................ 2

144كم/س = .................................................... م/ث 3

يقال أن الحدثين C ، ب متنافيان إذا كان .......................................................................................................................................................................................................

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-تظهر قوي التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح وذلك: 1

ب، جـ معا د ج لقرب المسافة بينهم لكبر كتل هذه األجسام ب لبعد المسافة بينهما أ

إذا سقط جسم من قمة برج فوصل لسطح األرض بعد 4 ثون فإن ارتفاع قمة البرج = .......................... متر. 2

43٫2 د 78٫4 ج 39٫2 ب 89 أ المساحة الجانبية لمخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 6سم، وارتفاعه 8سم = .......................... سم2 3

r48 د r10 ج r28 ب r60 أ

النقطة التى تقع على الدائرة )س - 2(2 + ص2 = 13

)3 ،4( د )5 ،2( ج )2- ،3( ب )3 ،2( أ

السؤال الثالث:قوتان مقدارهما 32، 60 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية، إذا كان مقدار محصلتهما 52 نيوتن أوجد قياس الزاوية 1

بين هاتين القوتين.

6٫25متر مسافة قطع أن وبعد حركته اتجاه فى 4سم/ث2 منتظمة بعجلة مستقيم خط فى جسيم يتحرك 2

أصبحت سرعته 100سم/ث فما هى سرعته االبتدائية.

السؤال الرابع:قضيب منتظم طوله 100سم ووزنه 150 ث جم علق من طرفيه تعليقا حرا بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى 1

نقطة واحدة فإذا كان طوال الخطين 80سم، 60سم فأوجد مقدار الشد فى كل منها.

3سم. أوجد مساحته الجانبية. هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 20سم وارتفاعه 10 2

السؤال الخامس:C هـ ، E C C جـ ، C ب ، 3 نيوتن فى 4 ، 5 ، 3 C ب جـ E هـ و سداسى منتظم أثرت قوى مقاديرها 8 ، 6 1

على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

احسب الربيع األدنى والربيع األعلى للقيم التالية: 38 ، 25 ، 46 ، 17 ، 28 ، 32 ، 65 ، 78 ، 24 ، 59 ، 11 ، 35 2

تطبيقات الرياضيات - علمى 1 2

لخص مرلت عم�ة

تطبيقات الرياضيات االختبار الثانى

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:........................... = X 8 نيوتن متالقيتان فى نقطة واحدة ومحصلتهما تنصف الزاوية بينهما فإن ،X2 قوتان مقدارهما 1

بالسرعتين 125كم/س، 75كم/س اتجاهين متضادين C، ب على طريق مستقيم واحد وفى تتحرك سيارتان 2

................................................................................................................................................... = C على الترتيب فإن سرعة السيارة ب بالنسبة إلى السيارة

إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ................................................................... 3

الحدث الخالى من أى عنصر يسمى بالحدث ......................................................................................................................................................................................

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-N فإن I = ............................... نيوتن + M = 2X  ،  N 3 + M 2 = 1X إذا كان 1

7 د 5 ج 2 ب 13 أ

مقدار قوة الجاذبية بين كتلتين ك1، ك2 تفصل بين مركزيهما مسافة ف هو : 2 ك2 ف2

ك1X = ث * د ك1 ك2

ف2ج X = ث *

ك1 ف2

ك2X = ث * ب

ف2

ك1 ك2X = ث * أ

مركز الدائرة س2 + ص2 - 6س + 8ص = صفر هو ......................................................................................... 3

)3 ،4-( د )4 ،3-( ج )3- ،4( ب )4- ،3( أ

المساحة الجانبية لهرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 12سم وارتفاعه 8سم يساوى ............................ سم2.

240 د 144 ج 96 ب 360 أ

السؤال الثالث:الجسم اتزان قياسها 45 وحفظ بزاوية يميل على األفقى أملس وضع جسم وزنه 30 ث كجم على مستوى 1

بواسطة قوة أفقية. أوجد مقدار القوة ورد فعل المستوى.

2 يتحرك جسيم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع فى الثوانى الثالث األولى من حركته 72سم وفى الثانيتين

التاليتين 45سم. أوجد سرعته االبتدائية ومقدار عجلته.

السؤال الرابع:2 ث كجم تؤثر فى نقطة، األولى نحو الشرق والثانية فى اتجاه ثالث قوى مستوية مقاديرها 85 ، 75 ، 500 1

c30 غرب الشمال والثالثة c45 جنوب الغرب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.

تحرك جسم من السكون فى خط مستقيم فقطع 200 مترا فأصبحت سرعته 72كم/س ثم انقطعت العجلة 2

وسار بالسرعة التى اكتسبها مسافة 360 مترا ثم تحرك بعجلة تقصيرية مقدارها 5م/ث2 حتى سكن. احسب

السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها.

السؤال الخامس:أوجد طول نصف قطر دائرة مخروط قائم مساحته الكلية r 616 سم2 وطول راسمه 30سم. 1

احسب المدى الربيعى والوسيط للقيم التالية: 7 ، 8 ، 11 ، 1 ، 10 ، 6 ، 4 ، 10 ، 8 ، 9 ، 5 ، 19 2

3 1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مرلت عم�ة

تطبيقات الرياضيات االختبار الثالث

اأجب عن الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:........................................ = I2 وقياس الزاوية بينهما ى فإن مقدار محصلتهماX ،1X قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما 1

..........................................................................................................................................

2X ، N 3 - M 2 = 1X 3X ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة واحدة وكانت ، 2X ، 1X إذا كانت 2

....................................................................................................................................................... = 3X N فإن 5 + M 3 =

كل األجسام تتجاذب مع األجسام األخرى بواسطة قوة تتناسب طرديا مع ............................. وعكسيا مع ............................. 3

المساحة الجانبية للهرم المنتظم = .......................................................................................................

السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-مقدار محصلة قوتان متعامدتان مقدارهما 6، 8 نيوتن يساوى: ........................................... 1

10 د 14 ج 8 ب 6 أ

تحرك جسيم بسرعة 24م/ث وبعجلة تقصيرية 6م/ث2 فإن الجسم يتوقف لحظيا بعد زمن = ................................ ثانية. 2

3ث د 4ث ج 5ث ب 6ث أ حجم مخروط دائرى قائم طول نصف قطر قاعدته 8سم، وارتفاعه 12سم = ........................................ سم3 3

r96 د r256 ج r192 ب r225 أ

الوسيط للقيم )3، 7، 5، 9، 1( هو ........................................

5 د 1 ج 7 ب 3 أ

السؤال الثالث:3 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ومحصلتهما عمودية على القوة األولى. أوجد الزاوية X ،X قوتان مقدارهما 1

.X بين القوتين وأثبت أن مقدار محصلتهما يساوى

سقط حجر صغير من ارتفاع 122٫5 مترا ، بعد كم ثانية يصل الحجر إلى األرض. 2

السؤال الرابع:C ب أفقيا ، C ب = 18سم فإذا انزلقت خيط أملس طوله 30سم، ربط من طرفيه في نقطتين C، ب بحيث كان 1

حلقة ملساء وزنها 150 ث جم على الخيط. أثبت أن فى وضع االتزان يكون طوال فرعى الخيط متساويا ثم

أوجد الشد فى كل منهما.

يتحرك جسيم فى خط مستقيم بعجلة منتظمه 5سم/ث2 فإذا بدأ الجسيم حركته بسرعة 40سم/ث وفى نفس 2

اتجاه العجلة فما هى المسافة التى يكون قد قطعها عندما تبلغ سرعته 60م/د

السؤال الخامس:أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها )2، -4( وطول نصف قطرها 5سم. 1

تطبيقات الرياضيات - علمى 1

لخص مرلت عم�ة

C ، ب حدثين من فضاء عينه لتجربه عشوائية ، ل دالة احتمال معرفة على ف حيث: 2

3 فإوجد ل)ب(3 ،  ل)C ∪ ب( = 4

8 = )/C(ل 1ل)C ∩ ب( = 8 ب C ، ب حدثان متنافيان أ

تطبيقات الرياضيات االختبار الرابع

اأجب عن جميع الأ�صئلة التالية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:القيمة الصغرى لمحصلة القوتين 15، 8 نيوتن تساوى ............................................................................................................................................................ 1

جـ واصبح متجه سرعته ع0 ومتجه عجلة ثابت إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بمتجه سرعه ابتدائية 2

جـ = ................................................................................................................................................................................................................... ع بعد فترة زمنية ن فإن

قذف جسم رأسيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد 6 ثوانى فإن أقصى ارتفاع وصل إليه = ......... 3

إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، C ⊂ ب فإن ل)C ∪ ب( = ...................................................................................

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-2X يصنعان معها ، 1X فى الشكل المقابل: قوة مقدارها 10 نيوتن حللت إلى مركبتين 1

...................................... * - 2X ، 1 - *...................................... نيوتنX فإن c45 ،c35 زاويتين قياسهماحا 45حا 35

، حا 75حا 80

د حا 80 حا 35

، حا 80حا 45

ج حا 35 حا 80

، حا 45حا 80

ب حا 45 حا 35

، حا 35حا 45

أ

تتحرك سيارتان C، ب بالسرعتين 60كم/س، 80 كم/س على الترتيب فى إتجاه واحد فإن عCب = .............................. 2

140 د 20 ج 20- ب 140- أ

المساحة الجانبية لهرم رباعى منتظم ارتفاعه 16سم وطول ضلع قاعدته 24سم تساوى ...................................... سم2. 3

1536 د 40 ج 80 ب 960 أ

محيط الدائرة التى معادلتها )س - 3(2 + )س + 2(2 = 25 يساوى ...................................... وحدة طولية

r10 د r25 ج r2 ب r3 أ

السؤال الثالث:قوتان مقدارهما 6، 3 نيوتن فإذا كانت محصلتها عمودية على القوة الثانية فأوجد قياس الزاوية بينهما. 1

سقط جسم من ارتفاع 22٫5م على أرض رملية فغاص فيها مسافة 25سم. احسب 2

سرعة الجسم عند سطح األرض أ

احسب العجلة التى يتحرك بها الجسم داخل األرض ب

السؤال الرابع:وضع جسم وزنه 800 ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية جيبها = 0٫6 وحفظ الجسم فى حالة 1

توازن بواسطة قوة أفقية. أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم

c35c45

102X

1X

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مرلت عم�ة

إذا كان طول نصف قطر كل من القمر واألرض 1600كم، 6400كم على الترتيب وكانت النسبة بين عجلتى 2

الجاذبية لكل منهما 1 : 6 فأوجد النسبة بين كتلتيها على الترتيب

السؤال الخامس:صندوق به 9 بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 9 سحبت بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المكتوب على 1

البطاقة أوجد إحتمال كل من األحداث التالية:

ب حدث ظهور عدد فردى أو يقبل القسمة على 3. حدث ظهور عدد أولى. أ

احسب المدى الربيعى للبيانات التالية: 39 ، 51 ، 60 ، 93 ، 75 ، 35 ، 42 ، 24 2

تطبيقات الرياضيات االختبار الخامس

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية : 1 ................................................. 2 ................................................. 3 ................................................. 1

بدأ جسم حركته بسرعة 10م/ث فأصبحت 18م/ث بعد 4ثوانى فى نفس االتجاه فإن عجلة = ........................................ 2

تتوقف قوة التجاذب بين جسمين على ................................................. , ................................................. 3

.............................................................................................................. = )C(ب حدثان متنافيان فإن ل ، C ،34، ل)ب( = 8

إذا كان ل)C ∪ ب( = 5

السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-قوتان مقدارهما 2X ،1X ث جم فإن المحصلة تكون فى قيمتها العظمى إذا كان قياس الزاوية بينهما 1

c180 د c120 ج c60 ب cصفر أ

تناقصت سرعة سيارة ة من 90كم/س إلى 36كم/س فى خالل 4 ثوان فإن المسافة خالل هذه الفترة تساوى 2

140 متر د 70 متر ج 25 متر ب 10 متر أ

الوسيط للقيم: 25، 16، 28، 3، 13، 56، هو 3

2612 د 16 ج 30 ب 28 أ

حجم المخروط القائم يساوى ................................................. حيث H طول نصف قطر قاعدته . ع ارتفاعه

2Hr 1ع3 د 2Hr 1ع

4 ج 2Hr 3ع 4 ب 2Hr 4ع

3 أ

السؤال الثالث:كرة منتظمة ملساء وزنها 10 ث جم وطول نصف قطرها 30سم، علقت من نقطة على سطحها بأحد طرفى 1

خيط خفيف طوله 20سم ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس. أوجد فى وضع التوازن كال من

الشد فى الخيط ورد فعل الحائط.

يتحرك جسيم بعجلة منتظمة فى اتجاه ثابت فإذا قطع مسافة 26 سم خالل الثانية الرابعة من بدء حركته وقطع 2

56سم خالل الثانية التاسعة من بدء حركته احسب كال من.

السرعة االبتدائية للجسم ب عجلة الجسم أ

تطبيقات الرياضيات - علمى 1

لخص مرلت عم�ة

السؤال الرابع:إذا علمت أن كتلة األرض 5٫97 * 10 24 كجم وطول نصف قطرها 6٫36 * 10 6 متر فأوجد شدة مجال الجاذبية 1

األرضية إذا علمت أن ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 -11 نيوتن.م2/كجم2

ألقيت قطعة نقود ثالث مرات متتالية ولوحظ تتابع الصور والكتابات، احسب احتماالت األحداث اآلتية: 2

حدث ظهور صورتين على األكثر. ب حدث ظهور كتابة واحدة فقط أ

السؤال الخامس: ، M S يعطى كدالة فى الزمن بداللة متجهى الوحدة األساسيين يتحرك جسيم بحيث كان متجه موضعه 1

. أوجد المسافة المقطوعة حتى اللحظة ن = 3 N M + )8ن + 1( S = )6ن - 3( بالعالقة N

احسب المدى الربيعى للقيم التالية: 35 ، 12 ، 26 ، 17 ، 29 ، 42 ، 15 ، 36 2

تطبيقات الرياضيات االختبار السادس

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:3 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ، محصلتهما ق نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما .................. قوتان مقدارهما ق، ق 1

2H على ،1H قطريهما الجاذبية ى1، ى2 على كوكبين كتلتاهما ك1، ك2 وطوال نصفى بين عجلتى النسبة 2

الترتيب هى ....................................................................................................................................................................................................

إذا كان C ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، وكان C ⊂ ب فإن ل )C ∪ ب( = ....................................................... 3

المساحة الكلية للهرم المنتظم = ..........................................................................................................................

السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-قوتان مقدارهما 8 ، 13 نيوتن، القيمة العظمى والقيمة الصغرى لمحصلتهما على الترتيب هما .................... ، .................... 1

5 ، 21 د 8 ، 21 ج 5 ، 13 ب 8 ، 13 أ

إذا بدأ جسيم حركته بسرعة 30 سم/ث وبعجلة منتظمة 5 سم/ث2 فى اتجاه سرعته االبتدائية فإن المسافة 2

المقطوعة بعد 10 ثوانى من بدأ الحركة = ..................... سم

1500 د 550 ج 150 ب 300 أ

المدى الربيعى = .......................................................................................................................................................... 3

الربيع االعلى * الربيع االدنى ب الربيع االعلى + الربيع االدنى أ

الربيع االعلى ÷ الربيع االدنى د الربيع االعلى - الربيع االدنى ج

طول قطر الدائرة س2 + ص2 - 2س - 6ص + 1 = صفر يساوى ...............................

4 د 6 ج 3 ب 5 أ

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مرلت عم�ة

السؤال الثالث:N فى M + ب N ، ق3 = 3 7 - M C = 2ق ، N 5 + M ق1 = 4 إذا أثرت القوى 1

نقطة مادية فأوجد قيمتى C , ب إذا كانت القوى متزنه.

قذف جسيم رأسيا ألعلى بسرعة 60م/ث ، أوجد أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم والزمن الذى يمضى حتى يعود 2

إلى نقطة القذف.

السؤال الرابع:قضيب منتظم طوله 40سم وزنه 30 نيوتن متصل بمفصل فى حائط رأسى عند C حفظ القضيب فى وضع C ب 1

أفقى بواسطة خيط خفيف يتصل بطرف القضيب عند ب وبنقطة جـ على الحائط تعلو C رأسيا بمسافة 40 سم

.C أوجد كال من الشد ورد الفعل عند

قائم ارتفاعه 45سم أوجد طول نصف قطر إلى مخروط دائرى الشمع طول حرفه 30سم حول مكعب من 2

قاعدة المخروط إذا علم أن 8٪ من الشمع قد فقد أثناء عمليتى الصهر والتحويل.

السؤال الخامس:المضاد فوجدتها قادمة فى االتجاه )أ( متحركة على طريق مستقيم رصدت سرعة سيارة أخرى )ب( سيارة 1

أن سرعتها السيارة )ب( فوجدت النصف وأعادت رصد إلى )أ( سرعتها السيارة 130 كم/س، ولما خفضت

110كم/س فما هى السرعة الفعلية لكل من السيارتين.

فى احتفال المدرسة بتكريم اوائل طالبها إذا كان احتمال حضور المحافظ 0٫7 واحتمال حضور مدير التعليم 2

0٫8 واحتمال حضورهما معا 0٫6 أوجد احتمال:

حضور المحافظ فقط أ

احتمال حضور أحدهما على األقل. ب

احتمال عدم حضورهما معا. ج

تطبيقات الرياضيات االختبار السابع

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:قوتان مقدارهما ق1، ق2 إذا كانت القيمة العظمى لمحصلتهما 9 نيوتن والقيمة الصغرى لمحصلتهما 3 نيوتن 1

فإن ق1= ...................................................... ق2 = ......................................................

اتجاه فى الوزن مركبة cفإن 60 قياسها بزاوية األفقى على يميل مستوى علي وضع نيوتن 20 وزنه جسم 2

المستوى = ............................................................................................................

إذا تحرك جسم فى خط مستقيم بسرعة ابتدائية ع0 وبعجلة منتظمة قدرها جـ فإنه يقطع مسافة ف خالل فترة 3

زمنية ن تساوى ..............................................................................................

............................................................................ = )C (3 فإن ل5= )

/C(ل )C(ل

إذا كان C حدث من فضاء عينة ف لتجربة عشوائية وكان

تطبيقات الرياضيات - علمى 1

لخص مرلت عم�ة

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين:-r فإن مقدار محصلتهما = ...................................................... نيوتن

2قوتان مقدارهما 3، 4 نيوتن ، قياس الزاوية بينهما = 1

12 د 7 ج 5 ب 1 أ

بدأ جسم حركته بسرعة 126كم/س وتوقف بعد أن قطع مسافة 122٫5 متر فإن عجلة الحركة = ..................... م/ث2 2

10 د 7 ج 5- ب 3٫5- أ

1 4 والربيع األعلى يساوى 8 فإن قيمة الربيع األدنى = ....................إذا كان المدى الربيعى لمجموعة من القيم هو2 3

312 د 12 1

2 ج 8 ب 4 12 أ

حجم مخروط دائرى قائم طول قطر قاعدته 12سم وارتفاعه 10سم يساوى ...................................................... سم3

r20 د r 22 ج r 40 ب r120 أ

السؤال الثالث:2110 نيوتن وأن كتلة كل من األرض * المتبادلة بين الشمس واألرض هى 35٫67 إذا علمت أن قوة الجذب 1

إذا علم أن ثابت المسافة بين األرض والشمس 2910 كجم وأوجد * 2410 كجم ، 19 * والشمس هما 5٫97 الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 -11 نيوتن . م2/كجم2

هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 18سم فإذا كان حجمه 1296 سم2 فأوجد ارتفاعه الجانبى ومساحته الجانبية . 2

السؤال الرابع: E C C جـ ، C ب ، 3 ، 6 نيوتن فى ،4 ، 3 C ب جـ E هـ و سداسى منتظم أثرت القوى التى مقاديرها 5 ، 2 1

C و على الترتيب أوجد مقدار واتجاه محصلة المجموعة C هـ ، ،

قطعت سيارة مسافة 45كم على طريق مستقيم بسرعة مقدارها 60سم/س ثم عادت فقطعت مسافة 74كم فى 2

االتجاه المعاكس بسرعة 50كم/س أوجد متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها.

السؤال الخامس:حلل قوة مقدارها 100 نيوتن فى اتجاهين يميل أولهما على القوة بزاوية قياسها c60 ، واآلخر يميل بزاوية 1

قياسها c30 من الناحية األخرى.

الوسيط واستنتج واألوراق الساق بمخطط المقابلة البيانات مثل 2

المدى احسب ثم )3S( األعلى والربيع )1S( األدنى والربيع

الربيعى.

4542474947524354565141475253585655544552

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مرلت عم�ة

تطبيقات الرياضيات االختبار الثامن

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:ق2 قوتان متالقيتان فى نقطة ، وقياس الزاوية بينهما يc فإن المحصلة تميل على القوة األولى ق1 ، إذا كانت 1

ق1 بزاوية قياسها هـc حيث طا هـ = ..............................................................................................................................................................................................

قوة مقدارها 6 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى فإن مقدار مركبتها فى اتجاهى الشرق والشمال هما ....................... 2

36 كم/س = ..................... م/ث 3

2 فإن 3 =

)C( لل )ب( إذا كان ل )C ∪ ب ( = 0٫6 ، حيثC ، ب حدثين متنافيين فى فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان

ل)C( = .....................، ل )ب( = .....................

السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-مقدار كل فإن r

2بينهما الزاوية نيوتن وقياس 8 يساوى المقدار ومقدار محصلتهما فى متساويتان قوتان 1

منهما = .......................................... نيوتن.

8 د 2 4 ج 4 ب 2 2 أ

1 الربيع األعلى فإن قيمة كل منهما على الترتيب إذا كان المدى الربيعى يساوى 15 وكان الربيع األدنى = 2 2

40 ، 20 د 30 ،15 ج 20 ، 10 ب 10 ،5 أ

قذف جسم رأسيا ألعلى بسرعة 42 كم/س فإن أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم يساوى . 3

90 كم د 84 كم ج 98 كم ب 65 كم أ

إذا كان C , ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان C ⊂ ب فإن:

)/

C( 1 - ل = )ب ∪ C( ل ب ل )C ∪ب ( = ل )ب( أ

ل )C ∩ ب( = صفر د ل )C ∩ ب( = ل )ب( ج

السؤال الثالث:كرة معدنية وزنها 400 ث جم يؤثر فى مركزها موضوعه بين مستويين أملسين أحدهما رأسى واآلخر يميل 1

على الرأس بزاوية قياسها c60 أوجد رد فعل كل من المستويين

أوجد الصورة العامة لمعادلة الدائرة التى مركزها )-2 ، 3( وطول قطرها 8 وحدات طولية. 2

السؤال الرابع:على ق C ب قضيب منتظم وزنه 20 ث كجم يتصل طرفه C بمفصل مثبت فى حائط رأسى أثرت قوة أفقية 1

، ورد فعل المفصل. ق القضيب عند ب فاتزن القضيب وهو يميل على الرأسى بزاوية قياسها 30 أوجد مقدار

توضح البيانات التالية النسب المئوية لعدد من الطالب فى اختبار الرياضيات: 2

75 ، 65 ، 46 ، 78 ، 96 ، 45 ، 36 ، 86 ، 29 ، 88 احسب المدى الربيعى لهذه البيانات.

تطبيقات الرياضيات - علمى 1 0

لخص مرلت عم�ة

السؤال الخامس:بدأ جسم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 15سم/ث وبعجلة منتظمة 2٫5 سم/ث2 فى اتجاه السرعة االبتدائية 1

احسب المسافة التى قطعها الجسم خالل الثانية الرابعة.

سقطت كرة من ارتفاع 90م عن سطح األرض وعند وصولها لألرض ارتدت ثانية إلى أعلى بسرعة تساوى نصف 2

سرعة وصولها إلى األرض . أوجد أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة .

تطبيقات الرياضيات االختبار التاسع

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:إحداهما ................ قوتان متساويتان فى المقدار ومحصلتهما تساوى أى منهما فإن قياس الزاوية بين محصلتهما و 1

إذا تحرك جسم بسرعة ابتدائية 10سم/ث وبعجلة منتظمة 4سم/ث2 فى اتجاه سرعته، فتصبح سرعته 25سم/ث 2

بعد زمن قدره .................................................................................................... ث

مقدار قوة الجذب بين جسمين كتلتاهما ك1، ك2 والمسافة بينهما ف يساوى ................................................................................. 3

........................................................................................... = )C( ل + )/

C(حدث فى فضاء عينة ف لتجربة عشوائية فإن ل C إذا كان

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-I زاويتين قياسيهما هـ1، هـ2 من جهتيها على I يمكن تحليلها إلى قوتين ق1 ، ق2 وتصنعان مع القوة 1

الترتيب فإن ق1 = ....................................................................................................

I حا )هـ1 + هـ2( حا هـ2 د I حا هـ2

حا )هـ1 + هـ2(ج I حا هـ2

حا )هـ1 - هـ2( ب I حا هـ1 حا )هـ1 +هـ2(

أ

1 ، ل )C( = 1 - ل )ب( فإن:إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان C ∪ب = ف ، ل )ب( =2 2

C( K( + K )ب( = 1 د C( K( > K )ب( ج C( K( < K )ب( ب C( K( = K )ب( أ

قذف جسم رأسيا ألعلى بسرعة 98م/ث فإن زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع = ................................................................................. 3

20 ث د 3 ث ج 10 ث ب 15 ث أ

مخروط دائرى قائم طول نصف قطر قاعدته 7سم وطول راسمه 14سم فإن حجمه .................................................................

343 سم3 د 3 سم3 49 ج r 343سم3 ب r 3سم3 49 أ

السؤال الثالث:كرة منتظمة ترتكز على قضيبين متوازيين يقعان فى مستوى أفقى واحد ، البعد بينهما يساوى طول نصف قطر 1

الكرة أوجد الضغط على كل من القضيبين إذا كان وزن الكرة 10 نيوتن.

C) 7، 3( ، ب )12 ، 10( على الترتيب أوجد قيمة إذا كان الجسيم عند لحظتين زمنيتين 2، 5 عند الموضعين 2

السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة.

1 1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مرلت عم�ة

السؤال الرابع:القوتين بين الزاوية قياس فإذا كان مادية نقطة فى تؤثر نيوتن 7 4 ،10 ،5 مقاديرها ثالث قوى مستوية 1

األولى والثانية يساوى c60 فأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى لمحصلة القوى الثالثة.

سقطت كرة من المطاط من ارتفاع 15 مترا عن سطح األرض فاصطدمت باألرض وارتدت رأسيا ألعلى مسافة 2

6م . احسب سرعة الكرة قبل وبعد التصادم باألرض مباشرة.

السؤال الخامس:أوجد الصورة العامة لمعادلة الدائرة التى مركزها م)-2، 5( وتمر بالنقطة )3، 2( . 1

، 0٫6 = )/

C( ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ل دالة احتمال لهذه التجربة حيث ل ، C إذا كان 2

ل )ب( = 0٫25 ، ل )C ∩ ب( = 0٫2 احسب احتمال

عدم وقوع C وعدم وقوع ب ج وقوع C أو ب ب C وقوع أ

تطبيقات الرياضيات االختبار العاشر

اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:

السؤال األول: أكمل مايأتى:3 ق نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما = ................................................ قوتان مقدارهما ق ، 4ق نيوتن ، مقدار محصلتهما 4 1

إذا اتزنت ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ............................................................................................................... 2

45كم/د = ................................................................................. م/ث 3

................................................................................................................... * )C( ل = ) C(K حدث من فضاء عينة لتجربة عشوائية فإن C إذا كان

السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-إذا كان قM 5 = 1 ، قN 5 - M 7 = 2 فإن || I || =................................................................. وحدة قوة 1

5 - 12 د 13 ج 49 ب 74 + 5 أ

سقط جسم من ارتفاع 19٫6 متر على أرض رملية فغاص فيها 14 سم حتى سكن فإن عجلة حركة الجسم داخل 2

الرمل = ................................... سم/ث2

1732 د 19٫6 ج 9٫8- ب 1372 أ

المنوال للقيم 5 ، 35 ، 45 ، 22 ، 13 ، 45 ، 52 ، 45 يساوى .............................. 3

45 د 40 ج 52 ب 5 أ هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 10سم ارتفاعه الجانبى 13سم فإن حجمه يساوى .......................................... سم3

10 * 2)13( 13 د 13 * 2)12( * 1

3 ج 12 * 2)10( * 13 ب 13 * 2)10( * 1

3 أ

السؤال الثالث:وضع جسم وزنه 800 ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية هـ حيث حا هـ = 0٫6 وحفظ الجسم 1

فى حالة توازن بواسطة قوة أفقية أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم

تطبيقات الرياضيات - علمى 1 2

لخص مرلت عم�ة

يتحدد بالعالقة S يتحرك جسيم فى خط مستقيم من نقطة ثابتة )و( بحيث أن متجه موضعه 2

متجه وحدة مواز للخط المستقيم أوجد متجه اإلزاحة، كذلك متجه حيث ى S = )ن2 + 3ن + 5( ى

السرعة المتوسطة منذ بدء الحركة حتى ن = 3 ث

السؤال الرابع:c60 حلل قوة قدرها 90 نيوتن إلى قوتين متساويتين فى المقدار وقياس الزاوية بين اتجاهيهما 1

يتحرك جسم بعجلة منتظمة فى خط مستقيم فقطع 24مترا خالل الثانية الرابعة وقطع 34 مترا خالل الثانية 2

التاسعة احسب كال من:

عجلة الحركة أ

مقدار السرعة االبتدائية للحركة ب

السؤال الخامس:الشكل يوضح شبكة مخروط قائم، مستعينا بالبيانات المعطاه 1

)227 = r( أوجد حجمه

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر 2

على الوجه العلوى فى كل مرة . احسب احتمال:

حدث أن يكون مجموع العددين يزيد عن 8 أ

حدث ظهور عددين متساويين ب

C

نب

جـ

2م 21

2 44

3 1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لخص مرلت عم�ة

الوحدة األولى: االستاتيكا

اجابة بعض تمارين الدرس األول

19 4 10 3

جـ د جـ

c90 ، 3 5 11 ب 10 د

12

5 ث كجم ، طا-1 3 12

2 نيوتن 4 8 نيوتن 1 1 c120 13

c 90 8 نيوتن 1 1

15 نيوتن ، عمودية على 12 1

3 ث. كجم 6 ، 6 20 3 2 + 1 1

15 ث كجم 22 5، 3 نيوتن 21

3 : 2 5 ث كجم 2 3 23

اجابة بعض تمارين الدرس الثانى

4 2 صفر 1

18 ، 25٫46 8٫78 نيوتن ، 6٫21 نيوتن 3

2 6 ، 6 6 6 ، 6

2 60 ، 2 60 311 ، 439

3 9 ، 9 10 80 ، 3 80

360 ، 150 12 21 ، 3 21 11

اجابة بعض تمارين الدرس الثالث

1 ،1- 3 103 ،3 2 4

35 ، طا-1 1

c45 ، 2  شكل 2 3 34 شكل 1 طا -1

شكل I 3 =1 فى اتجاه ق1 ، 3 3 فى إتجاه القوة 6 شكل 4 2

c213 /41 //24 ، 58 شكل 5 E C شكل 6 20 نيوتن فى اتجاه

c30 ، 3 جنوب الغرب 10 c240 ، 3

c 60 ، 3 نيوتن 5 c120 ، 10 نيوتن

1 ، 1- 10 C جـ 2 ، فى اتجاه 10

اجابة بعض تمارين الدرس الرابع

س= 0 ، ص = 0 2 بمضلع مقفل 1

5 نيوتن 5 ،3 3

مقادير القوى المتناظرة

جيوب الزوايا المقابلة.

c120 تتالقى فى نقطة واحدة

3 3 ، 3

3 40 ، 3 شكل 1 20 10

50 ، 5 3 ، 6 شكل 3 50 شكل 2 6 2   شكل 5 20 شكل 4 18 ، 24

شكل 6 هـ = c 60، و = 16 ث.جم 3 30 ، 30 11

160 ث. جم ، 120 ث. جم 12

3 ث جم 100 ، c60 13

نيوتن 3 600 ، 1000 ث.م 1 72 ، 36 1

، 6 نيوتن 1 12، 16 نيوتن 3 3 1

9 ، 5 ث . كجم 1 ق = 6 ، ك = 9 1

3 ث كجم 2 ،c 30 20

الوحدة الثانية: الديناميكا

اجابة بعض تمارين الدرس األول

18 3 25 2 72 1

جـ ـ ج جـ

6كم/س 13 225م 11 جـ 10

120 ،60 1 30 ،150 1

نشاط )2(

15كم/س 22 2 21 28 20

اجابة بعض تمارين الدرس الثانى3 م/ث2 هـ 10 ب 24 أ 1

6٫25 363م 3 72م 2

42م 1080 ،81 27 م

8 ثوان 13 3ث 11

اجابة بعض تمارين الدرس الثالث

58٫8 م/ث 2 8٫4 م/ث 1

49 م/ث ب أ 10 ث 3

14 م/ث، 7 م/ث

10ث 14٫7م/ث، 2ث

ج 24٫5 متر ب 19٫6م أ 19٫6 م/ث2

د 5 ث ب 2 ث أ 3٫6 م 10

تطبيقات الرياضيات - علمى 1

لجمبمت بع�� لاصحمرين

ج 10 ث ب 62٫5 م أ 35 م/ث 11

3ث، 44٫1م، 15٫9 م 12

اجابة بعض تمارين الدرس الرابع12- 10 * 6٫7368  12- 10 * 8٫004

10 10 * 1٫731  9- 10* 2٫5 22 10 * 1٫6008  11 24 10 * 6 10

 10م/ث2 13 3682523 12

33 10 * 2٫668 1 3 : 1  1

 9كجم 1

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس

اجابة بعض تمارين الدرس األول

5 ج 6 ب 5 أ 1

120 سم، 109 سم تقريبا 3

145 متر تقريبا 200 سم

اجابة بعض تمارين الدرس الثانى90 سم2، 105٫6 سم2 أ 1

360 سم2، 504 سم2 ب r 72سمr 108 ،2سم2 أ 2

r 58سم2، 528٫6 سم2 27 ب 510 جنيها ب 34 متر مربع أ

29٫24 سم

اجابة بعض تمارين الدرس الثالث9175٫8 سم3 2 1200 سم3 1

3500 سم3 10 سم 3342٫3 سم3 1282٫8 سم3

r 12 وحدة مربع أ 124000 سم3 ب 200 سم3 أ 13

اجابة بعض تمارين الدرس الرابع

ب 3 ـ ج 2 أ 1

د د ب

5 = H ،)3- ،2( م أ 12

3 = H ،)0 ،1-(م ب 34 = H ،)5- ،3(م ج

س2 + ص2 - 14س + 18ص - 770 = 0 1

283 وحدة مربعة تقريبا. 1

س2 + ص2 + 10س - 18ص + 102 = 0 1

اجابة بعض التمارين العامة384 سم2 ب r 60سم2 أ 2

260 سم ع = 9سم 3

282٫7 سم2 تقريبا

س2 + ص2 - 10س + 12ص = صفر

11 1946 متر مربع تقريبا 1100 متر مربع

االختبار التراكمى

ب 3 د 2 جـ 11433 سم3 ب 1280 سم3 أ

س2 + ص2 - 4س + 14ص - 48 = 0 167٫3 سم3 1761٫8 سم3

الوحدة الرابعة: االحصاء واالحتمال

اجابة بعض تمارين الدرس األول

1٫4 3 2٫7 2 23 1

c20س c43س c16س

اجابة بعض تمارين الدرس الثانى

جـ 2 د 1

72 ، 72 6٫5 ، 53 ، 46٫5 ، 49٫5 3

اجابة بعض تمارين الدرس الثالث

0٫35 ،0٫25 118 ، 1

6 ـ C ، ب ، ج

0٫55 ج 0٫45 ب 0٫2 أ 105

18 ، 536 ، 1

6 1

اجابة بعض التمارين العامة

10 12 110 ، 815 3

14 ، 1

2 ، 78 ، 3

8 1 0٫7 11

0٫88 ب 0٫36 أ 1

االختبار التراكمى

جـ 3 ب 1

0٫72 ب 0٫66 أ

صفر د 1 ج

1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى

لجمبمت بع�� لاصحمرين

73 ، 74 ب

ج 0٫5 0٫3 ب 0٫4 أ 10

االختبار األول: السؤال الثالث

2 50 2 120 1

االختبار الثانى: السؤال األول:

200 كم/س 2 4 1

السؤال الثانى:

أ 3 ـ ج 2 جـ 1

االختبار الثالث: السؤال الثانى:

جـ 2 د 1

السؤال الخامس:1ب- 4 1

أ- 8 2

االختبار الرابع: السؤال األول:

ل)ب(

السؤال الثانى:

جـ

السؤال الثالث:ب 882 م/ث2 أ 21 م/ث 2 120 1

االختبار السادس: السؤال األول:

150 1

السؤال الثانى:

جـ 2 د 1

االختبار السابع:

3 د أ 2 ب ب  1

االختبار الثامن: السؤال الثانى:

جـ 2 جـ 1

االختبار العاشر: السؤال الثانى:

د 3 جـ 1

تطبيقات الرياضيات - علمى 1