Download docx - · Web view1. ในการวางแผนการลงท นในโครงการต างๆ ของบร ษ ทแห งหน ง ซ งม อย 3 โครงการด

บทท่ี 5การโปรแกรมเชงิพลวตั (Dynamic Programming)

การโปรแกรมเชงิพลวตั เป็นเทคนิควธิทีางคณิตศาสตรท่ี์ใชใ้นการแก้ปัญหาเพื่อหาคำาตอบคล้ายๆ กับ divide & conquer คือมแีนวคิดการแก้ปัญหาใหญ่ๆ โดยทำาการแบง่ออกมาเป็นปัญหายอ่ย จากนัน้จะนำาเอาคำาตอบที่ได้มารวมกันเพื่อใหไ้ด้คำาตอบในการแก้ปัญหาใหญ่เริม่ต้น วธิีการโปรแกรมเชงิพลวตั เป็นวธิหีน่ึงท่ีนิยมใช ้ในการหาสภาพการทำางานที่เหมาะสมไมว่า่กระบวนการมลัีกษณะการทำางานเป็นขัน้ตอน (stage processes) หรอืเป็นฟงัค์ชัน่ต่อเน่ือง (continuous function ซึ่งสามารถประมาณโดยการทำางานเป็นขัน้ตอน) การวเิคราะหจ์ะแยกเป็นขัน้ๆ (stage) โดยแนวทางหรอืเสน้ทางต่างๆ ท่ีทำาใหก้ระบวนการหรอืระบบนัน้ทำางานได้ และเลือกเสน้ทาง หรอืแนวทางท่ีดีท่ีสดุ ตัวอยา่งเชน่ การเลือกหาเสน้ทางที่ดีที่สดุของการไหลของของไหล เสน้ทางท่ีคุ้มท่ีสดุในการเดินท่อหรอืในการเดินทางเป็นต้น

ตัวอยา่งท่ี 4.1 ในการขนสง่สนิค้าทางเรอืมขีอ้กำาหนดนำ้าหนักของสนิค้าท่ีจะบรรทกุในเรอืรวมกันแล้วต้องไมเ่กิน 11 ตัน สนิค้าท่ีจะทำาการสง่นัน้ประกอบไปด้วยสนิค้า 4 ชนิดคือ A B C และ D โดยแต่ละชนิดมนีำ้าหนักเท่ากับ 2 กิโลกรมั 4 กิโลกรมั 5 กิโลกรมั และ 3 กิโลกรมั สนิค้าแต่ละชิน้มรีาคา 18 25 30 และ 20 ตามลำาดับ หากต้องการผลกำาไรมากที่สดุควรท่ีจะทำาการขนสง่สนิค้าอยา่งไรโดยที่ต้องได้กำาไรสงูสดุและนำ้าหนักในการบรรทกุไมเ่กิน 11 ตัน

Max Z = 18A + 25B + 30C + 20D

ST. 2A + 4B + 5C + 3D ≤ 11วธิทีำา จากสมการเป้าหมายและสมการขอ้กำาหนดเราจะทำาการแบง่ปัญหาใหญ่ออกเป็นสว่นๆ ได้ดังน้ี

ขัน้ตอนท่ี 1 ทำาการพจิารณาท่ี Stage1 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า D มนีำ้าหนัก 3 ตัน ราคา 20 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S1 X1 = 0 X1 = 1 X1 = 2 X1 = 3 Max0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 02 0 0 0 0 03 0 20 0 0 204 0 20 0 0 205 0 20 0 0 206 0 20 40 0 407 0 20 40 0 408 0 20 40 0 409 0 20 40 60 60

10 0 20 40 60 6011 0 20 40 60 60

ขัน้ตอนท่ี 2 ทำาการพจิารณาท่ี Stage2 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า C มนีำ้าหนัก 5 ตัน ราคา 30 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S2 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 Max0 0 0 0 01 0 0 0 02 0 0 0 03 20 0 0 204 20 0 0 20

X1X2X3X4

DCBA

S4 S3 S2 S1 S0Stage1Stage2Stage3Stage4

5 20 30 0 306 40 30 0 407 40 30 0 408 40 50 0 509 60 50 0 6010 60 50 60 6011 60 70 60 70

ขัน้ตอนท่ี 3 ทำาการพจิารณาท่ี Stage3 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า B มนีำ้าหนัก 4 ตัน ราคา 25 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S3 X3 = 0 X3 = 1 X3 = 2 Max0 0 0 0 01 0 0 0 02 0 0 0 03 20 0 0 204 20 25 0 255 30 25 0 306 40 25 0 407 40 45 0 458 50 45 50 509 60 55 50 6010 60 65 50 6511 70 65 70 70

ขัน้ตอนท่ี 4 ทำาการพจิารณาท่ี Stage4 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า A มนีำ้าหนัก 2 ตัน ราคา 18 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S4 X4 = 0 X4 = 1 X4 = 2 X4 = 3 X4 = 4 X4 = 511 70 78 81 84 92 90

ดังนัน้คำาตอบท่ีได้คือX4 = 4X3 = 0

X2 = 0X1 = 1

ผลกำาไรสงูสดุ = 92

จากตัวอยา่งท่ี 4.1 วธิกีารหาค่าผลกำาไรสงูสดุและวธิกีารท่ีใชห้าค่าแบบนี้เรยีกวา่การคำานวณการเก่ียวโยงแบบยอ้นหลัง (Backward Recursion)และในตัวอยา่งท่ี 4.1 กรณีท่ีจะหาค่าผลกำาไรสงูสดุโดยใชก้ารหาค่าแบบการคำานวณการเก่ียวโยงแบบไปขา้งหน้า (Forward Recursion) แสดงได้ดังต่อไปนี้

ขัน้ตอนท่ี 1 ทำาการพจิารณาท่ี Stage4 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า A มนีำ้าหนัก 2 ตัน ราคา 18 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S4 X4 = 0 X4 = 1 X4 = 2 X4 = 3 X4 = 4 X4 = 5 Max0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 02 0 18 0 0 0 0 183 0 18 0 0 0 0 184 0 18 36 0 0 0 365 0 18 36 0 0 0 366 0 18 36 54 0 0 547 0 18 36 54 0 0 548 0 18 36 54 72 0 729 0 18 36 54 72 0 7210 0 18 36 54 72 90 9011 0 18 36 54 72 90 90

ขัน้ตอนท่ี 2 ทำาการพจิารณาท่ี Stage3 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า B มนีำ้าหนัก 4 ตัน ราคา 25 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S3 X3 = 0 X3 = 1 X3 = 2 Max

0 0 0 0 01 0 0 0 02 18 0 0 183 18 0 0 184 36 25 0 365 36 25 0 366 54 43 0 547 54 43 0 548 72 61 50 729 72 61 50 7210 90 79 68 9011 90 79 68 90

ขัน้ตอนท่ี 3 ทำาการพจิารณาท่ี Stage2 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า C มนีำ้าหนัก 5 ตัน ราคา 30 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S2 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 Max0 0 0 0 01 0 0 0 02 18 0 0 183 18 0 0 184 36 0 0 365 36 30 0 366 54 30 0 547 54 48 0 548 72 48 0 729 72 66 0 7210 90 66 60 9011 90 84 60 90

ขัน้ตอนท่ี 4 ทำาการพจิารณาท่ี Stage1 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาสนิค้า D มนีำ้าหนัก 3 ตัน ราคา 20 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S1 X1 = 0 X1 = 1 X1 = 2 X1 = 3 Max11 90 92 76 78 0

ดังนัน้คำาตอบท่ีได้คือ

X4 = 4X3 = 0X2 = 0X1 = 1

ผลกำาไรสงูสดุ = 92

ตัวอยา่งท่ี 4.2 บรษัิทแหง่หน่ึงมโีงงานในการผลิตสนิค้า 3 โรงงาน ในปี 2559 ทางโรงงานผลิตได้เสนอแผนลงทนุเพื่อใหบ้รษัิทแมท่ำาการพจิารณาโดยนำาเสนอจำานวนเงินที่ต้องใช ้และผลกำาไรท่ีคาดวา่จะได้รบัซึ่งมหีน่วยเป็นล้านบาท และในปี 2559 น้ีทางบรษัิทแมไ่ด้มจีดัสรรเงินในการลงทนุจำานวน 5 ล้านบาท และการนำาเสนอแผนการลงทนุแสดงได้ดังตาราง จงหาวา่ทางบรษัิทแมจ่ะเลือกแผนการลงทนุแต่ละโรงงานผลิตอยา่งไรใหไ้ด้ผลกำาไรมากท่ีสดุ

โรงงานท่ี แผนการลงทนุ1 2 3 4

1 ลงทนุ 0 1 2 3กำาไร 0 5 8 9

2 ลงทนุ 0 2 3 -กำาไร 0 6 8 -

3 ลงทนุ 0 1 2 -กำาไร 0 4 6 -

วธิทีำา จากสมการเป้าหมายและสมการขอ้กำาหนดเราจะทำาการแบง่ปัญหาใหญ่ออกเป็นสว่นๆ ได้ดังน้ี

กำาหนดให้ Si คือจำานวนเงินในการลงทนุของแต่ละโรงงาน Kj คือแผนในการลงทนุของแต่ละโรงงาน

4.2.1 การหาค่าแบบการคำานวณการเก่ียวโยงแบบไปขา้งหน้า (Forward Recursion) แสดงได้ดังต่อไปนี้

ขัน้ตอนท่ี 1 ทำาการพจิารณาท่ี Stage3 ซึ่งเป็นการแก้ปัญหายอ่ยในลำาดับแรก ในการพจิารณาครัง้น้ีจะทำาการพจิารณาโรงงานที่ 1 สามารถสรา้งออกมาเป็นตารางได้ดังน้ี

S3 K1 = 1 K2 = 2 K3= 3 K4 = 4 Max0 0 0 0 0 01 0 5 0 0 52 0 5 8 0 83 0 5 8 9 94 0 5 8 9 95 0 5 8 9 9


X1X2X3

CBA

S3 S2 S1 S0Stage1Stage2Stage3

S2 K1 = 1 K2 = 2 K3= 3 Max0 0 0 0 01 5 0 0 52 8 6 0 83 9 6+5 =

11 8 11

4 9 6+8 = 14

8+5 = 13 14

5 9 6+9 = 16

8+8 = 16 16


S3 K1 = 1 K2 = 2 K3= 35 16 4+14 =

186+11 =

17

เมื่อผ่านขัน้ตอนท่ี 3 เราจะเห็นวา่กำาไรสงูสดุท่ีได้จะมค่ีาเท่ากับ 18 ล้านบาทซึง่เป็นการลงทนุของทั้ง 3 โรงงานผลิต โดยโรงงานผลิตท่ี 1 ต้องใชแ้ผนการลงทนุท่ี 3 โรงงานผลิตท่ี 2 ต้องใชแ้ผนการลงทนุท่ี 2 และโรงงานผลิตท่ี 3 ต้องใชแ้ผนการลงทนุท่ี 2

4.2.2 การหาค่าแบบการคำานวณการเก่ียวโยงแบบยอ้นกลับ (Backward Recursion)………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………ตัวอยา่งท่ี 4.3 ในการเดินทางจากซานฟานซสิโกไปยงันิวยอรก์ โดยผ่านเมอืงต่างๆ ดังผังการเดินทางตามขา่ยงานดังต่อไปน้ี

หากต้องการเดินทางจากท่ีกล่าวมาโดยใหม้รีะยะทางสัน้ท่ีสดุควรที่จะเดินทางผ่านเมอืงไหนบา้งโดยการใชว้ธิแีบบการโปรแกรมเชงิพลวตั

4.3.1 การหาค่าแบบการคำานวณการเก่ียวโยงแบบยอ้นกลับ (Backward Recursion)

Stage 1

6

2

5

82

5

6

7

9

6

6

4

1

2

3

5

NewyorkSan Francisco

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Stage 4Stage 3

Stage 2

Stage 1

Stage 0

6

2

5

82

5

6

7

9

6

6

4

1

2

3

5

NewyorkSan Francisco

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ต้นทาง ปลายทาง ระยะทาง7 11 68 11 29 11 5

10 11 8

Stage 2ต้นทาง ปลายทาง ระยะทาง D1 ระยะทางรวม

4 7 6 6 128 9 2 11

5 8 7 2 99 6 5 11

6 9 5 5 1010 2 8 10


2 4 2 11 135 1 9 10

3 5 4 9 136 6 10 16


1 2 5 10 153 3 13 16

จากการแก้ปัญหาจะเหน็วา่ระยะทางสัน้ที่สดุท่ีจะเดินทางจาก San Francisco ไปยงั Newyork นัน้จะต้องเดินทางดังน้ี 1, 2, 5, 8, 11 มรีะยะทางเท่ากับ 15

4.3.2 การหาค่าแบบการคำานวณการเก่ียวโยงแบบไปขา้งหน้า (Forward Recursion)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกหัด

1. ในการวางแผนการลงทนุในโครงการต่างๆ ของบรษัิทแหง่หน่ึง ซึ่งมีอยู ่3 โครงการด้วยกัน บรษัิทมขีอ้มูลความสมัพนัธข์องผลกำาไรที่คาดวา่จะได้ (หน่วยเป็น ล้านบาท) และจำานวนเงินที่ใชใ้นการลงทนุ (หน่วยเป็น ล้านบาท) แสดงในตาราง ถ้าบรษัิทมเีงินท่ีใชใ้นการลงทนุทัง้หมดไมเ่กิน 4 ล้านบาท จงหาวา่บรษัิทจะจดัสรรเงินอยา่งไรเพื่อที่จะใหผ้ลกำาไรรวม ของ 3 โครงการมากท่ีสดุ

ผลกำาไรจำานวนเงิน

ลงทนุโครงการ 1 โครงการ 2 โครงการ 3

0 0 0 01 4 5 62 8 7 93 10 11 11

4 12 12 14

2. ในการวางแผนประชาสมัพนัธก์ารขายของบรษัิทรถยนต์แหง่หน่ึง ซึ่งขอ้มูลของจำานวนเงินที่ใชใ้นการประชาสมัพนัธใ์นสื่อต่างๆ ซึ่งม ีวทิยุ โทรทัศน์ และหนังสอืพมิพ ์(หน่วยเป็น ล้านบาท) กับจำานวนยอดขายรถยนต์ (หน่วยเป็น พนัคัน) แสดงในตาราง ถ้าบรษัิทมเีงินท่ีใชใ้นการประชาสมัพนัธทั์ง้หมดไมเ่กิน 3 ล้านบาท จงหาวา่บรษัิทจะจดัสรรเงินท่ีในการประชาสมัพนัธอ์ยา่งไรเพื่อท่ีจะได้ยอดขายรถยนต์มากท่ีสดุ

เงินลงทนุโฆษณา

ยอดขายรถยนต์ท่ีเพิม่ขึ้น (พนัคัน)วทิยุ โทรทัศน์ หนังสอืพมิพ์

0 0 0 01 2 4 32 4 6 53 5 10 7

3. ถ้าต้องการบรรทกุสนิค้าลงเรอืโดยท่ีมสีนิค้าอยู ่3 ชนิด แต่ละชนิดมีมูลค่าแต่ละชิน้ และนำ้าหนักแสดงในตาราง

ชนิดสนิค้า มูลค่า (แสนบาท) นำ้าหนัก (ตัน)1 3 22 4 33 2 1

จงหาวา่ จะบรรทกุสนิค้าแต่ละชนิดลงเรอือยา่งละกี่ชิน้ เพื่อใหมู้ลค่ารวมสนิค้าทัง้หมดมากท่ีสดุ ทัง้น้ีมขีอ้จำากัดวา่ เรอืรบันำ้าหนักได้ไมเ่กิน 6 ตัน

4. จงวางแผนการสัง่ซื้อสนิค้าใหก้ับบรษัิทแหง่หน่ึง ซึ่งบรษัิทจะทำาการสัง่ซื้อสนิค้าทกุวนัท่ี 1 ของเดือน ในการสัง่ซื้อสนิค้าแต่ละครัง้ บรษัิทจะต้องวางแผนไวว้า่ จำานวนสนิค้าท่ีสัง่ซื้อรวมกับจำานวนสนิค้าท่ีมอียูก่่อนหน้านัน้ อยา่งน้อยต้องใหเ้พยีงพอกับความต้องการของเดือนนัน้ ๆ แต่ละครัง้ท่ีบรษัิทสัง่ซื้อสนิค้า บรษัิทจะต้องเสยีค่าใชจ้า่ยในการสัง่ซื้อ เป็นครัง้ ๆ ไป นอกจากน้ีสนิค้าท่ีเหลือจากการขายในแต่ละเดือน บรษัิทจะต้องเสยีค่าใช้จา่ยในการเก็บรกัษาอีกด้วย ขอ้มูลความต้องการของสนิค้า ค่าใชจ้า่ยในการสัง่ซื้อสนิค้า และค่าใชจ้า่ยในการเก็บรกัษาสนิค้าในแต่ละเดือนแสดงในตาราง

เดือนที่ความต้องการ

(ชิน้)ค่าใชจ้า่ยในการสัง่

ซื้อ (บาท)

ค่าใชจ้า่ยในการเก็บรกัษา (บาทต่อชิน้

ต่อเดือน)1 4 13 22 3 17 33 2 16 2

สำาหรบัราคาสนิค้าต่อหน่วย 2 ชิน้แรก ชิน้ละ 10 บาท และสว่นที่เกิน 2 ชิน้ ชิน้ละ 15 บาท นอกจากนี้ บรษัิทต้องการใหม้สีนิค้าเหลืออยู ่1 ชิน้ เมื่อสิน้สดุเดือนท่ี 3

5. จงหาเสน้ทางท่ีสัน้ท่ีสดุ จากโหนด 1 ไปยงัโหนด 8

6. จงหาคำาตอบของตัวแบบต่อไปน้ี

6.1 การหาค่าสงูสดุ Z = 2x1 + 3x2 + 4x3

ภายใต้เง่ือนไข 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 4

x1, x2, x3 ≥ 0 และเป็นจำานวนเต็ม

6.2 การหาค่าตำ่าสดุ Z = x1 x2 x3

ภายใต้เง่ือนไข x1 + 2x2 + x3 ≤ 4


6.3 การหาค่าสงูสดุ Z = x12 + x2

2 + x3

ภายใต้เง่ือนไข 2x1 + x2 + x3 ≤ 4
