Mediana , Altura , Bissetriz e Mediatriz de um TringuloMediana

Definio: Denomina-se mediana de um tringulo o segmento que liga um vrtice aoponto mdio do lado oposto a este vrtice.

AMA mediana do tringulorelativa ao vrtice A .

Obviamente o tringulo possui 3 medianas, uma para cada vrtice. O encontro das 3medianas ocorre em um ponto denominado Baricentro.

Baricentro de um tringulo o ponto de interseco das suas medianas.

G o Baricentro do ABC.AMA , BMB , CM C so asmedianas do ABC.

AMA I BMB I CM C = { G }

O Baricentro conhecido como centro de massa ou centro de gravidade, por estemotivo adota-se a letra G para represent-lo.O ponto G divide as medianas em dois segmentos tais que a parte que contm ovrtice igual ao dobro da outra.

Portanto temos: AG = 2 . GMA , BG = 2 . GMB e CG = 2 . GMC

AlturaDefinio: Denomina-se altura de um tringulo o segmento de reta que

perpendicular a um lado e contm o vrtice oposto a este lado.

AHA a altura do tringulorelativa ao vrtice A .

Note que a altura pode ser externa ao tringulo, como na figura abaixo:

O ponto HA externo.

Define-se Ortocentro de um tringulo como sendo a interseco das retas que contmas Alturas deste tringulo.

H o Ortocentro do ABC.

AHA , AHB e AHC so asalturas do ABC .

AHA

, AHB

e AHC

so as retas que contm asalturas .

AHA

I AHB

I AHC

= { H }Note que o ponto H (ortocentro) pode ser externo ao tringulo, conforme a figuraabaixo:

Como voc pode ver o ponto H pertence s retas que contm os segmentos dasalturas , H no o ponto de encontro das alturas e sim das retas que contm asalturas.

Bissetriz:

Definio: Denomina-se bissetriz do ngulo interno de um tringulo o segmento dereta que divide o ngulo interno em duas metades iguais.

Note que a bissetriz de um ngulo uma semi-reta e a bissetriz de um tringulo umsegmento, note ainda que o tringulo possui trs bissetrizes internas, uma para cadavrtice.Incentro o ponto de interseco das bissetrizes internas de um tringulo.

S o Incentro do ABC.

ASA , BSB , CSC so as

bissetrizes internas do ABC.

ASA I BSB I CSC = { S }

Propriedades:

1) O Incentro o centro da circunferncia inscrita no tringulo.

S o centro da circunferncia inscrita no tringulo , ou seja , a circunferncia tangnciaos lados do tringulo nos pontos P , Q e R . Ento: SP = SQ = SR

2) As distncias dos vrtices aos pontos de tangncia dos lados pertencentes a estevrtice so congruentes.

AR AQBR BPCP CQ

=

=

=

RS|T|

Demonstrao:

Vamos demonstrar para um vrtice ; para os demais vale o mesmo procedimento.

ARS AQSAS comumSR SQ raio da circunfernciaARS AQS ngulo reto no ponto de gncia

=

=

RS|T| $ $ tan

Pelo caso especial de LLA para tringulos retngulos , ARS AQS

AR = AQ c.q.d.

Mediatriz:Definio: Denomina-se mediatriz de um segmento de reta, a reta perpendicular ao

segmento que passa pelo seu ponto mdio.

M o ponto mdio de AB.

m perpendicular a AB.

m a mediatriz de AB.

Propriedade: Se P m , ento PA PB

Prova: P , P m PA PB

MA MB pois M o ponto mdio de ABAMP BMP ngulo reto pois m perpendicular a ABMP comum

RS||

T||$ $

Por LAL PMA PMB PA PB c.q.d.

Obs: Em um tringulo existem 3 mediatrizes, uma para cada lado.

Circuncentro de um tringulo o ponto de interseco das mediatrizes dos seus lados.

O o circuncentro do ABC.

mA , mB e mC so asmediatrizes do ABC.

mA I mB I mC = { O }

Propriedades:

1) O circuncentro o centro da circunferncia circunscrita a um tringulo.

Demonstrao:

Se { O } = mA I mB I mC por definio ento:

O mA OB OC

O mB OA OC

O mC OA OB

OA OB OC R = OA = OB = OC

Portanto uma circunferncia de centro O e raio R passa por A , B e C emcircunscreve o ABC. c.q.d.

O o centro da circunferncia quecontm A, B e C e OA = OB = OC.

2) O circuncentro pode ser externo ao tringulo e isto ocorre quando este obtusngulo.

Casos especiais1) Em um tringulo equiltero as medianas alturas , mediatrizes e bissetrizes

so coincidentes, o que implica que o baricentro, ortocentro, circuncentro eincentro tambm coincidem.

2) Em um tringulo issceles , o baricentro , ortocentro , circuncentro e incentroesto alinhados.

Exemplos:

1) Em um tringulo retngulo de lados 30 , 40 e 50 , inscrevemos uma circunferncia,qual o seu raio?

Pelas propriedades do incentro temos:AP = AQ BP = BR CR = CQ

Como ABC retngulo em B , ento:

SR = SP = BP = BR = r (raio da circunferncia inscrita)Ento temos:

Portanto 30 - r + 40 - r = 50

20 = 2r r = 10

2) Obter o raio das circunferncias inscritas e circunscritas em um tringulo equiltero dealtura 21 cm.

Como no tringulo equiltero, o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro coincidem,podemos obter o centro das circunferncias pela propriedade do baricentro.

Ou seja: AO = 2 . OHA e AO + OHA = 21

30 HA = 21 OHA = 7 e AO = 14

Portanto o raio da circunferncia inscrita 7 cm e o raio da circunferncia circunscrita 14 cm.